1a1Q1: Seja V um espaco vetorial com produto interno .Sejam x, y V e consideremos as seguintes afirmacoes:(I) ||x+ y|| = ||x y|| se e somente se x y.(II) ||x+ y||2 + ||x y||2 = 2(||x||2 + ||y||2).(III) (x+ y) (x y) se e somente se ||x|| = ||y||.Podemos afirmar que:

a) Somente a afirmacao (III) e falsa.b) Somente a afirmacao (II) e falsa.c) As afirmacoes (I), (II) e (III) sao verdadeiras.d) Somente a afirmacao (II) e verdadeira.e) Somente a afirmacao (I) e falsa.

a1Q2: Consideremos um espaco vetorial V com produto interno. Sejam S um subespaco de V e T : V V o operador lineardefinido por T (v) = projS v. A afirmacao verdadeira e:

a) Ker(T ) Im(T ) = {0} e V 6= Ker(T )+ Im(T ).b) V = Ker(T ) + Im(T ) e Ker(T ) Im(T ) 6= {0}.c) Ker(T ) = Im(T ).d) Ker(T ) = S e Im(T ) = S.e) Ker(T ) = S e Im(T ) = S.

a1Q3:Consideremos o espaco vetorial IR4 com o produto internousual. Suponhamos que T : IR4 IR4 e uma transformacao li-near tal que T (1,2,1, 3) = (0, 0, 0, 0), T (1, 0, 2, 1) = (0, 0, 0, 0)e Im(T ) = [(4, 1, 2, 0), (1, 2, 0, 1), (2,3, 2,2)]. Entao a afirmacaoverdadeira e:

a) Ker(T ) Im(T ), mas Ker(T ) 6= Im(T )b) Im(T ) Ker(T ), mas Ker(T ) 6= Im(T )c) Ker(T ) Im(T ).d) Ker(T ) = Im(T ).e) Ker(T ) = Im(T ).

2a1Q4: Seja V um espaco vetorial com produto interno de di-mensao 8. Seja A = {v1, v2, v3, v4, v5} um subconjunto de Vtal que {v1, v3, v4} e linearmente independente, v2 e combinacaolinear de v3 e v4, e v5 e combinacao linear de v1, v2, v3, v4.A respeito de A podemos dizer que:a) A dimensao de A e 4.b) A dimensao de A e 5.c) O conjunto A nao e um subespaco de V .d) A dimensao de A e 3.e) O conjunto A e um subespaco de V , mas sua dimensao so podeser determinada se {v1, v2, v3, v4, v5} for explicitamente dado.a1Q5: Sejam V1, V2, V3 espacos vetoriais e consideremos as trans-formacoes lineares T0 : {0} V1, T1 : V1 V2,T2 : V2 V3. Supondo que T2 = 0, Ker(T1) = Im(T0) e Im(T1) =Ker(T2), podemos afirmar que:a) A transformacao T1 e sobrejetora, mas pode nao ser injetora.b) A transformacao T1 nao e injetora e nao e sobrejetora.c) A transformacao T1 e invertvel.d) A transformacao T1 e a transformacao nula.e) A transformacao T1 e injetora, mas pode nao ser sobrejetora.

a1Q6: Seja T : IR2 IR2 a transformacao linear dada porT (x, y) = (2x y, x + 2y). Se T1(x, y) = (a, b), entao pode-mos afirmar que a+ b e:[Lembrete: T1(x, y) = (a, b) se e somente se T (a, b) = (x, y).]

a)x+ 3y

3.

b)x 3y

5.

c)x+ 3y

5.

d)x+ 3y

3.

e)x+ 3y

5.

3a1Q7: Consideremos um espaco vetorial V com produto interno. Sejam x, y V . Podemos afirmar que:a) ||x+ y|| = ||x||+ ||y|| se e somente se x y.b) ||x+ y|| = ||x||+ ||y|| se e somente se < x, y >= ||x|| ||y||.c) ||x+ y|| = ||x||+ ||y|| para todo x, y V .d) ||x+ y|| = ||x||+ ||y|| se e somente se | < x, y > | = ||x|| ||y||.e) ||x+ y|| = ||x||+ ||y|| se e somente se x = 0 ou y = 0.a1Q8: Consideremos o espaco vetorial IR3 com o produto internousual. Sejam S = [(1, 1, 1), (0, 0,1)]. Seja T : IR3 IR3 ooperador linear definido por T (x, y, z) = projS (x, y, z). Podemosafirmar que T (x, y, z) e igual a:

a) (x+ y + z

3,x+ y + z

3,x+ y + 4z

3).

b) (x y

2,x y

2, z).

c) (x+ y

2,x+ y

2,z).

d) (x+ y + z

3,x+ y + z

3,x+ y + 2z

3).

e) (x+ y

2,x+ y

2, z).

a1Q9: Consideremos o espaco vetorial IR3 com o produto internousual. Seja S = [(1, a, 0), (0, 1, a), (a, 1, 0)]. Se a dimensao de S

e 1, entao podemos afirmar que:a) a = 0 ou a = 1 ou a = 2.b) a = 0.c) a = 1 ou a = 1.d) a = 0 ou a = 1 ou a = 1.e) a = 0 ou a = 2 ou a = 2.

4a1Q10: Consideremos o espaco vetorial P2(IR) com o produtointerno < p, q >= p(1)q(1) + p(0)q(0) + p(1)q(1).Se S = {p P2(IR) | p(2) = 0}, entao uma base de S e:a) {1 2t+ 4t2}.b) {2 + t+ t2}.c) {5 t+ 3t2,3 + t+ 5t2}.d) {3 t+ 5t2}.e) {2 + t,4 + t2}.

a1Q11: Consideremos o espaco vetorial P2(IR) com o produtointerno < p, q >= p(1)q(1) + p(0)q(0) + p(1)q(1).Se S = [1 t+ 2t2, t 3t2] e + t+ t2 S, entao temos:a) + = 3.b) + = 4.c) + = 2.d) + = 3.e) + = 4.

5a1Q12: Seja V um espaco vetorial. Sabemos que uma aplicacao: V V IR e um produto interno se e somente se para todou, v, w V e IR temos:(I) < u, v >=< v, u >.(II)< u+ v, w >=< u,w > + < v,w >.(III) < u, v >= < u, v >.(IV) < u, u > 0 e < u, u >= 0 se e somente se u = 0.

Se V = IR2 e < (1, 2), (1, 2) >= det([1 21 2

]), entao

podemos afirmar que:

a) nao satisfaz (II) nem (IV).

b) nao satisfaz (I) nem (IV).

c) satisfaz (I) e (II).

d) satisfaz (II) e (IV).

e) e um produto interno em IR2.

a1Q13: Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produtointerno . Seja S um subespaco de V . Sejam B1 S e B2 S. Assinale a alternativa falsa.

a) Se B1 gera S e B2 gera S, entao B1 B2 gera V .b) Se B1 e uma base de S e B2 e uma base de S, entao B1 B2gera V mas pode nao ser linearmente independente.c) Se B1 e uma base de S e B2 e uma base de S, entao B1 B2e uma base de V .d) B1 B2 {0}.e) Se B1 e linearmente independente e B2 e linearmente indepen-dente, entao B1 B2 e linearmente independente.

6a1Q14: Consideremos o espaco vetorial C([0, pi]) com o produtointerno < f, g >=

pi0 f(t)g(t)dt. Se {y1(t), y2(t), y3(t)} e o con-

junto que se obtem aplicando o processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt a {1, cost, t}, entao y3(3pi2 ) e igual a:[Lembrete: (t sent+ cost) = t cost; (

t

2+sen2t

4) = (cost)2. ]

a) pi 4pi

b) 2pic) pid) pi +

4pi

e) pi

a1Q15: Seja T : P3(IR) M2(IR) a transformacao linear dadapor

T (a+ bt+ ct2 + dt3) =[

2a+ 5b c a 3b+ c+ da+ 2c+ 5d 3a+ 7b c+ d

].

Podemos afirmar que:

a) dim Ker(T ) = 3 e dim Im(T ) = 1.

b) dim Ker(T ) = 1 e dim Im(T ) = 3.

c) dim Ker(T ) = 2 e dim Im(T ) = 2.

d) dim Ker(T ) = 3 e dim Im(T ) = 2.

e) dim Ker(T ) = 0 e dim Im(T ) = 4.

7a1Q16: Seja T : U V uma transformacao linear. Se x U sejax+ Ker(T ) = {x+ u | u Ker(T )}. Se x+ Ker(T ) = y+ Ker(T ),podemos afirmar que:

a) x y Ker(T ).b) x+ y Ker(T ).c) x = 0 e y = 0.

d) x Ker(T ) e y Ker(T ).e) x = y, mas pode ocorrer que x = y 6= 0.a1Q17: Consideremos o espaco vetorial M2(IR) com o produto

interno < A,B >= traco (BtA). Seja S = [[

1 12 0

],

[0 22 1

]].

Se[

]e a matriz de S mais proxima de

[1 32 8

], entao

podemos afirmar que:

a) + + = 8.b) + + + = 14.

c) + + = 8.d) + + = 14.e) + + + = 8.

8a1Q18: Consideremos um sistema linear homogeneo com 7 equacoese 11 incognitas. Seja S o espaco-solucao deste sistema. Podemosafirmar que:a) dimS 4, mas pode ocorrer dimS 6= 4.b) dimS = 4.c) A dimensao de S depende do numero de incognitas com coe-ficientes nao-nulos que aparecem na ultima equacao do sistema.d) dimS = 7.e) dimS 7, mas pode ocorrer dimS 6= 7.a1Q19: Seja T : IR2 IR2 uma transformacao linear tal queT (2, 3) = (4, 6) e T (1, 1) = (2,1). Se T (x, y) = (a, b), entaoa b e:a) 11x 8y.b) 11x+ 8y.c) 7x 8y.d) 11x 8y.e) 7x+ 8y.a1Q20: Consideremos o espaco vetorial Mn(IR) com o produtointerno < A,B >= traco(BtA). Sejam as afirmacoes:(I) Para todo A,B Mn(IR), temos < A2, B >=< A,B >2.(II) A B se e somente se BtA = 0.(III) Se A e simetrica e B e anti-simetrica, entao < A,B >= 0.Podemos afirmar que:a) Somente (III) e verdadeira.b) Somente (I) e falsa.c) Somente (I) e verdadeira.d) As afirmacoes (I), (II) e (III) sao falsas.e) As afirmacoes (I), (II) e (III) sao verdadeiras.