ÁLGEBRA ÁLGEBRA DEDE

ÁLGEBRA DE BOOLEÁLGEBRA DE BOOLE

Álgebra é uma parte da matemática que trata da manipulação de números e de

símbolos representativos de quantidades físicas usando operações aritméticas.

Foi GEORGE BOOLE (1815 - 1864) matemático inglês, quem elaborou (1854) uma “Álgebra”

a partir da lógica.

GEORGE BOOLE fez a lógica totalmente SIMBÓLICA. Elaborou a análise matemática

da lógica de dois valores (binária).

ÁLGEBRA DE BOOLEÁLGEBRA DE BOOLEA álgebra booleana é definida em um conjunto

“S” onde só se tem dois elementos: 0 e 1 , sobre os quais podem ser executadas três

operações.

• PRODUTO BOOLEANO.

• SOMA BOOLEANA.

• INVERSÃO BOOLEANA.

OPERADORES

“E” indica interligação de chaves em série. Representada pelo

a b

ab

A “barra” sobre a letra indica inversão de função.

“OU” indica interligação de chaves em paralelo. Representada pelo +

a

S = A FUNÇÃO INVERSORANÃO

S = A + BOU FUNÇÃO “OU”INCLUSIVO

S = A B FUNÇÃO “E”E

POSTULADO “E”

A . B0 0

010 1

1 1

A B S

a 0a 1

aa

a b

a a

0

0001

a

a . b

a

0

S = A . B

ba

S

V

POSTULADO “OU”

A + B0 0

010 1

1 1a 0a 1

aa

a ba a

a

0111

1

a + b1a

S = A + B

A B S

b

a

V

S

PRINCÍPIO DA DUALIDADE

TODO E QUALQUER RESULTADO VERDADEIRO, EXPRESSO EM FÓRMULAS, POSTULADOS E

TEOREMAS DA ÁLGEBRA DE BOOLE, PERMANECE

VERDADEIRO SE + E SÃO INTERCAMBIADOS, SIMULTANEAMENTE AO

INTERCÂMBIO DE 0 E 1 .

+ SINAL DE SOMA LÓGICA

SINAL DE PRODUTO LÓGICO

PRINCÍPIO DA DUALIDADE

0 0

010 1

1 1

A B S

a 0a 1

aa

a ba a

a

0111

1

a+b

a1

S = A + B

1 0

0 10 0

1 1

1

0

1

000

0

a.b

FUNÇÃO ?

0

S = A . B

ÁLGEBRA BOOLEANA

LEIS/PROPRIEDADES

DA

PROPRIEDADE DISTRIBUITIVA

PRIMEIRO CASO: “E” EM RELAÇÃO A “OU”

a . ( b + c )

(a . b ) + ( a . c )

PROPRIEDADE DISTRIBUITIVA

SEGUNDO CASO: “OU” EM RELAÇÃO A “E”

(a + b ) . ( a + c )

a + ( b . c )

PROPRIEDADE DISTRIBUITIVA

(a + b ) . ( a + c )

a + ( b . c )

(a . b ) + ( a . c )

a . ( b + c )PRIMEIRO CASO:

“E” EM RELAÇÃO A “OU”

SEGUNDO CASO:

“OU” EM RELAÇÃO A “E”

PROPRIEDADE ASSOCIATIVA

a . ( b . c ) = ( a . b) . c

a + ( b + c ) = ( a + b) + c

ASSOCIAÇÃO SERIE

ASSOCIAÇÃO PARALELA

PROPRIEDADE COMUTATIVA

a + b = b + a

a . b = b . a

ASSOCIAÇÃO SERIE

ASSOCIAÇÃO PARALELA

TEOREMAS

2. SOMA E PRODUTO LÓGICOS DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS.

1. SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” E SEU PRODUTO LÓGICO COM “0”

3. TEOREMA DO ABSORVIMENTO.

4.TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO

5. TEOREMA DE DE MORGAN

TEOREMA1. SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” E SEU PRODUTO

LÓGICO COM “0”

a + 1 = 1=1

a + a

a +

( ).1a + 1( )

( )( )a + 1 . =1

a + a(1. )

a = 1

=1

P.Dualidade

SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1”1.1

a ?

1

1

a ?

1

TEOREMA1. SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” E SEU PRODUTO

LÓGICO COM “0”

a . 0 = 0=0

a . a

a .

( )+ 0a .0( )

( )( )a . 0 + =0

a . a(0+ )

a = 0

=0

P.D

PRODUTO DE UM ELEMENTO COM “0”1.2

0a

0a0

TEOREMA1. SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” E SEU PRODUTO

LÓGICO COM “0”

SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1”

a + 1 = 1=1

a + a

a +

( ).1a + 1( )

( )( )a + 1 . =1

a + a(1. )

a = 1

=1

a . 0 = 0=0

a . a

a .

( )+ 0a .0( )

( )( )a . 0 + =0

a . a(0+ )

a = 0

=0

PRODUTO DE UM ELEMENTO COM “0”

TEOREMA2. SOMA E PRODUTO LÓGICOS DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS.

a + a = a=a

a + a

a +

( ).1a + a( )

( )( )a + a . =a

a + a(a . )

= a

=a

0

SOMA LÓGICA DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS2.1

P.D

a . a

2.2

TEOREMA

3. DO ABSORVIMENTO.

3.1 “E” em relação a “OU”

a . ( a + b ) = a

( a . a ) + ( a . b ) = a

a + ( a . b )

P.D

3.2 “OU” em relação a “E” a + ( a . b ) = a

a . ( 1 + b ) = a . 1 = a

= a

TEOREMA

4. DA SUPERPOSIÇÃO

4.1 “E” em relação a “OU”

a . ( a + b ) = a . b

( a . a ) + ( a . b )

0 + ( a . b )

= a . b= a . b

= a . b4.2 “OU” em relação a “E”

P.Da + ( a . b ) = a + b

AV5

TEOREMA5. DE DE MORGAN

5.1 a + b = a . b a + a = 1

(a + b) (a + b) = 1

( )

(a + b) + a . b = 1y ( )

( y + a ) . ( y + b )

(a+b ( a+b+ a ). + b )

(a + a + b) (a + b + b)

(1+b). (a+1)

1. 1 = 1

= 1

x + x = 1

z + z = 1

+ = 1

5.2

a . b = ( a + b )

P.D

AV6

+

.

POSTULADOS/TEOREMASl/LEIS/PROPRIEDADES

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1a + b = b + aa + a = 1a + 0 = aa + 1 = 10 . 0 = 00 . 1 = 01 . 0 = 01 . 1 = 1a . b = b . aa . a = 0a . 0 = 0

a . 1 = a

0 = 11 = 0

a + a = aa . a = aa + ( a . b ) = aa . ( a + b ) = a

( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c

a + ( a . b ) = a + ba . ( a + b ) = a . b

( a . b ) . c = a . ( b . c ) = a . b . c

a . b = a + b

a + b = a . b

Dúvidas

TEOREMA2. SOMA E PRODUTO LÓGICO DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS.

a . a = a=a

a . a

a .

( )+0a . a( )

( )( )a . a + =a

a . a(a+ )

= a

=a

1

PRODUTO LÓGICO DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS2.2

POSTULADOS/FORMULAS/TEOREMAS

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1a + b = b + aa + a = 1a + 0 = aa + 1 = 10 . 0 = 00 . 1 = 01 . 0 = 01 . 1 = 1a . b = b . aa . a = 0a . 0 = 0

a . 1 = a

0 = 11 = 0

a + a = aa . a = aa + ( a . b ) = aa . ( a + b ) = a

( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c

a + ( a . b ) = a + ba . ( a + b ) = a . b

( a . b ) . c = a . ( b . c ) = a . b . c

a . b = a + b

a + b = a . b