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ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG-CUITÉ) P LANOS P ARALELOS AOS E IXOS E AOS P LANOS C OORDENADOS Casos Particulares A equação d cz by ax na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano ) , , ( , a normal vetor um c b a v sendo . Quando uma ou duas das componentes de v são nulas, ou quando d = 0 teremos os casos particulares. Plano que Passa pela Origem Se o plano d cz by ax passa pela origem: 0 , 0 . 0 . 0 . d é isto d c b a Assim a equação: 0 cz by ax representa a equação de um plano que passa pela origem. Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Se apenas uma das componentes do vetor ) , , ( c b a v é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano é paralelo ao mesmo eixo: I. Se x c b v a 0 // ) , , 0 ( , 0 e a equação geral dos planos paralelos ao eixo 0x é: . d cz by A figura mostra o plano de equação: . 0 6 3 2 z y Observemos que suas intersecções com os eixos 0y e 0z são A 1 (0,3,0) e A 2 (0,0,2), respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equação. Um vetor normal ao plano é ), 3 , 2 , 0 ( v pois a equação de pode ser escrita na forma: . 0 6 3 2 0 z y x

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ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG-CUITÉ)

PLANOS PAR ALEL OS A OS EI X OS E A OS P LAN OS COOR DEN ADOS

Casos Particulares

A equação dczbyax na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano ),,( , anormalvetorumcbavsendo . Quando uma ou duas das componentes de v são nulas, ou quando d = 0 teremos os casos particulares.

Plano que Passa pela Origem Se o plano dczbyax passa pela origem: 0 ,0.0.0. déistodcba

Assim a equação: 0 czbyax representa a equação de um plano que passa pela origem.

Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Se apenas uma das componentes do vetor ),,( cbav é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano é paralelo ao mesmo eixo:

I. Se xcbva 0//),,0(,0 e a equação geral dos planos paralelos ao eixo 0x é: .dczby

A figura mostra o plano de equação: .0632 zy

Observemos que suas intersecções com os eixos 0y e 0z são A1 (0,3,0) e A2 (0,0,2), respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equação. Um vetor normal ao plano é ),3,2,0(v pois a equação de pode ser escrita na forma:

.06320 zyx

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG-CUITÉ) Com raciocínio análogo, vamos concluir que:

II. Os planos paralelos ao eixo 0y têm equação da forma: ;dczax III. Os planos paralelos ao eixo Oz têm equação da forma: .dbyax

Da análise feita sobre este caso particular, conclui-se que a variável ausente na equação indica que o plano é paralelo ao eixo desta variável.

As figuras seguintes mostram os planos ,42: 3: 21 yxezx

Observações: a) A equação 042 yx , como vimos, representa no espaço 3

um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano 2 , representa uma reta.

b) Se na equação 0 ,0 byaxequaçãoadfizemosdbyax representa um plano que passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z.

Planos Paralelos aos Planos Coordenados Se duas das componentes do vetor normal ),,( cbav são nulas, v é colinear a um

dos vetores )1,0,0( )0,1,0( )0,0,1(

koujoui ,e, portanto, o plano é paralelo ao plano dos outros dois vetores:

I) Se yxkcccvba 0//)1,0,0(),0,0(,0

e a equação geral dos planos

paralelos ao plano x0y é: . :,0 ,cdzvemccomodcz

Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos ao plano x0y.

A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4.

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A equação z = 4 pode também ser apresentada sob a forma 0400 zyx na qual

vemos que qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equação e )1,0,0(

k é um vetor normal ao plano.

Assim sendo, o plano paralelo ao plano x0y e que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) tem por equação: z = z1.

Por exemplo, o plano que passa pelo ponto A(-1,2,-3) e é paralelo ao plano x0y tem por equação: z = -3.

Com raciocínio análogo, vamos concluir que:

II) Os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k; III) Os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k. As figuras abaixo mostram os planos 2: ; 3: 21 xy respectivamente

Exemplos: 1º) Determinar uma equação cartesiana do plano α paralelo ao eixo y e que contém os pontos A(2,1,0) e B(0,2,1).

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG-CUITÉ) 2º) Determinar a equação do plano paralelo ao plano yz e que contem o ponto A(3,4,-1).

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA

Seja r a reta que contém o ponto A(x0,y0,z0) e é paralela ao vetor v = (a, b, c).

Um ponto P(x,y,z) pertence a reta r se, e somente se,

Daí,

E assim,

Equações Paramétricas da Reta

Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da reta r que contem o ponto A(3,-1,2) e é paralela ao vetor v=(-3,-2,-1).

Reta Definida por Dois Pontos

A reta definida pelos pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) é a reta que passa por A(ou B) e tem a direção do vetor .

Exemplo: Obtenha a equação da reta definida pelos pontos A(1,-2,-3) e B(3,1,-4).

Interseção de Planos

A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será determinar a equação que define esta reta.

Sejam 1 e 2 planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de 1 e 2 resolveremos o sistema composto por suas equações.

Exemplo: Determinar a equação da reta intersecção dos planos 0725:1 zyx e 0433:2 zyx .

Solução: Montamos o seguinte sistema:

04330725

zyxzyx

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG-CUITÉ) O sistema acima é indeterminado, ou seja, possuem infinitos valores para x, y e z que atendem simultaneamente as duas equações. Isso é bastante claro quando entendemos que a intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos.

Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de intersecção entre os dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função de uma 3ª variável, que chamamos de variável livre.

Como fazer:

ambos. de somaa efetuamos seguidaem e 1- por equações das uma ndomultiplicaz variável a oseliminarem

zyx

zyx

0433

0725

y) caso (no variáveis das uma isolamosyx

zyxzyx

032

04330725

32 xy

Agora substituímos 32 xy na primeira ou na segunda equação do primeiro sistema.

Substituindo 32 xy na equação 0725 zyx , teremos:

07645

073225

zxx

zxx

Agora isolando z, teremos:

139 xz

Logo os pontos de interseção são da forma

As equações paramétricas são

Interseção de Reta com Plano

A intersecção entre uma reta r e um plano é um ponto, que chamaremos de I. Para determinar as coordenadas do ponto I resolvemos o sistema composto pelas equações da reta r e pela equação do plano .

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG-CUITÉ) Exemplo: Determinar o ponto de intersecção da reta

com o plano 09253: zyx .

Solução:

Se I (x, y, z) é ponto de intersecção de r e , então suas coordenadas devem verificar as equações do sistema formado pelas equações de r e de :

Resolve-se este sistema substituindo x, y e z na equação 09253 zyx e assim encontramos t, t=-2 . Logo x = -2, y = -1 e z = -10.

Portanto I (-2, -1, -10)

Interseção de Retas

Duas retas no espaço podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. Se seus vetores diretores são paralelos, então as retas são paralelas, caso contrário são concorrentes ou reversas.

Exemplo: Verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas:

Distância de um Ponto a um Plano

Sejam um ponto P(x0,y0, z0 ) e um plano 0: dczbyax , definimos a distância entre P e por

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG-CUITÉ) Exemplo: Calcule a distância do ponto P(-4,2,5) ao plano .

Distância de um Ponto a uma Reta

Seja r uma reta definida por um ponto e pelo vetor diretor

e seja um ponto qualquer do espaço. Os vetores determinam um paralelogramo cuja altura corresponde a distância que pretendemos calcular.

Sabemos que a área do paralelogramo é

Mas pela interpretação geométrica do produto vetorial, temos

Logo

E Portanto,

Exemplo: Encontre a distância do ponto a reta

Distância entre Retas Reversas

Consideremos duas retas r e s reversas: a reta r definida por um ponto e pelo vetor diretor e a reta s definida por e

pelo vetor diretor . A distância entre elas é dada por

Exemplo: Calcular a distância entre as retas