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Aderncia Distribuio Normal ou de Gauss PQNQC: Por que importante que as variveis possam ser descritas por uma distribuio normal?

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Aderncia Distribuio Normal ou de Gauss Motivo simples: Se as variveis respeitam uma distribuio normal, pode-se aplicar a grande maioria dos testes e mtodos estatsticos conhecidos. tem-se maior facilidade!

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Muitas variveis biolgicas apresentam uma distribuio equilibrada, em que os valores centrais so mais freqentes e os extremos, mais raros, sendo os valores muito baixos to pouco freqentes quanto os muito altos Tabela 09.01. Taxa de hemoglobina em 560 homens normais. Hemoglobina (g/100 mL)fi 12,5 |- 13,50,01 13,5 |- 14,50,06 14,5 |- 15,50,24 15,5 |- 16,50,38 16,5 |- 17,50,23 17,5 |- 18,50,07 18,5 |- 19,50,01

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Figura 09.01. Taxa de hemoglobina em 560 homens normais.

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Distribuio Simtrica Mdia, mediana e moda Distribuio com Assimetria Negativa moda mediana mdia Distribuio com Assimetria Positiva mdia mediana moda

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Regra Emprica Cerca de 95% da rea est a dois desvios padro. Cerca de 99,7% da rea est a trs desvios padro da mdia. Cerca de 68% da rea est a um desvio padro da mdia. 68%

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Tem forma de sino Simtrica em relao perpendicular que passa pela mdia () A mdia, a mediana e a moda so coincidentes A curva tem dois pontos de inflexo, um desvio-padro ( ) acima e abaixo da mdia A rea sob a curva totaliza 1 ou 100% Aproximadamente 68% ( 2/3) dos valores de x situam-se entre os pontos (- ) e (+ ) Aproximadamente 95% dos valores de x esto entre (-2 ) e (+2 ) Aproximadamente 99,7% dos valores de x esto entre (-3 ) e (+3 ) Figura 09.02. Curva normal. A rea hachurada est compreendida entre - e + e corresponde a aproximadamente 68% da rea total que fica abaixo da curva normal.

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68% dos valores de X encontram-se entre os pontos ( - ) e ( + ). 95,5% dos valores de X encontram-se entre os pontos ( - 2 ) e ( +2 ). 99,7% dos valores de X encontram-se entre os pontos ( - 3 ) e ( +3 ).

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Utilidade Considere que a glicemia tenha distribuio normal, com mdia igual a 90 mg e desvio-padro 5 mg na populao de pessoas sadias. Pode-se concluir que: Aproximadamente 2/3 ( 68%) da populao de indivduos sadios possuem valores de glicemia entre (- ) = 90-5 = 85 mg e (+ ) = 90+5 = 95 mg Grande parte ( 95%) das pessoas sadias tem glicemia entre (-2 ) = 90-2(5) = 80 e (+2 ) = 90+2(5) = 100 mg Praticamente todos ( 99,7%) os indivduos da populao tem valores entre (-3 ) = 75 e (+3 ) = 105 mg A probabilidade de que uma pessoa saudvel tenha um valor de glicemia em jejum entre 90 () e 95 (+ ) de aproximadamente 0,34

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A distncia entre a mdia e um ponto qualquer dado em nmero de desvios padres (z) Normal padronizada Normal no padronizada z = x - x 0 z P P

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Propriedades da curva normal obtidas a partir da curva normal padronizada ou reduzida = 0 e = 1 as reas desta curva esto tabeladas z = nome da varivel tabelada Quando z = 1 ( z = ) a rea entre este valor e a mdia 0,3413 ou 34,13% A rea entre z = -1 e z = +1 0,6826

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Exemplo 1. Qual a rea correspondente a valores de z acima de 2,3? A curva toda tem rea = 1, portanto a rea a direita de zero 0,5 Na tabela da curva normal, verifica-se que a rea entre z = 0 e z = 2,3 0,4893 A rea direita de 2,3, portanto, 0,5 0,4893 = 0,0107

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Exemplo 2. Qual a rea compreendida entre z = - 1,5 e z = 1? Segundo a tabela da curva normal, a rea entre z = 0 e z = -1,5 0,4332 A rea entre z = 0 e z = 1 0,3413 Portanto a rea desejada 0,4332 + 0,3413 = 0,7745

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As variveis observadas na prtica (x) apresentam valores cujas reas no esto tabeladas Os valores de x podem ser transformados na varivel z, para obteno das reas na tabela da curva normal onde e so a mdia e o desvio-padro populacionais para a varivel x

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Volta

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- + 0z

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Exemplo 4. Um treinador deseja selecionar, dentre os jovens que esto prestando servio militar no quartel Q, aqueles com uma estatura de no mnimo 180 cm, para formar um time de basquete. Que percentagem esperada de jogadores em potencial, sabendo-se que a estatura tem distribuio normal e, nesses jovens, a mdia 175 cm, e o desvio-padro, 6 cm? 1)Desenhar a curva normal, hachurando-se a rea de interesse 2)Transformar a varivel estatura (x) na varivel padronizada z

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Exemplo 4 Para x = 175, z = (x - )/ = (175-175)/6 = 0 Para x = 180, z = (180 175)/6 = 0,83 Verifica-se na tabela de distribuio da normal que a rea entre z = 0 e z = 0,83 0,2967 e a rea alm de 0,83 (0,5 0,2967) = 0,2033 Portanto, 20,33% dessa populao so constitudos de indivduos com estatura igual ou superior a 180 cm. Se 140 jovens esto prestando servio militar no quartel Q, o nmero esperado de rapazes que pode ser convidado para participar do time de basquete 20,33% de 140 0,2033 x 140 = 28,46, isto , 28 jovens

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Exemplo 5. Um pesquisador quer selecionar 10% de indivduos que emergem primeiro da pupa, de uma populao de moscas. Sabendo que o tempo mdio de emergncia de 273 horas com desvio-padro de 20 horas, qual o tempo-limite a partir do qual os indivduos que emergem no interessam mais ao pesquisador?

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Exemplo 5. A tabela de distribuio da normal mostra que z = -1,28 o valor que separa uma rea caudal correspondente a 0,10 da rea e outra, adjacente a mdia, de 0,40 Transformando-se z em x, obter-se- o tempo de desenvolvimento que limita uma rea caudal de 10% esquerda da curva de tempos de emergncia Da frmula de transformao (z = (x - )/ ), obtem-se que: -1,28 = (x-273)/20 -25,6 = x 273 x = -25,6 + 273 x = 247,4 247h Ou seja, os indivduos que levarem mais de 247 horas para emergirem sero descartados

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Os desvios da mdia que se encontram prximos da mdia populacional so considerados estatisticamente no significativos Fica estabelecido um intervalo ao redor da mdia, denominado intervalo de desvios no significativos, que corresponde a 95% dos valores da populao este valor arbitrrio e denomina-se rea ou regio de no significncia (C) Os valores que ficarem fora do intervalo dos desvios no- significativos so considerados desvios significativos A letra indica a regio de significncia ou nvel de significncia Os valores de mais utilizados so = 0,05, = 0,01 e = 0,001

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Seqncia de procedimentos para se determinar a significncia de um desvio Escolher inicialmente o critrio ou o nvel de significncia desejado (por exemplo, = 0,05) Obter o valor crtico de z da tabela (neste caso, z = z 0,05 = 1,96) Calcular o afastamento entre a mdia amostral ( x ) e a mdia populacional (), ou seja x - , em erros-padro, usando a frmula: Regra de deciso Se |z calc | < z, o desvio dito no-significativo Se |z calc | z, o desvio dito significativo

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Exemplo 6 Um pesquisador verificou a presso arterial de cinco executivos do sexo masculino, na faixa de 40 a 44 anos, escolhidos aleatoriamente, obtendo: 135; 143; 149; 128 e 158 mmHg mdia amostral = 142,6 mmHg Sero os dados suficientes para afirmar que os executivos apresentam presso arterial sistlica diferente daquela observada na populao de homens com essa idade? Na reviso de literatura, o pesquisador, verificou que, nessa populao e faixa etria, a mdia de presso arterial 129 mmHg, com desvio-padro de 15 mmHg

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Exemplo 6 Dado que x = 142,6; = 129,0; = 15; n = 5 e z = 1,96: Como z calc = 2,03 > z 0,05 = 1,96 Portanto, conclui-se que, para o critrio escolhido, a mdia obtida dos cinco executivos (142,6) desvia-se significativamente da mdia da populao de homens da mesma faixa etria, estando mais elevada

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Exemplo 7 Considere a alcalinidade mdia do rio Ca como sendo de 19,6 mg de CaCO 3 /L, com desvio-padro de 7,7 mg/L Voc coletou 16 amostras de gua e obteve uma mdia de 16,2 mg/L Esta mdia indica que houve alterao significativa na alcalinidade do rio?

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Exemplo 7 Considerando = 0,05, aplica-se a frmula: Como |-1,77| < z 0,05 = 1,96, conclui-se que no h evidncias suficientes para se afirmar que houve alterao na alcalinidade deste rio, para = 0,05

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Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuio Normal, com mdia 120 min e desvio padro 15 min. a) Sorteando um aluno ao acaso, qual a probabilidade que ele termine o exame antes de 100 minutos? X: tempo gasto no exame vestibular X ~ N(120; 15 2 ) Tabela Z.

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b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado? z = ? tal que A(z) = 0,95. Pela tabela z = 1,64. x = 120 +1,64 15 x = 144,6 min. X: tempo gasto no exame vestibular X ~ N(120; 15 2 ) Tabela Z.

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c) Qual o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para completar o exame? z = ? tal que A(z) = 0,90 Pela tabela, z = 1,28. x 1 = 120 - 1, 28 15 x 1 = 100,8 min. x 2 = 120 +1,28 15 x 2 = 139,2 min. X: tempo gasto no exame vestibular X ~ N(120, 15 2 ) Tabela Z.