1Q1.Sejam Vum espaco vetorial de dimensao nita munido de um produtointerno,Wum subespaco deVeT: V Vo operador linear denido porT(v)=projWv, paratodov V . Assinaleaalternativacontendoumaarmacao falsa:(a) W= Im(T) eW = Ker(T);(b) W =

Ker(T)

;(c) W= Ker(T I) eW = Ker(T);(d) T3= T2;(e) Te um operador simetrico.1Q2. SejamB=(v1, v2, v3, v4, v5) umabasede R5e T : R5R5ooperador linear tal que:[T]B =2 0 0 1 00 1 0 0 22 0 1 0 03 0 1 2 00 5 0 0 1.Considere as seguintes armacoes:(I)o subespaco [v2, v5] e invariante porT;(II)o subespaco [v5] e invariante porT;(III)o subespaco [v1, v3, v4] e invariante porT.Assinale a alternativa correta:(a)todas as armacoes sao verdadeiras;(b)apenas a armacao (II) e verdadeira;(c)apenas as armacoes (I) e (III) sao verdadeiras;(d)apenas a armacao (I) e verdadeira;(e)apenas a armacao (III) e verdadeira.1Q3.Sejam U um espaco vetorial de dimensao nita munido de um produtointerno , , T: U Uumoperadorlineareu, vvetorespropriosdeTassociados respectivamente a valores proprios distintos e. Considere asseguintes armacoes:(I)sedim(U)=4edim

Ker(T I)

=2, pode-seconcluirqueTediagonalizavel;(II)se T e simetrico, pode-se concluir que U= Ker(T I)Ker(T I);(III)se u, v = 0, pode-se concluir queTe diagonalizavel.Assinale a alternativa correta:(a)somente a armacao (I) e verdadeira;(b)somente as armacoes (I) e (II) sao verdadeiras;(c)todas as armacoes sao falsas;(d)somente as armacoes (I) e (III) sao verdadeiras;(e)somente as armacoes (II) e (III) sao verdadeiras.1Q4. SejaT: M2(R) R3a transformacao linear denida por:T

abcd

= (a b +c d, a b, c d),para todosa, b, c, d R. Assinale a alternativa correta:(a)dim

Im(T)

= 1;(b)dim

Ker(T)

= 1;(c)Im(T) = [(1, 1, 0), (1, 0, 1)];(d)Ker(T) =

(1100) ,

0 011

;(e)dim

Ker(T)

= 3.1Q5. SejamSeTsubespacos nao nulos de dimensao nita de um espacovetorialE. Considere as seguintes armacoes:(I)seS T= {0} entaoS T= S T;(II)seT Sentao dim(T +S) = dim(T) + dim(S);(III)dim(S +T) dim(S) + dim(T);Assinale a alternativa correta:(a)apenas as armacoes (I) e (II) sao verdadeiras;(b)apenas as armacoes (I) e (III) sao verdadeiras;(c)apenas as armacoes (II) e (III) sao verdadeiras;(d)todas as armacoes sao verdadeiras;(e)apenas a armacao (III) e verdadeira.1Q6. Umsistemadeequacoesdiferenciaisordinariaslineareshomogeneaspossui matriz de coecientesA M3(R). Sabendo que:M1AM=1 0 00 0 00 0 1,onde:M=1 0 01 2 00 1 1entaoasolucaoX(t) = x1(t), x2(t), x3(t)

dessesistema, satisfazendoacondicao inicialX(0) = (1, 3, 2) e:(a)(et, et+ 2, et+ 1);(b)(et, 3, et+ 1);(c)(et, et+ 2, et+ 1);(d)(et, et+ 2, et+ 1);(e)(1, et+ 2, et+ 1).1Q7. SejamUumespacovetorial real dedimensao5, T : UUumoperador linear e p(t) = t(t+1)3(t+2) seu polinomio caracterstico. Pode-se concluir que:(a) Tnao ediagonalizavelpoisdim(U)= 5eppossuiapenastresrazesreais;(b) T 2I nao e sobrejetora;(c)dim

Ker(T + I)

= 1, dim

Ker(T 3I)

= 1 e dim

Ker(T I)

= 3;(d)dim

Ker(T)

> 1;(e) Te diagonalizavel se e somente se dim

Ker(T + I)

= 3.1Q8. Sejama, b R eT: P2(R) R3a transformacao linear cuja matrizem relacao `as bases canonicas deP2(R) eR3e:A =1 1 01 0 1a 0 b.Assinale a alternativa correta:(a)nao existema eb que tornemTinjetora;(b) Te bijetora para quaisquera, b R;(c) Te bijetora para quaisquera, b R coma = b;(d)nao existema, b R que tornemTsobrejetora;(e) Te bijetora sea = b.1Q9. Considereasfuncoes F : P2(R) P1(R), G: P1(R) P2(R)eT: P2(R) R3denidas por:F(p)(t) = p(0) +p(1)t, p P2(R),G(q)(t) = tq(t) +q

(t), q P1(R),T(a +bt +ct2) = (a b, b +c, a c), a, b, c R.Assinale a alternativa correta:(a)dim

Im(T G F)

= 2;(b) T G e sobrejetora;(c) T G Fe injetora;(d)somente as funcoesTeFsao lineares;(e) G Fe bijetora.1Q10. A solucao geral do sistema:

x

1(t) = x1(t) 5x2(t),x

2(t) = x1(t) x2(t),e:(a) (c1+2c2) cos(2t) +(c22c1) sen(2t), c1 cos(2t) +c2 sen(2t)

, c1, c2 R;(b) (c12c2) cos(2t) +(c2+2c1) sen(2t), c1 cos(2t) +c2 sen(2t)

, c1, c2 R;(c) (c1 + 2c2) cos t + (c2 2c1) sent, c1 cos t +c2 sent

,c1, c2 R;(d) c1e2t(2, 1) +c2e2t(1, 2),c1, c2 R;(e) (c1+2c2) cos(2t) +(c22c1) sen(2t), c1 cos(2t) c2 sen(2t)

, c1, c2 R.1Q11. SejamA, B, C R e considere a conica de equacao:Ax2+ 2Bxy +Cy2= 1,relativamenteaumsistemadecoordenadasortogonal. SeAC B2 0 eb > 0.Assinale a alternativa correta:(a)apenas as armacoes (I) e (II) sao verdadeiras;(b)apenas as armacoes (I) e (III) sao verdadeiras;(c)apenas as armacoes (II) e (III) sao verdadeiras;(d)todas as armacoes sao verdadeiras;(e)apenas a armacao (I) e verdadeira.1Q20. SejaT: P3(R) R2a transformacao linear denida por:T(p) =

p(0), p(1)

,para todop P3(R). Assinale a alternativa falsa:(a) T(t), T(1 +t2)

e uma base de Im(T);(b) t t2, 2t t2t3

e uma base de Ker(T);(c)dim

Im(T)

= dim

Ker(T)

;(d) Tnao e linear;(e) t 1, t2t

nao e uma base de Ker(T).