Prof. GISELI VERGINIA SONEGO Orientador: Profª. Drª. ELENI BISOGNIN
Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Orientadora: Drª . ELENI BISOGNIN
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Transcript of Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Orientadora: Drª . ELENI BISOGNIN
FRANCISCANO
CENTRO UNIVERSITÁRIO
Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVESAluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES
Orientadora: Drª. Orientadora: Drª. ELENI BISOGNINELENI BISOGNIN
Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do
Cigarro: uma Forma de Contextualizar a Cigarro: uma Forma de Contextualizar a
MatemáticaMatemática
Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do
Cigarro: uma Forma de Contextualizar a Cigarro: uma Forma de Contextualizar a
MatemáticaMatemática
Link para dissertação (PDF): http://sites.unifra.br/Portals/13/CD_Recursos2008/dissertacao_cristina.pdf
O USO DA METODOLOGIA DA MODELAGEM MATEMÁTICA
Nesse trabalho de dissertação optamos pela utilização da metodologia da Modelagem Matemática por propiciar um estudo da matemática relacionando-o à situações da realidade.
A escolha do tema referente ao uso de drogas, em particular o uso do álcool e do cigarro, deu-se em comum acordo entre a professora da turma e os alunos.
Durante o desenvolvimento das etapas da Modelagem foi possível aos alunos pesquisarem sobre o tema escolhido, elaborar problemas, resolvê-los matematicamente e, sempre que possível, fizeram a análise crítica da solução.
LANÇAMENTO DO TEMALANÇAMENTO DO TEMAO início do trabalho
foi no auditório do colégio. Na apresentação, foram utilizadas reportagens de revistas, dados estatísticos e montagens de fotos que permitiram que o assunto fluísse livremente. Os alunos puderam fazer colocações sobre o uso do álcool e do cigarro, comentando seus malefícios.
Utilizamos uma linguagem própria à idade dos alunos.Mostramos percentuais estatísticos do consumo de álcool e de cigarro pelos jovens, no Brasil e em alguns países; reportagens da revista SAÚDE! de março de 2005, que falava sobre o consumo de álcool entre os jovens; reportagem da revista GALILEU de fevereiro de 2005, que tratava dos efeitos de uma bebedeira; reportagem da revista SUPERINTERESSANTE de junho de 2003, comentando a ascensão e queda do consumo de tabaco;reportagem do jornal A RAZÃO de 30 agosto de 2005 sobre esse assunto.
Procuramos deixá-los interessados em buscar informações sobre o consumo de álcool e de cigarro e sobre seus efeitos no organismo humano.
Orientamos os alunos a coletarem informações em jornais, livros, revistas, internet, periódicos especializados, etc.
CONFECÇÃO DE CARTAZESCONFECÇÃO DE CARTAZES
Após a apresentação os alunos confeccionaram cartazes referentes ao tema. Abaixo estão algumas imagens.
Selecione a Figura
ATIVIDADES PROPOSTAS AOS ALUNOSATIVIDADES PROPOSTAS AOS ALUNOS
Após a confecção dos cartazes e ampla
discussão sobre o tema, levantamos junto com os
alunos, dados e, em função destes, criaram-se
situações problema.
A primeira atividade referiu-se ao Estudo
Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas
por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e
Superior de Santa Maria – RS.
Foi dado um pequeno texto retirado de uma
revista alertando que o álcool entra cada vez mais
cedo e em doses altíssimas na vida dos adolescentes.
A seguir, apresentamos as seguintes A seguir, apresentamos as seguintes
atividades:atividades:
- Nos últimos anos, o percentual de estudantes do
Ensino Médio que usaram álcool tem aumentado
10% a cada ano.
- No ano 2000, havia, em Santa Maria,
aproximadamente 11000 estudantes do Ensino
Médio usuários de álcool.Com base nessas informações
perguntamos:
Qual a previsão do número de usuários de
álcool no Ensino Médio em Santa Maria, para os
anos de 2005, 2010, 2015 e 2020, caso a taxa de
crescimento permaneça constante?
ATIVIDADE 1ATIVIDADE 1
Vamos considerar o número inicial de
estudantes que havia em Santa Maria no ano
2000, ou seja, 11000 estudantes e pela taxa de
crescimento , 10% , para obtermos o número de
usuários nos anos 2005, 2010, 2015 e 2020.
Dinâmica de Resolução da Atividade
Para organizar os dados numa tabela, Para organizar os dados numa tabela,
indicou-se o ano 2000 como sendo o ano zero:indicou-se o ano 2000 como sendo o ano zero:
Em 2001 teremos:
11000 + 10/100 . 11000 = 11000 + 1100 = 12100 usuários
Em 2002:
12100 + 10/100 . 12100 = 12100 + 1210 = 13310 usuários
Em 2003:
13310 + 10/100. 13310 = 13310 + 1331 = 14641 usuários
Em 2004:
14641 + 10/100. 14641 = 14641 + 1464,1= 16105 usuários
Em 2005:
16105 + 10/100. 16105 = 16105 + 1610,5 = 17716 usuários.
Tabela 1Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria.
Tempo(anos) Usuários (Álcool)
2000 11000
2001 12100
2002 13310
2003 14641
2004 16605
2005 17716
Fonte: Dados construídos a partir do Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS
Dividindo-se o número de usuários de um ano pelo número de usuários do ano anterior, obteve-se uma constante
Considerando-se o número inicial de usuários, tem-se:
Valor inicial: 11000
Após 1 ano: 11000 . 1,1
Após 2 anos: 11000 . 1,1 . 1,1 = 11000 . (1,1)2
Após 3 anos: 11000 . (1,1)3 e
Após t anos: 11000 . (1,1)t
1,111000
12100
2000
2001
emusuários
emusuários
1,112100
13310
2001
2002
emusuários
emusuários
1,113310
14641
2002
2003
emusuários
emusuários
Falando-se numa linguagem mais Falando-se numa linguagem mais formal:formal:
Esses valores foram analisados de maneira
crítica, e verificou-se sua compatibilidade com
a realidade, o que na Modelagem identifica-se
como “VALIDAÇÃO” do modelo encontrado.
Os alunos acharam que esses resultados
estavam altos demais. Concluiu-se então, que
para serem verdadeiros, a taxa de aumento
de usuários de álcool teria que ser mantida
constante, assim como o aumento na taxa de
crescimento do número de estudantes do
Ensino Médio também teria que ser
proporcional.
Usando o programa Excel foi construído o gráfico da
Função Exponencial para analisar seu comportamento.
Inicialmente construiu-se uma tabela com os valores
encontrados:Tabela 2
Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria.
Tempo (anos) Usuários (MILHARES)
0 11
1 12,1
2 13,31
3 14,64
4 16,1
5 17,71
10 28,49
15 45,98
20 74,03
Fonte: Dados OBTIDOS a partir do Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS.
Usuários (Álcool)
010
203040
5060
7080
0 5 10 15 20 25
Usuários(Á lcool)
Usando os pontos da tabela, construiu-se o gráfico da função:
Construir no Excel, o gráfico das funções
e compare-os. O que podemos concluir?
xxU )1,1.(11)( xxP )3,1.(11)( xxQ )5,1.(11)(
ATIVIDADE 2ATIVIDADE 2
Para construir o gráfico, elaborou-se uma tabela, usando a lei das funções para determinar pontos do seu gráfico.
Dinâmica de Resolução da Atividade
Tabela 3Valores de U(x), P(x) e Q(x).
x
0 11 11 11
1 12,1 14,3 16,5
2 13,31 18,59 24,75
3 14,64 24,17 37,12
4 16,1 31,42 55,68
5 17,71 40,85 83,52
xxU )1,1.(11)( xxP )3,1.(11)( xxQ )5,1.(11)(
Fonte: Dados da autora
Usando os pontos da tabela, construiu-se o gráfico da função:
0102030405060708090
1 2 3 4 5 6
y
x
Gráficos comparativos
U(x)P(x)Q(x)
ATIVIDADE 3ATIVIDADE 3
O modelo matemático que nos dá o número de
usuários de álcool no Ensino Médio, em Santa
Maria, a partir do ano 2000 é:
Em que ano em que o número de usuários
chegará a 98,50 milhares?
ttU 1,1.11)(
. Resolvendo fica , ou ainda
. Para descobrir “t”, usa-se a
calculadora, fazendo-se diversas substituições até
encontrar o valor mais aproximado, chegando-se,
assim, há 23 anos.
t1,1.1150,98 11
50,981,1 t
95,81,1 t
Igualando-se a lei da função a esse valor, pretende-se
encontrar o ano, que será representado por t.
Igualando-se os valores, obtém-se
Dinâmica de Resolução da Atividade
Como o ano inicial (ano 0) é contado em
2000, passados 23 anos, conclui-se que o
número de usuários de álcool, no Ensino
Médio, em Santa Maria, chegará a 98,50
milhões, aproximadamente em 2023. Fazendo-
se a interpretação crítica do resultado
encontrado, conclui-se que ele não condiz com
a realidade, pois seria muito alto, mesmo para
2023. Faz-se necessário lembrar que as
populações crescem exponencialmente por um
certo intervalo de tempo. Quando são
transcorridos muitos anos, os crescimentos
populacionais deixam de ser exponenciais
ATIVIDADE 4ATIVIDADE 4A atividade a seguir teve o objetivo de explorar várias situações relacionadas à Função Exponencial, principalmente no que se refere ao seu gráfico.
Estime em quanto tempo o número de Estime em quanto tempo o número de
usuários de álcool no Ensino Médio em usuários de álcool no Ensino Médio em
Santa MariaSanta Maria::dobrará
Construa no Excel o gráfico da função, Construa no Excel o gráfico da função, aparecendo as situações aparecendo as situações aa e e bb.
triplicará
Dinâmica de Resolução da Atividade
a) Para descobrir o ano em que o número de
usuários vai dobrar, basta tomar o valor
inicial, que é de 11 milhares e calcular o
dobro, ou seja, 22 milhares. Como o
modelo matemático é descrito por
, para obter o dobro, ou seja,
22, procura-se o valor de t, tal que .
Fazendo-se ,isto é, t é
aproximadamente 7,5 anos. Portanto,
conclui-se que, para a população de usuários
de álcool no ensino Médio em Santa Maria
dobrar, seriam necessários,
aproximadamente, 7 anos e 6 meses.
ttU 1,1.11)(
22)( tUt1,1.1122
c) Para construir o gráfico no Excel, constrói-se
inicialmen- te a tabela, incluindo-se os resultados
encontrados nas letras a e b:
b) Para o número de usuários chegar ao triplo,
basta triplicar-se o valor inicial, passando-se de
11 milhares para 33 milhares. De maneira
análoga a anterior, faz-se
, igualando-se , de onde se
conclui que o valor de t é de aproximadamente
11,5 anos.
Assim, descobre-se que seriam necessários 11
anos e 6 meses para que o número de usuários
de álcool no ensino Médio, em Santa Maria,
triplique.
33)( tU t1,1.1133
Tabela 4Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria.
Tempo (anos) Usuários (Milhares)
0 11
1 12,1
2 13,31
3 14,64
4 16,1
5 17,71
7,5 22
11,5 33
Fonte: Dados construídos a partir do Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS.
Usuários Álcool
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12 14
Tempo (anos)
Usu
ário
(milh
ares
)
Gráfico da função:
Gráfico do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria-RS.
Pode-se observar, graficamente, o ano em que a população dobrou e também quando triplicou.
ATIVIDADE 5ATIVIDADE 5
Como o modelo encontrado tem como ano 0 o ano
2000, e a pergunta refere-se ao ano 1990, isto é, há
dez anos atrás, deve-se usar para t 0 o valor -10:
ttU 1,1.11)( 18,438,0.111,1.11)10( 10 U milhares
Assim, o número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria, no ano de 1990 é de 41804180.
Use o modelo que construímos para o número de
usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria
para estimar o número de usuários que havia em 1990,
admitindo-se que a taxa de crescimento é a mesma e
construa o gráfico no Excel, incluindo essa situação.
Dinâmica de Resolução da Atividade
Figura 4 - Gráfico do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria-RS.
Construção do Gráfico
ATIVIDADE 6ATIVIDADE 6
Identifique nas tabelas a seguir se elas representam
ou não os dados de uma Função Exponencial:
x y
0 20,0
1 21,0
2 22,10
3 23,2775
4 24,6425
5 26,2650
x y
0 20,0
1 21,0
2 22,05
3 23,1525
4 24,3101
5 25,5256
a) b)
Dinâmica de Resolução da Atividade
ATIVIDADE 7ATIVIDADE 7
O número de usuários (em milhares) de álcool numa cidade tem crescido nos últimos 6 anos segundo o gráfico da Função Exponencial dada abaixo:
a) Use o gráfico para estimar
em que ano a população
dobrou.
b) Verifique graficamente que
o tempo necessário para a
população duplicar não
depende do ponto onde se
começa a analisar.
0 1 2 3 4 5 6 7
800
700
600
500
400
300
200
100
Considerando a população inicial como sendo
a ordenada inicial, percebe-se, pelo gráfico,
que esta é menor do que 100 e que, para
dobrar precisa de quase 2 anos, associando-a
à abscissa correspondente. Esse é o tempo
necessário para que qualquer valor da
população venha a dobrar, que nada mais é do
que o fator de crescimento desta função.
Dinâmica de Resolução da Atividade
ATIVIDADE 8ATIVIDADE 8
Pesquise a população do estado de São
Paulo no ano 2000, após descubra o número de
dependentes de álcool nessa população e a taxa
de crescimento do número de dependentes a cada
ano.
Responda às seguintes questões:Responda às seguintes questões:
a) Qual é o modelo matemático que descreve o
número de dependentes de álcool a partir do
ano 2000, em função do tempo t?
b) Se essa taxa permanece constante, qual será a
previsão para o número de dependentes em
2010?
Obteve-se as seguintes informações:Obteve-se as seguintes informações:
no ano 2000, a população do Estado de São
Paulo era de aproximadamente 37 milhões,
segundo dados do Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística (IBGE),
aproximadamente 6,6% da população eram
dependentes de álcool nesse ano;
a taxa de crescimento do número de
dependentes era de 1,4% a cada ano (IBGE,
2005 e CEBRID, 2000).
Primeiramente, calcula-se o número
inicial de dependentes no ano 2000, que
corresponde a 2,44 milhões. Sabendo a taxa
anual de dependentes, que é de 1,4% , ou
seja, 0,014 , encontra-se o fator de
crescimento, que é 1,014.
Dinâmica de Resolução da Atividade
Tabela Representativa dos Dependentes de
Álcool no Estado de São Paulo.
Tempo (anos) Dependentes (Álcool)
0 2,44
1 2,47
2 2,50
3 2,54
Fonte: Dados da autora.
ATIVIDADE 9ATIVIDADE 9
Em 2000, a população do Rio Grande do Sul
era de 10 milhões. Supondo que a porcentagem do
número de dependentes de álcool seja a mesma de
São Paulo, ou seja, 6,6% da população e que a taxa
de crescimento do número de dependentes também
é de 1,4% ao ano, pede-se:
a) O modelo matemático para o número de dependentes de álcool no RS, desde o ano 20002000, em função do tempo tt.
b) Se essa taxa permanecer constante, qual a previsão para o número de dependentes nos anos 20052005,
20102010 e 20202020 ?
Dinâmica de Resolução da Atividade
Dinâmica de Resolução da Atividade
ATIVIDADE 10ATIVIDADE 10
O risco de acidentes automobilísticos cresce com a
quantidade de álcool ingerido. Usando como
referência o número de cálices de vinho ingeridos,
tem-se a seguinte tabela do risco de acidentes (em
porcentagem):
Risco de acidentes automobilísticos Risco de acidentes automobilísticos
em função do número de cálices ingeridosem função do número de cálices ingeridos..
Nº de CálicesRisco de Acidentes
(%)
0 0,95
1 1,23
2 1,59
3 2,05
4 2,64
Fonte: Dados adaptados (BASSANEZI, 2002, p.275).
a) O modelo matemático que indica o risco de acidentes automobilísticos, em função do número de cálices de vinho bebidos.
Sabendo-se que a taxa de risco é constante, pede-se:Sabendo-se que a taxa de risco é constante, pede-se:
Dinâmica de Resolução da Atividade
a) Primeiramente, sugere-se que se encontre o fator de
crescimento, usando-se os valores fornecidos na tabela:
Calculando-se os quocientes 1,23/0,95=1,29 ,
1,59/1,23= 1,29 , 2,05/1,59=1,29 , etc... , obtém-se
resultados constantes, pois, como foi dito, o risco de
acidentes cresce exponencialmente em função do
numero de cálices de vinho ingeridos. Esse resultado
encontrado, 1,29 , representa o fator de crescimento
da função. Dada a Função Exponencial R(c)=bac , indica-
se por c o número de cálices de vinho ingeridos e R (c) o
risco de se sofrer um acidente em função do número de
cálices ingeridos.
Conhecido o fator de crescimento a=1,29 e a
porcentagem de risco de 0,95 , correspondente a b,
encontra-se o modelo matemático R(c ) = 0,95 . 1,29c ,
que permite calcular o risco (em %) de se sofrer um
acidente automobilístico, em função do número de
cálices de vinho ingeridos.
b) Quantos cálices devem-se ingerir para se ter a
“certeza” de sofrer um acidente?
Na verdade, “certeza de sofrer um acidente” é
uma maneira relativa de se falar, pois, na prática,
ninguém tem certeza absoluta de que irá sofrer um
acidente. A “certeza” de acidente está relacionada a
um risco de 100%, ou seja, a partir do modelo
, iguala-se a 100 e obtém-se o resultado
. Ao se resolver, encontra-se a equação exponencial
, onde se obtém para c o valor aproximado
18,3. Será necessário, portanto, ingerir
aproximadamente 18,3 cálices de vinho para se ter a
“certeza” de sofrer um acidente.
Na verdade, “certeza de sofrer um acidente” é
uma maneira relativa de se falar, pois, na prática,
ninguém tem certeza absoluta de que irá sofrer um
acidente. A “certeza” de acidente está relacionada a
um risco de 100%, ou seja, a partir do modelo
, iguala-se a 100 e obtém-se o resultado
. Ao se resolver, encontra-se a equação exponencial
, onde se obtém para c o valor aproximado
18,3. Será necessário, portanto, ingerir
aproximadamente 18,3 cálices de vinho para se ter a
“certeza” de sofrer um acidente.
ccR 29,1.95,0)( c29,1.95,0100
26,10529.1 c
c) Construa o gráfico da função no Excel, incluindo o número de cálices encontrados na letra b.
Tabela indicando a porcentagem do risco de acidentes automobilísticos em função do número de cálices de vinho ingeridos.
Nº de CálicesRisco de Acidentes
(%)
0 0,95
1 1,23
2 1,59
3 2,05
4 2,64
18,3 100
Fonte: Dados adaptados (BASSANEZI, 2002, p.275).
Gráfico correspondente ao risco de acidentes
Risco de Acidente
0
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15 20
Nº de cálice
Ris
co
d) Se o teor alcoólico no sangue, ao se ingerir um
cálice de vinho é de 0,0146% e de acordo com a
legislação brasileira (anterior à lei atual em
vigor), uma pessoa está incapacitada para dirigir com
segurança se tiver um teor alcoólico superior a 0,08%,
qual o número máximo de cálices de vinho que
uma pessoa pode beber para passar no teste do
bafômetro?
Para saber o número máximo de cálices de
vinho que uma pessoa pode ingerir para passar no
teste do bafômetro, basta dividir o número máximo
permitido de teor alcoólico, ou seja, 0,08 , pelo teor de
um cálice de vinho, 0,0146 , ou , seja:
5 5 é o maior número de cálices permitido.
Dinâmica de Resolução
ATIVIDADE 11ATIVIDADE 11
Em 1987, na cidade de Porto Alegre, o número de
pessoas que havia feito uso de álcool na vida era de
aproximadamente 2,12 milhões. Em 1989, esse
número era de aproximadamente 2,24 milhões.
a)Sabendo-se que esse crescimento é exponencial,
qual é o modelo matemático para determinar o
número de usuários de álcool, em função do tempo t,
desde 1987?
b)Use o modelo encontrado para predizer o número
de usuários em 2005, 2010 e 2015.
c)Em que ano o número total de usuários chegará a
6,5 milhões?
Tempo (anos)Usuários (Álcool)
2,12
2,24
Usuários de álcool em Porto Alegre
Fonte: Dados encontrados no referencial
mencionado
0t1987
2t1989
Dinâmica de Resolução da Atividade
Pensa-se, então, em como encontrar a lei da
função dados dois dos seus pontos. Como já são
conhecidos os conceitos relacionados à Função
Exponencial, generaliza-se , sendo t o
tempo em anos a partir de 1987, U(t) o número de
usuários de álcool em Porto Alegre, a o fator de
crescimento e b o número inicial de usuários em 1987.
No ano 0 (1987), o número de usuários é 2,12,
substituindo-se na função
, encontra-se para b o valor 2,12. Para o
ano 2 (1989), o número de usuários é 2,24, ao substituir
na função, encontra-se , chegando-se na
equação , ou seja, . Obtém-se o
modelo: , em milhões, que descreve o
número de usuários de álcool, em Porto alegre, a partir
de 1987.
Pensa-se, então, em como encontrar a lei da
função dados dois dos seus pontos. Como já são
conhecidos os conceitos relacionados à Função
Exponencial, generaliza-se , sendo t o
tempo em anos a partir de 1987, U(t) o número de
usuários de álcool em Porto Alegre, a o fator de
crescimento e b o número inicial de usuários em 1987.
No ano 0 (1987), o número de usuários é 2,12,
substituindo-se na função
, encontra-se para b o valor 2,12. Para o
ano 2 (1989), o número de usuários é 2,24, ao substituir
na função, encontra-se , chegando-se na
equação , ou seja, . Obtém-se o
modelo: , em milhões, que descreve o
número de usuários de álcool, em Porto alegre, a partir
de 1987.
tabtU .)(
0.12,2 ab
06,12 a2.12,224,2 a
03,1a ttU 03,1.12,2)(
Usa-se o modelo matemático encontrado para
predizer o número de usuários para os próximos anos
(2005, 2010 e 2015). Para 2005, subtrai-se (2005 –
1987) para encontrar o número de anos transcorridos
até então, encontrando-se 18 anos. Ao substituir
, pode-se descobrir que o número de
usuários de álcool em Porto Alegre em 2005 é de
aproximadamente 3,60 milhões de usuários. Para 2010,
serão transcorridos 23 anos (2010 – 1987): ,c
encontrando-se aproximadamente 4,18 milhões
de usuários. Para 2015, serão passados 28 anos (2015
– 1987), para se saber o número de usuários, faz-se a
substituição, ,c , encontrando-
se 4,85 milhões de usuários.
Usa-se o modelo matemático encontrado para
predizer o número de usuários para os próximos anos
(2005, 2010 e 2015). Para 2005, subtrai-se (2005 –
1987) para encontrar o número de anos transcorridos
até então, encontrando-se 18 anos. Ao substituir
, pode-se descobrir que o número de
usuários de álcool em Porto Alegre em 2005 é de
aproximadamente 3,60 milhões de usuários. Para 2010,
serão transcorridos 23 anos (2010 – 1987): ,c
encontrando-se aproximadamente 4,18 milhões
de usuários. Para 2015, serão passados 28 anos (2015
– 1987), para se saber o número de usuários, faz-se a
substituição, ,c , encontrando-
se 4,85 milhões de usuários.
1803,1.12,2)18( U
2303,1.12,2)23( U
2803,1.12,2)28( U
Respondendo-se ao último questionamento, em
que ano o número de usuários atingirá o valor de 6,5
milhões, pensa-se em igualar a função a este valor:
. Encontrando-se a equação exponencial ,
de onde se obtém para t o valor aproximado de 38
anos. Somando-se 1987 + 38 = 2025, logo, o número
de usuários chegará a 6,5 milhões na cidade de Porto
Alegre, aproximadamente no ano 2025.
Respondendo-se ao último questionamento, em
que ano o número de usuários atingirá o valor de 6,5
milhões, pensa-se em igualar a função a este valor:
. Encontrando-se a equação exponencial ,
de onde se obtém para t o valor aproximado de 38
anos. Somando-se 1987 + 38 = 2025, logo, o número
de usuários chegará a 6,5 milhões na cidade de Porto
Alegre, aproximadamente no ano 2025.
t03,1.12,25,6
07,303,1 t
ATIVIDADE 12ATIVIDADE 12
O estudo realizado por Menezes em 2004, na
Universidade Federal de Pelotas, mostrou que a
prevalência de tabagismo entre os estudantes de
medicina tem caído nos últimos anos. A taxa de
decrescimento encontrada é em torno de 0,95% ao
ano.
Utilizando essa mesma taxa para o
decrescimento do número de usuários de tabaco entre
os estudantes da Universidade Federal de Santa Maria,
e sabendo-se que, no ano 2000, havia
aproximadamente 5479 usuários, qual é a previsão
para os anos 2005, 2010, 2015 e 2020, supondo-se
que a taxa de decrescimento mantenha-se constante?
Dinâmica de Resolução da Atividade
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 5 10 15 20 25
Tempo em anos
Us
uá
rio
s
Tempo (anos) Usuários (Tabaco)
0 5479
1 5424
2 5370
3 5316
5 5205
10 4931
15 4712
20 4493Fonte: Dados encontrados a partir
dos referenciais citados.
Usuários de tabaco na Universidade Federal de Santa Maria.
Usuários de tabaco
ATIVIDADE 13ATIVIDADE 13
A taxa de eliminação de etanol em um homem que
ingeriu 7 garrafas de cerveja é de aproximadamente 8%
por hora. Se 340ml de cerveja possuem 20ml de etanol,
pede-se:
a) Construa uma tabela comparativa entre o resíduo de cerveja e o de etanol.
b) Qual é o modelo matemático que representa o resíduo de cerveja no organismo, com o passar das horas?
c) Qual é o modelo matemático que representa o resíduo de etanol no organismo, com o passar das horas?
d) Após 8 horas, qual o resíduo de etanol no organismo?resíduo de etanol no organismo?
e) Analise graficamente quanto tempo levará até que o etanol desapareça do organismo.
f) Faça um gráfico comparativo dos modelos encontrados em bb e cc.
a) A relação que foi dada é que 340ml de cerveja
possuem 20ml de etanol, sendo assim, pensa-se em
quantos ml possuem 7 garrafas de cerveja. Sabendo-
se que 1 garrafa de cerveja possui 600ml, conclui-se
que, se o indivíduo ingeriu 7 garrafas de 600ml,
ingeriu um total de 4200ml.
Para descobrir quanto de etanol há em 4200ml de
cerveja, faz-se uma regra de três. Se uma lata de
cerveja de 340ml corresponde a 20ml de etanol, então
4200ml de cerveja corresponde a um valor
aproximado de 247ml.
Dinâmica de Resolução da Atividade
Calcula-se a seguir o fator de decrescimento para se
saber qual é o fator multiplicativo da função, a fim de
se construir a tabela. Como a taxa de eliminação é de
0,080,08, o fator de decrescimento é 0,920,92.
Calcula-se a seguir o fator de decrescimento para se
saber qual é o fator multiplicativo da função, a fim de
se construir a tabela. Como a taxa de eliminação é de
0,080,08, o fator de decrescimento é 0,920,92.
Conhecendo-se o valor inicial de cerveja (4200ml), o
valor inicial de etanol (247ml) e o fator multiplicativo
(0,92), obtém-se a tabela:
Resíduo de cerveja e resíduo de etanol.
Tempo (horas) Resíduo Cerveja Resíduo Etanol
0 4200 247
1 3864 227,24
2 3554,49 209,06
3 3270,49 192,34
4 3008,85 176,95
Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados.
b) O modelo matemático que representa o resíduo de
cerveja no organismo é c(t)=4200.(0.92)t
c) O modelo matemático que representa o resíduo de
etanol no organismo é E(t)=247.(0.92)t
d) O resíduo de etanol no organismo após 8h,é
E(8)=247.(0.92)s, obtendo-se 125,97. Portanto, após
8 horas da ingestão de 7 garrafas de cerveja, ainda
haverá 125,97ml de etanol no organismo.
d) O resíduo de etanol no organismo após 8h,é
E(8)=247.(0.92)s, obtendo-se 125,97. Portanto, após
8 horas da ingestão de 7 garrafas de cerveja, ainda
haverá 125,97ml de etanol no organismo.
Para observar graficamente
quanto tempo será necessário
para que o etanol desapareça do
organismo, foi construída a
tabela de valores e o gráfico
correspondente.
Resíduo de etanolTempo (horas) Resíduo (Etanol)
0 247
1 227,24
2 209,06
3 192,34
4 176,95
10 106,21
20 46,93
30 19,76
40 9,88
50 4,94
60 1,73
70 0,74
80 0,25
90 0,15
1000 0,05
Fonte: Dados encontrados a partir
dos referenciais citados.
e) Pela análise da tabela e do gráfico, conclui-se que
levará em torno de 60 horas para o etanol desaparecer do
organismo.
Reísduo Etanol
050
100150200250300
0 20 40 60 80 100
Tempo(h)
Res
ídu
o
f) Tabela de valores comparativos entre os dois modelos
Resíduo de etanol e resíduo de cerveja.
Tempo (horas) Resíduo Etanol Resíduo Cerveja
0 247 4200
1 227,24 3864
2 209,06 3554,88
3 192,34 3270,49
4 176,95 3008,85
10 106,21 1806
20 46,93 798
30 19,76 336
40 9,88 168
50 4,94 84
60 1,73 29,4
70 0,74 12,6
80 0,25 4,2
90 0,15 2,52
1000 0,05 0,84
Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados.
Gráfico Comparativo
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 20 40 60 80 100
Tempo (horas)
Res
ídu
o
Resíduo Etanol
Resíduo Cerveja
Gráfico comparativo entre o resíduo de etanol e o resíduo de cerveja.
ATIVIDADE 14ATIVIDADE 14
Estime a meia-vida do etanol e da cerveja no
organismo, quando ingeridos 247ml e 4200ml,
respectivamente. Após, construa os gráficos no Excel
para observar essas duas situações.
Dinâmica de Resolução da Atividade
Resíduo de cerveja e resíduo de etanol no organismo.
Tempo (horas) Resíduo (Cerveja)
Resíduo (Etanol)
0 4200 247
1 3864 227,24
2 3554,88 209,06
3 3270,49 192,34
4 3008,85 176,95
8 2100 123,5
Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados.
Resíduo Etanol e Cerveja
0
1000
2000
3000
4000
5000
1 2 3 4 5 6
Tempo(h)
Re
síd
uo
s
Resíduo (Cerveja)
Resíduo (Etanol)
Gráfico do resíduo de etanol e do resíduo de
cerveja.
ATIVIDADE 15ATIVIDADE 15
Quando uma pessoa fuma um cigarro,
aproximadamente 0,4 mg de nicotina são absorvidas
pelo sangue. Aproximadamente 35% da nicotina é
eliminada pelo sangue a cada hora.
a) Encontre o modelo matemático que permite
saber o nível de nicotina no sangue depois de
fumar um cigarro.
b) Use o modelo para estimar em quanto tempo a
quantidade de nicotina no sangue chegará a
0,005mg.
Dinâmica de Resolução da Atividade
Atualmente, morrem 3,5 milhões de pessoas por ano,
no mundo, vítimas do fumo e sabe-se que a taxa de
mortes cresce 4% a cada ano.
a) Encontre o modelo que representa o
crescimento do número de mortes a cada ano, a
partir de 2003.
b) Estime o número de mortes em 2010, 2020 e
2030, se a taxa de crescimento permanecer
constante.
ATIVIDADE 16ATIVIDADE 16
a) O número de pessoas que morriam vítimas do
fumo em 2003 era de 3,5 milhões e a taxa de
crescimento do número de mortes é de 4% ao ano.
Para encontrar o modelo, calcula-se o fator
de crescimento, 1,041,04 (1 + 0,4).(1 + 0,4). Usa-se t para
representar o tempo dado em anos, M(t)M(t) para
representar o número de mortes e, assim,
constrói-se o modelo que permite determinar o
número de pessoas que morrem por ano, vítimas
do cigarro, a partir de 2003.
Dinâmica de Resolução da Atividade
b) Para estimar o número de mortes nas próximas
décadas, deve-se levar em conta que o ano inicial é
2003, sendo assim, para 2010 são transcorridos 7 anos.
Logo obtém-se, aproximadamente 4,26 milhões de
mortes.
Em 2020, terão passados 17 anos, portanto resulta,
6,8 milhões de mortes.
Para 2030, transcorrerão 27 anos, e ter-se-á 10,09
milhões de mortes.
ATIVIDADE 17ATIVIDADE 17
Sabe-se que, na última década do século XX, o consumo
mundial de cigarros cresceu 1,5% (contrastando com o
crescimento de 23,5% da penúltima década). No ano
2000, foram consumidos, no mundo, 5500 bilhões de
cigarros. Supondo que a taxa de crescimento do
consumo, por década, permaneça constante (1,5%),
pergunta-se:
Qual é o modelo exponencial para o
consumo mundial de cigarros nas
próximas décadas?
Qual é o modelo exponencial para o
consumo mundial de cigarros nas
próximas décadas?
Dinâmica de Resolução da Atividade
SUGESTÕES DE ATIVIDADES SUGESTÕES DE ATIVIDADES
Calcule a lei da função exponencial que passa pelos pontos (1,6) e (2,9) . A seguir, construa no Excel o gráfico dessa função.
Observe as curvas que representam o crescimento do uso de álcool em diferentes cidades. Qual cidade
a) tem a maior taxa de crescimento?
b) tem a menor taxa de crescimento?
c) tem a maior população inicial?
d) tem a menor população inicial?
e) quais cidades têm a mesma taxa de crescimento?
Atividade 1
Atividade 2
Determine quais as funções que são exponenciais. Para as que representam função exponencial, determine a lei através dos dados apresentados na tabela.
x 0 1 2 3
y 1000 1200 1440 1728
a)
b)
c)
t 0 1 2 3
L(t) 300 308 320,2 335,5
t 0 10 20 30
Q(t) 200 208 216,32 224,97
Atividade 3
Seja uma função exponencial. Se
e ,
encontre
a) o fator de crescimento
b) a taxa de crescimento
C) a fórmula para
)(xf8,28)8( f
)(xf
6,25)7( f
Atividade 4
Seja uma função exponencial tal que
e
Quais desses valores são possíveis e
quais são impossíveis?
a) b) c)
f 512)0( f
1250)4( f
800)2( f 881)2( f 981)2( f
Atividade 5
Determine quais das seis funções abaixo representam
uma função exponencial da forma e quais não
representam. Explique a sua resposta.
xaby .
Atividade 6
Determine quais as funções abaixo são exponenciais.
Para as que representam função exponencial,
determine a lei através dos dados apresentados na
tabela.x 0 1 2 3
y 2000 1800 1620 1458
x 0 1 2 3
y 300 240 190 150
x 0 10 20 30
y 400 288 207,36 149,30
Atividade 7
a)
b)
c)
Qual dos seguintes pares de pontos determinam uma
função exponencial da forma . Para as que
determinam faça um esboço do gráfico e indique o sinal
de b e analise o fator a, se ou se .
xaby .
1a 10 a
Atividade 8
Identifique quais as situações que representam função
exponencial crescente, função exponencial
decrescente, função linear crescente ou decrescente,
ou não representam função.
a) O preço da cerveja aumenta em média 24% ao ano.
b) O número de dependentes de álcool entre os
habitantes de uma cidade aumenta em média em 300
pessoas por ano.
c) O consumo de cigarros caiu em média 0,5% ao ano
na Espanha entre 1980 e 1997.
d) O número de usuários de cigarro cresceu em média
5% ao ano de 1994 a 1996 entre os jovens espanhóis.
e) O número de internações no setor de psiquiatria
para dependentes de álcool, de um determinado
hospital, tem se mantido constante nos últimos anos.
Atividade 9
Observe os gráficos abaixo que representam diferentes
funções que descrevem estatísticas sobre o consumo
de álcool e tabaco. Identifique aquela em que
a) o consumo aumentou de
10% a cada ano.
b) o consumo aumentou de
6% a cada ano.
c) o consumo caiu de 5% a
cada ano.
d) o consumo permaneceu
constante.
Atividade 10
Encontre as possíveis equações dos gráficos das
funções exponenciais de a, b e c.
Atividade 11
a) Se a dosagem de ampicilina é 250 mg, escreva a
função usada como modelo do nível de ampicilina
no sangue, em função do tempo, se foi tomada
uma dose.
b) Estime quanto tempo levará para que o nível de
ampicilina no sangue caia para 1 mg.
Atividade 12
A quantidade da droga ampicilina (na forma de
penicilina) na corrente sangüínea decresce
aproximadamente 42% a cada hora.
a) Construa a função do modelo do nível de morfina no
sangue após tomar uma dose.
b) Quanto de morfina permanece no sangue após 4
horas?
c) Estime quanto tempo levará para que o nível de
morfina no sangue caia para 0,2 mg.
Atividade 13
Num hospital é administrada a um paciente 3 mg de
morfina para o controle da dor. Aproximadamente 31%
de morfina é eliminada do sangue a cada hora.
Seja uma função exponencial tal que e
. Quais desses valores são possíveis e quais são
impossíveis?
f 96)1( f 6)5( f
24)3( f 51)3( f 65)3( fa) c)b)
Atividade 14
Construa no Excel o gráfico das seguintes funções, no
mesmo sistema de coordenadas observando-as e
comparando-as. O que podemos concluir?
Atividade 15
( ) 2xf x a) , ,( ) 2 5xg x ( ) 2 5xh x
( ) 2xf x b) , ,3( ) 2xg x 3( ) 2xh x
( ) 2xf x c) , ( ) 2xg x
d) , 1
( )2
x
f x
1( )
2
x
g x