Ambulancias Em Centros Urbanos

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MODELO DE APOIO À DECISÃO PARA UM PROBLEMA DE POSICIONAMENTO DE BASES, ALOCAÇÃO E REALOCAÇÃO DE AMBULÂNCIAS EM CENTROS URBANOS: ESTUDO DE CASO NO MUNICÍPIO DE SÃO PAULO RESUMO Este artigo apresenta uma proposta de modelo matemático para o problema de localização de bases de atendimento emergencial, alocação de ambulâncias a essas bases em múltiplos períodos de tempo num horizonte de planejamento definido e realocação das viaturas entre períodos subsequentes. Esse problema é relevante para planejamento de sistemas de atendimento emergencial em grandes centros urbanos, nos quais existem variações das condições de tráfego e da concentração de pessoas em diferentes locais ao longo do dia, fazendo com que os sistemas emergenciais nesses locais precisem ser dinâmicos o suficiente para acompanhar essas variações. Como objetivo tem-se a maximização de probabilidade de atendimento de um determinado chamado dentro de um tempo máximo de cobertura pré-definido. Neste artigo também é apresentada uma aplicação prática do modelo no sistema de ambulâncias do município de São Paulo. O sistema é analisado utilizando o modelo matemático como uma ferramenta de apoio à decisão. ABSTRACT In this article a mathematical formulation for the problem of base location, ambulance allocation and relocation in multiple periods of time in a planning horizon is proposed. This problem is relevant for emergency systems planning, especially in large urban centers where traffic conditions and population's concentration change during the day. These characteristics result in the necessity for those systems of being dynamic enough to follow the city conditions in terms of traffic and demand. The objective of the model if to maximize the probability of one determined call is served within a given covering time. This paper also presents a case study regarding São Paulo’s emergency system. The system is analyzed using the mathematical model as a decision aiding tool.

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  • MODELO DE APOIO DECISO PARA UM PROBLEMA DE

    POSICIONAMENTO DE BASES, ALOCAO E REALOCAO DE

    AMBULNCIAS EM CENTROS URBANOS: ESTUDO DE CASO NO MUNICPIO

    DE SO PAULO

    RESUMO

    Este artigo apresenta uma proposta de modelo matemtico para o problema de localizao de bases de

    atendimento emergencial, alocao de ambulncias a essas bases em mltiplos perodos de tempo num horizonte

    de planejamento definido e realocao das viaturas entre perodos subsequentes. Esse problema relevante para

    planejamento de sistemas de atendimento emergencial em grandes centros urbanos, nos quais existem variaes

    das condies de trfego e da concentrao de pessoas em diferentes locais ao longo do dia, fazendo com que os

    sistemas emergenciais nesses locais precisem ser dinmicos o suficiente para acompanhar essas variaes.

    Como objetivo tem-se a maximizao de probabilidade de atendimento de um determinado chamado dentro de

    um tempo mximo de cobertura pr-definido. Neste artigo tambm apresentada uma aplicao prtica do

    modelo no sistema de ambulncias do municpio de So Paulo. O sistema analisado utilizando o modelo

    matemtico como uma ferramenta de apoio deciso.

    ABSTRACT

    In this article a mathematical formulation for the problem of base location, ambulance allocation and relocation

    in multiple periods of time in a planning horizon is proposed. This problem is relevant for emergency systems

    planning, especially in large urban centers where traffic conditions and population's concentration change during

    the day. These characteristics result in the necessity for those systems of being dynamic enough to follow the

    city conditions in terms of traffic and demand. The objective of the model if to maximize the probability of one

    determined call is served within a given covering time. This paper also presents a case study regarding So

    Paulos emergency system. The system is analyzed using the mathematical model as a decision aiding tool.

  • 1. INTRODUO

    O servio de atendimento urgncia, ou emergncia, compreende os primeiros socorros e a

    remoo de pacientes sujeitos a acidentes, traumas e outras ocorrncias mdicas que podem

    representar risco a vidas humanas. Busca-se oferecer um servio que maximize a

    probabilidade de sobrevivncia dos socorridos, desde o acontecimento da situao de risco

    at a entrada do paciente a uma unidade de sade especializada. Todo o trabalho realizado

    por veculos de transporte e suporte vida.

    As chances de sobrevivncia de um indivduo que necessita de atendimento emergencial,

    devido a acidente ou outra ocorrncia, aumentam com a diminuio do tempo de resposta,

    que o tempo gasto entre o acontecimento do acidente e o momento da chegada de uma

    viatura de socorro. Uma parte importante deste tempo o tempo de deslocamento da viatura

    de uma base at o local da ocorrncia.

    Um requisito importante desses sistemas o planejamento da malha de atendimento, definida

    pelas localizaes das bases de veculos e pelas viaturas de atendimento, que por sua vez

    impacta o tempo de deslocamento entre as viaturas localizadas nas bases e os locais dos

    acidentes. A operao desses sistemas ainda mais crtica em grandes centros urbanos, nos

    quais as condies de trnsito e os padres de variao da demanda por atendimento

    emergencial resultam numa maior dificuldade de realizar os atendimentos dentro de tempos

    de resposta pequenos.

    Este trabalho trata do problema de planejamento das localizaes de bases e viaturas ao longo

    de um perodo de planejamento, considerando as caratersticas dinmicas de variao espao-

    temporal das demandas e dos tempos de deslocamento em centros urbanos, levando em conta

    tambm aspectos estocsticos do atendimento emergencial.

    Mais especificamente, prope-se uma ferramenta de planejamento, representada por um

    modelo matemtico, para os gestores de servios de atendimento mvel pr-hospitalar de

    urgncia, no que se refere localizao de bases e alocao de veculos ao longo de um

    horizonte de tempo; tambm chamada de malha de atendimento. Busca-se com a formulao

    matemtica, determinar a malha de atendimento que maximiza a probabilidade de um

    determinado chamado ser atendido dentro de um tempo de resposta pr-estabelecido,

    considerando aspectos dinmicos e estocsticos do problema de atendimento emergencial.

  • Essa ferramenta considera explicitamente a possibilidade de realocaes de veculos ao longo

    do perodo de planejamento, o que permite frota acompanhar as variaes espao-temporais

    dos padres de demanda e tempos de deslocamento entre as diversas partes de uma regio.

    Este artigo est organizado da seguinte forma: a prxima seo corresponde a uma reviso

    bibliogrfica de modelos matemticos para problemas de localizao de ambulncias e

    instalaes de atendimento emergencial. A seo trs contempla uma descrio detalhada do

    problema tratado neste artigo, bem como a formalizao do modelo matemtico proposto. A

    seo quatro descreve uma aplicao do modelo matemtico em um estudo de caso no

    municpio de So Paulo. Na quinta seo so feitas algumas concluses acerca dos resultados

    obtidos no estudo de caso, da validade do modelo e de possveis frentes de pesquisa futura.

    2. REVISO BIBLIOGRFICA

    Os problemas de localizao de veculos para atendimento de emergncias ocorrem em

    muitos casos prticos, por exemplo: localizao de veculos do corpo de bombeiros, veculos

    de apoio mecnico, veculos de suporte medico e embarcaes para atendimento de acidentes

    martimos (Medina, 1996).

    Os problemas de localizao de ambulncias esto, em geral, definidos em grafos no

    direcionados com pontos de demanda e pontos candidatos a receberem bases ou viaturas

    (Daskin, 1995). Nos casos reais, a demanda por servios de atendimento de emergncia

    distribuda geograficamente numa regio, contudo, na resoluo de problemas desse tipo, o

    que geralmente se faz determinar o nvel de agregao de demandas que se deseja (por

    distritos ou por bairros, por exemplo) e acumular a demanda de cada subdiviso num nico

    ponto, sendo esse ponto tratado matematicamente no grafo do problema.

    Na definio de problemas de localizao de bases de veculos de emergncia, assume-se que

    determinado ponto de demanda coberto se ele pode ser atendido num intervalo de tempo

    mximo pr-estabelecido. Segundo Rajagopalan et al. (2008), essa noo de cobertura

    amplamente aceita e inclusive utilizada como meio de definio de nveis de servio. A

    demanda dos pontos definida genericamente como um nmero de ocorrncias por unidade

    de tempo originadas dentro do distrito representado pelo ponto. Alguns autores definem a

    demanda como um nmero de ocorrncias mdio tomado num horizonte de tempo

  • suficientemente grande, outros ainda definem a demanda como uma frequncia de

    ocorrncias computada num perodo de anlise.

    O problema de localizao de ambulncias, um caso mais simples do problema tratado neste

    artigo, considera um conjunto de pontos de demanda e um conjunto de pontos candidatos

    dispostos num grafo. Cada arco do grafo entre quaisquer pontos i e j representa o tempo de

    deslocamento entre esses pontos. Os dois primeiros trabalhos encontrados na literatura foram

    propostos por Toregas et al. (1971) e Church e ReVelle (1974). Nos dois trabalhos define-se

    um tempo mximo de atendimento S, acima do qual uma viatura localizada num ponto

    candidato j no consegue cobrir um ponto de demanda i adequadamente.

    Em Toregas et al. (1971) o problema definido como: encontrar o menor nmero possvel de

    viaturas necessrio para que todos os pontos de demanda sejam cobertos. O modelo resultante

    foi denominado Location Set Covering Model (LSCM), que o modelo clssico do conjunto

    de cobertura aplicado ao caso do posicionamento de ambulncias.

    Do ponto de vista dos planejadores de sistemas de ambulncias, a quantidade de recursos

    limitada e, portanto, um parmetro do problema. Uma alternativa para a formulao LSCM

    foi proposta por Church e ReVelle (1974), chamada de Maximal Covering Location Problem

    (MCLP). Sendo fixo e conhecido o nmero de instalaes que se deseja posicionar, o MCLP

    busca maximizar a demanda coberta por essa quantidade pr-definida.

    Grande parte do desenvolvimento posterior dos modelos para o problema de localizao de

    ambulncias foi baseado nessas duas definies. Uma caracterstica da definio proposta por

    Toregas et al. (1971) que, em geral, resulta em um nmero muito grande de viaturas, o que

    do ponto de vista prtico invivel, dadas as restries oramentrias dos sistemas de

    ambulncias. A definio proposta por Church e ReVelle (1974) mais condizente com as

    restries enfrentadas pelos planejadores dos sistemas de ambulncia, e como consequncia,

    os modelos posteriormente desenvolvidos aderem mais a essa segunda vertente de

    modelagem.

    Como apontado por Brotcorne et al. (2003), esses modelos matemticos mais antigos,

    propostos para o problema de localizao de ambulncias consideram definies muito

    restritas e genricas para o problema. Esses dois modelos foram aprimorados, resultando em

  • modelos determinsticos que consideram aspectos mais realistas do problema, como por

    exemplo, o fato da localizao de bases ser independente da localizao de viaturas, ou o fato

    de existirem diferentes tipos de veculos com tempos mximos de atendimento distintos;

    alguns modelos ainda introduziram o conceito de cobertura mltipla que define um ponto de

    demanda como atendido, se ele coberto por mais de uma viatura.

    Uma formulao que pode ser considerada como extenso do modelo MCLP foi proposta por

    Schilling et al. (1979), os quais desenvolveram uma modelagem para a localizao de

    veculos de emergncia de dois nveis: bsicos e avanados. A formulao proposta pelos

    autores, denominada Tandem Equipment Allocation Model (TEAM), no distingue entre a

    localizao das bases e a localizao dos veculos em si e considera que um veculo avanado

    s pode ser posicionado num ponto candidato caso nesse ponto tambm seja posicionado um

    veculo bsico. Nessa abordagem, a localizao de bases e veculos feita de maneira

    conjunta, de modo que se um determinado veculo localizado num determinado ponto,

    decorre que neste ponto dever haver uma base para ele.

    Outra extenso do MCLP tambm desenvolvida por Schilling et al. (1979) o modelo

    Facility-Location Equipment-Emplacement Technique (FLEET), criado para a localizao de

    bases de unidades de combate a incndio juntamente com dois tipos de veculos. Apesar de

    ser um modelo desenvolvido para a soluo de problemas de localizao de bases e veculos

    de combate a incndios, seus conceitos se aplicam ao problema de localizao de

    ambulncias. Um ponto do modelo FLEET que difere do modelo TEAM, que no primeiro

    no existe hierarquia entre os veculos, porm considerada explicitamente na modelagem

    uma hierarquia entre as bases e os veculos, ou seja, veculos s podem ser alocados a pontos

    candidatos que contenham bases. Uma reviso detalhada de outros modelos determinsticos e

    probabilsticos para o problema de localizao de ambulncias pode ser encontrada em

    Schilling et al. (1993).

    Levando em considerao a estocasticidade do processo de gerao de demanda e do

    processo de atendimento dos acidentados, modelos probabilsticos foram tambm propostos

    com o intuito de aproximar os modelos matemticos realidade do problema. Os modelos

    determinsticos citados no consideram uma caracterstica importante do problema de

    localizao de ambulncias: a possibilidade de um ponto no ser atendido, pois o veculo que

    garantia a sua cobertura est alocado a um chamado. Um modelo probabilstico que considera

  • essa situao foi proposto por Daskin (1983), denominado Maximum Expected Covering

    Location Problem (MEXCLP). A modelagem proposta pelo autor considera que uma

    ambulncia genrica possui uma probabilidade q de estar indisponvel para atendimento. Esta

    probabilidade recebe o nome de frao de ocupao (busy fraction). Os autores assumem que

    cada ambulncia opera independentemente das demais e assumem que a frao de ocupao

    igual para todas as ambulncias do sistema e independente do estado do sistema, ou seja,

    independe de quantas ambulncias esto ocupadas no momento da ocorrncia de uma

    demanda.

    O modelo MEXCLP fornece meios para localizar apenas um tipo de veculo e no considera

    a localizao de bases de veculos separadamente. Em Bianchi e Church (1988), os autores

    desenvolveram um modelo hbrido entre os modelos FLEET e MEXCLP, denominado

    Multiple cover, One unit, FLEET problem (MOFLEET). Esse modelo, alm de se tratar de

    uma formulao probabilstica para o problema, considera explicitamente a separao entre a

    localizao de bases e ambulncias. Contudo, a formulao do MOFLEET no permite a

    localizao de mltiplos tipos de veculos, algo que foi desenvolvido por Jayaraman e

    Srivastava (1995). Para localizar mltiplas instalaes e veculos os autores desenvolveram

    um modelo probabilstico chamado Multiple Equipment Multiple Cover Facility Location

    Allocation Problem (MEMCOLA), o qual permite a localizao de bases e dois tipos de

    veculos, cada qual com uma frao de ocupao especfica.

    Outros modelos probabilsticos de localizao de ambulncias foram propostos por ReVelle e

    Hogan (1989). Os autores formularam dois modelos chamados Maximum Availability

    Location Problem I e II (MALP I e MALP II). Assim como o MEXCLP, o modelo MALP I

    considera que a frao de ocupao q a mesma para todos os pontos candidatos j e

    consequentemente igual e independente para todos os veculos. Sendo assim, pode-se

    calcular o nmero mnimo de ambulncias necessrias para cobrir um ponto de demanda i

    com uma probabilidade . A formulao do MALP I considera esse valor explicitamente em

    sua formulao, e busca maximizar a demanda coberta com uma probabilidade .

    Na formulao do MALP II, a premissa de fraes de ocupao idnticas para todos os

    pontos candidatos no tomada. Em vez disso, os autores associam uma frao de ocupao

    qi para cada ponto de demanda i, que corresponde probabilidade de uma ambulncia

    localizada na vizinhana do ponto i estar ocupada, sendo que vizinhana do ponto i o

  • subconjunto de pontos localizados a menos de um raio mximo de cobertura em relao ao

    ponto. Essas fraes de ocupao locais proporcionam estimativas mais realistas da

    probabilidade de uma ambulncia randomicamente selecionada estar ocupada. Dessa

    maneira, calcula-se para cada ponto de demanda i um nmero mnimo de ambulncias

    necessrias bi para que o ponto i seja coberto com probabilidade .

    Um avano maior nos conceitos presentes nos modelos MALP I e MALP II foi proposto por

    Marianov e ReVelle (1996), que consideram uma vizinhana de um ponto de demanda i

    como um sistema isolado com demandas e servidores funcionando num sistema de filas do

    tipo M/G/s-loss. So utilizados resultados da Teoria das Filas para fornecer melhores

    estimativas das fraes de ocupao qi. Esse modelo foi denominado Queuing Maximal

    Availability Location Problem (Q-MALP).

    Uma abordagem probabilstica do modelo FLEET tambm foi formulada por ReVelle e

    Marianov (1991). O Probabilistic FLEET model (P-FLEET) procura localizar bases,

    caminhes e bombas independentemente, de maneira a buscar uma maximizao da cobertura

    da demanda com probabilidade . Para cada ponto de demanda i, calculam-se fraes de

    ocupao locais para os diferentes tipos de veculos e, com base nesses valores, calcula-se o

    nmero de servidores necessrios para cobrir o ponto de demanda i com probabilidade , para

    cada tipo de veculo. O P-FLEET um modelo bastante completo e possui uma caracterstica

    interessante para representar o problema prtico pelo fato de considerar um ponto coberto s

    se o mesmo for coberto com probabilidade por mais de um tipo de veculo. Ele possui a

    desvantagem de permitir a alocao de apenas um veculo de cada tipo por base. Os autores

    apresentam tambm uma formulao alternativa para o P-FLEET, denominada Probabilistic

    Facility-Location Equipment-Emplacement Technique with Multiple Co-location (P-FLEET-

    MC), a qual permite relaxar essa restrio permitindo a localizao de mltiplos veculos por

    base.

    Outras abordagens probabilsticas foram propostas baseadas no modelo do Hipercubo

    (LARSON, 1974) que permite um tratamento detalhado das caractersticas estocsticas do

    problema. Dentre esses vrios desdobramentos do modelo do Hipercubo destaca-se o trabalho

    de Batta et al. (1989) que utilizam o modelo proposto por Larson (1974) em conjunto com o

    modelo MEXCLP de Daskin (1983).

  • Nos ltimos anos, avanos na capacidade de processamento de computadores e o

    desenvolvimento de algoritmos de soluo eficientes permitiram o desenvolvimento de

    modelos que consideram caractersticas dinmicas do problema, como a variao da demanda

    e dos tempos de deslocamento entre pontos durante um ciclo de operao do sistema. Esses

    modelos, seguindo a nomenclatura dada por Brotcorne et al. (2003), so os modelos

    dinmicos do problema, os quais resultam em planos de localizao e alocao ao longo de

    horizontes de planejamento.

    Um trabalho que considera essas caractersticas foi desenvolvido por Gendreau et al. (2001),

    e atende ao problema de realocao de veculos especificamente. A formulao proposta

    pelos autores, denominada Redeployment Problem t (RPt) pode ser considerada como uma

    extenso do modelo DSM (BROTCORNE et al., 2003).

    Outra abordagem para as questes de realocao foi proposta por Schmid e Doerner (2010).

    O modelo formulado foi denominado pelos autores de Multi-period Double Standard Model

    (mDSM). Trata-se de uma formulao determinstica multi-perodo que considera alm das

    premissas de Gendreau et al. (2001), que dependendo do perodo t considerado, os valores

    dos tempos de viagem so diferentes. Isso retrata condies de trfego de regies densamente

    povoadas como grandes centros urbanos. Assim, os arcos do grafo, no qual o problema de

    localizao de ambulncias definido, passam a possuir parmetros dinmicos tijs de tempo

    de viagem entre os pontos i e j.

    3. CARACTERIZAO DO PROBLEMA E MODELO MATEMTICO

    Os sistemas de ambulncias so caracterizados pelo despacho de veculos de emergncia, que

    atendem acidentes, traumas e outras situaes de risco sade e vidas humanas. Busca-se

    maximizar a probabilidade de sobrevivncia de um indivduo acidentado por meio da

    minimizao do tempo de chegada ao local do acidente, pelo rpido diagnstico das equipes

    de resgate que operam as viaturas, pela aplicao dos procedimentos mdicos corretamente e

    pela minimizao do tempo de transporte do local do acidente at o centro de sade mais

    prximo. Dentre esses objetivos citados, a minimizao do tempo de chegada se relaciona

    com o planejamento da localizao de bases de atendimento e com a alocao de viaturas a

    essas bases. Segundo Singer e Donoso (2008), esses sistemas podem ser vistos como sistemas

  • de filas, nos quais os chamados representam a demanda ou o processo de chegada, e os

    servidores so representados pelos veculos e suas equipes.

    A posio das ambulncias de um sistema de atendimento de emergncia impacta

    especificamente o tempo de resposta do sistema, sendo um fator que condiciona o

    desempenho do mesmo. Sendo assim, busca-se uma formulao matemtica que represente o

    problema de encontrar, em vrios perodos, a localizao de bases, alocao de veculos a

    essas bases, e as consequentes realocaes de veculos entre os perodos que proporcione o

    maior nvel de servio possvel, respeitando restries mnimas de viabilidade e

    disponibilidade de recursos (bases e viaturas), sendo o nvel de servio definido como a

    frao da demanda que se espera atender em tempos inferiores tempos de cobertura pr-

    definidos para cada tipo de veculo do sistema. Outra definio para o nvel de servio a de

    cobertura esperada, ou probabilidade de cobertura: dado um tempo de cobertura para cada

    tipo de veculo do sistema, qual a frao da demanda que possivelmente ser atendida num

    tempo inferior a este.

    Para a caracterizao do problema, deve-se considerar tambm que: (i) existe uma quantidade

    finita de bases e ambulncias de dois tipos; (ii) cada veculo possui um parmetro de

    cobertura associado que define, em termos temporais, sua capacidade de cobertura; (iii) so

    conhecidas as distribuies espao-temporais das demandas pelos servios de atendimento de

    cada tipo de viatura em uma regio; (iv) so conhecidos tambm os padres de variao dos

    tempos de deslocamento nessa regio; e (v) uma vez que entre perodos subsequentes podem

    haver realocaes de ambulncias, deseja-se tambm minimizar o tempo de percurso dessas

    realocaes de acordo com um fator de proporcionalidade. Dessa forma, busca-se encontrar

    um plano de operao capaz de maximizar, em mltiplos perodos de um horizonte de

    planejamento, a cobertura esperada do sistema, e ao mesmo tempo capaz de minimizar as

    realocaes de viaturas necessrias entre perodos subsequentes de acordo com um fator de

    proporcionalidade. Esse plano deve respeitar as restries: (i) em todos os perodos, todos os

    pontos de demanda devem ser cobertos por uma viatura de cada tipo; (ii) em todos os

    perodos, a quantidade de bases e ambulncias constante; (iii) em todos os perodos, a

    quantidade de veculos posicionados em uma base no deve ultrapassar a capacidade de

    acomodao de viaturas dessa base; (iv) o plano de operao deve ser conexo, ou seja, as

    realocaes resultantes no ltimo perodo do horizonte de planejamento devem resultar a

    alocao de viaturas do primeiro perodo, sendo cclico o plano completo.

  • O problema tratado definido num grafo G no direcionado, com um conjunto de pontos de

    demanda iV e um conjunto de pontos candidatos jW a receberem bases e veculos;

    assume-se que WV, o que verdadeiro na maioria dos casos prticos. Esses pontos

    constituem uma simplificao da realidade uma vez que representam uma determinada

    localizao geogrfica concentrada em um nico ponto. A determinao do nvel de

    agregao da demanda que resulta nos pontos i depende da preciso desejada na localizao

    de bases. Esse nvel de agregao dos pontos de demanda considerado o mesmo para os

    pontos candidatos. O que define se um ponto candidato a sua capacidade de receber uma

    base de veculos, por exemplo, pontos que representam distritos com instalaes do corpo de

    bombeiros, hospitais prximos, ou zonas muito isoladas e distantes de um municpio. So

    considerados tambm perodos de tempo t={0,1,2,...,t,...,T}, sendo a soma dos perodos t

    equivalente ao horizonte de planejamento para o qual sero definidas as localizaes de bases

    e alocaes de ambulncias.

    Para cada perodo t, define-se deterministicamente o tempo de deslocamento entre dois

    pontos i{VW} e j{VW}, tijs . Com isso define-se o grafo no direcionado G.

    WVjWV|is W ; AV; NANG tijtt ; , (1)

    A formulao definida para dois tipos de veculos k, bsicos (Basic Life Support - BLS) e

    avanados (Advanced Life Support - ALS). O ndice k igual a um utilizado para representar

    veculos do tipo BLS, e o ndice k igual a dois utilizado para representar veculos do tipo

    ALS. Como condio mnima de desempenho do sistema, deseja-se que, em todos os

    perodos, todos os pontos de demanda possuam pelo menos uma unidade BLS localizada num

    ponto candidato j a menos de um tempo de deslocamento inferior a r1; e deseja-se tambm

    que todos os pontos de demanda possuam pelo menos uma unidade ALS localizada num

    ponto candidato j a menos de um tempo de deslocamento inferior a r2. Em geral, um sistema

    de ambulncias possui mais veculos do tipo BLS do que ALS, o que resulta que na maioria

    dos casos prticos r1r2.

    Cada ponto de demanda i possui uma demanda ktid , em frequncia de chamados por unidade

    de tempo, em cada perodo t para cada tipo de veculo k. Definem-se tambm os conjuntos

    kt

    iW , kt

    jV e kt

    iN conforme as expresses (2), (3) e (4).

  • {1,2} ; | krsWjW ktijkti (2)

    {1,2} ; | krsViV ktijktj (3)

    {1,2} ; | krsVzN ktizkti (4)

    O modelo matemtico tem o intuito de localizar, no grafo G, pz bases e alocar, nos diversos

    perodos de tempo t, pB ambulncias bsicas e pA ambulncias avanadas. Considera-se

    tambm que em cada ponto candidato j, em qualquer instante de tempo, no podem ser

    alocados mais do que Cj veculos.

    As bases devem ser localizadas nos pontos candidatos e, em cada perodo, as viaturas devem

    ser alocadas as bases. Para isso definem-se as variveis de deciso jz , kt

    jy e wkt

    ix de acordo

    com as expresses (5), (6) e (7).

    contrrio caso , 0

    candidato ponto no base uma aberta se , 1 Wjz j

    (5

    )

    tWjkyktj perodo no , ponto no osposicionad tipodo veculosde nmero

    (6

    )

    contrrio caso, 0

    perodo no tipodo veculospor coberto demanda de ponto o se, 1 tkwixwkti

    (7

    )

    Simultaneamente questo do posicionamento de bases e ambulncias, existe o problema de,

    sendo diferente a alocao de viaturas entre perodos subsequentes, movimentar as viaturas

    entre esses perodos, partindo da alocao de um perodo para o prximo de maneira a

    minimizar o tempo total de percurso de todas as ambulncias; esse o problema da

    realocao. Considerando essa situao definem-se as variveis de deciso ktjjr ' :

    1 e perodos os entreW paraW de realocados veculosde nmero ' ttj'jkrkt

    jj (8)

    De maneira anloga ao modelo Q-MALP desenvolvido por Marianov e ReVelle (1996),

    consideram-se duas vizinhanas do ponto i, definidas para cada parmetro de cobertura, r1 e

    r2, ou seja, para cada ponto i, em cada perodo de tempo t e para cada tipo de veculo k,

    define-se uma vizinhana. Admite-se que essas vizinhanas funcionam como sistemas de

    filas M/G/s-loss, ou seja, um sistema de filas com s servidores tal que: a chegada de clientes

    ocorre de acordo com um processo de Poisson com mdia 1/, o servio de atendimento

    ocorre com um tempo definido segundo uma distribuio de probabilidade genrica com

    mdia 1/, e quando um cliente entra no sistema e no existem servidores disponveis ele no

  • atendido e sai do sistema, no havendo a formao de filas. Para cada uma dessas

    vizinhanas, em cada perodo de tempo t, calculada uma frao de ocupao q, que equivale

    probabilidade de uma ambulncia randomicamente selecionada estar ocupada. Como o

    modelo trata de dois tipos de veculos, para cada ponto de demanda i em cada perodo t so

    consideradas duas fraes de ocupao: uma referente cobertura por veculos BLS

    (vizinhana relativa ao parmetro r1) e outra referente cobertura por veculos ALS

    (vizinhana relativa ao parmetro r2). Essas fraes de ocupao t

    irkq , podem ser calculadas

    segundo a expresso (9).

    kti

    ti

    k

    Wj

    kt

    j

    Nz

    tk

    z

    t

    iry

    dt

    q24

    1

    ,

    , (9)

    Sendo que t o tempo mdio de atendimento em horas, ktzd a demanda, expressa em

    chamados por dia, do ponto z por veculos do tipo k durante o perodo t, e ktjy a quantidade

    de veculos do tipo k localizados no ponto j no perodo t. O divisor 24 serve apenas para

    compatibilizar a unidade de tempo da demanda e do tempo de atendimento. Considerando

    que a soma das demandas, expressas em frequncias de chamadas por dia, equivalente a

    uma taxa de gerao de clientes e que o inverso do tempo mdio de atendimento, definido em

    horas, equivalente a uma taxa de atendimento de servidores em sistemas de filas, o

    quociente entre eles anlogo a uma taxa de congestionamento do sistema kti . Alm disso,

    reescrevendo o somatrio de ktjy em todos os pontos candidatos jkt

    iW como uma varivel

    kt

    zb que representa a quantidade total de ambulncias do tipo k localizadas no perodo de

    tempo t na vizinhana ktiW do ponto i, a expresso (11) pode ser reescrita conforme a

    expresso (10).

    tk

    i

    tk

    i

    Wj

    t

    j

    tk

    i

    tk

    it

    irby

    q

    ti

    k ,

    ,

    ,1,

    ,

    ,

    1

    (10)

    Essas taxas de congestionamento kti so utilizadas, considerando o modelo de filas M/G/s-

    loss para a vizinhana ktiW do ponto i, para calcular a probabilidade de um servidor

    selecionado randomicamente estar ocupado. Considerando uma taxa genrica de

    congestionamento de um sistema de filas M/G/s-loss, a probabilidade p(w) de w servidores

    estarem ocupados dada pela expresso (11).

  • ww

    w

    wwp

    !1...

    !211

    !1

    2 (11)

    Com a expresso (11) possvel calcular, num sistema de filas, a probabilidade de

    atendimento E(w), que simplesmente a probabilidade complementar de p(w), representando

    a probabilidade de haver ao menos um servidor disponvel no momento de ocorrncia de uma

    demanda.

    wpwE 1 (12)

    Assim, a cobertura incremental wiC obtida por haver w ao invs de (w-1) veculos atendendo

    chamados dentro do sistema pode ser obtida de acordo com a expresso (13), que

    desenvolvida algebricamente, considerando especificamente as vizinhanas ktiW , resulta nas

    coberturas incrementais wktiC dadas pela expresso (14).

    1 wEwECw (13)

    tkw

    iwtk

    i

    tk

    i

    tk

    i

    wtk

    i

    wtk

    i

    tk

    i

    tk

    i

    wtk

    i

    C

    w

    w

    w

    w ,,,2,,

    ,

    1,2,,

    1,

    !1...

    !211

    !1

    !11...

    !211

    !11

    (14)

    Alm disso, seguindo os conceitos dos modelos MALP I e II propostos por ReVelle e Hogan

    (1989), pode-se calcular com o uso da expresso (11) a quantidade ktiM que a quantidade

    mnima de veculos do tipo k de modo que a probabilidade de todos os veculos desse tipo

    estarem ocupados na vizinhana ktiM do ponto i no perodo t seja inferior a (1-).

    1

    !1...

    !211

    !1

    1 2 kti

    iii

    kti

    i

    Mktkti

    ktkt

    Mktktikt

    i

    M

    MMp (15)

    Assim, considerando todos os pontos de demanda do conjunto V, todos os perodos do

    conjunto e os dois tipos de veculo, k=1 e k=2, que definem dois tipos de vizinhana,

    possvel calcular a cobertura esperada em um sistema de atendimento emergencial pela

    expresso (16).

    t k Vi

    M

    w

    tkw

    i

    tkw

    i

    tk

    i

    tki

    xCd2

    1 0

    ,,,,,

    ,

    (16)

  • Vale ressaltar que a cobertura esperada do sistema, dada pela expresso (16), limitada

    superiormente pelo produto entre a demanda total do sistema e a probabilidade , uma vez

    que a quantidade w de ambulncias do tipo k que cobrem um ponto i em um perodo de

    tempo t sempre menor ou igual a ktiM .

    O modelo proposto busca maximizar a cobertura esperada do sistema, calculada conforme a

    expresso (16), ao mesmo tempo em que busca minimizar o tempo total de realocao de

    viaturas entre perodos subsequentes. Esse tempo total de realocao, que depende dos

    tempos de deslocamento tijs e das variveis de deciso kt

    jjr ' , pode ser calculado segundo a

    expresso (17).

    t Wj Wj k

    kt

    jj

    t

    jj rs'

    2

    1

    '' (17)

    O modelo matemtico para o problema de localizao de bases, alocao de ambulncias em

    mltiplos perodos e realocao entre perodos subsequentes, proposto neste artigo, pode ser

    definido conforme as expresses (18) a (32). A sua resoluo permite determinar um plano de

    operao num horizonte pr-definido de tempo, ou seja, resulta na localizao de bases que

    deve ser estabelecida, na alocao de viaturas que varia nos mltiplos perodos de tempo e

    nas realocaes necessrias entre perodos subsequentes.

    t Wj Wj k

    kt

    jj

    t

    jj

    k Vi

    M

    w

    tkw

    i

    tkw

    i

    tk

    i rsxCd

    tki

    '

    2

    1

    ''

    2

    1 0

    ,,,,,

    ,

    [max] (18)

    Sujeito a:

    }2,1{,,, 1,

    ,

    ktViytk

    iWj

    tk

    j (19)

    }2,1{,,,

    ,

    , 0

    ,,

    ktVixy

    tki

    tki

    M

    w

    tkw

    i

    Wj

    kt

    j (20)

    },...,2,1{},2,1{,,, ,,,1,, tkitkw

    i

    tkw

    i MwktVixx (21)

    }2,1{,,, , ktWjyzp tkjjk (22)

    }2,1{},{,, )1(,

    kTtWjyrry tkjWi

    kt

    ji

    Wi

    kt

    ij

    kt

    j (23)

    }2,1{,, 1,,

    kWjyrry kjWi

    kT

    ji

    Wi

    kT

    ij

    Tk

    j (24)

    Wj

    zj pz

    (25)

  • tpyWj

    B

    t

    j , ,1

    (26)

    tpyWj

    A

    t

    j , ,2

    (27)

    tWjCyy jt

    j

    t

    j ,, ,2,1

    (28)

    {1,2},, inteiro, 0, ktWjy tkj (29)

    },...,2,1,0{},2,1{,,, }1,0{ ,tkiwkt

    i MwktVix (30)

    Wjz j , }1,0{ (31)

    }2,1{,,)',( inteiro, 0,' ktWjjrtk

    jj (32)

    A funo objetivo (18) busca a maximizao da cobertura esperada para os pontos de

    demanda em todos os perodos de tempo, ao mesmo tempo busca minimizar as realocaes

    de veculos de maneira proporcional distncia de realocao, sendo a constante de

    proporcionalidade igual ao parmetro . Para um detalhamento sobre o parmetro de

    proporcionalidade do tempo total de realocao sugere-se consultar Schmid e Doerner

    (2010).

    A restrio (19) assegura o nvel de servio mnimo do sistema, ou seja, garante que em

    todos os perodos, todos os pontos de demanda devem ter pelo menos uma ambulncia BLS

    alocada a uma base a menos de um raio de cobertura r1, e tambm pelo menos uma

    ambulncia ALS alocada a uma base a menos de um raio de cobertura r2. As expresses (20)

    e (21) garantem consistncia das definies das variveis de deciso wktix e kt

    jy . As restries

    (22) estabelecem que veculos s podem ser alocados a pontos candidatos que contenham

    bases localizadas neles.

    As restries (23) e (24) so equivalentes a equaes de balanceamento de fluxo de

    ambulncias numa base. Elas garantem a consistncia na definio das realocaes, de modo

    que em um determinado perodo t, a quantidade de viaturas do tipo k alocadas em uma base

    localizada em um determinado ponto j igual a quantidade de viaturas k neste ponto no

    perodo anterior, mais a quantidade de viaturas do tipo k realocadas de outras bases para essa

    base j no perodo anterior, menos o nmero de viaturas do tipo k realocadas dessa base j para

    outras bases no perodo anterior. Vale ressaltar que as restries (24) garantem uma

    continuidade do plano de operao resultante da soluo do modelo matemtico, de maneira

  • que a realocao do ltimo perodo t=T deve resultar na alocao do primeiro perodo do

    plano de operao t=1.

    As restries (25), (26) e (27) so, respectivamente, as restries da quantidade de bases que

    devem ser localizadas, e as restries das ambulncias bsicas e avanadas que devem ser

    alocadas ao longo dos perodos. As restries (28) limitam, para todos os perodos, a

    quantidade de veculos que pode ser alocada em uma determinada base. O domnio das

    variveis de deciso definido pelas equaes (29), (30), (31) e (32).

    Na expresso (1) o grafo G foi definido considerando os tempos de deslocamento como

    grandezas determinsticas e conhecidas a priori. Uma abordagem alternativa, como

    apresentado em Marianov e ReVelle (1996), seria a considerao de tempos de deslocamento

    como variveis aleatrias com distribuio de probabilidade conhecida; dessa forma os

    tempos de deslocamento entre os pontos do grafo podem ser definidos considerando um nvel

    de confiana . Pode-se ilustrar essa definio probabilstica dos tempos de deslocamento

    assumindo que cada varivel tijs siga uma distribuio normal com mdia tijs e desvio padro

    t

    ij ; sendo que os tempos de deslocamento podem ser definidos de acordo com a expresso

    (33).

    t

    ij

    tij

    t

    ij zss .* (33)

    Tal que z o valor da funo cumulativa normal de probabilidade que satisfaz o nvel de

    confiana . Essa definio dos tempos de deslocamento estendida definio dos

    conjuntos de pontos ktiW , kt

    jV e kt

    iN .

    {1,2} ; .*| krzssWjW ktijtijtijkti (34)

    {1,2} ; .*| krzssViV ktijtijtijktj (35)

    {1,2} ; .*| krzssVzN ktijtijtijkti (36) A considerao de tempos de deslocamento determinsticos ou probabilsticos no altera o

    restante do modelo, impactando somente no clculo de t

    ijs e na definio dos conjuntos.

    O modelo pode ser considerado original no sentido em que no h outro idntico na literatura.

    Porm, ele pode tambm ser visto como uma extenso do modelo Q-MALP proposto por

    Marianov e ReVelle (1996), utilizando alguns dos conceitos apresentados em Schmid e

  • Doerner (2010) relativos realocao das ambulncias, apresentando as seguintes

    contribuies: (i) considerao de mltiplos perodos de planejamento e consequente

    considerao do problema de realocao entre perodos subsequentes, (ii) considerao da

    caracterstica dinmica da questo, no sentido em que as demandas e tempos de deslocamento

    so diferentes para cada perodo, (iii) distino entre a localizao de bases e a alocao de

    viaturas, (iv) considerao de mltiplos tipos de veculos e diferentes raios de cobertura para

    cada um e (v) considerao de restries de capacidade nas bases. Maiores detalhes sobre o

    modelo matemtico podem ser encontrados em Andrade (2012).

    4. APLICAO DO MODELO

    O modelo matemtico proposto foi aplicado para avaliao e melhoria do Sistema de

    Atendimento Mvel Pr-hospitalar de Urgncia do municpio de So Paulo (SAMU-SP),

    sendo sua soluo realizada por um algoritmo de soluo baseado na meta-heurstica de

    Colnia Artificial de Abelhas proposto por Andrade (2012). O municpio apresenta um alto

    adensamento demogrfico nas regies centrais durante os perodos diurnos, sendo esse

    adensamento distribudo nos perodos noturnos, alm disso, a malha viria da cidade

    diariamente apresenta congestionamento de veculos.

    O SAMU-SP conta com 140 viaturas divididas entre viaturas bsicas (BLS) e avanadas

    (ALS). So empregadas bases fixas e bases mveis de atendimento. As bases fixas so

    edificaes alugadas espalhadas na cidade ou cedidas por outros rgos pblicos como

    estaes do corpo de bombeiros e hospitais. As bases mveis, ou bases modulares, so

    edificaes de montagem e desmontagem rpida (cerca de dois dias) que ficam localizadas

    em geral em praas ou qualquer local pblico. Uma das finalidades bsicas das bases mveis

    assegurar atendimento a eventos especiais com grande concentrao de pessoas como, por

    exemplo, eventos esportivos; contudo, sua rapidez de montagem e desmontagem, faz com

    que sejam tambm uma opo para as bases fixas.

    Nesta aplicao, a cidade foi dividida em 96 distritos, todos candidatos a receberem bases e

    viaturas, que representam os pontos de demanda e consequentemente os ns da rede de

    atendimento, sendo que 47 desses distritos contm bases fixas de atendimento e outros sete

    distritos contm bases mveis; contudo existem ao todo 13 bases mveis que so empregadas

    pelo SAMU-SP. Ressalta-se que nesse estudo de caso foram identificados distritos contendo

    mais de uma base, resultando que o nmero total de bases do SAMU-SP diferente do

  • nmero de distritos que contm bases considerando a configurao atual. Foi considerado um

    horizonte de planejamento de uma semana dividido em 21 perodos (3 perodos ao longo de 7

    dias).

    O procedimento de recebimento e triagem de chamados do SAMU-SP no distingue entre

    chamados que necessitam de viaturas do tipo bsico e chamados que necessitam de viaturas

    do tipo avanado; assim, as demandas foram definidas apenas em relao a um tipo de

    veculo; o mesmo foi feito com relao aos tempos de cobertura r1 e r2 do modelo

    matemtico, ou seja, foi feita uma simplificao do modelo considerando apenas um

    parmetro de cobertura tc. tendo em vista a no disponibilidade de dados das demandas de

    chamados por tipo.

    Inicialmente, foi feita uma avaliao da configurao atual do sistema de atendimento do

    SAMU-SP, no que diz respeito localizao de bases. Foram realizadas tentativas de soluo

    do problema considerando a configurao atual de bases, variando o tempo de cobertura,

    entre 15 e 30 minutos, e assumindo valores de duas, trs e quatro horas para o tempo de

    atendimento. Constatou-se que a configurao atual apresenta solues viveis apenas a partir

    de um tempo de cobertura de 27 minutos.

    Uma possvel melhoria seria um melhor emprego das 13 bases mveis que o SAMU-SP j

    possui. Foram realizados testes considerando as 47 localizaes das bases fixas atuais e as

    localizaes das sete bases mveis atuais, sendo que a localizao das outras seis bases

    mveis foi determinada pela soluo do modelo matemtico. Os resultados so apresentados

    na Figura 1 e mostram que o reposicionamento de seis bases do SAMU-SP pode diminuir o

    tempo mximo de cobertura do sistema de 27 para 16 minutos com probabilidade superior a

    99%. Isso significa uma melhoria de desempenho apenas com o melhor emprego dos recursos

    atuais.

    Alm dessa avaliao do sistema atual, foram realizadas outras anlises variando a

    quantidade de bases e ambulncias do sistema e os tempos de cobertura e de atendimento.

    Para essas anlises, foram considerados dois tipos de cenrio, um que considera as 47

    localizaes de bases fixas atuais, denominadas de instncias de teste no livres; e outro que

    considera 100% das bases como mveis, denominado de instncias de testes livres podendo

    ser posicionadas livremente pela soluo do modelo matemtico. Foram testadas instncias

  • considerando tempos de cobertura de 15, 10 e cinco minutos, e tempos de atendimento de

    duas, trs e quatro horas; neste artigo so apresentados apenas os resultados mais relevantes.

    Figura 1: Resultados da avaliao de melhoria da configurao atual de bases do SAMU-SP

    A Figura 2 apresenta os resultados considerando a situao de testes no livres, e um tempo

    de cobertura de 15 minutos. Observa-se que existem solues viveis para o problema mesmo

    considerando pequenas quantidades de bases e ambulncias; porm, com cobertura esperada

    da ordem de 80% a 85%, dependendo do nmero de bases. Tambm possvel verificar que,

    para todas as curvas apresentadas, os ganhos marginais de cobertura obtidos com o aumento

    da quantidade de ambulncias no sistema so decrescentes com a quantidade de viaturas.

    Essa constatao est de acordo com as afirmaes de Daskin (1983). Alm disso, possvel

    verificar que a partir de 100 ambulncias no sistema, independentemente da quantidade de

    bases, o aumento no nmero de viaturas contribui pouco para o aumento de cobertura

    esperada.

    A Figura 3 apresenta uma comparao entre os resultados das instncias de testes livres e no

    livres considerando um tempo de cobertura de 10 minutos e um tempo de atendimento de

    duas horas. Pode-se observar que solues viveis para as instncias no livres so

    encontradas com uma quantidade de bases a partir de 80 e uma quantidade de ambulncias a

    partir de 70. No caso ds instncias livres, possvel encontrar solues viveis com uma

    menor quantidade de bases e ambulncias; so encontradas solues com 70 bases e 70

    ambulncias. Esse resultado evidencia que existem vantagens em considerar 100% das bases

    mveis, podendo ser posicionadas em qualquer distrito.

  • Figura 2: Resultados das instncias de teste no-livres considerando 15 minutos como tempo

    de cobertura e duas horas como tempo de atendimento

    Os resultados considerando um tempo de cobertura de 5 minutos apresentam solues viveis

    apenas com 96 distritos cobertos por bases, ou seja, solues em que todos os distritos

    contm bases; dessa forma, independe se a instncia considera 100% das bases como mveis

    ou no. Os resultados mostram que possvel encontrar solues, considerando um tempo de

    atendimento igual a duas horas e com 140 ambulncias, com cobertura superior a cerca de

    92%.

    Figura 3: Comparao entre os resultados das instncias de testes livres no-livres

    considerando 10 minutos como tempo de cobertura e duas horas como tempo de atendimento

  • 5. CONCLUSES

    Neste trabalho foi proposto um modelo matemtico indito para o problema denominado

    neste artigo de Problema de localizao de bases, alocao de veculos em mltiplos

    perodos, e realocao entre perodos subsequentes. Esse modelo abrange os seguintes

    pontos do problema de planejamento de sistemas de atendimento emergencial: determinao

    do posicionamento de bases e da correspondente alocao de veculos feita de forma

    independente, possibilidade de considerao de mais de um tipo de veculos para diferentes

    tipos de demanda, diferentes tempos de cobertura para cada tipo de veculo, considerao de

    capacidade de acomodao de viaturas nas bases e disponibilidade finita de recursos de

    atendimento (bases e viaturas), modelagem probabilstica da cobertura, considerao dos

    padres de variao espao-temporal da demanda e considerao das variaes temporais dos

    tempos de deslocamento entre os diversos locais de uma regio. Pode-se considerar que esse

    um modelo bastante abrangente podendo ser aplicado a diversas situaes.

    O estudo de caso do municpio de So Paulo foi realizado considerando o SAMU-SP, suas

    bases e viaturas. Os testes foram feitos levando em conta a variao de diversos parmetros:

    nmero de bases e ambulncias, tempo de atendimento de cada chamado e tempo de

    cobertura desejado. Os resultados mostram que possvel chegar a um tempo de cobertura de

    16 minutos com probabilidade acima de 95% considerando a quantidade de recursos

    existentes, desde que melhor empregados em relao configurao atual. Pode-se ainda,

    com um acrscimo do nmero de bases at um total de 96, chegar a um tempo de cobertura

    de cinco minutos com probabilidade prxima de 95%. Os resultados tambm mostram que

    existem vantagens em operar com bases mveis, que podem ser reposicionadas em pouco

    tempo, ao invs de bases fixas.

    Um dos potenciais aprimoramentos seria a considerao do modelo do Hipercubo na

    definio do modelo matemtico, que talvez permitisse a considerao da caracterstica

    estocstica do problema com mais detalhes, sendo esse um potencial tema para pesquisa

    futura. Mesmo na sua forma atual, o modelo matemtico apresentado neste artigo pode ser

    implementado pelos planejadores de sistemas de atendimento emergencial como um modelo

    de apoio deciso, fazendo com que seus tenham seus recursos otimizados, maximizando o

    nvel de servio para os usurios e assim as chances de salvamento de vidas.

    REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

  • Andrade, L. A. C. G. (2012) Heurstica baseada em colnia artificial de abelhas para o problema de

    localizao de bases, alocao e realocao de ambulncias. 2012. 250p. Dissertao (Mestrado)

    Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Departamento de Engenharia de Sistemas Logsticos,

    So Paulo.

    Bianchi, G. e Church, R. L. (1988) A hybrid fleet model for emergency medical service systems design. Social

    Sci. Med. 26, 163-171.

    Batta, R.; Dolan, J. e Krishnamurthy, N. (1989) The maximal expected covering location problem: revisited.

    Transport. Science. 23, 277-287.

    Brotcorne, L.; Laporte, G. e Semet, F. (2003) Ambulance Location and Relocation Models. European Journal

    of Operations Research 147, 451-463.

    Church, R. L. e ReVelle, C. (1974) The maximal covering location problem. Papers of the Regional Science

    Association 32,101-118.

    Daskin, M. S. (1983) A maximum expected location model: Formulation, properties and heuristic solution.

    Transportation Science 7, 4870.

    Daskin M. (1995) Network and discrete location: models, algorithms, and application. John Wiley&Sons.

    Gendreau, M.; Laporte, G. e Semet, F. (2001) A dynamic model and parallel tabu search heuristic for real-time

    ambulance relocation. Parallel Computing 27, 1641-1653.

    Jyaraman, V. e Srivastava, R. (1995) A Service Logistics Model for Simultaneous Siting of Facilities and

    Multiple Levels of Equipment. Computers & Operations Research 22 (2), 191-204.

    Larson, R.C. (1974) A hypercube queueing model for facility location and redistricting in urban emergency

    services. Computers & Operations Research 1, 6795.

    Marianov V. e ReVelle C. (1996) The Queueing Maximal Availability Location Problem: A model for the siting

    of emergency vehicles. European Journal of Operations Research 93, 110-120.

    Medina, A. C. (1996) Modelos para dimensionamento de frota e localizao de embarcaes para atendimento

    de acidentes martimos. 1996. 240p. Dissertao (Mestrado) Escola Politcnica da Universidade de So

    Paulo. Departamento de Engenharia Naval e Ocenica, So Paulo.

    Rajagopalan, H.K.; Saydam, C. e Xiao, J. (2008) A multi-period set covering location model for dynamic

    redeployment of ambulances. Computers & Operations Research 35 (3), 814826.

    ReVelle, C. S. e Hogan, K., (1989) The maximum availability location problem. Transportation Science 23,

    192200.

    Revelle, C. S. e Marianov, V. (1991) A probabilistic FLEET model with individual vehicle reliability

    requirements. European Journal of Operations Research 53, 93-105.

    Schilling, D.; Elzinga, D. J.; Cohon, J.; Church, R. e ReVelle, C. (1979) The Team/Fleet Models for

    Simultaneous Facility and Equipment Siting. Transportation Science, v. 13, n. 2, p. 163-175.

    Schilling, D. A.; Jayaraman, V. e Barkhi, R. (1993) A review of covering problems in facility location. Location

    Science v 1 n 1, 2555.

    Schmid, V. e Doerner, K. F. (2010) Ambulance location and relocation problems with time-dependent travel

    times. European Journal of Operations Research 207, 12931303.

    Singer, M. e Donoso, P. (2008) Assessing an ambulance service with queuing theory. Computers & Operations

    Research 35, 2549-2560.

  • Toregas, C.R.; Swain, R.; ReVelle, C.S. e Bergman, L., (1971) The location of emergency service facilities.

    Operations Research 19, 13631373.