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Unidad I
Fundamentos de matrices
1
Introduccion
• Una matriz es un arreglo rectangular de numeros. Algunos
ejemplos de matrices son:
2 4 18 −1 51 3 −2
3 8−2 36 2
(5 −1 32 1 1
)
• El tamano de una matriz se especifica como numero de ren-
glones por numero de columnas.
• Una matriz es cuadrada si tiene el mismo numero de ren-
glones que de columnas.
2
Vectores y escalares
• Un vector es una matriz que consta solamente de un renglon
o una columna. Ejemplos de vectores:
(2 4 1 8
)
3−204
Vector renglon Vector columna
• Un escalar es una matriz de 1×1; es decir, un solo numero.
Ejemplos de escalares son:
8, 3.1416, 2− 3i
3
Notacion
• Las matrices se denotan mediante letras mayusculas:
A =
(1 23 4
)
• Los vectores se representan con letras minusculas:
a =(
1 2 3)
b =
(2−1
)
• Los escalares se representan tambien con letras minusculas:
x = 4.5, y = 3 + 4i
4
Notacion
• En caso de ambiguedad entre vectores y escalares, puede
agregarse una flecha a las variables que representan vectores,
por ejemplo: ~i,~j.
• Algunas veces es util referirse a una matriz por medio de suselementos:
(aij) =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n... ... ...
am1 am2 · · · amn
.
(Notar que el primer subındice denota el renglon y el segundo la columna)
5
Operaciones algebraicas
• Suma y resta de matrices:
a11 · · · a1n... ...
am1 · · · amn
±
b11 · · · b1n... ...
bm1 · · · bmn
=
a11 ± b11 · · · a1n ± b1n... ...
am1 ± bm1 · · · amn ± bmn
• Multiplicacion por un escalar:
c
a11 · · · a1n... ...
am1 · · · amn
=
ca11 · · · ca1n... ...
cam1 · · · camn
6
Producto de matrices
• Producto de un vector renglon y un vector columna:
(a1 a2 · · · an
) ·
b1b2...bn
= a1b1 + a2b2 + . . . + anbn
• El producto de dos matrices A = (aij) y B = (bij) es unamatriz C = (cij) dada por
cij = (renglon i de A) · (columna j de B)
= ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj
*Notar que el numero de columnas de A debe ser igual al numero de
renglones de B
7
Propiedades conmutativas, asociativas y distribu-tivas
A + 0 = 0 + A = A (identidad aditiva)
0A = A0 = 0
A + B = B + A (conmutatividad aditiva)
(A + B) + C = A + (B + C) (asociatividad aditiva)
α(A + B) = αA + αB (distributividad escalar)
(α + β)A = αA + βA (distributividad escalar)
(AB)C = A(BC) (asociatividad multiplicativa)
A(B + C) = AB + AC (distributividad)
(A + B)C = AC + BC (distributividad)
8
Matrices transpuesta y conjugada
• La transpuesta de una matriz A es otra matriz At que seobtiene al intercambiar los renglones por las columnas de A.Ejemplo:
A =
(3 8−2 36 2
)⇒ At =
(3 −2 68 3 2
)
• La transpuesta de un vector renglon es un vector columna,y viceversa.
• La conjugada A de una matriz A con elementos complejos,es la matriz que se obtiene tomando el complejo conjugadode cada elemento de A. Ejemplo:
A =
(3 + 2i 8− i−2 1 + 3i
−6 + 4i −5i
)⇒ A =
(3− 2i 8 + i−2 1− 3i
−6− 4i 5i
)
9
Matriz asociada
• Considerar el siguiente sistema de ecuaciones lineales:2x1 + 4x2 + 6x3 = 4
x1 − 3x2 + x3 = 62x2 − 7x3 = 16
• La matriz de coeficientes representa los coeficientes de lasvariables del sistema. Para el ejemplo anterior es:
(2 4 61 −3 10 2 −7
).
• La matriz asociada al sistema de ecuaciones se obtieneagregando el lado derecho del sistema (terminos indepen-dientes) a la matriz de coeficientes:
(2 4 6 41 −3 1 60 2 −7 16
).
10
Determinantes, menores y cofactores
• El determinante de una matriz |A| = det A de una matriz
A = (aij) de 2× 2 se define como:
det A =
∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
• El determinante de una matriz A = (aij) de 3× 3 esta dadopor:
det A =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣= a11
∣∣∣∣a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣−a12
∣∣∣∣a21 a23
a31 a33
∣∣∣∣+a13
∣∣∣∣a21 a22
a31 a32
∣∣∣∣
11
Determinantes, menores y cofactores
• Sea A = (aij) una matriz de n × n. La matriz Mij que se
obtiene al eliminar el i-esimo renglon y la j-esima columna
de A se conoce como la menor ij de A.
• El cofactor ij de A, denotado por Aij, es un escalar dado
por
Aij = (−1)i+j|Mij|.
• El determinante de A esta dado por
det A = |A| = a11A11 + a12A12 + . . . + a1nA1n.
12
Combinacion lineal
• Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V vectores de igual longitud. Cualquier
vector de la forma
α1v1 + α2v2 + . . . + α3v3,
donde α1, α2, . . . , α3 son escalares y no son todos cero, se
llama combinacion lineal de v1, v2, . . . , vn.
13
Dependencia e independencia lineal
• Sean v1, v2, . . . , vn vectores de igual longitud. Se dice que sonlinealmente dependientes si existen escalares c1, c2, . . . , cn ∈R tales que al menos uno de ellos es distinto de cero y
c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn = 0.
• Los vectores v1, v2, . . . , vn son linealmente dependientes sicualquiera de ellos puede escribirse como una combinacionlineal de los otros.
• Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice en-tonces que son linealmente independientes.
14
Rango de una matriz
• El rango ρ(A) de una matriz A es el numero de columnas orenglones que son linealmente independientes.
• ρ(A) = 0 si y solo si A = 0.
• Si A es una matriz de m× n, entonces ρ(A) ≤ min(m, n).
• Un sistema de n ecuaciones tiene al menos una solucion si ysolo si su matriz de coeficientes y su matriz asociada tienenel mismo rango. Si el rango es igual n, entonces la soluciones unica.
15
Traza de una matriz
• La traza tr(A) de una matriz A = (aij) de n× n es la sumade todos los elementos de la diagonal:
tr(A) = a11 + a22 + . . . + ann.
• Propiedades:
– tr(A) = tr(At)
– tr(AB) = tr(BA)
– tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
– tr(cA) = ctr(A)
16
Inversa de una matriz
• La matriz identidad I es una matriz cuadrada que tieneunos en la diagonal y ceros fuera de ella. Ejemplos:
I2 =
(1 00 1
), I3 =
1 0 00 1 00 0 1
.
• Propiedad: IA = AI = A para toda matriz A.
• Sean A y B dos matrices de n × n tales que AB = BA = I.Entonces a B se le llama la inversa de A y se denota porA−1, de manera que AA−1 = A−1A = I.
• Si A tiene inversa, se dice que A es invertible.
17
Propiedades de las inversas
• Si A es invertible, entonces su inversa es unica.
• (AB)−1 = B−1A−1.
• Si A es invertible, entonces det A 6= 0 y det A−1 = 1/det A.
• Considerar el sistema de ecuaciones dado por A~x = ~b, donde
~x = (x1, . . . , xn)t y ~b = (b1, . . . , bn)t. Si A es invertible, en-
tonces el sistema tiene una solucion unica dada por
x = A−1b.
18
Teorema
Sea A una matriz de n×n. Entonces, las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
• A es invertible.
• El sistema Ax = b tiene solucion unica para cada n-vector b.
• det A 6= 0.
• ρ(A) = n.
19
Matrices particionadas
En algunos casos es util particionar una matriz en sub-matrices
y operar con las sub-matrices como si fueran escalares.
Ejemplo:
AB =
( 1 −2 1 32 0 −1 1−1 1 0 23 1 4 −1
)( 2 1 24 −1 30 1 1−2 4 −3
)
=
( 1 −2 1 32 0 −1 1−1 1 0 23 1 4 −1
)( 2 1 24 −1 30 1 1−2 4 −3
)
=(
C DE F
)(G HJ K
)
=(
CG + DJ CH + DKEG + FJ EH + FK
).
20
Nociones de calculo matricial
• Vector tangente a una curva ~x(t) = (x1(t) . . . xn(t))t: ∂~x
∂t=
∂x1
∂t...∂xn
∂t
.
• Gradiente de una funcion escalar f(~x): ∇f = ∂f∂~x
=(
∂f∂x1
· · · ∂f∂xn
).
• Gradiente de f(~x) en la direccion ~v: ∇~vf = ∂f∂~x
~v.
• Jacobiano de una funcion vectorial ~f(~x) donde ~x es de dimension m y ~fes de dimension n:
∂ ~f
∂~x=
∂f1
∂x1· · · ∂f1
∂xm... . . . ...∂fn
∂x1· · · ∂fn
∂xm
.
21
Nociones de calculo matricial
El Hessiano ∇2f es el gradiente de segundo orden de una funcionescalar f(~x):
∇2f = ∇(∇f)
=∂
∂~x
(∂f
∂x1· · · ∂f
∂xn
)
=
∂f∂x2
1
∂f∂x1∂x2
· · · ∂f∂x1∂xn
∂f∂x2∂x1
∂f∂x2
2
· · · ∂f∂x2∂xn
... ... . . . ...
∂f∂xn∂x1
∂f∂xn∂x2
· · · ∂f∂x2
n
.
22
Nociones de calculo matricial
• Tangente o derivada de una matriz F (t) =(fij(t)
):
∂F
∂t=
∂f11
∂t· · · ∂f1n
∂t... . . . ...∂fm1
∂t· · · ∂fmn
∂t
.
• Gradiente de una funcion escalar f(X), con X de m× n:
∂F
∂t=
∂f∂X11
· · · ∂f∂Xm1... . . . ...
∂f∂X1n
· · · ∂f∂Xmn
.
Notar que el orden de los ındices es transpuesto con respecto a X
• La derivada de f(X) en la direccion de Y es: ∇Y f = tr(
∂f∂X
Y)
.
23
Unidad II
Introduccion a Octave
24
Introduccion a GNU Octave
• Es un lenguaje de alto nivel orientado al computo numerico
• Trabaja nativamente con vectores y matrices
• Es altamente compatible con Matlab
• Puede extenderse mediante funciones escritas en C/C++
• Es de distribucion gratuita
Octave puede descargarse de http://www.octave.org
25
Operaciones con matrices y vectores
• En Octave se pueden definir matrices escribiendo sus ele-
mentos entre corchetes.
• La coma separa los elementos en columnas, y el punto y
coma los separa en renglones.
Ejemplo: m = [1, 2, 3; 4, 5, 6] asigna a la variable m la matriz[
1 2 34 5 6
].
26
Acceso a los elementos de una matriz
Dada una matriz m se puede tener acceso a cualquier elemento,
renglon, columna, o sub-matriz de m:
• m(i,j) hace referencia a un elemento.
• m(i,:) hace referencia al i-esimo renglon.
• m(:,j) hace referencia a la j-esima columna.
• m(i1:i2, j1:j2) hace referencia a una sub-matriz.
27
Aritmetica de matrices
• Suma y resta: a + b, a - b
• Producto matricial: a * b
• Producto elemento por elemento: a .* b
• Transpuesta conjugada: a’
• Transpuesta: a.’
28
Funciones
• Determinante de una matriz: det(m)
• Producto escalar de dos vectores: dot(a, b)
• Inversa: inv(m), inverse(m)
• Rango: rank(m)
• Traza: trace(m) - equivale a sum(diag(m))
29
Matrices especiales
Las siguientes funciones de Octave devuelven matrices de utili-
dad general.
• Identidad: eye(m, n)
• Unos: ones(m, n)
• Ceros: zeros(m, n)
• Ruido uniforme: rand(m, n)
• Ruido normal: randn(m, n)
• Vector de n valores equiespaciados: linspace(base, limit, n)
• Rango de ındices: a:b (devuelve el vector [a, a+1, ..., b])30
Ejercicios
Defina las siguientes matrices en Octave :
A =
[1 2 −12 0 1
], B =
−1 12 01 −2
, C = 3 · I3×3.
Usando las matrices anteriores, calcule las siguientes expresiones:
a) A×B
b) B ×A− C
c) A + λN , donde λ = 0.1 y N es ruido uniforme
31
Unidad III
Sistemas de ecuacioneslineales
32
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de m ecuaciones con n incognitas se representa por
medio de su matriz asociada:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
... ...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
⇓
a11 a12 · · · a1n b1... ... . . . ... ...
a21 a22 · · · a2n b2am1 am2 · · · amn bm
33
Forma reducida de una matriz
• El pivote de un renglon es el primer numero (de izquierda a derecha)distinto de cero en ese renglon.
• Una matriz se encuentra en forma reducida si cumple con lo siguiente:
1. Los renglones cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de lamatriz.
2. El pivote (si lo hay) en cualquier renglon es 1.
3. El pivote de cualquier renglon esta a la derecha del pivote del renglon anterior.
4. Cualquier columna que contiene el pivote de un renglon tiene ceros en el resto desus elementos.
• Si solo se cumplen las tres primeras condiciones, entonces se dice que lamatriz esta en forma escalonada.
34
Operaciones elementales
• Las operaciones elementales con renglones son:
1. Multiplicar un renglon por un numero distinto de cero: Ri = cRi.
2. Sumar un multiplo de un renglon a otro: Rj = Rj + cRi.
3. Intercambiar dos renglones: Ri ↔ Rj.
• Si la matriz A se puede transformar en la matriz B medianteoperaciones elementales, entonces se dice que A y B sonequivalentes por renglones.
• Cualquier matriz se puede reducir a forma escalonada o re-ducida mediante operaciones elementales.
35
Reduccion de matrices (metodo de Gauss)
Transformacion de una matriz A = (ai,j) de m×n a la forma escalonada:
1. Comenzar con el renglon r = 1 y la columna c = 1.
2. Buscar el elemento ak,c con mayor valor absoluto en la columna c.
3. Si ak,c = 0, incrementar c y regresar al paso anterior.
4. Intercambiar los renglones r y k.
5. Multiplicar el renglon r por 1/ar,c.
6. Para cada renglon j debajo del renglon r (es decir, j = r+1, r+2, . . . , m),sumar al renglon j el renglon r multiplicado por −aj,c.
7. Incrementar r y c, y regresar al paso 2.
36
Reduccion de matrices (metodo de Gauss-Jordan)
Transformacion de una matriz A = (ai,j) de m× n a la forma reducida:
1. Utilizar el metodo de Gauss para transformar la matriz a la forma escalon-ada.
2. Sea r el ultimo renglon distinto de cero, y sea ar,c su pivote.
3. Reducir los elementos arriba del pivote sumandole a cada renglon j =1, . . . , r − 1 el renglon r multiplicado por −aj,c.
4. Decrementar r y regresar al paso anterior.
37
Solucion de sistemas de ecuaciones lineales
• Considerar el siguiente sistema:
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24
3x1 + x2 − 2x3 = 4
• Encuentre la solucion del sistema:
1. De manera ingenua
2. Reduciendo la matriz asociada a la forma escalonada (metodo deGauss) y realizando susticion hacia atras.
3. Transformando la matriz asociada a la reducida (metodo de Gauss-Jordan).
38
Inversa de una matriz cuadrada
• Para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A:
1. Se escribe la matriz aumentada (A|I).
2. Se utilizan operaciones elementales para llevar la matrizA a su forma reducida (Gauss-Jordan).
3. Se decide si A es invertible:
(a) Si la forma reducida de A es la identidad, entonces lamatriz que se tiene en el lado derecho es A−1.
(b) Si la reduccion de A conduce a un renglon de ceros enel lado izquierdo, entonces A no es invertible.
39
Matrices elementales
• Una matriz E de n × n se llama matriz elemental si puede
obtenerse a partir de aplicar una sola operacion elemental a
la matriz identidad.
• Una operacion elemental en una matriz A se puede escribir
como el producto EA, donde E es la matriz elemental co-
rrespondiente.
• Toda matriz elemental es invertible, y su inversa es una ma-
triz del mismo tipo.
40
Matrices elementales
• La transformacion de una matriz A a la forma escalonada o
reducida se puede expresar como el producto
EmEm−1 . . . E2E1A,
donde Ei es la matriz elemental correspondiente a la i-esima
operacion aplicada.
• Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto
de matrices elementales.
41
Factorizacion LU
• La forma escalonada de una matriz es una matriz triangular
superior.
• Sea A una matriz cuadrada de n × n. Si A se puede re-
ducir por renglones a una matriz triangular superior U sin
hacer permutaciones de renglones, entonces existe una ma-
triz triangular inferior L invertible con unos en la diagonal tal
que A = LU . Si U tiene n pivotes (es decir, si A es invertible),
entonces esta factorizacion es unica.
42
Factorizacion LU
• Sea A una matriz de n × n y sean E1, E2, . . . , Em las matri-
ces elementales correspondientes a las operaciones requeridas
(ninguna de ellas una permutacion) para transformar A en
una matriz triangular superior U ; es decir,
U = EmEm−1 . . . E2E1A.
Entonces
A = E−11 E−1
2 . . . E−1m︸ ︷︷ ︸ U
L
43
Factorizacion PA = LU
• En general, para cualquier matriz invertible de n × n existe
una matriz de permutacion P tal que PA = LU , donde L es
triangular inferior con unos en la diagonal, y U es triangular
superior.
• Notar que toda matriz de permutacion es su propia inversa.
• P se puede construır como el producto PkPk−1 . . . P2P1 de
todas las permutaciones que se realizan durante la transfor-
macion de A en U .
44
Factorizacion LU
• Encuentre la factorizacion LU de la matriz de coeficientes A
del siguiente sistema:
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24
3x1 + x2 − 2x3 = 4
• Notar que LUx = b, por lo tanto, si se define y = Ux, en-tonces Ly = b. Entonces, para resolver el sistema:
1. Se resuelve Ly = b para y mediante sustitucion hacia adelante.
2. Se resuelve Ux = y para x mediante sustitucion hacia atras.
45
Factorizacion LU y determinantes
• Si A y B son matrices de n×n, entonces det AB = det Adet B.
• Si una matriz cuadrada A tiene factorizacion LU tal que A =LU , donde L tiene unos en la diagonal y U = (uij), entonces
det A = det U =n∏
i=1
uii.
• Si P es una matriz de permutacion (es decir, el producto dematrices elementales de permutacion), entonces det P = ±1.
• Si A tiene factorizacion PA = LU , entonces det A = ±det U .
46
Sistemas de ecuaciones lineales homogeneos
• El sistema de ecuaciones Ax = b se llama homogeneo si
b = 0.
• Un sistema homogeneo siempre tiene al menos una solucion,
que es la solucion trivial x = 0. El sistema puede tener
solucion unica (la trivial) o un numero infinito de soluciones.
• Un sistema homogeneo con mas incognitas que ecuaciones
siempre tiene infinitas soluciones.
47
Sistema homogeneo asociado
• Sea Ax = b un sistema de ecuaciones no homogeneo (esdecir, con b 6= 0). El sistema homogeneo asociado estadado por
Ax = 0.
• Si x1 y x2 son soluciones de Ax = b, entonces su diferenciax1 − x2 es una solucion del sistema homogeneo asociado.
• Dada una solucion x del sistema no homogeneo, cualquierotra solucion y de este sistema se puede obtener como y =x + h, donde h es una solucion del sistema homogeneo aso-ciado.
48
Unidad IV
Espacios Vectoriales
49
Vectores en R2
• Un vector ~v en el plano es un par ordenado de numeros reales(a, b).
• El vector cero es (0,0).
• La magnitud |~v| de un vector ~v = (a, b) esta dada por
|~v| =√
(a2 + b2).
• La direccion ∠~v de ~v = (a, b) esta dada por
tan (∠~v) =b
a.
50
Producto escalar de vectores en R2
• Si ~u = (a1, b1) y ~v = (a2, b2), entonces ~ut~v = a1a2 + b1b2.
• |~v|2 = ~vt~v.
• La distancia entre dos vectores ~u y ~v es |u− v|.
• El angulo φ entre dos vectores ~u y ~v es cosφ = ~ut~v|~u||~v|.
• Dos vectores ~u y ~v distintos de cero son ortogonales (per-
pendiculares) si y solo si ~ut~v = 0.
51
Vectores en R3
• Un vector ~v en R3 es una terna ordenada de numeros reales(x, y, z).
• Magnitud de un vector ~v = (x, y, z): |~v| =√
~vt~v =√
x2 + y2 + z2.
• Direccion de un vector ~v: ~v/|~v|.
• Distancia entre dos vectores: |~v − ~u|.
• Angulo φ entre dos vectores ~v y ~u: cosφ = ~vt~u|~v||~u|.
52
Espacios Vectoriales
• Un espacio vectorial real V es un conjunto de vectores,junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicacionpor un escalar.
• La suma de vectores x y y de un espacio vectorial se escribecomo x + y.
• El producto de un vector x ∈ V y un escalar α ∈ R se escribeαx.
• La magnitud o norma |v| de un vector v ∈ V esta dada por|v| =
√vtv.
53
Axiomas de un espacio vectorial
i. Si x ∈ V y y ∈ V , entonces x + y ∈ V .
ii. Para todo x, y, z ∈ V , (x + y) + z = x + (y + z).
iii. Existe un vector 0 ∈ V tal que para todo x ∈ V , x + 0 = 0 + x = x.
iv. Si x ∈ V , existe un vector −x ∈ V tal que x + (−x) = 0.
v. Si x, y ∈ V , entonces x + y = y + x.
vi. Si x ∈ V y α ∈ R, entonces αx ∈ V .
vii. Si x, y ∈ V y α ∈ R, entonces α(x + y) = αx + αy.
viii. Si x ∈ V y α, β ∈ R, entonces (α + β)x = αx + βx).
ix. Si x ∈ V y α, β ∈ R, entonces α(βx) = (αβ)x.
x. Para cada vector x ∈ V , 1x = x.
54
Ejemplos de espacios vectoriales
• El espacio Rn ={(x1, x2, . . . , xn) : xj ∈ R para j = 1,2, . . . , n
}.
• El conjunto V = {0}.
• El conjunto de puntos en R2 que pertenecen a una recta quepasa por el origen.
• El conjunto Pn de polinomios con coeficientes reales de gradomenor o igual a n.
• El conjunto Mmn de matrices de m×n con elementos reales.
55
Espacios generados por vectores
• Se dice que los vectores v1, v2, . . . , vn en un espacio V gene-
ran a V si cualquier vector u ∈ V se puede escribir como una
combinacion lineal de ellos.
• Sean v1, v2, . . . , vn vectores en un espacio vectorial V . El
espacio generado por ellos es el conjunto de combinaciones
lineales de v1, v2, . . . , vn, dado por:
span{v1, v2, . . . , vn} = {a1v1 + a2v2 + . . . + anvn : a1, a2, . . . , an ∈ R} .
56
Dependencia lineal en Rn
• Un conjunto de m vectores en Rn es siempre linealmente dependiente sim > n.
• Un conjunto de vectores linealmente independientes en Rn contiene a lomas n vectores.
• Sean v1, v2, . . . , vn ∈ Rn, y sea A una matriz de n× n cuyas columnas sonv1, v2, . . . , vn. Entonces, los vectores son linealmente independientes si ysolo si la unica solucion al sistema Ax = 0 es la solucion trivial x = 0.
• Sea A una matriz de n×n. Entonces det A 6= 0 si y solo si las columnasde A son linealmente independientes.
57
Bases de un espacio lineal
• Un conjunto finito de vectores {v1, v2, . . . , vn} es una base de
un espacio vectorial V si (1) son linealmente independientes,
y (2) generan a V .
• Si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V , entonces para cada v ∈ V
existe un conjunto unico de escalares c1, c2, . . . , cn tales que
v = c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn.
58
Dimension de un espacio lineal
• Si {u1, u2, . . . , um} y {v1, v2, . . . , vn} son bases de V , entonces
m = n.
• Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la
dimension dimV de V es el numero de vectores en cualquier
base de V . En este caso se dice que V es de dimension finita.
• La dimension del espacio V = {0} es 0.
59
Ortogonalidad y ortonormalidad
• Un conjunto de vectores v1, v2, . . . , vn en Rn es ortogonal sivtivj = 0 para i 6= j.
• Un conjunto de vectores v1, v2, . . . , vn en Rn es ortonormalsi
vtivj =
{0 si i 6= j,1 si i = j.
• Una matriz Q de n×n es ortogonal si es invertible y Q−1 = Qt.
• Una matriz Q de n× n es ortogonal si y solo si las columnasde Q forman una base ortonormal para Rn.
60
Subespacios
• Un subespacio H de un espacio vectorial V es un subcon-
junto H ⊂ V que es en sı mismo un espacio vectorial bajo las
operaciones de suma y multiplicacion por un escalar definidas
en V .
• Para saber si un subconjunto H de un espacio vectorial V es
un subespacio, es suficiente verificar que cumpla las propiedades
de cerradura:
1. Si x, y ∈ H, entonces x + y ∈ H.
2. Si x ∈ H y α ∈ R, entonces αx ∈ H.
61
Proyecciones
• Sean u, v ∈ Rn. La componente de u en la direccion de v esutv/|v|.
• Sean u, v ∈ Rn. La proyeccion proyvu de u sobre v esta dadapor
proyvu =utv
|v|2v.
• Sea H un subespacio de Rn con base ortonormal {u1, u2, . . . , uk}.Si v ∈ Rn, entonces la proyeccion ortogonal proyHv de v so-bre H esta dada por
proyHv = (vtu1)u1 + (vtu2)u2 + . . . + (vtuk)uk.
62
Mas sobre proyecciones
• Si B = {u1, u2, . . . , un} es una base ortonormal de Rn y v ∈ Rn,
entonces v = proyRnv; es decir:
v = (vtu1)u1 + (vtu2)u2 + . . . + (vtu3)u3.
• Si H es un subespacio de Rn con dos bases ortonormales{u1, u2, . . . , un} y {w1, w2, . . . , wn}, entonces para cualquier v ∈Rn se tiene que:
(vtu1)u1 +(vtu2)u2 + . . .+(vtuk)uk = (vtw1)w1 +(vtw2)w2 + . . .+(vtwk)wk.
63
Complemento ortonormal
• Si H es un subespacio de Rn, el complemento ortogonalH⊥ de H esta dado por
H⊥ = {x ∈ Rn : x · h = 0 para toda h ∈ H}.
• Ademas se cumple que
a) H⊥ es un subespacio de Rn.b) H ∩H⊥ = {0}.c) dimH⊥ = n− dimH.
• Si H es un subespacio de Rn y v ∈ Rn, entonces existe un parunico de vectores h ∈ H y p ∈ H⊥ tales que v = h + p.
64
Base canonica
• La base canonica de Rn es una base ortonormal formadapor los vectores {e1, e2, . . . , en} datos por:
e1 =
10...0
, e2 =
01...0
, · · · , en =
00...1
.
• Un vector v = (x1, x2, . . . , xn)t se representa en la base canonica
como
v = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen.
65
Representacion de vectores en una base
• Sea B = {u1, u2, . . . , un} y sea v ∈ Rn. Entonces existenescalares b1, b2, . . . , bn tales que
v = b1u1 + b2u2 + . . . + bnun.
• El vector (v)B = (b1 b2 · · · bn)t es la representacion de v enla base B.
• Si U = (u1 u2 · · · un), entonces
v = U(v)B = (u1 u2 · · · un)
b1b2...
bn
.
66
Cambio de base
• Sean B1 = {u1, u2, . . . , un} y B2 = {v1, v2, . . . , vn} bases de
Rn.
• Cada elemento de B1 puede expresarse en terminos de B2:
uj = a1jv1 + a2jv2 + . . . + anjvn.
• La matriz A = (aij) de n × n se conoce como matriz de
transicion de la base B1 a la base B2.
67
Cambio de base
• Sean B1 y B2 dos bases de Rn, sea A = (aij) la matriz detransicion de B1 a B2 y sea v ∈ Rn.
• Si (b1 b2 · · · bn)t es la representacion de v en B1, y (c1 c2 · · · cn)t
es la representaciones de v en B2, entonces:
c1c2...
cn
=
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n... ... . . . ...
an1 an2 · · · ann
b1b2...
bn
.
• Las columnas de A son la representacion de cada vector deB1 en B2.
68
Espacio nulo
• Sea A una matriz de m × n. El conjunto de soluciones NA
del sistema homogeneo Ax = 0 forma un espacio vectorial
conocido como el espacio nulo de A y se define como
NA = {x ∈ Rn : Ax = 0}.
• La dimension del espacio nulo de una matriz A, denotada
por ν(A) = dimNA se conoce como la nulidad de A. Si
NA = {0}, entonces ν(A) = 0.
• Una matriz A de n× n es invertible si y solo si ν(A) = 0.
69
Imagen de una matriz
• La imagen imag A de una matriz A de m×n se define como
imag A = {y ∈ Rm : Ax = y para alguna x ∈ Rn}.
• La imagen de A es un subespacio de Rm.
• ρ(A) = dim imag A.
• ρ(A) + ν(A) = n.
70
Espacios generados por las columnas y los ren-glones de una matriz
• La imagen de una matriz A es el espacio generado por las
columnas de A.
• Sea RA el espacio generado por los renglones de A, entonces
dimRA = dim imag A = ρ(A).
• Sea A una matriz real. Entonces, todo vector en RA es
ortogonal a todo vector en NA.
71
Unidad V
Valores y vectorescaracterısticos
72
Eigenvalores y eigenvectores
• Sea A una matriz de n × n. Un vector v ∈ Cn, v 6= 0 que
cumple con
Av = λv,
para algun escalar λ ∈ C, se llama eigenvector de A.
• El escalar λ es el eigenvalor de A correspondiente al vector
v.
73
Eigenvalores
• Sea A una matriz de n×n. Entonces, λ ∈ C es un eigenvalorde A si y solo si
p(λ) = det (A− λI) = 0.
• El polinomio p(λ) = det (A − λI) se conoce como el poli-nomio caracterıstico de A.
• Toda matriz de n × n tiene exactamente n eigenvalores (in-cluyendo multiplicidades).
• Ejemplo: encontrar los eigenvalores de(
2 01 −3
).
74
Calculo de eigenvalores y eigenvectores
1. Encontrar el polinomio caracterıstico p(λ) = det (A− λI)
2. Encontrar las raıces distintas λ1, λ2, . . . , λm de p(λ) = 0.
3. Resolver el sistema homogeneo (A − λiI)v = 0 para cada
eigenvalor λi.
Ejemplo: encontrar los eigenvalores y eigenvectores de
1 −1 43 2 −12 1 −1
.
75
Espacio propio
• Sea A una matriz de n×n y λ un eigenvalor de A. Entonces,
el conjunto Eλ de todos los eigenvectores correspondientes
a λ, dado por
Eλ = {v : Av = λv},es un subespacio de Cn.
• El espacio Eλ se llama espacio propio de A correspondiente
al eigenvalor λ.
• Eλ es el espacio nulo de la matriz A− λI.
76
Multiplicidad algebraica y geometrica
• Si A es una matriz de n× n con eigenvalores λ1, . . . , λm, en-tonces su polinomio caracterıstico p(λ) puede factorizarsecomo
p(λ) = (−1)n(λ− λ1)r1(λ− λ2)
r2 . . . (λ− λm)rm,
donde r1, . . . , rm son las multiplicidades algebraicas de loseigenvalores λ1, . . . , λm y cumplen que r1 + r2 + . . . + rm = n.
• La multiplicidad geometrica de un eigenvalor λ de una ma-triz A es la dimension del espacio propio correspondiente aλ:
Multiplicidad geometrica de λ = dimEλ = ν(A− λI).
77
Eigenvectores
• Sea A una matriz de n × n, y sean λ1, λ2, . . . , λm eigen-
valores distintos de A con eigenvectores correspondientes
v1, v2, . . . , vm. Entonces, v1, v2, . . . , vm son linealmente inde-
pendientes.
• Si A es una matriz de n × n, entonces A tiene n eigenvec-
tores linealmente independientes si y solo si la multiplicidad
geometrica de cada eigenvalor es igual a su multiplicidad al-
gebraica.
78
Matrices semejantes
• Dos matrices A y B de n × n son semejantes si existe una
matriz invertible C de n× n tal que
B = C−1AC.
• Si A y B son semejantes, entonces tienen el mismo polinomio
caracterıstico, y por lo tanto, tienen los mismos eigenvalores.
79
Matrices diagonalizables
• Una matriz A es diagonalizable si existe una matriz diagonalD tal que A es semejante a D.
• Una matriz A de n × n es diagonalizable si y solo si tiene neigenvectores linealmente independientes. En este caso, lamatriz diagonal D semejante a A esta dada por
λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0... ... . . . ...0 0 · · · λn
,
donde λ1, . . . , λn son los valores propios de A.
• Si C es una matriz cuyas columnas son eigenvectores lineal-mente independientes de A, entonces D = C−1AC.
80
Matrices simetricas
• Una matriz A es simetrica si A = At.
• Si A es una matriz simetrica real de n × n, entonces sus
eigenvalores son todos reales.
• Si A es una matriz simetrica real de n× n, entonces A tiene
n eigenvectores reales ortonormales.
81
Diagonalizacion ortogonal
• Una matriz A de n × n es diagonalizable ortogonalmente si
existe una matriz ortogonal Q tal que
QtAQ = D,
donde D es la matriz diagonal de eigenvalores de A.
• Sea A una matriz real de n×n. Entonces A es diagonalizable
ortogonalmente si y solo si A es simetrica.
82
Diagonalizacion ortogonal
• Dada una matriz simetrica real A, se puede encontrar una
matriz diagonalizante Q tal que QtAQ = D de la siguiente
manera:
1. Encontrar una base para cada espacio propio de A.
2. Encontrar una base ortonormal para cada espacio propio
de A.
3. Escribir Q como la matriz cuyas columnas son los eigen-
vectores obtenidos en el paso anterior.
83
Unidad VI
Formas cuadraticas
84
Formas cuadraticas
• Una forma cuadratica en dos variables (x, y) es un polinomiocuadratico homogeneo; e.g.,
ax2 + bxy + cy2 = d,
con a, b, c no todos cero.
• Esta ecuacion puede reescribirse como
vtAv = d,
donde
A =
(a b/2
b/2 c
)y v =
(xy
).
85
Secciones conicas
• Si A =
(a b/2
b/2 c
), entonces, la ecuacion vtAv = d es
– Una hiperbola si d 6= 0 y |A| < 0.
– Una elipse, cırculo, o conica degenerada si d 6= 0 y |A| > 0.
– Un par de rectas o conica degenerada si d 6= 0 y |A| = 0.
– Un par de rectas si d = 0 y |A| 6= 0.
– Una recta si d = 0 y |A| = 0.
86
Ejes principales
• En general, cualquier ecuacion de la forma vtAv = d donde
A es simetrica representa una forma cuadratica.
• Ya que A es simetrica, existe una matriz ortogonal Q tal que
QtAQ = D con D = diag(λ1, . . . , λn), donde λ1, . . . , λn son los
eigenvalores de A.
• Las columnas de Q representan los ejes principales de la
forma cuadratica.
87
Simplificacion de formas cuadraticas
• Notar que si A es una matriz cuadrada diagonal, entonces
vtAv es una forma cuadratica donde solamente aparecen
terminos de la forma aiiv2i , pero no de la forma aijvivj.
• En general, si A es simetrica, entonces puede diagonalizarse
ortogonalmente de manera que QtAQ = D = diag(λ1, . . . , λ2).
• Si se define vQ = Qtv, entonces la ecuacion vtAv = d puede
simplificarse, quedando como vtQDvQ = d.
88
Simplificacion: caso bivariado
• Considerar nuevamente la ecuacion vtAv = d con A =
(a b/2
b/2 c
),
con diagonalizacion ortogonal QtAQ = D = diag(λ1, λ2).
• Q es una matriz de rotacion de la forma Q =
(cosφ − sinφsinφ cosφ
).
• Los ejes principales de la forma cuadratica son e1 = (cosφ, sinφ)t
y e2 = (− sinφ, cosφ)t.
• La forma simplificada de la ecuacion queda entonces como
λ1u21 + λ2u2
2 = d, donde u = Qtv.
89
Ejemplo: caso bivariado
• Considerar la ecuacion 5x2 − 4xy + 5y2 = 1.
• La matriz de coeficientes es A =
(5 −2
−2 5
).
• Diagonalizando ortogonalmente A, de manera que QtAQ = D, obtenemosD = diag(3,7) y
Q =1√2
(1 −11 1
),
correspondiente a una rotacion de φ = 45◦.
• Si se define la transformacion x = (x + y)/√
2, y = (x− y)/√
2, entoncesla ecuacion puede simplificarse como
3x2 + 7y2 = 1.
90
