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Análise Matemática II C

2010/11 (2º semestre)

Lista de exercícios 1 - Rectas, planos e superfícies quá-dricas

1. Considere a equação  x = 2.

(a) Em   R, represente geometricamente o conjunto dos pontos queverificam a equação.

(b) Em   R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos que

verificam a equação.

(c) Em   R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que

verificam a equação.

2. Considere a equação  x2 = x.

(a) Em   R, represente geometricamente o conjunto dos pontos queverificam a equação dada.

(b) Em   R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos queverificam a equação dada.

(c) Em   R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que

verificam a equação dada.

3. Considere a equação  2x + y = 3.

(a) Em  R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos que a

verificam.

(b) Em  R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que a

verificam.

4. Considere a equação  y = x2

+ 1.

(a) Em   R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos que

verificam a equação dada.

(b) Em   R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que

verificam a equação dada.

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5. Considere a equação  y = x + 1.

(a) Em   R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos que

verificam a equação.

(b) Em   R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que

verificam a equação.

6. Considere os pontos  A  = (1,−1, 2),  B  = (2, 1,−1)  e  C   = (1, 1, 5)  emR

3. Escreva as equações vectorial, paramétricas e cartesianas

(a) da recta definida por  A  e  B.

(b) do plano definido por  A,  B  e  C .

7. Considere os pontos  (1, 0, 2)  e  (1, 1, 3)  em  R3. Escreva, de três formas

diferentes, as equações da recta que passa pelos pontos dados.

8. Considere os pontos  P   = (1, 0, 2),  Q = (1, 1, 3) e  R  = (−1, 1, 0)  em  R3.

(a) Determine −→

PQ×

−→

PR

(b) Escreva a equação do plano que passa pelos pontos P ,  Q  e  R.

9. Considere a equação  x2 + y2 = 2.

(a) Em   R2, represente geometricamente o conjunto dos pontos que

verificam a equação.

(b) Em   R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que

verificam a equação.

10. Esboce em  R3 as superfícies quádricas:

(a)   x2 + 2y2 + z 2 = 1

(b)   x2 + z 2 = 9

(c)   x2

+ y2

= z 2

(d)   z  = x2 + y2

(e)   z  = x2 + y2 − 6

(f)   z  = x2 − y2

(g)   x2 − y2 − z 2 = 9

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(h)   x2 + y2 − z 2 = 9

11. Em  R3, represente geometricamente o conjunto dos pontos que verifi-

cam a equação  x2 + 4y2 = 4.

12. Considere a superfície de equação  z 2 = x2 + y2.

(a) Determine a intersecção da superfície dada com cada um dos pla-nos coordenados.

(b) Determine a intersecção da superfície dada com planos de equaçãoz  = a,  a > 0.

(c) Determine a intersecção da superfície dada com planos de equaçãoz  = a,  a < 0.

(d) Esboce o gráfico da superfície dada.

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