ALGEBRA LINEAR – II - NACAD/COPPE-UFRJamit/alglin/lista3_05.pdf · 2010-04-15 · ... a2 =...
Transcript of ALGEBRA LINEAR – II - NACAD/COPPE-UFRJamit/alglin/lista3_05.pdf · 2010-04-15 · ... a2 =...
ALGEBRA LINEAR – II
Prof. Amit Bhaya
Lista de Exercıcios –III
junho de 2005
Ortogonalidade, espacos fundamentais
1. Se Ax = b possui solucao e ATy = 0, entao y e perpendicular a ——.
2. Se Ax = b nao possui solucao e ATy = 0, explique porque y nao e perpendicular a ——.
3. Se Ax ∈ Nul(AT ), entao Ax = 0. Porque?
4. Seja A simetrica. V ou F: Col(A) ⊥ Nul(A).
5. Seja S = EG{(1, 1, 1)}. Calcule S⊥ (complemento ortogonal de S).
6. Seja S = EG{(2, 0, 0), (0, 0, 3)}. Calcule S⊥ (complemento ortogonal de S).
7. Seja P o hiperplano em R4 cujos vetores satisfazem x1 + x2 + x3 + x4 = 0. De uma base
para P⊥. Construa uma matriz cujo espaco nulo e P.
8. Seja A ∈ Rn×n inversıvel, i.e., AA−1 = I. Entao a primeira coluna de A e ortogonal ao
espaco gerado por ——.
9. Ache uma matriz A tal que v = (1, 2, 3) pertence ao espaco Col(A) e, ao mesmo tempo,
ao espaco Col(AT ). Ache outra matriz B tal que v ∈ Nul(B) e v ∈ Col(B). (NOTE A
CORRECAO DO ERRO DA LISTA MANUSCRITA).
Projecoes
10. Desenhe a projecao de b sobre a e calcule esta projecao pela formula p = xa, ondex = (bTa)/(aTa), para:
(a) b = (cos θ, sin θ), a = (1, 0);
(b) b = (1, 1) e a = (1,−1).
11. Calcule as matrizes de projecao (aiaT
i)/(aT
iai) sobre as retas definidas por: (i) a1 =
(−1, 2, 2); (ii) a2 = (2, 2 − 1). Calcule o produto destas matrizes de projecao e expliqueseu resultado.
12. Projete b = (1, 0, 0) sobre as retas definidas por a1, a2 no problema anterior, e tambemsobre a reta definida por a3 = (2,−1, 2). Faca a soma das tres projecoes calculadas(p1 + p2 + p3). Denotando as respectivas matrizes de projecao de P1, P2, P3, verifiqueque P1 + P2 + P3 = I.
13. Projete b sobre o espaco coluna de A atraves da solucao da equacao normal ATAx = ATb
e p = Ax para:
(a) A =
1 10 10 0
e b = (2, 3, 4);
(b) A =
1 11 10 1
e b = (4, 4, 6)
14. Seja A ∈ R4×3 com as primeiras tres colunas iguais as primeiras tres colunas da matriz
identidade I ∈ R4×4. Projete b = (1, 2, 3, 4) sobre o espaco coluna de A. Calcule a matriz
de projecao P.
15. Qual combinacao linear dos vetores (1, 2,−1) e (1, 0, 1) fica mais proximo ao vetor b =(2, 1, 1)?
16. Para achar a matriz de projecao P sobre o plano x1 − x2 − 2x3 = 0, ache um vetor n
perpendicular ao plano. Compute a projecao Q = nnT /nTn e, em seguida, P = I − Q.Explique porque estes passos, de fato, produzem a matriz de projecao desejada.
Mınimos quadrados
17. Seja y = 0, 8, 8, 20 para os quatro valores x = 0, 1, 3, 4. Escreva a equacao linear quecorresponde ao ajuste de uma reta que passaria por estes quatro pontos. Ela admitesolucao? Caso afirmativo, de a solucao; caso contrario, resolva no sentido de mınimosquadrados (Obs.: Equacao da reta desejada y = mx + c).
18. Repita o problema anterior, com o mesmo y, porem x = 1, 5, 13, 17.
19. Ache a parabola de melhor ajuste (y = c0+c1x+c2x2) para os mesmos dados do problema
17, apenas montando as equacoes normais (NAO HA NECESSIDADE DE REALIZAROS CALCULOS).
20. De exemplos (um para cada item):
(a) uma matriz Q que possui coluna ortonormais, porem QQT 6= I.
(b) dois vetors ortogonais que nao sao l.i.
(c) uma base ortogonal para R4 na qual cada vetor possui elementos (1/2) ou −(1/2).
21. Ache vetores ortonormais q1, q2, q3 tais que q1 e q2 geram o espaco coluna de A =
1 12 1
−2 −4
. Qual dos quatro subsespacos fundamentais contem q3? Resolva Ax =
(1, 2, 7) por mınimos quadrados.
Decomposicao QR
22. Ache a decomposicao QR da matriz
A =
1 2 40 0 50 3 6
Determinantes
Quais permutacoes das matrizes J3 e J4 abaixo mostram que detJ3 = −1 e detJ4 = 1?
J3 =
0 0 10 1 01 0 0
; J4 =
0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0
.
23. Prove que uma matriz ortogonal possui determinante 1 ou −1. (Sugestao: utilize apropriedade detAB = detA detB)
24. Ache os determinantes de uma rotacao R =
[
cos θ −senθsenθ cos θ
]
e de uma reflexao F =[
1 − 2 cos2 θ −2 cos θ senθ−2 cos θ senθ 1 − 2sen2θ
]
.
25. Seja CD = −DC. Ache o erro no seguinte raciocınio: Tomando determinantes, tem-sedetC detD = − detD detC. Logo, detC = 0, ou detD = 0, isto e, uma ou ambas asmatrizes C, e D e singular.
26. Utilize operacoes elementares por linha para mostrar que a matriz de Vandermondedefinida abaixo possui o determinante indicado:
det
1 a a2
1 b b2
1 c c2
= (b − a)(c − a)(c − b).
27. Ache os determinantes de uma matriz de posto um e uma “anti-simetrica” definidasabaixo:
A =
123
[1 − 4 5] ← (posto um); K =
0 1 3−1 0 4−3 −4 0
← (anti-simetrica)
28. Utilize operacoes elementares por linha para simplificar e computar os seguintes determi-nantes:
det
101 201 301102 202 302103 203 303
; det
1 t t2
t 1 tt2 t 1
.
29. Se duas operacoes elementares sao realizadas simultaneamente, e.g.,
A =
[
a bc d
]
→ B =
[
a − αc b − αdc − βa d − βb
]
.
detA = detB? Justifique sua resposta.
30. Para o exemplo especıfico da fatoracao A = LU abaixo:
A =
3 3 46 8 7
−3 5 −9
=
1 0 02 1 0
−1 4 1
3 3 40 2 −10 0 −1
= LU.
Calcule os determinantes de L,U,A,U−1L−1,U−1L−1A.
31. A matriz Cn ∈ Rn×n possui 1s na sub- e na superdiagonal, e.g.:
C1 = 0, C2 =
[
0 11 0
]
, C3 =
0 1 01 0 10 1 0
, C4 =
0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 0
.
Calcule detCi, i = 2, 3, 4. Utilizando cofatores, ache a relacao entre detCn, detCn−1,detCn−2 e utilize esta recorrencia para achar detC10.
32. Introduzindo zeros via operacoes elementares por linhas calcule o determinante de
G4 =
0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
.
Ache tambem detG2 e detG3 que possuem zeros na diagonal principal e 1s nos demaiselementos. Consegue prever o valor de detGn?
Regra de Cramer
33. Resolva as seguintes equacoes utilizando a regra de Cramer:
(a)2x1 + 3x2 = 1x1 + 4x2 = −2
(b)2x1 + x2 = 1
x1 + 2x2 + x3 = 0x2 + 2x3 = 0.
Autovalores e autovetores
34. Considere a matriz A =
[
8 32 7
]
. Mostre, utilizando esta matriz, que uma operacao
elementar por linha poderia modificar os autovalores de A.
35. Considere a matriz A =
[
3 61 2
]
. V ou F: Todos os autovalores de A sao modificados
quando operacoes elementares sao realizados na matriz A. Explique sua resposta.
36. Ache os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
A =
[
1 42 3
]
; A + I =
[
2 42 4
]
.
Em funcao das respostas obtidas, complete a seguinte frase: A matriz A + I possui ——autovetores de A. Os autovalores sao —— por 1.
37. Ache os autovalores de A, B, e A + B:
A =
[
1 01 1
]
, B =
[
1 10 1
]
, A + B =
[
2 11 2
]
.
Qual a frase correta: Autovalores de A + B (sao)(nao sao) iguais aos autovalores de A
somados aos autovalores de B?
38. Para as mesmas matrizes A e B da questao anterior, calcule os autovalores de AB eBA. Qual a frase correta: Autovalores de AB (sao)(nao sao) iguais aos produtos dosautovalores de A e B. Autovalores de AB (sao)(nao sao) iguais aos autovalores de BA?
39. Prove que, se Ax = λx
(a) λ2 e autovalor de A2.
(b) λ−1 e autovalor de A−1.
(c) λ + 1 e autovalor de A + I.
40. Ache os autovalores e autovetores para as matrizes de projecao P e P100, onde:
P =
0.2 0.4 00.4 0.8 0
0 0 1
.
41. Cada matriz de permutacao deixa o vetor x = (1, 1, . . . , 1) invariante. Isto significa que—— e autovalor de qualquer matriz de permutacao. Ache os outros dois autovalores paraas seguintes matrizes:
P1 =
0 1 00 0 11 0 0
; P2 =
0 0 10 1 01 0 0
42. Preencha a segunda linha de A =
[
0 12 2
]
de modo que A tenha autovalores 4 e 7.
43. A matriz B possui autovalores 1, 2, C possui autovalores 3, 4, e D possui autovalores 5, 7.Ache os autovalores de A, onde
A =
[
B C
0 D
]
=
0 1 3 0−2 3 0 4
0 0 6 10 0 1 6
.
44. Ache a fatoracao A = XΛX−1 para as seguintes matrizes:
A1 =
[
1 20 3
]
; A2 =
[
1 12 2
]
.
45. Escreva uma matriz (a mais geral possıvel) que tenha autovetores
[
11
]
e
[
1−1
]
.
46. Seja Gn uma sequencia de numeros gerados seguindo a regra Gk+2 = 1
2(Gk+1 + Gk) (i.e.,
cada numero na sequencia e a media dos dois anteriores). Dado G0 = 0, G1 = 1, ache olimite da sequencia (limn→∞ Gn).
47. Diagonalize B =
[
3 10 2
]
e compute XΛX−1 para verificar a formula
Bk =
[
3k 3k − 2k
0 2k
]
.
48. Para A =
[
a bc d
]
e B =
[
q rs t
]
, prove que traco(AB) = traco(BA).
49. Utilizando o resultado do item anterior, mostre que a equacao AB−BA = I nunca podeser satisfeita.
50. Ache uma matriz ortogonal que diagonaliza A =
[
−2 66 7
]
.
51. Mostre que a matriz A =
[
2√−1 11 0
]
nao e diagonalizavel.
52. Para quais numeros b e c as seguintes matrizes sao positivas definidas:
B =
[
1 bb 9
]
; C =
[
2 44 c
]
.
Fatore cada matriz em LDLT .
53. Teste para ver se a matriz ATA e positiva definida, para
A =
[
1 20 3
]
; A =
1 11 22 1
; A =
[
1 1 21 2 1
]
.
54. Mostre, quando possıvel, que A e B sao similares, achando a matriz T tal que B = TAT−1
ou explicando porque ela nao poderia existir:
A =
[
1 01 0
]
B =
[
0 10 1
]
A =
[
1 00 1
]
B =
[
0 11 0
]
Observacao: Seja bem claro na apresentacao formal da resolucao dos problemas; a apre-sentacao da solucao tao somente, nao e o objetivo desta lista de exercıcios.