Análise combinatória

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Professor: Rômulo Garcia

Email: [email protected]

Conteúdo Programático: Análise Combinatória

Módulo 1 – Introdução

A Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda de quantas formas diferentes um determinado

acontecimento pode ocorrer, sem que haja a necessidade de descrevermos todas essas possibilidades.

A abordagem da Análise Combinatória deixa o leitor com várias opções para atacar um problema e ele fica

diante de uma situação em que várias vezes ele se pergunta o que ele deve usar para desenvolver tal questão: Princípio

Fundamental da Contagem, Permutações (simples, com repetições, circulares), Arranjos, Combinações?

Faremos uma análise baseada em diversas contestações:

Será que o leitor precisa saber resolver um problema usando os Arranjos Simples?

Por que não desenvolver todos os problemas de Análise Combinatória básica: P.F.C., Permutações, Arranjos e

Combinações usando apenas o P.F.C. e a idéia de Permutação Simples e depois apresentar os demais itens

como uma facilitador para desenvolver o problema e não mais uma fórmula ou ferramenta para confundir, ainda mais, um problema?

Por que não criarmos estratégias para desenvolver alguns tipos de problemas?

Por que não mostrar para o leitor que ele deve sempre se colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação

solicitada pelo problema e ver quais decisões ele deve tomar? O leitor deve vivenciar o problema.

Como mostrar de forma clara a grande importância da idéia de ordem para o problema e como devemos nos

posicionar quando essa ordem não for importante para o mesmo? Como desconsiderar essa ordem?

Podemos “construir” e desenvolver a Análise Combinatória de um modo diferente forçando o leitor a

raciocinar e vivenciar aquele enunciado ao em vez de ficar diante de várias formulas sem saber como utilizá-

las.

Módulo 2 – Fatorial

Produtos em que tenham como fatores todos os números inteiros positivos, desde 1 até n, para facilitar,

usaremos uma notação específica para resumir esse acontecimento, o fatorial. Por exemplo, 7.6.5.4.3.2.1 = 7!.

Definição: Sendo n um número natural, maior que 1, n! (n fatorial ou fatorial de n) é o produto de todos os naturais de n

até 1, ou seja, n! = n.(n – 1).(n – 2). ... .3.2.1

Ao desenvolvermos um fatorial é conveniente colocarmos os fatores em ordem decrescente podendo interromper onde for conveniente e indicando os últimos com a notação fatorial.

Exemplos:

6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5.4.3! = 6.5!

n! = n.(n – 1)! = n.(n – 1).(n – 2)!

(n + 2)! = (n + 2).(n + 1)! = (n + 2).(n + 1).n.(n – 1)!

Obs.: 1! = 1 e 0! = 1

Módulo 3 – Princípio Fundamental da Contagem

Um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode

ocorrer.

O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes:

O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos.

O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos. Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual

ao produto m . n.

Os problemas de contagem de alguns tipos de subconjuntos de um conjunto finito, sem que seja necessário

enumerar seus elementos são típicos em Análise Combinatória. O estudo do P.F.C. pode ser iniciado mostrando a sua

ligação com os Produtos Cartesianos e com Relações entre conjuntos, por exemplo:


1) Um aluno deseja se deslocar de Juiz de Fora até Porto Alegre, mas ele deseja ir de avião e só poderá embarcar na

aeronave no Rio de Janeiro. Sabendo que ele tem quatro linhas diferentes de ônibus para ir de até o Rio de Janeiro e,

chegando lá, ele deve escolher 3 companhias aéreas para Porto Alegre, de quantas maneiras o aluno pode fazer isso?

É fundamental a pessoa se envolver no problema, ele deve se colocar no lugar do aluno que está em JF e pode

escolher 1 dentre 4 linhas de ônibus disponíveis e ele deve se indagar: “Caso eu escolha a L1 tenho 3 opções para

escolher a companhia aérea, mas seu eu escolher a L2, também, terei 3 possibilidades e da mesma forma se escolher L3

ou L4 terei as mesmas 3 possibilidades para escolher o avião a ser tomado. Assim, como para cada possibilidade de

escolher a linha de ônibus eu tenho 3 possibilidades de escolher a companhia aérea e como eu tenho 4 linhas

disponíveis, posso realizar essa viagem de 4 . 3 = 12 modos distintos, pois para cada possibilidade de escolher 1 linha

de ônibus eu tenho 3 possibilidades de escolher uma companhia aérea.” Assim, vivenciando o problema, colocando-se no lugar da personagem, e pensando sempre que para cada possibilidade de efetuar a primeira escolha ele tem x

possibilidades de efetuar a segunda escolha, o problema se torna mais simples de ser solucionado. É essencial ele pensar

nessa idéia e ter calma na hora de analisar cada escolha feita inicialmente.

2) Quantos números com 4 algarismos podemos formar usando os elementos do conjunto A = {1, 3, 5, 6, 8}?

R.: 5.5.5.5 = 625 possibilidades

3) Quantos números ímpares com 4 algarismos podemos formar usando os elementos do conjunto A = {1, 3, 5, 6, 8}?

R.: 5.5.5.3 = 375 possibilidades

4) Quantos números com 4 algarismos distintos podemos formar usando os elementos do conjunto A = {1, 3, 5, 6, 8}? R.: 5.4.3.2 = 120 possibilidades

5) Quantos números com 4 algarismos distintos podemos formar usando os elementos do conjunto A = {0, 1, 3, 5, 6,

8}?

R.: Atenção com o 0 (ZERO)

5.5.4.3 = 300 possibilidades

6) Quantos números pares com 4 algarismos distintos podemos formar usando os elementos do conjunto A = {0, 1, 3, 5,

6, 8}?

Inicialmente, o leitor deve impor quais algarismos são candidatos às três casas numéricas que temos:

Ele deve analisar o que acontece com as suas possibilidades ao escolher cada algarismo. Como o problema deseja que o número seja par, ele deve perguntar quantas possibilidades ele terá para compor a casa das centenas, e se

ele escolher o 0? E se escolher o 6? E o 8?


Ele, ainda, deve observar que caso escolha o 0, para a casa das unidades, ele terá 5 possibilidades para a casa

das centenas, mas caso ele escolhas o 6, ele terá apenas 4 possibilidades, pois os algarismos não podem ser repetidos.

Assim, ele fica diante de um problema: Se ele escolher o 0 ele tem 5 possibilidades para escolher o 1° algarismo e se

escolher o 6 ou o 8 ele terá 4 possibilidades. Logo, ele deve perceber que o problema deve ser separado em dois casos.

Ele só percebera que esse problema fica mais simples se, com calma, analisar cada caso, olhar para cada algarismo e ver

o que a escolha de cada um afeta na escolha dos outros. Caso perceba que para determinada posição temos x

algarismos, mas para cada um deles não temos a mesma quantidade de possibilidades de escolhermos os algarismos de

outra “casa” devemos pensar em separar em casos. Com isso, a solução agora tornaria mais tranqüila e objetiva. Para

que tudo isso ocorra, realmente, a entrega ao problema deve existir e o leitor tem que se colocar dentro da questão.

Módulo 4 – Permutações Simples

Compreendido o princípio da contagem, uma continuação imediata é iniciar a idéia de permutação como uma

forma de abreviar uma situação qualquer. Assim, após o leitor ter o conhecimento que a troca de lugar de n objetos

diferentes pode ser realizada de n.(n – 1).(n – 2). ... .3.2.1 = n! modos distintos, podemos começar a construir a Análise

Combinatória.

Logo, Pn = n! é a permutação de n elementos distintos.

Exemplos:

1) De quantas formas diferentes 6 pessoas podem formar uma única fila (indiana)?

Formar uma fila com 6 pessoas consiste em colocá-las em uma seqüência com 6 elementos, na qual,

evidentemente, não é permitida repetição, pois uma pessoa não pode ocupar duas posições simultaneamente. Portanto, o

número pedido é dado por: P6 = 6! = 720 formas distintas.

2) Quantos são os anagramas da palavra HONRA?

Cada anagrama pode ser encarado como uma seqüência (ordenada) de 5 elementos, formados pelas letras H, O, N, R e A, portanto sem repetição. Então, a quantidade procurada é: P5 = 5! = 120 anagramas.

3) Determine de quantas formas podemos colocar em uma fila (alinhados) um casal e seus 7 filhos, sendo 4

homens e 3 mulheres:

a) sem nenhuma restrição

Nesse exemplo queremos, na realidade, apenas trocar de lugar, livremente (sem nenhuma restrição) essas 9

pessoas de lugar. Trocar 9 elementos de lugar é permutar 9 elementos, ou seja:

P9 = 9!

b) de modo que os pais fiquem sempre juntos

Em problemas em que necessitamos que determinadas pessoas fiquem juntas, devemos “amarrá-las” em um

único “bloco”. Nesse caso, devemos permutar esses 8 blocos e, ainda, podemos fazer a permutação “interna” no bloco

dos pais, pois podemos ter P M ou M P. Com isso, segue:

P8.P2 = 8!.2!

c) de modo que os pais fiquem sempre separados

Basta calcular todas as possibilidades para trocar de lugar as 9 pessoas (exemplo – letra a) e subtrair pelas

possibilidades em que os pais fiquem sempre juntos (exemplo – letra b).

Logo, temos 9! – 8!.2! = 9.8! – 2.8! = (9 – 2). 8! = 7.8! possibilidades.

ATENÇÃO: Esse método de calcular todas possibilidade e retirar aquelas em que eles estão juntos para determinar as

possibilidades em que as pessoas estão separadas, só é válido quando estamos diante de 2 pessoas. No exemplo letra e

veremos que esse método não é viável e criaremos um raciocínio muito interessante para você resolver qualquer

problema em que determinados elementos não podem ficar juntos.


d) de modo que os 4 filhos (homens) fiquem sempre juntos

Nesse caso, devemos permutar esses 6 blocos e, ainda, podemos fazer a permutação “interna” no bloco dos

filhos (H), pois podemos ter a mudança de lugar entre eles. Com isso, segue:

P6.P4 = 6!.4!

e) de modo que os pais fiquem sempre juntos e os 4 filhos (H), também, fiquem sempre juntos

Devemos permutar esses 5 blocos e, ainda, podemos fazer a permutação “interna” no bloco dos filhos (H) e

dos pais, pois podemos ter a mudança de lugar entre eles. Com isso, segue:

P5.P2.P4= 5!.2!.4!

f) de modo que os 4 filhos (homens) fiquem sempre separados

Nesse caso, não podemos calcular todas as possibilidades e excluir aquelas em que esses 4 filhos estão juntos

(como feito no exemplo letra c), pois estaríamos excluindo, apenas, os casos em que os 4 filhos estão juntos, mas,

também, não podemos ter casos em que 3 estão juntos ou 2 juntos e os outros 2 separados ou os 2 juntos e os outros 2

também... Enfim, é necessário criar uma nova estratégia para solucionar esse tipo de problema. Devemos separar os elementos que não podem ficar juntos (os 4 filhos) e permutar, “livremente”, as outras 5 pessoas (5!) e depois temos 6

lugares para escolher com o intuito de colocar um filho, sobrando 5 possibilidades de escolha de lugar para o segundo

filho (visto que o 1° vai ocupar um lugar), 4 lugares para o 3° filho e, finalmente, 3 lugares para o 4° filho. Assim,

segue:

P5.6.5.4.3 = 5!.6!/2! (observe que 6.5.4.3 pode ser escrito como 6!/2!)

4) De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem

juntas e duas outras, Helena e Pedro, permaneçam juntas?

Temos as pessoas: V, Pa, H, Pe, A, B, C, D

Como Vera (V) e Paulo (Pa) não podem ficar juntos, devemos observar que temos 6 possibilidades de escolha

para o lugar que pode ser destinado ao 1° e, consequentemente, 5 para o 2°. Mas antes, devemos permutar os 5

“blocos” e, ainda, permutar, internamente, o “bloco” dos pais. Com isso, temos:

P5.P2.6.5 = 120.2.6.5 = 7200 possibilidades

Módulo 5 – Permutações com Elementos Repetidos

Proponho que devemos trabalhar as permutações com elementos repetidos para o aluno observar a enorme

importância que é identificar a ordem num problema. Podemos questionar o seguinte problema: De quantas formas

podemos colocar alinhadas 5 frutas, sendo 3 maçãs e 2 laranjas (idênticas entre si)?

Podemos solicitar que o leitor descreva todas essas possibilidades. E, assim, ele fará e obterá as 10

possibilidades:


M M M L L M M L M L M L M M L L M M M L M M L L M

M L M L M L M M L M M L L M M L M L M M L L M M M

Podemos questioná-los: Caso as maçãs sejam diferentes e as laranjas também, de quantas formas podemos

dispor essas 5 frutas?

Antes de apresentar o resultado, podemos pegar um desses 10 casos e discuti-lo. Por exemplo, supondo que as

frutas sejam diferentes, o que acontece se trocarmos de lugar as maçãs e as laranjas entre si em cada um desses casos?

Vejamos:

M M M L L será tratado com M1 M2 M3 L1 L2 e trocando de lugar da forma proposta, temos:

M1 M2 M3 L1 L2 M1 M2 M3 L2 L1

M1 M3 M2 L1 L2 M1 M3 M2 L2 L1

M2 M1 M3 L1 L2 M2 M1 M3 L2 L1 M2 M3 M1 L1 L2 M2 M3 M1 L2 L1

M3 M1 M2 L1 L2 M3 M1 M2 L2 L1

M3 M2 M1 L1 L2 M3 M2 M1 L2 L1

Assim, o leitor observará que para cada uma dos 10 casos propostos inicialmente ele terá, levando em conta

que as frutas são diferentes entre si, 12 casos (pois podemos trocar de lugar entre si 3 maçãs e 2 laranjas, isto é,

podemos permutar entre si as maçãs P3=3! e as laranjas P2 = 2!). Logo, ele saberá que tem 120 possibilidades. Assim, o

leitor pode observar que essas 10.12 = 120 possibilidades nada mais são que as permutações de 5 frutas supostas

distintas e P5 = 5! = 120. Mas como as frutas são iguais cada um desses 12 casos descritos representam um único caso

para o problema em que as frutas são iguais entre si. Logo, como em 120 possibilidades, podemos separar em grupos

idênticos de 12 possibilidades, nos restam 120/12 = 10 possibilidades distintas de alinharmos essas frutas da forma

proposta inicialmente. O que foi feito na realidade? O leitor agora deve observar que a ordem das frutas iguais não pode ser

considerada, ou seja, ele não pode trocar de lugar entre si as maçãs e laranjas. Ele deve desconsiderar a permutação

entre as 3 maças e as 2 laranjas e observando que ele tinha 120 possibilidades e dividiu por 12, ele verificará que, na

realidade, ele dividiu foi por 3!.2!, pois desconsiderou a ordem entre as frutas iguais.

Nesse ponto, o leitor vai estar diante de um fato importantíssimo:

Quando queremos desconsiderar a ordem a ordem de r, s, t, ... elementos devemos dividir pela permutação

entre eles.Com isso, vários problemas podem ser solucionados com esse raciocínio, por exemplo:

Quantos anagramas da palavra COMBINATORIA apresentam as consoantes em ordem alfabética?

Nesse problema, devemos permutar as letras e desconsiderar as permutações entre as consoantes, pois como

elas devem permanecer em ordem alfabética a permutação entre eles não é permitida. Como visto, quando a permutação de determinados elementos não é permitida devemos dividir pela permutação entre eles. Nesse caso, inicialmente,

devemos calcular os anagramas da palavra COMBINATORIA que é dado por 12!/2!.2!.2! , podemos considerar as

permutações entre as letras iguais (assim como fizemos entres as frutas) e, por isso, a divisão por (2!)3, referente as

letras A, I e O. Finalmente, devemos desconsiderar a permutação entre as consoantes C, M, B, N, T e R e, para isso,

devemos dividir o resultado até então encontrado por 6!. Logo, a solução seria dada por 12!/(2!)3.6!.

Dessa forma, quando um problema desejar que uma determinada ordem seja estabelecida, na realidade,

queremos desconsiderar a permutação entre elas. Diante disso, um aluno pode desenvolver um problema referente à

Combinação Simples sem nunca ter visto a fórmula Cn,p ou sem ter ouvido falar em combinações. Por exemplo, se

queremos saber de quantos modos podemos selecionar 3 pessoas para montar uma comissão se dispomos de um total de

7, o aluno não precisa saber que isso pode ser feito de C7,3 modos distintos, basta ele saber que tem 7 possibilidades para escolher a 1ª pessoa, 6 para a 2ª e, finalmente, 5 para a 3ª e, assim, ele teria 7.6.5 modos. Mas ele deve observar

que a ordem de escolha dessas 3 não influencia, ou seja, devemos desconsiderar a permutação entre essas 3 pessoas.

Assim, devemos dividir 7.6.5 por 3! E, com isso, teríamos 35 possibilidades para realizar tal escolha.

As estratégias para atacar alguns problemas são de suma importância!

Com essa linha de estudo, o leitor teria mais facilidade e maturidade para, agora, usar algumas relações do tipo

permutações com elementos repetidos ou combinações simples para construir suas soluções.

Dessa forma e com estratégias para resolver alguns problemas a Análise Combinatória pode ser desenvolvida

de uma forma mais fácil sem que o leitor fique diante de várias fórmulas sem saber como e quando utilizá-las..

Módulo 6 – Permutações Circulares

As permutações circulares são utilizadas para resolver problemas em que os objetos são dispostos ao redor de

um círculo, e não ao longo de uma reta (Permutações Lineares) como visto até aqui.

Dados n objetos, o número possível de disposições dos mesmos ao redor de um círculo, é dado por PCn = (n –

1)! = n!/n


Devemos saber quantas permutações simples distintas geram permutações circulares equivalentes. Assim,

iremos compreender melhor o fato de PCn ser igual a (n – 1)!. É fácil ver que este número é n, pois, se não

considerássemos equivalentes figuras que podem coincidir por rotação, teríamos o total de n!. Logo, n.(PCn) = n!, o que

implica PCn = n!/n, ou seja, PCn = (n – 1)!.

Módulo 7 – Combinações Simples

Inicialmente, iremos propor dois problemas para compararmos e compreendermos essa idéia.

Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, determine o total de números com 3 algarismos distintos que podemos

formar.

Facilmente, podemos observar que isso pode ser feito de 4.3.2 = 24 formas distintas que são:

123 124 134 234

132 142 143 243

213 214 314 324

231 241 341 342

312 412 413 423

321 421 431 432

Agora, dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, determine o total subconjuntos com 3 algarismos que podemos

formar.

Observe que temos apenas 4 possibilidades (destacadas) que são: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4} e {2, 3, 4}, pois

a permutação entre si dos elementos de cada conjunto não pode ocorrer, ou seja, temos que desconsiderar a ordem de escolha desses 3 elementos.

O fato de desconsiderar a ordem de escolha dos elementos e essencial para compreendermos as Combinações

Simples. No próximo módulo, veremos a importância de sabermos desconsiderar essa ordem de escolha. Assim, temos

que a Combinações Simples de n elementos tomados p a p são os subconjuntos de p elementos que podem ser formados

com os n elementos e é bom destacar, novamente, que em um conjunto, a ordem para dispormos esses p elementos não

faz diferença.

O número de combinações simples de n elementos tomados p a p é dado por:

p n

n n,p p

n!C C

n p !.p!

Exemplo:

1) Os 25 alunos de um determinado colégio resolvem formar uma comissão com 5 membros para formar um time de futebol de salão. Quantos possíveis times podem ser formados?

Uma comissão formada pelos alunos A, B, C, D, E é a mesma formada pelos alunos C, B, A, E, D. Daí, tem-se

um problema de combinação. O número de comissões possíveis será:

2) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos?

Temos dois casos para analisar:

i) Caso em que o casal faz parte do grupo:

Nesse caso, como os dois, obrigatoriamente, fazem parte do grupo, devemos escolher mais 2 pessoas do total

de 8 (pois como já foram retirados os dois, sobraram 8 pessoas, sendo que só mais duas devem ser escolhidas).. Como a

ordem de escolha não importa, isso pode ser feito de C8, 2 = 8!/6!.2! = 28 possibilidades.

ii) Caso em que o casal não faz parte do grupo:

Nesse caso, como os dois, obrigatoriamente, não fazem parte do grupo, devemos escolher 4 pessoas do total de

8 (pois como eles não podem ser escolhidos, devemos retirá-los do grupo de 10 pessoas, sobrando, com isso, 8 pessoas

a serem escolhidas). Como a ordem de escolha não importa, isso pode ser feito de C8, 4 = 8!/4!.4! = 70 possibilidades.


Logo, temos 28 + 70 = 98 possibilidades de escolha desse grupo com as restrições impostas pelo enunciado.

3. Um químico possui 10 tipos de sustâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre

as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?

Suponha que temos as substâncias A, B, C, D, E, F, G, H, X, Y em que se misturadas, X e Y, por exemplo,

explodem. Inicialmente, iremos calcular o total de possibilidades para misturar 6 dessas 10 substâncias, sem restrições.

Como a ordem de escolha não importa, isso pode ser feito de C10, 6 = 10!/6!.4! = 210. Mas, dessas 210

possibilidades, temos algumas que geram misturas explosivas. Vamos calculá-las:

Para gerar uma substância explosiva devemos escolher, obrigatoriamente, X e Y e mais 4 substâncias entre as outras 8

que restaram e isso pode ser feito de C8, 4 = 8!/4!.4! = 70 modos distintos. Com isso, se de todas as formas para escolher essas 6 substâncias excluirmos as possibilidades em as substâncias explosivas (nesse caso X e Y) estão juntas, restam os

casos em que elas estão separadas. Logo, temos 210 – 70 = 140 modos distintos de fazer a escolha da forma solicitada.

Lista 1 - Exercícios:

(Agente - Administrativo - CESPE)

Julgue os itens de 1 a 4 acerca de contagem de elementos.

1) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com a palavra EXECUTIVO e que não possuem

duas vogais juntas é inferior a 1.500.

2) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no qual os convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1 entre 4 tipos diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cada

convidado terá até 11 formas distintas para escolher seu jantar completo.

3) Considere que o governo de determinado estado da Federação, que ainda não possua nenhum restaurante popular,

tenha decidido enviar um representante para conhecer as instalações de restaurantes populares,restringindo que fossem

visitados 1 dos 5 restaurantes da Bahia, 2 dos 12 restaurantes de Minas Gerais, 2 dos 12 restaurantes de São Paulo e 1

dos 6 restaurantes do Rio Grande do Sul. Nesse caso, esse representante terá mais de 3.800 maneiras distintas para

escolher os restaurantes para visitar.

4) O projeto Fome Zero do governo federal compreende 4 eixos articuladores. Um deles, o Eixo 1, é composto de 15

programas e ações, entre os quais o Bolsa Família. Suponha que fosse autorizado um aumento de recursos financeiros

para 5 dos programas e ações do Eixo 1, de modo que o Bolsa Família fosse escolhido em primeiro lugar e os 4 outros pudessem ser escolhidos à vontade por um comitê, colocando-os em uma ordem de prioridade. Nesse caso, esse comitê

teria mais de 30 mil maneiras diferentes de escolher esses programas e ações.

5) (BNB - FCC)

Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem três

caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para

Roma, qual a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente por B?

a) Oito

b) Dez

c) Quinze

d) Dezesseis e) Vinte

6) (AFCE TCU - ESAF)

A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer

do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser

repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o

programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado

por:

a) 226 310

b) 262 103

c) 226 210

d) 26! 10! e) C26,2 C10,3


7) (Anal. Orçamento MARE - ESAF)

Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma

senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir

os cadeados é

a) 518 400

b) 1 440

c) 720

d) 120

e) 54

8) (Analista MPU Administrativa - ESAF)

Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes

maneiras em que podem sentar-se de modo a que

a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que

b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente,

a) 1112 e 1152.

b) 1152 e 1100.

c) 1152 e 1152.

d) 384 e 1112.

e) 112 e 384.

9. (Oficial de Chancelaria - ESAF)

Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma

fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre

juntos, um ao lado do outro, é igual a:

a) 16

b) 24

c) 32

d) 46

e) 48

10)

(AFTN - ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é:

a) 5400

b) 165

c) 1650

d) 5830

e) 5600

11 (AFC - ESAF)

Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações de

dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças.

Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas, o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a:

a) 286

b) 756

d) 371

c) 468

e) 752

12 (Gestor Fazendário MG - ESAF)

Marcela e Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são moças. A turma

reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. O número de diferentes comissões que

podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mário não participe é igual a:

a) 504 b) 90

c) 2002

d) 1287


e) 284

13.(Fiscal Trabalho - ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na

mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças

fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a

a) 2

b) 4

c) 24

d) 48

e) 120

14) (MPOG - ESAF)

O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as

moças fiquem todas juntas é igual a:

a) 6

b) 12

c) 24

d) 36

e) 48

15) (IDR)

Em um teste psicológico, uma criança dispõe de duas cores de tinta: azul e vermelho, e de um cartão contendo o desenho de 6 quadrinhos, como na figura abaixo. O teste consiste em pintar os quadrinhos de modo que, pelo menos

quatro deles sejam vermelhos. É correto afirmar que o número de modos diferentes de pintura do cartão é de:

a) 6

b) 12

c) 22

d) 24

e) 36

16) (Téc de controle interno Piauí - ESAF)

Em um grupo de dança participam dez

meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que em

cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é dado por: a) 5.400

b) 6.200

c) 6.800

d) 7.200

e) 7.800

17) (Ministério Público de Santa Catarina - ACAFE)

Seis pessoas, entre elas Pedro, estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é formada por um

presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O número de maneiras para a composição da diretoria,

onde José não é o presidente, será:

a) 120 b) 360

c) 60

d) 150

e) 300

18)Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no

mínimo um diretor?

a) 25

b) 35

c) 45

d) 55

e) 65

19) (AFRE MG - ESAF)


Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile

determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos.

Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá

ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:

a) 420

b) 480

c) 360

d) 240

e) 60

20)(MPU - ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os

seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de

Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes

maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a

a) 20.

b) 30.

c) 24.

d) 120.

e) 360.

Gabarito

1. C

2. E

3. C

4. E

5. C

6. B

7. A

8. C

9. E

10. A

11. D

12. D

13. D

14. C

15. C

16. A

17. E

18. D

19. A

20. D

Lista 2 – Preparatória para o ENEM e vestibulares em geral Caro leitor, você está diante de vários exercícios que estão separados por terem métodos de resolução

semelhantes. Lembre-se sempre que devemos nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo

problema e vermos quais decisões devem ser tomadas.

O estudo dos números de possibilidades deve começar sempre pelas etapas em que há restrição, dando

preferência para aquelas onde a restrição é maior.

i) Formação de Números

1. Quantos são os números naturais de cinco algarismos, na base 10, que têm todos os algarismos distintos e nenhum

deles igual a 8, 9 ou 0? Quantos deles são pares?

2. Quantos números ímpares, cada um com três algarismos, podem ser formados com os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, se a

repetição de algarismos for permitida?

3. Cada um dos participantes de uma corrida de bicicleta é identificado por meio de um número, múltiplo de cinco,

formado por três algarismos. O algarismo das centenas é tirado do conjunto A = {1, 2, 3, 4} e os demais pertencem ao

conjunto B = {0, 5, 6, 7, 8, 9}. Determine o número máximo de ciclistas participantes dessa corrida.

4. Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não têm algarismos adjacentes iguais?

a) 59 b) 9 · 84 c) 8 · 94 d) 85 e) 95

5. Palíndromo é uma seqüência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda para direita resulta

no mesmo número. Por exemplo, 2.002 é um palíndromo. Quantos palíndromos existem com cinco algarismos, dado

que o primeiro algarismo é um número primo?

a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500

ATENÇÃO COM: PELO MENOS E AO MENOS


6. Usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, existem x números de 4 algarismos, de modo que pelo menos 2 algarismos

sejam iguais. O valor de x é:

a) 505 b) 427 c) 120 d) 625 e) 384

Obs.: O que não nos interessa é que todos os algarismos sejam diferentes. Nesse tipo de problema basta calcularmos

todos os números que podemos formar (com algarismos repetidos ou não) e subtrair pelos números com algarismos

distintos sobrando, assim, o que é solicitado pelo problema.

7. Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?

Obs,: Quando queremos que algo apareça pelo menos uma vez devemos calcular todas as possibilidades

(independentemente do número de vezes que esse “algo” apareça) e subtrair pelo número de vezes em que ele não aparece.

8. Quantos números de seis algarismos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca

ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes?

a) 144 b) 180 c) 240 d) 188 e) 360

9.O número de múltiplos de três, com quatro algarismos distintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9, é:

a) 24 b) 36 c) 48 d) 72 e) 96

10. Permutando-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6 e 7 e escrevem-se os números assim formados

em ordem crescente. Determine: a) que lugar ocupa o número 62417

b) que número ocupa o 66º lugar

11. Considere os algarismos do número 786415. Forme todos os números de 6 algarismos distintos e coloque-os em

ordem crescente. Qual a posição ocupada pelo número dado?

12. Realizadas todas as permutações simples com os algarismos 0, 3, 4, 6 e 7 e colocados os números assim obtidos em

ordem decrescente, qual a posição do número 46307?

ii) Comissões com Cargos Definidos

1. De um grupo de 10 pessoas, 5 são escolhidas pra comporem uma comissão que é formada por um presidente, um vice-presidente, um 1º secretário, um 2º secretário e um tesoureiro. Quantas comissões podem ser formadas?

2. Na convenção de um partido para lançamento da candidatura de uma chapa ao governo de certo estado havia 3

possíveis candidatos a governador, sendo dois homens e uma mulher, e 6 possíveis candidatos a vice-governador, sendo

quatro homens e duas mulheres. Ficou estabelecido que a chapa governador/vice-governador seria formada por duas

pessoas de sexos opostos. Sabendo que os nove candidatos são distintos, o número de maneiras possíveis de se formar a

chapa é:

a) 18 b) 12 c) 8 d) 6 e) 4

3. De um grupo de cinco executivos, selecionados pela diretoria de uma empresa para ocuparem os cargos de presidente

e vice-presidente, dois são irmãos. Considerando que a empresa não nomeia irmãos para ocuparem simultaneamente os cargos, de quantas maneiras distintas podem ser feitas as nomeações?

a) 18 b) 20 c) 22 d) 16

Obs.: Quando queremos que duas pessoas não estejam juntas devemos calcular todas as possibilidades e excluir aquelas

em que as duas estão juntas. Nesse caso, devemos calcular todas as possibilidades (independentemente das restrições

aplicadas aos irmãos) e subtrai pelo fato dos irmãos serem presidente e vice.

4. O conselho administrativo de um sindicato é constituído por doze pessoas, das quais uma é o presidente desse

conselho. A diretoria do sindicato tem quatro cargos a serem preenchidos por membros do conselho, sendo que o

presidente da diretoria e do conselho não devem ser a mesma pessoa. De quantas maneiras diferentes esta diretoria

poderá ser formada?

a) 40 b) 7.920 c) 10.890 d) 11! e) 12!

5. Sete pessoas, entre elas Bento e Paulo, estão reunidas para escolher, entre si, a diretoria de um clube formada por um

presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Determine o número de maneiras de compor a diretoria,

onde Paulo é vice-presidente e Bento não é presidente nem tesoureiro.


iii) Ocupação de Lugares Definidos

1. Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocadas, ficando 5

sentadas e 2 em pé?

2. Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. Determine o número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras.

3. Sete amigos vão ao cinema e ocupam uma fileira que possui sete cadeiras. Dentre eles, Ari, Bia e Cid fazem questão

de ocupar ou as posições extremas ou a posição central da fileira. Sendo N o número de formas diferentes de todos se

acomodarem, qual o valor de N:12?

4. De quantas maneiras podemos sentar 4 moças e 4 rapazes numa fila de 8 assentos, de modo que nunca haja nem dois

rapazes vizinhos nem duas moças sentadas uma ao lado da outra?

5. De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem

juntas?

Obs.: Quando queremos que duas pessoas não fiquem juntas, devemos calcular todas as possibilidades e excluir aquelas

em que elas estão juntas.

6. De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não fiquem

juntas e duas outras, Helena e Pedro, permaneçam juntas?

iv) Anagramas

1. Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”.

a) possíveis?

b) que começam e terminam por vogal?

c) que têm as vogais e as consoantes intercaladas?

d) que têm as letras c, a, p juntas nessa ordem?

e) que têm as letras c, a, p juntas em qualquer ordem?

f) que têm a letra p em primeiro lugar e a letra a em segundo?

g) que têm a letra p em primeiro lugar ou a letra a em segundo?

h) que têm a letra p em primeiro lugar ou a letra a em segundo ou a letra c em terceiro? i) nos quais a letra a é uma das letras à esquerda de p e a letra c é uma das letras à direita de p?

2. As permutações das letras da palavra “ALGUM” foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de

cinco letras em um dicionário. Determine a 85ª palavra nessa lista.

3. O número de anagramas da palavra vestibulando, que não apresentam as cinco vogais juntas, é:

a) 12! b) 8!.5! c) 12! – 8!·5! d) 12! – 8! e) 12! – 7!·5!

4. Quantos anagramas da palavra caderno apresentam as vogais em ordem alfabética?

a) 2.520 b) 5.040 c) 1.625 d) 840 e) 680

v) Comissões sem Cargos Definidos

1. De um grupo de 7 pessoas, quantas comissões contendo 4 pessoas podemos formar?

2. A diretoria de uma firma é constituída por 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões de 3 brasileiros e

3 japoneses podem ser formadas?

3. Uma organização não governamental de proteção ao meio ambiente possui em seu quadro 8 técnicos do sexo

feminino e 8 do sexo masculino. Para sua representação em um encontro internacional, esta organização deverá, com

seus técnicos, formar uma equipe de 5 pessoas, sendo 3 homens e 2 mulheres. O número de equipes que podem ser

formadas com esses técnicos é:

a) 18.806 b) 1.568 c) 936 d) 392 e) 84

4. De um pelotão com 10 soldados, quantas equipes de cinco soldados podem ser formadas se em cada equipe um

soldado é destacado como líder?


a) 1.260 b) 1.444 c) 1.520 d) 1.936.

Obs.: Como em cada equipe um soldado é destacado como líder, temos que em cada equipe podemos ter 5 líderes, isto

é, a equipe formada pelos soldados A, B, C, D e E com o A sendo o líder é uma, com o B sendo o líder é outra e assim

por diante.

5. Para a seleção argentina foram convocados dois goleiros, 6 zagueiros, 7 meios de campo e 4 atacantes. De quantos

modos é possível escalar a seleção com 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meios de campo e 2 atacantes?

6. Um time de futebol de salão deve ser escalado a partir de um conjunto de 10 jogadores, entre eles Rômulo e

Guilherme. De quantas formas isso pode ser feito, se Rômulo e Guilherme devem, necessariamente, ser escalados?

7. Você faz parte de um grupo de 12 pessoas, 5 das quais deverão ser selecionadas para formar um grupo de trabalho.

De quantos modos você poderá fazer parte do grupo a ser formado?

a) 182 b) 330 c) 462 d) 782 e) 7920

8. Dispomos de 10 produtos para montagem de cestas básicas. O número de cestas que podemos formar com 6 desses

produtos, de modo que um determinado produto seja sempre incluído, é

a) 252 b) 210 c) 126 d) 120 e) 24

9. Antônio e Bruno são membros atuantes do Grêmio Estudantil e estão se formando numa turma de 28 alunos. Uma

comissão de formatura, com 5 membros, deve ser formada para a organização dos festejos. Quantas comissões podem

ser formadas de modo que Antônio e Bruno sejam membros? a) 2600 b) 9828 c) 9288 d) 3276 e) 28

10. Um administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 10 empresas para a compra, entre elas as da empresa R

e as da empresa S.

a) De quantas maneiras ele poderá escolher 7 empresas, entre as 10?

b) Se entre as 7 empresas escolhidas devem figurar obrigatoriamente as empresas R e S, de quantas formas ele poderá

escolher as empresas?

11. De um grupo de 10 pessoas deseja-se formar uma comissão com 5 membros. De quantas formas isso pode ser feito,

se duas pessoas específicas ou fazem parte da comissão, ou não?

12. Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos?

13. A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo,

incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-

se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras

distintas se pode formar essa comissão?

a) 70 b) 35 c) 45 d) 55

14. Um químico possui 10 tipos de sustâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se,

entre as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?

Obs.: Novamente, quando queremos que duas “coisas” não fiquem juntas, devemos calcular todas as possibilidades e excluir aquelas em que essas “coisas” estão juntas.

15. De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4

mulheres?

16. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10

pessoas de modo que:

a) nenhum membro seja matemático?

b) todos os matemáticos participem da comissão?

c) haja exatamente um matemático na comissão?

d) pelo menos um membro da comissão seja matemático?

17. Numa escola, há 10 professores de Matemática e 15 de Português. Pretende-se formar, com esses professores, uma

comissão de sete membros.

a) Quantas comissões distintas podem ser formadas?


b) Quantas comissões distintas podem ser formadas com, pelo menos, um professor de Matemática?

c) Quantas comissões distintas podem ser formadas com, pelo menos, dois professores de Matemática e, pelo menos,

três professores de Português?

Obs.: Quando queremos que algo apareça pelo menos uma vez devemos calcular todas as possibilidades e excluir

aquelas em que esse “algo” não aparece.

18. Um cientista recebeu 5 cobaias para usar em seu estudo sobre uma nova vacina. Seus cálculos indicaram que o

número de maneiras possíveis de escolher pelo menos 3 cobaias é:

a) 10. b) 16. c) 50. d) 120. e) 60.

19. O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada

uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas

comissões distintas podem ser formadas nestas condições?

a) 792. b) 494. c) 369. d) 136. e) 108.

20. Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De

quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?

21. Deseja-se formar comissões de 5 pessoas de um grupo de 5 homens e 6 mulheres. Quantas comissões serão

formadas se, em cada uma, haverá, no máximo, uma mulher?

22. Na convenção de um partido para lançamento da candidatura de uma chapa ao governo de certo estado havia 3

possíveis candidatos a governador, sendo dois homens e uma mulher, e 6 possíveis candidatos a vice-governador, sendo

quatro homens e duas mulheres. Ficou estabelecido que a chapa governador/vice-governador seria formada por duas

pessoas de sexos opostos. Sabendo que os nove candidatos são distintos, o número de maneiras possíveis de se formar a

chapa é

a) 18. b) 12. c) 8. d) 6. e) 4.

Obs.: Devemos analisar o fato do governador ser homem e o vice mulher ou o governador ser mulher e o vice homem.

23. No saguão de um teatro, há um lustre com 10 lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como medida de economia

de energia elétrica, o gerente desse teatro estabeleceu que só deveriam ser acesas, simultaneamente, de 4 a 7 lâmpadas,

de acordo com a necessidade. Nessas condições, de quantos modos distintos podem ser acesas as lâmpadas desse lustre?

a) 664 b) 792 c) 852 d) 912 e) 1.044

24. Dos 30 candidatos ao preenchimento de 4 vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 são

fumantes e 7 são mulheres que não fumam. De quantos modos podem ser selecionados 2 homens e 2 mulheres entre os

não fumantes?

a) 140 b) 945 c) 2 380 d) 3 780 e) 57 120

25. Em uma reunião há 12 rapazes, 4 dos quais usam óculos, e 16 garotas, 6 das quais usam óculos. De quantos modos

possíveis podem ser formados casais para dançar se quem usa óculos só deve formar par com quem não os usa?

a) 192 b) 104 c) 96 d) 88 e) 76

vi) Figuras Geométricas

1. São dados 12 pontos num plano, 3 a 3 não colineares. O número de retas distintas determinadas por esses pontos é

a) 66 b) 78 c) 83 d) 95 e) 131

2. O número de segmentos de reta que podem ser traçados tendo como extremidades dois dos vértices de um polígono

de 7 lados é

a) 14 b) 21 c) 35 d) 42 e) 49

3. Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda.

Determine número total de cordas assim formadas.

4. Quinze garotas estão posicionadas numa quadra esportiva para uma apresentação de ginástica, de modo que não se encontram três em uma linha reta, com exceção das garotas que trazem uma letra estampada na camiseta e que estão

alinhadas formando a palavra AERÓBICA. Determine o número de retas determinadas pelas posições das quinze

garotas.


5. Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano

contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?

a) 210 b) 315 c) 410 d) 415 e) 521

6. Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre outra reta paralela a r. O número de triângulos que existem,

com vértices nesses pontos, é

a) 60 b) 286 c) 30 d) 40 e) 220

Obs.: Precisamos de três pontos pra formar um triângulo. Devemos sempre escolher 3 pontos quaisquer dentre todos

que temos e excluir o fato de escolher 3 pontos em cada uma das retas.

7. No interior de um terreno retangular, foram fincadas nove estacas, conforme indicado na figura. Pretende-se

demarcar nesse terreno lotes triangulares de modo que em cada vértice haja uma estaca. O número de lotes distintos que

é possível demarcar é:

a) 42 b) 76 c) 84 d) 98

8. Observe a figura.

Nessa figura, o número de triângulos que se obtém com vértices nos pontos D, E, F, G, H, I, J é

a) 20 b) 21 c) 25 d) 31 e) 35

9. Maria determinou o número de triângulos que pode se formar com os vértices de um polígono de 7 lados. Esse

número encontrado por Maria é

a) 7 b) 21 c) 28 d) 35 e) 70

10. São dados n pontos, dois a dois distintos entre si, 4 dos quais pertencem a uma reta r e os demais encontram-se sobre uma reta paralela a r. Se podem ser construídos 126 quadriláteros com vértices nesses pontos, então n é um

número

a) quadrado perfeito. b) primo. c) múltiplo de 7. d) menor que 10. e) maior que 15.

vii) Apertos de mão e Tabelas (grupos)

1. Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu

que havia terminado. Ao perguntar ao porteiro o número de ministros presentes, ele disse: "Ao saírem, todos os

ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão". Com base nessa informação, qual foi o

número de ministros presentes ao encontro?

2. Em certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na

saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem

com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma


comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita

acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

3. Numa recepção há 50 homens e 30 mulheres. O número de apertos de mão possíveis, sabendo-se que 70% das

mulheres não se cumprimentam entre si, é

a) 3160 b) 1435 c) 2950 d) 1261 e) 2725.

4. Em um campeonato de futebol, cada um dos 12 times disputantes joga contra todos os outros uma só vez. O número

total de jogos desse campeonato é :

a) 32 b) 36 c) 48 d) 60 e) 66.

5. Um torneio de xadrez no qual cada jogador joga com todos os outros tem 351 partidas. O número de jogadores

disputando é:

a) 22 b) 27 c) 26 d) 19 e) 23

6. O campeonato brasileiro tem, em sua primeira fase, 28 times que jogam todos entre si. Nesta primeira etapa, o

número de jogos é de:

a) 376 b) 378 c) 380 d) 388 e) 396

7. Uma liga esportiva elaborou um campeonato de futebol que será disputado em dois turnos. Em cada turno, cada clube

jogará exatamente uma partida contra cada um dos outros participantes. Sabendo que o total de partidas será de 306, o número de clubes que participarão do campeonato é igual a:

a) 34 b) 18 c) 17 d) 12 e) 9

8. Um programa de TV organizou um concurso e, na sua fase final, promoveu o confronto entre os finalistas, de modo

que cada um deles se confrontava com cada um dos outros uma única vez. Se foram gravados 28 confrontos, é correto

afirmar que o número de finalistas foi:

a) 2 b) 4 c) 7 d) 8 e) 14

9. Nove times de futebol vão ser divididos em 3 chaves, todas com o mesmo número de times, para a disputa da

primeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça de chave definido. Nessas condições, o número de

maneiras possíveis e diferentes de se completarem as chaves é:

a) 21 b) 30 c) 60 d) 90 e) 120

10. Um campeonato de futebol foi disputado por 10 equipes em um único turno, de modo que cada time enfrentou cada

um dos outros apenas uma vez. O vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha ponto algum; em

caso de empate, cada equipe ganha 1 ponto. Ao final do campeonato, tivemos a seguinte pontuação:

Equipe 1 - 20 pontos



Equipe 4 - 9 pontos



Equipe 7 - 9 pontos Equipe 8 - 13 pontos

Equipe 9 - 4 pontos


Determine quantos jogos desse campeonato terminaram empatados

viii) Caminhos Diferentes

1. Em um tabuleiro quadrado, de 5 x 5, mostrado na figura I, deseja-se ir do quadrado esquerdo superior (ES) ao

quadrado direito inferior (DI). Somente são permitidos os movimentos horizontal (H), vertical (V) e diagonal (D),

conforme ilustrado na figura II.


Com base nessa situação e com o auxílio dos princípios de análise combinatória, julgue os itens que se seguem.

(0) Se forem utilizados somente movimentos horizontais e verticais, então o número de percursos possíveis será igual a 70.

(1) Se forem utilizados movimentos horizontais e verticais e apenas um movimento diagonal, o número de percursos

possíveis será igual a 140.

(2) Utilizando movimentos horizontais, verticais e três movimentos diagonais, o número de percursos possíveis é igual

a 10.

2. É dado um tabuleiro quadrado de 4 × 4. Deseja-se atingir o quadrado inferior direito a partir do quadrado superior

esquerdo. Os movimentos permitidos são os representados pelas setas abaixo.

De quantas maneiras isso é possível?

3. Na figura abaixo, está representada parte da planta de um bairro. Marina deve caminhar de sua casa ao shopping,

onde pretende ir ao cinema, por um dos caminhos mais curtos. Quantos são os possíveis caminhos para Marina ir:

a) de casa ao shopping?

b) de casa ao shopping, passando antes na casa de sua amiga Renata?

ix) Técnica dos (–) e ( | )

1. De quantos modos podemos colocar em fila 5 sinais de (–) e 7 sinais de ( | )?

2. De quantos modos podemos colocar em fila 5 sinais de (–) e 7 sinais de ( | ), de modo que não haja dois sinais (–) juntos?

3. Uma fila tem 20 cadeiras, nas quais devem sentar-se 8 meninas e 12 meninos. De quantos modos isso pode ser feito

se 2 meninas não devem ficar em cadeiras contíguas?

4. Quantos são os anagramas da palavra MISSISSIPPI nos quais não possuem 2 letras I juntas?


5. Quantos são os anagramas da palavra PERSISTÊNCIA nos quais não possuem 2 das letras A, S, R e T juntas?

x) Problemas de Numeração

1. De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30, de modo que sua soma seja par?

Justifique sua resposta.

2. De quantas maneiras se pode escolher 3 números distintos do conjunto A = {1, 2, 3, ..., 50} de modo que sua soma

seja um múltiplo de 3}

3. Escolhemos cinco números, sem repetição, dentre os inteiros de 1 a 20. Calcule quantas escolhas distintas podem ser feitas, sabendo que ao menos dois dos cinco números selecionados devem deixar um mesmo resto quando divididos por

5.

4. Três números inteiros distintos de -20 a 20 foram escolhidos de forma que seu produto seja um número negativo. O

número de maneiras diferentes de se fazer essa escolha é

a) 4.940 b) 4.250 c) 3.820 d) 3.640 e) 3.280.

xi) Ordenação

1. De quantas formas podemos alinhar em ordem crescente de altura 4 pessoas de um grupo de 9 pessoas, sabendo que

todas elas têm estaturas diferentes?

2. Considere nove barras de metal que medem, respectivamente: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 metros. Quantas combinações

de cinco barras, ordenadas em ordem crescente de comprimento, podem ser feitas de tal forma que a barra de 5 metros

ocupe sempre a quarta posição?

a) 32 b) 16 c) 20 d) 18 e) 120

3. Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por dez estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas

dos estudantes, em ordem crescente, serão designadas por h1, h2‚ h3, ..., h10 (h1<h2‚<...<h9<h10). O professor vai

escolher cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão alinhados, em ordem

crescente de suas alturas. Dos C10,2 = 252 grupos que podem ser escolhidos, em quantos, o estudante, cuja altura é h7,

ocupará a posição central durante a demonstração?

a) 7 b) 10 c) 21 d) 45 e) 60

xii) Linha de Pascal

1. A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos em

forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada por

O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é a) 12 b) 31 c) 36 d) 63 e) 720

2. Uma sala tem 10 portas. Calcule o número de maneiras diferentes que essa sala pode ser aberta.

a) 10! /5! b) 500 c) 10 d) 10! e) 210 – 1

3. O código de barras, contido na maior parte dos produtos, industrializados, consiste num conjunto de várias barras que

podem estar preenchidas com cor escura ou não. Determine a quantidade de códigos que podemos formar com 7 barras

sabendo que não podemos ter todas as barras da mesma cor.

4. Um químico possui 9 essências diferentes que ele mistura pra formar perfumes de fragrâncias diferentes. Quantos

perfumes diferentes ele pode fazer, sabendo que ele usa pelo menos 2 dessas fragrâncias?

xiii) Permutações Circulares


1. De quantas maneiras 7 pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular, sendo que duas determinadas

pessoas não devem estar juntas?

2. De quantas maneiras 8 meninos e 8 meninas podem formar uma roda para brincar sem que pessoas do mesmo sexo

fiquem juntas?

3. Qual seria a resposta do exercício anterior se todas as meninas ficassem juntas?

4. De quantas maneiras 8 casais podem sentar-se em uma roda gigante de 8 bancos de dois lugares cada um, com cada

casal em um banco?

5. De quantos modos 12 crianças podem ocupar os 6 bancos de dois lugares em uma roda gigante?

6. Um cubo deve der pintado, cada face de uma cor, utilizando-se exatamente 5 cores sendo que as únicas faces de

mesma cor devem ser opostas. De quantas maneiras isso pode ser feito?

7. Se 4 meninos e quatro meninas vão brincar de roda, de quantas maneiras poderão dar as mãos, com a condição de que

pelo menos duas meninas estejam juntas?

Gabarito

i) Formação de Números 1. 2520; 1080

2. 50

3. 48

4. e

5. d

6. a

7. 3168

8. a

9. d

10.a) 81º

b) 46721

11. 597º 12. 58º

ii) Comissões com Cargos Definidos

1. 30240

2. c

3. a

4. c

5. 80

iii) Ocupação de Lugares Definidos

1. 2520 2. 1680

3. 12

4. 1152

iv) Anagramas

1.a) 8!

b) 12.6!

c) 1152

d) 720

e) 4320

f) 720

g) 9360 h) 13080

i)6720

2. MLAGU

3. c 4. d

v) Comissões sem Cargos Definidos

1. 35

2. 140

3. b

4. a

5. 6300

6. 56

7. b

8. c

9. d 10. a) 120

b) 56

11. 112

12. 98

13. d

14. 140

15. 371

16. a) C15, 10

b) C15, 5

c) 5. C15, 9

d) C20, 10 – C15, 10 17. a) 480.700

b) 474.265

c) 394.485

18. b

19. d

20. 125

21. 31

22. c

23. b

24. b

25. d

vi) Figuras Geométricas

1. a

2. b


3. 28

4.78

5. a

6. e

7. b

8. d

9. d

10. b

vii) Apertos de mão e Tabelas (grupos)

1. 6 2. b

3. c

4. e

5. b

6. b

7. b

8. d

9. d

10. 17

viii) Caminhos Diferentes 1. V, V, F

2. 63 maneiras

3. a) 642

b) 210

ix) Técnica dos (–) e ( | )

1. 792

2. 56

3. 8!.12!.C13, 8

4. 7350

5. 105.8!

x) Problemas de Numeração

1. 2030

2. 6544

3. 14480

4. a

xi) Ordenação

1. 126

2. b

3. d

xii) Linha de Pascal

1. d

2. e

3. 126

4. 502

xiii) Permutações Circulares

1. 480

2. 7!.8!

3. (8!)2

4. 7!.28

5. 12!/6 6. 5.3!

7. 7! – 3!.4!


Módulo 8 – Combinações Completas

Atenção: Verifique, corretamente, se o concurso que você deseja fazer cobra esse assunto. Geralmente, ele

não é cobrado. Verifique!

De quantos modos podemos comprar 3 doces em uma padaria que tem 4 tipos de doces diferentes?

A solução para esse problema não é C4,3. Seria, se ele afirmasse que deveríamos escolher 3 doces DIFERENTES sabendo que temos a nossa disposição 4 tipos diferentes. Nesse caso, de 4 elementos diferentes,

deveríamos escolher 3 desse elementos (sem que a ordem a ordem de escolha importe) e isso pode ser feito de C4,3.

A resposta para esse caso é CR4,3, isto é, de 4 tipos de doces diferentes queremos escolher 3 tipos de doces não,

necessariamente, distintos.

Suponha que temos a nossa disposição 4 tipos de doces. A saber: Brigadeiro (B), cajuzinho (C), josefina (J) e

sonho (S). Podemos escolher 3 tipos da seguinte forma:

B B B B B C C C B J J B S S B B C J

C C C B B J C C J J J C S S C B C S

J J J B B S C C S J J S S S J B J S

S S S C J S

Essas são as CR4,3 = 20 combinações completas possíveis para esse caso. Podemos pensar nesse problema da seguinte forma:

Seja a equação B + C + J + S = 3, com B, C, J, S naturais. Podemos interpretar que cada solução para essa

equação linear representa uma possível forma de escolhermos os 3 doces. Por exemplo, a solução (1, 0, 0, 2) significa

que desses 4 doces que temos a disposição queremos comprar 1 doce B e 2 doces S (é o caso B B S, descrito acima).

Agora, resta sabermos como determinamos o total de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear da forma

x1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn = p, com xi natural, sendo i natural, 1 ≤ i ≤ n.

OBSERVAÇÃO:

Cn,p é o total de possibilidades de escolhermos p elementos DISTINTOS de um total de n elementos distintos

dados.

CRn,p é o total de possibilidades de escolhermos p elementos DISTINTOS OU NÃO DISTINTOS de um total de n

elementos distintos dados ou CRn,p é o número de soluções da equação linear da forma x1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn = p em inteiros não negativos.

Agora, vamos resolver a equação B + C + J + S = 3 em inteiros não negativos. Observe o esquema a seguir:

B + C + J + S = 3

| + | + + | (isso significa a solução B = 1, C = 1, J = 0 e S = 1)

+ | | + | | + (isso significa a solução B = 0, C = 2, J = 2 e S = 0)

Para cada mudança de posição desses 6 símbolos, sendo 3 sinais ( | ) e 3 sinais ( + ) temos uma e somente uma

nova solução para essa equação. Resta-nos, agora, determinarmos de quantos modos podemos TROCAR DE LUGAR

esses 6 símbolos, ou seja, devemos PERMTUAR esse 6 símbolos, sendo que um deles aparece repetido 3 vezes e o outro também 3 vezes. Logo, o total de permutações é P6 3,3 = C6,3 = CR4,3 = 6!/3!.3! = 20. Portanto, essa equação tem

20 soluções nos inteiros não negativos.

Agora, analisaremos o total de soluções naturais da equação x1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn = p. Nesse caso,

teríamos p sinais ( | ) e n – 1 sinais ( + ). Logo, o total de soluções naturais dessa equação seria a permutação de p + n –

1 símbolos sendo que um deles aparece repetido p vezes e o outro n – 1 vezes, ou seja, o total de soluções é dado por:

P p + n – 1 p, n – 1 = (p + n – 1)!/p!.(n – 1)! = Cp + n – 1, p = CRn, p

ATENÇÃO: Procure sempre usar o raciocínio das equações lineares para solucionar um problema de combinações

completas. Nos exercícios, termos exemplos em que poderemos limitar algumas (ou até mesmo todas) das incógnitas da

equação inferiormente ou superiormente.

Análise combinatória

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