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diagonal principal

diagonal secundária

diagonal principal

diagonal secundária

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA MAURÍCIO DE NASSAUPROF. Me. ARI JR.

MATRIZES

1. DEFINIÇÃODenomina-se matriz m x n (lê-se: m por n) uma

tabela retangular formada por m.n números reais, dispostos em m linhas e n colunas.Obs.: Dizemos que a matriz é do tipo m x n ou de ordem m x n.

Ex:

A=[ 2 −1 5

√3 01

2 ] uma matriz do tipo ____x____.

2. REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZUma matriz qualquer, de ordem m x n, pode ser

representada, genericamente, do seguinte modo:

A=[a11 a12 a13 . .. a1 n

a21 a22 a23 . .. a2 n

a31 a32 a33 . .. a3 n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am2 am3 . .. amn

]mxn

Um modo simplificado de fazer essa representação é:

A=(a ij )mxn ; sendo m ,n∈Ν¿.

Onde:

a ij : elemento da matriz, sendo os índices i e j indicadores da posição do elemento na matriz;

o índice i indica a linha e assume valores de 1 a m (1 i m);

o índice j indica a coluna e assume valores de 1 a n (1 j n).

Exemplo: Escreva a matriz C=[c ij ]2 x2 , sendo

c ij=¿ {i+ j ; se i= j ¿ ¿¿¿.

3. TIPOS DE MATRIZESEm função dos valores de seus elementos, do

número de linhas e colunas ou ainda por serem aplicadas com muita freqüência, algumas matrizes possuem nomenclatura especial. Vejamos algumas dessas matrizes. Matriz Linha

É a matriz formada por uma única linha, ou seja, tem ordem 1 x n.

Ex.:L=[1 √5 −7 ] é uma matriz linha do tipo 1 x 3.

Matriz ColunaÉ a matriz formada por uma única coluna, ou seja,

tem ordem m x 1.

Ex.: C=( 1

−1) é uma matriz coluna do tipo 2 x 1. Matriz NulaÉ a matriz que possui todos os elementos iguais a zero.

Uma matriz nula do tipo m x n é denotada por Omxn .

Ex.: O2 x3=[0 0 0

0 0 0 ] ; O2 x 2=[0 0

0 0 ] Matriz Quadrada

É toda matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Uma matriz quadrada n x n é denominada matriz de ordem n.

Para uma matriz quadrada de ordem n, definimos: Diagonal Principal como o conjunto de todos os

elementos a ij tais que i = j; Diagonal Secundária como o conjunto de todos os

elementos a ij tais que i + j = n + 1.

Ex.:A=(1 3

4 −2 ) é uma quadrada de ordem 2.

B=[−1 0 32 7 41 2 0 ]

é uma matriz quadrada de ordem 3.

Obs.: Traço de uma matriz quadrada: é a soma dos elementos da diagonal principal.

Ex.: Qual é o traço da matriz

M=(1 2 −30 −4 30 1 5 )

?

Matriz DiagonalÉ toda matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos.

Ex.:

D=[1 0 00 −5 00 0 0 ]

Matriz IdentidadeÉ toda matriz diagonal em que os elementos da

diagonal principal são iguais a 1. A matriz identidade de

ordem n é denotada por I n .

Ex.: I 2=[1 0

0 1 ] ;I 3=(1 0 0

0 1 00 0 1 ).

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Obs.: Em uma matriz identidade, {aij=1 , parai= j ¿ ¿¿¿

.

4. MATRIZ OPOSTA e MATRIZ TRANSPOSTA Matriz Oposta

Chama-se oposta de uma matriz A, e indica-se por – A, a matriz que se obtém trocando os sinais dos elementos da matriz A.

Ex.: Obtenha a matriz oposta de B=[−2 3 0

1 4 −5 ]. Matriz Transposta

Chama-se transposta de uma matriz A, e indica-se por At, a matriz que se obtém transformando ordenadamente cada linha de A em coluna.Ex.: Obtenha a matriz transposta de:

a)

A=[2 −13 40 −2 ] .

5. IGUALDADE DE MATRIZESSejam A e B duas matrizes de mesma ordem m x

n. Dizemos que A e B são iguais se, e somente se, cada elemento de A é igual ao elemento correspondente em B.

Assim, para A=(a ij )mxn e

B=[b ij ]mxn , teremos:A=B↔aij=bij

Exemplo: Sendo A=(x+ y y+z

2 y 2 x−3w ) e

B=‖9 −16 18

‖.

Determine x, y, z e w sabendo-se que A = B.

6. MATRIZ SIMÉTRICA e MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA Matriz Simétrica

Uma matriz quadrada A=(a ij )nxn é simétrica

quando A = At, isto é, quando ela é igual à sua transposta.

Obs.: É notável que uma matriz quadrada é simétrica somente quando os elementos dispostos em posições simétricas em relação à diagonal principal são iguais, isto

é, a ij=a ji .

Ex.:

S=[ 1 −3 7−3 0 27 2 −5 ]

Matriz Anti-Simétrica

Uma matriz quadrada A=(a ij )nxn é anti-

simétrica quando A = - At, isto é, quando ela é igual à oposta de sua transposta.

Obs.: É notável que uma matriz quadrada é anti-simétrica somente quando os elementos dispostos em posições simétricas em relação à diagonal principal são simétricos e

esta diagonal é toda nula, isto é, a ij=−a ji . Logo, decorre

que a ij=0 se i =j.

Ex.:

A=[ 0 −3 13 0 −2−1 2 0 ]

7. ADIÇÃO DE MATRIZES

Se A=(a ij )mxn e

B=(bij )mxn são matrizes do

tipo m x n, a soma A + B é a matriz C=(cij )mxn do tipo m

x n tal que: c ij=aij+bij com 1 i m e 1 j n. Ou seja, basta somar os elementos correspondentes.

Ex: Sendo A=[2 3 −1

4 0 −3 ] , B=[ 3 −2 5

−7 8 1 ] e

C=( 2 3−1 4−3 −5 ) , determine:

a) A + Bb) B + C

Propriedades da Adição de Matrizes01) A + B = B + A02) (A + B) + C = A + (B + C)03) A + O = O + A = A04) A + (- A) = (- A) + A = O05) (A + B)t = At + Bt

8. SUBTRAÇÃO DE MATRIZESSendo A e B duas matrizes de mesma ordem m x

n, denomina-se diferença entre A e B (representada por A – B) a soma da matriz A com a matriz oposta de B. Ou seja,

A−B=A+(−B ).

Ex.: Sendo A=(2 −1

3 4 ) e B=(4 −1

4 −5 ) , calcule A−B .

9. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO POR UMA MATRIZ

Se A é uma matriz m x n, de elementos a ij , e um número real, então .A é uma matriz m x n cujos

elementos são a ij . Ou seja, obtemos os elementos de .A multiplicando todos os elementos de A por .

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Ex.: Seja

M=( 2 −13 −4−5 1 )

, determine a matriz (– 3M).

Propriedades da multiplicação de um número por uma matriz

01) 1.A = A02) .Om x n = Om x n

03) 0.A = Om x n

04) .(A + B) = A + B05) ( + ).A = A + A06) .(.A) = (.).A07) (.A)t = .At

10. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES OU PRODUTO MATRICIAL

Dada uma matriz A=(a ij ) de tipo m x n e uma

matriz B=(bij ) do tipo n x p, o produto da matriz A pela

matriz B é a matriz C=(cij ) do tipo m x p tal que o

elemento c ij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos.

Observação SUPER IMPORTANTE.Só podemos multiplicar duas matrizes se o

número de colunas da 1ª matriz for igual ao número de linhas da 2ª matriz. E a matriz produto terá o número de linhas da 1ª e o número de colunas da 2ª.

Amxn x Bnxp=Cmxp

Propriedades do Produto Matricial01) (A.B).C = A.(B.C)02) (A + B).C = A.C + B.C e C.(A + B) =C.A + C.B03) A.In = In.A = A04) O.A = A.O = O05) (A.B)t =Bt. At

Observações

01) Sendo A=( 1 −3

−1 −1 ) e B=(2 3

1 4 ) . Vamos calcular A.B e B.A.

02) Sendo A=(3 6

5 10 ) e B=( 2 −2

−1 1 ). Vamos calcular

A.B.

03) Dadas as matrizes A=(1 2

3 6 ) ; B=(2 −1

3 1 ) e

C=(−2 15 0 ) . Verifique que A.B = A.C.

11. MATRIZ INVERSADada uma matriz quadrada A de ordem n, se X é

uma matriz tal que A.X = In e X.A = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1, ou seja,

A . A−1=A−1 . A=I n

Ex.: Determine, se existir, a inversa das matrizes abaixo:

a)A=(5 8

2 3 )

b)B=(3 2

6 4 )

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01) (EFOMM) Considere a matriz . A

matriz onde é:a) I2x2

b) Ac) I2x2 + Ad) 5(I2x2 + A)e) 7A

02) (EEAR) A soma dos elementos da diagonal principal

da matriz A = (aij)3x3, tal que , é um número

a) múltiplo de 3.b) múltiplo de 5.c) divisor de 16.d) divisor de 121.

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ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA MAURÍCIO DE NASSAU03) (EEAR) Seja a matriz A = (aij)2x2 tal que

. A soma dos elementos de A éa) 4.b) 5.c) 6.d) 7.

04) (EEAR) Sejam as matrizes Amx3, Bpxq e C5x3. Se A.B = C, então m+p+q é igual a

a) 10.b) 11.c) 12.d) 13.

05) (EEAR) Sejam as matrizes e . Se A.B é uma matriz nula 2 x 1, então a + b é

a) –1.b) 0.c) 1.d) 2.

06) (EEAR) O elemento X3,2 da matriz solução da

equação matricial éa) 0b) – 2c) 3d) 1

07) (EEAR) e são duas matrizes que comutam se, e somente se,

a) x = 2 e y = 1.b) x = 1 e y = 2.c) x = 1.d) x = 2.

08) (EEAR) Sendo (2 xy −3 ).( 4

−5)=(−73 )

, os valores de x e y na matriz acima são, respectivamente,

a) 3 e –3b) –3 e 3

c)92 e –3

d) –3 e 92

09) (EEAR) Considere as matrizes ,

e . Então AB + C é igual a

a)

b)

c)

d)

10) (EEAR) Se , então o valor de x + y é

a) 4.b) 5.c) 6.d) 7.

11) (EFOMM) Se M=[1 2

0 1 ] e N=[2 0

1 1 ] então MN – NM é

a)[2 −20 −2 ]

b)[0 00 0 ]

c)[1 00 1 ]

d)[4 21 1 ]

e)[−1 2−1 0 ]

12) (AFA) São dadas as matrizes A e B, quadradas, de ordem n e inversíveis. A solução da equação (BAX)t = B, em que (BAX)t é a transposta da matriz (BAX), é a matriz X tal que

a) X = (AB)–1Bt

b) X = Bt(AB)–1

c) X = (BA)–1Bt

d) X = Bt(BA)–1

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13) (AFA) Assinale a alternativa INCORRETA.

a) Se , então C2 é matriz nula.

b) , então A2 = A.c) dada uma matriz quadrada T não nula, a operação T -

Tt, em que Tt é a matriz transposta de T, tem como resultado uma matriz anti-simétrica.

d) A matriz M = (mij)3 x 3 tal que , sendo i {1, 2, 3} e j {1, 2, 3}, é uma matriz simétrica.

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