Algebra

ADIO E SUBTRAO

CURSO A-PROVAPOSTILA DE MATEMTICALGEBRA

I NOES SOBRE CONJUNTOS

CONJUNTOS E SEUS ELEMENTOS

Os componentes de um conjunto so chamados de elementos. Por exemplo, no conjunto dos nmeros pares menores que 9, os elementos so: 0, 2, 4, 6 e 8. Costuma-se representar um conjunto nomeando seus elementos um a um, colocando-os entre chaves e separando-os por vrgula. Para nomear conjuntos, usamos uma letra maiscula. Exemplos:

a) . Aqui, chamamos de A (com letra maiscula) o conjunto dos nmeros pares menores do que 9.

b) . B representa o conjunto de todos os nmeros pares. As reticncias no final significam que se trata de um conjunto infinito.

c) . C representa o conjunto dos nmeros pares menores que 200.

PERTINNCIA Relao entre elemento e conjuntoSe certo x elemento de um conjunto A, dizemos que x pertence ao conjunto A, e indica-se . Ao contrrio, a notao significa que x no pertence ao conjunto A. Por exemplo, chamando de P o conjunto dos nmeros pares, podemos escrever: 2 ( P ou 3 ( P.SUBCONJUNTO Relao entre conjuntosDados dois conjuntos A e B, dizemos que A subconjunto de B (ou que A est contido em B) quando todo elemento de A tambm elemento de B, e indica-se simbolicamente por .Essa relao tambm pode ser representada por meio do Diagrama de Venn:

SUBCONJUNTO DEFINIDO POR PROPRIEDADE

Quando todos os elementos de um conjunto C, e somente eles, satisfazem a determinada propriedade, podemos descrever o conjunto C especificando essa propriedade.

Por exemplo, sendo A = {2, 3, 4, 5, 6 }, o conjunto B = { 2, 4, 6} o subconjunto de A constitudo pelos elementos de A que so nmeros pares. Ento podemos escrever: B = { / par}

CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS: Comeando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos os elementos do conjunto dos nmeros naturais que indicado pela letra . Como podemos sempre acrescentar mais uma unidade, o conjunto dos nmeros naturais infinito.

IN = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,... }

O conjunto dos nmeros naturais pode ser representado graficamente por meio de pontos de uma reta, chamada reta numrica. Para isso, escolhemos sobre ela um ponto de origem (correspondente ao nmero zero), uma unidade de medida e uma orientao, indicada pela direo da seta (geralmente para a direita). CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS: Chamamos de conjunto dos nmeros inteiros, e indicamos por , o seguinte conjunto:

A representao grfica do conjunto dos inteiros feita a partir da representao de na reta numrica; basta acrescentar os pontos correspondentes aos nmeros negativos.

Todos os elementos de pertencem tambm a , o que equivale a dizer que subconjunto de ou que est contido em , que se indica por: . Representando em diagrama de Venn:

SIMBOLOGIA BSICA:

SMBOLOSIGNIFICADOEXEMPLO

(pertence a; ou elemento de.2 (

(est contido emou subconjunto de.A = {2, 3, 5}, ento

A (

( maior que2 > 1

( menor que1 < 2

/tal que{x / x vogal}

( ou { }conjunto vazio{x ( / x < 0}

OBS.: O corte de um smbolo significa a sua negao:

2 ( (2 no pertence aos Naturais)

B ( (o conjunto B no est contido no conjunto dos nmeros Naturais).EXERCCIOS 011 Qual o conjunto dos nmeros pares maiores que 30 e menores que 3000?

2 Qual o conjunto das consoantes da palavra xuxa?

3 Quantos elementos possui o conjunto {1, 11, 111, 1111}?

4 Qual o conjunto formado pelos algarismos pares do nmero 750931?

5 Descreva o conjunto A = {a, e, i, o, u} atravs de propriedade.

6 Descreva o conjunto B = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

7 Seja o conjunto A = {13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}, determine 3 subconjuntos de A, ou seja, 3 conjuntos que estejam contidos em A.

8 Sabendo que A = {0, 1, 2, ..., 98, 99}, B = {7, 12, 50, 62} e C = {10, 11, 12, ..., 98, 99}, podemos afirmar que:

a) CAb) BC

c) ABd) AC

9 Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}. Enumere os conjuntos abaixo:a) D = {/ x mltiplo de 3}b) E = {/ x 3}c) F = {/ x < 3}d) G = {/ x + 1 = 6}e) J = {/ x < 10}f) H = {/ x < 0}

g) I = {/ 5 < x < 6 }h) J = {/ x primo}EXERCCIOS 021 Qual o conjunto dos nmeros mpares maiores que 49 e menores que 4900?

2 Qual o conjunto das consoantes da palavra coco?

3 Quantos elementos possui o conjunto {3, 33, 333, 3333}?

4 Qual o conjunto formado pelo nmeros pares do nmero 31657?

5 Descreva o conjunto B = {3, 5, 7, 9}

6 Como representado um conjunto vazio?

7 Seja o conjunto A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, determine 3 subconjuntos de A, ou seja, 3 conjuntos que estejam contidos em A.

8 Sabendo que A = {0, 1, 2, ..., 98, 99}, B = {1, 2, 10, 12} e C = {10, 11, 12, ..., 98, 99}, podemos afirmar que:

a) AB

b) BC

c) CA

d) AC

13 Dado o conjunto A = {6, 5, 9, 3}, escreva as seguintes sentenas utilizando smbolos:

a) 9 um elemento do conjunto A

b) 7 no pertence a A

c) 5 elemento de A

d) 4 no elemento de A

14 Considere o conjunto A = {1, 2, 3, ..., 19, 20}:

a) Quais so os elementos pares desse conjunto?

b) Quais so os elementos mltiplos de 3 desse conjunto?

c) Quais so os nmeros primos pertencentes a esse conjunto?

d) Quais so os elementos desse conjunto que esto entre 7 e 17?CLCULO DE EXPRESSES

Para calcular expresses, alm de conhecer a tabuada e saber efetuar as diversas operaes (multiplicao, diviso, potenciao, etc), precisamos conhecer as regras dos sinais e a seqncia das operaes (a ordem correta em que as operaes devem ser efetuadas). Veja a seguir.REGRAS DOS SINAIS

1) Adio algbrica de 2 nmeros com:

Exemplos:

I) Para sinais iguais:

a) (+5) + (+3) = +8b) (8) + (2) = 10

c) +2 + 5 = +7d) 6 7 = 13

II) Para sinais diferentes:

a) +2 + (9) = 7b) +5 2 = + 3

c) 3 + 9 = + 6

ATENO!: se antes do parntesis o sinal for negativo, basta trocar o sinal do nmero dentro do parntesis e efetuar a operao.

Exemplos:

a) 7 (+8) = 7 8 = 1b) 7 (5) = 7 + 5 = 2

2) Multiplicao e diviso de dois nmeros

SHAPE \* MERGEFORMAT

Exemplos:

I) Para sinais iguais:

a) (+5) X (+3) = +15b) (8) (2) = +16

c) (+12) (+5) = + 7d) 6 ( ( 7) = +42

II) Para sinais diferentes:

a) +2 X (9) = 18b) +5 2 = + 3

c) 9 ( (+3) = 3 d) (12) (+5) = 60

Observao: a ausncia de sinal entre dois parntesis indica que a operao de multiplicao: (+2) (9) = (+2) X (9) =+2 X (9)3) Multiplicao de vrios nmeros

Exemplos:

a)

b)

c)

4) Potenciao

Exemplos:

a)

b)

c)

d)

SEQUNCIA DAS OPERAES

Efetuar as potenciaes;1st) Efetuar multiplicaes e divises, na ordem em que aparecem;

2nd) Retirar os parntesis (usar a regra dos sinais da multiplicao para fazer isso);

3rd) Efetuar as adies e subtraes.

Se na expresso houver parntesis, colchetes ou chaves contendo operaes com nmeros, ento devem-se efetuar as operaes na seguinte ordem:

1st) operaes entre parntesis;

2nd) operaes entre colchetes;

3rd) operaes entre chaves;

Exemplo:

Calcule:

Soluo:

EXERCCIOS1. Calcule o valor das expresses:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

2. Efetue as seguintes operaes, simplificando o resultado quando possvel:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s) t)

u)

v) =

w) =

x) =

y) =

z)

aa) =

ab) = 1

EQUAO DO 1 GRAU

A equao do 1 grau uma equao da forma (a ( 0), ou redutvel a essa forma. Por exemplo, e so equaes do 1 grau.

Para resolver uma equao do 1 grau, basta isolar a incgnita. O valor que ento encontramos para x chama-se raiz da equao.

Acompanhe os exemplos:

a) Resolva a equao

.

O nmero 2 a raiz da equao dada.

Observao 1: o smbolo ( l-se: equivalente a.Conjunto soluo ou conjunto verdade o conjunto formado pelas razes de uma equao. No exemplo acima, o conjunto soluo S = {2}.

Observao 2: caso uma equao no tenha raiz, dizemos que o seu conjunto soluo vazio, e indicamos S = (.

b) Resolva a equao

Logo,

c) Resolva a equao

Logo,

d) Resolva a equao

Sempre que houver frao numa equao, devemos multiplicar os dois membros da igualdade pelo mnimo mltiplo comum dos denominadores: .

Repare que chegamos a um absurdo. Isto significa que no existe valor de x que satisfaa a equao dada. Portanto, o conjunto soluo desta equao vazio: S = (.

e) Resolva a equao

Logo,

EXERCCIOS

1. Resolva as equaes:a)

b)

c)

d)

e)

f)

d)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

2. Resolva os seguintes problemas:a) Qual o nmero que adicionado sua quinta parte d 24?b) Qual o nmero que, subtrado 5, igual sua metade mais um?c) A soma da metade e da tera parte de um nmero 10. Qual o nmero?

d) A soma de dois nmeros 14. O dobro do primeiro menos o triplo do segundo 3. Quais so os nmeros?

e) Escreva a frao equivalente a 2/5 cuja soma dos termos seja 273.f) Duzentos reais foram repartidos entre duas pessoas. Se uma delas recebeu setenta reais mais do que a outra, quanto recebeu cada uma?g) Dividiu-se o nmero 135 em duas partes tais que uma delas a quarta parte da outra. Calcule a maior dessas partes.

h) Uma herana foi repartida entre trs herdeiros. O primeiro recebeu 1/3 da herana. O segundo recebeu o dobro do que recebeu o terceiro. Sabendo-se que a herana era de R$ 135.000,00, quanto recebeu cada herdeiro?i) Os cinco sextos de uma quantia valem R$ 540,00. Essa quantia foi repartida entre 3 pessoas. A primeira recebeu 1/3; a segunda, 1/4 e a terceira, o resto. Quanto recebeu cada uma?POTENCIAO

Numa potncia, temos os seguintes elementos:

Para obter o resultado de uma potncia com expoente inteiro, precisamos conhecer as seguintes definies:Potncia com expoente inteiro n maior do que 1 igual ao produto de n fatores iguais base.

an = a ( a ( a ( ... ( apara n > 1

n fatores

Exemplos:a) 22 = 2 ( 2 = 4

b) (2)3 = (2) ( (2) ( (2) = 8

Potncia com expoente 1 igual base. (a1 = a)

Exemplos:a) 21 = 2

b) (2)1 = 2c) 01 = 0

d) x1 = x

Potncia com expoente nulo igual a 1, mas no se define 00.

Exemplos:a) 20 = 1

d)

b) (2)0 = 1

e)

Potncia com expoente inteiro negativo igual ao inverso da base elevado ao mesmo expoente, porm com o sinal positivo.

Exemplos:a)

b)



PROPRIEDADES DA POTNCIAOPara multiplicar potncias de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Exemplos:a) 43 ( 44 = 43+4 = 47b) (2)3 ( (2)2 = (2)3+2 = (2)5

Para dividir potncias de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes (expoente do dividendo menos o expoente do divisor).

Exemplos:a) 53 : 52 = 53 2 = 51b) (2)4 : (2)2 = (2)4 2 = (2)2

Para multiplicar potncias de mesmo expoente, conserva-se o expoente e multiplicam-se as bases.

Exemplos:a) 24 ( 34 = (2 ( 3)4 = 64b) (2) 2 ( (5) 2 ( (3)2 = [ (2) ( (5) ( (3) ]2 = (30)2

Para dividir potncias de mesmo expoente, conserva-se o expoente e dividem-se as bases.

Exemplos:a)

b) (111)4 : (37)4 = [(111) : (37)]4 = 34 = 81

Para se elevar uma potncia a um outro expoente, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Exemplos:a)

b)

c)



EXERCCIOS

1. Calcule as potncias:a) (3)3 b) 33 c) (3)3 d) (3)4

e) 34 f) (3)4 g) (2)0 h) (1)1

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

2. Calcule as potncias, usando as propriedades:a) 32 ( 33 b) 23 ( 2

c) (4) ( (4)2 d) (2)2 ( (2) ( (2)3

e) 24 ( 14 f) 3 ( 4

g) (1)2 ( (+7)2 h) (2)3 ( (4)3 ( (1)3

i) (3)2 ( (3) ( (3)4 j) (x) ( (x)2( (x)3

k) at ( aq( ap l) 26 : 2

3. Calcule as potncias:a) (6)3 b) (6)0 c) (6)1 d) (8)2

e) 00 f) 05 g) (1)10 h) ()0

i) 102 j) 103 k) (10)3 l) (102)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

aa)

4. Calcule as potncias, usando as propriedades:a) (2)2 ( (3)2 ( (1)2 b) (3)4 ( (4)4 ( (+5)4

c) (a)q ( (b)q( (c)q d) (+6)3 : (+2)3

e) 164 : 84 f) 1255 : 255

g) (4)4 : (2)4 h) (12)2 : (+3)2

i) (22)3 j) (82)4

k) (92)3 l) [(5)2]0

m) [(6)4]2 n) [(a)3]2

o)

p)

q) r)

EXPRESSES ALGBRICAS

As expresses algbricas so aquelas que, alm de numerais, tambm contm letras. A expresso um exemplo de expresso aritmtica, pois apresenta operaes matemticas envolvendo apenas nmeros. Por outro lado, a expresso uma expresso algbrica.MONMIO E POLINMIOA expresso algbrica mais simples chama-se monmio, que aquela onde no h operao de adio (ou subtrao). Exemplos de monmios so:a)

b)

c)

d)

e)

f)

Em um monmio temos o coeficiente e a parte literal. A tabela abaixo mostra alguns monmios e as suas duas partes: o coeficiente e a parte literal.MONMIOCOEFICIENTEPARTE LITERAL

1

2

5

Uma expresso que apresenta uma soma algbrica de dois ou mais monmios o que se chama polinmio. Exemplos de polinmios so:a)

b)

Os monmios que compem um polinmio so os termos do polinmio, mas um nmero por si s pode ser um termo de um polinmio, como o caso do nmero +3 no exemplo b acima.GRAU DE UM MONMIO E GRAU DE UM POLINMIOO grau de um monmio a soma dos expoentes das letras que formam a sua parte literal. MONMIOGRAU

1(primeiro)

2(segundo)

3(terceiro)

Na tabela anterior, vemos que um monmio do primeiro grau, j que o expoente de 1, e um monmio do terceiro grau, pois a soma dos expoentes das letras 2 + 1 = 3.

O grau de um polinmio o grau do monmio de maior grau desse polinmio. Na figura abaixo, temos um polinmio do dcimo grau.

CLASSIFICAO DAS EXPRESSES ALGBRICASUma expresso algbrica pode ser irracional ou racional. Ser irracional quando possuir alguma letra sob radical ou alguma letra com expoente racional no inteiro; caso contrrio, ser racional. Exemplos de expresses algbricas irracionais so:

a)

b)

As expresses algbricas racionais, por sua vez, classificam-se em fracionrios ou inteiros. Um polinmio se diz racional fracionrio quando possui alguma letra no denominador ou alguma letra com expoente negativo; caso contrrio, ser racional inteiro. Exemplos de polinmios racionais fracionrios so:

a)

b)

O esquema abaixo resume a classificao das expresses algbricas:

SISTEMAS DO 1 GRAU

Uma equao como chamada equao do 1 grau a duas incgnitas. Um sistema (conjunto de equaes) formado por equaes desse tipo chamado sistema do 1 grau a duas incgnitas. Veja os exemplos:

Resolver um sistema como ou encontrar um par ordenado (x; y) onde o valor de x e o valor de y satisfaam as duas equaes simultaneamente.

No sistema , por exemplo, o par ordenado (2; 1) soluo, pois para e ambas as equaes ficam satisfeitas:

Os mtodos usuais de resoluo de um sistema do 1 grau so o da adio e o da substituio. Veja um exemplo de cada.Mtodo da adioVamos resolver o sistema:

Inicialmente, multiplicamos as equaes por nmeros escolhidos de forma que, em ambas, os coeficientes de x (ou os de y) fiquem opostos. No caso, vamos multiplicar a equao por 3 e a equao por 2:

Em seguida, somamos membro a membro as novas equaes:

Portanto a soluo desse sistema o par ordenado (2; 1), e seu conjunto soluo .

Mtodo da SUBSTITUIOVamos resolver o sistema:

Esse mtodo consiste em isolar uma das incgnitas em uma das equaes e substituir na outra:

Isolando y em (I):

Substituindo em (II):

Represente com a letra x as quantidades desconhecidas abaixo:

a) A quantidade de livros de Marcos.

b) O triplo da quantidade de livros de Marcos.

c) A idade atual de Eduardo.

d) A idade de Pedro daqui a 8 anos.

e) A metade da idade de Pedro.

f) A metade da idade de Pedro daqui a 8 anos.

Represente com a letra X as quantidades desconhecidas abaixo:

a) A idade do Oscar Vieira.

b) O triplo da idade do Oscar Vieira.

c) A tera parte da idade do Oscar Vieira daqui a 6 anos.

d) O dobro de um nmero.

e) O dobro de um nmero, mais um.

f) O dobro de um nmero, menos um.

g) O dobro de um nmero mais um.

h) O dobro de um nmero menos um.

Escreva por extenso o significado das expresses abaixo:

a) o triplo de um nmero menos 2; ou a diferena entre o triplo de um nmero e 2.b) o metade de um nmero acrescida de 5 unidades; ou 5 unidades adicionadas metade de um nmero.c) o quadrado de um nmero, menos 1 unidade; ou a diferena entre o quadrado de um nmero e 1.d) o cubo de um nmero, mais 6 unidades; ou a soma do cubo de um nmero com 6e) CUIDADO! o quadrado de um nmero menos 1; ou o quadrado da diferena entre um nmero e 1.f) CUIDADO! o cubo de um nmero mais 6; ou o cubo da soma um nmero com 6g) o triplo do quadrado de um nmero.

o dobro do cubo de um nmero.A

Diagrama de Venn

B

unidade

SINAIS IGUAIS: somamos e mantemos o sinal.

SINAIS DIFERENTES: subtramos e mantemos o sinal do nmero de maior valor absoluto.

SINAIS IGUAIS, resultado POSITIVO

SINAIS DIFERENTES, resultado NEGATIVO

Contam-se os fatores negativos. Se esse n for PAR, o resultado ser POSITIVO e se for MPAR, o resultado ser NEGATIVO e, em seguida, multiplicam-se os valores absolutos.

Expoente PAR, resultado POSITIVO.

Expoente MPAR, resultado com o MESMO SINAL DA BASE.

ATENO!: EMBED Equation.DSMT4 . Compare:

(2)4 = (2) ( (2) ( (2) ( (2) = +16

24 = (2) ( (2) ( (2) ( (2) = (16) = 16

ATENO!: EMBED Equation.DSMT4 . Compare:

EMBED Equation.DSMT4





+


Obtemos, ento:


Levando esse valor em (I), vem:



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