POLO SANTANA DO IPANEMA

RENIVAN SANTOS VIEIRA

Exercício Semana 5

6.1. Mostre que, qualquer que seja o inteiro n maior que 1, os pares de inteiros abaixo

são primos entre si.

a) 2.n+1 e 3.n+1

mdc(2n+1, 3n+1), o quociente é 1 e o resto é n.

mdc(3n+1-1(2n+1),2n+1-2n)=( 3n+1-2n-1,1) =(n,1) = 1

b) n e n²+1

mdc(n,n²+1) = mdc(n²+1,n) = (n,(n²+1)-n.n) = (n,(n²+1-n²) = (n,1) = ((n²+1)-n.n) = 1) =

(1,n-n.1) = (n-n.1) = 0 = (1,0) = 1

Portanto, n e n²+1 são primos entre si, qualquer que seja o inteiro n.

6.2Mostre que 361 e 160 são primo entre si e encontre os inteiros t e u tais que

361t+160u = 1

361/ 160 = 2 e resta 41

160/41 = 3 e resta 37

41/37 = 1 e reta 4

37/4 = 9 e resta 1

4/1 = 4 e resta 0

mdc(361,160) =1

Usando o algoritmo de trás para frente:

1 = 37-9.4

4 = 41-1.37

37 = 160-3.41

41 = 361-2.160

Aplicando as somas sucessivas, temos:

1 = 37- 9.4 = 37-9.(41- 37.1) = - 9.41+ 10.37 = - 9.41+10.(160- 41.3) =

= 10.160 – 39.41 = 10.160-39.(361-160.2) = -39.361+ 88.160

361.(-39)+160.(88) = 1

t = -39 e u = 88