amostragem

Probabilidade e estatística: amostragem

1. INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA1.1. Introdução

A palavra estatística lembra, à maioria das pessoas, recenseamentos. Os censos existem há milhares de anos e constituem um esforço imenso e caro feito pelos governos com o objetivo de conhecer seus habitantes, sua condição sócio-econômica, sua cultura, religião, etc. Portanto, associar-se estatística a censo é perfeitamente correto do ponto de vista histórico, sendo interessante salientar que as palavras estatística e estado têm a mesma origem latina: status.

A estatística é também comumente associada às pesquisas de opinião pública, aos vários índices governamentais, aos gráficos e médias publicadas diariamente na imprensa. Na realidade, entretanto, a estatística engloba muitos outros aspectos, sendo fundamental na análise de dados provenientes de quaisquer processos onde exista variabilidade.

1.2. Importância da EstatísticaO mundo está repleto de problemas. Para resolvermos a maioria deles necessitamos de informações.

Mas, que tipo de informações? Quantas? E após obtê-las, que fazer com essas informações? A Estatística lida com essas informações, associando os dados ao problema, descobrindo como e o que coletar e obter conclusões a partir de todas essas informações de tal forma que possam ser entendidas por outras pessoas.

A estatística é uma metodologia utilizada para agrupar dados de um fenômeno, analisá-los, interpretá-los e, a partir daí, tomar decisões.

Esse importante ramo da Matemática tem aplicações nos mais variados campos de atuação.O sociólogo necessita conhecer as populações, sua distribuição por sexo, idade, profissão, etc.A meteorologia usa a Estatística para fazer previsões do tempo. Ao agricultor, ela serve para orientá-lo

com maior segurança sobre safras, valores de produção, etc.Na Biologia, então, a Estatística tem inúmeras aplicações. Por exemplo, nos trabalhos efetuados por

Johann Gregor Mendel (1822 - 1884) que são as bases das leis da herança.O geógrafo utiliza a Estatística para obter informações relacionadas às densidades de população, aos

climas, às correntes marítimas, etc.Na indústria, a Estatística é usada para comparar produções, volume de vendas, estudar situações de

mercado e suas tendências.Atualmente, um grande número de empresas utiliza o controle estatístico no processo de produção.

Trata-se de uma importante ferramenta de trabalho, que garante informações seguras e possibilita inúmeros benefícios, como a redução de desperdícios e a identificação de problemas, por exemplo.

1.3. EstatísticaA Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização,

descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.Podemos dizer que a Estatística se divide em dois grupos, são eles:

Estatística Descritiva – esta tem por objetivo a coleta, a organização e a descrição dos dados. Estatística Indutiva ou Inferencial – esta destina-se à análise e à interpretação dos dados.

1.4. VariáveisA cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Assim, por exemplo:

para o fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: sexo masculino e sexo feminino; para o fenômeno “número de filhos” há um número de resultados possíveis expresso através dos

números naturais: 0, 1, 2, 3,..., n; para o fenômeno “estatura” temos uma situação diferente, pois os resultados podem tomar um número

infinito de valores numéricos dentro de um determinado intervalo.

1


Variável é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Os exemplos acima nos dizem que uma variável pode ser:

a. qualitativa – quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino - feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda) etc.;

b. quantitativa – quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade dos alunos de uma escola etc.). Uma variável quantitativa que pode assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites recebe o nome de variável contínua; uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável recebe o nome de variável discreta.Assim, o número de alunos de uma escola pode assumir qualquer um dos valores do conjunto N

(números naturais), mas nunca valores como 2,5 ou 3,78 ou 4,325 etc. Logo, é uma variável discreta. Já o peso desses alunos é uma variável contínua, pois um dos alunos tanto pode pesar 72 kg, como 72,5 kg, como 72,54 kg etc., dependendo esse valor da precisão da medida.

De modo geral, as medições dão origem a variáveis contínuas e as contagens ou enumerações, a variáveis discretas.

1.5. População e AmostraAo conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum denominamos população

estatística ou universo estatístico.Exemplo: Conjunto formado pelos eleitores de uma cidade.

Se todos podem ser pesquisados, realizamos o que chamamos de CENSO.Se a população é um conjunto formado por muitos elementos, torna-se inviável analisá-la por inteiro,

quer seja fator tempo ou pelo custo.Nesse caso, devemos trabalhar com uma parte da população, denominada amostra. Por exemplo, para conhecer algumas características do nosso sangue, não é preciso tirar todo o sangue

do corpo, mas apenas uma amostra.É fundamental que as amostras sejam representativas, pois as conclusões dessas amostras serão também

da população (Inferência Estatística).Para a seleção de uma amostra há técnicas denominadas amostragem. Mediante uma destas técnicas é possível garantir o acaso na escolha e assegurar à amostra a

representatividade da população.1.6. Etapas da Análise Estatística

1.7. Subdivisões da Estatística2


AMOSTRAGEM: técnicas para obter uma amostra representativa, suficiente e que possa ser generalizada para a população. ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS: técnicas para resumir, organizar e interpretar os dados, de uma amostra ou da população, para obter informações. PROBABILIDADE: técnicas que permitem calcular a confiabilidade das conclusões de Inferência Estatística. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA: técnicas para generalizar estatisticamente os resultados de uma amostra para a população.

1.8. AmostragemQuando o tamanho da amostra é grande em relação ao tamanho da população, ou quando se exige o

resultado exato, ou quando já se dispõe dos dados da população, é recomendado realizar um censo, que considera todos os elementos da população, ou seja, dispensa-se o uso da amostragem.

Para realizar um estudo por amostragem, a amostra deve ser representativa da população estudada. Para isso, existem técnicas adequadas para cada tipo de situação.

Veremos a seguir as principais técnicas de amostragem, divididas em probabilísticas e não probabilísticas:

1.8.1.Técnicas Probabilísticas (aleatórias)As técnicas probabilísticas garantem a possibilidade de realizar afirmações sobre a população com base

nas amostras. Normalmente, todos os elementos da população possuem a mesma probabilidade de serem selecionados. Assim, considerando N como o tamanho da população, a probabilidade de cada elemento ser selecionado será 1/N. Estas técnicas garantem o acaso na escolha.

São técnicas probabilísticas:

1.8.1.1. Amostragem Aleatória Simples É o processo mais elementar e frequentemente utilizado. Pode ser realizado numerando-se os elementos

da população de 1 a n e sorteando-se, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, X números dessa sequência, que corresponderão aos elementos pertencente à amostra.

Exemplo Obter uma amostra representativa, de 10%, de uma população de 200 alunos de uma escola.

Nesta técnica de amostragem, todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de serem selecionados: 1/N, onde N é o número de elementos da população.

Quando o número de elementos da amostra é grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. A fim de facilitá-lo, foi elaborada uma tabela - Tabela de Números Aleatórios (TNA) -, construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas (Anexo), neste caso, também podemos utilizar a função ALEATÓRIO do Excel.

Resolver o exemplo anterior usando a TNA, considerando à partir da 5ª linha, da esquerda para a direita, de cima para baixo, tomando números de três algarismos, evidentemente, os números maiores que 200 e os que já tenham aparecido, serão desprezados.

1.8.1.2. Amostragem Estratificada (ou Proporcional Estratificada)

1º) Numerar os alunos de 1 a 200; 2º) Escrever os números de 1 a 200 em pedaços de papel e colocá-los em uma urna; 3º) Retirar 20 pedaços de papel, um a um, da urna, formando a amostra da população.

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Quando a população possui características que permitem a criação de subconjuntos, as amostras extraídas por amostragem simples são menos representativas. Nesse caso, é utilizada a amostragem estratificada.

Como a população se divide em subconjuntos, convém que o sorteio dos elementos leve em consideração tais divisões, para que os elementos da amostra sejam proporcionais ao número de elementos desses subconjuntos. Observe a figura abaixo:

Exemplo Em uma população de 200 alunos, há 120 meninos e 80 meninas. Extraia uma amostra representativa,

de 10%, dessa população. Nesse exemplo, há uma variável que permite identificar 2 subconjuntos, a variável sexo. Considerando

essa divisão, vamos extrair a amostra da população.

SEXO POPULAÇÃO AMOSTRA (10%)

Masculino 120

Feminino 80

Total

Portanto, a amostra deve conter 12 alunos do sexo masculino e 8 do sexo feminino, totalizando 20 alunos, que correspondem a 10% da população.

Para selecionar os elementos da população para formar a amostra, podemos executar os seguintes passos:

1º) numerar os alunos de 1 a 200, sendo os meninos numerados de 1 a 120 e as meninas, de 121 a 200; 2º) escrever os números de 1 a 120 em pedaços de papel e colocá-los em uma urna A; 3º) escrever os números de 121 a 200 em pedaços de papel e colocá-los em uma urna B; 4º) retirar 12 pedaços de papel, um a um, da urna A, e 8 da urna B, formando a amostra da população.

Obter uma amostra proporcional estratificada, utilizando a TNA à partir da 8ª linha da esquerda para a direita e de cima para baixo.

São exemplos desta técnica de amostragem as pesquisas eleitorais por região, cidades pequenas e grandes, área urbana e área rural, sexo, faixa etária, faixa de renda, etc.

1.8.1.3. Amostragem Sistemática Esta técnica de amostragem em populações que possuem os elementos ordenados, em que não há

necessidade de construir um sistema de referência. Nesta técnica, a seleção dos elementos que comporão a amostra pode ser feita por um sistema criado pelo pesquisador, ou seja, escolhe-se cada elemento de ordem k.

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Exemplo Obter uma amostra de 80 casas em uma rua que contém 2000 casas. Nesta técnica de amostragem,

podemos realizar o seguinte procedimento: 1º) Como 2000 dividido por 80 é igual a 25, escolhemos, por um método aleatório qualquer, um número

de 1 e 25, que indica o primeiro elemento selecionado para a amostra. 2º) Consideramos os demais elementos, periodicamente, de 25 em 25, até o fim da rua. Se o número sorteado entre 1 e 25 for o número 8, a amostra será formada pelas casas: 8ª, 33ª, 58ª, 83ª,

108ª, etc.

1.8.2.Técnicas Não-Probabilísticas (não aleatórias) São técnicas em que há uma escolha deliberada dos elementos da população, que não permite

generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as amostras não garantem a representatividade desta.

São técnicas não-probabilísticas:

1.8.2.1. Amostragem de ConveniênciaOs elementos são escolhidos por conveniência ou por facilidade. Um exemplo deste tipo de amostragem

é o caso em que os espectadores de um determinado programa são convidados a responder a um questionário. As amostras obtidas desta forma não são representativas da população.

1.8.2.2. Amostragem Acidental Trata-se da formação de amostras por aqueles elementos que vão aparecendo. Este método é utilizado,

geralmente, em pesquisas de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos.

Exemplos Pesquisas de opinião em praças públicas e ruas movimentadas de grandes cidades.

1.8.2.3. Amostragem Intencional De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que

comporão a amostra. O pesquisador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber a opinião.

Exemplos - Em uma pesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador entrevista as

frequentadoras de um grande salão de beleza. - Escolha de localidades "representativas" em tempo de eleições.

EXERCÍCIOS

1. Considere um grupo de trabalho, formado por vinte acadêmicos da disciplina de Estatística, da Alfa, formado pelos alunos (1) Adilson, (2) Adriana, (3) Alexandre, (4) Alisson, (5) Edenilson, (6) Éder, (7) Edson, (8) Flávio, (9) Francieli, (10) Gisele, (11) José, (12) Juliano, (13) Maria, (14) Marisa,

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(15) Patrícia, (16) Pedro, (17) Raquel, (18) Renata, (19) Silvano e (20) Wagner. Obtenha uma amostra de 25% da população, utilizando:

a) amostragem aleatória simples (utilizar a TNA, iniciar na 2ª linha da esquerda para a direita).b) amostragem estratificada (sexo).

2. Em um Centro Universitário existem 250 alunos em determinado curso superior, sendo:

50 alunos no 1º período32 alunos no 2º período30 alunos no 3º período28 alunos no 4º período35 alunos no 5º período27 alunos no 6º período26 alunos no 7º período22 alunos no 8º período

Obtenha uma amostra de 40 alunos, preencha o quadro seguinte.

PERÍODOS POPULAÇÃOCÁLCULO

PROPORCIONALAMOSTRA

1º 50

2 º... ... ...

3 º... ... ...

4 º28 ... ...

5 º... ... 6

6 º... ... ...

7 º... ... ...

8 º... ... ...

TOTAL 250 - 40

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Probabilidade e Estatística: Amostragem

3. Dada uma população de 4 pessoas, Antônio (A), Carlos (C), Luís (L) e Pedro (P), quantas amostras aleatórias simples de tamanho 2 podem ser obtidas? Quais são essas amostras?

4. Uma população encontra-se dividida em três estratos, com tamanhos, respectivamente, n1 = 40, n2 = 100 e n3 = 60. Sabendo que, ao ser realizada uma amostragem proporcional estratificada, nove elementos da amostra foram retirados do 3o estrato, determine o número de elementos de cada estrato que comporá a amostra e o número total de elementos da amostra.

ESTRATOS TAMANHO PERCENTUALCÁLCULO

PROPORCIONALAMOSTRA

5. Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às suas escolas de ensino fundamental.

ESCOLAS

Nº DE ESTUDANTES

MASC.CÁLCULO

PROPORCIONALAMOSTRA FEM.

CÁLCULOPROPORCIONAL

AMOSTRA

A 80 95

B 102 120

C 110 92

D 134 228

E 150 130

F 300 290

TOTAL 876 955

Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes.

6. Uma empresa tem 3.414 empregados repartidos nos seguintes departamentos:

DEP. Nº DE EMP.CÁLCULO

PROPORCIONALAMOSTRA

Administração 914

Transporte 348

Produção 1401

Outros 751

Total

7

Probabilidade e Estatística: AmostragemDeseja-se extrair uma amostra entre os empregados para verificar o grau de satisfação em relação à qualidade

da comida servida no refeitório. Diga como a amostragem seria realizada considerando uma amostra de 20 % da população.

7. Para cada uma das seguintes situações diga qual o tipo de amostragem utilizada.a) Em uma IES, certo Conselho Universitário deseja conhecer a opinião dos alunos e professores sobre uma

resolução a ser votada, que estabelece horários fixos para o atendimento de alunos pelos professores. Para compor a amostra foram sorteados aleatoriamente 10% dos alunos matriculados e 10% dos professores. Amostragem _______________________.

b) Um treinador de uma confederação esportiva deseja dividir 20 times em dois grupos. Para o primeiro grupo ele seleciona aleatoriamente 10 times, e considera os 10 restantes para o segundo grupo. Amostragem __________________________.

c) Uma lista numerada contém 1000 nomes, numerados consecutivamente a partir de 1. Iniciando-se do 15º nome, uma amostra foi composta considerando sorteados os nomes referentes aos números 25, 35, 45, 55 e assim sucessivamente até que fossem escolhidos 100 nomes. Amostragem __________________________.

8. Complete:a) Na amostragem _______________ cada elemento da população tem a mesma chance de ser incluído na

amostra.b) Na amostragem ___________________a seleção dos itens da população que farão parte da amostra são

escolhidos seguindo uma sequência fixa, isto é, são escolhidos os itens r, r + k, r + 2k, r + 3k, e assim por diante.

c) A amostragem __________________pressupõe a divisão da população em subgrupos de itens similares, procedendo-se então a amostragem em cada subgrupo.

9. Um grupo industrial deseja determinar a reação do público à rotulagem dos produtos. Numa parte da cidade, há 40 quarteirões, com 10 casas por quarteirão. Suponha que se queira selecionar aleatoriamente 10 casas. Como proceder?

10. Os empregados de uma firma têm etiquetas de identificação numeradas consecutivamente de 101 a 873. Deve-se escolher um comitê de segurança de 10 pessoas, selecionadas aleatoriamente. Como fazer a seleção do comitê, utilizando:

a) amostragem aleatória simples (utilizar à partir da 10ª coluna da TNA de cima para baixo);b) amostragem sistemática.

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Probabilidade e Estatística: Amostragem

ANEXO

TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS (T.N.A.)

L/C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13

14 15

16 17

18 19

20 21

22 23

24 25

1 5 7 7 2 0 0 3 9 8 4 8 4 4 1 7 9 6 7 7 1 4 0 2 1 1

2 2 8 8 0 5 3 5 1 5 9 0 9 9 3 9 8 8 7 5 8 7 0 2 7 7

3 9 2 5 9 1 8 5 2 8 7 3 0 4 8 8 6 9 7 4 8 3 5 2 5 1

4 9 0 3 8 1 2 9 1 7 4 3 0 1 9 7 5 8 9 0 7 5 0 6 4 1

5 8 0 9 1 1 6 9 4 6 7 5 8 6 0 8 2 0 6 6 6 9 0 4 7 5

6 2 2 0 1 7 0 3 1 3 2 9 6 9 1 9 2 7 5 4 0 1 6 5 4 2

7 5 6 2 4 1 0 0 4 3 0 2 0 4 6 2 9 9 0 5 3 5 3 1 1 0

8 7 9 4 4 9 2 6 2 0 2 9 6 8 6 6 4 3 0 0 0 9 4 5 6 6

9 5 3 9 9 6 6 4 5 0 8 8 9 7 8 5 0 7 7 5 3 3 7 2 5 7

10 1 8 9 2 8 7 3 5 8 8 5 5 0 5 2 1 3 6 5 1 3 9 2 8 5

11 5 3 0 8 5 8 9 6 6 3 0 5 6 1 2 5 7 0 2 2 5 0 4 1 2

12 0 3 5 8 8 0 2 9 2 8 7 6 8 9 5 1 1 8 2 4 8 8 8 9 4

13 2 7 0 7 8 1 8 8 6 5 6 9 4 9 9 8 0 0 2 8 0 4 7 0 5

14 0 5 2 1 0 8 5 9 0 1 0 6 2 2 2 4 9 8 9 1 8 1 1 7 5

15 4 0 3 6 1 3 2 7 8 4 3 0 8 2 3 3 3 6 3 9 6 9 4 2 0

16 5 4 6 0 2 5 2 8 8 5 8 8 2 0 0 0 1 0 5 9 6 1 0 5 3

17 7 1 5 1 6 3 4 0 7 6 7 1 1 1 7 3 7 3 5 2 3 7 3 1 6

18 6 1 0 2 0 1 8 1 7 3 9 2 6 0 6 6 7 3 5 8 5 3 3 4 4

19 8 2 5 5 9 3 1 3 4 6 3 0 9 5 2 6 5 5 0 6 9 6 1 7 6

20 8 9 9 8 5 4 1 4 2 1 7 4 1 3 5 7 6 8 1 9 8 6 2 8 6

21 0 0 9 9 8 4 8 4 1 4 6 7 9 5 1 3 7 7 5 8 9 0 1 4 5

22 6 2 4 1 5 0 7 8 2 0 4 8 0 5 8 8 4 3 5 2 9 8 0 3 1

23 9 4 2 7 9 0 6 9 2 4 6 8 0 9 9 2 1 1 8 6 0 7 6 3 8

24 4 4 8 9 2 9 2 8 8 4 3 6 2 8 2 5 1 5 8 2 8 7 7 4 1

25 9 7 3 0 7 6 9 5 3 3 2 1 1 0 5 4 2 6 9 5 6 6 6 5 5

26 3 9 1 6 5 8 0 4 4 4 8 0 1 5 5 9 5 9 8 3 9 0 9 5 5

27 6 0 7 8 1 1 0 3 2 6 6 7 5 0 3 4 0 9 6 1 3 1 3 0 2

28 0 3 1 9 2 3 4 7 6 2 8 9 5 7 7 7 9 1 3 3 8 8 4 7 6

29 4 1 2 8 5 2 6 7 5 6 2 5 3 9 5 9 9 6 6 5 5 1 3 6 9

30 7 7 5 4 9 8 5 0 3 9 2 5 3 7 4 2 5 2 9 7 1 0 0 3 5

31 2 8 6 3 4 1 6 1 9 1 6 4 2 4 8 3 8 1 3 7 3 4 4 8 8

32 7 4 2 4 4 8 8 5 4 0 1 2 3 3 5 9 6 7 5 0 1 4 9 8 1

33 0 0 2 4 0 3 3 7 9 6 4 6 6 8 7 5 0 5 3 2 4 2 1 6 6

34 0 5 4 1 4 7 6 9 6 9 4 5 3 6 1 6 7 1 1 8 9 5 5 1 9

35 6 2 6 9 8 4 9 7 9 7 4 7 2 3 6 6 5 1 5 6 1 3 0 8 6

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