Algebra GUIAS FORMATIVAS B/P Agosto 2012

BSICA

lgebra

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BSICA / PROPEDUTICA

lgebra

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CITA

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Lic. Escorcia Custodio Dvora Ing. Franco Sanjuan Venus Lilia Ing. Monzalvo Hernndez Juana

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Desarrollar habilidades y destrezas de pensamientos, comunicacin y descubrimientos que permitan usarlos en la resolucin de problemas cotidianos y ser partcipe del desarrollo sustentable de su entorno. As mismo proporcionar los elementos bsicos de la materia requeridos por otras reas del conocimiento.

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El estudio de las matemticas integra el Componente de Formacin Bsica del Bachillerato, el cual aborda seis semestres. El primero corresponde al estudio del lgebra, siendo esta una asignatura que no puede aprenderse por observacin, conscientes del reto que se enfrenta te presentamos la gua donde se incluye una serie de secuencias formativas que te auxiliaran en el trabajo. Esta gua fue escrita pensando en ti, donde se utilizan breves textos, se brindan algunos ejemplos y ejercicios; se pretende acercar elementos que permitan mejorar las secuencias formativas conjuntando a las diferentes regiones del estado de Hidalgo. Este trabajo en conjunto se hizo con la seguridad de que contaremos con la colaboracin y entusiasmo de toda la familia CECYTEH, sumando la experiencia y conocimientos de nuestra plantilla docente, que en adicin al entusiasmo de nuestros alumnos, estamos seguros podremos alcanzar juntos una meta compartida.

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En sus marcas, listos...

Esta herramienta que tienes a tu alcance, adems tu profesor, compaeros, bibliografa, internet, podrs aclarar dudas y reafirmar tus conocimientos. Lo primero que debes hacer para tener buen desempeo en este curso es tener siempre una actitud positiva, asiste siempre a clases, realiza tus tareas, estudia, participa, busca ayuda siempre que tengas alguna duda, s solidario con tus compaeros al trabajar en equipo y preprate siempre para tus evaluaciones. Es por ello y ms que mucho de tu superacin personal depende directamente de tu aplicacin y compromiso hacia los estudios, buscando con ello retribuir en cierta manera a todos aquellos que hacen posible que participes de una educacin acadmica importante, y ms que eso demostrar que ests comprometido contigo mismo. Este trabajo que ahora tienes en tus manos solo podr tener valor si lo aprovechas al mximo atendiendo y comprendiendo que fue elaborado solo para ti. T puedes tener buen desempeo en lgebra si presta atencin, estudias con cuidado, busques ayuda tan pronto lo necesites.

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Estructura general de la asignatura

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1Algunas Maravillas de Mxico11

Competencias Genricas a las que contribuye la asignatura Competencias6. Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crtica y reflexiva. Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sinttica. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciacin e interpretacin de sus expresiones en distintos gneros. Experimenta el arte como un hecho histrico compartido que permite la comunicacin entre individuos y culturas en el tiempo y el espacio, a la vez que desarrolla un sentido de identidad. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean.

Competencias disciplinares4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal y matemtico.3. Propone explicaciones de los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Resultados de aprendizaje de la asignatura respecto a la competenciaArgumenta razones lgicas por medio del algebra.

Relacin con otras disciplinasLEOyE. Nos auxiliamos de esta disciplina para expresarse en forma verbal y escrita adecuadamente para plantear problemas en lenguaje comn y trasladarlos al lenguaje algebraico. CTSyV II. Al promover la colaboracin contribuimos a la promocin de valores.

Tema integradorAlgunas maravillas en Mxico

Concepto fundamentalLenguaje algebraico Operaciones fundamentales

Concepto subsidiarioEvaluacin de expresiones algebraicas Leyes de los exponentes

Tiempo programado20 horas12

Mapa de contenidos de la secuencia formativa

Dimensiones de la competenciaConceptual (aprender a conocer) Notacin y clasificacin Representacin Algebraica de expresiones en lenguaje comn Interpretacin de expresiones algebraicas Evaluacin numrica de expresiones algebraicas Procedimental (aprender a hacer): Mapas mentales Completar tablas Dibujar Argumentar Por qu lo haces? Actitudinal (aprender a ser): Participacin Inters Respeto Sentido de colaboracin Creatividad Saber escuchar.

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Desarrollo de la Secuencia Formativa Actividades de apertura1. Observa las siguientes imgenes y comenta con tus compaeros y facilitador.

a. Qu representan las imgenes? b. Cul es tu favorita? c. Por qu es tu favorita?d. Ojala todos tuviramos la oportunidad de elegir alguna maravilla en el mundo. Si en este momento te dieran esa oportunidad Cul sera la octava maravilla que tu elegiras?

1. Dibuja en tu cuaderno t Octava maravilla y escribe el por qu la escogiste. 2. Formen equipos y comenten la Octava Maravilla que eligieron cada uno y el por qu. Completen la siguiente tabla.Octava Maravilla Nmero de Personas Pinturas Msica Ruinas Zona Eco turstica Libro o escrito Otros

Ejercicio: Actividades de desarrollo1. Ahora coloquemos el nombre de tu equipo de una manera especial. Observa el ejemploOctava Maravilla Nmero de Personas Pintura 2 Msica 0 Ruinas 3 Zona Eco turstica 1 Libro o escrito 0 Otros 1

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EjercicioNombre de tu equipo Una pintura ms tres ruinas ms una zona eco-turstica ms una de las otras otra Representacin ms sencilla 2P + 3R + 1 Z + 1 O Por qu consideras que es ms sencilla? Tienes otra mejor? Comenta tu opcin Cmo qued el nombre de tu equipo?

Atencin!

EL lgebra se auxilia de letra para generalizar.

Ejercicio1. Trabajemos con expresiones sencillas, si tienes alguna duda comenta con tus compaeros de equipo. Observa los ejemplos

LENGUAJE COMUN Un paisaje cualquiera El doble de pinturas La mitad de una zona eco-turstica El cuadrado de cualquier nmero Tres maravillas cualquiera El doble de un libro ms la cuarta parte del mismo libro El triple de una nota musical La suma de dos paisajes cualquiera La quinta parte de una pintura El quntuplo de personas La diferencia de dinero entre dos personas El cociente del precio de dos pinturas El producto de tres nmeros cualquiera El cuadrado de la suma del costo de dos pinturas La cuarta parte de las maravillas de Mxico

LENGUAJE ALGEBRAICO A Z 2 p, r, z,

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EjercicioIntenta ahora ir del lenguaje algebraico al lenguaje comn.LENGUAJE COMUN El cubo del precio de una pintura LENGUAJE ALGEBRAICO m3 f-d R 4 2(h-u) (b-e)3 (n + v) 2 A 3 Ms (h-e)(h+e)

La Pea de Bernal en el municipio Ezequiel Montes, en el estado de Quertaro. Es una maravilla natural, considerada una zona eco-turstica que valdra la pena visitar: Considerando los gustos de cada uno de ustedes, se pueden realizar diferentes visitas a los sitios de inters. 1. Ahora trabaja en forma individual para realizar el clculo del dinero que necesita cada equipo. Recuerda que para la entrada a un museo o zona arqueolgica se requiere pagar un costo. Observa el costo de las entradas en la siguiente tabla:LUGAR DE VISITA Museo de Pinturas Escuela de artes Ruinas arqueolgicas Zonas Eco-turstica Libreras Otros PRESIO POR PERSONA $70 No hay costo $50 $35 No hay costo $40

EjemploNombre de tu equipo Una pintura ms tres ruinas ms una zona eco-turstica ms una de las otras otra Representacin ms sencilla 2P + 3R + 1 Z + 1 O Sustitucin 2(70)+3(50)+1(35)+1(0) = 140 + 100 + 35 + 40 = $ 315 Gasto total del equipo

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EjercicioEquipo Uno Dos Tres Cuatro Nombre del Equipo Cantidad que requieren

Cul es el equipo que requiere mayor presupuesto? Por qu?

Atencin!La palabra lgebra fue acuada hace unos mil aos. Procede del ttulo de un libro que trataba acerca de las ecuaciones y que fue escrito por un matemtico rabe, AlKhowarizmi, y al que llam al-jabr wal-mukabakah. Cuando el libro fue traducido al latn, el ttulo se convirti en Ladus algebrae almucgrabalaeque. Al ser traducido al ingls su nombre fue algiebar and almachabel. Las tres denominaciones se simplificaron y su nombre actual es algebra. 1. Requieres de algunas definiciones para no tener problemas ms adelante, por lo que tendrs que investigar y elaborar un mapa conceptual escribir con las siguientes definiciones: lgebra, trmino, exponente, coeficiente, literal, monomio, binomio, trinomio y polinomio. EVIDENCIA UNO SIN TU INVESTIGACIN NO PODRAS CONTINUAR 2. En el maravilloso estado de Yucatn se encuentra Chichenitza con unas construcciones impresionantes para cualquier turista.

Su expresin sencilla de las imgenes anteriores sera 4r1 Ests de acuerdo?Por qu?

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1. Utilizando tu investigacin y la expresin anterior coloca los nombres que faltan, observa el ejemplo.

Coeficiente

4c1

1. Clasifica en la siguiente tabla si el nombre del equipo es un monomio, binomio, trinomio polinomio. Observa el ejemplo:Equipo Ejemplo Uno Dos Tres Nombre del Equipo 2P + 3R + 1 Z Cuntos trminos tiene? Tres Por lo tanto se le llama. Trinomio

EVIDENCIA DOS 1. Es hora de poner en prctica lo aprendido. Observa las siguientes maravillas.

Can del Sumidero en Chiapas Hidalgo

Reloj Monumental en

Calles Subterrneas en Guanajuato18

Crea al menos 5 expresiones en lenguaje comn y traduce al lenguaje algebraico a) __________________________________________ a) ______________________ b) __________________________________________ b) ______________________ c) ___________________________________________c) ______________________ d) ___________________________________________d) ______________________ e) ___________________________________________e) ______________________

Con la ayuda de un compaero traduce al lenguaje comn las siguientes expresiones a) fa

b) ( m + k ) 2 c) z x d) m5 e) ( m - n ) (a+b)

Atencin!

+6-4 = +2 (-5)(-3)=+15

+7+3=+10 -15+4=-11 -8-7= -15 (+8)(+4)=+32 (-12)(+3)=-36 (+41)(-1)=-41

Sustituye los valores en las siguientes expresiones. Recuerda que an no puedes utilizar calculadora. ( a=7, b=-2, c=9, d=6, e=5 ) 7b -6e+8-5(a + c)= 3 (b) (c)= (e c) (e + d)= (c - b)3 = C2= 3{(b-a)+5(c + b)+1}= (c + a)(c + a)=

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Frente a cada imagen escribe su expresin e indica si es un monomio, binomio, trinomio o polgono.

IMAGEN

EXPRESIN

TIPO DE EXPRESIN

a, b, b, a, a, b, b, c, c, c, d, d, d, a,

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Escribe al menos tres razones por las cuales consideres que ests bien en tus ejercicios anteriores. Razn uno __________________________________________________________ Razn dos ___________________________________________________________________ Razn tres ___________________________________________________________________

Ejercicio: Actividades de desarrolloOtra razn ms por la cual visitar Mxico es Barranca del Cobre en Chihuahua.

As como Mxico, cuenta con gran variedad de maravillas naturales y construidas por el hombre, t tienes muchas cualidades. Observemos algunas de ellas.1. Coloca una hoja en tu espalda como se muestra en el ejemplo, para que todos tus compaeros escriban lo que piensan. T tambin lo podrs hacer. EJEMPLO CUALIDADES DEFECTOS

1. Despgala y veamos con lo que te encuentras. Encontraras cosas que ya conocas pero tambin algunas que desconocas y no todo ser verdad. Recuerda que las personas poseemos muchas cualidades pero tambin defectos, lo importante es mantener el equilibrio. Sabas que el Centro Histrico en la ciudad de Mxico est considerado como una de las 13 maravillas construidas por el hombre en Mxico.

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1. Veamos algunas de tus cualidades o defectos quiz. Realicemos un mapa conceptual, en grupo, de algunas leyes de los exponentes. Sigue los siguientes pasos: Formen 8 equipos Cada equipo elija alguna ley que se muestran en la siguiente tabla. Analcenla e inventen un ejemplo y un contra ejemplo para que se comprenda mejor. Recuerda que si tienes alguna duda pregunta a algn compaero.

Utilizando material (revistas, papel, tijeras, pegamento, etc.) Plasma tu ley con su ejemplo y contra ejemplo en grande para que se logre apreciar en el saln. Un representante de cada equipo explicar la ley y contestar el equipo las preguntas del grupo.

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1. Toma una evidencia fotogrfica una vez terminado el mapa, ser una de tus evidencias. Y anexa a esta evidencia a qu es igual un nmero elevado a la cero potencia? EVIDENCIA TRES 2. Contesta brevemente las siguientes preguntas

Quin fue la persona que expuso de tu equipo? Por qu lo eligieron a l? Esas son algunas de sus cualidadesCules son las tuyas?

Sabas que existe un lugar hermoso en San Luis Potosnombrado Stano de las Golondrinas.

1. Sigamos con tus cualidades o defectos. Trabajemos con las leyes de los exponentes.

Realiza los siguientes ejercicios donde slo trabajamos con monomios. Compara tus resultados con tus compaeros y facilitados Asegrate que ests bienUna vez que termine coloca el tiempo que te llevaste en realizarlos bien

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Ejemplo

Ejercicio

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Ejercicio: Actividades de cierreYa visitaste el santuario de la mariposa monarca?

ADICIN1. Como has logrado notar, todos tenemos una parte blanca pero tambin una parte negra. Y hablando de cosas blancas y negras, observa los siguientes mosaicos y su representacin.

x2

-x2

x

-x

1

-1

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La suma de estos dos polinomios se puede encontrar combinando los mosaicos algebraicos y contando para hallar el total. Los mosaicos obscuros y claros del mismo tamao son opuestos y se anulan entre s.

1. Recuerda el juego de mosaicos para realizar las siguientes sumas, si los requieres utilzalos. Toma el tiempo que de llevaste en realizar los ejercicios correctamente.

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En el estado de Hidalgo existen las famosas grutas de Tolantongo, que se caracterizan por su hermosura.

SUSTRACCIN1. Quin de tus compaeros cuando se enoja cambia de color?__________________________________. Algo parecido pasa con las sustracciones. Observa los modelos.

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Un Geiser es una forma de fuente termal, que erupta columnas de vapor y agua caliente. Es un fenmeno bastante curioso, y no hay tantos en el planeta. Sabas que en Tecozautla Hidalgo puedes encontrar uno.

MULTIPLICACIN 24. Qu tan bueno eres para los rompecabezas? Formen 9 equipo Toma uno de los sobres que te proporcionar el facilitador (Anexo uno) Traza en tu cuaderno cada figura y calcula su rea en t cuaderno Ahora forma con todas las piezas un rectngulo o un cuadrado, trzalo, con todas las divisiones de las piezas. Calcula el rea de la figura anterior sumando el rea de todas las piezas:

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Ejemplo

Ejercicio

Ejemplo

Ejercicio

30

Ejemplo

Ejercicio

An puedes viajar en tren. Existe un ferrocarril en Mxico llamado Chepe.

DivisinLleg el momento de repartir. Es importante iniciar con monomios, si tienes algunos problemas revisa mapa de leyes de los exponentes.

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Ejemplo

Ejercicio

Ejemplo

Ejercicio

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El siguiente tema POLINOMIO ENTRE POLINOMIO es uno de los mejores retos, pues se involucran las cuatro operaciones fundamentales. Se requiere seguir instrucciones precisas, las cuales se presentan a continuacin: Divisin entre polinomios Para la divisin de dos polinomios, se siguen los siguientes pasos: Se ordenan los trminos de ambos polinomios segn las potencias decrecientes (o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios. Se divide el primer trmino del dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer trmino del cociente. Este primer trmino del cociente se multiplica por el divisor, para despus restar este producto del dividendo. Una vez realizada esta resta, hora se centra la atencin en este resultado, se verifica que est ordenado, de lo contrario se ordena. Se divide el primer trmino de ste entre el primero del divisor para formar el segundo trmino del cociente. Se multiplica nuevamente este segundo trmino del cociente por el divisor, restndolo nuevamente del anterior resultado y as sucesivamente.

Ejercicio

33

Ejercicio

34

2Rompecabezas y decisiones35

Competencias Genricas a las que contribuye la asignaturaCompetencias

Se conoce y Valora Es sensible al arte Practica estilos de vida saludable Escucha, interpreta y emite mensajes Innova y propone soluciones Sustenta una postura personal Aprende por iniciativa propia Participa y colabora en equipos Conciencia cvica y tica Respeto y tolerancia Desarrollo sustentableAtributos

Identifica Ordena Interpreta Argumenta Analiza Explica Formula Disea Relaciona Actitud de respeto Resultados de aprendizaje de la asignatura respecto a la competenciaConoce, traduce e interpreta, de manera responsable por medio del lenguaje algebraico situaciones que se presentan en su entorno. Identifica, comprende, argumenta siguiendo reglas en la solucin de productos notables y ejecuta factorizaciones, reconocindolas como operaciones contrarias, Redacta y enuncia de manera verbal situaciones que requieren la transformacin de expresiones algebraicas y propone la forma de solucionarlas.

Relacin con otras disciplinasLEOyE. Disciplina que proporciona las habilidades necesarias para que el alumno mediante la lectura interprete correctamente los problemas escritos que estn en lenguaje comn y traducirlos al algebraico. FISICA Y QUIMICA. Es una herramienta fundamental para desarrollar los procedimientos matemticos que se necesitan en los temas de esas materias. CTSyV III. Materia que permite promover el sentido de escuchar, de participacin, respeto, solidaridad, en las tareas y trabajos de los alumnos. GEOMETRIA, TRIGONOMETRIA, GEOMETRIA ANALITICA, CLCULO Y MATEMATICAS APLICADAS. El Algebra es esencial para los procesos algortmicos de stas materias que se ven en semestres posteriores. MODULOS PROFESIONALES De acuerdo a la especialidad los temas de la materia se interrelacionan con los programas de cada modulo.36

Tema integradorRompecabezas y decisiones

Concepto fundamental Lenguaje algebraico Ecuaciones

Concepto subsidiario Operaciones Fundamentales Ecuaciones Lineales (con una y dos incgnitas)

Concepto(s) subsidiario(s) de primer nivel Productos notables Factorizacin Resolucin y evaluacin de ecuaciones lineales con una y dos incgnitas

CategorasEspacio Tiempo Diversidad

Tiempo programado24 horas/clase

Dimensiones de la competenciaCONCEPTUAL (aprender a conocer) Productos notables Factorizacin Lenguaje comn Lenguaje algebraico Ecuaciones lineales PROCEDIMENTAL (aprender a hacer) Anlisis del lenguaje comn Identificacin de trminos algebraicos Investigacin Ejercicios de productos notables Ejercicios de factorizacin Solucin de problemas Planteamiento y solucin de ecuaciones lineales con una incognita ACTITUDINAL (aprender a ser) Analiza Disea Observa Coopera Construye Relaciona Respeto

Tolerancia37

Desarrollo de la Secuencia Formativa Actividades de apertura

Los rompecabezas o puzzles son piezas comnmente planas que combinadas correctamente forman una figura, un objeto o una escena. Fueron inventados en 1762 por el londinense John Spilsbury y un siglo despus empezaron a fabricarse en serie. Varan por su forma, tamao, tema, material con que estn hechos y grados de dificultad de acuerdo a la cantidad y la forma de sus piezas; pueden ir desde 3 hasta las 12, 0000 piezas.

Por diversin, entretenimiento o como una forma de relajarse; armar rompecabezas es una actividad tanto para chicos como para grandes y de la cual se pueden obtener muchos beneficios. Desarrolla tu capacidad de aprender, entender y organizar Desarrolla la capacidad de resolver problemas. Ejercita tu memoria, al igual que las matemticas. Trabaja en el anlisis para elaborar estrategias Te apoya para la toma de decisiones.

Ejercicio: Actividades de desarrolloActividad Las siguientes figuras forman parte de un rompecabezas, se desea conocer lo siguiente a) Encontrar el rea de los cuatro rectngulos pequeos. b) Encontrar el rea del rectngulo sombreado. c) Cul es la suma de las reas?c c+d d a b38

a+b

Evidencia 1 para portafolio: Actividad En toda nuestra vida, hay un momento en que tenemos que tomar decisiones y resolver problemas, este es uno de esos, te invito a que resuelvas los siguientes ejercicios en hojas blancas, recordando las leyes de los exponentes. 1. (a + 2)(a 3) = ________________________________________________ 2. (x3 + 2)(x + 1) =________________________________________________ 3. (2x2y + 3z)( 2x2y - 3z) =__________________________________________ 4. (a - 3)(a 3) =_________________________________________________ 5. (a + 3)(a + 3) = ________________________________________________ 6. (a5 2x)(a5 3x)= _____________________________________________ 7. (a + 2)2(a +2) = ________________________________________________ 8. (5x-2y)(25x2+10xy+4y2) = _______________________________________ 9. (3a + 2b)(9a2 6ab + 4b2) = _____________________________________ 10. (-3xy+5z)(2xy-2z) = ____________________________________________

Ejercicio: Actividades de desarrollo

PRODUCTOS NOTABLES

Implican seguir ciertas reglas que facilitan la obtencin del resultado de la multiplicacin entre expresiones algebraicas, con monomios, binomios, polinomios.MULTIPLICACIN DE BINOMIOS CONJUGADOS El cuadrado del primer trmino menos el cuadrado del segundo trmino.

EL CUADRADO DE UN BINOMIO El cuadrado del primer trmino (ms, menos) el doble producto del primer trmino por el segundo trmino, ms el cuadrado del segundo trmino.

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PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TRMINO COMN El cuadrado del trmino comn (ms /menos), el trmino comn por la suma de los trminos no comunes, (ms /menos) el producto de los no comunes.

EL CUBO DE UN BINOMIO El cubo del primer trmino, ms/ menos el triple producto del primer trmino al cuadrado por el segundo trmino, ms/ menos el triple producto del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino, ms/ menos el cubo del segundo trmino.

Actividad 2 Renete en equipo, propongan un producto notable diferente, para llenar la tabla, de acuerdo al ejemplo. NOMBRE DEL PRODUCTO NOTABLE Binomio al cuadrado EJEMPLO DESARROLLO NOMBRE DEL RESULTADO

(2x+3)2

(2x)2 + 2(2x)(3) + (3)2 = 4x2 + 12x + 9

Trinomio cuadrado perfecto

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FACTORIZACIN La factorizacin de un polinomio o de una expresin algebraica, es descomponer en factores el polinomio o la expresin algebraica. Proceso contrario a la multiplicacin, es decir un producto se descompone en factores, es por eso que el resultado de un producto notable se puede descomponer en factores.

Para factorizar un polinomio, se busca el mximo comn divisor (MCD), tanto de los coeficientes como de la parte literal. Al factorizar 36 x4 + 12 x2 24 x = 12x (3x3 + x 2) Factor comn obtiene de la siguiente forma para encontrar este factor, se2

36 x = 3x3 12 x

4

;

12 x =x 12 x

;

- 24 x = -2 12 x

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Actividad Investiga los dems tipos de factorizacin, y realiza un mapa conceptual, donde incluyas la forma de factorizarlos.

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Actividad: Evidencia 2 para portafolio Apoyndote en el ejemplo, la investigacin, de tus compaeros y facilitador resuelve los ejercicios que se te presentan a continuacin de manera responsable, entregndolos en tiempo y forma, siguiendo las reglas adecuadas.1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) -3xy2 + 12x2y 15xy = ( )( ) 4m2 + 12mn + 9n2 = ( ) ( )=( 16x2 -81 = ( ) ( ) X2 x 30 = ( ) ( ) 2 2x + 5x 12 = ( ) ( ) 3 3 3 X y + 8z = ( ) ( ) 27 a 3- 64 y3 = ( ) ( ) 2 2 X + 14xy + 24 y = ( ) ( ) 2 6x + x 5 = ( ) ( ) 36 + 12x2 + x4 = ( ) ( )=( )2

)2

ECUACIONES

Ecuacin es la igualdad entre dos expresiones algebraicas, donde aparecen letras y nmeros, las letras representan variables, los nmeros constantes. Ejemplo: Partes de una ecuacin 2x + 5 = x - 10Primer miembro Smbolo de igualdad Segundo miembro

Propiedades de las ecuaciones

Si sumas un nmero a ambos miembros de una ecuacin no se altera. Si restas un mismo nmero a ambos miembros de una ecuacin esta no se altera. Si multiplicas una misma cantidad a ambos miembros de una ecuacin esta no se altera.

Ejemplox+2=6 x+22=62 22=0 x = 4 solucin43

Restamos dos a ambos miembros queda:

Ejemplo

2(3x 4) = 5( 2 + x) Aplicando la propiedad distributiva da 2(3x) + 2(-4) = 5(2) + 5(x) Haciendo las multiplicaciones 6x 8 = 10 + 5x Sumamos en ambos miembros 8 6x 8 + 8 = 10 + 5x + 8 Restamos 5x en ambos miembros 6x 5x = 18 + 5x 5x Resulta x = 18

Actividad Aplicando las propiedades de las ecuaciones, resuelve los ejercicios de manera responsable, apoyndote de tu facilitador. 1) 9 x + 6 = 2 x (3)

x + 2 2x - 3 = 3 4 1 1 3) x + x = 2 x + 2 3 4) 6 x(x + 3)- 2 = 3x( 2 x - 1)2) 5) 5 x - 2 = 2 x - 8 Actividad Modelando situaciones, empleando ecuaciones lineales para tomar decisiones.

x

2x

3x

El terreno del seor Prez tiene la forma del rompecabezas que observas, se sabe que su permetro es de 120 unidades lineales, y quiere saber el permetro de cada figura para poder cercarlo, de acuerdo a las divisiones, con tu ayuda podr saberlo, cunto mediran los permetros de cada figura?

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EjemploCuntos litros de agua se deben agregar a 16 litros de alcohol de 95% de concentracin para reducirlo a uno del 76%? Solucin: Sea x el nmero de litros de agua que se deben agregar, entonces: 16 litros + x litros = (16 + x) litros Modelo matemtico 0.76 (16 +x) = 0.95 (16) Efectuando los productos indicados 0.76 (16) + 0.76x = 15.20 12.16 + 0.76x = 15.20 Despejando la incgnita 0.76x = 15.20 12.16

x=

3.04 =4 0.76

Comprobando 0.76 (16 + x) = 15. 20 0.76 (16 + 4) = 15. 20 15. 20 = 15.20

Ejercicio

Actividad Apoyndote del ejemplo, modela y resuelve el siguiente problema: En una lechera se desea producir 5000 galones de leche que contenga 3% de grasa. Si se dispone de leche con el 6% de grasa y con el 2% de grasa, qu catidad de cada una se debe mezclar para obtener los 5000 galones con 3% de grasa? Ahora renete en equipo, para resolver problemas similares, que t facilitador te proporcionara.Si un mvil se desplaza a una velocidad constante durante un cierto tiempo, la relacin entre la velocidad (v), la distancia (d) y el tiempo (t) se expresan por las formulas.

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Dos automviles salen de un estacionamiento al mismo tiempo, desplazndose en la misma direccin pero en sentido contrario. Uno marcha a una velocidad de 55 kilmetros por hora y el otro a una velocidad de 75 kilmetros por hora. Hallar el tiempo transcurrido cuando la distancia que los separa es de 455 kilmetros. Solucin

Auto ms lento km Velocidad 55 h tiempo(h) t dis tan cia(km) 55t 55t + 75t = 455 130t = 455 455 t= = 3.5 horas 130EjercicioActividad Evidencia3 para portafolio

Auto ms rpido km 75 h t 75t por

lo

tan to

De manera individual y de forma responsable, toma tus propias decisiones para resolver correctamente los siguientes problemas, apoyndote del ejemplo y de la orientacin de tu facilitador.

1. Dos automviles parten de un mismo lugar, a la misma hora, en la misma direccin pero en sentidos opuestos. Si sus velocidades respectivas son de 80 y 90 kilmetros por hora, en cuntas horas se hallarn a 510 kilmetros entre si?1. Dos automviles parten de un mismo lugar, a la misma hora en la misma direccin pero en sentidos opuestos. Si la velocidad de uno es de 8 kilmetros por hora ms que la del otro, hallar sus respectivas velocidades sabiendo que 3.5 horas despus la distancia que los separa es de 602 kilmetros.

2. Dos ciclistas salen de la meta con diferencia de 2.5 horas. Hallar la velocidad del primero sabiendo que el segundo tarda 6 horas en alcanzarlo, desplazndose a una velocidad de 34 kilmetros por hora.46

4

Un automvil y una bicicleta que van en la misma direccin pero en sentidos opuestos, se cruzan y media hora despus estn a 30 kilmetros uno del otro. Si la velocidad del automvil es 4 veces la de la bicicleta, hallar la velocidad de cada vehculo.

5

Una persona camina a una velocidad de 4 kilmetros por hora. Una hora despus otra persona a caballo parte a alcanzarla con una velocidad de 8 kilmetros por hora. Hallar el tiempo que sta alcanza a aqulla.

EjemploEcuaciones lineales que involucran dos variables. Si un automvil se mueve a una velocidad constante de 80 kilmetros por hora, hallar la distancia que recorre en 1, 2, 3, 4, 5 y 6 horas. Deducir que distancia recorre a las 3.5 horas, por medio de una grafica. Solucin Sabemos que la velocidad uniforme es aquella que no vara con el tiempo. Tambin sabemos que la velocidad es el cociente que resulta de dividir la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla, es decir:

v=

d t

de aqu

d = v(t )

Tabulamos t 1 2 3 4 5 6 d = v (t) (80) 1= 80 (80) 2= 160 (80) 3= 240 (80) 4= 320 (80) 5= 400 (80) 6= 480

Como puedes ver la velocidad es contante. Tambin observa como estos valores los puedes graficar en un plano cartesiano.

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d600 500 400 300

280200 100 0 1 2 3 4 5 6

t

Actividad Se desea cercar un terreno que tiene forma de cuadrada. Calcular el nmero metros lineales de cerca que se necesitan, si la longitud del lado mide 10, 12, 16, 18 y 20 metros. Si sabemos que el permetro de un cuadrado = 4L (L = longitud) Tabula y trazar la grafica en el plano cartesiano.

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Desafo

En el plano de un departamento, la cocina es cuadrada y mide (x + 6) de lado, la recmara tiene el mismo ancho que la cocina y su largo excede en 2x unidades de ancho. El otro lado del bao mide un tercio del largo de la recmara y su ancho es igual al de los cuartos anteriores como se puede ver en el plano. Finalmente, el rea de la sala es (x2 + 14x + 48) y su ancho es tambin (x + 6).

cocina

comedor

bao

sala

recmara

Ejercicio: Actividades de cierreActividad: Evidencia 4 para portafolio Ve al anexo y recorta las piezas del domino algebraico, para que juegues con tres de tus compaeros, recuerda son 7 piezas para cada uno, gana el que termine primero, y resuelva correctamente, los productos notables en su libreta, con apoyo de tu facilitador, si es que no le entiendes. Actividad Realiza las factorizaciones en tu libreta y relaciona la columna de la izquierda con la de la derecha si tienes dudas consulta con tus compaeros y el facilitador.

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1) 4x2 92)

a) (x + 5)(x + 6) b) (5w2 4y2)(25w4 + 20w2y2 + 16y4) c) (3x + 2)(9x2 6x + 4) d) (3x + 5)(5x - 2) e) (x 4y)(x - y) f) ( 2x - 3)(2x + 3)

64 81x2

3) 9x2 + 30x + 254)

4x2 20xy + 25y2

5) x2 + 11x + 306)

x2 5xy + 4y2

7) 12x2 + 32x +20 8) 15x2 +19x 10 9) 27x3 + 810)

g) (8 + 9x)(8 0x) h) (2x 5y)(2x 5y) = (2x 5y)2 i) j) (3x + 5y)(3x + 5y) = (3x + 5y)2 (3x + 5)(4x + 4)

125w6 64y6

Ejercicio: Actividades de desarrolloActividad Evidencia 5 para portafolio Resuelve las siguientes ejercicios de ecuaciones, aplicando sus propiedades. 1) 2) 3) 4) 5x + 6 = 31 6.8x 2.4 x = - 88 10.2w 7.3 w = 58 3(5 + 3m) 8 = 2( 3 m)

5)

1 1 x + 2( x + 5) = 12 3 3

Actividad Evidencia 6 para portafolio Ejercicios de ecuaciones de dos variables. Despeja y en estas ecuaciones y haz las graficas correspondientes. Encuentra el valor de la interseccin con el eje de las x. Haz uso de los planos cartesianos. a) -5x y = -5 b) X = -3 -3x + 2y = 8 c) -5x 4y = -12 d) 7x + 4y = -550

Entretenimiento En tu curso de induccin elaboraste un tangrama, es momento de volver a utilizarlo, para dar solucin a este problema.

51

3Tomando decisiones52

Competencias Genricas a las que contribuye la asignatura CompetenciasSe conoce y valora Es sensible al arte Practica estilos de vida saludable Escucha, interpreta y emite mensajes Innova y propone soluciones Sustenta una postura personal Aprende por iniciativa propia Participa y colabora en equipos Conciencia cvica y tica Respeto y tolerancia Desarrollo sustentable

AtributosIdentifica Ordena Interpreta Argumenta Analiza Explica Formula Disea Relaciona Actitud de respeto

Resultados de aprendizaje de la asignatura respecto a la competenciaMediante el uso de mtodos algebraicos y grficos el alumno lograr resolver ejercicios de la vida diaria y as lograr el desarrollo de las competencias genricas que se quieren desplegar en la secuencia.

Resultados de aprendizaje de la asignatura respecto a la competenciaLEOyE. Disciplina que proporciona las habilidades necesarias para que el alumno mediante la lectura interprete correctamente los problemas escritos que estn en lenguaje comn y traducirlos al algebraico. FISICA Y QUIMICA. Es una herramienta fundamental para desarrollar los procedimientos matemticos que se necesitan en los temas de esas materias. CTSyV III. Materia que permite promover el sentido de escuchar, de participacin, respeto, solidaridad, en las tareas y trabajos de los alumnos. GEOMETRIA, TRIGONOMETRIA, GEOMETRIA ANALITICA, CLCULO Y MATEMATICAS APLICADAS. El Algebra es esencial para los procesos algortmicos de stas materias que se ven en semestres posteriores. MODULOS PROFESIONALES De acuerdo a la especialidad los temas de la materia se interrelacionan con los programas de cada modulo.

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Tema integradorDecisiones

Concepto fundamentalEcuaciones

Concepto subsidiarioEcuaciones lineales Ecuaciones cuadrticas

Concepto(s) subsidiario(s) de primer nivel Ecuaciones con dos incgnitas - Sistemas - Mtodos de solucin Ecuaciones con tres incgnitas - Sistemas - Mtodos de solucin Ecuaciones cuadrticas - Clasificacin - Mtodos de solucin

CategorasEspacio Tiempo Diversidad

Tiempo programado24 horas/clase

Dimensiones de la competenciaConceptual (aprender a conocer): Ecuaciones con dos incgnitas - Sistemas - Mtodos de solucin Ecuaciones con tres incgnitas - Sistemas - Mtodos de solucin Ecuaciones cuadrticas - Clasificacin - Mtodos de solucin Procedimental (aprender a hacer): - Resolucin de problemas - Llenar tablas - Investigar - Solucin de ejercicios algebraicos y de aplicacin - Graficar - Uso de la calculadora Actitudinal (aprender a ser): - Analiza - Disea - Observa - Construye - Relaciona - Respeto - Tolerancia - Decide - Trabajo en equipo - Trabajo individual

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Desarrollo de la Secuencia Formativa Actividades de aperturaACTIVIDAD 1. Investiga la historia de las ecuaciones y junto con el grupo realizarn un mapa mental con las aportaciones al menos 10 matemticos que hayan aportado sus conocimientos a dicho tema. ACTIVIDAD 2. Forma equipos de 3 y resuelve el siguiente problema en El maestro de matemticas les pidi a sus alumnos que encontraran el valor de a y de b que son ngulos en la siguiente figura. Si tienes dudas pregunta a tu facilitador Aa+b a-b

B

125 40

CEs importante que:

D

1. Investigues como se calculan los valores de los ngulos 2. Establezcas las expresiones algebraicas que decidiste utilizar 3. Indiques el proceso algebraico para solucionar el problema 4. Como se llaman las ecuaciones que utilizaste para solucionar el problema

ACTIVIDAD 3. Resuelve el siguiente problema y comparte tu solucin con al menos cinco de ellos. Carlos es un nio que tiene dos rompecabezas en forma de cuadrado y rectngulo respectivamente, le gustan tanto que quiere colocar uno en la pared de su recamara y otro en la de su hermano, pero no puede porque no tiene una base para sostenerlo. Uno de sus tos es carpintero y se ofreci a hacer la base de madera, por lo que pidi a su sobrino que le diera las medidas, tambin le dijo que dejara unos centmetros para que al colocarlo se formara un marco alrededor del rompecabezas. Las medidas que obtuvo el nio fueron las siguientes, el rompecabezas en forma de cuadrado mide 25 centmetros de cada lado, el segundo mide 30 cm de base por 35 cm de altura. Lo que no pudo determinar es cunto dejar para formar el marco por lo que le dejo esa decisin a su to para cada uno de los rompecabezas. Para resolver el ejercicio debes tomar decisiones de cmo vas a: 1. Dibujar un croquis con las medidas que obtuvo Carlos para cada rompecabezas. 2. Obtener el rea de la base de madera para ambos rompecabezas, pensando que el marco mide de ancho X, es decir se desconoce la medida. 3. Calcula el rea si X= 3 cm para el rompecabezas cuadrado y 2 para el rectangular. 4. Determina cul es la cantidad que utiliz el carpintero para hacer la base de madera para cada rompecabezas. 5. Si utilizaste alguna ecuacin algbrica como se llama sta.55

ACTIVIDAD 4 . Investiga y responde el siguiente cuestionario al final junto con el facilitador como moderador compartan sus respuestas e identifiquen las repuestas correctas. 1. Qu es un sistema de ecuaciones? 2. Cuntos mtodos existen para resolver un sistema de ecuaciones?

ACTIVIDAD 5 En la tabla indica los pasos a seguir en cada mtodo, que tu facilitador te diga cmo. MTODO Reduccin Sustitucin PASOS

Igualacin

Determinantes

Grafico

Ejercicio: Actividades de desarrolloACTIVIDAD 1. Para iniciar con esta etapa debers poner atencin en los ejemplos y con la ayuda de tu investigacin anterior ser ms fcil entender los mtodos de solucin. ATENCIN: No importa con que mtodo se resuelva el ejercicio, el resultado debe ser el mismo. Las ecuaciones se pueden presentar desordenadas, lo nico que tienes que hacer es acomodarlas.

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MTODO DE REDUCCIN EJEMPLO 1 Blanca vende artculos de belleza, un da vendi 2 barnices de uas y 6 sombras plateadas en $350. En otra ocasin 4 barnices de uas y 3 sombras plateadas en $320. Una de sus amigas quiere saber el precio de cada objeto para decidir si los puede comprar o no, y adems saber si le sobra dinero para comprar algn otro objeto que le guste la cantidad de dinero que tiene es de $100.00 1. Se construyen las ecuaciones con los datos del problema

ec.1 2b + 6 s = 350 ec.2 4b + 3s = 3202. Se elimina una variable, buscando que sus coeficientes sean iguales y de signo contrario (t decides que variable se elimina y donde se coloca el signo). Primera opcin eliminando b con signo en la ecuacin 12 b + 6 s = 350 (-4) 4 b + 3 s = 320 (2) multiplica ndo queda : - 8 b - 24 s = - 1400 8 b + 6 s = 640 reduciendo a lg ebraicamen te : - 18 s = - 760 despejano la var iable s: - 760 s = - 18 s = 42 . 22

Segunda opcin eliminando b con signo en la ecuacin 2

2b + 6 s = 350 (4) 4b + 3s = 320 (-2) multiplicando queda : 8b + 24 s = 1400 - 8b - 6 s = - 640 reduciendo a lg ebraicamente : 18s = 760 despejano la var iable 760 18 s = 42.22 s= s:

57

Tercera opcin eliminando s con signo en la ecuacin 2

2b + 6 s = 350 ( - 1) 4b + 3 s = 320 ( 2 ) multiplica ndo queda : - 2 b - 6 s = - 350 8b + 6 s = 640 reduciendo a lg ebraicamen te : 6 b = 290 despejano la 290 b= 6 b = 48 .33 var iable s:

Cuarta opcin eliminando s con signo en la ecuacin 22b + 6 s = 350 (1)

4b + 3 s = 320 ( - 2 ) multiplica ndo queda : 2b + 6 s = 350 - 8b - 6 s = -640 reduciendo a lg ebraicamen te : - 6b = -290 despejano la var iable - 290 -6 b = 48 .33 b= s:

Atencin!

Para eliminar una variable deben tener el mismo coeficiente, diferente signo para lograrlo puedes cruzar sus coeficientes. - 27x- 18y= -90 27x+ 3y= 42 21Y=- 48 O puedes multiplicar por su mltiplo uno de ellos o ambos nmeros \ \ 3x+2y=10 ( 3) 9x+ y=14 (-1) \ \ 9x + 6y= 30 - 9x - y =-14 5y = 16 3x+2y=10 (-9) 9x+ y=14 (3)

58

Errores tpicos1. Recuerda multiplicar cada trmino de la ecuacin por el nmero que elijas. 2. Cuando se despeja una variable los trminos se pasan del otro lado de la ecuacin no con el signo contrario sino con la operacin contraria.

Despejando x (correcto) 6 + 3y x= 2 Despejando y (correcto) 6 - 2x y= -3

2x-3y=6 Despejando x (incorrecto) 6 - 3y x= 2 Despejando y (incorrecto) 6 - 2x y= 3

3. Sustituyendo s en la ecuacin 1 2 (t decides en que ecuacin sustituir) Despejando en ecuacin 1, Despejando en ecuacin 2

2b + 6 s = 350 2b + 6( 42.22) = 350 2b + 253.32 = 350 despejando b : 350 - 253.32 s= 2 s = 48.34 pesos

4b + 3s = 320 2b + 6(42.22) = 350 2b + 126.66 = 350 despejando b : 350 - 126.66 s= 4 s = 48.34 pesos

4. Sustituir los valores de b y de s en las ecuaciones 1 y 2 para comprobar que los resultados son correctos

si b = 48.34 y s = 42.22 2b + 6 s = 350 2( 48.34) + 6(42.22) = 350 96.66 + 253.32 = 350 349.98 = 350

pesos

si b = 48.34 y s = 42.22 4b + 3s = 320 4( 48.34) + 3(42.22) = 320 193.32 + 126.60 = 320 319.98 = 320

pesos

El valor no es exacto porque no se utilizan todos los decimales. Cada barniz cuesta $48.34 y cada sombra $42.22 por lo tanto el costo de los dos objetos es de $90.56 y le sobra $9.44 por lo tanto no le alcanza para comprar nada ms.

59

EjercicioYa analizado el ejemplo ahora ya puedes lograr resolver los siguientes ejercicios algebraicos con este mtodo.

x- y =6 x + y = 14 10 x + 18 y = -11 16 x - 9 y = -5 3 x - (9 x + y ) = 5 y - ( 2 x + 9 y ) 4 x - (3 y + 7) = 5 y - 47

3 x - 2 y = -4 6 x - 4 y = -4 - 13 y + 11x = -163 - 8 x + 7 y = 94 2x - 3y = 0 x + 7y = 0

3 2 x- y=7 4 3 5 1 x - y = 18 3 2 3( x + 2) = 2 y 2( y + 5) = 7 x 0 .2 x - 3 .5 y = 0 .8 3 .7 x + 7 .1 y = 0

El seor Prez quiere comprar un par de libros para su hijo que va a entrar al bachillerato y va a preguntar precios en dos libreras, en la librera El puerto el libro de fsica y matemticas tienen un costo de $800 pero el libro de matemticas cuesta el triple del de fsica, en la librera El paso el libro de fsica y matemticas tienen un costo de $975 pero el fsica cuesta el doble de matemticas, el seor Prez quiere saber el costo de cada libro y decidir qu libro comprar primero. 1. Hacer las ecuaciones del ejercicio. ec. 1 3x + y = 800 ec. 2 x + 2y = 975 2. Despejar de cualquier ecuacin una variable de preferencia la que tiene como coeficiente 1, t decides cual escoger. Ecuacin 1 3x+y=800 Ecuacin 2 x+2y=975 Despejando y y=800-3x Despejando x x=975-2y 3. Sustituir la variable despejada en la otra ecuacin y resolverla con una sola incgnita despejando x. Ecuacin 1 Ecuacin 2

x + 2 y = 975 x + 2(800 - 3 x) = 975 x + 1600 - 6 x = 975 1600 - 5 x = 975 975 - 1600 x= -5 - 625 x= -5 x = 125

3 x + y = 800 3(975 - 2 y ) + y = 800 2925 - 6 y + y = 800 - 5 y = 800 - 2925 - 5 y = -2125 - 2125 -5 y = 425 y=

60

4. Se determina el valor de la otra variable en la ecuacin 1 2 (en la que t decidas) Sustituyendo en la ecuacin 1 Sustituyendo en la ecuacin 2

3 x + y = 800 3(125) + y = 800 375 + y = 800 y = 800 - 375 y = 425

x + 2 y = 975 x + 2( 425) = 975 x + 850 = 975 x = 975 - 850 x = 125

5. Para comprobar que los resultados estn correctos se hace la sustitucin en ambas ecuaciones ec. 1 3x + y = 800 ec. 2 x + 2y = 975

si

x = 125

y

y = 425

pesos

si

x = 125

y

y = 425

pesos

3 x + y = 800 3(125) + 425 = 800 375 + 425 = 800 800 = 800

x + 2 y = 975 125 + 2(425) = 975 125 + 850 = 975 975 = 975

Como el costo del libro de fsica es de $125 y el de matemticas es de $425 decidi comprar primero el ms econmico y ahorrar para adquirir el otro.

Ejercicio

Resuelve los siguientes ejercicios por el mtodo que se acaba de revisar.

x + 2y = 0 x - y = -3 x+ y=3 2 x - y = -5

4x - 2 y = 8 y - 2 x = -4 y+x=5 3x + y = 3 5 x - 3 y = 15 3 x + 21 y = 7

1 y =- x+2 3 3y + x = 6 - 3( x + 2) = -2 y - 2( y + 5) = -7 x 0 .7 x - 0 .3 y = 0 .5 3 .2 x + 4 .1 y = 0 .1

3 x + (9 x + y ) = 5 y + ( 2 x - 9 y ) 4 x - (3 y - 7) = -(5 y - 47)

61

EJEMPLO3. El maestro de geometra les pidi a sus alumnos que encontraran los ngulos en la siguiente el paralelogramo.

1. Por el teorema de las paralelas cortadas por una secante los ngulos alternos internos son iguales por lo tanto las ecuaciones quedan de la siguiente manera. 3x-4y=67 ecuacin 1 2x+3y=75 ecuacin 2 2. Se despejan de ambas ecuaciones una variable la que t decidas si alguna tiene coeficiente 1 es preferible escoger esta variable. Despejando x Ecuacin 1

Ecuacin 2

x=

67 + 4 y Despejando y 31

x=

Ecuacin

75 - 3 y 2

Ecuacin 2

y=

67 - 3 x -4

y=

75 - 2 x 3

3. Estos trminos se igualan quedando solo una variable para despejar, se te presentan en el ejemplo las dos opciones. Igualando en x Igualando en y67 + 4 y 75 - 3 y = 3 2 67 + 4 y 75 - 3 y (6) = (6) 3 2 2(67 + 4 y ) = 3(75 - 3 y) 134 + 8 y = 225 - 9 y 8 y + 9 y = 225 - 134 17 y = 91 67 - 3x 75 - 2x = -4 3 67 - 3x 75 - 2x (12) = (12) -4 3 (-3) (67 - 3x) = (4)( 75 - 2x) - 201+ 9x = 300 - 8x 9x + 8x = 300 + 201 17x = 501 501 17 x = 29.4 x=

4. Se ecuacin 2

91 17 y = 5.4 y=

sustituye el valor de la variable ecuacin 1 2 para obtener el valor Sustituyendo en ecuacin 1

obtenida en la de la otra variable Sustituyendo en

3 x - 4 y = 67 3 x - 4 ( 5 . 3 ) = 67 3 x - 21 . 2 = 67 3 x = 67 + 21 . 2 88 . 2 x= 3 x = 29 . 4

2 x + 3 y = 75 2 ( 29 . 4 ) + 3 y = 75 58 . 8 + 3 y = 75 3 y = 75 - 58 . 8 3 y = 16 . 2 16 . 2 y = 3 y = 5 .4

62

5. Se sustituyen los dos valores en las ecuaciones 1 2 para comprobar que los valores son correctos ec. 1 ec. 2 3x-4y=67 2x+3y=75

si

x = 29.4

y

y = 5 .4

si

x = 29.4

y

y = 5 .4

3 x - 4 y = 67 3( 29.4) - 4(5.4) = 67 88.2 - 21.6 = 67 66.6 = 67

2 x + 3 y = 75 2( 29.4) + 3(5.4) = 75 58.8 + 16.2 = 75 75 = 75

Como no se utilizaron todos los decimales el valor no es exacto y el resultado se tiene que redondear. Con la informacin obtenida se comprueba que el valor de los ngulos alternos internos es el mismo.


x + 2y = 0 2 x - 4 y = -6

x - 2y = 8 7y - x = 4

5 1 y =- x+2 7 3 7 1 1 y+ x= 4 2 2 - 3( x + 2) = -2 y - 2( y + 5) = -7 x x - y = 0 .5 x + y = 0 .1

7x + 2 y = 3 2 x - 6 y = -5

2 y + 2 x = 10 6 x + 6 y = 12 5 x - 3 y = 15 3 x + 21 y = 7

3 x + (9 x + y ) = 5 y + ( 2 x - 9 y ) 4 x - (3 y - 7) = -(5 y - 47)MTODO DE DETERMINANTES

En tu investigacin previa sabes que un determinante es el acomodo de nmeros en filas y columnas, se dice que es un acomodo rectangular llamado matriz, un determinante se resuelve de la siguiente manera. Aunque existen varios mtodos trabajaremos con uno de los ms sencillos, se hacen multiplicaciones primero hacia abajo antecedindoles signo positivo y despus hacia arriba antecedindoles el signo negativo.

Ejemplo

-3 2 0 5

-

= (-3)(5) - (0)( 2) = -15 - 0 = -15+

ATENCION: Recuerda cmo va la regla de los signos

( + )( + ) = + ( + )( -) = ( - )( -) = + ( - )( + ) = -

ERRORES TIPICOS (-3)+(-2)=6 el resultado correcto es -3-2=-5 (-3)(-5)+(-2)(6)=(15)(-12)=-180 el resultado correcto es (-15)+(-12)=-27

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EjercicioResuelve los siguientes determinantes 5 - 1 - 3 6 9 7

80 - 3 - 3 - 1 - 8 - 9 9 52 11 0 30 4 - 16 - 90

Ahora que ya sabes cmo se resuelve un determinante las formulas que se utilizan con el sistema de ecuaciones de dos incgnitas. SISTEMA DE ECUACIONES FORMULAS

a1 x + b1 y = c1 a 2 x + b2 y = c2Ejemplo

c1b1 x= c 2 b2 a1b1 a 2 b2y =

a 1 c1 a 2c2 a 1 b1 a 2b2

Una tienda anuncia dos tipos de refrescos, el x cuesta $6, y el y $5. Si las ventas de ambos refrescos fueron de $141 y se han vendido 26 refrescos Cuntos refrescos de cada tipo se vendieron? Las ecuaciones del ejercicio quedaron de la siguiente manera: 6n + 5m = 141 ecuacin 1 n + m = 26 ecuacin 2

Los coeficientes de las variables forman los determinantes y de acuerdo al orden queda:

a1 = 6 a2 = 1

b1 = 5 b2 = 1

c 1 = 141 c 2 = 26

64

Acomodando los datos en las formulas, dependiendo de los resultados y del ejercicio se redondean.

141 26 n = 6 1

5 1 (141 )( 1 ) - ( 26 )( 5 ) 141 - 130 11 = = = = 11 5 ( 6 )( 1 ) - (1 )( 5 ) 6-5 1 1

6 1 m = 6 1

141 26 ( 6 )( 26 ) - (1 )( 141 ) 156 - 141 15 = = = = 15 5 ( 6 )( 1 ) - (1 )( 5 ) 6 - 5 1 1

Se sustituyen los resultados en las ecuaciones 1 y 2 para comprobar que los resultados estn correctos. 6n + 5m = 141 n + m = 26 ecuacin 1 ecuacin 2

si

n = 11 y

m = 15

si

n = 11 y

m = 15

6n + 5m = 141 6(11) + 5(15) = 141 66 + 75 = 141 141 = 141

n + m = 26 11 + 15 = 26 26 = 26

Con los resultados obtenidos se sabe que de un refresco se vendieron 11 unidades y del otro se vendieron 15 unidades.


3 x + 4 y = 10 4 x + 5 y = 14 x= y+4 3 x + 7 y = -18

5 x + 4 y = -7 5 x - y = -2 3 2x + 3y = 7 6 x - 2 y = 10

3 x - y = 14 2 y = -6 x - 10 - 7( x - 21) = 3 y 12( y - 6) = 18 x

x + ( 2 x + 5 y ) = 3 y + (6 x - y ) 8 x - ( y - 70) = -(10 y - 47)

x - y = 15 3x + y = 7

5x + 4 y = 7 x - y = -2

65

EjemploEl director de una escuela quiere contratar el servicio de internet en la escuela donde trabaja, existen dos empresas Estrella que cuesta $2700 la tarifa mensual es de $30 y Diamante que cobra $3900 cuya mensualidad es de $28. Si las tarifas no cambian Dentro de cuantos meses se igualaran los costos de ambos sistemas?

1. Se establecen las ecuaciones del problema, que de preferencia deben quedar en su forma explcita porque se utiliza el plano cartesiano, donde x es el nmero de meses e y el costo total del sistema de internet durante x meses. 1700+17x=y ecuacin 1 1300+21x=y ecuacin 2 2. Se hace la tabulacin dndole a x que son los meses valores desde 0 meses a 18 que sera ao y medio de contratacin (pero t puedes decidir cunto tiempo puedes proyectar, tambin depende del tipo de problema a resolver), para las dos ecuaciones. 1700+17x=y x y 0 1700 10 1870 20 2040 30 2210 40 2380 50 2550 60 2720 70 2890 80 3060 90 3230 100 3400 110 3570 120 3740 130 3910 140 4080 150 4250 1300+21x=y x y 0 1300 10 1510 20 1720 30 1930 40 2140 50 2350 60 2560 70 2770 80 2980 90 3190 100 3400 110 3610 120 3820 130 4030 140 4240 150 4450

La tabla se hace sustituyendo los valores de x en las ecuaciones 1 como se muestra a continuacin. 1700+17(10) 1700+170 1870 Cuando x es igual a 10, y es igual a 1870, as se hace con todos los valores. Lo mismo se hace con la ecuacin 2 1300+21(100) 1300+2100 3400 Cuando x es igual a 100, y es igual a 3400, as se hace con todos los valores.

66

3 Los datos de las tablas anteriores se colocan en el plano cartesiano obteniendo una grafica como la siguiente (cabe hacer mencin que las dos tablas se grafican en el mismo plano, t decides que escalas utilizar en los ejes cartesianos).COSTOS4500

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

MESES10 -500 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Al observar la grafica y la tabla nos podemos dar cuenta de que las graficas se cruzan en un punto (100,3400) lo que indica que en ste los costos de las lneas que ofrecen internet se igualan en el mes 100 es decir a los 8 aos 4 meses, con un costo de $3400 ATENCIN: Existen tres posibilidades de obtener graficas como estas.

En este caso las rectas se cortan en un punto. El sistema se llama consistente o independiente. Hay una solucin, las graficas tienen su pendiente de signo contrario. x+y=4 -x+2y=-1

En este caso las rectas no se cruzan en ningn punto El sistema se denomina inconsistente Las rectas son paralelas porque sus pendientes son iguales No hay solucin 3x+5y=3 6x+10y=6

Una recta coincide con la otra, es decir son mltiplos El sistema se llama dependiente Hay un nmero infinito de soluciones Sus pendientes son las mismas 2x+4y=6 4x+8y=1

67

EjercicioResuelve los siguientes ejercicios.

2x + 7 y = 3 2 x + 8 y = -10 3 x - 2 y = -2 3 y = 2x + 4

4x + 5y = 0 3x = 6 y + 4 3 x + 4 y = 15 2x + y = 5

4x - 3y = 8 - 3x + 4 y = 9 5 x + 2 y = 16 4 x + 3 y = 10

Tambin se pueden generar ecuaciones de tres incgnitas y vamos a trabajar con dos mtodos, el de reduccin y determinantes.

METODO DE REDUCCIN Un fabricante hace tres tipos diferentes de libretas las de resorte, pasta gruesa y engrapadas tienen un costo de $16, $15 y $14 respectivamente, pero las vende en $30, $32 y $19 cada una. Diariamente el costo por hacer 120 libretas es de $1790, y el ingreso por ventas es de $2030. El fabricante quiere saber Cuntas libretas de cada tipo se elaboran? 1. Analizando el ejercicio nos podemos dar cuenta de que hay tres variables por lo que las ecuaciones tambin son tres.

ec . 1 ec . 2 ec . 3

l + m + n = 120 16 l + 15 m + 14 n = 1790 30 l + 32 m + 19 n = 2030

2. Se elimina una variable, buscando que sus coeficientes sean iguales y de signo contrario, t decides que variable se elimina y donde se coloca el signo. En este caso ya no seremos tan especficos ya que es lo mismo que en el de sistema de dos ecuaciones. Tomaremos las dos primeras ecuaciones solo por orden pero t decides que ecuaciones puedes combinar al inicio, donde colocar el signo y que letra eliminar que en este caso sers la variable l, la ecuacin resultante ser la ecuacin numero 4.

l + m + n = 120

( - 16 ) (1)

l 6 l + 15 m + 14 n = 1790

- 16 l - 16 m - 16 n = - 1920 l 6 l + 15 m + 14 n = 1790 - m - 2 n = - 130 ec . 468

3

Ahora combinaremos las ecuaciones 2 y 3 y haremos el mismo procedimiento, pero aqu ya no puedes decidir tienes que eliminar la misma letra que en el desarrollo anterior para que queden las mismas variables, y ser la ecuacin 5

16 l + 15 m + 14 n = 1790 30 l + 32 m + 19 n = 2030

( - 30 ) (16 )

- 480 l - 450 m - 420 n = - 53 , 700 480 l + 512 m + 304 n = 32 , 480 62 m - 116 n = - 21 , 220 ec . 54 En este paso se combinara la ecuacin 4 y 5 de la misma manera, en este paso si puedes decidir que letra quieres eliminar y donde colocar el signo, recuerda que puede ser con el coeficiente cruzado o con el mltiplo.

- m - 2 n = - 130

( 62 ) (1)

62 m - 116 n = - 15 ,130 - 62 m - 124 n = - 8 , 060 62 m - 116 n = - 21 , 220 - 240 n = - 29 , 280 - 29 , 280 - 240 n = 122 n=5

Este valor se sustituye en la ecuacin 4 5 t decides en cual y despejar para conocer el de la otra variable.

- m - 2 n = - 130 - m - 244 = - 130 - m = - 130 + 244

ec . 4

- m - 2 (122 ) = - 130

( - 1)( - m ) = (114 )( - 1) m = - 114El signo negativo significa que es la cantidad de libretas que no se han fabricado de esa clase.

69

3

Ya se tiene el valor de dos variables por lo que se puede sustituir en cualquiera de las tres primeras ecuaciones. Como sugerencia se hace en la que tenga los coeficientes ms pequeos para mayor facilidad, pero t decides en cual.

l + m + n = 120 l + ( - 114 ) + 122 = 120 l - 144 + 122 = 120 l = 120 + 144 - 122 l = 1124 Si ya se tienen todos los valores ahora se sustituyen en la ecuacin 1, 2 y 3 para comprobar que los resultados son correctos.

5

l + m + n = 120 16l + 15m + 14n = 1790 30l + 32m + 19n = 2030 l = 112 m = -114 n = 122 112 + (-114) + 122 = 120 112 - 114 + 122 = 120 120 = 120 16(112) + 15(-114) + 14(122) = 1790 1792 - 1710 + 1708 = 1790 1790 = 1790 30l + 32m + 19n = 2030 30(112) + 32(-114) + 19(122) = 2030 3360 - 3648 + 2318 = 2030 Concluyendo se2030 = 2030 del primer tipo de libretas de elaboran con resorte deduce queson (l) 112, de pasta gruesa (m) se dejaron de hacer 114 y las engrapadas(n) 122 libretas.

ATENCIN: revisa los errores que se comentan en los temas anteriores porque puedes cometerlos en ste.

EjercicioResuelve los siguientes ejercicios

2 x + 3 y + 4z = 3 2 x + 6 y + 8z = 5 4x + 9 y - 4z = 4

x + 4 y + 5 z = 11 3x - 2 y + z = 5 4 x + y - 3z = -26

2 x + 3 y - z = -8 x - y - z = -25 - 4x + 3 y + z = 6

70

METODO DE DETERMINANTES Este mtodo tambin maneja determinantes pero se trabajan diferente manera de acuerdo a la regla de Sarrus, es importante mencionar que existen ms mtodos.

Resolver el siguiente determinante

1. Se deben agregar las dos primeras filas horizontales

4 6 -1 2 -6 3 -7 2 0 4 2 6 -1 -6 3

2. Se indican cmo se van hacer las multiplicaciones, hacia abajo antecedindoles el signo positivo y despus hacia arriba antecedindoles el signo negativo.

4

6

-1

_ _ + + +

2 -6 3 -7 2 0 4 6 -1 2 -6 3

3. Se procede a multiplicar los nmeros teniendo cuidado con la ley de los signos

= ( 4 )( - 6 )( 0 ) + ( 2 )( 2 )( - 1) + ( - 7 )( 6 )( 3) - ( 2 )( 6 )( 0 ) - ( 4 )( 2 )( 3) - ( - 7 )( - 6 )( - 1) = 0 - 4 - 126 - 0 - 24 + 42 = - 112 = - 112 el valor del det er min ante

71


4 0 -1 2 -6 3 - 7 10 0 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 14 20 - 16 12 - 16 31 - 17 10 60 0 0 0 20 - 6 3 -7 1 5

Ejercicio: Actividades de desarrollo

Para construir los determinantes con las ecuaciones del ejercicio se hace lo siguiente: SISTEMA DE ECUACIONES FORMULAS

d 1b1 c1 a1 x + b1 y + cz1 = d1 a2 x + b2 y + cz1 = d 2 a3 x + b3 y + cz3 = d 3 x= d 2 b2 c 2 d 3 b3 c 3 a1b1 c1 a 2 b2 c 2 a 3 b3 c 3y=

a 1 d 1 c1 a2 d 2c2 a 3 d 3 c3 a1b1 c1 a 2 b2 c 2 a 3 b3 c 3 z =

a1b1 d 1 a 2 b2 d 2 a 3 b3 d 3 a1b1c1 a 2 b2 c 2 a 3 b3 c 3

72

Resuelve el siguiente sistema de ecuacionesx + y + z = 6 x + 2y + z = 8 x + y + 2z = 9 a1 = 1 a2 = 1 a3 = 1 b1 = 1 b2 = 2 b3 = 1 6 8 d 1 b1 c 1 d 2b2 c2 x = d 3b3c 3 a 1 b1 c 1 a2b2c2 a 3b3 c3 = 9 6 8 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 = ( 6 )( 2 )( 2 ) + ( 8 )( 1 )( 1 ) + ( 9 )( 1 )( 1 ) - ( 8 )( 1 )( 2 ) - ( 6 )( 1 )( 1 ) - ( 9 )( 2 )( 1 ) (1 )( 2 )( 2 ) + (1 )( 1 )( 1 ) + (1 )( 1 )( 1 ) - (1 )( 1 )( 2 ) - (1 )( 1 )( 1 ) - (1 )( 2 )( 1 ) c1 = 1 c2 = 1 c3 = 2 d1 = 6 d2 = 8 d3 = 9

1 1 2 1 1 1 2 2 1 1

24 + 8 + 9 - 16 - 6 - 18 1 x = = =1 4 +1+1- 2 -1- 2 1

x+ y+z =6 x + 2y + z = 8 x + y + 2z = 9 a1 = 1 b1 = 1 a2 = 1 a3 = 1 b2 = 2 b3 = 1 1 6 1 1 8 1 a1 d 1 c1 a2d 2c2 y= a 3 d 3 c3 a1b1 c1 a 2 b2 c 2 a 3 b3 c 3 = 1 9 2 1 6 1 1 8 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 y= 16 + 9 + 6 - 12 - 9 - 8 2 = =2 4 + 1+ 1- 2 -1- 2 1 = (1)( 8)( 2 ) + (1)( 9 )(1) + (1)( 6 )(1) - (1)( 6 )( 2 ) - (1)( 9)(1) - (1)( 8)(1) (1)( 2 )( 2 ) + (1)(1)(1) + (1)(1)(1) - (1)(1)( 2 ) - (1)(1)(1) - (1)( 2 )(1) c1 = 1 c2 = 1 c3 = 2 d1 = 6 d2 = 8 d3 = 9

73

x+ y+z =6 x + 2y + z = 8 x + y + 2z = 9 a1 = 1 b1 = 1 a2 = 1 a3 = 1 b2 = 2 b3 = 1 1 1 6 1 2 8 a1b1 d 1 a 2 b2 d 2 z= a 3 b3 d 3 a1b1 c1 a 2 b2 c 2 a 3 b3 c 3 = 1 1 9 1 1 6 1 2 8 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 z= 18 + 6 + 8 - 9 - 8 - 12 3 = =3 4 +1+1- 2 -1- 2 1x+ y+ z =6 x + 2y + z = 8 x + y + 2z = 9 S x = 1 y = 2 z = 3 1+ 2 + 3 = 6 6=6 1 + 2(2) + 3 = 8 1+ 4 + 3 = 8 8=8 1 + 1 + 2(3) = 9 1+1+ 6 = 9 9=9

c1 = 1 c2 = 1 c3 = 2

d1 = 6 d2 = 8 d3 = 9

=

(1)( 2)(9) + (1)(1)(6) + (1)(1)(8) - (1)(1)(9) - (1)(1)(8) - (1)( 2)(6) (1)( 2)( 2) + (1)(1)(1) + (1)(1)(1) - (1)(1)( 2) - (1)(1)(1) - (1)( 2)(1)

Se comprueban los resultados en las tres ecuaciones originales

EjercicioResuelve los siguientes ejercicios con este mtodo 3x + y + z = 6 2x y + z = 5 x + 2y z = 3 4x + 2y z = 10 2x + 3y +z = 4 3x y + z = 7 x y + 3z = -3 x + 3y 2z = 3 3x + 2y z = 1 x+y+z=7 6x+ 2y -2z = 6 2x + 4y + z = 12

ACTIVIDAD 2. De manera individual, investiga cmo se clasifican las ecuaciones cuadrticas y completa el siguiente cuadro sinptico.

74

Caractersticas:

Completas

Ejemplos

Ecuaciones Cuadrticas Caractersticas:

Incompletas

Ejemplos

75

EjemploSe quiere conocer la medida de los lados de un campo de bisbol cuya rea mide 25 m2, para saber cunto se necesita comprar de malla ciclnica y cercarlo, el esquema es el siguiente: Para encontrar el rea de un cuadrado es A = x 2 que es una ecuacin cuadrtica incompleta de la forma ax2+c=o que se resuelve de la siguiente manera.

A = x2x

36m 2 = x 2 despejando 36m 2 = x 2 6m = x x1 = -6m

x

x

P = 4l P = 4( 6 m ) P = 24m

A=36 m2

x2 = 6 m

Para comprobar que los valores obtenidos son correctos se sustituyen en la frmula del rea.

S el

x1 = -6m rea es2 2

y

x 2 = 6m

y

A = 36m 2

A = x2

entonces

36m = (6m)

= ( -6m) 2 = ( -6m)(-6m) = 36m 2 36m 2 = 36m 2

Como hay dos soluciones la decisin es considerar el valor positivo es decir 6m ya que en la realidad no existen longitudes negativas y la cantidad de malla ciclnica que se necesita es de 24 m lineales para cercar el campo. ATENCION Recuerda que la operacin opuesta de la potencia es la raz y se aplica en ambos lados de la ecuacin. Por lo que el desarrollo es x 2 = ( x 2 ) 2 = x 2 = x1 = x lo incorrecto es decir que la raz y la potencia se eliminan el resultado es 1 pero no se escribe como potencia. Recuerda tambin que no hay races cuadradas (y todas las pares) de nmeros negativos ya que las dos races deben ser iguales no hay solucin.1 2

- 25 = (-5)( -5) = 25 = (5) (5) = 25 = (-5)(5) = -25

76

Pero las races pares de nmeros positivos tienen dos soluciones ya que las dos races deben ser iguales hay dos soluciones que son: 25 = ( -5)(-5) = 25

= ( +5)(+5) = 25 entonces 25 = 5EjercicioResuelve las siguientes ecuaciones cuadrticas incompletas de la forma ax2+c=0

6 x 2 = 144 3( x + 5 )( x - 3) = ( x - 6 ) 2 + 10 x 9 x 2 + 81 = 0

7 x 2 - 14 = 0 10 x 2 = 160

( x - 4 )( x + 4 ) = - 7 25 x 2 - 250 = 0

Ahora veremos cmo se resuelven las ecuaciones cuadrticas incompletas de la forma ax2+bx=0 que se resuelven de la siguiente manera:

EjercicioResuelve la ecuacin 4x2-7x=0 1. Se descompone por trmino comn la expresin algebraica y los factores se igualan a cero. 4x2-7x=0 Factorizando x (4x-7)=0 Igualando a cero ambos factores x=0 4x-7=0 en este caso se necesita despejar x

x=

7 42. Se sustituyen los valores en la ecuacin cuadrtica para ver si la igualdad se cumple a cero.

x1 = 0 4x 2 - 7x = 0 4( 0) - 7 ( 0) = 0 0-0= 0

7 4 2 4x - 7 x = 0 x2 = 7 7 4 - 7( ) = 0 4 4 49 49 4 =0 16 4 196 49 =0 16 4 49 49 =0 4 4 0=0772


6 x 2 + 12 x = 0 4m 2 - 14m = 0 7 a 2 - 27a = 0 9 x 2 + 36 = 0 10 x2 = 37 xATENCION Las ecuaciones completas tienen dos formas porque existen: Binomios con trmino comn (x+3)(x-4) x2-x-12 Trinomio de la forma x2+bx+c (los signos pueden cambiar) y donde a=1 no se escribe porque es un coeficiente. Binomio al cuadrado (x+6)2 (x+6)(x+6) Trinomio cuadrado perfecto x2+12x+36 Binomios que no tienen trminos en comn (2x-1)(x+3) 2x2+6x-x-3 2x2+5x-3 Trinomio de la forma ax2+bx+c (donde a puede tener cualquier valor y es diferente de uno).

MTODO POR FORMULA GENERAL

La formula general para resolver una ecuacin cuadrtica es:

- b b 2 - 4ac x= 2a x es la incognita a es el coeficiente del ter min o cuadrtico x 2 b es el coeficiente del ter min o lineal x c es el coeficiente del ter min o independiente

78

EjemploEl Sr. Prez quiere construir su casa en un terreno que mide de largo 2x+7 y ancho x+5, su rea mide 527m2. Quiere conocer el permetro del terreno para saber cunto va a pagarle al albail ya que ste va a cobrar $150 el metro lineal para circundar el terreno.

1. Se establece primeramente la ecuacin y como el rea de un rectngulo es A = b * h el procedimiento algebraico es:

A = b*h 527 = (2 x + 7)( x + 5) 527 = 2 x 2 + 10 x + 7 x + 35 527 = 2 x 2 + 17 x + 35 0 = 2 x 2 + 17 x + 35 - 527 0 = 2 x 2 + 17 x - 4922. Se procede a aplicar la formula general.

2 x 2 + 17 x - 492 = 0 a=2 b = 17 c = - 492 \ aplicando la formula general - 17 17 2 - 4 ( 2 )( - 492 ) x 2(2) x= x= - 17 - 17 289 + 3936 4 4234

comproband2

o

2 x + 17 x - 492 = 0 x 1 = 12 2 (12 ) 2 + 17 (12 ) - 492 = 0 2 (144 ) + 204 - 429 = 0 288 + 204 - 492 = 0 492 - 492 = 0 0=0 x 2 = - 20 . 5 2 x 2 + 17 x - 492 = 0 2 ( - 20 . 5 ) 2 + 17 ( - 20 . 5 ) - 492 = 0 2 ( 420 . 25 ) - 348 . 5 - 429 = 0 840 . 5 - 348 . 5 - 492 = 0 492 - 492 = 0 0=0

4 - 17 65 x= 4 - 17 + 65 x1 = 4 48 x2 = 4 x1 = 12 - 17 - 65 4 - 82 x2 = 4 x 2 = - 20 .5 x2 =

79

Como en la realidad no hay longitudes negativas, se toma el valor positivo por lo tanto x=12

A = b*h 527 = (2(12) + 7)(12 + 5) 527 = (24 + 7)(17) 527 = (31)(17) 527 = 527El permetro se calcula.

p = 2b + 2h p = 2(31) + 2(17) p = 62 + 34 p = 96mComo el albail cobra $150 el metro entonces esta es la cantidad de dinero que va a pagar.

p = 96m cos to = 96m($150) cos to = $14,400EjercicioResuelve las siguientes ecuaciones cuadrticas por formula general, si tienes dudas pregunta a tu facilitador.

x2 + x - 6 = 0 2( x - 2) 2 - 1 = 0 6 x 2 + 11x + 30 = 0 11m - 10 = 3m 2 ( s + 4) 2 = 16 ( x - 1)(3 x + 7) = 0 ( x - 8) 2 = 0 (3 x + 4)( x - 9) = 0 ( 2 x + 3)( x) = x( x - 2) - 20METODO POR FACTORIZACIN El profesor de Algebra les pide a sus alumnos que traduzcan el siguiente enunciado en lenguaje comn a lenguaje algebraico y resuelvan el problema. Encuentra los nmeros que cumplen con la siguiente regla: el producto de dos nmeros consecutivos es 30.

80

ATENCIN La factorizacin que se hace es de acuerdo al tipo de trinomio del que se trate, este tema ya lo estudiaste en la secuencia 2 en el tema de factorizacin. 1. Traducir a lenguaje algebraico (x)(x+1)=30 2. Generar la ecuacin general algebraica x2+x-30=0 3. Revisar el tipo de trinomio del que se trata, en este ejercicio es de la forma x2+bx+c=0 por lo tanto la factorizacin queda as: x2+x-30=0 (x+6)(x-5)=0 4. Los binomios se igualan a cero y se despeja x x+6 = 0 x-5 = 0 x = -6 x=5 5. Los valores se sustituyen en la ecuacin original para comprobar que el resultado es correcto. x2+x-30=0 (-6)2+(-6)-30=0 36-6-30=0 36-36=0 0=0 x2+x-30=0 (5)2+(5)-30=0 25+5-30=0 30-30=0 0=0

6. Como son correctos los resultados, la respuesta es x=5 y x=6 porque adems son consecutivos.

EjercicioResuelve las ecuaciones cuadrticas por formula general, que el profesor te designe. METODO GRAFICO ATENCIN Las ecuaciones de segundo grado al representarlas en el plano cartesiano generan una grafica que se llama parbola, que puede abrirse hacia abajo si el trmino al cuadrado es negativo y hacia arriba si es positivo, como lo muestra el dibujo.

81

Ejemplo

Un jugador patea el baln de futbol americano, utilizando la grafica indica cual es la altura mxima que alcanza la pelota, y cul es la distancia recorrida por el mismo. El movimiento esta dado por la ecuacin y=-x2+10x 1. Para iniciar este mtodo se le dan valores a x que es la variable independiente y se sustituyen en la ecuacin cuadrtica para obtener los valores de la variable independiente que es y. 2. La sustitucin se hace as, e inicia desde cero porque lo patea desde el suelo y=x2+6x si x=0 y=-(0)2+6(0) x y y=0 -1 -7 y=-x2+6x si x=2 0 0 x1 =0 y=-(2)2+6(2) y=-4+12 1 5 y=8 2 8 3 9 4 8 5 5

6 7 8ALTURA9

0 x2 =6 -7 -16

8

7

6

5

4

3

2

1

DISTANCIA-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

3 Observando la grafica podemos decir que la altura mxima que alcanzo la pelota fue de 9 metros y recorri una distancia de 6 metros. Raz x1=0 y x2=6 ATENCIN Si una ecuacin cuadrtica no tiene solucin se debe a que la parbola no cruza con el eje de las abscisas, es decir no tiene races como lo muestra la siguiente grafica-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 28

-2

26

24 -4 22

-6

20

18 -8 16

-10

14

12 -12 10 -14

8

6 -16 4 -18

2

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

82

EjercicioGrafica las siguientes ecuaciones cuadrticas indicando donde estn sus races.x 2 + 7 x = -12 8 x 2 + 10 x - 7 = 0 9 x 2 = -12 x - 2 4 x 2 - 8x + 5 = 0 10 x 2 + 21x - 10 = 0 2 x 2 = 11x + 21

Ejercicio: Actividades de cierreACTIVIDAD 1 De manera individual busca en la bibliografa sugerida por el facilitador o en internet un ejercicio de aplicacin y un algebraico que se resuelva con un sistema de dos incgnitas y resulvelo con todos los mtodos. Evidencia 1, valor dos puntos. ACTIVIDAD 2 De manera individual busca en la bibliografa sugerida por el facilitador o en internet un ejercicio de aplicacin y un algebraico que se resuelva con un sistema de tres incgnitas y resulvelo con todos los mtodos. Evidencia 2, valor dos puntos. ACTIVIDAD 3 De manera individual busca en la bibliografa sugerida por el facilitador o en internet un ejercicio de aplicacin y un algebraico que se resuelva con una ecuacin cuadrtica y resulvelo con todos los mtodos. Evidencia 3, valor dos puntos. ACTIVIDAD 4 De manera individual busca ecuaciones de segundo grado 5 que se abran hacia abajo y cinco que ecuaciones que se abran hacia arriba y grafcalas. Evidencia 4 Valor dos puntos. ACTIVIDAD 5 Resuelve el siguiente ejercicio de aplicacin. Un padre de familia va a dar su herencia a sus tres hijos, la propiedad que va a repartir tiene la siguiente forma y dimensiones. Evidencia 5 (valor 2 puntos).

1. Encuentra las expresiones algebraicas para encontrar el rea total del terreno. 2. Encuentra el valor de la variable que te permite encontrar el rea del terreno. 3. Divide el terreno de manera que a los hijos les toque la misma cantidad de terreno.

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Bibliografa

1. Valiente Balderas Santiago.(2009). Matematicas 1 para Bachillerato.Editorial Limusa.Mxico. 2. Ludoteca interactiva de Matemticas. Grupo de Investigacin UAEH. 3. http://www./maravillas naturales y hechas por el hombre en mexico/julio2012. 4. David Gustafson. (Sptima edicin 2007). Aritmtica intermedia. Editorial Mc. Graw Hill. 5. Allen R. ngel. (Sexta edicin 2003). Algebra Elemental. Editorial Pearson Prentice Hall. 6. Brauer Dolores Barba.(Pre edicin). Matemticas II. Editorial Trillas. 7. Smith et.all. (Edicin 2001). Algebra. Editorial Perason. 8. Ignacio Bello. (Marzo 2000). Algebra Elemental. Editorial Thomson. 9. Ortiz Campos. (Mxico 1997). Matemticas 2. Editorial Publicaciones Cultural. 10. IPN.(revisin 2004).lgebra para nivel medio superior. SEP. 11. Smith Charles. et.al. (Mxico 2001). Algebra. Editorial Addison Wesley 12. Garca Jurez Marco Antonio (Primera Edicin 2010). lgebra. Editorial (esfinge).

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Glosario

GOAIO L SR

As is s Co ea aqes c loae eeehrizn ld la x bc a : o rd nd u e o c n l j o ota e s . A e raRmd la mte a qeetuiala etrutu sla reaioe yla c n a e (e ec s dl e rae mn l). lgb . a a e s a mtic s u s d s s c ra, s l c ns s atid d s n l a o e lgb le e ta g lo E laa e rad d sreta qep rte d d spn s n u : s b rtu e o c s u a n e o uto g lo a rn sin rn s E u p rd glo qes ecetra d n d la p raea d la oc n riod la s c n sytiee emmvlo n u s lte o te o: s n a e nu s u e nun n etro e s a l l s e d otra e s eate nn l is o a r. B o ioEp s nmte afo a ap rd st ins in m . xrei a mtic rmd o o rmo. Ce ie teU nmroua op ramltipic ruavria leE mlo4 s n a4vc syd neye uavria lep rlotato4e u c e iete ofic n . n e s d a u l a n a b je p : y igific ee , od s n a b , o n s n o fic n . Dte inn :E ea goca ragla d nmro e fila yc lu nsqes unuare la e rm a te s l rre l ud nu r e e s n s o ma u ige n g . 2 Euc nc a r ac mle :E uaeuc nqetieec mep nn myr ed sd neabycs nnmro re le d lafo aa +xc 0 c a i ud tic o p ta s n cai u n o o x oete ao l o, od , o e s a s e rm x b+=. Euc nc a r aino p ta E uaeuc nqetieec mep nn myr ed sd nebc c a i ud tic c mle : s n cai u n o o xoete ao l o, od . Euc n A ai mte aqeu iz es n igap raeta lee qed somsep s nsre reeta emmnmroos ne u aete. c a i : firmc n a mtic u til a l igo ul a s b c r u o xreioe p s n n l is o e o qivl n s Euc n A ai mte aqetieec mmy rep nn euo c a i : firmc n a mtic u n o o ao xoete l n. Ep nn .Eep nn d u nmrometracta vc senmros v au iz re lamltipic c nS ec ec mu nmrop qeoa aya x o e te l xoete e n e us un s ee l e e a til a n u l ai. e srib o o n e e u rrib Fc riz c n E lad so p s i d uaep s nag b ic e d somst insd mnraqeamltipic rlo s o tieelaep s no inl. a to a i : s ec moic n e n xrei l e ra a n o rmo e ae u l u l a s e b n xrei rig a Mn m . Ep s nmte afo a ap ru t in. o o io xrei a mtic rmd o n rmo O e a a :Co ea aqes c loae eeevrtic ld la y rdnds o rd nd u e o c n l j e a e s . Pr o :Cad s s s ynvlo se laeuc nca r as o tieeuag fic la a ap r oa a b la uno e utitue a re n cai ud tic e b n n ra a md a b l . Pra lo ra o p lg n d ca la o e d nelo la o o us ss np raeo yd igalog d a le g m: o oo e utro d s n od s d s peto o a l l s e ul nitu. P n c rte ia o ta b nla a opaoc o ea oe d nes c loa c o ea a c rteiaa yla reta fo a u glod 9 la o a s n : mi md l n o rd nd n od e o c n o rd nd s a s ns s c s rmn n nu e 0 Plin m .Ep s nmte afo a ap rmsd tre t ins o o io xrei a mtic rmd o e s rmo. P d c n ta le Snmltipic c nsqes pe e hc rmd n uare layn hc rto a la o e c nsa e ra a. ro uto o b : o u l aioe u e ud n ae e iate n g o ae d s s p raioe lg b ic s Rme a e a :Snp zsc mn etepaa qec mind sc rreta etefo a uafigrau o je ouaec n. o pc bz s o iea o mn l ns u o b a a o c mn rmn n u n b to n sea Srru: a s S te ad e uc nsc nd sin n s d somseuc nsp rala cae s bsauas lui c mn(ta b nla a a euc nss ute s is m e c a io e o o c g ita : o caioe a s ul s e uc n o c n o mi md s caioe iml na) Trm oE c d uad la p rte lig d setresp res n d las molaretae uaep s nag b ic . in . s a a n e s a s a a n o l igo e u a s n n xrei l e ra a T o ioEp s nmte afo a ap rtre t ins rin m . xrei a mtic rmd o s rmo.

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ANEXO UNO Materiales: Rectngulos en diferentes color, elaborados en papel cascaron o cartn y sobres numerados. Descripcin de los rectngulos: Los rectngulos ser de diferentes dimensiones. Para efectos de construccin del modelo, se usarn los siguientes valores e cm, para las variables: x=2, y=3, z=4, a=5, c=6 y d=7. Rectngulos que contienen algunos sobres: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)9)

(x, z),(x, z),(a, z),(x, y) (x, z),(y, z),(y, y),(x, y) (x, z),(y, z),(y, y),(x, y), (y, d) (a, c),(x, y),(x, z),(d, y) (y, z),(y, z),(a, c) (x, x),(x, x),(x, z),(y, z) (x, z),(x, z),(z, y),(z, y), (y, y) (y, z),(x, z),(y, a),(y, d)(y, c),(y, c),(y, z),(y, z)

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ANEXO (DOMINO ALGEBRAICO)

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CRITERIO SECUENCIA FORMATIVA 1 ACTIVIDAD 8. Mapa conceptual ACTIVIDAD 12. Lenguaje algebraico y evaluacin de expresiones algebraicas.

SI

NO

ACTIVIDAD 16. Exposicin de Leyes de los exponentes ACTIVIDAD 18. Ejercicios de leyes de los exponentes ACTIVIDAD 23. Adicin y sustraccin de monomios y polinomios ACTIVIDAD 32. Multiplicacin y divisin de monomios y polinomios SECUENCIA FORMATIVA 2 ACTIVIDAD 2 APERTURA: Operaciones ACTIVIDAD 4 DESARROLLO: Factorizacin ACTIVIDAD 8 DESARROLLO: Problemas de ecuaciones ACTIVIDAD 1 CIERRE: Domino algebraico ACTIVIDAD 3 CIERRE: Ejercicios de ecuaciones ACTIVIDAD 4 : Ejercicios de ecuaciones de dos variables SECUENCIA FORMATIVA 3 ACTIVIDAD 1 Hacer ejercicio de aplicacin y un algebraico dedos incgnitas.

ACTIVIDAD 2 Hacer ejercicio de aplicacin y un algebraico de tres incgnitas.

ACTIVIDAD 3 Hacer ejercicio de aplicacin y un algebraico que se resuelva con una ecuacin cuadrtica . ACTIVIDAD 4 Busca ecuaciones de segundo grado. ACTIVIDAD 5 Resuelve el siguiente ejercicio de aplicacin.

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