Algoritmos Genéticos.pdf

ELIVALDO ELENILDO DA SILVA

OTIMIZAO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO UTILIZANDO

ALGORITMOS GENTICOS

Dissertao apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia

So Paulo 2001

ELIVALDO ELENILDO DA SILVA

Engenheiro Civil pela UFPE, 2000

OTIMIZAO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO UTILIZANDO

ALGORITMOS GENTICOS

Dissertao apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia rea de Concentrao: Engenharia de Estruturas Orientador: Paulo de Mattos Pimenta

So Paulo 2001

FICHA CATALOGRFICA

Silva, Elivaldo Elenildo da Otimizao de estruturas de concreto armado

utilizando algoritmos genticos. So Paulo, 2001. 131 p. + Anexos

Dissertao (Mestrado) - Escola Politcnica da

Universidade de So Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundaes.

1.Concreto armado - Otimizao 2.Algoritmos genticos I.Universidade de So Paulo. Escola Politcnica.

Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundaes II.t.

A Deus,

Aos meus Pais, Elenildo e Josefa,

s minhas Irms, Edilza e Noelisa,

A Karina Moreira

Comece fazendo o que necessrio, depois o que possvel,

e de repente voc estar fazendo o impossvel.

So Francisco de Assis

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Dr. Paulo de Mattos Pimenta, pela orientao brilhante e pelo apoio na

execuo deste trabalho,

Ao Prof. Dr. Ricardo Leopoldo Frana, por sua dedicao ao ensino de Concreto Armado

e pelo perodo de orientao,

Aos Professores do PEF (Departamento de Estruturas e Fundaes) da EPUSP (Escola

Politcnica da Universidade de So Paulo), cuja troca de idias em muito enriqueceu este

trabalho,

Aos funcionrios do PEF, em especial Marly, pelas palavras amigas e pelo apoio,

Aos meus colegas do Curso de Graduao pelo incentivo e apoio em minha deciso,

Aos grandes amigos Jamilton Lopes Pacheco e Evandro Rossi Dasambiagio pela

constante troca de idias,

Aos amigos de Ps-Graduao pela conversa sempre amigvel e pela pacincia nos

momentos difceis,

A CAPES, pela concesso de uma bolsa de Mestrado durante estes dois anos de

trabalho.

R E S U M O

Neste trabalho so apresentadas duas importantes reas de pesquisa voltadas para problemas de otimizao: a Programao Matemtica e, especialmente, os Algoritmos

Genticos.

So classificados grande parte dos mtodos clssicos da Programao Matemtica, com uma breve apresentao das suas classes de subproblemas, bem como detalhes de alguns mtodos.

O desenvolvimento da cincia que explica a evoluo das espcies descrito, como uma ponte para a compreenso da tcnica dos Algoritmos Genticos.

Apresentam-se as diferenas bsicas entre os Mtodos Clssicos e os Algoritmos Genticos, com posterior anlise das vantagens e desvantagens entre estas duas classes de

ferramentas de otimizao.

So apresentados os principais parmetros de influncia no funcionamento de um Algoritmo Gentico e algumas recomendaes quanto s suas configuraes.

A essncia desse trabalho se constitui em alguns exemplos de otimizao de

estruturas de concreto armado, como o de um trecho de Pilar dimensionado Flexo Composta Obliqua e um Prtico Plano de Concreto Armado de Cinco Pavimentos.

Finalizando, conclui-se pela tendncia promissora dos Algoritmos Genticos para os prximos anos, o que tornar esta tcnica uma das mais importantes e empregadas na resoluo de uma vasta gama de aplicaes.

ABSTRACT

This work addresses two important issues of Optimization: Mathematical

Programming and Genetic Algorithms.

First, classes of optimization problems, that can be handled by the classical

methods of Mathematical Programming, are briefly presented.

After that, the techniques of Genetic Algorithms are displayed in detail. Such

methods are inspired by the laws that rules the evolution of the species.

The basic differences between the Mathematical Programming and Genetic

Algorithms are deeply discussed.

The main parameters that control Genetic Algorithms are described and some

recommendations about their values are made.

The work is concluded by some optimization examples of reinforced concrete

structures, as a column under combined axial load and bi-axial bending and a five floor

reinforced concrete plane frame.

C o n te d o i

C O N T E D O

1. Introduo 1

1.1. Introduo.......................................................................................................... 2

1.2. Objetivos............................................................................................................ 3 1.3. Escopo da Dissertao....................................................................................... 3

2. Elementos de Matemtica Aplicada 6

2.1. Notao.............................................................................................................. 7

2.1.1. Vetores............................................................................................................ 7

2.1.2. Matrizes.......................................................................................................... 8

2.1.3. Funo Real de Vrias Variveis.................................................................... 9

2.1.4. Funo Vetorial.............................................................................................. 9

2.1.5. Convexidade................................................................................................... 10

2.1.6. Mnimo Local e Mnimo Global..................................................................... 10

2.2. Sistemas de Equaes Lineares......................................................................... 11

2.2.1. Mtodos Diretos............................................................................................. 12

2.2.1.1. Mtodo de Crout.......................................................................................... 12

2.2.1.2. Mtodo de Choleski..................................................................................... 14

2.2.2. Mtodos Indiretos......................................................................................... 15

2.2.2.1. Mtodo de Jacobi......................................................................................... 15

2.2.2.2. Mtodo de Gauss-Seidel.............................................................................. 16

2.3. Sistemas de Equaes No-Lineares................................................................. 17

3. Programao Matemtica 18

3.1. Introduo.......................................................................................................... 19

3.2. Definies Bsicas - Terminologia.................................................................... 19

3.3. Algoritmos de Programao Matemtica.......................................................... 22

3.3.1. Programao Linear........................................................................................ 23

3.3.2. Programao No-Linear................................................................................ 24

3.3.2.1. Otimizao sem Restries.......................................................................... 24

3.3.2.1.1. Mtodo de Newton-Raphson.................................................................... 26

3.3.2.1.2. Mtodo Quase-Newton (BFGS) .............................................................. 27

C o n te d o i i

3.3.2.1.3. Mtodo Quase-Newton (DFP) ................................................................. 29 3.3.2.2. Otimizao com Restries......................................................................... 31

3.3.2.2.1. Otimizao com Restries de Igualdade................................................. 31

3.3.2.2.1.1. Mtodo do Lagrangiano......................................................................... 33

3.3.2.2.1.2. Mtodo da Penalidade............................................................................ 35

3.3.2.2.1.3. Mtodo do Lagrangiano Aumentado..................................................... 36

3.3.2.2.2. Otimizao com Restries de Desigualdade........................................... 36



3.3.2.2.3. Otimizao com Restries Mistas........................................................... 39



3.3.3. Programao Multi-Objetivos........................................................................ 40 4. Algoritmos Genticos 42

4.1. Introduo.......................................................................................................... 43

4.2. Histrico............................................................................................................ 45

4.3. Definies Bsicas - Terminologia.................................................................... 47

4.4. Representao dos Parmetros.......................................................................... 49

4.5. Algoritmos Genticos e Otimizao Convencional........................................... 49

4.6. Diferenas entre os AGs e os Mtodos Clssicos.............................................. 52

4.7. Estrutura dos Algoritmos Genticos.................................................................. 53

4.7.2. Algoritmo Gentico Geracional...................................................................... 53

4.7.3. Algoritmo Gentico em Regime..................................................................... 54

4.8. Principais Aspectos dos Algoritmos Genticos................................................. 55

4.8.1. A Funo Objetivo.......................................................................................... 55 4.8.2. As Restries.................................................................................................. 56

4.8.3. Problemas de Convergncia........................................................................... 58

4.8.4. Critrios de Parada.......................................................................................... 59

4.8.5. Representao e Codificao.......................................................................... 59

4.8.6. Gerao da Populao Inicial......................................................................... 60

4.8.7. Avaliao da Populao.................................................................................. 60

4.8.9. Processo de Seleo...................................................................................... 61

4.8.9.1. Mapeamento da Funo Objetivo................................................................ 61 4.8.9.1.1. Ordenamento............................................................................................. 61

C o n te d o i i i

4.8.9.1.2. Escalonamento Linear.............................................................................. 62

4.8.9.2. Mtodo da Roleta......................................................................................... 63

4.8.9.3. Processo de Seleo por Torneio................................................................. 64

4.8.10. Reproduo ou Cruzamento......................................................................... 64

4.8.10.1. Operadores Genticos................................................................................ 65

4.8.10.1.1. Cruzamento............................................................................................. 65

4.5.10.1.1.1. Cruzamento de 1 Ponto....................................................................... 65

4.8.10.1.1.2. Cruzamentos de 2 Pontos e N Pontos................................................. 66

4.8.10.1.1.3. Cruzamento Uniforme......................................................................... 66

4.8.10.1.2. Mutao.................................................................................................. 67

4.8.10.1.3. Elitismo................................................................................................... 68

4.9. Representao Binria x Real............................................................................ 69

4.10. Parmetros de Influncia e Configurao....................................................... 69

4.10.1. Tamanho da Populao................................................................................. 69

4.10.2. Taxa ou Probabilidade de Cruzamento......................................................... 70

4.10.3. Taxa ou Probabilidade de Mutao.............................................................. 70

4.11. Vantagens e Desvantagens dos AGs................................................................ 71

4.11.1. Vantagens dos Algoritmos Genticos........................................................... 71

4.11.2. Desvantagens dos Algoritmos Genticos..................................................... 72

4.12. Estratgias Empregveis aos AGs................................................................... 72

4.12.1. Hibridizao................................................................................................. 72

4.12.2. Computao Paralela.................................................................................... 72

5. Anlise Estrutural 74

5.1. Introduo.......................................................................................................... 75

5.2. Anlise Matricial de Estruturas......................................................................... 77

5.2.1. Matriz de Rigidez de um Elemento de Barra.................................................. 79

5 .2 .2 . C a rregam en to s no E lem en to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2.3. Matriz de Transformao................................................................................ 80

5.2.4. Espalhamento da Matriz de Rigidez Local na Matriz de Rigidez Global ..... 82

5.2.5. Resoluo do Sistema de Equaes ............................................................... 83

5.2.6. Obteno dos Esforos nas Extremidades de cada Elemento...................... 84

5.3. Estados Limites.................................................................................................. 85

5.3.1. Estado Limite ltimo .................................................................................... 85 5.3.2 Estado Limite de utilizao ou de Servio...................................................... 86

C o n te d o iv

5.4. Domnios de Deformao................................................................................. 86

5.5. Materiais ........................................................................................................... 87

5.5.1. Ao.................................................................................................................. 87

5.5.2. Concreto.......................................................................................................... 88 5.6. Flexo Composta Oblqua - FCO...................................................................... 89 5.6.1. Integrais dos Esforos Resistentes.................................................................. 90 5.6.2. Clculo da Matriz Jacobiana dos Esforos Resistentes.................................. 91 5.7. Flexo Composta Normal - FCN....................................................................... 93 5.7.1. Integrais dos Esforos Resistentes.................................................................. 96 5.7.2. Calculo da Matriz Jacobiana para FCN......................................................... 96 5.8. Critrios Normativos......................................................................................... 98 5.8.1. Segurana em Relao aos ELU..................................................................... 98 5.8.2. Segurana em Relao aos ELS .................................................................... 99 5.8.3. Taxas da Armadura......................................................................................... 99 5.8.3.1. Princpios Bsicos........................................................................................ 99 5.8.3.2. Taxa de Armadura para Vigas..................................................................... 99 5.8.3.3. Taxa de Armadura para Pilares.................................................................... 100 5.8.4. Distribuio das Armaduras........................................................................... 101 5.8.4.1. Espaamento entre Barras da Armadura nas Vigas..................................... 101 5.8.4.2. Espaamentos entre Armaduras nos Pilares................................................ 101 5.8.5 Deslocamentos Limites.................................................................................... 102 6. Aplicaes ao Concreto Armado 104 6.1. Otimizao de um Trecho de Pilar a Flexo Composta Oblqua....................... 105 6.1.1. Descrio do Problema de Otimizao........................................................... 105 6.1.1.1. Descrio das Variveis............................................................................... 106 6.1.1.2. A Funo Objetivo....................................................................................... 106 6.1.1.3. As Restries do Problema.......................................................................... 106 6.1.2. Exemplos........................................................................................................ 107 6.1.2.1. Exemplo 1-A................................................................................................ 109 6.1.2.2. Exemplo 1-B................................................................................................ 110 6.1.3. Exemplo 1-C................................................................................................... 112 6.1.4. Concluses Preliminares................................................................................. 114 6.2. Otimizao de um Prtico Plano de Concreto Armado..................................... 115 6.2.1. Descrio do Problema de Otimizao........................................................... 116

C o n te d o v

6.2.1.1. Descrio das Variveis............................................................................... 116 6.2.1.2. A Funo Objetivo....................................................................................... 117 6.2.1.3. As Restries do Problema.......................................................................... 117 6.2.1.4. Funes de Penalizao............................................................................... 118 6.2.1.5. Critrios de Parada (Convergncia) ............................................................ 119 6.2.2. Esquema Estrutural do Prtico....................................................................... 120 6.2.3. Concluses Preliminares................................................................................. 122 7. Concluses e Comentrios 124 7.1. Sobre a Otimizao de Estruturas...................................................................... 125 7.2. Sobre os Algoritmos Genticos......................................................................... 126 7.3. Sobre a Anlise Estrutural................................................................................. 127 7.4. Sobre os Exemplos Elaborados......................................................................... 129 7.5. Sugestes para Trabalhos Futuros..................................................................... 130 Bibliografia Anexo A Anexo B Anexo C

Captulo 1 Introduo 1

N

CAPTULO 1 INTRODUO

este captulo apresentam-se as motivaes que levaram escolha

desse tema, objetivos pretendidos e uma breve descrio do contedo

dos demais captulos desta dissertao. Encontram-se tambm indicados para cada um

dos captulos uma bibliografia bsica que estar representada entre colchetes com a

seguinte notao[ ]Letra Nmero- .

As boas idias no tem idade, apenas tm futuro.

Robert Mallet

Captulo 1 Introduo 2

1.1. INTRODUO

Nos ltimos anos, o mercado competitivo criado entre as empresas de engenharia

aumentou a preocupao com a reduo de custos dos empreendimentos. Atualmente a

otimizao de estruturas tem se mostrado uma ferramenta importante para tornar as

empresas mais competitivas num mercado globalizado. A otimizao pode ser entendida

como uma maneira hbil de se identificar a melhor soluo dentre as inmeras

disponveis.

Algoritmos Genticos (AGs) no so simples algoritmos aleatrios de

otimizao, eles exploram com eficincia informaes que serviro para auxiliar na

busca de novas solues melhorando o seu desempenho a cada gerao. As pesquisas

com algoritmos aleatrios tm alcanado grande importncia devido sua eficincia na

otimizao de problemas complexos em contraste com sua relativa simplicidade de

programao.

A otimizao de estruturas com adequao s caractersticas prticas de projeto

hoje algo com um grande potencial para ser aplicado nos escritrios de clculo. O

processamento completo de estruturas utilizando AGs bastante dispendioso

computacionalmente, j que cada indivduo da populao uma nova estrutura a ser

resolvida. Como o nmero de variveis nos projetos bastante grande, o tamanho da

populao de indivduos a ser analisada tambm o ser, o que resulta na necessidade de

algoritmos e mtodos cada vez mais eficientes, no desenvolvimento de tais mtodos

pode-se optar pela interao entre Algoritmos Genticos e outras tcnicas de otimizao.

Os Algoritmos Genticos se adaptam muito bem s tcnicas de Processamento Paralelo,

atualmente em grande desenvolvimento, podendo desta forma resolver problemas cada

vez maiores em menor tempo.

A utilizao macia de computadores na atividade de projeto estrutural tornou

usual a anlise de prticos espaciais. O dimensionamento pelos esforos obtidos dessa

anlise torna-se complexo uma vez que as peas estruturais passam a trabalhar sob a ao

de esforos solicitantes combinados (flexo composta, toro, cortante). As variveis de

projeto so muitas (geometria da seo, materiais, bitolas das barras de ao, distribuio

da armadura, etc). Dessa forma, adotando-se diversos desses parmetros e verificando o

equilbrio e as diversas restries previstas pelas normas, o problema passa a ser de

verificao e no de dimensionamento. Aliando esse processo com um critrio, como o

Captulo 1 Introduo 3 de mnimo custo por exemplo, pode-se buscar a estrutura tima dentre as diversas

combinaes possveis. Partindo-se de uma populao inicial de estruturas, o computador

passa a fazer todas as verificaes necessrias, criando novas populaes a partir da

gerao anterior at obter, entre seus indivduos, a estrutura que possui o menor custo.

1.2. OBJETIVOS

Os objetivos que se pretende alcanar ao longo deste trabalho podem ser descritos

como :

Melhor entendimento dos processos de otimizao empregados, bem como as

diferenas existentes entre eles ;

Estudo detalhado dos Algoritmos Genticos, visando conhecer suas

caractersticas, vantagens e aplicabilidade ;

Otimizao de Elementos Estruturais, a saber: Pilares e Vigas ;

A elaborao de um programa para Otimizao de Prticos Planos de Concreto

Armado (OTIMPORCA);

Formular exemplos de validao para os programas implementados;

Comparar os resultados obtidos pelo programa com os obtidos da forma

convencional.

1.3. ESCOPO DA DISSERTAO

Abaixo ser descrito de forma bastante sucinta como est organizada esta

dissertao:

No Captulo 2 feita uma apresentao da nomenclatura utilizada e das principais

ferramentas matemticas empregadas ao longo do texto. Os tpicos abordados neste

captulo so: vetores, matrizes, funo real de vrias variveis, convexidade, mnimo

local e global, sistemas de equaes lineares e sistema de equaes no-lineares.

No Captulo 3 so descritos os conceitos envolvidos na resoluo dos problemas

de otimizao via Mtodos de Programao Matemtica ([F-1], [F-2], [G-1], [H-1], [L-

3]). Estes mtodos sero apresentados de forma rpida e objetiva com enfoque nas suas

principais caractersticas.

Os Algoritmos Genticos so abordados no Captulo 4. Este captulo apresentar

a origem e os fundamentos dos Algoritmos Genticos ([A-1], [D-1], [G-2], [L-1], [M-7],

Captulo 1 Introduo 4 [S-1], [W-1]), e seus principais aspectos e caractersticas que o tornaram uma ferramenta

de busca e otimizao bastante promissora para a soluo de uma vasta gama de

aplicaes. Sero tambm mostradas as diversas operaes utilizadas pelos Algoritmos

Genticos. Para cada um destes processos ser dado um exemplo para tornar mais claro o

seu significado.

No Captulo 5 sero apresentados alguns conceitos da anlise de estruturas

reticuladas e tambm a verificao de estruturas de concreto armado. Como o enfoque

principal desta dissertao ser a Otimizao de Estruturas de Concreto Armado, neste

captulo haver um breve resumo dos tpicos que sero abordados nos exemplos de

validao do captulo seguinte.

Tpicos abordados neste captulo:

Materiais Empregados;

Aspectos sobre a verificao de estruturas de Concreto Armado ([F-4], [L-2], [M-

1], [P-1]): Estado Limite ltimo (ELU) e Estado Limite de Servio (ELS);

Para validar a implementao feita, no Captulo 6 so apresentadas algumas

aplicaes em estruturas convencionais de concreto armado e feitos alguns comentrios

sobre a eficincia dos processos utilizados. Neste captulo tambm feita uma

comparao entre um projeto feito da forma convencional com o mesmo feito totalmente

pelo programa implementado.

Os exemplos apresentados neste captulo serviro como validao para os

programas elaborados. Estes exemplos esto especificados abaixo:

o Otimizao de um tramo de pilar de Concreto Armado (CA) com verificao

da Flexo Composta Oblqua (FCO);

o Otimizao de um Prtico de Concreto Armado.

Finalizando com o Captulo 7 no qual so apresentadas as concluses obtidas

com o desenvolvimento do trabalho e onde so apresentadas algumas propostas para

outros possveis trabalhos nesta rea.

Nos anexos sero colocados alguns algoritmos para os Mtodos de Programao

Matemtica bem como um manual de utilizao do OTIMPORCA. Ao final dos anexos

consta tambm um fluxograma dos mdulos desenvolvidos com uma pequena descrio

Captulo 1 Introduo 5 para cada mdulo. Este manual de utilizao juntamente com os fluxogramas tm a

funo de facilitar a outros usurios o acesso aos dados desta pesquisa.

Os anexos esto assim distribudos:

No Anexo A encontram-se os algoritmos para os mtodos de otimizao via

programao matemtica.

No Anexo B encontra-se um exemplo de arquivo de entrada e o respectivo

arquivo de sada (resultados) do programa OTIMPORCA.

No Anexo C esto comentados os diversos mdulos do programa.

C a p tu lo 2 E le m e n to s d e M a te m tic a A p l ic a d a 6

N

C A P T U L O 2 E L E M E N T O S D E M A T E M T IC A A P L IC A D A

e s te cap tu lo se ro in tro d u z id as a lgu m as no ta es e ap re sen tad o s

a lgu ns co nce ito s m a tem tico s so b re ve to re s, m a tr ize s, fu n es rea is d e v r ia s va r ive is , fu n es ve to r ia is , co nvex id ad e , m x im o s e m n im o s d e fu n es, s is tem as d e eq u a es linea re s e s is tem as d e eq u a es no -linea re s.

"F a a a s co isa s o m a is s im p le s q u e vo c p u d er, p o rm n o a s m a is s im p le s .

Albert Einstein


2 .1 . N O T A O

N este cap tu lo se ro in tro d u z id o s o s co nce ito s m a tem tico s b sico s p a ra ve to re s, m a tr ize s, fu n es rea is d e v r ia s va r ive is , fu n es ve to r ia is , co nvex id ad e , m n im o s d e fu n es e o tim izao . C ad a u m d o s co nce ito s se r ab o rd ad o d e fo rm a rp id a , tend o

ap enas a fu no d e fam ilia r iza r o le ito r co m a no tao q u e se r u tiliz ad a no s d em a is cap tu lo s d e sta d isse r tao .

2 .1 .1 . V E T O R E S

U m ve to r em n se r ind icad o p o r

1

2

n

x

x

x

=

x ,

o nd e ix p a ra i = 1,2, ,n so a s i- sim as co m p o nen te s d o ve to r em re lao a u m a

b ase p r -d e fin id a .

O p ro d u to e sca la r d e x e y em n se r d e fin id o p o r

1

nT

i ii

x y=

= = x y x y .

A no rm a E u c lid iana d e u m ve to r x d e n d e fin id a p o r

( )2 2 21 2 Tnx x x= + + + = x x x .

D iz -se q u e o s ve to re s { }1 2, , , mx x x , o nd e ix p a ra i=1,2, ,m , so linea rm en te ind ep end en te s (L I) se 1 1 2 2 0m ma x a x a x + + + = im p lica r em

1 2 0na a a= = = = , c a so co n tr r io so linea rm en te d ep end en te s (L D ).

A d istnc ia en tre d o is p o n to s x e y em n se r d e fin id a p e la no tao

( ),d = x y y x .


U sa-se a no tao p a ra o s C o lche te d e M c C au ley d e fin id o s co m o

0, 0, 0se

se

=

xx

x x .

A m esm a d e fin io se r u tiliz ad a no ca so d e fu n es, o u se ja ,

( ) ( )( ) ( )0 , 0

, 0se ff f se f

=

xx

x x .

2 .1 .2 . M A T R IZ E S

U m a m a tr iz em m n se r ind icad a p o r

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

ij

m m mn

a a a

a a aa

a a a

= =

A

,

o nd e m o n m ero d e linhas d a m a tr iz e n o n m ero d e co lu nas d a m esm a .

A p re sen ta -se a segu ir a lgu m as no ta es e p ro p ried ad es d e m a tr ize s q u e se ro u tiliz ad as ao lo ngo d o tex to :

i. TA : m a tr iz transp o sta d e ija = A , o nd e T jia = A

ii. I : m a tr iz id en tid ad e , o nd e : 10

ij

ij

a se i ja se i j

= ==

iii. 1A : m a tr iz inve rsa d e A

iv . U m a m a tr iz q u ad rad a A s im tr ica se : ij jia a= p a ra to d o i e j

v . U m a m a tr iz A sem i-d e fin id a p o sitiva se : 0T n x A x x

v i. U m a m a tr iz A d e fin id a p o sitiva se e so m en te se :

00 0

T n

T

= =

x A x xx A x x

v ii. D e fine -se p o r det( )A o d e te rm inan te d a m a tr iz A , cu jo a lgo ritm o d e c lcu lo se r ap re sen tad o p o ste r io rm en te .


2 .1 .3 . F U N O R E A L D E V R IA S V A R I V E IS

A s fu n es q u e se ro tra tad as ne sta d isse r tao so d e fin id a s nu m co n ju n to n e a ssu m em va lo re s em , is to , :f .

O ve to r d a s d e r ivad as p a rc ia is d e ( )f x em u m p o n to x , d eno m inad o d e ve to r g rad ien te e se r ind icad o p o r

( ) ( )

( )

( )

( )

1

2i

n

fx

fff xx

fx

= = =

x

xx

x

x

.

A m a tr iz d a s d e r ivad as p a rc ia is d e segu nd a o rd em d e ( )f x em u m p o n to x , d eno m inad a d e m a tr iz H essiana se r ind icad a p o r

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 1 1 2 12 2 2

22

2 1 2 2 2

2 2 2

1 2

n

n

i j

n n n n

f f fx x x x x x

f f fff x x x x x xx x

f f fx x x x x x

= = =

x x x

x x xx

x

x x x

.

2 .1 .4 . F U N O V E T O R IA L

O co n ju n to d e v r ia s fu n es a va lo re s rea is 1 2, , , mf f f em n , p o d e se r v is to co m o u m a fu no ve to r ia l ( )f x . E ssa fu no d e te rm ina o ve to r ( )f x d e fin id o p o r

: n m f , o u se ja ,

( ) ( ) ( ) ( )1 2T mf f f = f x x x x .

C a p tu lo 2 E le m e n to s d e M a te m tic a A p l ic a d a 1 0

S u p o nd o q u e a fu no ( )f x se ja co n tnu a co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as, a m a tr iz

d a s d e r ivad as p a rc ia is d e if em re lao s va r ive is jx , d eno m ina -se m a tr iz J aco b iana e se r ind icad a p o r

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

n

in

j

n n n

n

f f fx x x

f f ffx x x

x

f f fx x x

= = =

x x x

x x xxf x

x x x

.

2 .1 .5 . C O N V E X ID A D E

D iz -se q u e u m co n ju n to no vaz io em n co nvexo se p a ra d o is p o n to s q u a isq u e r 1x , 2 x o p o n to ( )1 21 + x x , p a ra to d o 0 1

U m a fu no rea l ( )f x d e fin id a em u m co n ju n to co nvexo em n , d iz -se co nvexa se p a ra d o is p o n to s q u a isq u e r 1x , 2 x e q u a lq u e r re a l, 0 1 tem -se

( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 1f f f + + x x x x . 2 .1 .6 . M N IM O L O C A L E M N IM O G L O B A L

N o s p ro cesso d e m in im izao d e fu n es p o d em o s o b te r co m o so lu o d o s p ro b lem as, d ive rso s tip o s d e p o n to s d e m n im o . A b a ixo e sto d e sc r ito s d e fo rm a b astan te su c in ta e ste s d ife ren te s tip o s.

T ip o s d e P o n to s d e M n im o : o M nim o L o ca l: x *

S e nu m a v iz inhana ab e rta d e x * , a (x * ,r) f(x ) f(x *) x a (x * ,r) o M nim o L o ca l E str ito : x *

S e nu m a v iz inhana ab e rta d e x * , a (x * ,r) f(x ) > f(x *) x a (x * ,r) e x x *

o M nim o G lo b a l: x *

S e nu m a v iz inhana ab e rta d e x * , a (x * ,r) f(x ) f(x *) x o M nim o G lo b a l E str ito : x *

S e nu m a v iz inhana ab e rta d e x * , a (x * ,r) f(x )> f(x *) x e x x *


F igu ra 2 - 1 M n im o G lo b a l e M n im o L o ca l

2 .2 . S IS T E M A S D E E Q U A E S L IN E A R E S

D efin i-se co m o E q u ao L inea r s eq u a es d o tip o

, 0ba x b x aa

= = .

D a m esm a fo rm a q u e p a ra E q u a es L inea re s p o d e -se d e fin ir u m S istem a d e

E q u a es L inea re s d a segu in te fo rm a ( )1 ,det 0 = = A x b x A b A , o nd e A u m a m a tr iz q u ad rad a n x n . P o d e -se tam b m esc reve r u m S istem a d e E q u a es L inea re s d a segu in te fo rm a

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + = + + + =

.

E x istem d ive rso s m to d o s p a ra so lu o d e ta is s is tem as, q u e p o d em se r

c la ssific ad o s co m o :

M to d o s D ire to s N o ca so d o s m to d o s d ire to s, x enco n trad o ap s u m n m ero p rev isve l d e

o p e ra es.

M to d o s Ind ire to s N este ca so x enco n trad o ap s u m n m ero no p rev isve l d e o p e ra es.


2 .2 .1 . M T O D O S D IR E T O S

O s M to d o s D ire to s d e so lu o d e s is tem as d e eq u a es linea re s se ro ap re sen tad o s d e fo rm a b astan te re su m id a . M a is d e ta lhe s so b re ta is m to d o s p o d em se r enco n trad as em ([R -1 ], [D -2 ]) . A p re sen ta rem o s aq u i ap enas d o is d e ste s m to d o s: M to d o d e C ro u t e o M to d o d e C ho le sk i.

2 .2 .1 .1 . M T O D O D E C R O U T

O M to d o d e C ro u t co nsis te em faze r u m a d eco m p o sio d a m a tr iz A em tr s m a tr ize s L , D e U co m a segu in te p ro p ried ad e = A L D U .

A s m a tr ize s L , D e U so d e fin id a s co m o ,

11 12 1

21 22

1,

1 , 1

n

n n

n n n nn

a a a

a a

a

a a a

=

A

21

1 , 1

1 0 01

01n n n

l

l l

=

L

11

22

0 00

00 0 nn

dd

d

=

D

12 1

1,

10 1

0 0 1

n

n n

u u

u

=

U

sem p re p o ssve l d e te rm ina r u m a d eco m p o sio L D U d e sd e q u e ( )det 0A , o nd e L u m a m a tr iz tr iangu la r in fe r io r d e d iago na l u n it r ia , D u m a

m a tr iz d iago na l e U u m a m a tr iz tr iangu la r su p e rio r d e d iago na l u n it r ia , d e sta fo rm a

p o d em o s e sc reve r a s m a tr ize s L , D e U a p a r tir d a m a tr iz A . A s eq u a es e sc r ita s

ab a ixo d a segu in te fo rm a ,

11 111

1

11

111

1

1

1,

1,

i

ij ij ik kk kjk

jj

i

ij ik kk kjk

ijii

d a

d a l d u i j

au i j i

d

a l d uu i j i

d

=

=

=

= = >

= = >

= > >


11

111

1

1,

1,

ij

j

ij ik kk kjk

ijjj

al j i jd

a l d ul j i j

d

=

= = >

= > >

S e a m a tr iz A fo r s im tr ica p o d e -se m o stra r q u e T=L U e , p o rtan to , T

= A U D U , o b tend o -se a s segu in te s exp re ss es,

11 111

1

11

111

1

1

1,

1,

i

ij ij ki kk kjk

jj

i

ij ki kk kjk

ijii

d a

d a u d u i j

au i j i

d

a u d uu i j i

d

=

=

=

= = >

= = >

= > >

.

D ep o is d e d eco m p o sta a m a tr iz A o s is tem a d e eq u a es linea re s p o d e se r e sc r ito co m o ,

=L D U x b ,

faz -se =D U x y o b tend o -se u m no vo sis tem a =L y b q u e p o d e se r re so lv id o p o r

red u o p ro g re ssiva , o u se ja , 1

1

i

i i ik kk

y b l y

=

= . F az -se ago ra =U x z o b tend o o u tro s is tem a =D z y q u e fac ilm en te

re so lv id o p o r red u o d iago na l,

ii

ii

yz

d= .

P o r u ltim o o b tm -se o s is tem a =U x z q u e re so lv id o p o r red u o re tro a tiva ,

1

n

i i ik kk i

x z u x= +

= .

O d e te rm inan te d a m a tr iz A igu a l ao d e te rm inan te d a m a tr iz D , o u se ja ,

( ) ( )1

n

kkk

det det d=

= = A D .


2 .2 .1 .2 . M T O D O D E C H O L E SK I

O M to d o d e C ho le sk i s p o d e se r u tiliz ad o p a ra re so lu o d e s is tem as d e eq u a es linea re s, q u and o a m a tr iz A fo r s im tr ica e d e fin id a p o sitiva . P a ra a re so lu o d o sis tem a d e eq u a es linea re s =A x b p e lo M to d o d e

C ho le sk i, d evem o s d eco m p o r a m a tr iz A d a segu in te fo rm a T= A C C .

D esta fo rm a o s is tem a d e eq u a es fic a d e sc r ito p e la eq u ao T =C C x b , co m 1

2= C D U , o nd e D u m a m a tr iz d iago na l, U u m a m a tr iz tr iangu la r su p e rio r d e

d iago na l u n it r ia e d e sta fo rm a C u m a m a tr iz tr iangu la r su p e rio r .

P o d e -se o b te r a s m a tr ize s D e U p e lo segu in te a lgo ritm o :

( )

( )

( )

11 11

11

11

12

1

1

1

2

1,

1

1, 1,

1

jj

i

ij ij kik

i

ij ki kjk

ijii

ij ij

ij

ijij

ii

c a

ac i j i

c

c a c i j

a c c

c i j j ic

d c i ju i j

cu i j

d

=

=

=

= = >

= = >

= > > >

= =

= =

=

x

d x d 0 d 0

O s M to d o s q u e se ro ap re sen tad o s p a ra re so lu o d e P ro b lem as d e o tim izao sem re str i es so o s segu in te s:

M to d o d e N ew to n-R ap hso n

M to d o Q u ase -N ew to n (B F G S ) M to d o Q u ase -N ew to n (D F P )

N o s anexo s tem o s o s a lgo ritm o s p a ra e ste s m to d o s b em co m o o a lgo ritm o p a ra o M to d o d e N ew to n /Q u ase -N ew to n q u e u tiliz a a s id ia s tan to d o M to d o d e N ew to n co m o a ap ro x im ao fe ita p e lo B F G S [F -1 ].

C a p tu lo 3 P r o g r a m a o M a te m tic a 2 6

3.3.2.1.1. M T O D O D E N E W T O N -R A PH SO N

C o sid e re -se o p ro b lem a d e o tim izao d ad o p o r

( ) nMinimizar f x x , send o ( )f x co n tnu a co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as a t a segu nd a o rd em .

P o d e -se fo rm u la r o M to d o d e N ew to n o r ig ina l p a ra e ste p ro b lem a d a segu in te fo rm a

( ). 0 nSol f = x x e

: nf , o nd e ( )f x co n tnu a co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as a t a segu nd a o rd em .

E xp and ind o a fu no ( )f x em s r ie d e T aylo r em to rno d o p o n to kx e tru ncand o -a no te rm o d e p r im e ira o rd em , o b tm -se q u e

( ) ( ) ( ) ( )k k kf f f + x x x x x , d e sta fo rm a su b stitu ind o ( ) 0f =x na eq u ao ac im a , tem -se

( ) ( )1k k kf f x x x x , co m isso fo rm u la -se fina lm en te a exp re sso

( ) ( )11k k k kf f+ = x x x x q u e a fo rm u la ite ra tiva u tiliz ad a p a ra re so lu o d o p ro b lem a .

O a lgo ritm o p a ra o M to d o d e N ew to n p o d e se r v is to no A n exo A no a lgo ritm o A -3 .1 .

A s p r inc ip a is c a rac te r s tic a s d e ste m to d o so :

O m to d o tem co nve rgnc ia q u ad r tic a ;

P e la s co nd i es su fic ien te s d e segu nd a o rd em , p a ra q u e u m p o n to *x se ja u m m n im o lo ca l d o p ro b lem a , a m a tr iz H essiana ( )2 *f x d eve se r p o sitiva d e fin id a , d e sta fo rm a , em u m p o n to p r x im o a *x e la tam b m o se r ga ran tind o

u m b o m co m p o rtam en to d o m to d o p e rto d a so lu o .

P ara va lo re s d is tan te s d a so lu o , o M to d o d e N ew to n p e rd e su a e fic inc ia .


U m a m o d ificao u su a l q u e se faz ao M to d o d e N ew to n a in tro d u o d a B u sca U n id im ensio na l, o u se ja , u m p a rm e tro s in tro d u z id o re su ltand o na segu in te eq u ao

( ) ( )11 2sk k k k kf f+ = x x x x , o nd e ks u m e sca la r p o sitivo q u e m in im iza ( )f x na d ireo kd , d ad a p o r

( ) ( )12k k kf f = d x x , p e r to d a so lu o te rem o s 1ks .

O M to d o d e N ew to n co m b u sca u n id im ensio na l e st e sq u em a ticam en te d e sc r ito no A n exo A no A lgo ritm o A -3 .3 e o a lgo ritm o d a B u sca U n id im ensio na l ap re sen tad o no A n exo A no A lgo ritm o A -3 .2 .

3.3.2.1.2. M T O D O Q U A SE -N E W T O N (B F G S )

S e ja o p ro b lem a d e o tim izao d ad o p o r ( ) nMinimizar f x x ,

send o ( )f x co n tnu a co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as a t a segu nd a o rd em . P a ra q u e se p o ssa d ife renc ia r e ste m to d o d o M to d o d e N ew to n ap re sen tam -se a

segu ir a lgu m as ca rac te r s tic a s d o m to d o :

O m to d o su rg iu p a ra m e lho ra r o M to d o d e N ew to n , o b tend o u m a ve rso d o m to d o

q u e tam b m co nve rg isse p a ra va lo re s in ic ia is d istan te s d a so lu o .

O s M to d o s Q u ase -N ew to n e sto enq u ad rad o s em u m g ru p o d e m to d o s d e d ec r sc im o s, q u e ge ram seq nc ia s d e p o n to s a p a r tir d e u m p o n to in ic ia l 0x . A

so lu o *x c a lcu lad a p e lo M to d o d as S ecan te s . N a k - sim a ite rao , o p o n to 1k +x

ge rad o a p a r tir d o p o n to kx d a segu in te fo rm a : 1k k k ks+ = x x d , o nd e ks u m

e sca la r q u e m in im iza a fu no 2k n e kd u m a d ireo d e d ec r sc im o .

C o nsid e re -se a d e fin io d o s segu in te s ve to re s

1k k k+=

e ( ) ( )1k k kf f+= ! !


A co nd io Q u ase -N ew to n , o u co nd io secan te , q u e ga ran te q u e a m a tr iz ,

( ) 12k kf B x d e fin id a p o r k k k

=B " # .

N o s M to d o s Q u ase -N ew to n a seq nc ia d e p o n to s d e fin id a p o r ( )1k k k k ks f+ = x x B x ,

send o ks u m e sca la r p o sitivo e kB a ap ro x im ao d a inve rsa d a M a tr iz H essiana d a fu no

( )f x e ne ste ca so a d ireo d e d ec r sc im o d e fin id a p o r ( )k k kf= d B x .

A s p r inc ip a is d ife renas en tre e ste m to d o e o M to d o d e N ew to n o r ig ina l so ap re sen tad as na seq nc ia :

1 . A c r sc im o s d o co e fic ien te ks (B u sca u n id im ensio na l) ; 2 . A p ro x im ao d a inve rsa d a M a tr iz H essiana .

A a tu a lizao d a inve rsa d a M a tr iz H essiana se d a p a r tir d a ge rao d e u m a

seq nc ia d e m a tr ize s 0 1 1, , , ,k kB B B B$ , o nd e em cad a ite rao a m a tr iz 1k +B c a lcu lad a a

p a r tir d a m a tr iz im ed ia tam en te an te r io r kB . S e no fo r p o ssve l o b te r a s in fo rm a es in ic ia is

d a M a tr iz H essiana , ad o ta -se co m o ap ro x im ao in ic ia l d e 0B a m a tr iz id en tid ad e . D ep o is d e

d e te rm ina r o p o n to 1k +x , u m a no va ap ro x im ao 1k +B o b tid a a tu a lizand o kB , o u se ja , 1k k k+

= +B B U ,

o nd e

kU u m a m a tr iz d e a tu a lizao .

A fo rm u la p a ra a tu a lizao d a m a tr iz H essiana p a ra o M to d o Q u ase -N ew to n B F G S (B ro yd en , F le tche r , G o ld fa rb , S hanno ) ap re sen tad a a segu ir

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

1 1T T T Tk k k k k k k k k k k

k kT T Tk k k k k k

+

+ = + +

" % & ' ' ' & % % & '

B B' & ' & ' &

.

A m esm a exp re sso p o d e se r ree sc r ita co m o se segu e

( )( ) ( )( )1T Tk k k k k k= + + B I ( ) * + , - ,


o nd e k

kk k=

.

/

. 0

( )1k k k

kk k

s

f

=

0 .

x.

( )1k k k kf = + 1 0 2

S u b stitu ind o a s exp re ss es ac im a na eq u ao ( )k k kf= d B x , q u e ca lcu la o d ireo d e d ec r sc im o , o b tm -se

( )( ) ( )( ) ( )1T Tk k k k k k kf= + + d I / 1 3 4 1 / 2 . A s p r inc ip a is c a rac te r s tic a s d o s M to d o s d e Q u ase -N ew to n so :

N ecessita -se ap enas d a p r im e ira d e r ivad a d a fu no f ; A m a tr iz kB u m a m a tr iz p o sitiva d e fin id a ;

S o rea liz ad as 2O n m u ltip lic a es p o r ite rao enq u an to no M to d o d e

N ew to n so rea liz ad as 3O n .

3.3.2.1.3. M T O D O Q U A SE -N E W T O N (D F P )

F o ram p ro p o sta s d ive rsa s fo rm u la s p a ra a tu a lizao d a m a tr iz H essiana , o u tra fo rm u la

b a stan te u tiliz ad a se r ap re sen tad a a segu ir e fo i p ro p o sta p o r D av id o n , F le tche r e P o w e ll (D F P ).

A a tu a lizao d a m a tr iz H essiana ne ste ca so fe ita d a segu in te fo rm a

( )( )

( )( )

1

T Tk k k k k kk k

T Tk k k k k

+

= +

. .

3

0 .

3

B B. 0 0

3

0

.

fc il m o stra r q u e ex istem a lgu m as re la es en tre a s eq u a es o b tid a s p a ra o s m to d o s B F G S e D F P , ta is re la es so m o strad as lo go ab a ixo .

D e fin ind o -se u m a m a tr iz H co m o send o a inve rsa d a m a tr iz H essiana ap ro x im ad a

o b tid a no s M to d o s Q u ase -N ew to n tem -se

( ) 1k k =H B k k k =H . 0 ,

d e sta fo rm a a exp re sso d a m a tr iz H p a ra am b o s o s m to d o s d e fin id a d a segu in te fo rm a


( )( )

( )( )

( ) ( )( )

1 1T T T Tk k k k k k k k k k k

kkDFP T T Tk k k k k k

+

+ = + +

5 6 7 8 7 8 7 6 6 7 8

H H8 7 8 7 8 7

,

e

( )( )

( )( )

1

T Tk k k k k kk kBFGS T Tk k k k k

+

= +

8 8 6 7 8 6

H H8 7 7 6 7

,

o u se ja , 1 1 1 1ek k k kBFGS BFGS DFP DFP

+ + + + = =B H I B H I .

P o d e -se a ind a c ita r u m a o u tra f rm u la q u e ten ta u n ir o s d o is m to d o s an te r io rm en te ap re sen tad o s co m a segu in te exp re sso

( )( 1) ( 1) ( 1)1k k kDFP BFGS + + += + B B B , co m o va lo r d e o b tid o p e la F rm u la d e H o sh ino p a ra cad a ite rao

1

1T

T

=

8 9:8

7 8

.

A f rm u la B F G S em p a rticu la r tm sid o m a is u tiliz ad a na p r tic a , ta lvez p o r se r m e lho r q u e a f rm u la D F P e j rep re sen ta r a inve rsa d a m a tr iz H essiana no send o m a is necess r io inve rte r a m a tr iz no a lgo ritm o d e re so lu o .

A segu ir so ap re sen tad as a lgu m as p ro p ried ad es co m u ns p a ra o s M to d o s Q u ase -N ew to n D F P e B F G S :

P o d e -se d em o nstra r q u e p a ra fu n es q u ad r tic a s:

o C o nc lu d as a s k ite ra es ( ) 11 2k f + = B x o b tend o d esta fo rm a a so lu o d o p ro b lem a ;

o P rese rva -se a s co nd i es d o M to d o Q u ase -N ew to n ; o O s m to d o s ge ram d ire es co n ju gad as e g rad ien te s co n ju gad o s q u and o

=B I ;

Q u and o se tra ta r d e fu n es em ge ra l, p o d e d em o nstra r q u e : o O s m to d o s p re se rvam a m a tr iz kB co m o p o sitiva d e fin id a ;

o R eq u e r 23 n k n + m u ltip lic a es p o r ite rao ;


o P o ssu em co nve rgnc ia nu m a razo su p e r linea r ;

o P o ssu em co nve rgnc ia g lo b a l p a ra fu n es e str itam en te co nvexas;

3 .3 .2 .2 . O T IM IZ A O C O M R E ST R I E S O s m to d o s d e o tim izao co m re str i es b u scam d esc reve r o p ro b lem a d e fo rm a a

transfo rm a-lo em u m p ro b lem a d e o tim izao sem re str i es, send o d esta fo rm a p o ssve l re so lve r o s m esm o s co m o s m to d o s an te r io rm en te ap re sen tad o s.

C o nsid e re -se o p ro b lem a ge ra l d e o tim izao co m re str i es d a fo rm a

( )( )( )

( ) ( ){ }

0, 10, 1

0, 1 0, 1

i

jn

i j

Minimizar fSujeito a g i m

g j q

x g i m e g j q

= =

=

= = = =

x

x

x

x

x x

;

;

; ;

,

o nd e d eno m inad a d e reg io v ive l e co m a fu no ( )f x co n tnu a e co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as a t a segu nd a o rd em e a s fu n es ( )ig x e ( )jg x co n tnu as e co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as a t a p r im e ira o rd em . P a ra u m m e lho r en tend im en to d o s m to d o s q u e se ro ap re sen tad o s a segu ir , e ste s se ro su b d iv id id o s d a segu in te fo rm a :

1 . M to d o s co m R estr i es d e Igu a ld ad e

2 . M to d o s co m R estr i es d e D esigu a ld ad e 3 . M to d o s co m R estr i es M ista s

3 .3 .2 .2 .1 . O T IM IZ A O C O M R E ST R I E S D E IG U A L D A D E C o nsid e re -se o p ro b lem a ge ra l d e o tim izao co m re str i es d e igu a ld ad e d a fo rm a

( )( )

( ){ }

0, 1

0, 1

i

n

i


x g i m

= =

= = =

x

x

x

x

;

;

.

A segu ir so ap re sen tad as a lgu m as d e fin i es q u e p o ste r io rm en te so u tiliz ad as no s m to d o s

n< u m inc rem en to v ive l em u m p o n to + x x < ;


D iz -se q u e u m a d ireo d u m a d ireo d e d ec r sc im o em ( )* 0T f , co m x

= .

O s m to d o s ap re sen tad o s ne sta seo se ro o s segu in te s:

M to d o d o L agrang iano

M to d o d a P ena lid ad e

M to d o d o L agrang iano A u m en tad o


3 .3 .2 .2 .1 .1 . M T O D O D O L A G R A N G IA N O

C o nsid e re -se o segu in te p ro b lem a ge ra l d e o tim izao co m re str i es d e igu a ld ad e d a segu in te fo rm a

( )( ) 0 1i

n

Minimizar fSujeito a g i m= =

x

x

x

@

,

co m a fu no ( )f x co n tnu a e co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as a t a segu nd a o rd em e a (s) fu no ( es) ( )ig x co n tnu a (s) e co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as a t a p r im e ira o rd em .

A co nd io necess r ia d e p r im e ira o rd em p a ra q u e o p o n to ( )* *,x A se ja p o n to e stac io n rio d a F u no L agrang iana co m o fo i v is to na seo an te r io r ( )* *, 0L =x A , o nd e

( ) ( ) ( )1

,

m

i ii

L f B C=

= x D E E . P o d e -se ago ra d e fin ir a s fu n es ( )*1f x e ( )*2f x d a segu in te fo rm a

( ) ( ) ( )* * *11

m*

i ii

f g=

= + =f x x x 0 e

( )( )( )

( )

*

1

*

2*2

*

m

g

g

g

= =

x

xf x 0

x

F

,

lo go o s is tem a ac im a p o d e se r rep re sen tad o p o r

( )( ) ( )

( )

( )

* *

1

* 11

2

*

,

m*

i ii

m

f g

gt

g

=

+ = = =

x xf

xx G Hf

x

I

U tiliz and o o M to d o d e N ew to n p a ra re so lve r o s is tem a tem -se

( ) ( )1

1, ,

k kk k k kt t

+ =

x xx J K J

J J

,


o q u e eq u iva le a re so lve r ( ) ( ), ,k K k k Kt t = x L M N O , o nd e kd e ( ),k Kt x O so re sp ec tivam en te

1k kk

+ =

x xd

O O

e ( )1 1

2 2

,k kt

=

f fx O

x O f fx O

.

A p enas e sc revend o d e o u tra fo rm a tem -se q u e

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

1,

0

mk k k k

i ik k i

k

f g gt

g

=

+ =

x x xx O

x

P a ra re so lve r o s is tem a d e eq u a es ac im a d esc r ito se r necess r io inve rte r a m a tr iz

( ),k Kt x O , d e sta fo rm a p o d e -se faze r s im p lific a r o s c lcu lo s d a segu in te fo rm a , ad o ta -se p a ra a s m a tr ize s A e B a s segu in te exp re ss es

( ) ( )2 21

mk k k

i ii

f g=

= + A x x e ( )kg= B x . D esta fo rm a inve rte r a m a tr iz ( ),k Kt x O o m esm o q u e d e te rm ina r a s m a tr ize s C , D e E d e fo rm a q u e

T T

=

A B C D I OB O D E O I

.

P o d e -se fac ilm en te o b te r a p a r tir d e a lgu m as o p e ra es a s exp re ss es

( )-1-1 -1 -1 1T T C = A - A B B A B B A , ( ) 11 1T = D A B B A B e ( ) 11T = E B A B .

L o go o p ro b lem a fica re su m id o a re so lve r o segu in te s is tem a d e eq u a es

1 1

2 2

k

T

=

d fC Dd fD E ,

d e o nd e se o b tm a s segu in te s exp re ss es fina is 1 1

1 1 2k k

= d A f A B d

( ) 11 12 1 2k T T = + d B A B B A f f


O a lgo ritm o p a ra o M to d o d o L agrang iano co m re str i es d e igu a ld ad e e st ap re sen tad o no A n exo A p e lo A lgo ritm o A -3 .1 0 . N o a lgo ritm o A -3 .9 d o A n exo A m o strad o

e sq u em a ticam en te o ca lcu lo d a d ireo d e d ec r sc im o kd p a ra o M to d o d o L agrang iano .

3 .3 .2 .2 .1 .2 . M T O D O D A P E N A L ID A D E

O M to d o d a P ena lid ad e tem co m o id ia b sica transfo rm ar o p ro b lem a d e o tim izao co m re str i es d e igu a ld ad e em u m p ro b lem a sem re str i es.

A id ia m o n ta r u m a F u no d e P ena lid ad e na q u a l se co m b inam a fu no o b je tivo ( )f x co m a s re str i es ( )ig x p o ssib ilitand o d esta fo rm a a m in im izao d e ( )f x ao

m esm o tem p o em q u e so sa tisfe ita s a s re str i es ( )ig x , p ena lizand o -a s. A F u no d e P ena lid ad e d o p ro b lem a p o d e se r d e fin id a co m o

( ) ( ) ( )21

1,

2

m

ii

P f g =

= + x x x , o nd e d eno m inad o d e p a rm e tro d e p ena lid ad e . O p ro cesso d e re so lu o co nsiste em ad o ta r u m a seq nc ia d e e sca la re s tend end o ao

in fin ito co m o p o r exem p lo { }2 3 41,10,10 ,10 ,10 , P , e re so lve r o p ro b lem a a tr ib u ind o cad a va lo r a ( )m , ge rand o a ssim , u m a seq nc ia d e so lu o ( )mx .

D em o nstra -se q u e q u and o ( )m en to ( ) *m x x q u e u m m n im o lo ca l d o p ro b lem a . A lm d isso , a co nve rgnc ia g lo b a l, o u se ja , a co nve rgnc ia d e u m m n im o lo ca l ind ep end e d o va lo r in ic ia l ad o tad o . D a m esm a fo rm a q u e no m to d o an te r io r a u tiliz ao d e u m a fu no n ica q u e se

d e se ja o tim iza r co m as re str i es ge ra u m no vo p ro b lem a q u e rep re sen tad o p e la m in im izao d a fu no ( ), kP x sem re str i es, co m isso p o d e -se u tiliz a r p a ra ta l q u a isq u e r u m d o s m to d o s d e m in im izao sem re str i es an te r io rm en te ap re sen tad o s.

O g rad ien te d a F u no d e P ena lid ad e ( ), kP x d ad o p e la segu in te eq u ao ( ) ( ) ( ) ( )

1,

mk k

i ii

P f g g =

= + x x x x . O A lgo ritm o d o M to d o d a P ena lid ad e co m re str i es d e igu a ld ad e p o d e se r v is to no

A n exo A no A lgo ritm o A -3 .1 1 .


3 .3 .2 .2 .1 .3 . M T O D O D O L A G R A N G IA N O A U M E N T A D O

O M to d o d o L agrang iano A u m en tad o (M L A ) co nsiste em re so lve r u m a s r ie d e p ro b lem as d e m in im izao sem re str i es. E le u tiliz a a id ia d o M to d o d o L agrang iano

d esc r ito no item 3 .3 .2 .2 .1 .1 ac re scen tand o na F u no L agrang iana u m te rm o a m a is q u e p ena liza a s re str i es, o u se ja , a lgo eq u iva len te ao M to d o d a P ena lid ad e .

O L agrang iano A u m en tad o d o p ro b lem a d e fin id o d a segu in te fo rm a

( ) ( ) ( ) ( )21 1

1, ,

2

m m

i i ii i

A f g g = =

= + + x Q R R R , o nd e o p a rm e tro d e p ena lid ad e e Q o ve to r q u e co n tm o s m u ltip lic ad o r d e L agrange .

A id ia ge ra l d o m to d o co nsiste em m in im iza r a fu no ( ), ,A x Q . O s va lo re s d e e k

Q

so e sco lh id o s e fixad o s no co m eo d e cad a m in im izao sem re str i es e

p o ste r io rm en te o fu nc io na l ( ), ,A x Q m in im izad o em re lao a x . N o fina l d e cad a m in im izao , o s va lo re s d e

Q

so a tu a lizad o s e o p ro cesso co n tinu a

a t a ting ir a co nve rgnc ia .

A a tu a lizao d o s M u ltip lic ad o re s d e L agrange p o d e se r fe ita p e la segu in te eq u ao

( )1 gk k + = + Q Q R . P a ra o co rre r a co nve rgnc ia no M L A , o va lo r d a p ena lid ad e b a sta se r fin ito ,

enq u an to no M to d o d a P ena lid ad e e ste va lo r tinha q u e tend e r ao in fin ito o q u e aca rre ta

p ro b lem as co m p u tac io na is .

O a lgo ritm o d o M to d o d o L agrang iano A u m en tad o co m re str i es d e igu a ld ad e p o d e se r v is to no A nexo A no a lgo ritm o A -3 .1 2 .

3 .3 .2 .2 .2 . O T IM IZ A O C O M R E ST R I E S D E D E SIG U A L D A D E

C o nsid e re -se o p ro b lem a ge ra l d e o tim izao co m re str i es d e d e sigu a ld ad e d a fo rm a segu in te

( )( )

( ){ }

0, 1

0, 1

jn

j

Minimizar fSujeito a g j q

x g j q

=

= =

x

x

x

x

S

S

,


o nd e d eno m inad a d e reg io v ive l e a fu no ( )f x send o co n tnu a e co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as a t segu nd a o rd em e a s fu n es ( )jg x co n tnu as e co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as a t p r im e ira o rd em .

A co nd io necess r ia d e p r im e ira o rd em p a ra u m p o n to *x se ja u m p o n to d e m n im o lo ca l d o p ro b lem a d e m in im izao d esc r ito ac im a p o d e se r v is ta p e la s eq u a es

( ) ( )( )

( )

* * *

1

*

*

* *

0

0 1T U

V U

q

j jj

j

j

j j

f g

g j q

g

=

=

=

=

x xx

x

W

C o nsid e re -se ( )* x o co n ju n to d a s re str i es d e d e sigu a ld ad e a tiva s na so lu o *x , o u se ja , ( )* x o co n ju n to d o s nd ice s j ta l q u e ( )* 0jg =x . E n to , a s co nd i es necess r ia s p o d em se r e sc r ita s d a fo rm a segu in te

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

* * *

1

* *

* *

*

* *

0

0

0V X Y

Z X

q

j jj

j

j

j

j

f g

g jg j

j qj

=

=

=

<

=

=

x xx x

x x

x

[

U m a d as fo rm as d e se re so lve r o s p ro b lem as co m re str i es d e d e sigu a ld ad e a travs d o M to d o d o s C o n ju n to s A tivo s q u e tem co m o o b je tivo d e fin ir a c ad a ite rao u m co n ju n to d e re str i es, cham ad o d e co n ju n to d e trab a lho , q u e se tra ta r d e u m a e stim a tiva d o co n ju n to

( )* x . O m to d o co nsiste em d e te rm ina r u m co n ju n to d e trab a lho a tu a l, q u e u m su b co n ju n to d a s re str i es, e e fe tu a r u m a m in im izao so b re str i es d e igu a ld ad e p a ra e ste co n ju n to . S e e ste p o n to no sa tisfiz e r a s co nd i es d o p ro b lem a , fe ita u m a a tu a lizao d o co n ju n to d e trab a lho e em segu id a ca lcu la -se o no vo p o n to . Q u and o a so lu o fo r o b tid a , o co n ju n to d e trab a lho p assa a se r o co n ju n to a tivo co rre to ( )* x . D en tre o s v r io s m to d o s ex isten te s se ro aq u i ap re sen tad o s ap enas d o is q u e so :

o M to d o d a P ena lid ad e o M to d o d o L agrang iano A u m en tad o


O s o u tro s m to d o s p o d em se r enco n trad o s na b ib lio g ra fia so b re o a ssu n to c itad a no C a p tu lo 1 d e sta d isse r tao .


N o caso d e p ro b lem as co m re str i es d e igu a ld ad e , p a ra o b te rm o s u m p o n to q u e sa tisfaa s co nd i es necess r ia s d o p ro b lem a d e o tim izao co m re str i es d e d e sigu a ld ad e an te r io rm en te ap re sen tad as, b a sta re so lve rm o s u m sis tem a no -linea r d e eq u a es. E n tre tan to , em p ro b lem as q u e inc lu em re str i es d e d e sigu a ld ad e , a lm d a re so lu o d o

sis tem a no -linea r d e eq u a es, to rna -se necess r io q u e a so lu o d este s is tem a sa tisfaa a e ssa s re str i es. N este ca so , co nstr i-se u m a no va F u no d e P ena lid ad e .

A no va F u no d e P ena lid ad e p a ra o p ro b lem a p o d e se r v is ta d a segu in te fo rm a

( ) ( ) ( )2

1

1,

2

q

jj

P f g =

= + x x x , o nd e cham ad o d e p a rm e tro d e p ena lizao .

C o m o e ste s p ro cesso s so re so lv id o s d e fo rm a ite ra tiva , a c ad a p a sso d o p ro cesso a

fu no ( )jg x ve r ific ad a em fu no d o va lo r d e x p a ra e sta ite rao e d e sta fo rm a se r co nsid e rad o o u no no p ro cesso , o u se ja , ve r ific ad a se a re str i o e st o u no a tiva .

O a lgo ritm o p a ra o M to d o d a P ena lid ad e co m re str i es d e d e sigu a ld ad e p o d e se r v is to no A n exo A no a lgo ritm o A -3 .1 3 .


D a m esm a fo rm a q u e no M to d o d a P ena lid ad e se ro fe ita s a lgu m as a lte ra es no

fu nc io na l ( ), ,A x \ re su ltand o a eq u ao

( ) ( ) ( ) ( ) 21 1

1, ,

2

q q

j j jj j

A f g g = =

= + + x \ ] ] ] , o nd e o p a rm e tro d e p ena lid ad e e \ so o s m u ltip lic ad o re s d e L agrange . O u tra d ife rena se d na a tu a lizao d o s m u ltip lic ad o re s d e L agrange q u e nesta ve rso d o m to d o so d ad o s p e la eq u ao

( )1k k g+ = + \ \ ] . O a lgo ritm o p a ra o M to d o d o L agrang iano A u m en tad o co m re str i es d e

d e sigu a ld ad e p o d e se r v is to no A n exo A no a lgo ritm o A -3 .1 4 .


3 .3 .2 .2 .3 . O T IM IZ A O C O M R E ST R I E S M IST A S

Q u and o fa lam o s em o tim izao co m re str i es m ista s e stam o s no s re fe r ind o ao p ro b lem a ge ra l d a P ro g ram ao M a tem tica . O s m to d o s ap re sen tad o s a segu ir p o d em se r

u tiliz ad o s p a ra re so lu o d e to d o s o s p ro b lem as an te r io rm en te ap re sen tad o s. D en tre d e ste co n tex to se ro aq u i ap re sen tad o s ap enas d o is m to d o s q u e so :

o M to d o d a P ena lid ad e o M to d o d o L agrang iano A u m en tad o


C o nsid e re -se o segu in te p ro b lem a ge ra l d e o tim izao d e fin id o d a segu in te fo rm a

( )( )( )

0 10 1

i

jn


g j q= =

=

x

x

x

x

^

^

,

o nd e a fu no ( )f x co n tnu a e co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as a t segu nd a o rd em e a s fu n es ( )ig x e ( )jg x so co n tnu as e co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as a t p r im e ira o rd em .

A F u no d e P ena lid ad e d o p ro b lem a ge ra l p o d e se r e sc r ita d a segu in te fo rm a

( ) ( ) ( ) ( )2

2

1 1

1 1,

2 2

qm

i ji j

P f g g = =

= + + x x x x co m send o o p a rm e tro d e p ena lid ad e . P o d e -se o b se rva r q u e ( ),P x a m esm a fu no d o s p ro b lem as an te r io re s s q u e ne ste ca so e sto co nsid e rad o s tan to a s re str i es d e igu a ld ad e co m o a s re str i es d e d e sigu a ld ad e .

D ep o is d e d e fin id a a fu no ( ),P x , b a sta ap enas re so lve r o p ro b lem a d e fo rm a ite ra tiva co m o send o u m a m in im izao co m re str i es d e igu a ld ad e , p o is a c ad a ite rao a

fu no ( )jg x p o d e e sta r a tiva o u ina tiva . O a lgo ritm o d o M to d o d a P ena lid ad e co m re str i es m ista s p o d e se r v is to no A n exo

A no a lgo ritm o A -3 .1 5 .



C o nsid e re -se o segu in te p ro b lem a ge ra l d e o tim izao d e fin id o d a segu in te fo rm a

( )( )( )

0 10 1

i

jn


g j q= =

=

x

x

x

x

_

_

,

o nd e a fu no ( )f x co n tnu a e co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as a t segu nd a o rd em e a s fu n es ( )ig x e ( )jg x co n tnu as e co m d e rivad as p a rc ia is co n tnu as a t p r im e ira o rd em .

A fu no d o L agrang iano A u m en tad o p a ra o p ro b lem a p o d e se r e sc r ita d a segu in te fo rm a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 221 1 1 1

1 1, ,

2 2

q qm m

i i i j j ji i j j

A f `:a a ` a a = = = =

= + + + + x b c c c c c , o nd e o p a rm e tro d e p ena lid ad e e

b

so o s m u ltip lic ad o r d e L agrange . A a tu a lizao

d o s m u ltip lic ad o re s d e L agrange fe ita co n fo rm e se m o stra na s eq u a es ab a ixo

( )1k k ig+ = + b b c P a ra re str i es d e igu a ld ad e ( )1k k jg+ = + b b c P a ra re str i es d e d e sigu a ld ad e

D ep o is d e d e fin id a a fu no ( ), ,A x b , b a sta ap enas re so lve r o p ro b lem a d e fo rm a ite ra tiva co m o send o u m a m in im izao co m re str i es d e igu a ld ad e , p o is a c ad a ite rao a

fu no ( )jg x p o d e e sta r a tiva o u ina tiva . O a lgo ritm o d o M to d o d o L agrang iano A u m en tad o co m re str i es m ista s p o d e se r

v is to no A n exo A no a lgo ritm o A -3 .1 7 .

3 .3 .3 . P R O G R A M A O M U L T I-O B J E T IV O S Em muitos problemas correntes, no se deseja alcanar to somente um objetivo, e

sim vrios deles. Um exemplo seria o projeto de uma ponte onde o projetista deseja minimizar o peso da mesma e, ao mesmo tempo, maximizar as freqncias naturais de vibrao. Ou num projeto de rodovia quando se tem por objetivos minimizar as distncias de percurso, bem como os volumes de terras transportados.


Desta maneira, uma vez que inmeros problemas do cotidiano apresentam mais de um objetivo a serem perseguidos simultaneamente, surgiu a Programao com Multi-objetivos.

Em geral, qualquer modelo de programao clssica com apenas um objetivo e vrias restries, pode ser modelado e resolvido empregando-se a tcnica para Multi-

objetivos, contudo, muitas diferenas existem na formulao e conceitos entre estas duas tcnicas de otimizao.

Um dos mtodos mais utilizados na programao com Multi-objetivos o Goal Programming, que funciona verdadeiramente como um tomador de decises. As diferenas

entre as formulaes so to grandes que um problema de otimizao que sequer apresente uma regio vivel e que, com tratamento clssico seria de impossvel resoluo, com o Goal Programming obtm-se uma soluo. Embora esta soluo viole alguma ou algumas das restries, ela ser a melhor soluo encontrada para aquelas metas estabelecidas.

Captulo 4 Algoritmos Genticos 42

E

CAPTULO 4

ALGORITMOS GENTICOS

uma ferrame

aplicaes.

Prete

genticos no

processo de

Finalmente

tcnica de ot

ste captulo apresenta a origem, os fundamentos dos Algoritmos

Genticos e seus principais aspectos e caractersticas que o tornam

nta de busca e otimizao bastante promissora para uma vasta gama de

nde-se tambm, mostrar as diversas operaes utilizadas pelos algoritmos

processo de otimizao. So descritos os parmetros de controle do

otimizao, sua forma de codificao e de avaliao da funo objetivo.

so feitos comentrios sobre as vantagens e desvantagens do uso desta

imizao.

A imaginao mais importante que o conhecimento.

Albert Einstein


4.1. INTRODUO

H muito tempo, o homem tem se servido das caractersticas e princpios

existentes na natureza para a criao de mquinas, mtodos e tcnicas que melhorem

sua qualidade de vida neste planeta. Alguns exemplos tpicos desta afirmao so os

avies baseados nas caractersticas dos pssaros, submarinos com sistemas de imerso

semelhante ao dos peixes, sonares baseados nos morcegos, entre outros.

O homem inspirado na natureza ou na biologia cria novas tcnicas, como as

Redes Neurais , baseadas no funcionamento do crebro humano, para possibilitar aos

computadores a chamada Inteligncia Artificial.

Dentro deste contexto, surgiu em meados do sculo XIX um dos mais

importantes princpios no campo da evoluo da vida, A Seleo Natural de Darwin,

que defendia a idia de que na natureza dos seres vivos, aqueles com melhores

caractersticas, adaptabilidades, tendem a sobreviver frente aos demais. Desde ento,

a medicina e suas cincias afins vm numa busca acelerada tentando mapear todas as

informaes da gentica humana, relacionando deste modo cada gene de cada

cromossomo s caractersticas que eles representam nos indivduos: hereditrias, fsicas

e funcionais.

H oito anos comeou o projeto Genoma em diversos centros do mundo,

liderados pelo instituto Nacional de Sade dos Estados Unidos, que contou com

investimento inicial de trs bilhes de dlares. O principal objetivo do projeto

descobrir, at o ano 2005, todos os genes do corpo humano e identificar mais de trs

bilhes de seqncias genticas de cromossomos.

Os cientistas querem conhecer, antes do nascimento, a possibilidade de cada ser

humano desenvolver doenas com fatores hereditrios, podendo assim, evitar o

desenvolvimento do mal, seja com terapias genticas, se a doena for congnita, ou com

a interferncia no estilo de vida do portador da mutao. Eles calculam que 2/3 dos 30

mil genes do organismo humano j tenham sido mapeados, embora se conhea a funo

de apenas 4% deles.

Foi nos ltimos anos que a gentica alavancou-se com as primeiras clonagens

realizadas no mundo, tendo como marco a famosa ovelha Dolly na Inglaterra.


A clonagem, assim como os possveis objetivos e conseqncias desta

descoberta provocaram inmeras discordncias e precaues por todo o planeta, afinal,

quais seriam os rumos da aplicao destes conhecimentos. Indiscutveis so as

vantagens oferecidas na preveno de doenas, contudo, assustadoras so as

possibilidades da criao de novas doenas, mutaes, clonagens individuais, entre

outras mais.

Cercadas por todas estas discusses, outras cincias, aliadas s vantagens

computacionais hoje oferecidas, inspiram-se mais uma vez nestes princpios para a

soluo numrica de problemas prticos, dando origem a mais uma tcnica de

inteligncia artificial denominada Algoritmos Genticos.

Os Algoritmos Genticos so algoritmos de busca, fundamentados no processo

da seleo natural proposto por Charles Darwin, inicialmente propostos por John

Holland em seu livro no ano de 1975.

Os Algoritmos Genticos (AGs) so muito utilizados em problemas onde, dado

um conjunto de elementos ou indivduos, deseja-se encontrar aquele ou aqueles que

melhor atendam a certas condies previamente especificadas.

Os AGs, a partir de uma populao de indivduos, cada um com um valor de

adaptabilidade associado chamado aptido, desenvolvem, atravs de operaes

genticas como cruzamentos e mutaes, uma nova gerao de indivduos usando os

princpios Darwinianos de reproduo e sobrevivncia dos mais aptos. Cada indivduo

na populao representa uma possvel soluo para um dado problema. O que o

Algoritmo Gentico faz procurar aquela que seja muito boa ou a melhor, visando

otimizao da funo objetivo.

Representando de forma abstrata no eixo das abscissas todos os problemas cujas

solues podem ser obtidas por algoritmos de otimizao e no eixo das ordenadas suas

respectivas eficincias, pode-se determinar curvas indicativas da Aplicabilidade x

Eficincia dos mtodos disponveis, conforme Figura 4 - 1.

Atravs desse recurso, pode-se distinguir trs tipos extremos de mtodos, que

so ilustrados a seguir :


Figura 4 - 1- Aplicabilidade em Problemas x Eficincia de Resoluo dos Mtodos

o Mtodo 1 : Pouco eficientes para a totalidade dos problemas existentes.

o Mtodo 2: Altamente eficiente para uma pequena faixa de problemas,

entretanto, pouco eficiente ou nem aplicvel para a maior parte deles.

o Mtodo 3: Razoavelmente eficiente para a totalidade dos problemas

existentes.

Dentro deste contexto, os AGs se aproximariam da terceira classe de mtodos,

no sendo mais eficiente que aqueles projetados especificamente para determinado

problema, contudo, perturbaes no problema original trariam poucos, ou quase

nenhum, prejuzo aos AGs, mas possivelmente, a inutilidade de outros mtodos.

4.2. HISTRICO A seleo natural apenas um dos elementos da adaptao que se une a outros

como a relao entre organismo e ambiente e a hereditariedade. Alm disso, preciso

distinguir adaptao de adaptabilidade. Enquanto adaptao o preparo do organismo

para sobreviver num ambiente, adaptabilidade a capacidade de tirar partido do

ambiente e, at mesmo, control-lo. No sentido de adaptabilidade, o homem

indubitavelmente o rei da criao. Mas, embora toda histria da civilizao humana

nada mais seja que uma constante mudana no sentido de aumentar a amplitude e

variedade do ajustamento ao ambiente, a evoluo nos ensina que o homem no fruto

de uma criao especial, pois faz parte da natureza e feito da mesma essncia de tudo

o que vivo.

O desenvolvimento da gentica estabeleceu que as caractersticas hereditrias

so transmitidas atravs de genes (unidades qumicas que se localizam no ncleo das

clulas). Os genes so constitudos por uma substncia qumica, o ADN, ou cido


desoxirribonuclico. Dispem-se aos pares, dentro de filamentos visveis ao

microscpio, chamados cromossomos. A propriedade fundamental dos genes que eles

se auto-reproduzem fielmente. Entretanto, no h uma preciso absoluta nessa auto-

reproduo, podendo ocorrer mutaes gnicas ou seja, o gene que at aquele

momento produzia determinada caracterstica passa a produzir outra.

Uma Breve Histria da Gentica:

1866 - Ao cultivar ervilhas, o monge austraco George Mendel percebe

que uma gerao de plantas pode passar certas caractersticas s seguintes.

Com isso, estabelece as leis da hereditariedade;

1910 - Ao estudar as moscas da fruta, as drosfilas, o americano Thomas

Morgan demonstra que os cromossomos contm os genes, unidade bsica

da herana gentica;

1954 - O americano James Watson e o ingls Francis Crick enxergam

pela primeira vez a estrutura do DNA como uma escada espiralada;

1961 - Descobre-se que o funcionamento do cdigo gentico em todos os

seres vivos, do vrus ao homem, passando por bactrias, plantas e animais,

usa o mesmo mecanismo para instruir as clulas a produzirem protenas;

1977 - Pesquisadores decodificam o cdigo gentico do primeiro ser vivo,

um vrus;

1978 - Alteraes genticas em bactrias as transformam nas primeiras

fbricas biolgicas de insulina;

1984 - Surge a tcnica que permite identificar pessoas pelo DNA;

1989 - Lanado o Projeto Genoma, o ambicioso projeto de mapear a

seqncia gentica do DNA humano;

1997 - Nasce a ovelha Dolly, o primeiro mamfero clonado produzido a

partir de uma clula comum de um animal adulto;

2000 - Apresentao do primeiro esboo do Genoma Humano.

Nas dcadas de 50 e 60, muitos bilogos comearam a desenvolver simulaes

computacionais de sistemas genticos, entretanto, foi John Holland quem comeou,


seriamente, a refinar idias sobre o tema, culminando, em 1975, na publicao de seu

livro, Adaptation in Natural and Artificial Systems, hoje considerado um marco dos

Algoritmos Genticos. Desde ento, tais algoritmos vm sendo aplicados com sucesso

nas mais diversas reas, entre elas a otimizao e o aprendizado de mquinas.

4.3. DEFINIES BSICAS - TERMINOLOGIA Na biologia, a teoria da evoluo diz que o meio ambiente seleciona, em cada

gerao, os seres vivos mais aptos de uma populao. Como resultado, somente os mais

aptos conseguem se reproduzir, uma vez que os menos adaptados geralmente so

eliminados antes de gerarem descendentes. Durante a reproduo, ocorrem, entre outros,

fenmenos como mutaes e cruzamentos, que atuam sobre o material gentico

armazenado nos cromossomos. Estes fenmenos levam variabilidade dos seres vivos

da populao. Sobre esta populao diversificada age a seleo natural, permitindo a

sobrevivncia apenas dos seres mais adaptados.

Um Algoritmo Gentico (AG) a metfora desses fenmenos, o que explica

porque AGs possuem muitos termos originados da biologia. A lista apresentada a seguir

descreve os principais termos encontrados na literatura.

As principais definies relacionadas com os AGs so:

Cromossomo e Genoma: Na biologia, genoma o conjunto completo de genes

de um organismo. Um genoma pode ter vrios cromossomos. Nos AGs, os dois

representam a estrutura de dados que codifica uma soluo para um problema,

ou seja, um cromossomo ou genoma representa um simples ponto do espao de

busca.

Gen ou Gene: Na biologia, a unidade de hereditariedade que transmitida

pelo cromossomo e que controla as caractersticas do organismo. Nos AGs, um

parmetro codificado no cromossomo, ou seja, um elemento do vetor que

representa o cromossomo.

Indivduo: Um simples membro da populao. Nos AGs, um indivduo

formado pelo cromossomo e sua aptido.

Gentipo: Na biologia, representa a composio gentica contida no Genoma.

Nos AGs, representa a informao contida no cromossomo ou genoma.


Fentipo: Nos Algoritmos Genticos, representa o objeto, estrutura ou

organismo construdo a partir das informaes do gentipo. o cromossomo

decodificado. Por exemplo, considere que o cromossomo codifica parmetros

como as dimenses das vigas em um projeto de construo de um edifcio, ou as

conexes e pesos de uma Rede Neural. O fentipo seria o edifcio construdo ou

a Rede Neural.

Alelo: Na biologia, representa uma das formas alternativas de um gene. Nos

AGs, representa os valores que o gene pode assumir. Por exemplo, um gene que

representa o parmetro cor de um objeto poderia ter o alelo azul, preto, verde,

etc.

Epistasia: Interao entre genes do cromossomo, isto , quando um valor de

gene influncia o valor de outro gene. Problemas com alta epistasia so de difcil

soluo por AGs.

Populao: Conjunto de cromossomos ou solues.

Gerao: O nmero da iterao que o Algoritmo Gentico executa.

Operaes Genticas: Operaes que o Algoritmo Gentico realiza sobre cada

um dos cromossomos.

Espao de Busca ou Regio Vivel: o conjunto, espao ou regio que

compreende as solues possveis ou viveis do problema a ser otimizado. Deve

ser caracterizado pelas funes de restrio, que definem as solues de forma

vivel ao problema a ser resolvido.

Funo Objetivo ou de Avaliao: a funo que se quer otimizar. Ela contm

a informao numrica do desempenho de cada cromossomo na populao. Nela

esto representadas as

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