AD_MQ0607

1Anlise de DecisoMtodos Quantitativos

LEI2006/2007

Susana [email protected]

Departamento de Informtica

2MQ 06/07

Advertncia

Autores Joo Moura Pires ([email protected]) Susana Nascimento ([email protected])

Este material pode ser livremente usado para uso pessoal ou acadmico e sem qualquer autorizao prvia do autor desde que acompanhado desta declarao do autor.

Para uso comercial (por exemplo em cursos pagos) o uso deste material requer a expressa autorizao do autor.

23MQ 06/07

Sumrio

Introduo

Tomada de deciso sem experimentao

Tomada de deciso com experimentao

rvores de Deciso

Teoria da Utilidade

4MQ 06/07

Tomada de deciso em ambientes com Incerteza

Um fabricante de txteis quer introduzir um novo produto no mercado Qual ir ser a reaco dos potenciais consumidores? Qual a quantidade de produto a produzir? Dever-se- fazer um estudo de mercado em pequena regio antes de comercializar pelo

Pas inteiro? Que investimento necessrio fazer em Pblicidade para que lanamento de produto seja

um sucesso?

Uma empreza financeira quer investir em seguros Quais os sectores de mercado e seguradoras individuais que constituem os melhores

alvos? Para onde que a economia est dirigida? Como que estes factores devem afectar (i.e. que peso devem ter) na tomada de deciso?

3Anlise de Deciso

Estudo de metodologias para a Tomada de Deciso em ambientes com elevado grau de incerteza associado.Estudo de metodologias para a Tomada de Deciso em ambientes com elevado grau de incerteza associado.

6MQ 06/07

Exemplo: enunciado

Um empresa possui um terreno acerca do qual h suspeita da existncia de petrleo Uma firma consultora indica que existe 1 chance em 4 de haver

petrleo

Uma outra empresa (que tambm tem conhecimento dessa hiptese) prope-se comprar o terreno por 90 000 .

Explorao do petrleo: Custos: 100 000 No caso de haver petrleo espera-se uma facturao de 800 000 ,

ou seja um lucro de 700 000

47MQ 06/07

Exemplo: organizar os dados

3 em 41 em 4Probabiliade

90 000 90 000 Vender o terreno

-100 000 700 000 Explorar o terreno

No h petrleoH petrleoDecises alternativas

Situao real do terrenoLucro

Qual a deciso a tomar?Vender?Explorar o terreno?

Obter mais informao?

8MQ 06/07

Exemplo: Formular o Problema

A deciso consiste na escolha de uma entre n alternativas a1, a2, , an. Factores aleatrios determinam as circunstncias em que a deciso vai

ser executada. Essas circunstncias so designadas por estados do mundo ou

cenrios - e1, e2, , em. Sejam P(ei) as probabilidades de cada um dos cenrios ei

Assume-se: so conhecidas as consequncias da deciso em cada um dos cenrios - Lucro(ai | ej)

Qual a deciso a tomar? Obter mais informao?

59MQ 06/07

Organizar os dados

P(em)P(e1)Prob. dos cenrios

Lucro(an | em)

Lucro(a1 | em)

em

Lucro(an | e1)an

Lucro(ai | ej)

Lucro(a1 | e1)a1

e1Decises

alternativas

Estados do mundo ou cenriosLucro

10MQ 06/07

Critrios para a Tomada de Deciso

C1: Maximizar o ganho

C2: Maximizar a verosimilhana

C3: Regra de Bayes - Maximizar o ganho esperado

611MQ 06/07

Para cada alternativa possvel, ai, determinar o ganho mnimo para todos os cenrios/estados possveis, ej (j=1, ...,m) Para cada ai determinar minj lucro(ai | ej)

Escolher a alternativa que maximiza o lucro mnimo Escolher a alternativa ak (1k n), tal que:

minj lucro(ai | ej) = maxi minj lucro(ai | ej)

Justificao - ponto de vista pessimista Escolher a alternativa do melhor ganho garantido

1 analisar as alternativas considerando o pior cenrio2 escolher a alternativa que maximiza o ganho numa situao de pior cenrio

Maximizar o ganho (C1: Max-Min)

12MQ 06/07

Exemplo: critrio Max-Min

90 000

-100 000

minj(ai | ej)

90 000 90 000 a2:vender o terreno

-100 000 700 000 a1:explorar o terreno

e2: no h petrleo

e1:h petrleoDecises alternativas


maxi minj(ai | ej) 90 000

No entra em linha de conta com as probabilidades dos cenrios!

713MQ 06/07

C2: Maximizar a verosimilhana

Identificar o cenrio mais provvel (mais verosmil) e escolher a aco que, para esse cenrio, maximiza o ganho.

Apenas toma em considerao os efeitos da deciso para o cenrio mais provvel. No considera as probabilidades dos outros cenrios No considera os ganhos possveis nos outros cenrios

14MQ 06/07

Exemplo: critrio da mxima verosimilhana

0.750.25Probabiliade P(ej)

90 000 90 000 a2: Vender o terreno

-100 000 700 000 a1: Explorar o terreno

e2: no h petrleo

e1:H petrleoDecises alternativas


Cenrio mais provvel

Maior ganho no cenrio mais provvel

815MQ 06/07

Regra de Bayes - Maximizar o valor esperado

Com base nas probabilidades dos cenrios calcular o valor esperado do ganho para cada uma das decises alternativas e escolher aquela alternativa que maximiza o valor esperado do ganho. Ganho esperado de cada deciso alternativa

Escolher a alternativa ak:

Lucro(ai ) = lucro(ai | ej )P(ej )j=1

m

Lucro(ak ) = maxi Lucro(ai )

16MQ 06/07

Um exemplo: Regra de Bayes

0.750.25

90 000

100 000

Lucro(ai)

P(ej)



e2: no h petrleo



Lucro(a1) = 0.25(700 K) +0.75 (-100 K) = 100 K

Lucro(a2) = 0.25(90 K) +0.75 (90 K) = 90 K

917MQ 06/07

Notas sobre a Regra de Bayes

A regra de maximizar o lucro esperado incorpora toda a informao disponvel Os ganhos possveis em cada um dos cenrios As probabilidades de ocorrncia dos cenrios

Probabilidades Apesar de estes valores serem estimativas das chances de

ocorrncia do cenrios futuros pior no as ter em conta. No ter em conta significa assumir que os cenrios futuros so

equiprovveis.anlise de sensibilidade

18MQ 06/07

Anlise de Sensibilidade da Regra de Bayes

Os valores mais sensveis sobre os quais convm efectuar uma anlise de sensibilidade so os valores das probabilidades

Analisar como variam os ganhos esperados das alternativas com a variao da distribuio de probabilidades

O nmero de variveis independentes igual ao nmero de cenrios possveis menos 1. Porqu?

Interessa analisar para que valores das probabilidades a deciso se altera.

analisar graficamente

10

19MQ 06/07

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Lucro(a1) Lucro(a2)

Lucro(ai)

P(e1)

Um exemplo: Anlise de sensibilidade da regra de Bayes

a1a2

Lucro(a1) = P(e1)700 + (1 - P(e1))(-100)

Lucro(a2) = P(e1)90 + (1 - P(e1))90

Lucro(a1) = Lucro(a2)

P(e1) = 0.2375

20MQ 06/07


Inicialmente temos E = {e1, e2, , em}: conjunto de cenrios ou estados P(E) = {P(e1), P(e2), , P(em)}: respectivas probabilidades A = {a1, a2, ., an} Lucros(A | E) = {lucro(ai | ej) | i = 1, .., n; j = 1, , m}

Pela regra de deciso de Bayes

Lucro(ai ) = lucro(ai | ej )P(ej )j=1

m Anlise desensibilidade Obter mais informao para melhorar a confiana em P(E).

Quais os novos valores de P(E)? Quanto custa obter nova informao?

Valer a pena?

11

21MQ 06/07

Exemplo: Chegada de nova informao

Antes de se tomar a deciso possvel realizar um estudo ssmico detalhado para estimar melhor a probabilidade de existncia de petrleo no terreno. O estudo custa 30 000 Resultados do estudo: T = {F (favorvel), D(desfavorvel)}

Caratersticas de confiana e fiabilidade deste teste: P(D | e1(Petrleo)) = 0.4; P(F | e1(Petrleo)) = 0.6; P(D | e2(no h Petrleo)) = 0.8; P(F | e2(no h Petrleo)) = 0.2;

22MQ 06/07

Como incorporar a nova informao?

Inicialmente temos E = {e1, e2, , em}: conjunto de cenrios ou estados P(E) = {P(e1), P(e2), , P(em)}: respectivas probabilidades A = {a1, a2, ., an} Lucros(A | E) = {lucro(ai | ej) | i = 1, .., n; j = 1, , m}

Vamos realizar uma experincia que se caracteriza por ter como resultados possveis: T={t1, , tK}.

O que se pretende saber : P(ej | tk)

KketTPecadaPara jkj ,..1 )|(: ==

Probabilidadesapriori

Probabilidades aposteriori

12

23MQ 06/07

Teorema de Bayes

Ue1

e2

e3 e4

e5

e6 e7

e8

e9

e10{e1, e2, , em} uma partio de U

{P(e1), P(e2), , P(em)} Prob. apriori

e2

e3 e4

e5e6 e7

e8 e9

UT

e6 e7

e8e9

e4e3

e2e5

T

Nova informao ou evidncia: T

T

Normalizao

P(ei | T) Prob. a posteriori

24MQ 06/07

Teorema de Bayes

Ue1

e2

e3 e4

e5

e6 e7

e8

e9

e10 P(ei) = P(ei|U)

e2

e3 e4

e5e6 e7

e8 e9

UT

e6 e7

e8e9

e4e3

e2e5

T

T

Normalizao

P(ei, T) = P(ei, T |U) P(ei |T) = P(ei, T|T)

P(ei |T) = P(ei, T) / P(T)

13

25MQ 06/07

Teorema de Bayes

Ue1

e2

e3 e4

e5

e6 e7

e8

e9

e10

e2

e3 e4

e5e6 e7

e8 e9

UT

e6 e7

e8e9

e4e3

e2e5

T

T

Normalizao


P(ei |T) = P(ei, T) / P(T)

P(T ) = P(ei ,T )i=1

m = P(ei )P(T | ei )i=1

mP(ei, T) = P(ei)P(T | ei)

conhecido

26MQ 06/07

Teorema de Bayes

Ue1

e2

e3 e4

e5

e6 e7

e8

e9

e10

e2

e3 e4

e5e6 e7

e8 e9

UT

e6 e7

e8e9

e4e3

e2e5

T

T

Normalizao


P(ei | T ) = P(ei )P(T | ei )P(ei )P(T | ei )

i=1

m

14

27MQ 06/07

Inicialmente temos E = {e1, e2, , em}: Conjunto de cenrios ou estados P(E) = {P(e1), P(e2), , P(em)}: Respectivas probabilidades

Vamos realizar uma experincia que se caracteriza por ter como resultados possveis: T={t1, , tK}.

Calcular probabilidades aposteriori P(ej | tk)

Como incorporar a nova informao?

Para cada ej : P(T = tk | ej ),k =1,..K

=

=m

iii

jkjj

eTPeP

etPePTeP

1)|()(

)|()()|(

28MQ 06/07

Exemplo: Como incorporar a nova informao?

T = {F (favorvel), D (desfavorvel)}

Caratersticas de confiana e fiabilidade deste teste P(D | e1(Petrleo)) = 0.4; P(F | e1(Petrleo)) = 0.6;

P(D | e2(no h Petrleo)) = 0.8; P(F | e2(no h Petrleo)) = 0.2;

Probabiliades priori: P(e1) = 0.25; P(e2) = 0.75

Se T = FP(e1 | F) = P(e1)P(F | e1)P(e1)P(F | e1)+ P(e2 )P(F | e2 )

= 0.25 0.60.25 0.6 + 0.75 0.2 = 0.5

P(e2 | F) =1 P(e1 | F) = 0.5

15

29MQ 06/07


T = {F (favorvel), D (desfavorvel)}

Caratersticas de confiana e fiabilidade deste teste P(D | e1(Petrleo)) = 0.4; P(F | e1(Petrleo)) = 0.6;

P(D | e2(no h Petrleo)) = 0.8; P(F | e2(no h Petrleo)) = 0.2;

Probabiliades priori: P(e1) = 0.25; P(e2) = 0.75

Se T = DP(e1 | D) = P(e1)P(D | e1)P(e1)P(D | e1)+ P(e2 )P(D | e2 )

= 0.25 0.40.25 0.4 + 0.75 0.8 =1/7

P(e2 | D) =1 P(e1 | D) = 6/7

30MQ 06/07


0.80.2e2

0.40.6e1

DFP(T|ei)

0.75e2

0.25e1

P(ei)

0.60.15e2

0.10.15e1

DFP(ei, T)

0.700.30P(T)

6/70.5e2

1/70.5e1

DFP(ei|T)

P(ei, T) = P(ei)P(T | ei)

P(T ) = P(ei ,T )ei

P(ei| T) = P(ei , T) / P(T)

16

31MQ 06/07


0.80.2e2

0.40.6e1

DFP(T|ei)

0.75e2

0.25e1

P(ei)

0.60.15e2

0.10.15e1

DFP(ei, T)

0.700.30P(T)

6/70.5e2

1/70.5e1

DFP(ei|T)

T = F

T = D

apriori

aposteriori

32MQ 06/07

Exemplo: decidir com a nova informao T = D

6/71/7

90 000

14 286

Lucro(ai)

P(ej| T = D)



e2: no h petrleo



Lucro(a1) = (1/7)(700 K) + (6/7) (-100 K) = 100/7 = 14 286

Lucro(a2) = 0.5(90 K) + 0. 5 (90 K) = 90 K

17

33MQ 06/07

Exemplo: decidir com a nova informao T = F

0.50.5

90 000

300 000

Lucro(ai)

P(ej| T = F)



e2: no h petrleo



Lucro(a1) = 0.5(700 K) +0.5 (-100 K) = 300 K

Lucro(a2) = 0.5(90 K) +0. 5 (90 K) = 90 K

34MQ 06/07

Exemplo: decidir com nova informao - resumo

0.25

0.75

e1

e2

Lucro(a1) = 100

Lucro(a2) = 90

0. 5

0.5

e1

e2

Lucro(a1) = 300

Lucro(a2) = 90

T = F1/7

6/7

e1

e2

Lucro(a1) = 14.282

Lucro(a2) = 90

T = D

apriori a posteriori - com experimentao

Lucro(a1) = 270

Lucro(a2) = 60

Lucro(a1) = -16 (-15,718)

Lucro(a2) = 60Custo da experincia

30 K

18

35MQ 06/07

Questo: Vale realmente a pena obter mais informao?

Conhecendo: As probabilidades apriori de cada um dos possveis cenrios: P(ei) O lucro esperado de cada uma das alternativas: Lucro(ai) As caractersticas de fiabilidade e confiana do teste: P(T | ei) O custo do teste

Ser que vale a pena realizar a experincia (que tem um custo) para obter mais informao? Ou, antes pelo contrrio decidir j com a informao disponvel?

36MQ 06/07

O Valor da experincia: dois passos

Assumir que a experincia remove qualquer incerteza sobre o estado do mundo ou cenrio em que nos encontramos, ou seja depois de conhecido o resultado da experincia, o estado do mundo fica completamente determinado. valor esperado da informao perfeita- aumento do valor

esperado do lucro ignorando o custo da experincia. O valor esperado da informao perfeita o limite superior

do valor potencial da experincia (se este valor for inferior ao custo da experincia, esta no se deve realizar). Podemos ento determinar o valor da experincia.

19

37MQ 06/07

Valor esperado da informao perfeita (EVPI)

Aumento do valor esperado do lucro ignorando o custo da experincia e supondo que esta determina completamente qual o estado do mundo o EVPI. Para cada cenrio escolhemos a melhor deciso, isto , supondo

que o cenrio conhecido. Assim o lucro em cada caso :maxi lucro(ai | ej)

O lucro esperado com informao perfeita a mdia destes lucros mximos ponderada pela probabilidade de ocorrncia dos estados.

O EVPI a diferena entre o lucro esperado com informao perfeita e o lucro esperado sem a experimentao

LucroInfPerfeita = P(ej )maxij=1m lucro(ai | ej ){ }

EVPI = LucroInfPerf LucroSemExperimentao

38MQ 06/07

Exemplo: Valor esperado da informao perfeita

.750.25

90 000

100 000

Lucro(ai)



e2: no h petrleo

e1:h petrleo

Decises alternativas

Situao real do terrenoDeciso sem exper.

Lucro(a1) = 0.25(700 K) +0.75 (-100 K) = 100 K

Lucro(a2) = 0.25(90 K) +0.75 (90 K) = 90 K

LucroSemExperimentao = 100 K

20

39MQ 06/07

Exemplo: Valor esperado da informao perfeita

.750.25



e2: no h petrleo

e1:h petrleo

Decises alternativas

Situao real do terrenoDeciso com Inf.Perfeita

LucroInfPerf = 0.25(700 K) +0.75 (90 K) = 242.5 K

EVPI = LucroInfPerf - LucroSemExperimentao = 242.5 - 100 = 142.5 K

40MQ 06/07

Exemplo: Resumo - valor da experimentao

Sem realizar experimentao LucroSemExperimentao = 100 K

Realizando uma experincia que determine completamente o estado do mundo LucroInfPerf = 242.5 K

Aumento do lucro com informao perfeita EVPI = 142.5 K

Custo da experincia real: 30 K Como EVPI = 142.5 K > 30 K vale a pena analisar com

mais detalhe se realizao da experincia pode ou no trazer mais valia.

21

41MQ 06/07

Valor Esperado da Experincia: EVE

EVE - Aumento do valor esperado do lucro ignorando o custo da experincia. Para cada resultado possvel da experincia escolhe-se a deciso de

acordo com a regra de Bayes. Assim o lucro em cada caso :Lucro(T = tk)

O lucro esperado com a experincia a mdia destes lucros ponderada pela probabilidade de ocorrncia de cada resultado da experincia.

O EVE a diferena entre o lucro esperado com a experincia e o lucro esperado sem a experimentao

EVE = LucroEsperadoComExp - LucroSemExp

LucroEsperadoComExp = P(tk )k=1

m Lucro(T = tk )

42MQ 06/07

Exemplo: EVE

0.25

0.75

e1

e2

Lucro(a1) = 100

Lucro(a2) = 90

0. 5

0.5

e1

e2

Lucro(a1) = 300

Lucro(a2) = 90

T = F1/7

6/7

e1

e2

Lucro(a1) = 14.282

Lucro(a2) = 90

T = D

apriori a posteriori - com experimentao

P(T=F) = 0.3 P(T=D) = 0.7

LucroEsperadoComExp = (0.3)300 + (0.7) 90 = 153EVE = LucroEsperadoComExp - LucroSemExp = 153 - 100 = 53 K

22

43MQ 06/07



Realizando uma experincia perfeita LucroInfPerf = 242.5 K

Aumento do lucro com informao perfeita EVPI = 142.5 K

Como EVPI > 30 K vale a pena determinar EVE

Realizando a experincia real LucroInfComExper = 153 K

Aumento esperado do lucro com experincia EVE = 53 K

Como EVE > 30 K vale a pena realizar a experincia

Custo da experincia real: 30 K

44MQ 06/07

Sumrio AD-A2

Introduo

Tomada de deciso sem experimentao


rvores de deciso

Teoria da utilidade

23

45MQ 06/07

rvores de Deciso

Sequncias de decises Devemos realizar o estudo ssmico? Devemos vender ou explorar o terreno?

Uma rvore de deciso tem:

Ns de deciso: representados por um quadrado e indicam que uma deciso deve ser tomada neste ponto do processo. Os ramos que saiem do n so as alternativas da deciso.

Ns de aleatrio: representados por um crculo e indicam que um acontecimento aleatrio deve ocorrer nesse ponto. Os ramos que saiem do n so os resultados possveis da experincia aleatria.

46MQ 06/07

rvores de Deciso: exemplo

c

d

b

f

g

eh

Fazer estudo

Sem estudo

desfavorvel

favorvel

explorar

vender

H petrleo

Sem petrleo

H petrleo

Sem petrleo

H petrleo

Sem petrleo

explorar

vender

explorar

vender

a

24

47MQ 06/07


a

c

d

b

f

g

eh

Fazer estudo

Sem estudo

desfavorvel

favorvel

explorar

vender

H petrleo

Sem petrleo

H petrleo

Sem petrleo

H petrleo

Sem petrleo

explorar

vender

explorar

vender

0

0-30

0

670800

0-130

60

-10090

670

-130

60

700

-100

90

8000

8000

-10090

-10090

1 . Ganhos nos ramos2 . Lucro nas folhas

a

48MQ 06/07


c

d

b

f

g

eh

Fazer estudo

Sem estudo

desfavorvel

favorvel

explorar

vender

H petrleo

Sem petrleo

H petrleo

Sem petrleo

H petrleo

Sem petrleo

explorar

vender

explorar

vender

0

0-30

0

670800

0-130

60

-10090

670

-130

60

700

-100

90

8000

8000

-10090

-10090

3 . Probabilidades nos ramos(nos aleatrios)

apriori(.25)

(.75)

a posteriori dado T = F(.5)

(.5)

a posteriori dado T = D(1/7)

(6/7)

a

(.7)

(.3)

25

49MQ 06/07


c

d

b

f

g

eh

Fazer estudo

Sem estudo

desfavorvel

favorvel

explorar

vender

H petrleo

Sem petrleo

H petrleo

Sem petrleo

H petrleo

Sem petrleo

explorar

vender

explorar

vender

0

0-30

0

670800

0-130

60

-10090

670

-130

60

700

-100

90

8000

8000

-10090

-10090

4 . Efectuar a anliseCalcular o Lucro Esperado

(.25)

(.75)

(.5)

(.5)

(1/7)

(6/7)

a

(.7)

(.3)

Lucro

LE(n) = Soma(Lucro(filhos)*P(filho))

-15.7

270

100

60

270

100

123

123

50MQ 06/07


c

d

b

f

g

eh

Fazer estudo

Sem estudo

desfavorvel

favorvel

explorar

vender

H petrleo

Sem petrleo

H petrleo

Sem petrleo

H petrleo

Sem petrleo

explorar

vender

explorar

vender

0

0-30

0

670800

0-130

60

-10090

670

-130

60

700

-100

90

8000

8000

-10090

-10090

5 . Decidir

(.25)

(.75)

(.5)

(.5)

(1/7)

(6/7)

a

(.7)

(.3)

-15.7

270

100

60

270

100

123

123

26

51MQ 06/07


c

d

b

gFazer estudo

desfavorvel

favorvel

vender

H petrleo

Sem petrleoexplorar

0

0-30

6090

670

-130800

0-100

5 . Decidir

(.5)

(.5)a

(.7)

(.3)

270

60

270

123

123

52MQ 06/07


c

d

b

f

g

eh

Fazer estudo

Sem estudo

desfavorvel

favorvel

explorar

vender

H petrleo

Sem petrleo

H petrleo

Sem petrleo

H petrleo

Sem petrleo

explorar

vender

explorar

vender

0

0-30

0

670800

0-130

60

-10090

670

-130

60

700

-100

90

8000

8000

-10090

-10090

4 . Efectuar a anliseCalcular o Lucro Esperado

(.25)

(.75)

(.5)

(.5)

(1/7)

(6/7)

a

(.7)

(.3)

Custo da experincia 30

-15.7

270

100

60

270

100

123

123

apriori

a posteriori dado T = F

a posteriori dado T = D

123 - 100 = 23

27

53MQ 06/07



Realizando a experincia real LucroInfComExper = 153 K

Aumento esperado do lucro com experincia EVE = 53 K

Como EVE > 30 K vale a pena realizar a experincia

Custo da experincia real: 30 K

123 - 100 = 23(153 - 30) - 100 = 23(153 - 100) - 30 = 23EVE - Custo da experincia = Aumento esperado do lucro com a

experincia depois de subtrado o seu custo

54MQ 06/07

Teoria da Utilidade

Valores monetrios no so a nica medida possvel para avaliar as consequncias da tomada de deciso.

Exemplos: Uma aposta:

(100 000 ; 0.5) e (0 ; 0.5) | LucroEsperado = 50 000 ( 40 000 ; 1.0) e (0 ; 0.0) | LucroEsperado = 40 000

Um investimento Enorme lucro e enorme prejuzo (risco de falncia)

Seguros Porque que as pessoas compram seguros?

(investimento pobre sob ponto vista monetrio ...)

28

55MQ 06/07

Funes de Utilidade para o Lucro Monetrio

M

u(M)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

K

56MQ 06/07


0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110M

u(M)

K

Funo de utilidade marginal decrescente para valor monetrio: Averso ao risco

29

57MQ 06/07


M

u(M)

K

0

12

3

4

56

7

89

10

1112

13

14

1516

17

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Favorvel ao lucro

Averso ao risco

Neutro

Cada decisor tem a sua funo de utilidade e em geral dependentedo contexto. Como definir?

Preferncias do decisor

58MQ 06/07

Princpio da Indiferena

O decisor indiferente a duas alternativas que tenham o mesmo valor esperado de utilidade.

Exemplo: Funo de utilidade como a do exemplo; Oferta:

lucro = 100 000 ; u = 4; probabilidade = p lucro = 0 ; u = 0; probabilidade = 1 - p

Escolher entre pares de alternativas (definir valores de p): Oferta com p = 0.25 (E(u) = 1) ou obter com garantia 10 K (u(10 K ) = 1) Oferta com p = 0. 50 (E(u) = 2) ou obter com garantia 30 K (u(30 K ) = 2) Oferta com p = 0.75 (E(u) = 3) ou obter com garantia 60 K (u(60 K ) = 3)

E(u) = 4p

30

59MQ 06/07

Modelos para a Funo de Utilidade

Assumir que a funo de utilidade tem uma certa forma matemtica e ento ajust-la: Escala da funo de Utilidade irrelevante Somente os valores relativos de Utilidade interessam

Funo exponencial de utilidade

R - Tolerncia ao risco do decisor

Grande averso ao risco - Pequenos valores de R

Pequena averso ao risco - grandes valores de R

Modelo deaverso ao riscou(M ) = R 1 e

MR

60MQ 06/07

Funo Exponencial de Utilidade

0

10

20

30

40

50

60

70

0 50 100 150 200

R = 20

R = 40

R = 60

M

u(M)

Grande averso ao risco - Pequenos valores de R

Pequena averso ao risco - grandes valores de R

u(M ) = R 1 eMR

31

61MQ 06/07

Modelos para a Funo de Utilidade (2)

Vamos considerar uma caso em que os valores de M para os quais estamos interessados pertencem a [m-, m+]

u(M) = A B eMR

Onde

A = e m

R

e m

R em +

R

B = 1e

m

R em +

R

Fazendo R = m+, obtm uma funo cujo contradomnio [0, 1]

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