Albertolima b

PLANEJAMENTO DE TRANSPORTE

1. Modelo de Transportes

1.1 Representação da Oferta de Transporte

1.2 Modelagem da Demanda por Transporte

1.2.1 1a Etapa: processo de geração de viagens

1.2.2 2ª Etapa: distribuição das viagens geradas

1.2.3 3ª Etapa: divisão modal das viagens

1.2.4 4ª Etapa: alocação das viagens

1. Modelo de Transportes

O Modelo de Transportes envolve a representação da oferta de transporte e um

processo para a modelagem de demanda. Este último costuma ser tratado em quatro

etapas, ou estágios:

� geração de viagens ou da demanda;

� distribuição de viagens ou da demanda;

� divisão ou escolha modal;

� alocação de viagens

Nestes estágios são usadas várias equações e processos de cálculo os quais, em face

do elevado número de variáveis utilizadas e da complexidade das redes de transporte

urbano, exigem a utilização de ferramentas computacionais.

1.1. Representação da oferta de transporte

A representação da oferta de transporte é feita através de um modelo, conhecido como

rede de simulação ou rede básica de transporte e é composta dos elementos básicos

detalhados a seguir:

− ligação : corresponde a uma entidade geográfica representada por uma linha ou

curva a qual corresponde ao segmento que é utilizado por um modo de transporte

(auto, ônibus, trem,..) para a união entre dois pontos na área de estudo. Cada

ligação contém informações como tipo da infra-estrutura, extensão, velocidade ou

tempo de percurso, e capacidade, podendo também serem codificadas outras

informações, dependendo dos objetivos do estudo.

− nós : corresponde a uma interseção de ligações ou a um ponto representativo de

início de uma ligação isolada. Pode representar um cruzamento de vias ou um ponto

de transferência.

− zona de tráfego : corresponde a uma área definida por um perímetro traçado de

modo a representar uma porção do território da área estudada que reúna algumas

características de homogeneidade quanto às características fisiográficas, de uso e

ocupação do solo e de perfil socio-econômico da população residente, de tal forma a

condicionar características, também, homogêneas de comportamento de

deslocamentos.

A divisão da área de estudo em zonas deve tentar identificar regiões que

apresentem características homogêneas em relação à demanda por transporte e

acessibilidade aos serviços de transporte privado ou público. A desagregação maior

ou menor depende da precisão requerida para representar adequadamente as

interações importantes e obter resultados com a qualidade pretendida em cada parte

da área de estudo.

Há que se observar, também, que o zoneamento de tráfego está intimamente ligado

às informações de demanda, ou seja, aos fluxos de viagens entre as mesmas.

Nesta situação, é necessário analisar se é possível obter os dados referentes à

demanda no nível de desagregação que se pretende e com que confiabilidade e

precisão eles de apresentarão.

A capacidade de análise e os recursos de computação também deverão ser

considerados como limites práticos ao número de zonas a ser considerado.

− centróide : é um nó com característica especial, localizado no baricentro estimado da

zona de tráfego (tendo como parâmetro a densidade populacional), o qual

representa a zona de tráfego. Isto quer dizer que toda a demanda de viagens da

zona de tráfego origina-se ou destina-se a este nó.

− acesso : é um tipo especial de ligação que une o centróide a um nó da rede de

transporte. Esta é a única ligação onde ocorrem fluxos representando os

deslocamentos originados ou destinados à zona de tráfego, ou seja, do seu

centróide. A sua representação exige o conhecimento das características físicas

da zona de tráfego para a melhor representação da conexão desta com a rede de

transportes. Por exemplo, não se representa uma conexão sobre rios, morros,

rodovias, ferrovias etc., a não ser que haja uma ligação efetiva de transposição como

pontes, túneis e viadutos.

− rotas : correspondem a uma seqüência de ligações que são utilizadas pelos veículos

de um determinado modo de transporte coletivo para estabelecer a união entre dois

nós da rede de transporte. Para a representação das rotas, portanto, é necessário

que a intra-estrutura esteja previamente representada, por exemplo, a rede viária

(composta por um conjunto de ligações e nós como visto anteriormente) por onde

passam as rotas de transporte sobre pneus, a rede ferroviária por onde passam as

rotas sobre trilhos ou a rede hidroviária por onde passam as hidrovias. Tais rotas

devem conter informações sobre freqüência, tipo de veículo que a utiliza,

capacidades, tarifa e condições de transbordo (tempos médios e tarifa para acesso).

O nível de detalhamento da rede depende, também, dos objetivos do estudo. Os

planos de natureza estratégica, como costumam ser os Planos Diretores de

Transporte, normalmente identificam os grandes movimentos da população e,

conseqüentemente, tornam interessante, a representação do sistema viário principal

de uma cidade ou região e os seus principais corredores de transporte público.

Devido às facilidades computacionais que evoluem a cada dia, tem-se aumentado o

nível de detalhes da representação das ligações, porém esta prática, nem sempre se

traduz em mais precisão nos resultados, pois são muitos e diversos os fatores que

influem nos deslocamentos das pessoas, como se verá no decorrer deste curso.

1.2 Modelagem da Demanda

A demanda de transporte é definida pela realização de um desejo ou de uma

necessidade de deslocamento de uma pessoa de um determinado ponto (origem) a

outro (destino) devido a um motivo específico. Assim, a demanda de transporte é

dada por uma origem, um destino e a quantidade de pessoas que desejam se deslocar

entre esses dois pontos.

A representação dos dados quantitativos da demanda é feita através de matrizes

contendo alguma medida da intensidade da demanda por deslocamentos entre zonas

de tráfego. A sua determinação é feita no que chamamos de modelo de 4 etapas

que serão a seguir detalhadas.

1.2.1 1a Etapa: processo de geração de viagens

É na primeira etapa (geração da demanda ou de viagens) que se define a demanda

total por transportes de cada zona de tráfego em função de seu potencial como pólo

produtor ou atrator de deslocamentos.

Isto é realizado através da determinação de várias equações que estabelecem

correlações entre o total de viagens geradas em uma zona e as variáveis sócio-

econômicas e de uso do solo nela presentes, tanto no aspecto de produção, como de

consumo ou atração de viagens.

Para tanto, há que se ter uma base de dados confiável sobre a qual será determinado

o modelo de geração obtida de uma pesquisa domiciliar origem e destino de viagens.

A pesquisa domiciliar origem e destino fornece dados sobre as características do

domicílio, das pessoas e dos deslocamentos realizados pelos seus moradores.

Dos domicílios tem-se:

� Zona de tráfego;

� Características físicas do imóvel: quantidade de cômodos, tipo de construção;

� Indicadores de conforto: posse de auto, posse de eletrodomésticos, consumo de

energia, ligação de esgoto etc;

� Quantidade de famílias;

� Quantidade de moradores por família.

Das pessoas tem-se:

� Idade e Gênero;

� Posição: chefe, cônjuge, filho, agregado;

� Grau de instrução;

� Ocupação e endereço da ocupação;

� Renda.

Dos deslocamentos tem-se:

� Quem realiza a viagem;

� Horário de saída;

� Endereço de origem;

� Motivo na origem;

� Horário de chegada;

� Endereço de destino;

� Motivo no destino;

� Modo de transporte utilizado;

A partir desta base de dados é possível construir o modelo de geração e os métodos

comumente utilizados são o de análise de regressão linear múltipla e o de análise de

categorias.

− regressão linear múltipla : é uma técnica que procura estabelecer uma relação

linear entre um conjunto de variáveis explicativas (denominadas independentes –

variáveis sócio-econômicas) e uma variável que se pretende explicar (denominada

dependente), no caso a produção ou a atração de demanda por zona;

− análise de categorias : é um método onde há a agregação dos usuários de

transporte em grupos bem definidos (categorias). Como exemplo, pode-se definir

categorias através da combinação de um critério de renda, com outro de quantidade

de moradores e com viagens de base domiciliar e não-domiciliar. A partir da

desagregação efetuada, obtém-se, dos dados levantados nas pesquisas, a

quantidade de viagens geradas em cada categoria, determinando-se taxas de

geração por família.

Exemplo de aplicação: análise de categorias para determinação da produção de

viagens por zona de tráfego.

Determinação das categorias de viagens:

� Viagens com base domiciliar motivo trabalho - BDT: todas as viagens que

tenha uma das pernas com motivo domicílio e a outra com motivo trabalho;

� Viagens com base domiciliar motivo escola – BDE: todas as viagens que

tenha uma das pernas com motivo domicílio e a outra com motivo estudo;

� Viagens com base domiciliar motivo outros – BDO: todas as viagens que

tenha uma das pernas com motivo domicílio e a outra com motivo outros

(negócio, lazer, saúde etc.);

� Viagens com base não-domiciliar – BND: todas as viagens que não tenha o

motivo residência em nenhuma das pernas.

� Determinação das categorias de famílias:

� Tamanho de família: classificação das famílias segundo a quantidade de

moradores (1, 2, 3, ..... moradores). A quantidade de moradores influi na

quantidade de viagens geradas pela família;

� Renda da família: classificação das famílias segundo a renda média familiar

ou algum critério, por exemplo, da ABIPEME que estratifica as famílias de

acordo com a posse de itens como automóvel, utensílios domésticos e o grau

de instrução do chefe.

ITENS DE POSSE Não Tem 1 2 3 4 5 Mais de 6

Automóvel 0 4 7 9 9 9 9

Televisor em cores 0 1 2 3 4 4 4

Banheiro 0 4 5 6 7 7 7

Empregada mensalista 0 3 4 4 4 4 4

Rádio (excluindo do carro) 0 1 2 3 4 4 4

Máquinas de lavar roupa 0 2 2 2 2 2 2

Videocassete 0 2 2 2 2 2 2

Aspirador de pó 0 0 0 0 0 0 0

Geladeira comum ou com freezer 0 4 4 4 4 4 7

Freezer 0 2 2 2 2 2 2

Grau de Instrução do Chefe de Família Pontuação

1º grau incompleto 0

1º grau completo 1

2º grau completo 2

Superior incompleto 4

Superior completo 8

CLASSES CRITÉRIO Abipeme

A 46

B 34

C 22

D 13

E 7

Tabulando-se os domicílios por categoria de renda e por quantidade de moradores, de

uma determinada pesquisa origem e destino obteve-se os dados como representados

na Tabela 1.2.1.

Tabela 1.2.1 – Domicílios por categoria de renda e tamanho da família

Moradores Classe de renda Total A,B C D,E

1 5.045 12.098 15.268 32.411

2 14.003 50.152 26.442 90.596

3 23.804 80.496 21.208 125.509

4 23.286 74.899 14.349 112.535

5+ 16.568 53.714 17.975 88.257

Total geral 82.706 271.359 95.242 449.307

Tabulando-se, a seguir, a quantidade de viagens geradas pelas mesmas categorias de

renda e tamanho de família, das viagens motorizadas e de base domiciliar (BDT, BDE,

BDO), têm-se os dados conforme representados na Tabela 1.2.2. Tabela 1.2.2 – Viagens motorizadas por categoria de renda e tamanho de família

Moradores Classe de renda Total A B C D E

1 5.039 7.197 3.930 16.165

2 29.084 42.016 11.771 82.871

3 68.958 101.638 12.130 182.725

4 82.383 114.805 14.623 211.811

5+ 78.242 88.732 14.215 181.188

Total geral 263.705 354.387 56.669 674.761

A quantidade motorizada de viagens produzidas por cada domicílio de uma categoria

de renda e com determinado número de moradores é obtida dividindo-se o total de

viagens pelo total de domicílios da respectiva categoria. A Tabela 1.2.3 representa os

dados calculados.

Tabela 1.2.3 – Taxa de viagens motorizadas por domicílio

Moradores Classe de renda

Total A,B C D,E

1 1,00 0,59 0,26 0,50

2 2,08 0,84 0,45 0,91

3 2,90 1,26 0,57 1,46

4 3,54 1,53 1,02 1,88

5+ 4,72 1,65 0,79 2,05

Total geral 3,19 1,31 0,59 1,50

Os resultados indicam que um domicílio com um morador da classe de renda A,B produz, em

média, 1 viagem motorizada por dia, enquanto que, um domicílio de um morador da classe de

renda D,E produz apenas 0,26 viagens motorizadas por dia.

Observe-se que na medida em que aumenta a quantidade de moradores aumentam-se

as taxas de viagens produzidas por dia. Enquanto que, na medida em que decresce a

renda, decresce a taxa de viagens produzidas por dia. A taxa geral obtida foi de 1,50

viagens/dia motorizada por cada domicílio da área pesquisada.

Os resultados obtidos nem sempre são consistentes, pois dependem do tamanho da

amostra dos domicílios e da qualidade da pesquisa efetuada. No exemplo mostrado,

nota-se que apenas uma categoria não obedeceu à lógica mostrada pelos resultados,

ou seja, a categoria de classe de renda C com 4 moradores que produz 1,02

viagens/dia, mais viagens do que com 5 ou mais moradores, com 0,79 viagens/dia.

Neste caso, busca-se analisar os dados verificando se não houve algum erro de

transcrição ou, em não se observando esta hipótese, efetuar agregações, por exemplo,

juntando-se os domicílios de 4 moradores com as de 5 ou mais moradores.

Como o modelo resultante deverá ser posteriormente testado para validação dos

resultados, pode-se assumir um valor intermediário como, por exemplo, a média entre

os dois valores vizinhos neste caso (0,57+0,79)/2=0,68. Há que se observar que nas

tabulações acima não entraram as viagens de base não domiciliar, ou seja, as que não

estão relacionadas diretamente com os domicílios. Estas serão modeladas através de

regressão, conforme se verá a seguir.

− Regressão linear múltipla: para determinação da atração de viagens por zona de

tráfego.

A Tabela 1.2.4 a seguir mostra os dados obtidos de uma pesquisa origem destino,

mostrando as viagens por categoria atraídas pelas zonas de tráfego e os dados de

população, emprego e matrículas em um determinado ano-base.

Tabela 1.2.4 – Dados de viagens atraídas, população, emprego e matrícula por zona de tráfego.

Região BDT BDE BDO BND Total geral População Empregos Matriculas

1 55.750 6.789 37.696 5.763 105.999 12.847 30.513 5.252 2 26.008 9.690 21.409 4.596 61.703 35.058 14.517 13.311 3 26.423 12.820 13.451 5.800 58.494 14.062 19.795 15.308 4 19.102 5.900 12.085 2.076 39.163 39.928 5.433 8.836 5 26.853 13.003 15.357 5.354 60.567 33.401 14.378 12.282 6 22.405 5.605 14.031 2.708 44.749 33.186 16.287 8.872 7 22.465 6.345 10.839 3.857 43.506 24.233 26.841 9.505 8 29.876 20.967 18.000 5.083 73.926 41.413 18.805 23.466 9 10.372 4.568 5.131 1.686 21.756 15.728 6.235 4.893 10 47.362 20.026 22.532 5.992 95.913 64.915 32.065 21.760 11 18.312 9.841 8.557 2.610 39.319 45.416 11.499 11.887 12 19.173 9.252 10.618 524 39.567 47.020 12.132 13.402 13 19.307 4.634 10.286 1.515 35.743 37.425 15.605 6.695 14 24.157 6.925 13.304 1.406 45.791 62.599 12.833 10.687 15 12.667 3.884 8.103 526 25.179 33.222 7.188 8.842 16 14.894 7.087 11.196 1.007 34.184 71.514 8.630 12.025 17 6.642 3.609 2.629 100 12.980 20.843 3.849 3.950 18 9.657 2.374 5.069 320 17.421 33.380 6.192 8.545 19 24.593 11.495 18.854 2.379 57.320 33.542 18.006 20.065 20 5.574 2.280 6.013 159 14.026 19.435 2.656 3.331 21 17.658 3.261 8.498 2.301 31.718 28.858 13.427 8.670 22 7.004 2.321 3.135 574 13.033 19.988 4.776 5.158 23 10.219 3.738 5.273 663 19.893 44.803 4.048 11.048 24 9.737 4.405 4.871 914 19.927 40.795 6.559 9.703 25 3.707 1.352 2.187 459 7.705 11.883 2.828 3.615 26 4.496 41 458 471 5.465 - 9.017 119 27 21.373 7.768 10.104 1.881 41.127 24.001 14.435 5.108 28 10.151 4.006 5.935 1.084 21.176 12.669 6.170 5.711 29 10.514 3.160 6.853 917 21.444 38.208 7.462 7.025 30 22.897 5.419 7.585 2.410 38.311 32.057 17.405 11.106 31 19.976 6.163 5.777 669 32.585 54.830 7.659 14.174 32 19.579 7.997 10.318 2.482 40.376 32.961 8.990 11.161 33 5.465 2.073 1.515 148 9.200 20.175 2.229 3.817 34 12.408 7.195 6.245 1.735 27.583 47.136 8.253 13.726 35 13.258 3.378 3.995 67 20.698 47.108 4.874 9.848 36 8.323 1.404 5.112 692 15.530 22.746 5.962 5.756 37 10.236 3.587 5.203 297 19.323 39.189 5.827 7.992 38 791 270 595 14 1.669 3.665 814 798

Total geral 649.380 234.631 358.818 71.237 1.314.066 1.240.239 414.190 357.449

As regressões múltiplas baseiam-se na determinação dos coeficientes associados às

variáveis dependentes de uma função do tipo:

nnii vvvy ×++×+×= ααα ...221 (1.2.1)

Onde: iy = variável dependente da categoria i que se quer calcular, por exemplo, BDT

nααα ,..,, 21 = coeficiente a ser determinado

nvvv ,....,, 21 = variáveis explicativas independentes

São testadas regressões múltiplas com variáveis para a seleção daquelas que melhor

explicam cada categoria.

Por exemplo, as viagens BDT (Base Domiciliar Trabalho) são dependentes da

quantidade de empregos e da população. O teste feito com estas duas variáveis

apresentou o seguinte resultado:

BDTy = 0,0973*população + 1,283*emprego > A correlação apresentou um R2 = 0,84

Da mesma forma para as viagens BDE (Base Domiciliar Estudo) o teste apresentou o

seguinte resultado:

BDEy = -0,069*população + 0,903*matrícula > R2 = 0,786

Para as viagens BDO (Base Domiciliar Outros) o teste apresentou o seguinte

resultado:

BDOy = 0,035*população + 0,763 empregos > R2 = 0,69

Finalmente, com referência as viagens não domiciliares (BND), a variável que

apresentou uma correlação razoável foi a quantidade de empregos, com a seguinte

relação:

BNDy = 0,181*Empregos > R2 = 0,71

O modelo assim determinado poderá ser utilizado para as projeções das viagens

atraídas com base nas projeções de população, emprego e matrícula para cada zona

de tráfego do estudo.

Fonte: Metrô-Pesquisa OD/67/77/87/97 e Aferição da OD/2002

¹ Índice de Mobilidade Total: Número de viagens totais por habitante

² Índice de Mobilidade Motorizada: Número de Viagens motorizadas por habitante

³ Taxa de Motorização: Número de automóveis particulares por 1.000 habitantes

DADOS GLOBAIS REGIÃO METROPOLITANA DE SÃO PAULO

Variáveis 1967 1977 1987 1997 2002

População (milhares de habitantes)

7.097 10.273 14.248 16.792 18.345

Total de Viagens (milhares/dia)

- 21.399 29.400 31.432 38.660

Viagens Motorizadas (milhares/dia)

7.187 15.999 18.750 20.619 24.466

Frota de Autos (milhares) 493 1.384 2.014 3.092 3.099

Índice de Mobilidade Total¹

2.08 2.06 1.87 2.11

Índice de Mobilidade Motorizada²

1.01 1.56 1.32 1.23 1.33

Taxa de Motorização³ 70 135 141 184 169

Empregos (milhares) - 3.960 5.647 6.959 7.983

Matrículas (milhares) 1.088 2.523 3.676 5.011 5.448

GRÁFICOS DE CORRELAÇÃO

120 ‘

90 . . . . . .

60 . . . . . . .

30 . . . +

0 50 100 150 + +

+

+ + +

+

++ +

++

+

Mil Viagens geradas

Densidade populacional (hab/ha)

.

. .‘. ...

. .. . . Viagens produzidas

Número de carros

Viagens atraídas

Densidade de matrículas

+

+ ++

+ +

+ ++ +

+ +

+ ++

+ ++

+ +

1.2.2 2a Etapa: Distribuição das Viagens Geradas

Uma vez conhecidas as quantidades de viagens produzidas ou atraídas de cada zona

de tráfego (totais das colunas e linhas da matriz de viagens) realiza-se sua distribuição,

já no segundo estágio, que corresponde à estimativa da intensidade do intercâmbio

existente entre cada par de zonas.

Os modelos adotados utilizam as estimativas de produção e atração por zona de

tráfego e algum tipo de informação sobre a estrutura da distribuição de demanda. No

caso de estudos baseados em pesquisas de origem e destino, utilizam-se os próprios

dados expandidos como referência para a determinação do modelo.

A idéia básica dos procedimentos incorporados nesses modelos é a de que a demanda

produzida em cada zona é "distribuída" entre as zonas atratoras. Esta etapa pode

ser associada à escolha do destino, realizada em função do potencial atrator de cada

possível zona de destino.

P=300A=700

P=500A=250

P=550A=400

100

300

150200400

200

P=300A=700

P=500A=250

P=550A=400

100

300

150200400

200

Existem duas classes mais utilizadas de modelos de distribuição, diferenciadas em

função do tipo de informação sobre a estrutura da interação entre as zonas: modelos

de fator de crescimento (ou de expansão) e modelos gravitacionais.

− modelos de fator de crescimento : usam uma matriz atual (ou de um período

anterior) como base para realizar a projeção da distribuição da demanda. Esta matriz

é corrigida utilizando-se fatores de crescimento baseados na evolução estimada das

produções e atrações em cada zona, da situação base para o ano-horizonte. Nesses

casos, a estrutura da matriz base influencia decisivamente na solução final.

− modelos gravitacionais : baseiam a estrutura da matriz de distribuição de demanda

projetada, em informações sobre a oferta de transportes prevista. Esta é descrita, em

geral, em termos dos tempos ou custos associados ao deslocamento entre cada par

de zonas. É comum se adotar uma combinação destes fatores, denominada

genericamente de impedância ou custo generalizado.

1.2.2.1 Modelo de Fator de Crescimento

Aplicado em projeções de curto prazo, quando não se prevê mudanças significativas

na rede de transportes, pois ela reproduz um padrão de distribuição de viagens de um

determinado ano-base. Existem vários métodos que podem ser aplicados:

� Fator de crescimento uniforme : aplica-se um fator único de crescimento às células

da matriz, conforme mostra a equação a seguir:

ijijij tgT ×= (1.2.1)

Onde: ijT = a estimativa do fluxo da zona i para a zona j ijg = fator de expansão

ijt = o fluxo original do ano base

Exemplo 1.1.1 – Fator de crescimento uniforme ijg = 20% para todo i e j

Matriz ano-base 1 2 3 4 5 P

1 200.000 100.000 15.000 3.500 11.000 329.500

Viagens produzidas

2 99.000 230.000 63.000 18.000 49.000 459.000

3 13.000 56.000 106.000 5.000 4.000 184.000

4 3.500 30.000 2.500 225.000 7.000 268.000

5 10.000 46.000 4.200 3.000 143.000 206.200

A 325.500 462.000 190.700 254.500 214.000 1.446.700

Viagens atraídas

1 2 3 4 5 P

1 240.000 120.000 18.000 4.200 13.200 395.400

2 118.800 276.000 75.600 21.600 58.800 550.800

3 15.600 67.200 127.200 6.000 4.800 220.800

4 4.200 36.000 3.000 270.000 8.400 321.600

5 12.000 55.200 5.040 3.600 171.600 247.440

A 390.600 554.400 228.840 305.400 256.800 1.736.040

� Fator de crescimento com restrição simples na produ ção ou na atração:

aplicam-se taxas de tal maneira que a soma das viagens de uma linha (ou coluna)

seja igual à produção (atração) projetada. Para se obter os valores de cada célula a

equação a seguir se refere à situação de restrição na produção de viagens:

ij

zonasastodasiz

iij t

t

PT ×

=∑

..

Onde: ijT = a estimativa do fluxo da zona i para a zona j

iP = a produção estimada para a zona i

izt = o fluxo original do ano base

Assim, as viagens produzidas por cada zona são iguais ao total estimado para cada

zona, conforme mostra o Exemplo a seguir.

Matriz ano-base

1 2 3 4 5 P

1 200.000 100.000 15.000 3.500 11.000 329.500

2 99.000 230.000 63.000 18.000 49.000 459.000

3 13.000 56.000 106.000 5.000 4.000 184.000

4 3.500 30.000 2.500 225.000 7.000 268.000

5 10.000 46.000 4.200 3.000 143.000 206.200

A 325.500 462.000 190.700 254.500 214.000 1.446.700

Restrição pela Produção

1 2 3 4 5 P estimada

1 220.000 110.000 16.500 3.850 12.100 362.450

2 113.850 264.500 72.450 20.700 56.350 527.850

3 13.650 58.800 111.300 5.250 4.200 193.200

4 4.200 36.000 3.000 270.000 8.400 321.600

5 11.000 50.600 4.620 3.300 157.300 226.820

A 362.700 519.900 207.870 303.100 238.350 1.631.920

Processo análogo é aplicado quando se tem a estimativa da atração de viagens.

� Fator de crescimento com restrição dupla na produçã o e na atração - Fratar:

aplicam-se taxas de tal maneira que a somas das viagens de uma linha e de uma

coluna sejam iguais à produção e atração projetadas. Para se obter os valores de

cada célula, aplica-se o modelo Fratar de balanceamento, cuja meta é resolver a

seguinte equação:

jiijij batT ××=

Sujeita às seguintes restrições: ij

ij PT =∑ ji

ij AT =∑ , onde:

ijT = fluxo estimado produzido pela zona i e atraída pela zona j

ijt = fluxo do ano-base produzido pela zona i e atraída pela zona j

ia = fator de balanceamento para a linha i

jb = fator de balanceamento para a coluna j

iP = número de viagens produzidas pela zona i

jA = número de viagens atraídas pela zona j

A solução deste problema é por processo de convergência feito iterativamente. Cada

iteração consiste em balancear as linhas para chegar aos valores de iP ’s e depois as

colunas para chegar aos valores de jA ’s. Este processo se repete até que um critério

de convergência é satisfeita ou até que um número máximo de iterações seja atingido.

Exemplo 1.1.3 - Fratar

Matriz ano-base 1 2 3 4 5 P P estimada 1 200.000 100.000 15.000 3.500 11.000 329.500 362.450 2 99.000 230.000 63.000 18.000 49.000 459.000 527.850 3 13.000 56.000 106.000 5.000 4.000 184.000 193.200 4 3.500 30.000 2.500 225.000 7.000 268.000 321.600 5 10.000 46.000 4.200 3.000 143.000 206.200 226.820 A 325.500 462.000 190.700 254.500 214.000 1.446.700

A estimada 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920

1ª Iteração

1 2 3 4 5 P P estimada Diferença

1 220.000 110.000 16.500 3.850 12.100 362.450 362.450 0

2 113.850 264.500 72.450 20.700 56.350 527.850 527.850 0

3 13.650 58.800 111.300 5.250 4.200 193.200 193.200 0

4 4.200 36.000 3.000 270.000 8.400 321.600 321.600 0

5 11.000 50.600 4.620 3.300 157.300 226.820 226.820 0

A 362.700 519.900 207.870 303.100 238.350 1.631.920 0

A estimada 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920

Diferença -34 41.648 -6.985 -19.541 -15.088

2ª Iteração


1 219.980 118.812 15.946 3.602 11.334 369.673 362.450 7.223

2 113.839 285.688 70.015 19.365 52.783 541.692 527.850 13.842

3 13.649 63.510 107.560 4.912 3.934 193.565 193.200 365

4 4.200 38.884 2.899 252.593 7.868 306.444 321.600 -15.156

5 10.999 54.653 4.465 3.087 147.342 220.547 226.820 -6.273

A 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920

A estimada 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920

Diferença 0 0 0 0 0

3ª Iteração


1 215.682 116.490 15.634 3.531 11.113 362.450 362.450 0

2 110.931 278.388 68.226 18.871 51.434 527.850 527.850 0

3 13.623 63.391 107.357 4.902 3.927 193.200 193.200 0

4 4.407 40.807 3.043 265.086 8.257 321.600 321.600 0

5 11.312 56.208 4.592 3.175 151.533 226.820 226.820 0

A 355.954 555.284 198.852 295.565 226.264 1.631.920 0

A estimada 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920

Diferença 6.712 6.263 2.033 -12.006 -3.002

4ª Iteração


1 219.749 117.804 15.794 3.388 10.965 367.700 362.450 5.250

2 113.022 281.528 68.924 18.104 50.752 532.330 527.850 4.480

3 13.880 64.106 108.455 4.703 3.875 195.018 193.200 1.818

4 4.490 41.267 3.074 254.318 8.148 311.297 321.600 -10.303

5 11.525 56.842 4.639 3.046 149.523 225.574 226.820 -1.246

A 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920

A estimada 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920

Diferença 0 0 0 0 0

1.2.2.2 Modelo Gravitacional

O modelo de gravidade é do tipo analógico pois se baseia, por analogia, na lei

gravitacional de Newton e é o mais utilizado na distribuição.

Suponhamos duas zonas de tráfego i e j, cuja distância de percurso entre os centróides

é ijd .

i=29 e j=18 ijd = distância entre 29 e 18

As viagens geradas pela zona i e com destino a j podem ser assim explicadas:

> A taxa de produção de viagens na zona i é proporcional à sua “massa”, no caso

medida através de variáveis explicativas da produção, conforme visto anteriormente:

domicílio, renda etc.;

> A taxa de atração de viagens da zona j deve ser também proporcional à sua “massa”,

no caso medida através de variáveis como emprego, matrícula e população, conforme

visto anteriormente;

> Admite-se, também, que a atração recíproca das duas zonas tende a se enfraquecer

com o afastamento entre elas. Sendo ijd a distância de percurso entre i e j, podemos

admitir que o número de viagens entre as duas zonas seja inversamente proporcional a

uma potência positiva de ijd . Na lei clássica de Newton o expoente é dois; trata-se, na

verdade, de um fenômeno físico cujo comportamento é determinístico e regido por uma

propriedade universal. No caso do transporte a lei é apenas uma aproximação

analógica, o que nos leva a relaxar um pouco as premissas.

Assim as viagens entre i e j serão calculadas através da seguinte relação:

βij

jiij

d

APT

×=

Onde β é um parâmetro maior que a unidade, a ser estimado através de calibração do

modelo.

O modelo de gravidade pode ser calibrado através de regressão, aplicando para tanto

logaritmo à expressão:

βijji

ijij

dAP

Tg

1=×

= (4)

Onde ijg se refere ao fator de expansão aplicado às viagens geradas em i com destino j

Aplicando-se logaritmos, tem-se:

ijij dg loglog β−=

O valor de β pode ser calculado através de regressão simples, como poderá ser

acompanhado através do Exemplo 1.1.4.

Um ponto importante a se notar é que a distância ijd pode ser substituída por outros

parâmetros tais como tempo de viagem, custo de transporte etc. ou por funções

compostas por diversos fatores, funções essas denominadas de impedância, custo

generalizado etc.

O custo generalizado consiste em se converter em unidades monetárias todos os

parâmetros que entram na função de impedância, atribuindo pesos aos fatores, com

base na percepção do usuário em relação aos diversos atributos. Por exemplo, o

tempo de espera e de transferência, que se observa no transporte coletivo integrado é

sentido pelo usuário com peso aproximadamente igual ao dobro do peso atribuído ao

tempo de viagem. Assim, ao se converter os tempos em custo (multiplicando-se pelo

valor monetário da unidade tempo), os valores correspondentes aos tempos de espera

e transferência seriam multiplicados por dois.

Suponhamos, como exemplo, que a função custo generalizado é dada por:

ev twtwcwCG ×+×+×= 321

Onde: c = custo direto da viagem vt = tempo gasto dentro do veículo

et = tempo de espera e transferência 321 ,, www = pesos

Na expressão acima 1w pode ser admitido igual à unidade. O valor de 2w seria igual

ao custo atribuído a um minuto do tempo do usuário.

O valor de 3w por sua vez, seria, por exemplo, igual a 2 2w .

Normalmente os totais de viagens iP produzidos pelas zonas e as atrações jA são

projetados exogenamente ao modelo.

Assim a calibração fica condicionada a uma série de vínculos, cujo modelo típico é

representado por:

( )βµλij

jijiij

R

APT = (0)

ijT = viagens distribuídas

iP = Total de viagens produzido pela zona i

jA = Total de viagens atraída pela zona j

ijR = função impedância, envolvendo tempo de viagem, custo, etc.

iλ = coef. de calibração, um valor diferente para cada linha da matriz

jµ = coef. de calibração, um valor diferente para cada coluna da matriz

β = constante, com valor ajustado através de calibração

Os vínculos são estabelecidos através das somas ao longo das linhas e das colunas.

Somando-se ao longo de uma linha i qualquer:

( )∑∑ ××==j ij

jjiii

jij

R

APPT β

µλ

Obtendo-se: ( )1−

×= ∑

j ij

jji

R

Aβ

µλ (i = 1, 2, ....) (1)

Somando-se ao longo de uma coluna j qualquer:

( )∑∑ ××==i ij

iijjj

iij

R

PAAT β

λµ

Obtendo-se: ( )1−

×= ∑

i ij

iij

R

Pβ

λµ (i = 1, 2, ....) (2)

A calibração do modelo de gravidade vinculado segue as seguintes etapas:

(i) Calibra-se a constante β como será visto;

(ii) Atribui-se, inicialmente o valor unitário a todos os coeficientes jµ , ou seja, faz-se:

jµ = 1 para j = 1, 2,....

(iii) Determinam-se os valores de iλ através da equação (1), entrando com os valores

iniciais de jµ ;

(iv) Calculam-se a seguir novos valores de jµ através da relação (2);

(v) Repetem-se as iterações até que o processo convirja dentro de um nível de

precisão desejado.

Vejam a seguir o Exemplo 1.2.5 de Modelo de gravidade geral

Considere-se uma cidade hipotética dividida em cinco zonas de tráfego. A distância

entre as diversas zonas é apresentada na Tabela 1.2.1.

Tabela 1.2.1 – Distâncias entre zonas

Zona Distância entre zonas (km) i/j 1 2 3 4 5 1 1,6 4,5 7,0 4,5 8,8 2 4,5 1,2 4,1 7,0 11,7 3 7,0 4,1 1,2 11,1 15,8 4 4,5 7,0 11,1 1,4 4,7 5 8,8 11,7 15,8 4,7 1,3

As viagens diárias ijT entre as zonas de tráfego foram levantadas diretamente através

de uma pesquisa domiciliar O-D (origem/destino) e são apresentadas na Tabela 1.2.2.

Tabela 1.2.2 – Viagens diárias ijT

Zona Viagens Diárias

i/j 1 2 3 4 5 iP

1 43.927 1.456 314 3.754 365 49.816 2 47.219 45.437 3.326 11.651 1.396 109.029 3 19.151 7.218 16.907 4.150 591 48.017 4 84.116 6.665 1.355 181.585 8.285 282.006 5 16.664 1.623 484 19.574 31.162 69.507

jA 211.077 62.399 22.386 220.714 41.799

Inicialmente determinam-se os valores de ijg , dados pela relação (4), dividindo-se cada

elemento da matriz da Tabela 1.2.2 pelo produto entre iP da zona produtora de viagem

e jA da zona atratora de viagem. Os resultados são apresentados na Tabela 1.2.3.

Tabela 1.2.3 – Valores de ijg

Zona ijg

i/j 1 2 3 4 5

1 4,18,E-06 4,68,E-07 2,82,E-07 3,41,E-07 1,75,E-07

2 2,05,E-06 6,68,E-06 1,36,E-06 4,84,E-07 3,06,E-07

3 1,89,E-06 2,41,E-06 1,57,E-05 3,92,E-07 2,94,E-07

4 1,41,E-06 3,79,E-07 2,15,E-07 2,92,E-06 7,03,E-07

5 1,14,E-06 3,74,E-07 3,11,E-07 1,28,E-06 1,07,E-05

A calibração do modelo é feita por meio de regressão simples, tendo sido obtidos os

valores de β = 1,379 e R2 = 0,762, conforme apresentado no Gráfico 1.2.1.

Gráfico 1.2.1 – Regressão para determinação de β

y = 1,3792x + 5,0433

R2 = 0,7623

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

6,50

7,00

- 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40

log(dij)

-log(

gij)

Determinam-se, a seguir, os coeficientes de distribuição de iλ e jµ através de processo

iterativo descrito nesta seção. Define-se, como medida da precisão do processo, a

diferença relativa entre dois valores sucessivos dos parâmetros, digamos )1( −kiλ e

)(k

iλ .

Sendo ε a precisão desejada, deve-se ter:

ελ

λλ≤

−−

−

)1(

)1()(

ki

ki

ki

εµ

µµ≤

−−

−

)1(

)1()(

kj

kj

kj

Apresenta-se na Tabela 1.2.4 a seguir as primeiras iterações.

Tabela 1.2.4 – Cálculo dos coeficientes de distribuição

zona µ1

( )∑×

j ij

jj

R

Aβ

µ λ1

( )∑×

i ij

ii

R

Pβ

λ µ2

ε ( )∑×

j ij

jj

R

Aβ

µ λ2

Ε

1 1 149588,2 6,685E-06 0,6377 1,5682 57% 204739,7 4,88E-06 -27%

2 1 94739,0 1,0555E-05 1,2191 0,8203 -18% 97696,5 1,02E-05 -3%

3 1 49663,3 2,0136E-05 1,0199 0,9805 -2% 54157,49 1,85E-05 -8%

4 1 175323,6 5,7037E-06 1,2872 0,7769 -22% 158774,3 6,3E-06 10%

5 1 68348,8 1,4631E-05 0,9754 1,0252 3% 68844,41 1,45E-05 -1%

Com nível de precisão ε =5%, foram necessárias 5 iterações para se chegar à

convergência, tendo sido obtidos os seguintes valores de iλ e jµ representados na

Tabela 1.2.5.

Tabela 1.2.5 – Valores dos coeficientes de distribuição ajustados

Zona iλ jµ

1 4,6243E-06 1,6857

2 9,7092E-06 0,8840

3 1,7262E-05 1,1097

4 6,5512E-06 0,7072

5 1,4734E-05 1,0027

Aplica-se o modelo ajustado para alguns pares de zonas, através da relação (0).

Para i=1 e j=3 tem-se da Tabela 1.2.4 1λ =4,6243E-06 e 3µ =1,1097.

Os totais de viagens produzidas e atraídas são apresentados na Tabela 1.2.2, ou seja,

1P =49.816 e 3A =22.386.

Aplicando-se a relação (0), com 3,1R =7,0 km (Tabela 1.2.1) e β =1,379, obtem-se

3,1T =391, contra o valor observado de 314, indicado na Tabela 1.2.2.

Há uma opção para utilização de um fator denominado k-fator para ajustar os fluxos

estimados pelo modelo de distribuição. O fator é utilizado quando, por alguma razão o

fluxo i,j não é estimado corretamente. O uso intensivo dos k-fatores podem

incrementar o ajuste ano base, porém pode diminuir o poder de previsão para os anos

futuros.

ji

jiji

T

Tk

,

,, =

Onde

jiT , = fluxo observado

jiT , = fluxo estimado.

1.2.3 3a Etapa: Divisão Modal das Viagens

A divisão ou escolha modal é a terceira etapa do processo de planejamento de

transportes. Seu objetivo é estimar os fluxos de passageiros entre os pares de zonas

de tráfego, para cada modo de transporte analisado.

Suponhamos, por exemplo, que a análise contemple duas alternativas:

(i) transporte coletivo, representado pelo sufixo C;

(ii) transporte individual (auto), representado pelo sufixo I.

Sendo )(Cijφ a fração das viagens entre as zonas i e j que se utiliza de transporte público

e )( Iijφ a fração que se desloca em transporte individual, tem-se:

ijC

ijC

ij TT ×= )()( φ

ijI

ijI

ij TT ×= )()( φ

Com 1)()( =+ Iij

Cij φφ

Os valores de jiT , nestas expressões correspondem às viagens obtidas através do

modelo de distribuição.

A definição do modelo de divisão modal se faz através do ajuste via regressão múltipla

de uma função do tipo: ),,,,,( )()()()()(

)(

jiI

ijC

ijI

ijC

ijIij

Cij EEccttf=

φφ

Onde:

)()( , Iij

Cij tt = tempo de deslocamento entre as zonas i e j pelos modos C e I;

)()( , Iij

Cij cc = custos de deslocamento entre as zonas i e j pelos modos C e I;

ji EE , = variáveis sócio-econômicas (renda, empregos etc) das zonas i e j.

Vamos a seguir analisar um tipo de função utilizado na divisão modal baseado em

modelos comportamentais.

Modelos Comportamentais

O enfoque comportamental à análise de demanda parte da Teoria do Consumidor,

constituindo uma extensão dos conceitos da Economia Geral ao estudo de sistemas de

transportes.

Admite-se, para tanto, que o usuário seja um consumidor do serviço de transporte,

enquanto que nas análises clássicas da Economia são consumidos produtos físicos

como manufaturados, alimentos, etc.

As decisões adotadas pelos indivíduos em relação ao consumo de um bem ou um

serviço envolvem uma parcela de subjetivismo, mas incorporam também fatores

racionais. Por exemplo, se uma pessoa resolve adquirir um televisor de um

determinado tipo é claro que a decisão não pode ser explicada totalmente em termos

econômico-financeiros. Ou seja, não existe estudo de viabilidade econômica que

aponte essa ou aquela solução. Pesam aí fatores eminentemente subjetivos, gerados

pela propaganda, pelas aspirações sociais de “status”, de conforto etc.

Há, no entanto, fatores econômicos-financeiros que influem na seleção da marca, do

próprio tipo de televisor, da casa comercial e das condições de financiamento. Isso

porque o indivíduo tem restrições orçamentárias e define, subjetiva ou objetivamente,

uma hierarquização pessoal de gastos (alimentação, habitação, educação, vestuário

etc).

Uma das premissas do enfoque comportamental é a de que o indivíduo estabelece

subjetiva ou objetivamente um elenco de opções na ordem de preferência, e escolherá

sempre a mais desejável, dado um conjunto de inclinações e dadas as condicionantes

de ordem econômico-financeira e de oportunidade disponíveis. Por trás dessa

premissa está se fazendo a hipótese de que os indivíduos, embora incorporem fatores

subjetivos às suas decisões, mantém o mesmo padrão comportamental ao longo do

tempo.

Para se estabelecerem modelos comportamentais desse tipo é necessário, antes de

mais nada, medir quantitativamente as preferências do usuário, que é o consumidor do

transporte. Essa medida quantitativa é baseada no conceito de utilidade e se formaliza

através de uma função de utilidade. Essa, por sua vez, está vinculada a uma série de

atributos do produto consumido (o transporte).

Atributos e nível de serviço

O usuário, ao considerar diferentes opções, leva em consideração, objetiva ou

subjetivamente, um certo número de variáveis ou atributos. Esses atributos que influem

na decisão são chamados de variáveis de serviço.

As variáveis que mais comumente compõem o nível de serviço são:

(i) Variáveis ligadas ao tempo

� Tempo total de deslocamento;

� Tempo despendido nos pontos de transferência;

� Tempo de espera

(ii) Variáveis ligadas ao custo

� Tarifa;

� Combustível;

� Pedágios; Estacionamento etc;

(iii) Variáveis ligadas ao conforto

� Distância percorrida a pé;

� Número de transferências;

� Conforto físico

Função de utilidade

Para se entender o conceito de utilidade vamos considerar como exemplo simples uma

situação em que as variáveis de serviço relevantes são apenas duas (i) o tempo total

de deslocamento e (ii) o custo de transporte.

A função de utilidade normalmente utilizada em estudos de transporte tem a forma:

),( αXfU =

Onde

{ }nxxxX ,......,, 21= é o vetor das variáveis de serviço e

{ }nαααα ,......,, 21= é o vetor de parâmetros (usualmente ajustado por calibração)

Exemplo 1.3.1

Tomemos como exemplo, o caso de um indivíduo isolado que enfrenta um processo de

decisão entre duas opções de transportes: marítmo ou rodoviário. As variáveis de

decisão do usuário são as seguintes:

(i) custo direto de transporte (C) representado pelas despesas desembolsadas

diretamente pelo usuário;

(ii) tempo de transporte (t) como atrasos, congestionamento nos portos, entraves

burocráticos etc.

(iii) variação do tempo de transporte ( ∆t) devido a imprevistos tais como atrasos,

congestionamentos etc.

Essa última variável (iii) é introduzida porque o confronto dos tempos médios não é

suficiente para comparar as duas opções, visto que o transporte marítmo apresenta

uma variabilidade nas previsões que não pode ser ignorada pelo usuário ao decidir

entre os dois modos.

Os dados referentes às duas alternativas (i e ii) são apresentados na Tabela 1.3.1.

A função utilidade adotada é do tipo linear:

tCtU o ∆+++= 321 αααα (5)

Tabela 1.3.1 – Custos e tempos de transporte

Item Transporte rodoviário

Transporte marítmo

C - custo direto (R$/t) 115 85

t - tempo de transporte (dias) 3 20

∆t - variação do tempo de transporte (dias) 1 10

O valor de 0α adotou-se 0 neste exemplo. No processo de calibração dos modelos será

analisado o significado deste parâmetro.

Os valores dos parâmetros 1α , 2α e 3α são estimados através de métodos indiretos, a

serem analisados posteriormente.

No presente exemplo, vamos admitir que os parâmetros já foram ajustados, com os

valores 1α =-1, 2α =-1,5 e 3α =-2. Observar que os sinais negativos estão ligados à

variação de utilidade em função da variável considerada.

Assim, se o custo de transporte é aumentado, a utilidade U deve diminuir; o sinal

negativo traduz este valor. O mesmo ocorre em relação a t e ∆t.

Se, por exemplo, a velocidade média v fosse uma das variáveis de serviço, era de se

esperar que seu coeficiente tivesse sinal positivo, pois quanto mais rápido o transporte

mais satisfeito ficará o usuário.

Aplicando a função de utilidade (5) a duas opções obtemos os seguintes resultados:

(i) Transporte marítmo:

MMMM ttCU ∆++= 321 ααα = -1 x 85,00 – 1,5 x 20 – 2X10 = -135,00

(ii) Transporte rodoviário:

RRRR ttCU ∆++= 321 ααα = -1 x 115,00 – 1,5 x 3 – 2 x 1 = -121,50

De acordo com uma das premissas da teoria do consumidor o usuário decide sempre

pela alternativa que apresentar maior valor da utilidade.

No caso MR UU ⟩ e portanto o usuário escolherá o transporte rodoviário.

Mas como os valores são bem próximos é admissível indagar se a opção seria a

mesma se a diferença fosse de apenas de uma unidade.

Ou seja, se MU fosse igual a -121,49 a metodologia adotada indicaria sempre o

transporte marítmo uma vez que RM UU ⟩ .

Esse problema ocorre porque estamos atribuindo ao comportamento do usuário um

comportamento nitidamente determinístico.

Na prática os indivíduos atribuem utilidades diferentes aos atributos, seja porque

percebem de forma diferente os efeitos sobre si das diversas variações de serviço, seja

porque alocam pesos diversos aos vários atributos. Assim, a utilidade final,

considerando agora os vários indivíduos que constituem uma determinada categoria

analisada, passa a ser uma variável aleatória dada por:

iii UW ε+= (6)

Onde

iU = parcela determinística da função utilidade

iε = parcela aleatória

A escolha da alternativa k passa a ser regida agora por um processo probabilístico. A

probabilidade de escolha da alternativa k é dada agora por:

[ ]jkk WWprobP ≥= para i = 1,2, ....,n

Substituindo kW e jW pela expressão (6)

[ ]jjkkk UUprobP εε +≥+= (7)

Ou [ ]jkkjk UUprobP −≤−= εε com j = 1, 2, ..., n

Admite-se que a variável aleatória kε seja regida por uma distribuição de Weibull, que

tem a seguinte formulação:

[ ] [ ])exp(exp λεεε −=≤kprob (8)

Com ε variando no intervalo -∞ , ∞+ , sendo λ um parâmetro a ser ajustado por

calibração.

Partindo da distribuição de Weibull dada pela expressão (8) e combinando com a

expressão (7), Domenich e McFaden1 deduzem o modelo multinomial, que é dado por:

[ ][ ]∑

=

=n

jj

kk

U

UP

1

exp

exp

No caso de haver apenas dois modos têm-se o modelo logit binomial:

[ ][ ] [ ]21 expexp

exp

UU

UP k

k += com k = 1, 2

Dividindo-se o numerador e o denominador da expressão acima por [ ]kUexp obtem-se:

[ ] [ ]UUUP

∆+=

−+=

exp1

1

exp1

1

121 (9)

[ ] [ ]UUUP

∆−+=

−−+=

exp1

1

)(exp1

1

122

1 Domenich, T. e D. McFadden. “Urban Travel Demand: A behavioral Analysis”. North Holland, Holanda, 1975

Exemplo 1.3.2

Deseja-se estimar a divisão da demanda entre o transporte individual (auto) e o

transporte coletivo (metrô) numa ligação urbana entre dois pontos A e B com as

seguintes variáveis de serviço:

Tabela 1.3.2 – Variáveis de serviço dos modos Auto e Metrô

Item Auto Metrô

1x - tempo consumido dentro do veículo (min) 15 25

2x - tempo consumido fora do veículo em

esperas, deslocamentos a pé etc (min) 5 18

3x - custo direto total de transporte (R$) 11 2

A função utilidade adotada é linear, associada a um modelo logit:

332211 xxxU ααα ++=

Com 23

22

21 10350,0,10650,0,10325,0 −−− ×−=×−=×−= ααα

Tem-se [ ] [ ] [ ])(3

)(33

)(2

)(22

)(1

)(11

ABABAB xxxxxxU −+−+−=∆ ααα

Substituindo os valores das variáveis na expressão acima:

0085,0)00,1100,2(10350,0)518(10650,0)1525(10325,0 222 =−××−−××−−××−=∆ −−−U

Aplicando agora a expressão (9)

[ ] 48,0exp1

1 =∆−+

=U

PA e 52,01 =−= AB PP

Dessa forma 48% da demanda se utilizaria do automóvel enquanto que 52% se

deslocaria através do metrô.

Calibração do modelo logit binomial

O modelo logit binomial pode ser linearizado de forma a ter seus coeficientes ajustados

por meio de regressão múltipla. Consideremos, para isso, a expressão

[ ]UPA ∆+

=exp1

1

Invertendo ambos os membros da expressão acima se obtêm:

)exp(11

UPA

∆+=

Explicitando U∆ através de logaritmos:

UP

nA

∆=

−1

1l

Substitui-se U∆ pela sua forma expandida:

[ ]∑=

−+=

−

n

i

Ai

Bii

A

xxP

n1

)()(01

1 ααl (10)

O coeficiente 0α , que foi introduzido na expressão de U∆ representa os fatores

subjetivos não captados pelo modelo e, eventualmente, alguma variável de serviço não

considerada na análise.

Seja:

)()( Ai

Bii xx −=λ

Substituindo em (10) tem-se

nnAP

ny λαλαλαλαα +++++=

−= ...1

13322110l

Através da expressão acima podem-se ajustar, através de regressão múltipla, os

coeficientes nααααα ...,,, 3210 .

Exemplo 1.3.3

Uma determinada região urbana é subdividida em 8 zonas de tráfego. Através de

pesquisa direta levantou-se o número de pessoas que usam automóvel e ônibus na

viagem residência-trabalho. Admite-se, no caso, que os empregos estejam

concentrados no centro da cidade.

Os dados são apresentados na Tabela 1.3.3

zona

Modo A - auto Modo B - ônibus

tempo (min)

Custo (R$) Viagens

tempo (min)

Custo (R$) Viagens 1λ 2λ AP y

1 15 6,65 3.320 25 1,50 2.180 10 -5,15 0,604 -0,42064

2 20 8,35 5.248 40 1,50 2.512 20 -6,85 0,676 -0,73677

3 10 5,00 2.020 20 1,50 1.250 10 -3,50 0,618 -0,47995

4 25 9,90 7.902 50 2,00 2.920 25 -7,90 0,730 -0,99553

5 35 13,15 8.723 60 2,50 4.702 25 -10,65 0,650 -0,61798

6 10 4,20 3.470 27 1,50 1.809 17 -2,70 0,657 -0,65138

7 18 7,60 1.812 35 1,50 970 17 -6,10 0,651 -0,62489

8 22 9,20 2.690 35 1,50 2.140 13 -7,70 0,557 -0,22874

Os parâmetros 1λ e 2λ são as variáveis independentes e y a variável dependente.

Aplicando-se a regressão múltipla têm-se os valores para 0α =0,1783, 1α =-0,04524 e

2α =-0,5675x10-2 e R2 = 0,81 considerado relativamente alto.

Deve-se ressaltar, no entanto, que não é possível determinar uma função de utilidade

absoluta: sempre se trabalha com a utilidade diferencial U∆ e assim a inferência obtida

é válida para a comparação entre dois modos analisados, no contexto em que os

dados foram levantados. Ou seja, o conceito de utilidade aqui utilizado é

eminentemente relativo.

Quando o número de modos supera dois o modelo logit resultante é do tipo

multinomial, não sendo possível a sua linearização. É necessário, para calibrá-lo,

lançar mão de técnicas de cálculo numérico, que permitam a determinação dos

coeficientes iα da função de utilidade. Este modelo não será objeto deste curso.

1.2.4 4a Etapa: Alocação das Viagens

Uma vez efetuada a divisão modal dos fluxos pelos diversos modos alternativos,

passa-se à alocação dos mesmos às redes modais. Essas últimas são representadas

pelas ligações e nós que formam uma rede de transportes como visto anteriormente.

Os modelos de alocação consideram, basicamente, os parâmetros: tempos de

deslocamento para cada caminho alternativo; a capacidade das ligações; e custo do

deslocamento.

Usualmente procura-se escolher o caminho correspondente ao menor tempo de

percurso ou ao menor custo generalizado. O rateio do fluxo pelos diversos caminhos

alternativos leva em conta a menor impedância ao deslocamento bem como os efeitos

de restrição de capacidade no escoamento do tráfego.

Exemplo 1.4.1

Apresentamos, a seguir um exemplo de modelo de alocação de fluxo.

Suponhamos que foram estimadas 300 viagens diárias por automóvel entre as zonas

10 e 15 de uma região urbana em estudo. A rede viária (simplificada) é mostrada na

Figura 1.4.1. Para cada tramo da rede foi calculado o custo generalizado, que é função

da distância d (km) e do tempo t (min). Os valores de d, t e do custo generalizado são

apresentados na Tabela 1.4.1.

Tabela 1.4.1 – Distâncias, tempos de percurso e custos generalizados

Nó origem

Nó destino d (km) t (min) C (R$)

10 1001 0,42 0,84 1,43

10 1002 0,33 0,66 1,12

15 1501 0,73 1,46 2,47

15 1502 0,63 1,26 2,14

15 1503 0,93 1,86 3,16

1001 1503 1,40 2,80 4,77

1002 1501 0,32 0,64 1,10

1002 1502 0,70 1,40 2,37

1502 1503 0,50 1,00 1,71

Figura 1.4.1 – Rede simplificada

10

15

1001

1002

1501

1502

1503

Centróide da zona de origem

Centróide da zona de destino

1,121,10

2,47

2,372,14

3,16

1,71

1,43

4,77

10

15

1001

1002

1501

1502

1503


Centróide da zona de destino10

15

1001

1002

1501

1502

1503



1,121,10

2,47

2,372,14

3,16

1,71

1,43

4,77

A seguir são calculados os caminhos de menor custo generalizado a partir de cada um

dos nós à zona de destino 15. Isso é feito através de algoritmo de busca, resultando

para o exemplo nos seguintes valores:

Tabela 1.4.2 – Custos generalizados mínimos de cada nó à zona de destino

Nó origem Custo generalizado

mínimo (R$)

10 4,69 15 0,00

1001 7,93 1002 3,57 1501 2,47 1502 2,14 1503 3,16

Nem todos os caminhos que ligam o nó 10 ao nó 15 devem ser considerados. Na rede

da Figura 1.4.1 tem-se seis caminhos alternativos a saber:

(i) 10 – 1002 – 1501 – 15

(ii) 10 - 1002 – 1502 – 15

(iii) 10 – 1001 – 1503 – 15

(iv) 10 – 1002 – 1502 – 1503 – 15

(v) 10 – 1001 – 1503 – 1502 – 15

(vi) 10 – 1001 – 1503 – 1502 – 1002 – 1501 – 15

O critério para se excluir caminhos sem interesse para alocação do fluxo é o de

garantir o decréscimo sistemático do custo generalizado que falta até a zona de

destino. Ou seja, à medida que se vai caminhando de um nó para outro, o custo

generalizado à zona de destino deve ir decrescendo continuamente.

Suponhamos, para exemplificar, o nó inicial 10. Há dois nós adjacentes: 1001 e 1002.

O custo generalizado mínimo de 10 a 15, conforme a Tabela 1.4.2 é 4,69.

Considerando agora os custos generalizados mínimos a partir de 1001 e 1002 vê-se

que o primeiro, igual a 7,93 é maior do que o correspondente ao custo generalizado do

nó 10.

O custo do nó 1002 é igual a 3,57, portanto, menor do que o nó inicial. Dessa forma

os caminhos que partem do nó 10 passando pelo nó 1001 são todos eliminados, já que

envolvem um retrocesso, ou seja, um aumento no custo generalizado até o destino.

Considerando agora o nó 1002, o custo generalizado mínimo dado pela Tabela 1.4.2 é

igual a 3,57. Os caminhos possíveis do nó 1002 até o destino 15, passam pelos nós

10, 1501 e 1502. O primeiro passando pelo nó 10 está eliminado pois seu custo, 4,69,

é maior do que 3,57.

Os outros dois caminhos, por 1501 e 1502 são viáveis, já que os respectivos custos

(2,47 e 2,14 respectivamente) são menores do que 3,57.

Consideremos agora o nó 1502, com custo generalizado mínimo igual a 2,14. Esse nó

está ligado aos nós 1002, 1503 e 15, com custos generalizados mínimos iguais a 3,57,

3,16 e 0 respectivamente.

Vê-se, portanto, que a única ligação viável é 1502-15, pois os caminhos via nós 1002 e

1503 apresentam custos generalizados mínimos maiores do que 2,14.

O processo acima descrito, que nas redes de maior porte é realizado

computacionalmente, leva a dois caminhos alternativos viáveis entre as zonas 10 e 15:

(i) 10 – 1002 - 1501 – 15

(ii) 10 – 1002 – 1502 – 15

Os demais não são considerados para a alocação de fluxos. O rateio dos fluxos em

cada nó é feito considerando os custos generalizados daquele nó até o destino,

através dos caminhos alternativos viáveis que saem daquele nó.

Consideremos, por exemplo, o nó 1002. Há dois caminhos viáveis a partir de 1002 e

terminando na zona 15: (i) 1002 – 1501 – 15 e (ii) 1002 – 1502 – 15. Os custos

generalizados respectivos são iguais a 3,57 e 4,51.

A divisão do fluxo que sai do nó 1002 com destino à zona 15 pode ser feita através de

um modelo “logit”, do tipo:

[ ][ ] [ ]21

11 expexp

exp

CC

C

βββφ

+=

[ ][ ] [ ]21

22 expexp

exp

CC

C

βββφ+

=

Onde 1C e 2C são os custos generalizados 3,57 e 4,51 respectivamente e β é um

parâmetro ajustado por calibração.

No exemplo β =-0,75, levando à 1φ =0,669 e 2φ =0,331. Multiplicando-se o total de viagens

que sai da zona 10 com destino à zona 15 tem-se:

201300669,01 =×=F

99300331,02 =×=F

Dessa forma são alocadas 201 viagens ao caminho 1002-1501-15 e 99 viagens ao

caminho 1002-1502-15. O resultado da alocação é mostrado na Figura 1.4.2.

Figura 1.4.2 – Resultado da alocação de fluxos

10

15

1001

1002

1501

1502

1503



300

99

99

201 201

10

15

1001

1002

1501

1502

1503



300

99

99

201 201

O congestionamento crescente de cada tramo, à medida que o fluxo aumenta em

relação à capacidade da via é levado em consideração através de funções de restrição

de capacidade do tipo:

×+=β

αC

Vtt 10

Onde

0t = tempo de percurso no tramo quando não há restrição de capacidade

t = tempo de percurso para o fluxo V

C = capacidade da via e

βα , = coeficientes.

Por exemplo, adotando-se para um determinado tipo de tramo os valores de 5,0=α e

4=β para uma solicitação C

V = 0,9 tem-se:

=×+= )9,05,01( 40tt 1,328

Portanto o tempo inicial deve ser acrescido de 32,8%. Os novos tempos levam a novos

valores de custo generalizado, que são re-introduzidos no modelo, provocando novas

alocações. O processo continua iterativamente até que se obtenha a convergência.

FIM DA PARTE B

Alberto Lima - [email protected]

Agradecimentos: Oficina Consultores e Metrô SP

www.cursodetransporte.com.br

Albertolima b

Education

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