AMORTIZACAO

PEDRO NORBERTO

AMORTIZAÇÃO

Amortizar significa pagar em parcelas.

Como o pagamento do saldo devedor principal é feito de forma parcelada durante um prazo estabelecido, cada parcela, chamada PRESTAÇÃO, será formada por duas partes: uma é o valor dos JUROS incidentes sobre o saldo devedor; outra é o valor da AMORTIZAÇÃO do principal da dívida. Esta garantirá que o saldo devedor, após o pagamento de cada prestação, seja sempre menor, até a sua extinção.

PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO

São diversos os sistemas de amortização, podendo ir desde métodos padronizados, com uso constante no mercado, até métodos concebidos pelas partes, quando da formação da dívida. Nos limitaremos ao estudo de dois deles, o SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (SAF – tabela PRICE) e o SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC).

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE)

O sistema de amortização francês é caracterizado por apresentar prestações periódicas e de mesmo valor.

O cálculo do valor fixo das prestações, com pagamento sem entrada, ou seja, sendo a primeira prestação paga ao final do período ao qual foi contratado o empréstimo (pagamentos postecipados), pode ser realizado multiplicando-se o valor do saldo devedor principal pelo fator localizado na tabela PRICE, verificado para a taxa i de juros e a quantidade n de prestações.

Este fator pode ser calculado pela expressão

(1+ i)n⋅i(1+i)n−1 .

Desta forma, representando o valor das prestações por R e o principal da dívida por P, temos:

R=P⋅(1+i )n⋅i

(1+i)n−1

Esta relação pode ser resumida fazendo-se

(1+ i)n⋅i(1+i)n−1

= 1an̄|i , sendo a notação

1an̄|i suficiente para indicar a tabela

Price. Passamos a ter:

R=P× 1an̄|i

Obs.: Podemos usar PV (valor presente) para representar o valor principal da dívida, em substituição a P, e PMT para representar o valor das prestação, em substituição a R.

EXEMPLOS RESOLVIDOS:

1) Um empréstimo de R$ 1.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Francês em 4 prestações mensais, sem entrada. Se a taxa de juros for de 10% ao mês, calcular o valor das prestações e construir a planilha de amortização.Resolução: P = PV= R$ 1.000i = 10% a. m. n = 4R = PMT = ?Cálculo do valor das prestações:

R=P⋅ 1an̄|i

R=1.000⋅ 1a 4̄|10% Consultando a tabela Price para n = 4 e i = 10%, encontramos:

MATEMÁTICA FINANCEIRA 19

PEDRO NORBERTO

1an̄|i

n i

8% 9% 10% 11%

2 0,56077 0,56847 0,57619 0,58393

3 0,38803 0,39505 0,40211 0,40921

4 0,30192 0,30867 0,31547 0,32233

5 0,25046 0,25709 0,26380 0,27057

6 0,21632 0,22292 0,22961 0,23638

R = 1.000 0,31547R = PMT = R$ 315,47

Para a construção da planilha de amortização, vamos separar do valor de cada prestação, qual a parcela referente aos juros e à cota de amortização cobrados em cada instante.

Os juros pagos na primeira prestação incidem sobre o saldo devedor inicial R$ 1.000. Logo:J1 = 1000 0,1 = R$ 100

O valor amortizado na primeira prestação é, portanto, a diferença:R$ 315,47 – R$ 100 = R$ 215,47

O saldo devedor após o pagamento da primeira prestação é, portanto, a diferença:R$ 1.000 – R$ 215,47 = R$ 784,53

Adotando procedimento análogo nas demais prestações, temos a planilhaN SALDO

DEVEDORAMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO

0 R$ 1.000,001 R$ 784,53 R$ 215,47 R$ 100,00 R$ 315,472 R$ 547,51 R$ 237,02 R$ 78,45 R$ 315,473 R$ 286,79 R$ 260,72 R$ 54,75 R$ 315,474 R$ 0,00 R$ 286,79 R$ 28,68 R$ 315,47

Observamos que a cada prestação paga, o valor dos juros decresce enquanto a cota de amortização aumenta.

2) Um eletrodoméstico que custa R$ 800,00 está sendo vendido em 5 prestações mensais, iguais e sem entrada. À taxa de juros de 4% ao mês, calcular o valor das prestações e construir a planilha de amortização.Resolução:P = PV = R$ 800i = 4% a. m. n = 5R = PMT = ?Cálculo do valor das prestações:

R=P⋅ 1an̄|i

R=800⋅ 1a5̄|4 %

Consultando a tabela Price para n = 5 e i = 4%, encontramos:

1an̄|i

R = PMT = 800 0,22463 R = PMT = R$ 179,70n i

3% 4% 5% 6%

3 0,35353 0,36035 0,36721 0,37411

4 0,26903 0,27549 0,28201 0,28859

5 0,21835 0,22463 0,23097 0,23740

6 0,18460 0,19076 0,19702 0,20336

7 0,16051 0,16661 0,17282 0,17914

Temos a planilha:


PEDRO NORBERTO

n SALDO DEVEDOR

AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO

0 R$ 800,00 1 R$ 652,30 R$ 147,70 R$ 32,00 R$ 179,70 2 R$ 498,69 R$ 153,61 R$ 26,09 R$ 179,70 3 R$ 338,93 R$ 159,75 R$ 19,95 R$ 179,70 4 R$ 172,79 R$ 166,14 R$ 13,56 R$ 179,70 5 R$ 0,00 R$ 172,79 R$ 6,91 R$ 179,70

3) Se uma dívida está sendo amortizada pelo sistema Price em 6 prestações de R$ 78,81, à taxa de 5% ao mês, qual o seu valor inicial?Resolução:R = R$ 78,81n = 6i = 5% a. m.P = ?

Vamos substituir os dados em

R=P⋅ 1an̄|i

78 ,81=P⋅ 1a 6̄|5 %

Consultando a tabela Price para n = 6 e i = 5%, encontramos:

1an̄|i

n i

3% 4% 5% 6%

3 0,35353 0,36035 0,36721 0,37411

4 0,26903 0,27549 0,28201 0,28859

5 0,21835 0,22463 0,23097 0,23740

6 0,18460 0,19076 0,19700 0,20336

7 0,16051 0,16661 0,17282 0,17914

78,81 = P 0,197

P=78 ,81

0 ,197P = R$ 400,00

Nota: Sistema de Amortização Francês e Sistema Price, significam o mesmo método de amortização. Denomina-se sistema Price, no entanto, quando a taxa de juros fornecida é a nominal, ou seja, com unidade de tempo diferente da unidade do período de pagamento das prestações.Ex.: taxa de juros de 24% ao ano com prestações pagas mensalmente. Neste caso, a taxa efetiva cobrada é igual a 2% ao mês.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)


PEDRO NORBERTO

O Sistema de Amortização Constante é caracterizado por apresentar, como o próprio nome já diz, valor constante da cota de amortização.

A cota constante de amortização A, pode ser calculada dividindo-se o saldo devedor principal P, pelo número n de prestações.

A=Pn

Os juros pagos a cada prestação são calculados sobre o saldo devedor da ocasião.

Assim, na primeira prestação, a taxa i de juros incide sobre o saldo devedor total P; na segunda, sobre o saldo (P – A); na terceira, sobre (P – 2A), e assim por diante.

EXEMPLOS RESOLVIDOS

1) Um empréstimo de R$ 1.000,00 será pago em 4 prestações mensais pelo sistema de amortização constante, sendo a primeira delas paga 1 mês após a sua aquisição. À taxa de 10% ao mês, construir a planilha de amortização.Resolução: Para a construção da planilha, primeiramente calculamos o valor da cota de amortização:

A=10004 A = R$ 250,00

A partir disto, podemos obter o saldo devedor após cada amortização, os juros e o valor de cada uma das prestações. Temos:

n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃODEVEDOR

0 R$ 1.000,001 R$ 750,00 R$ 250,00 R$ 100,00 R$ 350,002 R$ 500,00 R$ 250,00 R$ 75,00 R$ 325,003 R$ 250,00 R$ 250,00 R$ 50,00 R$ 300,004 R$ - R$ 250,00 R$ 25,00 R$ 275,00

Observamos que o valor dos juros (ou das prestações) decrescem em progressão aritmética.

2) Uma dívida de R$ 500,00, amortizada pelo SAC, em 10 vezes sem entrada, à taxa de 2% ao mês, produz que valor como quarta prestação? Qual o saldo devedor após o pagamento da sexta prestação?Resolução:Inicialmente vamos calcular o valor da cota constante de amortização:

A=50010 A = R$ 50,00

O valor da quarta prestação será igual à cota R$ 50,00 mais os juros naquele momento.R4 = A + J4

Os juros pagos na quarta prestação serão calculados sobre:R$ 500 – 3 R$ 50 = R$ 350,00J4 = 350 0,02 = R$ 7,00

R4 = 50 + 7 R4 = R$ 57,00O saldo devedor após o pagamento da sexta prestação é:R$ 500 – 6 R$ 50 = R$ 200,00


PEDRO NORBERTO

3) Na amortização pelo SAC, de R$ 2.000,00 em 10 vezes, à taxa de 8% ao mês, qual o total de juros pagos durante o financiamento?Resolução:Para calcularmos o total de juros pagos num financiamento pelo SAC, aplicamos a fórmula:

JT=(J 1+J n )⋅n

2JT refere-se ao total de juros, J1 aos juros da primeira prestação, Jn, juros na última prestação e n é a quantidade de prestações. Temos:J1 = 2.000 0,08 = R$ 160,00J10 = 200 0,08 = R$ 16,00

JT=(160+16 )⋅10

2 JT = R$ 880,00

EM RESUMO

AMORTIZAÇÃO

Pagar em parcelas

PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE)

Prestações periódicas e de mesmo valor.

R=P× 1an̄|i

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

Valor constante da cota de amortização “A”.

A=Pn


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EXERCÍCIOS01. Considerando as tabelas no final da apostila, preencha a planilha abaixo com os fatores que calculam os valores das prestações iguais de um financiamento com pagamentos sem entrada, de acordo com a taxa de juros e o número de parcelas.

i = Taxa do Financiamento 2,00% 2,50% 5,00% 7,00% 8,00% 10,00%

n =

Nú

mer

o d

e P

rest

açõ

es 3

45

10121520243036

02. Um empréstimo de R$ 1.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Francês em 4 prestações mensais, sem entrada. Se a taxa de juros for de 10% ao mês, calcular o valor das prestações e construir a planilha de amortização.

n SALDOAMORTIZAÇÃ

O JUROS PRESTAÇÃO

DEVEDOR -

PV PMT01234

03. Um eletrodoméstico que custa R$ 800,00 está sendo vendido em 5 prestações mensais, iguais e sem entrada. À taxa de juros de 4% ao mês, calcular o valor das prestações e construir a planilha de amortização.

n SALDOAMORTIZAÇÃ

O JUROS PRESTAÇÃODEVEDOR -

PV PMT012345

04. Considere um empréstimo igual R$ 500,00. Sabendo que esse empréstimo será pago em 4 prestações mensais e iguais sem entrada e que a taxa de juros do financiamento será de 24% ao ano, complete a planilha de amortização a seguir e responda:

n SALDOAMORTIZAÇÃ

O JUROS PRESTAÇÃO DEVEDOR - PV PMT01234


PEDRO NORBERTO

a) Qual o valor em reais do saldo devedor imediatamente após o pagamento da 2ª prestação?b) Qual o valor em reais da cota de amortização embutido no valor da 4ª prestação?

05. Um empréstimo de R$ 1.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Constante em 4 prestações mensais, sem entrada. Se a taxa de juros for de 10% ao mês, calcular os valores das prestações e construir a planilha de amortização.

n SALDOAMORTIZAÇÃ

O JUROS PRESTAÇÃO

DEVEDOR -

PV PMT01234

06. Um empréstimo de R$ 900,00 será pago pelo Sistema de Amortização Constante em 5 prestações mensais, sem entrada. Se a taxa de juros for de 10% ao mês, calcular os valores das prestações e construir a planilha de amortização.

n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO DEVEDOR - PV PMT012345

07. A planilha de amortização a seguir está preenchida parcialmente.

N SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃODEVEDOR

0 R$ 1.000,001 R$ 232,01 R$ 282,012 X R$ 282,013 Y R$ 282,014 Z R$ 282,01

Com base nesses dados, responda:1. Qual o sistema de amortização adotado e por que;2. Qual a taxa de juros adotada no financiamento;3. Quais os valores de X, Y e Z, respectivamente.

08. A planilha a seguir está preenchida parcialmente.

n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃODEVEDOR

0 R$ 800,001 R$ 600,00 R$ 240,002 X R$ 200,003 R$ 200,00 Y4 R$ 200,00 Z

Com base nesses dados, responda:1. Qual o sistema de amortização adotado e por que;2. Qual a taxa de juros do financiamento;.


PEDRO NORBERTO

3. Quais os valores de X, Y e Z, respectivamente.

09. Uma pessoa financia uma compra no valor de R$ 560,00, pelo sistema de amortização constante, em 8 prestações mensais sem entrada, à taxa de 10% ao mês. Desejando quitar sua dívida antecipadamente, pergunta-se: qual o valor de quitação do débito após haver efetuado o pagamento da quinta prestação?

10. Uma pessoa financia uma compra no valor de R$ 560,00, pelo sistema price de amortização, em 8 prestações mensais sem entrada, à taxa de 10% ao mês. Desejando quitar sua dívida antecipadamente, pergunta-se: qual o valor de quitação do débito após haver efetuado o pagamento da quarta prestação?

11. Uma pessoa financia uma compra no valor de R$ 2.000,00, pelo sistema price de amortização, em 24 prestações mensais sem entrada, à taxa de 2% ao mês. Desejando quitar sua dívida antecipadamente, pergunta-se: qual o valor de quitação do débito após haver efetuado o pagamento da décima prestação?

12. Uma pessoa financia uma compra no valor de R$ 10.000,00, pelo sistema price de amortização, em 30 prestações mensais sem entrada, à taxa de 3% ao mês. Desejando quitar sua dívida antecipadamente, pergunta-se: qual o valor de quitação do débito após haver efetuado o pagamento da décima prestação?

13. Uma compra no valor de R$ 500,00 deve ser paga com uma entrada à vista de 20% e o saldo devedor restante em 5 prestações mensais iguais, a uma taxa de 5% ao mês, vencendo a primeira prestação em 30 dias. Embutida nesta primeira prestação mensal, existe uma amortização do saldo devedor, de quantos reais?

14. Amortizando-se R$ 1.500,00 pelo sistema de amortização constante, em 10 prestações sem entrada, com taxa de 2% ao mês, qual o valor da segunda prestação?

15. No pagamento de um empréstimo no valor de R$ 5.000,00 em 10 prestações mensais sem entrada, à taxa de 10% ao mês, pelo SAC, qual o valor da sexta prestação?

16. Na tabela abaixo, que apresenta algumas células sem valores numéricos, os dados referem-se a um empréstimo bancário de R$ 10.000,00, entregues no ato e sem prazo de carência, à taxa de juros de 12% ao ano, para pagamento em 6 meses pela tabela Price. Com relação a essa situação, complete os dados da planilha.

Meses Saldo devedor Amortização Juros Prestação0 10.000,00 0 0 01 8.374,522 83,753 5.074,64 1.658,15 67,334 3.399,91 1.674,73 50,7556 0

17. Qual o valor à vista, de um automóvel vendido com uma entrada de R$ 2.000,00 e o restante financiado em 12 prestações mensais e iguais a R$ 852,42 à taxa de 4% ao mês?a) R$ 8.000,00 b) R$ 10.229,01 c) R$ 10.000,00d) R$ 12.000,00 e) R$ 8.229,01

18. Qual o valor à vista, de um automóvel vendido com uma entrada de R$ 4.000,00 e o restante financiado em 24 prestações mensais e iguais a R$ 528,71 à taxa de 2% ao mês?

19. Qual o valor à vista, de um equipamento financiado em 36 prestações mensais e iguais a R$ 588,49 à taxa de 2% ao mês?

20. Uma pessoa deseja fazer um empréstimo de R$ 2.500,00 mas só dispõe de R$ 240,86 para pagar mensalmente. Sendo a taxa nominal de juros igual a 60% ao ano, qual a quantidade de prestações que viabiliza o pagamento do empréstimo?a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

21. Deseja-se saber qual foi a taxa de juros adotada no financiamento de um eletrodoméstico no valor de R$ 400,00, financiado em 10 prestações mensais e iguais a R$ 54,35.


PEDRO NORBERTO

a) 7% b) 6% c) 5% d) 4% e) 3%

22. Deseja-se saber qual foi a taxa de juros adotada no financiamento de um eletrodoméstico no valor de R$ 500,00, financiado em 5 prestações mensais e iguais a R$ 112,31.a) 7% b) 6% c) 5% d) 4% e) 3%

AMORTIZAÇÃO01.

* 07. Price. Porque as prestações são iguais; 5%; X = R$ 524,38, Y = R$ 26,22, Z = R$ 268,58

13. R$ 72,39 19. R$ 15.000,00

02.

* 08. SAC. Porque as amortizações são constantes; 5%; X = R$ 400,00, Y = R$ 20,00, Z = R$ 210,00

14. R$ 177,00 20. E

03.

* 09. R$ 210,00 15. R$ 750,00 21. B

04.

* 10. R$ 332,74 16. * 22. D

05.

* 11. R$ 1.280,15 17. C

06.

* 12. R$ 7.589,85 18. R$ 14.000,00

01.

i = Taxa do Financiamento

2,00% 2,50% 5,00% 7,00% 8,00% 10,00%

n =

Núm

ero

de P

rest

açõe

s

3 0,34675 0,35014 0,36721 0,38105 0,38803 0,40211

4 0,26262 0,26582 0,28201 0,29523 0,30192 0,31547

5 0,21216 0,21525 0,23097 0,24389 0,25046 0,26380

10 0,11133 0,11426 0,12950 0,14238 0,14903 0,16275

12 0,09456 0,09749 0,11283 0,12590 0,13270 0,14676

15 0,07783 0,08077 0,09634 0,10979 0,11683 0,13147

20 0,06116 0,06415 0,08024 0,09439 0,10185 0,11746

24 0,05287 0,05591 0,07247 0,08719 0,09498 0,11130

30 0,04465 0,04778 0,06505 0,08059 0,08883 0,10608

36 0,03923 0,04245 0,06043 0,07672 0,08534 0,10334

02.

n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO

DEVEDOR - PV PMT

0 R$ 1.000,00

1 R$ 784,53 R$ 215,47 R$ 100,00 R$ 315,47

2 R$ 547,51 R$ 237,02 R$ 78,45 R$ 315,47

3 R$ 286,79 R$ 260,72 R$ 54,75 R$ 315,47

4 R$ 0,00 R$ 286,79 R$ 28,68 R$ 315,47

03.


DEVEDOR - PV PMT

0 R$ 800,00

1 R$ 652,30 R$ 147,70 R$ 32,00 R$ 179,70

2 R$ 498,69 R$ 153,61 R$ 26,09 R$ 179,70

3 R$ 338,93 R$ 159,75 R$ 19,95 R$ 179,70

4 R$ 172,79 R$ 166,14 R$ 13,56 R$ 179,70

5 R$ 0,00 R$ 172,79 R$ 6,91 R$ 179,70


PEDRO NORBERTO

04.


DEVEDOR - PV PMT

0 R$ 500,00

1 R$ 378,69 R$ 121,31 R$ 10,00 R$ 131,31

2 R$ 254,95 R$ 123,74 R$ 7,57 R$ 131,31

3 R$ 128,74 R$ 126,21 R$ 5,10 R$ 131,31

4 R$ (0,00) R$ 128,74 R$ 2,57 R$ 131,31 a) R$ 254,95; b) R$ 128,74

05.


DEVEDOR - PV PMT

0 R$ 1.000,00

1 R$ 750,00 R$ 250,00 R$ 100,00 R$ 350,00

2 R$ 500,00 R$ 250,00 R$ 75,00 R$ 325,00

3 R$ 250,00 R$ 250,00 R$ 50,00 R$ 300,00

4 R$ - R$ 250,00 R$ 25,00 R$ 275,00

06.


DEVEDOR - PV PMT

0 R$ 900,00

1 R$ 720,00 R$ 180,00 R$ 90,00 R$ 270,00

2 R$ 540,00 R$ 180,00 R$ 72,00 R$ 252,00

3 R$ 360,00 R$ 180,00 R$ 54,00 R$ 234,00

4 R$ 180,00 R$ 180,00 R$ 36,00 R$ 216,00

5 R$ - R$ 180,00 R$ 18,00 R$ 198,00

16.


DEVEDOR - PV PMT

0 R$ 10.000,00

1 R$ 8.374,52 R$ 1.625,48 R$ 100,00 R$ 1.725,48

2 R$ 6.732,78 R$ 1.641,74 R$ 83,75 R$ 1.725,48

3 R$ 5.074,62 R$ 1.658,16 R$ 67,33 R$ 1.725,48

4 R$ 3.399,88 R$ 1.674,74 R$ 50,75 R$ 1.725,48

5 R$ 1.708,40 R$ 1.691,48 R$ 34,00 R$ 1.725,48

6 R$ 0,00 R$ 1.708,40 R$ 17,08 R$ 1.725,48


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