Algoritmos de Otimização para o Problema de Planejamento de Redes Celulares de Terceira Geração

Michele da Silva Sousa

COPPE/UFRJ – Programa de Engenharia de Sistemas e Computação email: michele_ssousa@yahoo.com.br

José André de Moura Brito

IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística - Diretoria de Pesquisas - DPE Coordenação de Métodos e Qualidade – COMEQ Av. Chile , 500 – 10º andar, Rio de Janeiro, RJ.

email: jose.m.brito@ibge.gov.br

$elson Maculan COPPE/UFRJ – Programa de Engenharia de Sistemas e Computação

email: maculan@cos.ufrj.br

Flávio Marcelo Tavares Montenegro IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística - Diretoria de Pesquisas - DPE

Coordenação de Métodos e Qualidade – COMEQ Av. Chile , 500 – 10º andar, Rio de Janeiro, RJ.

email: flavio.montenegro@ibge.gov.br

RESUMO O planejamento de redes celulares de terceira geração, baseadas na interface aérea

WCDMA, é um problema que combina a localização das estações rádio base (ERBs) e o controle da potência baseada em uma estimativa para o valor do SIR (Signal-to-Interference Ratio), que é a razão entre a potência do sinal de interesse (potência recebida) e a interferência total a que ele está sujeito. No presente trabalho é proposto um algoritmo GRASP para obter soluções viáveis para este problema. Observando ainda, que tais soluções podem ser utilizadas conjuntamente com a formulação de programação inteira mista proposta para este problema, com a expectativa de obter a solução ótima para diversos cenários do problema estudado. Resultados computacionais obtidos a partir de um conjunto de dados, a partir da aplicação do algoritmo e da formulação, são apresentados e discutidos.

PALAVRAS CHAVE. Redes celulares, Programação Inteira e Metaheurísticas. MH

ABSTRACT The planning of third generation cellular networks, based in aerial interface WCDMA,

is a problem that combines the localization of the radio stations base (BS) and the controlling of the power based on a estimate of the SIR value (Signal-to-Interference Ratio), that is the reason between the power of the interest signal (received power) and the total interference that it is subjected. In the present work an algorithm GRASP is considered to get viable solutions for this problem. In addition, we observe that such solutions can jointly be used with the formulation of mixed integer programming proposal for this problem, with the expectation to get the excellent solution for diverse scenes of the studied problem. Computational results gotten from a data set, from the application of the algorithm and the formulation, are presented and evaluated.

KEYWORDS. Cellular $etworks, Integer Programming and Metaheuristics. MH

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1. Introdução No decorrer dos últimos anos, a telefonia celular vem tendo um grande crescimento no

que concerne ao número de usuários e aos tipos de serviços oferecidos a estes. A primeira geração de sistemas de telefonia celular (Franqueira, 2003) caracterizou-se

pela utilização da tecnologia analógica. Nos sistemas celulares de primeira geração (Kalvenes et al., 2002), a largura da banda era compartilhada, sendo dividida entre os usuários através da alocação de canais de freqüência distintos. Esta tecnologia é denominada FDMA (Frequency Division Multiple Access).

A segunda geração (2G) surgiu no início da década de noventa (Franqueira, 2003) e se baseou na utilização da tecnologia digital, sendo também caracterizada pela tentativa de padronização do sistema de telefonia celular. Para efetuar tal padronização (Franqueira, 2003) (Mateus, 1998), a Europa introduziu o GSM (Global System for Mobile Communications), que se tornou o sistema de maior sucesso (mais utilizado) em todo o mundo. Nos sistemas celulares de segunda geração (Kalvenes et al., 2002), duas tecnologias dominantes emergiram: o TDMA (Time Division Multiple Access) e o CDMA (Code Division Multiple Access).

A terceira geração (3G) está sendo desenvolvida (Alencar, 2004) com o intuito de possibilitar a convergência das tecnologias de celular e de telefonia sem fio (cordless) em um sistema de comunicação pessoal único, no qual a unidade móvel deverá evoluir para plataformas multimídia com capacidade de acesso a múltiplos serviços de dados. O sistema de telefonia móvel de terceira geração (Guimarães, 2001) (Mateus, 1998) é o UMTS (Universal Mobile

Telecommunications System), que é formado por um conjunto de padrões bem especificados e válidos em todo mundo, incorporando uma interface aérea com maior aceitação, caracterizada pela tecnologia WCDMA (Wideband Code Division Multiple Access). O WCDMA é baseado na tecnologia CDMA, possuindo, contudo, uma maior largura de banda (aproximadamente 5 MHz para a onda portadora), o que permite taxas de transmissão mais altas para os usuários, possibilitando a implantação de serviços multimídia.

O problema de planejamento de redes celulares de terceira geração combina a localização das estações rádio base (ERBs) e o controle da potência. No que concerne à localização, dado um conjunto J de locais candidatos à instalação de um conjunto de ERBs, deve-se selecionar, a partir de J , um subconjunto de locais nos quais as ERBs instaladas possam atender a toda a demanda da rede com um custo mínimo. Em relação à questão do controle de potência, a transmissão de um usuário pode ser percebida como um ruído pelos demais usuários da rede. Logo, há a necessidade de se controlar a potência de transmissão de cada usuário de forma a minimizar o ruído total na rede.

De acordo com a literatura, poucos resultados de impacto foram conseguidos para a resolução do problema de planejamento de redes de terceira geração.

A formulação que serviu de base para o desenvolvimento deste trabalho é a formulação de programação inteira mista proposta por Franqueira (2003). Tal formulação aborda o planejamento de telefonia celular de terceira geração combinando a localização das ERBs e o controle de potência, além de considerar a demanda por múltiplos serviços com diferentes requisitos de qualidade do sinal em termos do SIR. A formulação considera dois níveis: um de sistema e outro estático. O primeiro nível indica que o funcionamento do enlace de rádio freqüência do telefone celular não é retratado de forma detalhada. Já no segundo nível, o comportamento dinâmico do sistema, ou seja, a mobilidade dos usuários, a execução dos algoritmos de alocação de recursos ou a flutuação rápida da potência de transmissão é praticamente negligenciada. Porém, esta formulação representa bem os aspectos relevantes para o planejamento da capacidade da rede, como a localização das ERBs, o controle de potência e a demanda por múltiplos serviços.

O presente trabalho apresentará um algoritmo GRASP para obter soluções viáveis para o problema. Ademais, tais soluções poderão ser utilizadas conjuntamente com a formulação apresentada neste trabalho, com a expectativa de obter a solução ótima para diversos cenários do problema estudado ou soluções viáveis de qualidade superior àquelas advindas do algoritmo.

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Este trabalho está dividido da seguinte forma: Na seção dois, são apresentados de forma resumida os principais conceitos associados às redes de telefonia celular, fornecendo subsídios básicos para o entendimento do problema de planejamento de redes celulares de terceira geração. Na seção 3, apresentaremos a formulação de programação linear inteira mista, proposta por Franqueira (2003), que considera o Universal Mobile Telecommunication System (UMTS). Esta formulação sofreu uma pequena alteração, isto é, acrescentamos uma restrição. Ainda nessa seção, exporemos as várias abordagens que têm sido desenvolvidas para a resolução deste problema. Na seção 4, apresentaremos o algoritmo GRASP desenvolvido para o problema, considerando algumas variações. Como conclusão do trabalho, apresenta-se um conjunto de resultados computacionais obtidos a partir da aplicação do algoritmo e da formulação.

2. Conceitos Básicos de Telefonia Celular A finalidade de um sistema de telefonia celular (Brito et al., 2004) é permitir a

comunicação entre dois telefones móveis ou entre telefones móveis e telefones fixos. Para isso é utilizado um sistema composto por: (1) uma Rede de Telefonia Pública Comutada (RTPC), que atende aos telefones fixos, (2) uma Rede de Telefonia Móvel, associada à Central de Controle e Comutação (CCC), e (3) algumas Estações de Rádio Base (ERBs), além dos telefones celulares (TCs). A CCC comunica-se com as ERBs por meio de circuitos de voz e dados.

A CCC é responsável pelo controle de várias ERBs e pela monitoração de chamadas e do processo de handover (Nascimento, 2000) (Stuber et al., 2000), que é um mecanismo que se caracteriza pela mudança automática de chamada à medida que o usuário se desloca de uma célula para outra. Em outras palavras, o enlace de rádio freqüência do telefone celular é redirecionado para uma ERB mais próxima, com a finalidade de melhorar a transmissão. O handover é necessário (Mateus, 1988) (Nascimento, 2000) quando o telefone celular se afasta em demasia da ERB pela qual está sendo atendido ou quando o telefone celular entra em uma região de sinal fraco.

A conexão entre uma ERB e uma unidade móvel é disponibilizada por um canal de comunicação. Nos sistemas mais antigos, havia um canal específico para cada usuário. Entretanto, para os novos sistemas baseados, por exemplo, no WCDMA, a largura de banda inteira disponível a um serviço é compartilhada por todos os usuários do sistema. Com isso, é fundamental uma eficiente distribuição de freqüências entre as ERBs. O Conceito de Célula e Área de Cobertura

O projeto de um sistema celular (Alencar, 2004) consiste na divisão da área a ser atendida pela telefonia móvel em áreas menores, permitindo a utilização de transmissores de baixa potência e um emprego eficiente do espectro por meio do reuso de freqüência.

Uma determinada região ou área de cobertura geográfica (Alencar, 2004) a ser atendida pelo serviço móvel celular é dividida em sub-regiões, que são chamadas células. A célula é a área geográfica coberta por uma ERB (estação de rádio base). Uma ERB (Brito et al., 2004) é caracterizada pela presença de uma ou mais antenas fixas, instaladas em torres, e tem o objetivo de atender, dentro de sua área de cobertura, às demandas provenientes de outras ERBs ou unidades móveis.

No sistema de telefonia celular, o termo "área de cobertura" refere-se à área geográfica em que uma unidade móvel (celular) pode ser atendida pelo equipamento de rádio de alguma ERB do sistema. Antenas utilizadas no Sistema Celular

Uma antena (Alencar, 2004) é definida como um dispositivo por meio do qual se pode radiar ou captar ondas de rádio. No sistema celular são utilizadas as antenas omnidirecionais e adaptativas. As omnidirecionais transmitem sinais em todas as direções simultaneamente, ao passo que, nas antenas adaptativas (Alencar, 2004), a potência radiada é direcionada para locais específicos, por meio de estruturas de elementos radiantes conhecidos como arranjos, de forma otimizada. Um arranjo de antena é um conjunto de elementos em alguma forma geométrica apropriada.

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Propagação de Sinais Um dos principais problemas no desenvolvimento de sistemas móveis é predizer qual

será o comportamento dos sinais eletromagnéticos utilizados na comunicação entre as estações e as partes móveis do sistema. Com isso, se faz necessário utilizar modelos matemáticos que permitam simular o comportamento de tais sinais, de forma a permitir, aos projetistas, testar várias configurações de sistema até encontrar uma que satisfaça os requisitos funcionais, bem como de desempenho e de custos.

Um modelo matemático para predição de sinais (Mateus, 1998), deve combinar, de uma forma equilibrada, as características do ambiente de propagação da onda, tais como a presença de folhagens, edificações e montanhas, para ambientes externos, e a presença de móveis, folhagens, pessoas e divisórias, no caso de ambientes internos. Além disso, devem ser considerados os três mecanismos de propagação da onda: reflexão, difração e refração.

3. O Problema de Planejamento de Redes Celulares de Terceira Geração

O problema de planejamento de redes de terceira geração combina dois subproblemas: a localização de estações de rádio base (ERBs) e o controle da potência. No que concerne à localização, dado um conjunto J de locais candidatos à instalação das ERBs, em uma região geográfica em estudo (Alencar, 2004), deve-se selecionar um subconjunto (locais candidatos à instalação das ERBs) de custo mínimo e instalar as ERBs, observando as seguintes condições: a cobertura da área em estudo, o atendimento da demanda e a exploração eficiente do espectro de freqüências no sistema UMTS . A minimização de custos na aquisição e instalação das ERBs é importantíssima. Não havendo alguma otimização em tal processo, podem-se instalar muitas ERBs em uma determinada região, acarretando em elevados gastos para as operadoras. Em geral, tais operadoras, investem, em uma fase anterior, grandes quantias nos leilões de faixas de freqüências destinadas aos serviços de redes de terceira geração.

Em relação à questão do controle de potência, cabe observar que em um sistema UMTS os canais não são separados em freqüências ou em tempo, como nos sistemas mais antigos (Franqueira, 2003), e a transmissão de um usuário pode ser percebida como um ruído pelos demais. Isto ocorre na mesma célula ou em células adjacentes (células circunvizinhas). Logo, há a necessidade de se controlar a potência de transmissão de cada usuário de forma a minimizar o ruído total na rede, isto é, a interferência na rede. A técnica de controle de potência utilizada no problema e que também será objeto de estudo deste trabalho, conjuntamente com o problema de localização das ERBs, se baseia em uma estimativa para o valor do SIR (Signal-to-Interference Ratio), que é a razão entre a potência do sinal de interesse (potência recebida) e a interferência total a que ele está sujeito. O SIR pode ser representado pela seguinte equação:

ηα ++−

=erra

recebida

II

PSFSIR

intint)1( (1)

Nesta equação, temos que:

• SF é o fator de espalhamento do sinal (spreading factor), dado por RW / , onde W (Hertz) corresponde à largura de banda de espalhamento do sinal específica da rede

UMTS, de 3.84 (MHz) e R (Hertz) à taxa de transmissão do serviço em questão; • recebidaP é a potência recebida pela ERB do sinal emitido pela unidade móvel;

• raI int é a interferência causada por transmissões na mesma célula (interferência

intra-célula). Tal interferência depende da quantidade de centros de demanda atendidos por uma determinada estação rádio-base;

• erI int é a interferência gerada pelas células circunvizinhas (interferência inter-células);

• α é o fator de ortogonalidade, ou seja, α indica o quanto um sinal de uma conexão (ligação entre a unidade móvel e a ERB) pode ser ortogonal em relação ao sinal de uma

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outra conexão, sendo 1=α a ortogonalidade perfeita ( 10 ≤≤α ), o que implica, que os sinais de duas conexões distintas em uma mesma célula não causariam interferência um no outro;

• η é o ruído térmico, que mede 1310)(130 −=− decibéisdB , como proposto em

(Franqueira, 2003). A potência de transmissão é ajustada de modo a manter o SIR igual a um valor alvo,

definido por alvoSIR . A potência recebida de cada unidade móvel depende, em última instância,

da potência emitida por todas as outras unidades e, dessa forma, há uma limitação na capacidade do sistema. A qualidade do sinal é garantida pela manutenção do alvoSIR em um valor maior ou

igual a um patamar mínimo MinAlvo SIRSIR ≥ .

3.1 Panorama do Problema

A finalidade desta seção é efetuar uma explanação concisa sobre os vários estudos que têm sido desenvolvidos para a resolução do problema de planejamento de redes de terceira geração. Através desta explanação será possível entender as principais diferenças entre o que será proposto neste trabalho e o que já foi proposto na literatura.

Galota et al. (2001) abordam a complexidade de se determinar à localização ótima de ERBs, de forma a suprir a uma demanda específica de tráfego em uma rede CDMA (Code Division Multiple Access).

Amaldi et al. (2001ª e 2001b) estudam algumas formulações de programação inteira e algoritmos que apontam decisões no processo de localização das ERBs. Tais formulações estão relacionadas ao clássico Problema de Localização de Facilidades não Capacitado (Wolsey, 1998).

A formulação de otimização tem dois objetivos: minimizar o custo total de instalação, considerando os locais candidatos, e favorecer as atribuições de pontos de teste as ERBs utilizando a menor potência total. Tutschku et al. (1997) analisam a distribuição espacial do tráfego (chamadas telefônicas) previsto, situado em um sistema celular. A abordagem não considera nenhum tipo de interferência nas ERBs (interferências intra-célula e inter-células) e propõe a divisão do planejamento de uma rede de telefonia celular em quatro áreas principais: transmissão de rádio, usuário móvel, alocação de recursos e arquitetura do sistema. O problema é formulado como um problema de Cobertura Máxima.

Einsenblätter et al. (2002) desenvolveram uma formulação matemática mista que otimiza a configuração e a localização de ERBs em um sistema UMTS. Onde a configuração pode ser concisamente definida como um conjunto de parâmetros, de variáveis mistas e restrições lineares que permitam uma rede de rádio "viável" em relação às demandas de tráfego. Os autores consideraram todas as restrições práticas relevantes ao projeto, como por exemplo, restrições para a localização ERBs, restrição do SIR para o Enlace Reverso (sinal da unidade móvel para a antena) e restrição do SIR para o Enlace Direto (sinal da antena para unidade móvel). Contudo, de acordo com os autores, tal formulação se mostrou razoavelmente complexa (muitas variáveis e restrições), o que impossibilitou, desta forma, a sua aplicação para a solução de problemas reais.

Kalvenes et al. (2002) apresentam uma formulação de programação inteira que tem por objetivo maximizar o lucro obtido pela instalação e operação de uma rede celular. Em tal formulação são fornecidos: um conjunto de locais candidatos à instalação de ERBs com os seus respectivos custos, os centros de demandas dos clientes, com a demanda correspondente para o tráfego, e o potencial de rendimento (ganho monetário) para cada unidade móvel com capacidade de alocação em cada centro de demanda. Baseado nesses dados, a formulação pode ser utilizada para determinar a seleção dos locais em que serão instaladas as ERBs e a capacidade do serviço (conexões realizadas) da rede resultante. A formulação utiliza o controle de potência baseado em potência alvo e emprega o enlace reverso, considerando apenas o serviço de voz.

Franqueira (2003) propôs uma formulação de programação inteira mista para o planejamento de redes celulares de terceira geração, considerando a localização de estações de

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rádio base, o controle de potência e os múltiplos serviços com taxas de transmissão e requisitos de qualidade diferenciados. O modelo matemático proposto considera o mecanismo de controle de potência baseado em alvoSIR . Tendo em vista que a resolução de tal formulação está associada

ao problema de localização de facilidades não capacitado, um problema clássico de otimização que é NP-difícil. Pacotes comerciais não são capazes de resolver instâncias de médio e grande porte (instâncias com razoável número de centros de demanda e ERBs). Sendo assim, na expectativa de resolver instâncias maiores, considerando a formulação proposta, foi aplicada a técnica de Relaxação Lagrangeana, (Maculan et al., 1984) (Fisher, 1981) (Fisher, 1985), para a determinação de limites inferior e superior para o problema.

3.2 Formulação de Programação Linear Inteira Mista considerando UMTS

Inicialmente, faremos uma descrição das restrições e, em seguida, apresentaremos o modelo que servirá de base para o desenvolvimento de nosso trabalho.

O sistema UMTS supõe a demanda por múltiplos serviços com diferentes requisitos de qualidade do sinal em termos do SIR.

A formulação assume que todas as ERBs são idênticas (mesmo número e tipo de antenas) e capazes de atender a todos os serviços em um conjunto de serviços ( S ) oferecidos na rede, não existindo qualquer restrição ao atendimento de um centro de demanda (CD) i

)( Ii∈ por uma ERB j )( Jj∈ , além da manutenção da qualidade do sinal em termos de SIR para o enlace reverso.

Foi assumido que cada centro de demanda i tem uma demanda diferente de zero para pelo menos um dos serviços s∈S . Seja então, Si o conjunto dos serviços utilizados pelo centro

de demanda i , para os quais s

ia >0, sendo s

ia o número de conexões ativas para o serviço s no

centro de demanda i. De acordo com os múltiplos serviços disponibilizados na rede, será necessário

diferenciar as potências de transmissão e, sendo assim, define-se uma variável de decisão real s

ijp↑ , que representará a potência transmitida no enlace reverso pelo centro de demanda Ii∈

em direção à ERB Jj∈ para o serviço iSs∈ .

Finalmente, após todas estas considerações, apresentaremos a formulação matemática do problema de planejamento de redes celulares de terceira geração que servirá de base para o desenvolvimento de nosso trabalho. Considere:

jf o custo de instalação de uma ERB no local candidato j;

ijx a variável de decisão que assumirá o valor um se o centro de demanda i for atendido pela

ERB j e zero caso contrário;

jy a variável de decisão que assumirá o valor um se uma ERB for instalada no local candidato

j e zero caso contrário;

s

ijp↑ a variável que representa a potência real de transmissão no enlace reverso a partir do centro

de demanda i para a ERB j visando o atendimento do serviço s;

ijc o parâmetro que indica se a ERB instalada no local j pode atender ao centro de demanda i;

C o número mínimo de locais candidatos a selecionar;

jη o ruído térmico percebido no local j;

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q

ma o número de conexões ativas para o serviço q no centro de demanda m;

ijg o ganho de propagação no enlace entre o centro de demanda i e o local candidato j;

Pmax a potência de transmissão máxima permitida no canal;

isPmin a potência de transmissão mínima necessária para o CD i e para o serviço s .

Minimizar ∑∑∑∑∈ ∈ ∈

↑

∈

+Ii Jj Ss

s

ij

s

i

Jj

jj payf λ (2)

Sujeito a: IixcJj

ijij ∈∀≥∑∈

,1 (3)

∑∈

≥Jj

j Cy (4)

Jj I,i , ∈∀∈∀≤ jij yx (5)

e Jj I,i , iij

s

ij Ssxp ∈∀∈∀∈∀≤↑ (6)

s

alvo

ij

s

ij

Im Jn Sq

jij

s

ijmj

q

mn

q

mijSIR

gpgpgpax

↑

∈ ∈ ∈

↑↑ ≤

+−∑∑∑ η

iSsei ∈∈∈∀ Jj I,

(7)

,min i

is

Jj

s

ij SseIiPp ∈∈∀≥∑∈

↑ (8)

JeIi ∈∈∀∈ j },1,0{x ij (9)

J∈∀∈ j },1,0{y j (10)

i

s

ij SseIiPp ∈∈∈∀≤≤ ↑ J j , 0 max (11)

ondeλ é um parâmetro utilizado na ponderação do custo de instalação das ERBs e a soma das potências de transmissão das unidades móveis. Sendo o custo expressado em unidades monetárias e a soma das potências expressada em Watts.

Nesta formulação, a função objetivo (2) busca minimizar o custo total de instalação das ERBs e a potência transmitida pelo conjunto de unidades móveis. As restrições (3) garantem que os centros de demandas sejam cobertos por pelo menos uma ERB. A restrição (4) garante que ficarão ativas um conjunto de ERBs de forma que a demanda da rede seja atendida. As restrições (5) garantem que uma ERB j ficará ativa se ela for utilizada para atender a um centro de

demanda i . As restrições (6) garantem que uma potência só poderá receber um valor diferente de zero se for associada a um CD coberto por uma ERB ativa. A não observância destas restrições pode acarretar valores de 0≠ijp , mesmo que 0=ijx . As restrições (7) asseguram que se um

CD i é atendido pelo local candidato j , então o valor do SIR da conexão resultante será

suficientemente elevado, ou seja, excederá ao valor do alvoSIR definido para cada serviço e as

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restrições (8) impõem um valor mínimo para as potências de transmissão. As restrições de integralidade (9) e (10) garantem que as variáveis apenas podem assumir valores inteiros no intervalo [0,1]. Finalmente, as restrições (11) definem o intervalo de valores válidos para as

potências de transmissão associadas às variáveis reais s

ijp↑.

4. Algoritmo proposto para o Problema de Planejamento de Redes Celulares de Terceira Geração

No modelo apresentado em (3.2) o número de variáveis binárias é da ordem de

||||.|| JJI + , sendo o primeiro termo correspondente à variável ijx e o segundo termo a jy .

Considerando tal fato, dependendo da instância utilizada na formulação, ou seja, do número de centros de demanda e do número de locais candidatos à instalação das ERBs, pode-se ter que resolver um problema com milhares ou milhões de variáveis binárias. O que por sua vez, implicará na efetiva aplicação da formulação em instâncias de tamanho moderado. Para instâncias maiores, mesmo fixado um razoável tempo para execução da formulação (5, 10, 24 horas), possivelmente, serão obtidas apenas soluções viáveis, ou até mesmo, nenhuma solução. Com a perspectiva de resolver instâncias maiores e produzir soluções de qualidade razoável às expensas de um tempo computacional pequeno, quando comparado ao da formulação, foi desenvolvido neste trabalho, um algoritmo baseado na metaheurística GRASP. Em primeiro momento, o algoritmo foi desenvolvido considerando apenas a resolução do problema de localização das ERBS. As soluções (ERBs) fornecidas pelo algoritmo poderão ser utilizadas como ponto de partida na formulação da seção 3, conforme será visto mais adiante na seção 5. 4.1 Algoritmo GRASP

O GRASP é uma metaheurística que foi desenvolvida por Feo e Resende (1989) no final dos anos 80 e aplicada, primeiramente, ao Problema de Recobrimento. Em 1995 Feo e Resende (1995) apresentaram o primeiro tutorial a respeito do GRASP e em 1998 Resende apresentou um exame do método básico e de suas aplicações. Atualmente o GRASP tem sido aplicado com sucesso em uma série problemas de otimização combinatória. Tal fato naturalmente motivou a implementação de um primeiro algoritmo GRASP, para o problema tratado neste trabalho.

O GRASP (Rezende et al., 2003) é um procedimento iterativo constituído por duas fases:

• na primeira fase ou fase de construção, obtém-se uma solução viável 0x .

• na segunda fase ou busca local, investiga-se uma vizinhança de 0x até que seja encontrado um ótimo local de qualidade superior ao obtido na fase de construção.

O resultado do GRASP é dado pela melhor solução após um número n pré-determinado de iterações aplicando a construção e a busca local .

Na fase de construção (Resende et al., 2003), uma solução é iterativamente construída, elemento por elemento. Em cada iteração desta fase, temos uma lista de candidatos (LC) que é

formada por todos os elementos que podem ser incorporados na solução parcial 0x e que não provocam a inviabilidade do problema.

Definida a LC, deve-se avaliar todos os seus elementos através de uma função gulosa (.)g , que representa o custo de se adicionar um novo elemento LCt∈ na solução parcial 0x .

Com intuito de dar uma maior variabilidade às soluções obtidas, pode-se definir uma lista de candidatos restrita ( LCR ), formada pelos melhores elementos avaliados na LC através da

função g , quais sejam, aqueles que ao serem incorporados em 0x , produzem um acréscimo mínimo (caso de minimização).

Este processo representa o aspecto guloso do GRASP, pois temos sempre os melhores elementos para serem incorporados na solução. No trabalho de Feo e Resende (1995) são propostos dois possíveis esquemas para a construção da LCR : (i) Os k melhores candidatos, ordenados na LC , segundo algum critério, são selecionados para compor a LCR , sendo k um

1552

inteiro fixado previamente (ii) em cada iteração da fase de construção, denotamos

respectivamente por g e g o menor e maior acréscimo provocados pela inserção de um

elemento LCt∈ na solução 0x , segundo a função gulosa (.)g . A partir da utilização desta

função e dos valores g e g , definimos: )}()(|{ gggtgLCtLCR −+≤∈= α , ]1,0[∈α .

Quando 0=α , o procedimento de construção torna-se guloso, pois a LCR tem apenas um elemento, e quando 1=α , produzimos uma solução aleatória, tendo em vista que a LCR terá todos os elementos da LC .

Na segunda fase, através da aplicação de um procedimento de busca local, há uma tentativa de melhorar da solução inicial xa obtida na primeira fase, tendo em vista que esta solução não é necessariamente uma solução ótima para o problema. A busca local consiste na

substituição da solução 0x pela melhor solução '0x encontrada na vizinhança de 0x (Feo et al.,

1989). A solução obtida pelo GRASP será a melhor das soluções obtidas em todas as iterações.

Algoritmo Fase de Construção Passo 0: Inicialmente, a lista de candidatos )(LC é definida considerando todas ERBs que podem ser instaladas na rede.

Passo 1: Constrói-se uma lista de candidatos restrita ( LCR ), formada por algumas

das ERBs que compõem a lista de candidatos ( LC ) . Através de uma função gulosa (.)g ,

avalia-se o ganho obtido em termos de cobertura, ao se ativar uma ERB j ∈ LC para compor a

rede. Ou seja, em cada iteração da fase de construção, para toda ERB j ∈ LC , definimos

jMjg /1)( = , sendo jM o número de centros de demanda cobertos pela ERB j .

Em seguida, calculamos g , g e fixamos o parâmetro α ( ]1,0[∈α ) , e partir disto, obtemos a

LCR da seguinte forma: )}()(|{ gggtgLCtLCR −+≤∈= α .

Passo 2: Escolhe-se aleatoriamente uma ERB da LCR para compor o conjunto solução, definido por ERBC . A aleatoriedade se dá com o intuito de dar variabilidade às soluções produzidas na fase de construção.

Passo 3: Atualizamos a LC removendo a ERB que foi adicionada à solução ( ERBC ). Os passos (1), (2) e (3) são repetidos até que todos os centros de demanda (CDs)

estejam cobertos por pelo menos uma das ERBs que fazem parte da solução. E caso um CD seja coberto por mais de uma ERB que compõe a solução, este receberá a cobertura baseada no ganho de propagação. Isto é, o centro de demanda i será coberto pela ERB j que possuir o maior valor de ganho de propagação ijg . Tal consideração garantirá uma melhor qualidade dos serviços

prestados aos centros de demanda. Fase de Busca Local

O procedimento utilizado nesta fase tem por finalidade a redução do número de ERBs pertencentes ao conjunto solução ( ERBC ), determinado na fase de construção. Isto é feito atribuindo-se os centros demanda de cada uma das ERBs às ERBs restantes, sem violar as restrições (3), (4) e (5). Tal processo é repetido até que não seja possível remover mais nenhuma outra ERB da solução.

De forma a melhorar a qualidade das soluções produzidas pelo algoritmo proposto neste trabalho, foi agregado ao procedimento de construção (geração das ERBs) um procedimento de filtro, o que implicou em executar o procedimento de construção q vezes em cada uma das iterações do GRASP. A partir do algoritmo GRASP com filtro, temos a seleção de um conjunto de ERBs e seus respectivos CDs, produzindo, desta forma, uma solução viável para o problema de planejamento de redes (levando em conta a questão de localização das ERBs).

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A solução viável produzida pelo algoritmo GRASP também foi utilizada na formulação. Ou seja, fixamos 1=jy para toda ERB j que faça parte da solução do GRASP.

Tal procedimento pode reduzir o tempo de processamento e levar à obtenção de soluções melhores do que aquelas advindas da própria formulação (quando não são fixados previamente os valores de jy ).

5. Resultados Computacionais A presente seção contém os resultados computacionais associados a um conjunto de

instâncias utilizadas pelo algoritmo GRASP e pela formulação de Franqueira (2003), que sofreu uma pequena alteração, caracterizada pela inclusão de uma restrição que garante que uma potência ijp só poderá receber um valor diferente de zero se esta for associada a um CD i coberto

por uma ERB j . O algoritmo GRASP proposto foi desenvolvido em linguagem C e a formulação foi implementada utilizando o pacote de otimização LINGO (versão 7). O algoritmo e a formulação foram executados em uma máquina com 2 processadores de 1.73 GHz, 1 GB de memória RAM e sistema operacional Windows XP. As instâncias utilizadas neste trabalho foram obtidas a partir de um gerador aleatório de problemas. Para obtenção de tais instâncias, devem ser fornecidos os seguintes parâmetros de entrada: a quantidade de locais candidatos para a instalação de ERBs, o número de centros de demanda (CD) e o comprimento e a largura de cada CD . Sendo importante ressaltar que cada CD é considerado como um retângulo e sua posição é dada pelo par ordenado (x,y) do canto superior esquerdo. Além disso, é considerado que o conjunto de retângulos deve cobrir toda área de interesse e que todos os CDs têm o mesmo comprimento e a mesma largura. Maiores detalhes sobre a geração de dados podem ser obtidos no trabalho de Franqueira (2003). Em relação aos parâmetros da formulação, atribuiu-se 0,1 ao custo de instalação das

ERBs )( jf e 13-10E dB 130- = ao ruído térmico )( jη percebido em cada uma das antenas,

para todo local candidato Jj∈ . A demanda )(s em cada CD Ii∈ foi considerada 1. A

potência máxima )( maxP de transmissão foi fixada em WdB 130 = e 1=λ . Os valores fixados

para estes parâmetros também foram empregados em outros trabalhos presentes na literatura. E os ganhos de propagação do sinal )( ijg foram calculados a partir do modelo de Okumura-Hata.

Isto é, Okumura et al.(1968) realizaram em Tókio medidas para freqüências de até 1.920 MHz, posteriormente, Hata (1980) ajustou estas medidas a um modelo matemático que foi adaptado pela COST-231 (1991), para um modelo aplicável a redes celulares de terceira geração. 5.1 Resultados

A seguir, temos uma tabela com informações sobre as instâncias usadas para a aplicação do algoritmo GRASP e da formulação. Nesta tabela, coluna 1 representa a instância com seu número de CDs e ERBs e a coluna 2 contém o número de variáveis ijx e jy . Em

seguida, temos respectivamente nas colunas 3, 4 e 5, a solução da formulação (valor da função objetivo que agrega a soma das ERBs e das potências utilizadas), o número de estações ativas e o tempo de processamento da Formulação (em segundos). Observando que no presente experimento, o tempo máximo de processamento da formulação foi fixado em cinco horas. Nas colunas 6 e 7 temos a solução do algoritmo GRASP e o seu tempo de processamento (segundos). Para execução deste algoritmo, fixamos o número de iterações igual a 100, o número de filtros igual a 20 e o valor do parâmetro α igual a 0.5. E finalmente, nas colunas de 8 a 11, temos informações da formulação considerando a solução do algoritmo GRASP. Observando os resultados obtidos para as vinte e sete instâncias utilizadas neste trabalho, podemos fazer as seguintes considerações:

• Em 70,37 % das instâncias o número de ERBs produzidas pelo GRASP e pela formulação foi igual. Tal fato indica uma boa performance do algoritmo GRASP.

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• Ao fixarmos na formulação as variáveis jy associadas as ERBs produzidas pelo

GRASP, em algumas das instâncias, foi possível obter soluções iguais as soluções ótimas produzidas pela formulação exata, consumindo um tempo computacional menor, quando comparado ao tempo da formulação sem considerar as variáveis jy fixadas.Tais soluções

foram obtidas para instâncias em que o número ERBs da formulação original era igual ao do GRASP. Em algumas instâncias nas quais a solução do GRASP foi maior do que a solução da formulação também fixamos as variáveis jy . E neste caso, obteve-se uma

solução viável próxima da solução ótima da formulação. • No que concerne ao número de ERBs, acredita-se que os casos em que solução do

algoritmo GRASP foi pior do que a da formulação, sejam decorrentes da simplicidade do procedimento de busca local. E decorrência de tal fato, pretende-se implementar em trabalhos futuros, procedimentos de busca local mais inteligentes, para produzir soluções de melhor qualidade.

• Outra questão que será estudada futuramente é de a implementar novos algoritmos baseados nas metaheurísticas GRASP, ILS e Algoritmo Genéticos (Glover et al., 2002), sendo consideradas conjuntamente para as ERBs, as questões de localização e do controle de potência.

• Em trabalhos futuros, pretende-se validar a formulação e os algoritmos implementados, realizando testes com bases de dados reais de redes celulares de grande porte, disponibilizadas pelo projeto Momentum (http://momentum.zib.de).

Tabela 1 – Resultados da Formulação e do Algoritmo GRASP Instância Número

Variáveis Fobj Erbs Tempo Erbs Tempo Fobj Erbs Tempo Gap

CD_ERB_50_10 510 19,23 8 2 8 6

CD_ERB_50_20 1020 18,23 7 2 7 6

CD_ERB_50_30 1530 16,23 5 7 6 6

CD_ERB_70_30 2130 20,72 5 268 6 6 21,72 6 8 4,83%

CD_ERB_70_40 2840 20,72 5 2916 5 6 20,72 5 79 0,00%

CD_ERB_80_30 2430 23,97 6 1458 6 6 23,97 6 23 0,00%

CD_ERB_90_10 910 26,21 6 3 6 6

CD_ERB_90_20 1820 26,21 6 31 6 7 26,21 6 6 0,00%

CD_ERB_90_30 2730 26,21 6 901 6 7 26,21 6 76 0,00%

CD_ERB_90_40 3640 26,21 6 14400 6 7 26,21 7 23 0,00%

CD_ERB_100_10 5050 29,46 7 9 7 6

CD_ERB_100_20 2020 30,46 5 14 8 7

CD_ERB_100_30 3030 30,46 8 181 9 6 31,46 9 16 3,28%

CD_ERB_100_40 4040 30,46 8 3969 10 8 32,45 28 6,53%

CD_ERB_110_20 2220 32,71 8 33 8 7 32,71 8 8 0,00%

CD_ERB_110_30 3330 32,71 8 249 9 7 33,71 9 19 3,06%

CD_ERB_120_20 2420 34,95 8 238 8 6 34,95 8 11 0,00%

CD_ERB_150_10 1510 39,69 6 8 6 5

CD_ERB_150_20 3020 41,69 8 219 8 6 41,69 8 20 0,00%

CD_ERB_180_20 3620 50,43 10 62 10 5 50,43 10 25 0,00%

CD_ERB_180_30 5430 53,43 13 111 13 7 53,43 13 52 0,00%

CD_ERB_190_20 3820 49,67 7 31 7 6

CD_ERB_190_30 5730 51,67 9 80 10 8 52,67 10 60 1,94%

CD_ERB_200_10 2010 50,92 6 20 6 5

CD_ERB_200_30 6030 52,92 8 79 8 12 52,92 8 67 0,00%

CD_ERB_250_30 7530 62,15 6 134 6 16

CD_ERB_250_40 10040 65,15 9 5704 11 17 67,15 11 202 3,07%

GRASPFormulação Formulação + GRASP

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