Álgebra-Exercícios-Forma trigonométrica
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Números complexos – Exercícios – Forma trigonométrica 1) Determine o módulo dos seguintes números complexos: a) z = 4 – i R.: 17 b) z = i 3 1 2 1 + R.: 6 13 ................................................................................................................................................................................................................................................................... 2) Determine o argumento dos complexos a seguir e faça sua representação geométrica: a) z = 2 + 2 3 i R.: 3 π θ = b) z = 4i R.: 2 π θ = ................................................................................................................................................................................................................................................................... 3) Sabendo que i z z z 12 18 ) ( + = + , calcule | z |. R.: 13 ................................................................................................................................................................................................................................................................... 4) Dados os complexos z 1 = 3 + 4i e z 2 = 6 – 8i, determine: a) 2 1 . z z R.: 50 b) | z 1 + z 2 | R.: 97 c) | z 1 – z 2 | R.: 17 3 d) 2 1 z z R.: 2 1 e) 2 2 1 2 1 2 z z z z − + R.: 17 16 ................................................................................................................................................................................................................................................................... 5) Um número complexo tem a forma z = 2 + bi e seu módulo é 8. Calcule ‘b’. R.: b = 15 2 ± ................................................................................................................................................................................................................................................................... 6) Represente na forma trigonométrica os seguintes complexos: a) z = i 4 3 4 − − R.: z = 8(cos 7π/6 + i sen 7π/6) b) z = 8i R.: z = 8(cos π/2 + i sen π/2) c) z = –5 R.: z = 5(cos π + i sen π) d) . 3 1 i − R.: z = 2(cos 5π/3 + i sen 5π/3) ................................................................................................................................................................................................................................................................... 7) Passe para a forma algébrica os complexos: a) ) 3 2 sen 3 2 cos ( 4 π π i z + = R.: z = –2 + 2 i 3 b) z = 2(cos 315° + i sen 315°) R.: z = i 2 2 − c) z = cos 0° + i sen 0° R.: z = 1 ................................................................................................................................................................................................................................................................... 8) Escreva na forma trigonométrica o número complexo: z = i i − + 3 4 8 R.: ) 4 sen 4 (cos 2 2 π π i z + = . ................................................................................................................................................................................................................................................................... 9) Considere os números complexos: z 1 = 4(cos 10° + i sen 10°), z 2 = 2(cos 20° + i sen 20°) e z 3 = cos 15° + i sen 15°. Calcule: a) z 1 .z 2 R.: 8(cos 30° + i sen 30°) b) z 2 .z 3 R.: 2(cos 35° + i sen 35°) c) z 1. z 3 R.: 4(cos 25° + i sen 25°) d) z 1 .z 2 .z 3 R.: 8(cos 45° + i sen 45°) ................................................................................................................................................................................................................................................................... 10) Os números complexos ‘z’ e ‘w’ têm 3 12 5 π π e como argumentos, respectivamente. Ache ‘u’ e ‘v’ reais tais que z.w = u + iv, sabendo | zw | = 10. R.: 2 5 2 5 = − = v e u . ................................................................................................................................................................................................................................................................... 11) Calcule: a) ( ) 8 3 i + − R.: –128+128 3 b) (2i) 7 R.: –128i c) (–1 + 3 i ) 3 R.: 8 ...................................................................................................................................................................................................................................................................
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Números complexos – Exercícios – Forma trigonométrica 1) Determine o módulo dos seguintes números complexos:
a) z = 4 – i R.: 17 b) z = i31
21+ R.:
613
...................................................................................................................................................................................................................................................................
2) Determine o argumento dos complexos a seguir e faça sua representação geométrica:
a) z = 2 + 2 3 i R.: 3πθ = b) z = 4i R.:
2πθ =
...................................................................................................................................................................................................................................................................
3) Sabendo que izzz 1218)( +=+ , calcule | z |. R.: 13 ...................................................................................................................................................................................................................................................................
4) Dados os complexos z1 = 3 + 4i e z2 = 6 – 8i, determine: a) 21. zz R.: 50 b) | z1 + z2 | R.: 97 c) | z1 – z2 | R.: 173
d) 2
1
zz R.:
21 e)
2
21
212zzzz
−+ R.:
1716
...................................................................................................................................................................................................................................................................
5) Um número complexo tem a forma z = 2 + bi e seu módulo é 8. Calcule ‘b’. R.: b = 152±
...................................................................................................................................................................................................................................................................
6) Represente na forma trigonométrica os seguintes complexos: a) z = i434 −− R.: z = 8(cos 7π/6 + i sen 7π/6) b) z = 8i R.: z = 8(cos π/2 + i sen π/2) c) z = –5 R.: z = 5(cos π + i sen π) d) .31 i− R.: z = 2(cos 5π/3 + i sen 5π/3)
...................................................................................................................................................................................................................................................................
7) Passe para a forma algébrica os complexos:
a) )3
2sen3
2cos(4 ππ iz += R.: z = –2 + 2 i3
b) z = 2(cos 315° + i sen 315°) R.: z = i22 − c) z = cos 0° + i sen 0° R.: z = 1 ...................................................................................................................................................................................................................................................................
8) Escreva na forma trigonométrica o número complexo: z = ii
−+
348 R.:
)4
sen4
(cos22 ππ iz += . ...................................................................................................................................................................................................................................................................
9) Considere os números complexos: z1 = 4(cos 10° + i sen 10°), z2 = 2(cos 20° + i sen 20°) e z3 = cos 15° + i sen 15°. Calcule: a) z1.z2 R.: 8(cos 30° + i sen 30°) b) z2.z3 R.: 2(cos 35° + i sen 35°) c) z1.z3 R.: 4(cos 25° + i sen 25°) d) z1.z2.z3 R.: 8(cos 45° + i sen 45°)
...................................................................................................................................................................................................................................................................
10) Os números complexos ‘z’ e ‘w’ têm 312
5 ππ e como argumentos, respectivamente.
Ache ‘u’ e ‘v’ reais tais que z.w = u + iv, sabendo | zw | = 10. R.: 2525 =−= veu . ...................................................................................................................................................................................................................................................................
11) Calcule: a) ( ) 83 i+− R.: –128+128 3 b) (2i)7 R.: –128i c) (–1 + 3 i )3 R.: 8
...................................................................................................................................................................................................................................................................
12) Calcule: a) (1 – i)8 R.: 16 b) (1 – i)– 16 R.: 2561
...................................................................................................................................................................................................................................................................
13) Dado o número complexo z = 1616
cos ππ seni+ , calcule z12. R.: i22
22+−
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14) Sejam os números complexos: z = 2 (cos 3π + i sen
3π ) e w = i3 + i2 + 1.
Ache y = z6 + w6. R.: y = 63. ...................................................................................................................................................................................................................................................................
15) Determine o menor valor de ‘n’ inteiro e positivo para o qual nn iy )322( += seja real e positivo. R.: n = 6.
...................................................................................................................................................................................................................................................................
16) Calcule:
a) 4 16 R.: –2, 2, 2i, –2i b) i322 + R.: ii +−− 3,3 ...................................................................................................................................................................................................................................................................
17) Determine:
a) 9− R.: –3i, 3i b) i− R.: ii22
22,
22
22
+−− ...................................................................................................................................................................................................................................................................
18) Determine as raízes cúbicas de i. R.: iii −+−+ ,21
23,
21
23
...................................................................................................................................................................................................................................................................
19) Calcule as raízes cúbicas de i448 + e represente-as no plano de Argand-Gauss.
R.: )18
25sen18
25(cos2),18
13sen18
13(cos2),18
sen18
(cos2 210ππππππ iziziz +=+=+= .
...................................................................................................................................................................................................................................................................
20) Resolva, no conjunto dos números complexos, as seguintes equações:
a) x4 – 1 = 0 R.: –1, 1, – i, i b) 5x2 – 5i = 0 R.: ii22
22,
22
22
−−+ ...................................................................................................................................................................................................................................................................
21) Resolver em C a equação binômia x4 + 1 = 0 e representar graficamente as soluções.
R.:
−−−+−+= iiiiS22
22,
22
22,
22
22,
22
22 .
...................................................................................................................................................................................................................................................................
22) Resolver em C a equação trinômia x6 – 9x3 + 8 = 0.
R.:
−−+−−−+−= iiiiS 31,31,2,23
21,
23
21,1 .
...................................................................................................................................................................................................................................................................
23) Sendo ‘n’ um número natural, prove que o número complexo i23
21+− é raiz da
equação algébrica x3n + 2 + x + 1 = 0. ...................................................................................................................................................................................................................................................................
24) a) Determine o número complexo ‘z’ tal que iz + 2 z + 1 – i = 0, em que ‘i’ é a unidade imaginária e ‘ z ’ o conjugado de ‘z’. R.: z = –1 – i b) Qual o módulo e o argumento desse complexo? R.: 2|| =z e 4/5πθ = c) Determine a potência de expoente 1004 desse complexo. R.: 5021004 2−=z
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25) Dados os números complexos u = 1 + i e v = 1 – i, calcular u52.v –51. R.: – i + 1 ...................................................................................................................................................................................................................................................................
26) Seja t = 2 + 3i um número complexo. Se A = {z ∈ C | | z – t | ≤ 1} e B = {z ∈ C | z = a + bi e b ≤ 3}. Represente, no plano Argand-Gauss, A ∩ B.
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