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ACÇÃO E EFEITOS DO VENTO EM EDIFÍCIOS ALTOS

Ricardo Miguel de Matos Camarinha

Mestrado em Engenharia Civil

Orientador: Doutor João Sérgio Nobre Duarte Cruz

Provas Concluídas em Outubro de 2008

Resumo

Este trabalho tem como objectivo o estudo da acção e efeitos do vento em edifícios altos,

onde a interacção estrutura-vento assume em geral um papel condicionante. Pretende-se

abordar a formulação geral do problema da interacção estrutural do vento em torno de

uma estrutura, bem como das técnicas simplificadas para aproximar as soluções.

Abordam-se os conceitos base de mecânica de fluidos e dinâmica estrutural que

conduziram ao desenvolvimento de um programa de simulação que permite calcular no

domínio do tempo o comportamento do edifício envolvido por um escoamento

irrotacional e incompressível. Pretende-se com esta abordagem criar uma ferramenta de

cálculo acessível e prática para a fase de pré-dimensionamento da estrutura e geometria

de edifícios altos.

Apresentam-se as abordagens propostas pelos regulamentos internacionais mais

actualizados neste tema, sendo no entanto utilizado como referência o Eurocódigo 1.

Efectua-se uma comparação qualitativa entre os vários regulamentos.

São referidos os principais problemas deste tipo de edifícios em serviço, bem como

técnicas correntes para avaliação de conforto humano no seu interior.

Com recurso ao modelo de simulação estrutural desenvolvido, analisou-se um caso de

estudo de um edifício em projecto, comparando-se esta análise com os resultados obtidos

através da aplicação do Eurocódigo 1.

Palavras-Chave:

Vento; Edifícios Altos; Factor de Rajada; Métodos de Painéis; “Time-History”;

iii

WIND ACTIONS AND EFFECTS ON TALL BUILDINGS

Ricardo Miguel de Matos Camarinha

Master in Civil Engineering

Advisor: Doctor João Sérgio Nobre Duarte Cruz

Abstract

This work presents a study of wind actions and effects on tall buildings. Wind action and

effects are very common and important on slender structures. This study intends to

describe the general formulation of the problem of wind and structures interaction, as

well as the simplified techniques to gather solutions.

For this purpose, fundamentals of fluid mechanics and structural dynamics are introduced.

An automatic routine was built to predict buildings interaction inside an irrotational and

incompressible flow field with some particular phenomena added. This analysis is made in

time domain. The scope of this methodology is to create an accessible and useful tool for

pre-design phase. The tool developed allows for optimization of structural and

geometrical properties of buildings.

Most important international codes are considered, however Eeurocode 1 is the reference

code for application in calculation. Some qualitative aspects of each code are discussed.

Vibration problems of tall buildings are investigated, thus some techniques for human

comfort evaluation in higher floors are considered.

Software built and Eurocode 1 were applied to a real case study. Some results are

compared and discussed.

Keywords:

Wind; Tall Buildings; Gust Load Factor; Panel Methods; Time-History

v

AGRADECIMENTOS

O meu agradecimento àqueles que de alguma forma contribuíram para a realização deste

trabalho, em particular:

Ao Professor Sérgio Cruz que me permitiu estudar este tema e que desde o início suportou

todo o trabalho.

Ao Professor Jorge de Brito por quem guardo grande estima e que sempre demonstrou

disponibilidade para auxiliar decisões importantes.

Aos colegas do DECivil e do DMat que me apoiaram sempre que necessário em temas da

especialidade ou simplesmente no quotidiano.

À afaconsult no geral que sempre compreendeu as dificuldades de conciliação de um

trabalho desta complexidade e de uma vida profissional, conseguindo criar oportunidades

de trabalho fantásticas e disponibilizando todo o material necessário. Em particular ao

Marco Carvalho, à Margarida Ruivo, ao Domingos Monteiro e ao Rui Ribeiro.

À minha família que me permitiu chegar ao final deste longo ciclo e que certamente me

apoiará na continuidade de trabalhos futuros, em especial aos meus pais, irmã e à Inês.

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They were called skyscrapers, a name to exalt the human mind.

Marco Salvadori, Why Buildings Stand Up

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ÍNDICE GERAL

AGRADECIMENTOS ............................................................................................................................ V

ÍNDICE GERAL.....................................................................................................................................IX

ÍNDICE DE FIGURAS ........................................................................................................................ XIII

ÍNDICE DE TABELAS ...................................................................................................................... XVII

SIMBOLOGIA .................................................................................................................................... XIX

LISTA DE ABREVIATURAS .............................................................................................................. XXI

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 1

1.1 Contexto temático ..................................................................................................................... 1

1.2 Objectivo .................................................................................................................................... 4

1.3 Estrutura do documento ........................................................................................................... 5

CAPÍTULO 2 CIRCULAÇÕES ATMOSFÉRICAS ................................................................................. 7

2.1 Hidrodinâmica da Atmosfera ................................................................................................... 8

2.1.1 Força de Coriolis ................................................................................................................... 9

2.1.2 Velocidade Geostrófica ....................................................................................................... 10

2.2 Escoamento na Camada Limite .............................................................................................. 11

2.2.1 Conceito de rugosidade ...................................................................................................... 12

2.2.2 Direcção da velocidade do vento ....................................................................................... 13

2.2.3 Velocidade do Vento ........................................................................................................... 14

2.2.3.1 Velocidade média ...................................................................................................................... 16

2.2.3.2 Parcela aleatória da velocidade ............................................................................................... 17

CAPÍTULO 3 CONCEITOS DE MECÂNICA DE FLUÍDOS ................................................................ 19

3.1 Caracterização de estados fluidos .......................................................................................... 19

3.1.1 Lei dos gases ideais (Equação de estado).......................................................................... 19

3.1.2 Primeira lei da Termodinâmica ......................................................................................... 19

3.1.3 Equação da Continuidade ................................................................................................... 20

3.1.4 Equações de movimento – Euler e Navier-Stokes ............................................................ 20

3.1.5 Escoamentos Laminares e Turbulentos ............................................................................ 22

3.2 Estatística da Turbulência ...................................................................................................... 23

3.2.1 Formulação geral da turbulência ....................................................................................... 23

3.2.2 Teorema ergódico ............................................................................................................... 24

x

3.2.3 Hipótese congelada de Taylor ............................................................................................ 24

3.2.4 Formulação da intensidade da turbulência....................................................................... 25

CAPÍTULO 4 ESCOAMENTO EM TORNO DE EDIFÍCIOS ............................................................... 27

4.1 Forças resultantes da interacção vento-estrutura ................................................................ 27

4.2 Coeficientes de Força e Pressão ............................................................................................. 28

4.3 Características do escoamento ............................................................................................... 28

4.3.1 Efeito do número de Reynolds ........................................................................................... 29

4.4 Forças e pressões flutuantes .................................................................................................. 30

4.4.1 Flutuações induzidas pelo obstáculo e formação de turbilhões ...................................... 30

4.5 Escoamento Tridimensional ................................................................................................... 35

CAPÍTULO 5 ACÇÃO DO VENTO EM EDIFÍCIOS ALTOS ............................................................... 37

5.1 Introdução................................................................................................................................ 37

5.2 Hipótese Quase-Estacionária .................................................................................................. 38

5.3 Quantificação de pressões e forças flutuantes num edifício ................................................ 40

5.4 Resposta de fundo e resposta ressonante ............................................................................. 42

5.5 Modelos de caracterização da acção longitudinal do vento ................................................. 43

5.5.1 Contextualização e Generalidades ..................................................................................... 43

5.5.2 Método DGLF (Displacement Gust Load Factor) .............................................................. 44

5.5.3 Método MGLF (Moment Gust Load Factor) ....................................................................... 50

5.5.4 Factor de Resposta Dinâmico – DRF .................................................................................. 54

5.5.5 Combinação Linear das componentes de Fundo e de Ressonância ................................ 55

5.6 Modelos para caracterização da acção transversal e de torção do vento .......................... 58

5.6.1 Efeito lateral e de torção do vento – Factores de Rajada ................................................. 58

5.6.2 Quantificação do desprendimento de turbilhões ............................................................. 61

5.6.2.1 Modelos lineares e não lineares de Scanlan ............................................................................ 61

5.6.2.2 Modelo 3D de Vickery & Basu .................................................................................................. 62

5.7 Túnel de Vento ......................................................................................................................... 64

5.8 Computação dinâmica de fluido ............................................................................................. 65

CAPÍTULO 6 ABORDAGEM PROPOSTA ........................................................................................ 67

6.1 Geração de séries sintéticas de vento .................................................................................... 68

6.1.1 Introdução ........................................................................................................................... 68

6.1.2 Formulação de Séries de Vento num ponto ...................................................................... 68

6.1.3 Formulação de Séries com variabilidade espacial ............................................................ 72

6.1.4 Processo vectorial ............................................................................................................... 75

6.2 Escoamentos potenciais em torno de um edifício ................................................................ 76

6.2.1 Soluções do escoamento potencial .................................................................................... 77

xi

6.2.2 Método dos Painéis ............................................................................................................. 81

6.3 Vibrações aeroelásticas e desprendimento de vórtices ....................................................... 89

6.4 Método dinâmico de análise ................................................................................................... 92

6.5 Estrutura do programa de cálculo ......................................................................................... 94

CAPÍTULO 7 VIBRAÇÃO DE EDIFÍCIOS ALTOS ............................................................................ 95

7.1 Comportamento estrutural ..................................................................................................... 96

7.2 Avaliação do conforto no interior de edifícios altos ............................................................. 97

7.2.1 Evolução dos modelos ........................................................................................................ 97

7.2.2 Métodos regulamentares .................................................................................................... 99

7.3 Minimização das vibrações estruturais – Sistemas estruturais ......................................... 101

7.3.1 Alterações ou adição de elementos estruturais .............................................................. 101

7.3.2 Alterações geométricas dos edifícios............................................................................... 102

7.3.3 Adição de elementos dissipadores - amortecedores ...................................................... 102

7.3.3.1 Amortecedores Passivos ........................................................................................................ 103

7.3.3.2 Amortecedores Activos .......................................................................................................... 104

7.3.3.3 Amortecedores Híbridos (HMDs) .......................................................................................... 104

7.3.3.4 Amortecedores Semi-Activos ................................................................................................. 105

7.4 Optimização de sistemas TMD sob a excitação do vento ................................................... 105

CAPÍTULO 8 MÉTODOS PROPOSTOS NOS REGULAMENTOS INTERNACIONAIS .................... 109

8.1 Introdução.............................................................................................................................. 109

8.2 Descrição das características do vento ................................................................................ 110

8.2.1 Velocidade Básica do Vento.............................................................................................. 110

8.2.2 Comportamento médio do vento ..................................................................................... 111

8.3 Intensidade da turbulência ................................................................................................... 112

8.4 Função espectral do vento, Escalas de Comprimento de Turbulência e Correlação da

estrutura do vento .............................................................................................................................. 113

8.5 Quantificação da Acção de Rajada do Vento (GLF) ............................................................. 114

CAPÍTULO 9 CASO DE ESTUDO ................................................................................................... 117

9.1 Descrição do caso de estudo ................................................................................................. 117

9.2 Caracterização dinâmica do edifício .................................................................................... 118

9.3 Caracterização da acção pelo EC 1-4 .................................................................................... 119

9.3.1 Acção Longitudinal – MGLF .............................................................................................. 119

9.3.2 Acção Transversal – Desprendimento de turbilhões (Anexo EC 1-4) ........................... 120

9.3.2.1 Deslocamento máximo devido a vibrações transversais ..................................................... 121

9.3.2.2 Forças de desprendimento dos turbilhões ........................................................................... 123

9.4 Caracterização da acção pela abordagem proposta ............................................................ 123

9.4.1 Interface Gráfica do Programa e dados de Input ............................................................ 123

xii

9.4.2 Caracterização da acção.................................................................................................... 124

9.4.3 Caracterização da Resposta .............................................................................................. 125

9.4.3.1 Forças e Esforços .................................................................................................................... 125

9.4.3.2 Deslocamentos e Acelerações ................................................................................................ 126

9.5 Variação da geometria .......................................................................................................... 131

9.6 Alguns Exemplos de Edifícios Existentes ............................................................................ 132

9.6.1 Burj Dubai .......................................................................................................................... 132

9.6.2 Taipei 101 .......................................................................................................................... 134

CAPÍTULO 10 CONCLUSÕES .......................................................................................................... 137

CAPÍTULO 11 REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 141

ANEXOS ................................................................................................................................................. I

A.1 Resposta de Sistemas Estruturais a Acções Periódicas ........................................................... I

A.2 Algoritmo FFT ......................................................................................................................... VIII

A.3 Fundamentos da teoria de variáveis aleatórias ...................................................................... X

xiii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1-1 - Zona de acção do espectro do vento e espectro do sismo (Natural Hazard Laboratory -

Web) ................................................................................................................................................................................................. 1

Figura 1-2 – Diagrama comparativo da distribuição de forças em altura para: (a) cargas

permanentes (b) resultantes da acção do vento ........................................................................................................... 2

Figura 2-1 - Pressões verticais numa massa elementar de ar ................................................................................ 8

Figura 2-2 - Direcção da resultante do gradiente de pressões ............................................................................... 8

Figura 2-3 - Movimento aparente das partículas de ar devido à rotação da terra (Holmes J. D., 2007)

............................................................................................................................................................................................................. 9

Figura 2-4 - Evolução das resultantes de forças exercidas no escoamento atmosférico (Simiu &

Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996) ................................................................................................................. 10

Figura 2-5 - Relações da velocidade média e turbulência em altura (Nepf, 2002) ..................................... 12

Figura 2-6 - Influência da textura da superfície no escoamento (Nepf, 2002) ............................................. 13

Figura 2-7 - Comportamento vectorial (em espiral) da velocidade do vento no interior da camada

limite (Holmes J. D., 2007) ................................................................................................................................................... 14

Figura 2-8 - Registo variável da velocidade do vento no domínio do tempo (Simiu & Scanlan, Wind

Effects on Structures, 1996)................................................................................................................................................ 15

Figura 2-9 - Comportamento aleatório da velocidade no domínio da altura z (Bulletin D'Information

N 209 - Vibration Problems in Structures) ................................................................................................................... 15

Figura 3-1 - Transição entre escoamentos laminares e turbulentos. Formação de turbilhões (Nepf,

2002) ............................................................................................................................................................................................. 22

Figura 4-1 – Forças resultantes da interacção do escoamento-estrutura em torno de um corpo ...... 27

Figura 4-2 – Zonas de separação do escoamento em torno de formas rectangulares .............................. 28

Figura 4-3 – Comportamento típico do coeficiente de arrastamento em função do número de

Reynolds (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996) ......................................................................... 29

Figura 4-4 - Formação da estrada de von Karman num escoamento que atravessa uma secção

circular .......................................................................................................................................................................................... 31

Figura 4-5 – Regimes de escoamento em torno de um cilindro (Holmes J. D., 2007) .............................. 31

Figura 4-6 – Comportamento das velocidades de escoamento e frequências de desprendimento de

vórtices durante o fenómeno de “lock-in” (Bachman, Ammann, Deischl, & Eisenmann, 1994)........... 33

xiv

Figura 4-7 – Variação do número de Strouhal com o número de Reynolds para uma secção circular

(Holmes J. D., 2007) ................................................................................................................................................................ 33

Figura 4-8 – Sub-regimes de escoamento em regime de transição (Holmes J. D., 2007) ........................ 34

Figura 4-9 – Escoamento tridimensional esquemático em torno de obstáculos (Pinheiro, 2004). .... 35

Figura 5-1 – Diagrama de um corpo esbelto em consola, dividido em N secções transversais

(Pinheiro, 2004). ...................................................................................................................................................................... 40

Figura 5-2 – Função de densidade espectral de resposta de uma estrutura com resposta ressonante

significante (Hu, 2006) .......................................................................................................................................................... 42

Figura 5-3 – Diagrama ilustrativo das correlações de acções em torno de uma estrutura sob acção

longitudinal do vento ............................................................................................................................................................. 48

Figura 5-4 – Diagrama comparativo da metodologia do modelo DGLF e MGLF (Kareem & Zhou, Gust

Loading Factor: New Model, 2001) .................................................................................................................................. 52

Figura 5-5 – Exemplo de aplicação de CFD a uma edifício de secção quadrada – Escoamento no

plano X-Z (esquerda) e distribuição de pressões (direita) (Mendis, Ngo, Haritos, & Hira, 2007) ....... 65

Figura 5-6 – Exemplo de aplicação de CFD a um edifício de secção quadrada – Escoamento no plano

X-Y (esquerda) e comparação com linhas equipotenciais teóricas (direita) (Mendis, Ngo, Haritos, &

Hira, 2007) .................................................................................................................................................................................. 66

Figura 6-1 – Diagrama de forças de um corpo imerso num escoamento com velocidade �∞ .............. 67

Figura 6-2 – Soluções das equações de escoamento potencial: (a) Escoamento uniforme (b) Campo

de Fonte (c) Vórtice ................................................................................................................................................................ 77

Figura 6-3 – Diagrama resultante da combinação do escoamento uniforme com o escoamento de

fonte ............................................................................................................................................................................................... 81

Figura 6-4 – Diagrama de forças de um corpo imerso num escoamento com velocidade �∞ .............. 82

Figura 6-5 – Diagrama de tensões resultantes de um campo de vórtices ...................................................... 86

Figura 6-6 – Soluções da condição de Kutta ................................................................................................................ 88

Figura 6-7 - Esquema do modelo oscilador acoplado para vibrações induzidas pelo desprendimento

de vórtices ................................................................................................................................................................................... 90

Figura 6-8 - Esquema do modelo oscilador acoplado para vibrações induzidas pelo desprendimento

de vórtices ................................................................................................................................................................................... 92

Figura 6-9 - Posição geométrica do piso i no instante � = �0 + ∆�.................................................................... 93

Figura 6-10 - Estrutura do programa de cálculo da interacção vento-estrutura ........................................ 94

Figura 7-1 – Fenómenos dinâmicos induzidos pelo vento .................................................................................... 96

xv

Figura 7-2 – Ábaco de avaliação de conforto – Amplitude de deslocamento vs período (a) Critério de

sensibilidade dos ocupantes às acelerações do edifício (b) (Kilpatrick, 1996) ........................................... 98

Figura 7-3 – Distribuição dos limites de percepção da vibração do edifício. (Kilpatrick, 1996) ......... 98

Figura 7-4 – Acelerações toleráveis vs Número médio anual de tempestades (Davenport)

(Kilpatrick, 1996) .................................................................................................................................................................... 99

Figura 7-5 – Recomendações para avaliação da tolerância das vibrações induzidas pela acção do

vento (Isyumov, 1993) (Kilpatrick, 1996) ................................................................................................................. 100

Figura 7-6 – Ábaco tridimensional de avaliação da percepção das vibrações do edifício – Amplitude

de deslocamento, frequência e aceleração (Bachman, Ammann, Deischl, & Eisenmann, 1994) ....... 100

Figura 7-7 – Ilustração dos modelos de funcionamento das técnicas de amortecimento Passivo (a),

Semi-activo (b) e Activo (c) (Datta, 2003) ................................................................................................................. 103

Figura 7-8 – Sistemas estrutural de um edifício de M graus de liberdade com um TMD acoplado no

piso i+1 (Li, Cao, Li, Li, & Liu, 1999) ............................................................................................................................. 105

Figura 8-1 – Comparação das funções velocidade normalizada (a), intensidade da turbulência (b) e

densidade espectral (c) nos vários regulamentos – ASCE, AS1170, NBC, AIJ, EC1. ................................. 112

Figura 9-1 – Ilustração do caso de estudo ................................................................................................................. 117

Figura 9-2 – Principais modos de vibração do caso de estudo ......................................................................... 119

Figura 9-3 – Interface gráfica do software desenvolvido para resolução do modelo proposto ........ 124

Figura 9-4 – Variação da velocidade em altura de acordo com EC 1-4 (3s) ............................................... 124

Figura 9-5 – Diagrama ilustrativo de séries de vento aleatórias correlacionadas no espaço a z=0m

(a) z=100m (b) e z=200m (c) .......................................................................................................................................... 125

Figura 9-6 – Diagramas de esforços na base do edifício ao longo do tempo (a) momentos flectores

(b) esforços transversos .................................................................................................................................................... 126

Figura 9-7 – Diagramas de Deslocamentos no topo do edifício (z=200m) ao longo do tempo ......... 126

Figura 9-8 – Diagramas de Aceleração no topo do edifício (z=200m) ao longo do tempo .................. 126

Figura 9-9 – Valores registados de momentos na base em função da frequência de desprendimento

de turbilhões na esteira do edifício............................................................................................................................... 128

Figura 9-10 – Valores registados de momentos na base em função da frequência de desprendimento

de turbilhões na esteira do edifício............................................................................................................................... 129

Figura 9-11 – Variação da frequência óptima de vibração e do rácio de amortecimento do TMD em

função da massa do TMD ................................................................................................................................................... 130

Figura 9-12 – Ilustração da alteração à secção: arredondamento dos cantos ........................................... 131

xvi

Figura 9-13 – Comparação dos momentos na base do edifício, por efeito das forças longitudinais

para a secção quadrada e uma secção idêntica de cantos arredondados. ................................................... 132

Figura 9-14 – Torre Burj Dubai (a) Modelo de estudo em túnel de vento (b) Fotomontagem do

edifício ....................................................................................................................................................................................... 133

Figura 9-11 – Torre Taipei 101 (a) Modelo de estudo em túnel de vento (b) Fotografia do edifício

....................................................................................................................................................................................................... 134

Figura 9-12 – Ilustração da optimização da secção transversal do edifício para efeitos do vento .. 134

Figura 9-13 – Ilustração do TMD aplicado nos pisos superiores do Taipei 101....................................... 135

xvii

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 2-1 - Definição das escalas das circulações atmosféricas (Simiu & Scanlan, Wind Effects on

Structures, 1996) ........................................................................................................................................................................ 7

Tabela 5-1– Tabela resumo das principais relações dos métodos DGLF e MGLF ....................................... 54

Tabela 6-1– Parâmetros do desprendimento de vórtices ..................................................................................... 91

Tabela 7-1 – Sistemas de amortecimento passivo com dissipação indirecta de energia ..................... 103

Tabela 7-2 – Sistemas de amortecimento passivo com dissipação directa de energia ......................... 104

Tabela 7-3 – Sistemas de amortecimento activo .................................................................................................... 104

Tabela 8-1 – Tempos médios nos diferentes regulamentos .............................................................................. 110

Tabela 8-2 – Coeficientes de definição dos perfis de vento segundo os vários regulamentos

“padronizados”....................................................................................................................................................................... 112

Tabela 8-3 – Coeficientes para definição do perfil da intensidade de turbulência de acordo com os

vários regulamentos ............................................................................................................................................................ 113

Tabela 8-4 – Funções de densidade espectral do vento de acordo com os vários regulamentos ..... 113

Tabela 8-5 – Definição do Factor de rajada –GLF- de acordo com os vários regulamentos ................ 115

Tabela 9-1 – Descrição do Caso de Estudo ................................................................................................................ 117

Tabela 9-2 – Caracterização dinâmica do caso de estudo – Modos de vibração e participações

modais ........................................................................................................................................................................................ 118

Tabela 9-3 – Aplicação do MGLF de acordo com o EC 1-4 .................................................................................. 120

xix

SIMBOLOGIA

- grandeza angular

- função de campo de vórtices

� - circulação

� - espessura da camada limite

� - coeficiente de amortecimento

�� - espessura da subcamada laminar do escoamento

� - coeficiente de amortecimento

� - distância angular

� - comprimento de onda

� - função de campo de fonte

ν - viscosidade cinemática

� - vorticidade

� - massa volúmica do ar

�� - desvio padrão da função �

� - tensão de corte

�� - tensão de corte na camada de superfície

φ - função potencial

Φ - função de forma modal � - função deslocamento

� - velocidade angular

��, ��

� �, ��!� - gradientes de pressão

A – área de um elemento ou corpo

B - factor de fundo

"# - Coeficiente de pressão

"$, "$% - Coeficiente de sustentação

"# - Coeficiente de direccionalidade

"% - Coeficiente de exposição

"& - Coeficiente de importância

"' - Coeficiente de retorno

D - componente de arrastamento do vento

xx

G - aceleração da gravidade

( - velocidade geostrófica

) - constante de von Karman

* - número de onda

+ - pressão do ar atmosférico

L - componente de sustentação do vento

,! - Comprimento de turbulência

-, . - massa

-/ - quantidade de movimento

M - momento induzido pelo vento

n - vector normal

0& - frequência do modo de vibração i

1 - raio de curvatura

r - vector de deslocamentos

2 - constante universal dos gases (Rayleigh)

2 - factor de ressonância

2� - autocorrelação da função x

23 - número de Reynolds

4, 6 - distâncias lineares

6� - função densidade espectral

6� - número de Strouhal

67 - número de Scruton

t - variável tempo

T - amostra de tempo

"v" , u, w - velocidades lineares instantâneas

V, U, W - velocidades lineares médias

xxi

LISTA DE ABREVIATURAS

BEWSL – “Background Equivalent Wind Static Loading”/Carregamento Estático

Equivalente de fundo

DGLF – “Displacement Gust Loading Factor”/Factor de Rajada do Deslocamento

DRF – “Dynamic Response Factor”/Factor de resposta dinâmica

ESWL – “Equivalent Static Wind Loading”/Carregamento Estático Equivalente do Vento

GLF – “Gust Loading Factor”/Factor de Rajada

HFBB – “High Frequency Base Balance”

LRC – “Load Response Correlation”/Factor de correlação carregamento-resposta

MGLF – “Moment Gust Loading Factor”/Factor de Rajada do Momento na Base

REWSL – “Resonant Equivalent Wind Static Loading”/Carregamento Estático Equivalente

de Ressonância

Capítulo 1

INTRODUÇÃO

1.1 Contexto temático

A construção dos edifícios altos remonta ao

exactamente edifício alto ou “arranha

muito genérica que um edifício seja considerado alto a partir dos 35m e um “arranha

a partir dos 150m de altura. No domínio da engenharia de estruturas e nomeadamente

neste documento, considera-se um edifício alto sempre que a acção condicionante no seu

cálculo é o vento.

São diversos os motivos que têm

simbolismo de hegemonia e poder e

grandes metrópoles têm levado a que nas últimas décadas a construção de edifícios em

altura ganhou especial destaque.

investigadores na área da engenharia de edifícios altos.

Figura 1-1 - Zona de acção do espectro do vento e espectro do sismo

Acção e Efeitos do Vento em Edifícios Altos

Contexto temático

A construção dos edifícios altos remonta ao início do século XX. É difícil definir

ou “arranha-céus”, contudo é normalmente aceite de uma forma

muito genérica que um edifício seja considerado alto a partir dos 35m e um “arranha


se um edifício alto sempre que a acção condicionante no seu

São diversos os motivos que têm conduzido o homem à construção em altura, contudo

simbolismo de hegemonia e poder e a necessidade de rentabilização dos terreno

têm levado a que nas últimas décadas a construção de edifícios em

ganhou especial destaque. Desde então, são reconhecidos inúmeros esforços de

engenharia de edifícios altos.

Zona de acção do espectro do vento e espectro do sismo (Natural Hazard Laboratory

do Vento em Edifícios Altos

É difícil definir

céus”, contudo é normalmente aceite de uma forma

muito genérica que um edifício seja considerado alto a partir dos 35m e um “arranha-céus”


se um edifício alto sempre que a acção condicionante no seu

o homem à construção em altura, contudo o

terrenos das

têm levado a que nas últimas décadas a construção de edifícios em

são reconhecidos inúmeros esforços de

(Natural Hazard Laboratory - Web)

Capítulo 1 – Introdução

Todos os domínios têm vindo a ser aprofundados e

concepção, construção, bem como nas novas tecnologias que definem um papel crucial na

monitorização deste tipo de estruturas.

No domínio das acções, o vento

resposta dos edifícios altos sob acção do vento é uma área da engenharia d

anos de investigação.

A grande extensão em altura

carga horizontal torna a estabilização lateral

partir de um determinado nível acima do solo, a distribuição de forças horizontais

se geralmente o factor condicionante para o cálculo dos elementos estruturais.

Relativamente ao sismo, que por regra é a acção condicionante para os edifícios mais

baixos, o vento como acção horizontal

acordo com a Figura 1-1, é facilmente compreensível que

frequências baixas, característica comum a todos os edifícios esbeltos, o vento seja

condicionante. Na realidade, quando

de frequências do vento, resultam

ressonância. Não obstante, recorrendo

conjunto de forças horizontais

proporcional ao quadrado desta dimensão, enquanto a resultante das cargas permanentes

da estrutura varia linearmente com a

Figura 1-2 – Diagrama comparativo da distribuição de forças em altura

Todos os domínios têm vindo a ser aprofundados e desenvolvidos, desde a acção,

como nas novas tecnologias que definem um papel crucial na

monitorização deste tipo de estruturas.

o vento assume naturalmente grande destaque. A previsão da

resposta dos edifícios altos sob acção do vento é uma área da engenharia do vento com 40

extensão em altura dos edifícios e, por consequência, a sua susceptibilidade à

a estabilização lateral um factor determinante no seu projecto

partir de um determinado nível acima do solo, a distribuição de forças horizontais

se geralmente o factor condicionante para o cálculo dos elementos estruturais.


como acção horizontal assume um papel quase sempre domina

é facilmente compreensível que, para estruturas flexíveis com


quando a frequência natural do edifício se aproxima da gama

do vento, resultam na grande maioria dos casos fenómenos de

Não obstante, recorrendo às leis de equilíbrio estático, é evidente

s horizontais distribuídas em altura resultam num momento

drado desta dimensão, enquanto a resultante das cargas permanentes

linearmente com a altura.

Diagrama comparativo da distribuição de forças em altura para: (a) cargas permanentes

resultantes da acção do vento

desde a acção,

como nas novas tecnologias que definem um papel crucial na

grande destaque. A previsão da

o vento com 40

eptibilidade à

seu projecto. A

partir de um determinado nível acima do solo, a distribuição de forças horizontais torna-


assume um papel quase sempre dominante. De

para estruturas flexíveis com


natural do edifício se aproxima da gama

na grande maioria dos casos fenómenos de

evidente que um

num momento

drado desta dimensão, enquanto a resultante das cargas permanentes

cargas permanentes (b)


Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 3

As estruturas tendem a ser cada vez mais leves e mais altas, como tal mais flexíveis e

susceptíveis a grandes amplitudes de deslocamento dos pisos superiores. Por isso, e cada

vez mais, é importante conhecer os efeitos da acção do vento para análises de estados

limites últimos, bem como estados limites de serviço.

O dimensionamento em serviço dos edifícios altos é bastante particular. Procura-se

habitualmente evitar não só danos estruturais, danos materiais da fachada, danos em

objectos interiores susceptíveis de movimento bem como garantir o conforto dos

ocupantes do edifício.

O crescimento em número e em altura das estruturas, que se tem vindo a espalhar um

pouco por todo o mundo, prima pela economia das soluções adoptadas. Do ponto de vista

estrutural e nomeadamente aquele que está directamente ligado à acção do vento, torna

importante dominar o comportamento de uma estrutura imersa num escoamento de

vento, facilitando o processo de decisão durante a fase de concepção do edifício. A

evolução desta ciência tem contribuído para que nos últimos anos se venha a assistir a

uma crescente preocupação de arquitectos e engenheiros na definição de formas simples e

aerodinâmicas, permitindo a diminuição de custos de construção e custos colaterais

durante a vida útil dos edifícios, conseguindo, no entanto, soluções apelativas sem

qualquer prejuízo.

As soluções aerodinâmicas são ainda aplicadas em casos pontuais, contudo num futuro

breve serão necessariamente contemplados todos os problemas da interacção estrutura-

-vento na concepção da forma do edifício.

A aerodinâmica de veículos, sobretudo de aviões, é uma ciência já muito desenvolvida com

processos simples ou complexos que permitem realizar análises de formas sobre a acção

do vento. Estes modelos encontram-se particularmente bem desenvolvidos na bibliografia

da especialidade quando aplicados a estruturas finas, como são exemplo as asas de aviões.

Interessa, por isso, criar uma analogia limitada pela diferença de domínios de análise entre

asas de aviões e um edifício em altura, investigando de que modo tais ferramentas podem

contribuir para a previsão dos campos de esforços e deslocamentos instalados num

edifício.

A análise da resposta de uma determinada estrutura é determinada através de

formulações teóricas, algoritmos numéricos, testes em túnel de vento ou aplicação de

regulamentos. Uma dominante na engenharia do vento moderna é que a utilização de

Capítulo 1 – Introdução

4 Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil

apenas um destes métodos é insuficiente, sendo comum a utilização conjunta de vários

métodos.

Os métodos teóricos e numéricos definem geralmente as bases de desenvolvimento do

modelo estrutural dos edifícios. Entre formulações teóricas e a abordagem experimental

existe um patamar intermédio onde interessa desenvolver uma análise de concepção onde

se consiga definir um conjunto de parâmetros geométricos e estruturais optimizando o

modelo posteriormente analisado em túnel de vento.

Do ponto de vista económico, este procedimento também é bastante vantajoso já que o

procedimento em túnel de vento é habitualmente moroso e bastante dispendioso

comparativamente com outros métodos. Atente-se porém que com esta ferramenta

auxiliar não se procura substituir nem inviabilizar a análise posterior em túnel de vento,

mas sim aumentar o sucesso da análise experimental numa fase mais avançada e poder

acelerar o processo de concepção. Do ponto de vista de aplicabilidade, uma ferramenta

com este objectivo deve ser facilmente acessível e intuitiva para os utilizadores comuns no

meio do projecto.

1.2 Objectivo

Pode-se considerar como principal objectivo desta tese estudar e descrever um conjunto

de informação e ferramentas de utilidade em qualquer análise de vento em edifícios

esbeltos bem como para estudos futuros.

Procura-se igualmente desenvolver uma ferramenta útil à metodologia de concepção de

edifícios altos devidamente sustentada num conjunto de pressupostos e teorias há muito

desenvolvidos no domínio da mecânica de fluidos e aerodinâmica, aplicados à dinâmica

estrutural.

Comparam-se os resultados obtidos pela aplicação desta ferramenta com os resultados

obtidos da aplicação dos regulamentos internacionais mais comuns neste tipo de

caracterização. Para isto, utiliza-se como caso de estudo um edifício em projecto com 50

pisos e 200 metros de altura.



1.3 Estrutura do documento

A estrutura deste trabalho encontra-se dividida em dez capítulos, incluindo a presente

introdução.

No segundo capítulo abordam-se os conceitos básicos do vento como circulação

atmosférica e as principais leis da mecânica dos fluidos. O terceiro capítulo é dedicado à

descrição estatística da turbulência do vento.

No quarto capítulo procura-se caracterizar o escoamento em torno dos edifícios altos

enumerando conceitos e fenómenos de importância no domínio 2-D como 3-D.

O quinto e sexto capítulos descrevem métodos para quantificação da acção do vento. O

sexto capítulo em particular descreve a abordagem proposta deste trabalho. Este capítulo

enumera várias técnicas utilizadas na simulação pretendida no domínio do tempo.

No sétimo capítulo apresentam-se as principais problemáticas da vibração de estruturas

esbeltas como os edifícios altos e as suas consequências quer materiais quer humanas. São

enunciadas algumas técnicas para previsão dessas mesmas vibrações e os seus efeitos.

No oitavo capítulo, procura-se apresentar e comparar qualitativamente os regulamentos

considerados mais importantes na matéria.

No nono capítulo aplicam-se algumas metodologias abordadas ao longo do documento

procurando estabelecer algumas comparações quantitativas e qualitativas entre a

abordagem proposta e os principais métodos encontrados nas referências. Recorre-se ao

“Eurocode 1: Actions on structures - Part 1-4: General actions –Wind actions” (EC1) como

norma de referência.

Concilia-se todo o conhecimento demonstrado e desenvolvido anteriormente com a

aplicação do caso de estudo aos vários modelos apresentados nos capítulos anteriores.

No décimo capítulo finaliza-se o trabalho apresentando-se as principais conclusões do

mesmo.



Capítulo 2

CIRCULAÇÕES ATMOSFÉRICAS

O termo “vento” é utilizado habitualmente para fazer referência à movimentação

aproximadamente horizontal de ar atmosférico.

A mecânica dos fluidos é a área da física que estuda o comportamento dos gases (e

líquidos). No domínio desta disciplina, as circulações atmosféricas são habitualmente

governadas pelos seus princípios e equações fundamentais. Desde que estes fenómenos

são considerados macroscópicos, um fluido é então entendido como um meio contínuo.

Assim sendo, um elemento de fluido deve ser definido como uma parte infinitamente

pequena em relação ao meio, no entanto, deve ainda conter um elevado número de

moléculas.

Dada a grande variedade de factores que estão na origem da circulação do ar atmosférico,

define-se no referencial espaço e tempo a circulação do ar como resultante da

sobreposição de vários escoamentos de diversas escalas espaciais no domínio dos

milímetros aos milhares de quilómetros e temporais das horas aos dias.

Na meteorologia, ciência que estuda os estados e previsão das condições atmosféricas, os

fenómenos de circulação atmosférica são repartidos em três classes de acordo com a

Tabela 2-1.

Classes Escala geográfica Escala temporal

Microescala <20km <1 hora

Mesoescala 20 km <...<500 km 1 hora<...<2 dias

Escala Sinóptica >500km >2 dias

Tabela 2-1 - Definição das escalas das circulações atmosféricas (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996)

Procura-se, neste capítulo, apresentar os princípios fundamentais e principais leis da

mecânica de fluidos bem como estabelecer uma relação com a hidrodinâmica da

atmosfera.

Capítulo 2 – Circulações atmosféricas


2.1 Hidrodinâmica da Atmosfera

Na atmosfera, o movimento de uma massa elementar de ar é governada pela 2ª Lei de

Newton, podendo a relação entre acelerações, massa e forças aplicadas ser definida pela

expressão 8 = -9.

Considere-se um elemento de ar atmosférico sujeito a uma variação de pressão linear. O

volume é definido por um elemento :� :;:< cuja acção da pressão pode ser representada

de acordo com a Figura 2-1.

Figura 2-1 - Pressões verticais numa massa elementar de ar

Considerando o volume elementar isolado de qualquer outra força, a força resultante por

unidade de volume será – ��!� ou simplesmente – ��

�!� :�:;:<. Em condições idênticas, o

mesmo se passará em � e ;, onde resultará – �� e – ��

� �, respectivamente.

Estas variações, denominadas gradientes de pressão, estão na origem do movimento do ar

que na ausência de outras forças se dá perpendicularmente às isolinhas de pressão, da

zona de maior pressão em direcção à zona de menor pressão de acordo com a Figura 2-2.

Figura 2-2 - Direcção da resultante do gradiente de pressões

Pressão Alta

Pressão Baixa

Direcção da resultante do gradiente de pressões

Isobárica

n

z

x

y

dx

dz

dy

p dxdy

(p + >p/>z) >z dxdy



Quando se expande esta análise a uma massa de ar de grande extensão, a hipótese

simplificativa da não consideração de forças actuantes no ar além dos gradientes de

pressão é bastante limitada.

2.1.1 Força de Coriolis

Na ausência de qualquer outra força, o trajecto da massa de ar é linear. No entanto, para

um observador na Terra, o movimento de uma massa de ar atmosférico apresenta uma

trajectória curvilínea, cuja origem é justificada por uma força aparente associada à rotação

da terra, denominada a Força de Coriolis e definida por:

Fc = 2-Bv × ωF (2.1)

Na expressão da força deviatórica, - representa a massa de ar, v a velocidade do ar num

referencial que acompanha a rotação da terra e ω a velocidade de rotação da terra. Na

Figura 2-3 é representado o efeito da Força de Coriolis, onde, para um observador que

acompanha a rotação do meridiano, o vento afasta-se para Oeste ao longo do seu percurso

do Norte para o Equador.

Figura 2-3 - Movimento aparente das partículas de ar devido à rotação da terra (Holmes J. D., 2007)

Recorrendo à definição de produto externo, pode-se rescrever a expressão (2.1) na forma

escalar

Fc=Gmv (2.2)

G=2ω sin φ (2.3)

em que se define um novo parâmetro denominado de parâmetro de Coriolis, função este da

latitude ∅ do ponto onde se calcula a força deviatórica. A força aparente varia assim ao

w

Meridiano

N

P P'


longo da superfície terreste, sendo de notar que o sentido curvatura adquirida pela

trajectória de ar é contrário nos diferentes pólos terrestres.

O efeito das forças actuantes na massa elementar de ar (no caso do hemisfério Norte) é

representado na Figura 2-4. Inicialmente as partículas iniciam o movimento na direcção

do gradiente de pressão, variando a direcção do vector resultante por acção da força de

Coriolis, Fc. Este fenómeno dá-se até as duas forças atingirem o equilíbrio, instante esse

em que a massa de ar atmosférico atinge um regime constante. A circulação de ar

atmosférico define agora uma trajectória paralela às isolinhas de pressão.

Figura 2-4 - Evolução das resultantes de forças exercidas no escoamento atmosférico (Simiu & Scanlan, Wind Effects on

Structures, 1996)

2.1.2 Velocidade Geostrófica

Denomina-se por velocidade geostrófica ( a velocidade em regime equilibrado entre a

força derivada do gradiente de pressão e a força de Coriolis. Esta grandeza relaciona-se

com o gradiente de pressão por unidade de massa de acordo com a igualdade

2ωG sin ∅ = L = �� M⁄O (2.4)

onde P representa a magnitude da força referida e � a densidade do ar .

No caso das isolinhas de pressão serem curvas, deverá ser contabilizada uma nova força

no jogo de equilíbrio dinâmico das partículas de ar. A força causadora dessa variação na

trajectória é habitualmente denominada de força centrífuga e actua perpendicularmente

às isobáricas actuando unicamente na direcção do vector velocidade (propriedade a qual é

inerente a qualquer força desta natureza).

Denomina-se por circulação ciclónica à movimentação de massa de ar em torno de um

ponto de baixa pressão e circulação anticiclónica ao movimento em torno de um ponto de

pressão alta.

Pressão Alta

Isobárica

Pressão BaixaP P P

Fca

Fcb Fc

Direcção estável

do vento



Quando verificada uma destas situações, a relação (2.4) deve contabilizar a influência da

força centrífuga tal que:

�P'G ± RSTU' = L = �� M⁄

O (2.5)

onde �P' é denominada gradiente da velocidade do vento e é igual à velocidade geostrófica

G quando o raio de curvatura é igual a zero. O sinal positivo e negativo é definido

consoante o movimento seja ciclónico ou anticiclónico.

No Hemisfério Norte, para um raio de curvatura 1 finito a equação (2.5) tem como solução

para movimento ciclónico e anticiclónico, respectivamente, as seguintes expressões:

�P' = − 'WX + Y'

O��M + �'W

X �XZ[/X

(2.6)

�P' = + 'WX − Y'

O��M − �'W

X �XZ[/X

(2.7)

Destas equações conclui-se que para iguais valores de 1, G e ��M, os ventos anticiclónicos

são mais fracos do que os ventos ciclónicos.

2.2 Escoamento na Camada Limite

Quando o movimento de ar se dá na camada atmosférica em contacto com a superfície

terrestre, no domínio da troposfera, uma nova acção deverá ser contemplada. A superfície

terrestre provoca um efeito de fricção que retarda o movimento horizontal do vento. Este

efeito diminui em altura e é caracterizado por uma diminuição exponencial que converge

para �P' , como foi visto, a velocidade resultante do equilíbrio de acções no regime com

ausência de fricção. Nestas circunstâncias, o movimento é paralelo às isobáricas.

A zona de transição da atmosfera, na qual deixa de existir fricção da superfície terrestre, é

denominada de camada limite atmosférica e a altura que a caracteriza num determinado

local da superfície é representada por �.

O regime de escoamento de ar atmosférico estabelecido entre a superfície terrestre e a

camada limite, ℎ < � , é o regime que de facto importa estudar para efeitos de

dimensionamento de estruturas.



Procura-se, de seguida, abordar sucintamente as principais questões necessárias ao

comportamento do vento neste domínio.

2.2.1 Conceito de rugosidade

A influência da superfície de escoamento foi estudada por Nikuradse. Dos seus estudos

sobre superfícies arenosas foram registados dois comportamentos dominantes.

Considere-se as seguintes relações fundamentais para descrição do efeito da rugosidade

num escoamento, em que se toma a variável y como a função representativa da altura.

� = �_∗X⇔_∗ = aνB>_b/>;F c� (2.8)

�� = 5ν/_∗ (2.9)

Figura 2-5 - Relações da velocidade média e turbulência em altura (Nepf, 2002)

O termo _∗ designa-se de velocidade de corte e caracteriza a tensão de corte do

escoamento sobre a superfície de acordo com a relação (2.8) � é a tensão definida pela

seguinte relação constitutiva

� = �ν e�fg� h

c� (2.10)

�� por sua vez representa a espessura da sub-camada laminar do escoamento. Esta região

é caracterizada por uma diminuição brusca da turbulência que tende para zero sobre a

ijk = lm lg

y

s

lkno/lm 0.1

y



superfície. Na realidade, a turbulência é uma função decrescente em altura, ou por outras

palavras, decrescente quando se afasta da superfície. No entanto, verifica-se que, quando

um escoamento atinge distâncias muito pequenas relativamente à superfície, a turbulência

diminui bruscamente. A figura seguinte ilustra esta relação, fazendo um paralelismo entre

a variação da velocidade e a variação da turbulência do escoamento.

Se representarmos a dimensão característica da rugosidade da superfície por p, então o

número de Reynolds de rugosidade é definido pela expressão

23 = p_∗νq (2.11)

Nikuradse estabeleceu que, de uma forma simples, o escoamento pode ou não ser afectado

da rugosidade do solo.

Figura 2-6 - Influência da textura da superfície no escoamento (Nepf, 2002)

Quando a textura da superfície, caracterizada pela sua dimensão característica, é inferior à

espessura da sub-camada do escoamento então o escoamento acima da sub-camada não é

afectado pela rugosidade. Caso contrário, o escoamento será afectado. As condições da

primeira situação originam o que se chama escoamento turbulento liso. Nas condições

contrárias, tem-se um escoamento turbulento rugoso.

A Figura 2-6 generaliza as condições inerentes aos dois tipos de escoamentos.

2.2.2 Direcção da velocidade do vento

Considere-se dois escoamentos a diferentes altitudes na ausência de força centrífuga. Seja

A o ponto mais elevado e B o ponto mais próximo da superfícies terrestre.

Pode-se mostrar da expressão (2.2) que a força de Coriolis é função crescente da altura,

em virtude da relação do crescimento da velocidade do escoamento do ar. Por outro lado,

o ângulo entre a direcção do escoamento e a direcção paralela às linhas isobáricas diminui

em altura uma vez que a velocidade tende em altura para o movimento uniforme de



velocidade máxima �P' . Assim sendo, constata-se que a direcção do vento no domínio

interior da camada limite assume uma variação em altura que pode ser representada para

o Hemisfério Norte como na Figura 2-7.

Figura 2-7 - Comportamento vectorial (em espiral) da velocidade do vento no interior da camada limite (Holmes J. D., 2007)

A força de fricção assume maior intensidade na periferia do solo onde define o maior

ângulo r com as isolinhas de pressão. No limite, quando o escoamento atinge o valor �P' , a

força de fricção assume a direcção das isobáricas.

2.2.3 Velocidade do Vento

A constante alteração dos factores que originam as movimentações de ar atmosférico,

provocam uma variação bastante irregular da velocidade do vento abaixo da camada

limite. A formação de turbilhões no escoamento provoca flutuações na velocidade.

A ocorrência deste fenómeno e a formação dos turbilhões e sucessiva alteração das

condições de escoamento apresentam um comportamento aproximadamente aleatório.

Desta forma, é frequente recorrer-se a conceitos estatísticos para caracterização dos

escoamentos. Em teoria, o registo da variação de velocidade no tempo é contínuo.

Contudo, na prática, o tratamento computacional estatístico deste registo requer a sua

discretização em pontos finitos.

Vgr

�

Variação α da

direcção do vento



Figura 2-8 - Registo variável da velocidade do vento no domínio do tempo (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996)

O registo da velocidade do vento no domínio do tempo assume de uma forma genérica a

forma apresentada na Figura 2-8.

Observa-se na Figura 2-9 que a velocidade é definida por variações aleatórias no tempo em

torno de um valor médio. Por isto, em (Bulletin D'Information N 209 - Vibration Problems

in Structures) é sugerida uma representação ilustrativa deste fenómeno no domínio da

altura. Posto isto, verifica-se que a aleatoriedade do fenómeno se expande do domínio do

tempo ao domínio espacial.

Figura 2-9 - Comportamento aleatório da velocidade no domínio da altura z (Bulletin D'Information N 209 - Vibration Problems in

Structures)

Em termos médios, o vento é caracterizado por uma velocidade crescente em altura. No

entanto, as flutuações do escoamento conduzem à consideração da sobreposição de duas

componentes.

u(z,t)

δ

z

vgr

z

u(z)

Velocidade do vento



_B<, �F = _bB<F + _sB<, �F (2.12)

A primeira componente de comportamento quase-estacionário é por isso apenas função

da altura ao solo e denomina-se de velocidade média do vento, _b. A segunda componente

de comportamento variável é por sua vez função também do tempo e como não contribui

para a média do vento é definida por um processo de média zero, como ilustrado na Figura

2-9. Note-se que esta componente apesar de irregular no interior da camada limite é

eliminada para alturas tais que ℎ > �, altura para a qual o regime atinge a velocidade �P'

em regime uniforme.

À soma das duas parcelas, _B<, �F chama-se velocidade de rajada. É esta velocidade que

importa caracterizar adequadamente para dimensionamento em estado limite último bem

como de serviço.

2.2.3.1 Velocidade média

Historicamente a primeira expressão representativa da componente média do vento _bB<F

sobre superfície horizontal homogénea foi a lei exponencial, definida em 1916 (Simiu &

Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996).

_B<P[F = _B<PXF u!Sv!SU

wx

(2.13)

onde <P[ e <PX são as alturas nos pontos 1 e 2 e _ as respectivas velocidades médias, e r é

um factor que depende da rugosidade do terreno. A power law, termo utilizado nas

referências para esta lei, converge com valores constastes de r para alturas superiores à

espessura da camada limite � , o que implica

fy!Sz{ = �!S

| �| (2.14)

Por outro lado, Davenport assume que r é função unicamente de �, o que resulta numa

aproximação da mecânica do escoamento governada pelas equações da continuidade e da

2ª Lei de Newton.

Mais recentemente, outro tipo de abordagens que não relacionadas directamente com os

pressupostos supracitados permitiram chegar a outras expressões.



De acordo com (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996), uma abordagem em

que se divide a camada limite em duas regiões, uma camada de superfície e uma camada

exterior através de uma análise adimensional e de algumas simplificações matemáticas

permite chegar à Lei Logarítmica

_bB<F = [} _∗ ln !

!� (2.15)

_∗ = ��O �[/X

(2.16)

Onde <� o comprimento de rugosidade, �� a tensão de corte na camada de superfície e ) a

constante de von Karman que assume geralmente o valor de 0,4.

Actualmente, existe um grande número de expressões propostas para a velocidade média

do vento. Os principais regulamentos mundiais adoptam geralmente expressões idênticas

que no entanto se individualizam nalguns parâmetros característicos.

2.2.3.2 Parcela aleatória da velocidade

A componente variável da velocidade dada a sua instabilidade com origem na turbulência

do vento é de natureza mais complexa do que a da componente média.

A turbulência é causada essencialmente pela existência de obstáculos naturais e artificiais

e é habitualmente representada em espectros para um largo domínio de frequências.

A velocidade do vento flutua no espaço e no tempo, o mesmo é dizer que num

determinado local é uma função aleatória do tempo e, por outro lado, num dado instante é

função aleatória da posição espacial.

As flutuações de velocidade num escoamento num ponto podem ser consideradas como a

sobreposição de inúmeros turbilhões transportados com a parcela média do vento. Cada

movimento turbilhonar pode ser caracterizado como um movimento periódico com

frequência angular � = 2�0, onde 0 representa a sua frequência. Por outro lado, o

movimento de um turbilhão tem um comportamento análogo ao de uma onda. Nestas

condições, o comportamento de onda de um movimento turbilhonar singular é descrito

pela seguinte relação � = � 0q , onde � representa a velocidade do vento e o respectivo

número de onda por * = 2� �q .

A descrição matemática desta componente da velocidade é tratada nos próximos capítulos.



Capítulo 3

CONCEITOS DE MECÂNICA DE FLUÍDOS

3.1 Caracterização de estados fluidos

Uma descrição matemática completa do estado de um fluido, nomeadamente um gás ideal

em movimento, é feita por meio da distribuição de velocidade _&c_&B�[, �X, ��, �F e de duas

quaisquer variáveis termodinâmicas, como, por exemplo, a pressão +B�[, �X, ��, �F e a

densidade ρB�[, �X, ��, �. Conhecidas estas variáveis, todas as quantidades termodinâmicas

são determinadas pelo conhecimento de qualquer duas delas, junto com a lei dos gases

ideais.

3.1.1 Lei dos gases ideais (Equação de estado)

A equação de estado para os gases ideais descreve adequadamente, na óptica da

engenharia civil, o estado dos gases na atmosfera e em experiências laboratoriais.

A forma mais comum desta lei é dada por:

+� = 02� (3.1)

Onde + é a pressão, � é o volume, � a temperatura do gás e 2 a constante universal dos

gases (2 = 287-X4�X*�[).

3.1.2 Primeira lei da Termodinâmica

A primeira lei da termodinâmica estabelece que o sistema possui uma energia interna �, a

qual é função das variáveis necessárias para especificar o estado do sistema.

Se o sistema é levemente perturbado e, entretanto, permanece muito próximo do

equilíbrio térmico, a quantidade de calor entrando através da fronteira que tem o volume

� é :�. O volume é, então, aumentado por :� contra uma pressão +. Assim, pode-se

escrever a variação na energia interna :� como

Capítulo 3 – Conceitos de mecânica dos fluídos


:� = :� − +:� (3.2)

3.1.3 Equação da Continuidade

A equação da continuidade estabelece que o decréscimo de massa no interior do volume

respeita a seguinte igualdade

− �� :� = � �_�� . 0��:� (3.3)

A fórmula de Green permite relacionar um integral de superfície com o integral de volume,

tal que resulta a seguinte expressão conhecida como equação da continuidade

�O�� + ∇B�_��F = 0 (3.4)

Esta relação é válida tanto para fluidos ideais como viscosos. No entanto, é passível de

simplificação quando :� :�⁄ ≪ 1, resultando a seguinte simplificação da equação da

continuidade:

∇. _�� = 0 (3.5)

Esta simplificação define uma das propriedades mais importantes dos fluidos

incompressíveis. Na grande generalidade dos casos pode-se aplicar esta simplificação,

sendo que para casos concretos será conveniente que o fluido seja descrito

matematicamente como compressível.

3.1.4 Equações de movimento – Euler e Navier-Stokes

A resultante das pressões na superfície de um volume de controlo de fluido pode ser

transformada num integral de volume respeitando a seguinte igualdade

− � +0��:� = − � ��+:� (3.6)

Daqui se retira que uma força −��+ actua em cada elemento de fluido. Esta força é

habitualmente denominada de gradiente de pressão.



A equação de movimento de um fluido pode ser obtida igualando a força −��+ ao produto

da massa por unidade de volume pela aceleração que anima essa quantidade. Esta relação

não é mais do que a primeira lei de Newton.

� �f�� = −��+ (3.7)

A simplificação da derivada :_��/:� que diz respeito não à variação da velocidade do fluido

num ponto do espaço, mas sim à variação desse vector para um fluido em movimento no

espaço, permite transformar a equação (3.7) na equação de Euler, válida para fluidos não

viscosos.

�f�� + y_��. ∇��z_�� = − [

O ∇��+ (3.8)

Em fluidos não ideais, devido à viscosidade, ocorre dissipação de energia. A dissipação

deve-se à fricção interna e condução térmica entre moléculas. O processo dissipativo

resulta da irreversibilidade termodinâmica do movimento. Para obter as equações do

movimento dos fluidos viscosos é necessário incluir termos adicionais à equação.

A consideração de tais propriedades requer a introdução do termo da viscosidade η e da

viscosidade cinemática ν, relacionadas da seguinte forma ν = η ρ⁄ (Welter G. , 2006).

Considerando a introdução do tensor das tensões na equação (3.8), obtém-se a equação

generalizada de Navier-Stokes.

�& = −+�& + η ��

+ ��

� (3.9)

No caso das circulações atmosféricas, há que entrar em linha de conta com as acções

externas de origem térmica, mecânica ou mesmo a aceleração de Coriolis abordada no

próximo ponto. Considerando a resultante destas acções, o termo G& , a equação do

movimento para fluidos viscosos é definida por:

�� + u�

��

= − [O

��

+ G& + ν∇Xu� (3.10)


3.1.5 Escoamentos Laminares e Turbulentos

Os escoamentos de fluidos são geralmente distinguidos entre dois tipos, laminares e

turbulentos. O primeiro é caracterizado por um comportamento determinístico enquanto

o segundo é abrupto e irregular no espaço e tempo. A transição entre os dois escoamentos

tem origem nas perturbações infinitamente pequenas. Tais perturbações resultam das

colisões intermoleculares que, dependendo do tipo de escoamento, são amplificadas

destabilizando o escoamento.

O número de Reynolds define habitualmente a transição entre os escoamentos para

valores entre os 2000 e 3000, dependendo estes valores do domínio considerado. Esta

razão unidimensional é definida como

23 = f�B�f�/��Fν.∇Uf�

(3.11)

Na grande generalidade dos casos, o número de Reynolds é simplificado de acordo com

23 = �,νq (3.12)

Nesta expressão U é uma velocidade característica do escoamento e L uma escala de

comprimentos característico.

Figura 3-1 - Transição entre escoamentos laminares e turbulentos. Formação de turbilhões (Nepf, 2002)



Na natureza e em laboratório, os escoamentos, nomeadamente o vento, são, na sua grande

maioria, turbulentos. Em túnel de vento, e concretamente no domínio da engenharia civil,

os escoamentos são caracterizados por 23~10 e na natureza na ordem de 23~10¡.

Importa, assim, enunciar um conjunto de propriedades relevantes dos escoamentos

turbulentos.

A turbulência é rotacional e dissipativa, ou seja, a energia mecânica do escoamento é

transformada em calor. A rotacionalidade é descrita matematicamente pela expressão

(3.13).

∇ × � = 0 (3.13)

A não linearidade do fenómeno de transferência de energia assume igual importância. Na

realidade, o comportamento do escoamento caracterizado pelo campo de velocidades não

pode ser conhecido rigorosamente, pelo que se adoptam análises estatísticas da

turbulência como um processo estocástico. Mesmo que possível o conhecimento desse

campo de velocidades, a complexidade e a dimensão do conjunto de dados seria

inaplicável no sentido computacional. Por fim, de realçar que a turbulência é um fenómeno

contínuo. Analogamente ao que já foi dito, na maior parte dos escoamentos a menor escala

significativa é muito maior do que as distâncias ou dimensões intermoleculares.

3.2 Estatística da Turbulência

3.2.1 Formulação geral da turbulência

O escoamento de um fluido incompressível é completamente determinado por um campo

de velocidade de forma solenoidal definido no domínio do espaço e tempo, _&B�[, �X, ��, �F.

O problema da turbulência é reduzido a uma distribuição de probabilidade que contemple

todos os graus de liberdade, nomeadamente as coordenadas de posição e quantidade de

movimento das moléculas num escoamento.

A dependência no tempo das distribuições do conjunto dos graus de liberdade das n

moléculas reflecte-se no campo de velocidade de acordo com as equações da mecânica dos

fluidos. De uma forma geral, as soluções dessas equações podem ser escritas

simbolicamente como

_&B�[, �X, ��, �F = Τ�_&B�[, �X, ��, 0F (3.14)



onde Τ� define um operador não linear. Analogamente, relaciona também as distribuições

de probabilidade com a distribuição inicial.

Assim se percebe facilmente que o problema da turbulência é um problema da evolução de

um espaço com determinadas condições inicias.

A turbulência é geralmente descrita através de expressões do tipo exponencial, à

semelhança do que se passa com a função velocidade média. Os parâmetros de ajuste desta

função são função das condições locais sendo geralmente experimentais.

3.2.2 Teorema ergódico

O teorema ergódico estabelece que à medida que o tempo de média T cresce, a variância

em torno da média da variável diminui. Posto isto, ao realizar-se a média de um processo

�B�F durante um tempo finito, então a variância desta média sobre a média calculada

deverá tender para zero à medida que o tempo de medida cresce. Por outras palavras,

desde que T seja suficientemente grande, pode-se usar médias temporais, ou espaciais em

substituição da definição estatística de média.

�ξX = ¢£[¤ � �B� + �sF:�s − ¢�B�F¥¤

� ¦¥ (3.15)

Estatisticamente demonstra-se que a expressão (3.15) (3.15) tende para 0 quando T

se aproxima de infinito.

3.2.3 Hipótese congelada de Taylor

Dada a grande dificuldade da realização de medidas espaciais, a hipótese congelada de

Taylor permite que as medidas temporais num ponto fixo possam ser convertidas em

medidas espaciais num instante fixo de tempo em escoamento estacionário.

Taylor postulou que se a velocidade média do vento �g for suficientemente grande, então

as propriedades estatísticas da turbulência não terão tempo de mudar à medida que os

turbilhões passam num ponto. Esta hipótese é representada por:

¢��fv�� X¥ = �X ¢��fv

��v�X¥ (3.16)



tendo um campo de velocidade turbulenta _& movendo-se na direcção de U, tal que um

sinal medido num ponto fixo será _&�B�[ − �g�, �X, ��, �F. Ou seja, de acordo com esta

simplificação os vórtices estão fixos ou congelados no escoamento médio, não alterando as

suas propriedades ao longo do tempo.

Em geral, a hipótese é admitida quando se verifica a seguinte desigualdade.

§¨©g < 0.5 (3.17)

As limitações desta hipótese são apresentadas por Panofsky & Dutton (Panofsky & Dutton,

1984).

3.2.4 Formulação da intensidade da turbulência

A intensidade da turbulência é definida pelo rácio do desvio padrão da função velocidade

do vento para cada componente flutuante em relação ao valor médio . Desta forma

definem-se para as direcções longitudinal, transversal e vertical, de acordo com as três

direcções do vento, as seguintes relações

ªf = �f �g⁄ (3.18)

ª« = �« �g⁄ (3.19)

ª¬ = �¬ �g⁄ (3.20)

Medições efectuadas junto ao solo permitem verificar que �f = 2,5. _∗, onde _∗ é definida

a velocidade de fricção. Desta forma pode-se definir a intensidade da turbulência através

da seguinte equação (Holmes J. D., 2007),

ªf = X, .f∗Bf∗/�.Flog®B!/!�F = [

log®B!/!�F (3.21)

Pela expressão (3.21) constata-se que a intensidade da turbulência longitudinal é função

apenas da altura ao solo, < e da rugosidade do terreno <�. Esta função permite perceber

que a intensidade da turbulência diminui com a decréscimo da altura ao solo.

À semelhança da expressão anterior, são também apresentados valores aproximados para

as turbulências nas restantes direcções (Holmes J. D., 2007), igualmente funções da altura

e rugosidade do solo.



ª« ≅ �.°°log®B!/!�F (3.22)

ª¬ ≅ �. log®B!/!�F (3.23)


Capítulo 4

ESCOAMENTO EM TORNO DE EDIFÍCIOS

Uma quantidade de ar em movimento na atmosfera ao encontrar um obstáculo procura

contorná-lo, contudo, este processo reveste-se de um conjunto de fenómenos

característicos dos chamados “bluff-bodies”, termo inglês correntemente utilizado para

denominar corpos achatados ou em regra com uma grande dimensão na direcção

perpendicular à do escoamento. Estes fenómenos dependem de vários factores, incluindo

a forma do edifício. Na generalidade, os edifícios em estudo podem ser englobados na

categoria descrita.

Procura-se, neste capítulo, analisar os principais fenómenos que caracterizam um

escoamento em torno de um edifício bem como enunciar os factores que os condicionam.

4.1 Forças resultantes da interacção vento-estrutura

Quando determinado escoamento atravessa um obstáculo geram-se pressões e,

consequentemente, forças nesse obstáculo. No domínio da aerodinâmica esse conjunto de

forças é correntemente dividido em três parcelas.

Figura 4-1 – Forças resultantes da interacção do escoamento-estrutura em torno de um corpo

A primeira parcela, D, corresponde às forças na direcção do escoamento denominadas de

forças de arraste. A parcela L corresponde às forças na direcção transversal à direcção do

Vinf L

D

M

Capítulo 4 – Escoamento em torno de edifícos


escoamento sendo denominada de força de sustentação. O desvio destas forças em relação

ao centro de torção da secção produz um momento torsor no edifício correspondente à

parcela M, como representado na figura.

4.2 Coeficientes de Força e Pressão

As forças num determinado corpo são geralmente traduzidas por coeficientes

adimensionais, denominados coeficientes de força.

De acordo com a convenção das forças habitualmente definidas num corpo atravessado

pelo escoamento são definidos os coeficientes de arraste, sustentação e de momento.

Estas três grandezas são definidas pelas seguintes expressões, onde o parâmetro 8

generalizado pode assumir qualquer uma das duas forças definidas no ponto anterior, D,L

e M refere-se ao momento introduzido na estrutura.

"± = ±vUO²©�U³ (4.1)

"´ = ´vUO²©�U³µT

(4.2)

Nestas expressões, �¶ define a massa volúmica do ar. �� a velocidade do escoamento e � a

área onde é aplicada a correspondente força F. Na expressão (4.2) o termo ·' define uma

altura de referência onde é aplicado o carregamento generalizado.

4.3 Características do escoamento

O escoamento em torno dos edifícios altos contrasta com os escoamentos em torno de

edifícios “aerodinâmicos” uma vez que as linhas de corrente do escoamento em torno do

edifício não seguem geralmente a forma da secção. Por exemplo, no caso das asas de

aviões as linhas de corrente aproximam relativamente bem a forma da sua secção

permitindo um estudo matemático mais acessível que no caso dos edifícios.

Figura 4-2 – Zonas de separação do escoamento em torno de formas rectangulares

Separação

Ponto de

estagnação

Recirculação

Zona turbilhonar

Separação

Zona

turbilhonar

O escoamento, por exemplo, em

separação do escoamento nos vértices rectos dando origem a camadas de recirculação e

formação de vórtices. A camada de separação destaca duas zonas, uma zona exterior

suficientemente afastada onde o escoamento se comporta continuamente e uma zona

interior junto às faces da secção com grandes características de corte e vorticidade. Esta

camada, denominada camada de corte livre

um lençol de vórtices que tendem a concentrar

turbilhões concentrados e que se vão arrastando com o escoamento. A formação das zonas

de separação varia com a geometria, no entanto

vórtices na esteira do corpo é mais ou menos idêntica em todas as formas. Como é natural,

este fenómeno é de grande importância em edifícios esbeltos.

4.3.1 Efeito do número de Reynolds

A variação das forças resultantes da interacção do escoamento com os obstáculos é

geralmente significativa e função da forma geométrica da sua secção.

Como exemplo seja um obstáculo de secção circular. A variação do coeficiente de arras

definida por uma função de andamento idêntico ao da

Figura 4-3 – Comportamento típico do coeficiente de arrastamento& Scanlan, Wind Effects on

De uma forma geral, e tentando generalizar os fenómenos de escoamento em torno dos

vários tipos de secção, pode-se afirmar que

coeficiente de arrastamento cresce bruscamente como verificado na f

acima. Este fenómeno verifica-

números Reynolds elevados é comum para a maioria das formas geométricas atingir

um valor estável, o que é bastante prático do ponto de vista de a

objectos imersos em escoamentos com estas características.


em torno de uma secção rectangular (Figura 4-



afastada onde o escoamento se comporta continuamente e uma zona


camada, denominada camada de corte livre, é bastante instável, sendo esta formada por

órtices que tendem a concentrar-se na zona de levantamento formando


de separação varia com a geometria, no entanto, o fenómeno de desprendimento de

o corpo é mais ou menos idêntica em todas as formas. Como é natural,

este fenómeno é de grande importância em edifícios esbeltos.

Efeito do número de Reynolds


gnificativa e função da forma geométrica da sua secção.

Como exemplo seja um obstáculo de secção circular. A variação do coeficiente de arras

definida por uma função de andamento idêntico ao da Figura 4-3.

Comportamento típico do coeficiente de arrastamento em função do número de Reynolds

& Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996)


se afirmar que para números de Reynolds muito baixos o

coeficiente de arrastamento cresce bruscamente como verificado na figura representada

-se como resultado do efeito da viscosidade. No domínio dos

números Reynolds elevados é comum para a maioria das formas geométricas atingir

um valor estável, o que é bastante prático do ponto de vista de análise do efeito de

objectos imersos em escoamentos com estas características.


-2) causa a



afastada onde o escoamento se comporta continuamente e uma zona


formada por

se na zona de levantamento formando


o fenómeno de desprendimento de

o corpo é mais ou menos idêntica em todas as formas. Como é natural,


Como exemplo seja um obstáculo de secção circular. A variação do coeficiente de arrasto é

em função do número de Reynolds (Simiu


para números de Reynolds muito baixos o

igura representada

se como resultado do efeito da viscosidade. No domínio dos

números Reynolds elevados é comum para a maioria das formas geométricas atingir-se

nálise do efeito de



Na maioria dos casos de estudo da engenharia civil, nomeadamente a acção do vento em

edifícios altos, os escoamentos encontram-se no domínio do turbulento. A estabilidade já

analisada para o escoamentos neste regime permite que sejam estipulados coeficientes de

forma previamente calibrados que permitam fazer aproximações às forças aerodinâmicas

nos edifícios, mesmo que variáveis as dimensões de referência e a velocidade do vento.

4.4 Forças e pressões flutuantes

Os fenómenos de turbulência e instabilidade dos escoamentos atmosféricos são abordados

nos capítulos anteriores. A natureza instável dos escoamentos em torno de obstáculos de

grandes dimensões, tais como edifícios, resulta na separação do escoamento e, por vezes,

em recirculações produzindo pressões e, consequentemente, forças altamente instáveis.

Estas variações têm usualmente três causas (Holmes J. D., 2007):

• A turbulência natural das rajadas do vento em escoamento livre, normalmente

denominadas por “buffeting”.

• Instabilidade do escoamento causada pelo atravessamento do obstáculo, que

geralmente resulta na separação do escoamento, recirculações e formação de

turbilhões nas faces do obstáculo.

• Forças flutuantes devidas ao movimento do corpo, forças aeroelásticas.

Estes fenómenos acoplados têm uma importância crescente, tanto quanto mais flexíveis

forem as estruturas em movimento com o escoamento. Na verdade, as características

dinâmicas na resposta das estruturas são os parâmetros governantes do

dimensionamento da estrutura e respectivos amortecimentos. Desta forma, torna-se

importante conhecer matematicamente estas grandezas no âmbito do estudo dos edifícios

altos.

4.4.1 Flutuações induzidas pelo obstáculo e formação de turbilhões

Os fenómenos da formação de turbilhões começou a ser abordado no inicio deste capítulo.

Este fenómeno ocorre o escoamento, seja ou não turbulento, e em todas as secções de

edifícios. O desprendimento de vórtices no edifício resulta da formação de um lençol de

vórtices com origem na separação do escoamento

inferior, desprendendo-se ora um vórtice ora outro formando a

como ilustrado na Figura 4-4.

Figura 4-4 - Formação da estrada de von Karman num escoamento que atravessa uma secção circular

A separação do escoamento e formação de vórtices no caso de um obstáculo achatado

assume formas bastante distintas consoan

demonstra os diferentes comportamentos do escoamento ao atravessar a secção.

Figura 4-5 – Regimes de escoamento em torno de um cilindro



vórtices com origem na separação do escoamento tanto na face superior como na face

se ora um vórtice ora outro formando a “estrada de von Karman“

Formação da estrada de von Karman num escoamento que atravessa uma secção circular


assume formas bastante distintas consoante a velocidade do escoamento. A


Regimes de escoamento em torno de um cilindro (Holmes J. D., 2007)



tanto na face superior como na face

von Karman“

Formação da estrada de von Karman num escoamento que atravessa uma secção circular


te a velocidade do escoamento. A Figura 4-5




No domínio dos números de Reynolds baixos, velocidades baixas, o escoamento consegue

envolver toda a secção criando linhas de corrente relativamente bem aproximadas à sua

forma. No entanto, com o crescimento da velocidade a zona de separação desenvolve-se

criando recirculação na face posterior do edifício. Os turbilhões formados comportam-se

relativamente bem enquanto o escoamento é laminar, contudo para números de Reynolds

superiores o escoamento torna-se cada vez mais instável, desequilibrando esses

turbilhões provocando uma diferença de pressões na zona de reencontro das linhas de

corrente.

Enquanto o escoamento procura uma forma equilibrada (análoga à forma que tomava

enquanto escoamento laminar), desenvolve-se uma zona de recirculação na zona superior

e inferior alternadamente que envolve o vórtice adjacente.

O desenvolvimento deste vórtice dá-se até englobar toda a face, provocando

instantaneamente o desprendimento desse vórtice, originando a formação de um vórtice

contrário que por sua vez se desprenderá nas mesmas condições.

O movimento dos edifícios pode também contribuir para a importância deste fenómeno. O

fenómeno de desprendimento alternado ora com origem na zona superior, ora com

origem na zona inferior, pode assemelhar-se a um comportamento harmónico

caracterizado por uma frequência de desprendimento.

São vários os factores que condicionam a formação dos turbilhões e a sua importância na

estrutura.

A turbulência do escoamento confunde o caminho das partículas diminuindo a

regularidade dos vórtices, contudo a força actuante na estrutura associada ao

desprendimento mantêm-se ou pode mesmo ser superior.

Quando a frequência de desprendimento se aproxima da frequência de vibração do

edifício ocorre um fenómeno denominado “lock-in”. Ao reunirem-se tais condições num

escoamento em torno de um edifício em movimento com o escoamento, as forças do

escoamento amplificam-se largamente relativamente à estrutura e estas vêm as suas

deformações e esforços aumentarem devido à ressonância com o fenómeno de

desprendimento de vórtices (Pinheiro, 2004).


Figura 4-6 – Comportamento das velocidades de escoamento e frequências de desprendimento de vórtices

durante o fenómeno de “lock-in” (Bachman, Ammann, Deischl, & Eisenmann, 1994)

Este fenómeno é ilustrado pelo gráfico da Figura 4-6, onde se demonstra que, quando a

frequência estrutural está num domínio suficientemente aproximado da frequência de

desprendimento de vórtices, neste gráfico, representado por uma velocidade crítica,

resulta uma sincronização característica do fenómeno de ressonância. A caracterização do

“lock-in” para cada estrutura e sob a acção de um escoamento é habitualmente feita com

recurso a um parâmetro adimensional denominado de número de Strouhal que é definido

pela seguinte expressão:

6� = 0�¸�gq (4.3)

em que 0� é a frequência natural da estrutura, ¸ é a dimensão perpendicular à direcção do

vento e �g a velocidade média do escoamento, neste caso o vento.

O número de Strouhal varia com a forma da secção e no caso de algumas secções varia com

o número de Reynolds.

Figura 4-7 – Variação do número de Strouhal com o número de Reynolds para uma secção circular (Holmes J.

D., 2007)

Fre

qu

em

cy



A Figura 4-7 exemplifica a variação do número de Strouhal com o número de Reynolds

numa secção circular que apresenta um comportamento constante em todo o domínio, à

excepção da zona de escoamento transitório.

A zona denotada pelo crescimento brusco do número de Strouhal caracteriza a passagem

do escoamento no regime crítico, o que coincide com um decréscimo do coeficiente de

arrastamento, "¹. O decréscimo deste coeficiente verificado na zona de 23 = 2 × 10 é

causado por uma transição da turbulência na superfície da camada, traduzida por um

atraso dos pontos de separação para um ângulo de 140o em vez dos 90o graus verificados

no regime sub-crítico (Figura 4-8). Esta alteração resulta num estreitamento da zona de

formação de vórtices, um aumento das pressões negativas na esteira da secção e como tal

uma diminuição de "¹.

Figura 4-8 – Sub-regimes de escoamento em regime de transição (Holmes J. D., 2007)

Apesar da zona de transição não estar bem traduzida nos limites do regime, denota-se

uma faixa com um comportamento relativamente regular em que o número de Strouhal

varia entre os 0.44 e 0.39.

Na fase de regime super-crítico a zona de separação, a largura da faixa de formação de

vórtices, recupera alguma dimensão, voltando a aumentar o coeficiente de arrastamento

(Figura 4-8) e uma maior importância da libertação de turbilhões (Figura 4-7).



Note-se, por fim, que este fenómeno é variável com a forma geométrica da secção, sendo

estes valores válidos apenas nas circunstâncias apresentadas.

Além deste parâmetro, no caso da análise das vibrações transversais de estruturas

esbeltas é comum utilizar-se outro parâmetro adimensional, o número de Scruton. Este

parâmetro é também vulgarmente denominado de “mass-damping parameter”

precisamente por relacionar estas propriedades para estruturas esbeltas pela seguinte

relação

67 = º»η�O²¼U (4.4)

Nesta expressão, m representa a massa por unidade linear da estrutura, η um parâmetro

de amortecimento estrutural, �¶ a massa volúmica do ar e ¸ a dimensão transversal

característica do edifício ou estrutura.

4.5 Escoamento Tridimensional

Os conceitos apresentados neste trabalho são inerentes a condições de fluxo geralmente

bidimensional. Um escoamento é dito bidimensional quando a velocidade do fluido na

direcção normal ao plano de fluxo é desprezável, de maneira que o padrão de escoamento

em todo o comprimento é idêntico. Contudo, as vibrações em torres sob a acção de vento

apresentam-se muito mais complexas que as de um obstáculo atravessado por um

escoamento bidimensional.

Figura 4-9 – Escoamento tridimensional esquemático em torno de obstáculos (Pinheiro, 2004).



Existem diversos factores que introduzem efeitos tridimensionais ao escoamento, entre

eles:

• A secção transversal dos edifícios ser geralmente variável, geometricamente ou

por introdução de acessórios que afectam o escoamento;

• Aos edifícios têm dimensões finitas, não sendo desprezável o efeito do escoamento

que atravessa o topo do edifício, criando o chamado efeito de topo;

• A variabilidade do vento que não deve ser desprezável para edifícios com alturas

superiores a 50m;

• A turbulência do vento.

Alguns destes fenómenos são visíveis na Figura 4-9, onde se denota a complexidade do

escoamento tridimensional em torno de um edifício.



Capítulo 5

ACÇÃO DO VENTO EM EDIFÍCIOS ALTOS

5.1 Introdução

Nos últimos anos tem-se vindo a investir bastante na investigação sobre a representação

matemática da acção do vento em edifícios altos. Vários são os nomes associados a esta

evolução, no entanto, denotam-se algumas presenças assíduas em elementos

bibliográficos, tais como a de Davenport, Kareem, Solari, Vickery, Simiu ou Holmes.

Os edifícios altos sobre a acção do vento estão sujeitos a vibrações nas direcções do vento

e transversal, bem como a distribuições de torção. Estas três componentes de acção sobre

as estruturas são habitualmente descritas individualmente.

Dada a natureza turbulenta das velocidades do vento em circulações atmosféricas de

qualquer tipo, as forças em estruturas são bastante especiais e também altamente

variáveis, induzindo muitas vezes amplificações ressonantes de grande importância. A

resposta ressonante de um edifício introduz as complicações da sua história no tempo,

sendo necessário conhecer toda a história das forças no instante estudado mas também no

passado.

De forma geral, a acção do vento é tratada de forma individual quer na direcção do vento

quer na direcção transversal.

Neste capítulo são abordadas as hipóteses e métodos mais comuns para caracterização do

carregamento do vento do ponto de vista de análise e dimensionamento estrutural em

ambas as direcções.

Apresentam-se as formulações propostas pelos autores mais referidos e procurou-se

sintetizar em quadro as vantagens e características principais das formulações.

Capítulo 5 – Acção do vento em edifícios altos


5.2 Hipótese Quase-Estacionária

A hipótese quase-estacionária fundamenta a base da grande maioria dos modelos

utilizados para quantificação da acção do vento em edifícios altos, nomeadamente os

métodos propostos nos regulamentos internacionais.

No Capítulo 2 descreveu-se o vento com duas parcelas. De acordo com a expressão (2.12),

a velocidade instantânea do vento é definida por uma componente média e uma

componente flutuante.

Considere-se a invariabilidade desta expressão no espaço, ou seja, restrita a um

determinado ponto no espaço. A relação entre pressões no corpo e velocidade no

escoamento é definida por:

+B�F = [X "#��¶½_B�F¾X (5.1)

em que "#� representa um coeficiente de pressão quase-estacionário.

Introduzindo esta expressão na relação entre pressões e velocidades obtém-se o seguinte

resultado

+B�F = [X "#��¶½_b + _sB�F¾X = [

X "#�ρÀ½_bX + _sB�FX + 2_b_sB�F¾ (5.2)

Escrevendo esta expressão em termos de valores médios têm-se

+ÁB�F = [X "#��¶Â_bX + σfX Ä (5.3)

Para intensidades de turbulência pequenas, o parâmetro variável da velocidade σfX é muito

menor que o valor médio _bX, o que permite considerar que a pressão média no corpo bem

aproximada por:

+ÁB�F ≅ [X "Á#�¶_bX (5.4)

admitindo que o coeficiente de pressão médio, "Á#, aproxima razoavelmente o coeficiente

de pressão quase-estacionário. Como descrito nos capítulos anteriores, para números de



Reynolds elevados, característicos das aplicações no domínio da engenharia civil, este

coeficiente é bem comportado.

Voltando à componente flutuante do vento, considere-se novamente a expressão (5.2).

Subtraindo a componente média da pressão de ambos os lados obtém-se a seguinte

relação entre componentes flutuantes

+′B�F = [X "#�ρÀ½_sB�FX + 2_b_sB�F¾ (5.5)

Novamente para baixas intensidades de turbulência, a média quadrática da última

expressão é definida por:

+′XbbbbB�F ≅ [ CbP

XρÀX £4_bX_sXbbbb¦ = CbPXρÀX_bX_sXbbbb (5.6)

Esta equação define uma relação quase-estacionária entre a média quadrática das

flutuações das pressões e a média quadrática das flutuações longitudinais das velocidades.

Posto isto, a estimativa de pressões extremas segundo a hipótese quase-estacionária é

definida por:

+, + = [X "#��¶Ë�ÌXÍ ≅ [

X "#bbb�¶Ë�ÌXÍ (5.7)

o que representa uma expressão de grande utilidade na aplicação à engenharia, servindo

de base aos métodos descritos neste capítulo. De acordo com esta expressão, pode-se

obter estimativas de pressões de dimensionamento utilizando coeficientes de pressão

médios e velocidades de pico. A grande desvantagem desta expressão reside no facto de

não serem consideradas as flutuações de pressões induzidas pelo edifício (v. Capítulo 4).

Contudo, esta aproximação é conservativa, já que na consideração de um coeficiente de

pressão médio com a função de velocidade extremas está implícita a correlação completa

das pressões extremas (Holmes J. D., 2007). Por isso, todas as secções do corpo analisado

estão relacionadas estatisticamente. A teoria da correlação de forças flutuantes é abordada

no seguinte ponto.


5.3 Quantificação de press

O coeficiente de correlação espacial de duas forças flutuantes em dois pontos ao longo da

secção transversal de um edifício é definido por

� = WvÎB�FWUÎB�Fbbbbbbbbbbbbbb§ÏU

Com o aumento da distância espacial entre os dois pontos, o coeficiente de correlação

aproxima-se de zero. Por outro lado

função � aproxima-se de 1. No primeiro caso dizem

segundo caso completamente correlacionadas.

O comprimento de correlação é

ℓ = � �B;F:;m�

Considere-se agora um corpo esbelto formado por N secções transversais acopladas.

Figura 5-1 – Diagrama de um corpo esbelto em consola, dividido em N secções transversais

A força instantânea flutuante que actua no corpo como um todo pode ser definida como

8sB�F = ∑ G&sB�F�;&Ò[

A função quadrática da força flutuante pode então ser escrita como

½8sB�F¾X = ∑ ∑ G&sB�FG sB�F�;&Ò[Ò[

Acção do vento em edifícios altos

Quantificação de pressões e forças flutuantes num edifício


ifício é definido por:


se de zero. Por outro lado, quando esta distância tende para zero o

se de 1. No primeiro caso dizem-se sem relação estatística e no

segundo caso completamente correlacionadas.

O comprimento de correlação é obtido pela seguinte expressão:

se agora um corpo esbelto formado por N secções transversais acopladas.

Diagrama de um corpo esbelto em consola, dividido em N secções transversais (Pinheiro, 2004)


A função quadrática da força flutuante pode então ser escrita como

F &�;

num edifício


(5.8)


zero o valor da

se sem relação estatística e no

(5.9)

se agora um corpo esbelto formado por N secções transversais acopladas.

(Pinheiro, 2004).


(5.10)

(5.11)



Quando na expressão anterior as distâncias tendem para zero pode-se adoptar a forma

integral da expressão. Transformando ambos os lados nos seus valores médios, tem-se

como resultado que:

8sXbbbb = � � GÓsB�FGÔsB�Fbbbbbbbbbbbbb$�

$� :;&:; (5.12)

Assumindo que a função integrada pode ser escrita em função do coeficiente de

correlação, vem

8sXbbbb = GsXbbbb � � ρyy� − y�z$�

$� :;&:; (5.13)

Por meio de uma transformação matemática, pode-se ainda escrever

8sXbbbb = GsXbbbb � :;& � ρyy� − y�z$� ��Ö�

$� :yy� − y�z (5.14)

Daqui se tiram duas conclusões importantes:

No caso de correlação completa entre as forças actuantes em cada uma das N secções, a

média quadrática da força flutuante total é

8sXbbbb = GsXbbbb,X (5.15)

Considerando um decréscimo rápido do comprimento de correlação, então o integral da

equação(5.14) é aproximado por:

� ρyy� − y�z$� ��Ö� :yy� − y�z = � ρyy� − y�z:yy� − y�zm

�m = 2ℓ (5.16)

Resultando assim que a o valor “rms” da força flutuante é aproximada por:

8sXbbbb = GsX ∙bbbbbb , ∙ 2ℓ (5.17)

Este resultado é de grande importância para estruturas esbeltas, já que a média quadrática

da força flutuante total é directamente proporcional ao comprimento de correlação.


5.4 Resposta de fundo e resposta ressonante

Como já foi discutido nos capítulos anteriores, a n

excitação ressonante dos edifícios ou partes dos edifícios. A resposta ressonante deve ser

diferenciada da resposta de fund

diagramas, como o apresentado na

Figura 5-2 – Função de densidade espectral de resposta de uma estrutura com resposta ressonante significante

Este diagrama apresenta uma função relativamente bem comportada para frequências

baixas onde predomina a resposta de fundo (o índice B significa “Background”),

apresentando picos para frequências mais altas que por sua vez traduzem a excitação

ressonante dos modos de vibração, que predominará quanto mais esbeltas e susceptíveis a

acções horizontais forem estas estrutur

Estruturas com frequências inferiores à unidade são

efeitos (devido à acção do vento)

obviamente neste domínio, tal como apresentado na

Quando um edifício apresenta resposta dinâmica ressonante são várias as origens de

forças estruturais que equilibram dinamicamente a acção do vento:

• Forças de inércia proporcionais à massa da estrutura;

• Forças de amortecimento geralmente proporcionais à velocidade;

• Forças elásticas proporcionais às deformações e deslocamentos dos edifícios.

Acção do vento em edifícios altos

Resposta de fundo e resposta ressonante

Como já foi discutido nos capítulos anteriores, a natureza flutuante do vento pode


diferenciada da resposta de fundo para todos os edifícios e é facilmente detectada em

como o apresentado na Figura 5-2.

Função de densidade espectral de resposta de uma estrutura com resposta ressonante significante


resposta de fundo (o índice B significa “Background”),



s estruturas.

Estruturas com frequências inferiores à unidade são, geralmente, estruturas onde estes

(devido à acção do vento) são particularmente importantes. Os edifícios altos estão

, tal como apresentado na Figura 1-1.


forças estruturais que equilibram dinamicamente a acção do vento:

ças de inércia proporcionais à massa da estrutura;

Forças de amortecimento geralmente proporcionais à velocidade;

Forças elásticas proporcionais às deformações e deslocamentos dos edifícios.

atureza flutuante do vento pode causar a


o para todos os edifícios e é facilmente detectada em

Função de densidade espectral de resposta de uma estrutura com resposta ressonante significante (Hu, 2006)


resposta de fundo (o índice B significa “Background”),



estruturas onde estes

são particularmente importantes. Os edifícios altos estão


Forças elásticas proporcionais às deformações e deslocamentos dos edifícios.



Como tal, tanto a resposta de fundo como a ressonante deverão ser tidas em conta na

quantificação da acção do vento, introduzindo todas as forças resistentes na estrutura.

Como resultado desta aplicação, no domínio da frequência, obtém-se um carregamento

equivalente como se verá nas próximas secções deste capítulo.

5.5 Modelos de caracterização da acção longitudinal do vento

5.5.1 Contextualização e Generalidades

A acção na direcção do vento tem vindo a ser bem caracterizada por métodos baseados em

teorias quase-estacionárias para o factor de rajada, GLF (Gust loading factor). O método

GLF foi originalmente introduzido por Davenport em 1967 e dada a sua simplicidade foi

reconhecido e utilizado para caracterização da acção do vento sobre estruturas na maioria

dos códigos de dimensionamento por todo o mundo. Este método caracteriza o vento com

um carregamento estático equivalente para a acção média do vento multiplicada por um

factor de rajada. Este factor engloba a componente dinâmica das flutuações do vento e

eventuais amplificações introduzidas pela dinâmica dos edifícios.

O GLF tradicionalmente baseia-se no deslocamento como resposta, isto é, pelo factor de

rajada ser o rácio entre o deslocamento máximo e médio, habitualmente denominado

como DGLF (Displacement Gust Factor). Contudo, dada a sua simplicidade este método

revela algumas limitações nomeadamente ligadas à definição do deslocamento como

função de resposta tendo sido melhorado o método introduzindo o momento na base

como função de resposta.

Segundo (Hu, 2006), o DGLF é usado indiscriminadamente o que leva à obtenção de maus

resultados. Para uma dada estrutura o GLF é constante, porque engloba apenas a

componente média e flutuante do deslocamento de resposta para o primeiro modo de

vibração e quando um GLF constante independente da altura é utilizado para estimar a

acção equivalente do vento de ponta, a acção equivalente será igual da acção equivalente

do vento médio de rajada o que entra em conflito com o conhecimento geral da acção do

carregamento estático equivalente do vento em edifícios altos e flexíveis.

Para os edifícios altos a resposta de ressonância é muito importante. Por esse motivo, a

distribuição de esforços estáticos equivalentes deve depender da forma do modo e da

distribuição da massa.

Em 1999, Zhou mostra que o GLF apesar de estimar bons resultados para o deslocamento,

por exemplo, para o esforço de corte na base da estrutura apresenta resultados

impróprios.



Mais óbvia é a limitação deste modelo quando a força média do vento ou o deslocamento

médio são zero. Considere-se como exemplo uma estrutura simplesmente apoiada. Se o

primeiro modo consistir numa função sinusoidal e, como tal, assimétrica, o deslocamento

médio para esse modo é zero. Como tal o factor de rajada G não pode ser calculado.

Reconhecidas as limitações deste modelo, Davenport e os seus colaboradores, refinam em

1997 o conceito do modelo GFL o qual se baseia na resposta relacionada com a função de

influência, mas não limitada ao deslocamento. Outros propuseram também novas

formulações do modelo, não contemplando no entanto solução para o exemplo descrito.

Em 2003, Kareem propõe um novo formato para o GFL no qual utiliza a função de resposta

para o momento da base ao invés do deslocamento. A acção de pico do vento é obtida

através da multiplicação da acção média por um novo factor denominado por MGFL

(Moment Gust Load Factor). O momento de flexão obtido na base é repartido pelos vários

pisos da estrutura, utilizando uma técnica idêntica à utilizada para a divisão do esforço de

corte pelos vários pisos em engenharia sísmica. Além disto, Kareem consegue também

introduzir o novo modelo na resposta transversal e de torção do vento.

5.5.2 Método DGLF (Displacement Gust Load Factor)

O método tradicional DGFL descreve o carregamento de pico por acção do vento tal que:

LØB<F = ( × LbB<F (5.18)

onde G é o factor de rajada que, contemplando os efeitos dinâmicos da rajada e da

estrutura, amplifica a força média do vento LbB<F, função da altura z.

No método DGLF, tal como o nome sugere, G é definido em termos da função resposta do

deslocamento da estrutura. Considere-se a função deslocamento ÙB<F. O factor de rajada

DGLF para a direcção ; pode ser descrito da seguinte forma:

( = ÚØB!ÛFÚbB!ÛF (5.19)

em que ÙØB<ÜF e ÙbB<ÜF representam a resposta da função de deslocamento máximo e de

deslocamento médio relativas a uma altura de referência <Ü , respectivamente.

Esta relação para um processo estacionário pode ser expresso como

( = 1 + PÝ§ÝB!FÚbB!F = 1 + 2Þ ªµ√à + 2 (5.20)



onde ÞÚ é o factor de ponta, �ÚB<F a média quadrática da função deslocamento, ªµ a

intensidade da turbulência no topo do edifício e, B e R os factores de fundo e de

ressonância.

Considerando agora que o facto de ponta como função das componentes de fundo e de

ressonância do edifício, considerando o factor de ponta como uma contribuição de um

factor de ponta de fundo -Þf - e outro de ressonância -ÞÜ , a expressão anterior pode ser

transformada nas seguintes equações

(Ú = 1 + 2ªµaÞfXà + ÞÜX2 (5.21)

(Ú = 1 + a(ÚáX + (ÚÜX (5.22)

Nestas equações estabelece-se uma simplificação de grande utilidade, apresentando-se o

factor de rajada como função das respostas de fundo e ressonância do edifício.

De acordo com as simplificações que permitem chegar às equações (duas atrás), estes

factores tomam agora a forma

(Úá = 2Þfªµ√à (5.23)

(ÚÜ = 2ÞÜªµ√2 (5.24)

onde, Þf representa o factor de pico da velocidade do vento, à o factor de fundo, ÞÜ o

factor de pico de ressonância e 2 o factor de ressonância.

A definição matemática destes coeficientes passa agora pela caracterização da acção média

do vento e pela contabilização dos efeitos dinâmicos da acção do vento na estrutura.

• Acção Média do Vento

A caracterização da acção média do vento, na expressão (5.25) pode ser descrita como

uma pressão estática tal que:

Lb = [X �"¹â�gXB<F�gµ

X �!µ�Xx

(5.25)

�gB<F = �gµ �!µ�x

(5.26)



Esta expressão é função de �, a densidade do ar, "¹ o coeficiente de arrastamento, â a

largura do edifício na superfície perpendicular à acção do vento e �gB<F a velocidade média

do vento à altura <.

A expressão da velocidade média do vento, (5.26), varia de acordo com a lei exponencial

com um parâmetro base, �gµ representando a velocidade média do vento no topo do

edifício (< = ·F e r é um expoente que define a forma da função de acordo com as

condições de exposição da zona em estudo e da morfologia do terreno.

• Contabilização dos efeitos dinâmicos do vento

O deslocamento médio pode, na grande generalidade dos casos, ser expresso em função da

resposta média do deslocamento do primeiro modo de vibração da estrutura.

ÙbB<F = #bv∗bbbb}v∗ ∙ãB!F (5.27)

Para tal, definem-se três grandezas da teoria da análise dinâmica de uma estrutura tratada

como um grau de liberdade generalizado (v.d. A.1). O carregamento generalizado L[∗, a

rigidez )[∗ e a massa equivalente -[∗ no primeiro modo são descritos de acordo com as

seguintes três expressões:

Lb[∗bbb = � Lbµ� B<FäB<F:< (5.28)

)[∗ = B2�G[FX-[∗ (5.29)

-[∗ = � -B<FäXB<F:<µ� (5.30)

A função äB<F define a forma do modo em função da altura e de constantes e 7, que de

acordo com as características estruturais, tais como amortecimento e rigidez do edifício,

definem a forma da sua deformada modal.

äB<F = 7 �!µ�å

(5.31)

Por outro lado, -B<F é a função que distribui habitualmente de forma linear a massa pela

estrutura em < de acordo com o factor de redução �.

-B<F = -� u1 − � �!µ�w (5.32)



A componente relativa às flutuações, �ÚB<F pode ser determinada em função de äB<F. Esta

relação resulta na seguinte expressão,

�ÚB<F = y� 6ævBGF:Gm� z

vU ∙ äB<F (5.33)

na qual 6æv é a função do espectro de potência das flucutações do deslocamento

generalizado. De acordo com (Davenport, 1967), esta quantidade é expressa em função da

frequência da estrutura tal que:

6ævBGF = � 6fBGF ∙ çB, GFm� ∙ |·�G|X:G (5.34)

onde se definem as seguintes grandezas:

- 6fBGF, a função de densidade espectral, PSD (power spectral density);

- çB, GF a função de admitância que relaciona a PSD de velocidades do vento com a PSD

das pressões do vento;

- |·�G| a função de transferência mecânica.

Para a oscilação do corpo na direcção da acção do vento são válidas as teorias quase-

-estacionárias, bem como a inexistência de correlação entre as pressões nas faces frontal e

de esteira. A correlação das diversas acções localizadas pode ser ilustrada de acordo com a

(Zhou, Kareem, & Gu, Gust loading factors for design applications).

Dos pressupostos enunciados resultam as seguintes expressões:

6#bv∗BGF = çB, GF ∙ 6fBGF (5.35)

çB, GF = BOéêëµ©gìFUB[íxíåFU |îïBGF|X|îðBr, , GF|X (5.36)

em que

|îïBGF|X = [ëU 2ïB�[, �X, GF:�[:�X (5.37)

|îðBr, , GF|X = B[íxíåFUµU � � y<[ ·q zxíåy<X ·q zxíå2ðB<[, <X, GF:<[:<X

µ�

µ� (5.38)



são denominadas “Joint Acceptance Functions” funções de correlação na direcção

horizontal e vertical, respectivamente (v. Figura 5-3).

2ïB�[, �X, GF = 3�� ñòÏóg BôF|õvöõU|� (5.39)

e

2ðB<[, <X, GF = 3�� ñ÷Ïóg BôF|øvöøU|� (5.40)

são as funções horizontal e vertical de coerência da componente flutuante da velocidade

do vento e, "ï e "ð, os coeficientes de decaimento exponencial e como já referido, ℎ a

altura de referência.

Figura 5-3 – Diagrama ilustrativo das correlações de acções em torno de uma estrutura sob acção longitudinal

do vento

Para o primeiro modo, a função de transferência mecânica é

|·�BGF|X = |µvBWF|U}v∗U (5.41)

onde,

|·[BGF|X = [Y[�� Ï

Ïv�UZU

í�UùÏÏv �U (5.42)

De acordo com (Kareem & Zhou, Areodynamic Admittance Function of Tall Buildings),

prova-se que a função de transferência mecânica depende, não só de características da

H

z2

z1

Pl(z2,t)

Pw(z1,t)

Pw(z2,t)

Pl(z1,t)

Rpl,pw(z2,f)

Rpl,pw(z1,f)

Pw(z2,t)

Pw(z1,t)

Rpw(x1,x2,t)

v(z1,t)

v(z2,t)

Rpw(z1,z2,f)

Ru(z1,z2,f)

Rpl(z1,z2,f)



turbulência, mas também dos modos de vibração, pelo que a contabilização neste método

apenas do primeiro modo incorre na perda de alguma precisão nos resultados obtidos.

Esta afirmação será mais verdadeira quanto menos preponderante e influente for o modo

de vibração fundamental e neste caso deve ser alvo de um estudo aprofundado.

Como resultado das expressões de (5.33) a (5.42), a parte flutuante da acção do vento

pode ser rescrita como

§ÝB!FÚbB!F = y� %úû∗BWF|µvBWF|U�WzU

#b∗ (5.43)

Em sequência do que vem sendo descrito, o integral da expressão acima pode ser dividido

nos factores de resposta de fundo e ressonância, satisfazendo as equações (5.23) e (5.24) .

O factor de fundo pode agora ser definido de acordo com a seguinte expressão,

à = � )B, GF6f∗BGF:Gm� (5.44)

onde,

)B, GF = � XíXx[íxíå�X |îïBGF|X|îðBr, , GF|X (5.45)

e 6f∗BGF é a função espectral da velocidade do vento normalizada com respeito à média

quadrática da componente variável, �fX. De acordo com a maioria das regulamentações,

toma-se = 1.

O factor de ressonância 2 é, por sua vez, descrito por uma expressão bastante mais

simples, 2 = 6ü/ζ em que 6 = )B, G[F é o factor de redução, e o factor de energia de

rajada e ý o amortecimento crítico da estrutura no primeiro modo (Kareem & Zhou, Gust

Loading Factor: New Model, 2001).

A expressão (5.21) fica completa definindo agora o factor de pico de ressonância. Para um

processo Gaussiano é usual definir-se

ÞÜ = a2þ0BG[�F + 0.5772a2þ0BG[�F (5.46)



em que � é o tempo de observação e G[ a frequência natural do primeiro modo da

estrutura.

Para a expressão (5.23) pode ser obtido com a relação 2 = 6ü/ý, onde 6ü representa o

produto entre o factor de redução e o factor de energia da rajada, respectivamente, e ý o

amortecimento crítico da estrutura no primeiro modo.

A grande maioria dos métodos DGLF é baseada nas expressões supracitadas, distinguindo-

-se na modelação da turbulência e dos modelos estruturais.

Habitualmente, os valores de R, S e E são apresentados nos códigos de dimensionamento

através de ábacos ou relações simplificadas.

5.5.3 Método MGLF (Moment Gust Load Factor)

Considere-se uma função . do momento na base do edifício.

O método MGLF proposto por Kareem em 2003 é descrito da seguinte forma:

O factor de rajada é definido pela seguinte relação

(´ = Ì�g� (5.47)

em que analogamente ao descrito em 5.5.2 para DGLF, .Ì[ e .g[ são o máximo e a média do

momento induzido na base, respectivamente. É de notar que este momento é diferente do

momento provocado pela acção externa do vento, daí a utilização do índice ª.

Para um processo gaussiano a expressão (5.47) pode vir rescrita como

(´ = 1 + P�§��vB!F

g� (5.48)

onde mais uma vez Þ´ é o factor de pico e � ûva média quadrática do momento na base.

O momento na base engloba as propriedades dinâmicas das rajadas e da estrutura e pode

ser obtido da resolução da equação do movimento generalizado da estrutura

-[∗� �[B�F + 7[∗�/[B�F + )[∗�[B�F = L�[∗ (5.49)

em que todas as variáveis, massa -[∗ , amortecimento 7[∗, rigidez )[∗ e carregamento L�[∗ são

generalizadas, definidas para o primeiro modo de acordo com o índice apresentado.



Quando a acção quase-estática generalizada do vento é aplicada no edifício, o

deslocamento generalizado é igual a qualquer outra resposta obtida através de uma

análise dinâmica.

A função de densidade espectral de potência desse carregamento é dado por:

6#bv∗BGF = )[∗X6ævBGF = 6#�∗BGF|·[BGF|X (5.50)

onde a acção generalizada quase-estática do vento é L��∗ = � L��B<, �Fä[B<F:< e L�� é a acção

estática equivalente do vento.

As relações entre momentos e carregamentos, L�∗ = .û/· e L��∗ = .û�/· , permitem re-

-escrever a expressão (5.50) em termos das funções de densidade espectral dos momentos

tal que:

6 ûvBWF = 6 û BGF|·[BGF|X (5.51)

Esta equação define um novo tratamento probabilístico da acção do vento.

Comparado com o DGLF, o MGLF apresenta uma vantagem imediata. O método MGLF dá

uma descrição concisa da relação entre o carregamento aerodinâmico e os efeitos

induzidos na estrutura devido ao vento (v. Figura 5-4). Por outro lado, no DGLF a função

de transferência aerodinâmica é na realidade uma função de transferência entre o

comportamento da turbulência introduzido e o carregamento generalizado do vento, que,

por sua vez, é dependente da normalização utilizada para definir a forma do modo o que

cria para a função de transferência uma dependência da forma do modo. Como tal, este

procedimento complica o procedimento de validação desta função que se revela mais

prática no caso do MGLF, já que a relação entre resposta e carregamento pode ser

facilmente validada recorrendo a tecnologias como HFBB.



Figura 5-4 – Diagrama comparativo da metodologia do modelo DGLF e MGLF (Kareem & Zhou, Gust Loading

Factor: New Model, 2001)

Tal como o DGLF, o MGLF pode também ser descrito em função das componentes de

interferência e ressonância

(´ = 1 + 2ªµaÞfXà + ÞÜX2 = 1 + a(´áX + (´ÜX (5.52)

Para determinação destas grandezas é agora necessário recorrer a expressões indicadas

em Hu,2006.

O momento médio induzido na base da estrutura por integração é definido por

.g� = � LbB<Fµ� <:< = [

XORéêë©ìU µU

XíXx (5.53)

Onde o parâmetro r é, tal como no ponto anterior, o expoente da função velocidade.

O momento devido à resposta de fundo pode ser descrito implementando a função de

influência �B<F = < (Kareem & Zhou, Gust Loading Factor: New Model, 2001), onde as

grandezas têm igual significado ao do ponto anterior.



.Ì�á =

Þf� � � � � B�"¹â�gµFXµ�

µ�

µ�

µ�

m� �!v

µ �x �!Uµ �x 2!BGF2ïBGF6fBGF<[<X:�[:�X:<[:<X:G =

Þf�ìORéêë©ìU µU

Xíx � 6f∗BGF|îïBGF|X|îðBr, 1, GF|X:Gm� (5.54)

vindo agora

(´á = Ì�g� = 2Þfªµ

XíXxXíx � 6f∗BGF|îïBGF|X|îðBr, 1, GF|X:Gm

� (5.55)

Para a componente do vento caso o modo não seja linear ou a distribuição de massa não

seja uniforme, o máximo deslocamento do primeiro modo é dado por:

ÙØÜB<F = ÞÜy�ìO©gUìéêëz

BXºWvFU»�× B[íXåFBXíXåF

B[íxíåF½BXíXåF��B[íXåF¾ × |îïBGF|X|îðBr, 1, GF|X ºWv� 6f∗BGF ∙ �!

µ�å

(5.56)

onde se verifica que, pelo último produto, a função do deslocamento acompanha a forma

do modo.

Assim, o carregamento estático equivalente relativamente a esta parcela pode ser obtido

pela expressão

LØÜB<F = B2�G[FX-B<FÙØÜB<F =ÞÜ

y�ìO©gUìéêëzBXºWvFU»�

× B[íXåFBXíXåFB[íxíåF½BXíXåF��B[íXåF¾ × |îïBGF|X|îðBr, 1, GF|X ºWv

� 6f∗BGF ∙ �1 − � !µ� �!

µ�å

(5.57)

Por sua vez a integração do carregamento permite obter o Momento Induzido na Base

devido à parcela da ressonância

.Ì�Ü = � LØÜB<F<:<µ� =

ÞÜªµ��gXµ"¹â·X B[íXåFBXíXåFB[íxíåF½BXíXåF��B[íXåF¾ × ½B�íåF��BXíåF¾

B�íåFBXíåF |îïBGF|X|îðBr, 1, GF|X ºWv� 6f∗BG[F

(5.58)



Com isto pode-se desde já escrever a expressão que define a contribuição da ressonância

para (´ ,

(´Ü = Ì�Ûg� = 2ÞÜªµ

B[íXåFBXíXåFB[íxíåF½BXíXåF��B[íXåF¾ × ½B�íåF��BXíåF¾

B�íåFBXíåF |îïBGF|X|îðBr, 1, GF|X ºWv� 6f∗BG[F

(5.59)

Ambos os métodos GLF aqui descritos resultam numa distribuição estática equivalente da

acção do vento que proporcionam bons resultados na direcção da acção do vento, tanto

para deslocamento como para momentos na base, no entanto, não apresentam boas

estimativas para outras respostas.

De acordo com (Kareem & Zhou, Areodynamic Admittance Function of Tall Buildings), o

MGLF e o DGLF são numericamente iguais para modos de vibração lineares. Contudo, para

modos de vibração não lineares, apesar da componente de fundo do MGLF ser idêntica à

do DGLF, o mesmo não se passa com a componente de ressonância. Esta relação é

traduzida pela variável η como demonstrado sinteticamente na tabela seguinte.

DGLF MGLF ηηηη � (5.23) (5.55) 1 (funções lineares) � (5.24) (5.59) B1 + 2βFB2 + 2βFB2 + αF

B1 + α + βF½B2 + 2βF − λB1 + 2βF¾½B3 + βF − λB2 + βF¾

B3+ βFB2 + βF �|îðBr,β, GF|X|îðBr, 1, GF|X

Tabela 5-1– Tabela resumo das principais relações dos métodos DGLF e MGLF

5.5.4 Factor de Resposta Dinâmico – DRF

O método DRF, “Dynamic Response Factor” é habitualmente definido como o rácio da

máxima resposta dinâmica incluindo os efeitos de correlação e de ressonância e a máxima

resposta excluindo esses efeitos (Holmes J. D.).

Na lógica seguida nos pontos anteriores, para uma resposta generalizada R na direcção x, o

factor DRF é dado por:

�Ü� =ÜõbbbbíP�U§Ûõ�U íPTU§ÛõT

U

ÜbíP�§Ûõ�Î (5.60)

com,

�Üõ�s = � _�B<Fµ� a2#õB<F:< = §Ûõ�

áõø (5.61)



à�! = � � fõB!vFfõB!UFì�

ì� ÜúõB!v,!UF�!v!U

� fõB!vFì� ÜúõB!vF�!v

(5.62)

em que à! é denominado o factor de fundo representando a redução dos efeitos da

resposta 2� devido à perda da correlação espacial da pressão do vento, que no

denominador de (5.60) é desprezado.

Analogamente às expressões definidas atrás é possível definirem-se as seguintes

formulações para os coeficientes de rajada de fundo e de ressonância, respectivamente.

(Üõ� = P��R��Üõbbbb (5.63)

(ÜõT = PT�R��Üõbbbb (5.64)

chega-se facilmente à seguinte expressão para a relação entre o factor de rajada da

resposta e o factor de resposta dinâmica

�Üõ =[í{Ûõ�U í{ÛõT

U

[í{Ûõ� áøq (5.65)

De acordo com este método, o carregamento estático equivalente será expresso como

8�Üõ = �Üõ½Lb�B<F + 8�¼�s ¾ = �Üõ½Lb�B<F + Þ¼a2#õB<F¾ (5.66)

onde o segundo termo é denominado de envolvente da acção de rajada, “gust loading

envelop” com função semelhante ao termo ÞÚ�ÚB<F na equação (5.20).

5.5.5 Combinação Linear das componentes de Fundo e de Ressonância

Todos os métodos apresentados atrás entram em linha de conta com as respostas de

fundo e de ressonância acopladas num único factor. Além disso, a acção equivalente

correspondente a essas respostas não considera também qualquer separação entre estas

componentes. Contudo, tal separação é possível e as correspondentes formulações são de

seguida apresentadas.

O carregamento estático equivalente de fundo (BESWL) é formulado como função das

características do vento e tem sido abordado por diversos investigadores. Kaperski propõe

um método que correlaciona acção com resposta, que, por isso, resulta numa distribuição



efectiva de fundo que depende da resposta em consideração. Já Repetto e Solari propõem

uma distribuição idêntica para todas as componentes de resposta expressa em termos de

uma expansão polinomial. Mais recentemente, em 2004, Chen e Kareem propõem uma

distribuição idêntica a uma envolvente da acção de rajada.

Por outro lado, a componente ressonante tem sido avaliada por uma distribuição inercial

da acção.

A resposta dinâmica máxima, excluindo a acção média, pode ser obtida pela seguinte

combinação das componentes de ressonância e fundo

2»¶� = Þ¼X�Ü�X + Þ'X�ÜTX (5.67)

De acordo com as teorias estipuladas, a componente de fundo da acção do vento pode ser

calculada pelas teorias estáticas ou quase-estáticas. Considere-se uma resposta estrutural

2 a uma altura <� de uma estrutura de altura total H.

2b = � Lb�B<F_�B<F:<µ� (5.68)

�Ü¼X = � � _�B<[F_�B<XF2#õõB<[, <XF:µ�

µ� <[:<X (5.69)

�Ü'X = � »B!F�õB!Fì� �õB!F�!

� »B!F�õUB!Fì� �! . º

ævG[6�õBG[F (5.70)

6�õBG[F = � � ��B<[F��B<XF6#õõB<[, <X, GF:µ�

µ� <[:<X (5.71)

2#õõB<[, <XF representa naturalmente a covarância do processo e 6#õõB<[, <X, GF a densidade

espectral cruzada das funções L� nas alturas <[ e <X. Analogamente a 6#õ, 6�õ representa a

densidade espectral da força modal generalizada. Com isto, a força de pico da componente

de ressonância é de acordo como método LRC (Kaperski, 1992) definida por:

8�Ü�B<F = P�§Û� � _�B<[F2#õõ

µ� B<, <[F:<[ (5.72)

A acção assim definida depende especificamente da resposta, pelo que, para diferentes

respostas, a acção vem diferente. Para combater esta limitação associada, Chen propôs

descrever a acção de fundo como a acção envolvente dos efeitos de rajada, 8�¼�s B<F,

multiplicados por um factor de fundo à!.

8�Ü�B<F = à!8�¼�s B<F = à!Þ¼a2#õB!F (5.73)



à! = §Û�§Û�Î = §Û�

� fõB!F±��õÎ B!F�!ì� P�� (5.74)

Þ¼�Ü¼s define a resposta à acção de fundo resultante da envolvente da acção, sem, no

entanto, ter em conta a correlação espacial dos pontos. Por isto à! representa o efeito de

redução devido a essa mesma correlação ao longo da altura · do edifício. A situação

extrema, em que o vento é completamente correlacionado, em que 2#õõB<[, <XF =a2#õB<[F2#õB<XF vem que à! é unitário.

A acção equivalente estática de ressonância, RESWL, toma o valor máximo tal que

2'»¶� = Þ'�Ü' (5.75)

definida em termos de distribuição inercial da estrutura assume a seguinte formulação

(Chen & Kareem, Equivalent Static Wind Loading on Buildings: A New Prespective):

8�'�B<F = PT»B!F�õB!F� »B!F�õUB!Fì

� �! ºæv

G[6�õBG[F (5.76)

Como referido, o ESWL, pode ser apresentado como combinação linear de efeitos. De

acordo com as formulações apresentadas em 5.5.2 e 5.5.3, obtém-se a seguinte expressão

8�'B<F = £P�§Û�áø±��õÎ B!FíPT§ÛT±�TõB!F¦P�U§Û�U íPTU§ÛT

U (5.77)

Acoplando grandezas idênticas nos mesmos termos, chega-se à seguinte relação

8�'B<F = P�§Û�P�U§Û�U íPTU§ÛTU à!8�¼�s B<F + PT§ÛTP�U§Û�U íPTU§ÛT

U 8�'�B<F (5.78)

onde os quocientes definem os pesos â¼, de fundo e â' , de ressonância relativamente à

resultante da soma dos quadrados dos efeitos, tal como são apresentados nos métodos

anteriores. Contudo, utilizando esta análise paramétrica para diferentes respostas são

obtidos pesos diferentes em função dessa mesma resultando, aparecendo, no entanto, o

factor de redução de fundo à! desacoplado do peso â¼.



5.6 Modelos para caracterização da acção transversal e de torção do

vento

5.6.1 Efeito lateral e de torção do vento – Factores de Rajada

Todos os métodos descritos até agora pretendem quantificar unicamente na direcção do

vento sobre o edifício. Os fenómenos típicos de escoamento de ar atmosférico em torno de

edifícios provocam não só vibrações longitudinais, mas também transversais, resultando

desta combinação efeitos dinâmicos de torção. Na grande maioria dos casos, estes efeitos

são tão ou mais importantes que os efeitos na direcção do vento, sobretudo quando

analisados em serviço devido ao comportamento oscilatório perceptível ao ser humano.

Ao longo das últimas décadas, como se tem vindo a fazer referência, a acção frontal do

vento sobre as estruturas tem sido eficazmente traduzida pelas teorias quase-estáticas, no

entanto, a acção transversal e os efeitos de torção não podem ser tratados de igual forma,

já que a relação entre a incidência do escoamento e os efeitos em direcções alternadas não

são bem aproximados por relações lineares.

Contudo, o esforço dedicado à elaboração de modelos tem conduzido a desenvolvimentos

dos métodos apresentados atrás no espaço tridimensional. Baseados no modelo DGLF,

Piccardo e Solari propuseram uma aproximação empírica do espectro para uma acção

transversal. Recentemente, Kareem estende a sua proposta do modelo MGLF aos efeitos

laterais e de torção sobre os edifícios altos.

Analogamente ao método postulado no ponto 5.5, esta aproximação tridimensional baseia-

-se num factor de rajada, GLF, definido pela expressão

( = ÌgÎ (5.79)

onde por sua vez .g sé o momento médio de referência na base ou a torção na base. Estes

valores são calculados, respectivamente, para os modos de vibração transversal e de

torção, de acordo com as expressões

.g s¹,$ = � LbB<F<:<µ� (5.80)

.g s¤ = � LbB<FB0.04àF:<µ� (5.81)

H e B representam a altura e largura do edifício na direcção do vento. Como LbB<F

representa a acção média do vento longitudinalmente ao edifício, estas relações são meras



extrapolações empíricas do comportamento da estrutura na sua principal direcção. Os

índices , D, L e T, identificam os três efeitos em estudo. Citando (Kareem & Zhou, Gust

Loading Factor: New Model, 2001), o momento na base devido aos efeitos transversais é

dado igual ao momento na base para acção frontal do vento por conveniência. De notar

que os momentos de referência definidos pelas expressões (5.80) e (5.81) não coincidem

com os valores médios que actuam realmente na estrutura.

Os efeitos directos transversais e de torção, para estruturas simétricas, são na sua

generalidade pouco significativos. Por outro lado, os efeitos da libertação de vórtices não

são desprezáveis.

Tal como nos GLF já definidos, .Ì representa o valor de pico para o momento de flexão ou

torsor na base, de acordo com a grandeza avaliada. Independentemente da resposta, a sua

expressão é definida por

.Ì = .g + Þ. �´ (5.82)

em que g representa o factor de pico que assume valores na ordem de 3 e 4. �´ define a

raiz da soma dos quadrados da resposta estudada, momento flector ou torsor. Este valor

relaciona-se com o espectro de potência da parcela flutuante da resposta pela sua

integração no domínio da frequência.

�´ = � 6´BGF:Gm� (5.83)

De acordo com a figura Figura 5-2 é habitual dividir-se a integração da função de

densidade espectral em duas parcelas, uma respeitante à parcela de fundo, �´á e outra à

parcela de ressonância, �´á.

�´ = a�´áX + �´áX (5.84)

Como consequência desta formulação, o novo GLF contemplando os três efeitos no espaço

vem

( = gíaBP.§�FUíBPÛ .§�ÛFUg Î = (Á + a(áX + (ÜX (5.85)



Como seria expectável, quando a análise se limita aos efeitos do escoamento directo, a

formulação apresentada conduz à mesma análise apresentada no ponto, onde se descreve

o modelo MGLF do mesmo autor. Para essa acção, a componente média do GLF é 1,

enquanto que para a acção transversal e de torção toma habitualmente valores muito

pequenos ou zero.

Zhou, em 2002, analisa a variabilidade dos efeitos do vento em função dos modos

considerados e das características de pressão aerodinâmica das estruturas. O cálculo das

componentes de fundo e ressonância tridimensional é baseada nos métodos de GLF, é

também sensível a essas características estruturais.

Na engenharia do vento o expoente que caracteriza a forma do modo e os parâmetros

utilizados para descrever a distribuição de pressões do vento não são conhecidas a priori,

exigindo incondicionalmente um estudo prévio. Zhou refere ainda que a determinação da

flexão na base utilizando os métodos baseados em factor de rajada reduz

consideravelmente a sensibilidade da estrutura.

Por isso, é recomendada uma nova definição dos espectros de resposta do momento de

flexão e torsor de acordo com a seguinte equação:

6´BGF = η´ . 6´BGF. |·[BGF|X (5.86)

em que η´ é um factor correctivo da forma do modo para a resposta de flexão e torção.

Para a acção de fundo, tanto este factor como a |·[BGF| são iguais à unidade. Além disso, se

os modos considerados assumirem comportamento linear na direcção transversal e

andamento uniforme na rotação no plano da base, η´ assume também o valor unitário

para a parcela de ressonância da resposta.

Da expressão (5.86), a média quadrática das parcelas de fundo e resposta, identificadas

com os índices B e R, respectivamente são dadas pelas seguintes expressões:

�´á = �´ (5.87)

�´Ü = ºWvς 6´BG[F (5.88)



5.6.2 Quantificação do desprendimento de turbilhões

5.6.2.1 Modelos lineares e não lineares de Scanlan

O modelo linear de Scanlan, é uma ferramenta bastante simples e geralmente utilizada

para avaliação das deformações máximas induzidas pelo desprendimento de vórtices.

Segundo o autor, este modelo apresenta bom ajuste com resultados experimentais.

Neste modelo, considere-se que a excitação aerodinâmica, o amortecimento e a rigidez

aerodinâmica são gerados por um oscilador linear. Considerando que, quando se dá o

fenómeno de “lock-in”, a frequência natural deste oscilador controla toda a vibração

aerodinâmica, ou seja � = �[, pode-se escrever a equação do movimento do fluido sujeito

a uma força induzida por desprendimento de vórtices tal que

-½;� + 2��[;/ + �[X;¾ = [X ��XB2�F £·[B*[F /

© + ·XB*[F ¹ + [

X "$B*[F sinB�[� + rF¦ (5.89)

onde *[ = �ω[/U e ·[, ·X, "$ e r são parâmetros de ajuste.

Note-se que ·[, ·X e "$ têm relação com o número de Strouhal e devem ser obtidos a

partir de resultados experimentais. Neste modelo ·[ está associado ao termo de

amortecimento aerodinâmico linear enquanto ·X representa a rigidez aerodinâmica.

O modelo não linear deriva do modelo anterior, sendo adicionado agora um termo cúbico

não linear à expressão (5.89). Desta forma é conferido ao modelo as características de um

oscilador de van der Pol (Pinheiro, 2004), conferindo à análise estrutural pequeno

amortecimento para baixas amplitudes e alto amortecimento para grandes amplitudes.

A expressão toma agora a seguinte forma

-½;� + 2��[;/ + �[X;¾ =

[X ��XB2�F £·[B*[F �1 − ε ÖUDU� /

© + ·XB*F ¹ + [

X "$B*F sinB�� + rF¦ (5.90)

Nesta expressão, * = ��/� e � satisfaz a relação de Strouhal ��/� = 2�6. À semelhança

do modelo anterior ·[ representa o termo de amortecimento aerodinâmico linear

enquanto ε representa o parâmetro não linear. ·[, ε, ·X e * são obtidos de observações

experimentais. Neste modelo, os termos ·[ e ε são dominantes já que durante o fenómeno

de trancamento ·X e "$ são muito inferiores podendo mesmo ser considerados nulos.



� = 2 £BO©¹µv�»æ$F¹O©µv% ¦ (5.91)

· = °»º%yæv³ vU�æU³ UUz¹UOy³ vU�³ UUz (5.92)

p = Bæv�æUFæv³ vU�æU³ UU

(5.93)

Os parâmetros ·[ e ε são determinados com recurso às expressões (5.91) a (5.93)

substituindo dois valores de amplitudes de deslocamentos y� v , � Uz obtidos

experimentalmente para as respectivas taxas de amortecimento B�[, �XF.

Este modelo é útil na avaliação de respostas de modelos em testes experimentais.

5.6.2.2 Modelo 3D de Vickery & Basu

Este modelo considera as forças do vento sobre uma estrutura divididas em duas partes.

A primeira parte descreve as forças aerodinâmicas que, portanto, actuam sobre a

estrutura parada. A segunda parte considera as forças aeroelásticas, ou seja, a influência

do movimento da estrutura nas forças aerodinâmicas.

• Forças Aerodinâmicas

As forças aerodinâmicas são definidas por:

8�$ = [X �"&$��X (5.94)

As forças são definidas para uma frequência central de desprendimento de vórtices, G« ,

função do número de Strouhal. Por isto, segundo Vickery, o conhecimento exacto da forma

de todo o espectro não é fundamental já que a análise se centra em torno de 20% dessa

mesma frequência.

De acordo com esta hipótese, define-se o espectro das forças transversais devidas ao

desprendimento de vórtices por:

W%ñ'é&'U = W

W(á√º 3�+ Y− �[�W/W(á �XZ (5.95)

onde, B é denominado largura de banda e é função da turbulência ªf , de acordo com



à = 0.1 + 2.0ªf (5.96)

A força modal de um modo j é dada pela contribuição das flutuações da força lateral por

unidade de comprimento 8$B<, �F ao longo da altura do edifício.

8$ = � 8$B<, �F) B<F:<µ� (5.97)

O espectro desta força pode ser então traduzido pela seguinte expressão

6±$ BGF = � � a6±$BW,!vF6±$BW,!UF2�B<[, <XF)B<[F)B<XF:<[:<Xµ

�µ

� (5.98)

Com a correlação espacial das flutuações das forças representada por:

2�B<[, <XF = cosB21 3⁄ F3�+½−B1 3⁄ F¾ (5.99)

• Forças Aeroelásticas

A força aeroelástica é escrita na forma:

8$ = 4�G[��X*9� Y1 − � + +'�XZ ;/ (5.100)

Onde ;+ representa o valor rms do deslocamento e ;+L o valor rms de deslocamento limite.

*9� é denominado o parâmetro de amortecimento aerodinâmico obtido quando ;+ → 0 e

está associado à natureza auto-limitante do amortecimento negativo *¶ = −η¶-�/B��XF

dado pela expressão, cuja relação é traduzida por:

*¶ = *¶� Y1 − � + +'�XZ (5.101)

Este parâmetro apresenta uma variação idêntica a outros parâmetros aerodinâmicos

como "¹ e "$ .

O valor rms do deslocamento referente ao modo j é dado por:



;+ X = %.',�yW�z´�UyºW�z/�η�íη²�� (5.102)

O parâmetro η¶ é a razão entre o coeficiente de amortecimento aerodinâmico e o

coeficiente de amortecimento estrutural crítico.

5.7 Túnel de Vento

O cálculo das acções e interacção do vento envolvem interacções entre escoamento e

estrutura muito complexas que, na direcção da acção do vento, têm sido traduzidas com

sucesso por modelos baseados em teorias das faixas - “strip”, e “quasi-steady” (Capítulo

5). Graças a esses modelos, são utilizados procedimentos analíticos baseados nas

características do escoamento e a geometria do corpo imerso. Por outro lado, não existem

procedimentos numéricos que traduzam eficazmente o comportamento transversal e de

torção.

As dificuldades sentidas neste campo têm destacado a análise em Túnel de Vento como o

procedimento mais fiável e completo, contudo mais dispendioso. Determinados

projectistas e muitas vezes os donos de obra defendem que este investimento inicial, face

às análises regulamentares, permite uma solução final mais económica tanto a nível

estrutural como de fachadas. Esta diferença resulta sobretudo da excessiva majoração de

acções e hipóteses conduzida na aplicação dos regulamentos (Cochran, State of the Art

Review of Wind Tunnels and Physical Modelling to Obtain Structural Loads and Cladding

Pressures, 2007).

Para edifícios esbeltos, a vibração transversal e de torção induzidos pelo vento exigem

análises bastante cuidadas, o que torna as análises em túnel de vento bastante

importantes nas fases mais avançadas do projecto.

Existem dois tipos de análises em túnel de vento desenvolvidas no inicio do século XX, em

circuito aberto - NPL (National Physical Laboratory) - ou em circuito fechado – Göttingen

type (Holmes J. D., 2007)

As técnicas de modelos aerolásticos em túnel de vento permitem obter resultados

idênticos às técnicas analíticas através da medição directa das cargas dinâmicas exercidas

pela interacção do escoamento com os edifícios. A obtenção de resultados mais precisos do



que os obtidos analiticamente exigem condições concretas de modelação do escoamento e

dos obstáculos atravessados, nomeadamente o edifício em causa, mas também dos

obstáculos vizinhos susceptíveis de induzirem efeitos importantes no escoamento

incidente.

Os métodos propostos na bibliografia (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996)

baseiam-se nas teorias da análise de semelhança, que em determinadas condições

reproduz de forma satisfatória os fenómenos à escala real.

Além de estudos de carácter estrutural também são frequentemente conduzidos estudos

sobre os efeitos induzidos pelo escoamento sobre outros edifícios ou mesmo sobre a

circulação de peões na envolvente do edifício em causa.

5.8 Computação dinâmica de fluido

A computação dos escoamentos em torno dos edifícios e outros corpos sujeitos à acção do

vento é uma técnica que, a par da grande evolução tecnológica das últimas décadas, tem

sofrido especial destaque. Este tipo de técnicas é útil em situações pouco comuns em que

os edifícios assumem formas pouco características e que dificultam a análise por meios

expeditos. Um exemplo desta aplicação é apresentado na Figura 5-5.

Figura 5-5 – Exemplo de aplicação de CFD a uma edifício de secção quadrada – Escoamento no plano X-Z

(esquerda) e distribuição de pressões (direita) (Mendis, Ngo, Haritos, & Hira, 2007)



Figura 5-6 – Exemplo de aplicação de CFD a um edifício de secção quadrada – Escoamento no plano X-Y (esquerda) e comparação com linhas equipotenciais teóricas (direita) (Mendis, Ngo, Haritos, & Hira, 2007)

Este tipo de técnica exige normalmente um grande esforço computacional, tentando-se

criar várias hipóteses simplificativas nas equações de Navier-Stokes que descrevem o

escoamento. Contudo, o estudo do vento em estruturas esbeltas exige a consideração de

várias escalas de turbulência o que resulta numa análise muito complexa. Como

consequência, na generalidade das ofertas do mercado neste domínio, os softwares de

computação dinâmica de fluidos reproduzem com alguma fiabilidade as pressões médias

do vento, não acontecendo o mesmo com os fenómenos gerados pelas flutuações do vento

bem como as acções extremas do vento.

Acção do Vento em Edifícios Altos


Capítulo 6

ABORDAGEM PROPOSTA

Neste capítulo procura-se desenvolver a par dos métodos propostos, uma abordagem no

domínio do tempo analisando directamente uma história no tempo de um edifício em

interacção com um escoamento.

Figura 6-1 – Diagrama de forças de um corpo imerso num escoamento com velocidade �m

Considere-se o obstáculo representado na Figura 6-1. O problema da aerodinâmica em

estudo, resultante da interacção do vento sobre a superfície de um edifício esbelto em

altura, passa exactamente por conseguir aproximar em determinadas condições e parar

uma determinada forma os valores de L, D e M ao longo das suas secções (três g.d.l. por

piso).

Dada a variação no espaço e no tempo da velocidade, dedica-se a primeira parte deste

capítulo à formulação de séries sintéticas de vento1 no espaço e no tempo.

A segunda parte do capítulo enuncia vários pressupostos de mecânica de fluidos que

permitem descrever um escoamento potencial em torno de uma forma arbitrária. Dos

capítulos anteriores, sabe-se que em torno do edifício o escoamento não é potencial. Posto

1 Séries geradas por composição matemática

α

V∞

R

M α

L

D

p τ

ds

x

Capítulo 6 – Abordagem proposta


isto, numa terceira parte deste capítulo aplica-se um método que visa simular os

fenómenos aeroelásticos característicos dos edifícios.

Por fim, apresenta-se a estrutura esquemática do programa de cálculo desenvolvido para

efeitos de análise da abordagem proposta.

6.1 Geração de séries sintéticas de vento

6.1.1 Introdução

É frequente, no domínio da análise dinâmica, recorrer-se à geração de amostras de

processos estocásticos com intuito de analisar a resposta de estruturas quando sujeitas a

excitações aleatórias. Esta aplicação é corrente no estudo dos efeitos da acção sísmica

definida por meio de um conjunto de acelerogramas artificiais representativos das

acelerações previstas no solo.

Procura-se aqui demonstrar que a análise dos efeitos da acção do vento numa estrutura

pode ser feita por um processo idêntico, gerando conjuntos de amostras de registos da

velocidade do vento.

O método apresentado para geração de séries é baseado no modelo proposto por Rice em

1954 (Mendes, 1995), denominado por WAWS – “Weighted Amplitude Wave

Superposition” na literatura anglo-saxónica. O método WAWS aparece várias vezes

referenciado na literatura temática a Shinozuka que investigou e desenvolveu o método

nas décadas de 80 e 90. Ao longo deste capítulo, os processos estocásticos referem-se

abreviadamente a um Processo Gaussiano Estacionário Unidimensional – PGEU, que não é

mais que uma função aleatória no tempo cujas características estatísticas não variam com

o tempo. Faz-se também referência à ergodicidade admitida para estes processos.

O método unidimensional é no final do capítulo expandido a um processo vectorial, dado o

interesse da representação espacial de séries correlacionadas ao longo do

desenvolvimento da estrutura.

6.1.2 Formulação de Séries de Vento num ponto

De acordo com o método WAWS, a componente aleatória do vento pode ser descrita pela

sobreposição de N harmónicas com amplitudes dependentes do espectro de potência do



processo estocástico. No fundo, a geração de séries baseia-se no cálculo da função inversa

da transformada clássica de Fourier da amplitude da função de densidade espectral de

energia de um processo, correspondendo assim a flutuações de distribuição

aproximadamente gaussiana.

Segundo este método, no caso de um PGEU, a geração de uma amostra �B�F é expressa nos

seguintes formatos

xBtF= ∑ AkNk=1 cosB2πfkt+ϕkF (6.1) xBtF= ∑ AkNk=1 cosB�8t+ϕkF (6.2)

onde ω=2πf , em que f e ω representam a frequência e frequência angular

respectivamente. Nestas expressões, N representa o número de harmónicas consideradas, ϕk diferenças aleatórias de fase uniformemente distribuídas no intervalo ½0,2π¾ e A8 a

amplitude de cada harmónica k.

Como referido, o valor da amplitude A8 depende da função de densidade espectral, ou

espectro de potência S�BfF e relaciona-se com este através de

A8 = a2S�BfkF∆f (6.3)

sendo ∆f o espaçamento entre harmónicas ou, por outras palavras, o intervalo ou

diferenças entre frequências de harmónicas consecutivas. Este espaçamento é assumido

por simplicidade, constante. Note-se que a admissão desta hipótese não é obrigatória, no

entanto adequa-se ao objectivo definido além de permitir a simplificação de alguns

procedimentos algorítmicos. Pode-se, desde já, definir fk como múltiplo k da frequência

mais baixa (f1) e ao mesmo tempo de ∆f, aplicando-se o raciocínio analogamente a �8. Este

processo garante a periodicidade das séries temporais, com período 1/∆fB= 1/G[F.

Como facilmente se verifica na expressão (6.3), depois de introduzida em (6.1) ou (6.2), a

contribuição de cada uma das N ondas é dada pela amplitude do espectro de potência para

a própria frequência que a caracteriza. A função densidade espectral tem sido objecto de

estudo ao longo das últimas décadas, sendo tratadas algumas propostas no próximo ponto

deste capítulo.

O método descrito permite obter qualquer sinal através da sobreposição finita de

harmónicas.

A validação das propriedades das amostras geradas é obtida se a função de autocorrelação

de cada amostra, 2�¶B�F, corresponder à autocorrelação do processo estocástico, 2�B�F



(Mendes, 1995). A autocorrelação é uma ferramenta matemática utilizada em séries de

valores para medir o quão bem um sinal periódico reproduz uma versão de si mesmo

desfasada no tempo.

Para sinais estacionários ergódicos a autocorrelação é habitualmente apresentada pela

seguinte expressão, onde T representa a duração total da amostra.

RxaBτF= limT→∞ ?1T� xBtF.xBt+τFdtT0 A (6.4)

A introdução da equação (6.1) nesta expressão conduz à seguinte expressão

Rxa(τ)= limT→∞ ?1

T∑ ∑ AkAj

Nj=1

Nk=1 � cosB2πfkt+ϕkF. cosy2πfj(t+τ)+ϕjz dt

T

0A (6.5)

devendo esta equação corresponder à autocorrelação desejada para o processo

estocástico, relacionada com o espectro de potência através de

RxBτF= � SXBfF. cos B2πf.τFdf∞0 (6.6)

Considerem-se as seguintes igualdades triviais da trigonometria e da análise complexa

cosB�}� + ϕkF = cosB�}�F cosBϕkF − sinB�}�F sinBϕkF (6.7)

cosB�}B� + �F + ϕkF = cosB�}�F cosB �}�F cos BϕkF − sinB�}�F sinB�}�F sinBϕkF −

cosB�}�F cosB�}�F cosBϕkF − sinB�}�F sinB�}�F sinBϕkF (6.8)

� cosBtF sin t2π0 dt=0 (6.9)

� cosBk.tF cosB j.tF2π0 dt= Dπ, k=j≠0

0,k≠j e ), F ∈ ℤ (6.10)

A introdução destas relações com 2πfk = �} e o facto de a duração T ser longa face ao

período das harmónicas elementares das séries geradas permitem desprezar os termos

cruzados k,j (k≠jF da (6.5). A simplificação desta equação conduz ao seguinte resultado

Rxa(τ)= limT→∞ ?1

T∑ AkAk

Nk=1 � 88(t,τ)dt

T

0A (6.11)

onde



Fk(t,τ)=Ëcos (ωkτ) cos2 (ϕk) - sin (ωkτ) sinBϕkF cos (ϕk)Í cos2BωktF+ ½sinB�}�F sinBϕkF cosBϕkF + cosB�}�F sinXBϕkF¾ sinXB�}�F (6.12)

Da expressão (6.7) deduz-se facilmente a seguinte igualdade para qualquer variável x

� cosXB�F:� = � sinXB�F:� =Xº�

Xº� � (6.13)

Quando se estabelece uma mudança de variável tal que � = �}� e recordando que

�} = 2� �}⁄ , a igualdade anterior pode ser apresentada na seguinte forma

[¤I � cosXB�}�F:� = � sinXB�}�F:� =¤I

�¤I

�[X (6.14)

Com estes resultados, e para amostras suficientemente longas em T, o resultado do

segundo membro integrado na expressão (6.8) (quando individualizado) pode ser

aproximado, para cada uma das N harmónicas que definem a série, por

limT→∞ ?1

T� 88(t,τ)dt

T

0A = [

X cosB�}�F ½cosXBϕkF + sinXBϕkF¾ = [X cosB�}�F (6.15)

Pelo que quando acoplada da restante expressão, obtém-se o seguinte resultado

Rxa(τ)=[X ∑ AkAk

N8c[ cosB�}�F = [X ∑ �X

kN8c[ cosB�}�F (6.16)

Introduzindo agora a expressão definida em A8 = a2S�BfkF∆f (6.3) para Ak , chega-

se à seguinte relação

RxaBτF= ∑ S�BfkF. ∆fN8c[ . cosB�}�F (6.17)

Esta relação pode ser apresentada no domínio contínuo, quando K →∞, como a função

desejada, recorde-se a autocorrelação para o processo estocástico (função do espectro de

potência S�BfkFF.

RxaBτF= � SXBfF. cos B2πf.τFdf=RxBτF∞0 (6.18)



O facto de todas as séries apresentarem igual autocorrelação evidencia a ergodicidade do

processo estocástico. Além disso, de acordo com o Teorema do Limite Central este

processo para uma amostra suficientemente grande pode também admitir-se gaussiano

(PGEU).

A função variância de cada uma das N harmónicas que definem a amostra é definida pela

seguinte expressão

�X = [¤ � B�B�F − �ÁB�FFX:�¤

� (6.19)

que quando introduzida a expressão (6.1) e relembrando que o processo é ergódico de

média nula, toma a seguinte forma para a k harmónica da série

�}X = [¤ ∑ �}XN

k=1 � 7L4XB2πfktF :� = �}X = [X �}X¤

� (6.20)

que de acordo com a simplificação apresentada em (6.14) se limita a �}X = [X �}X. Por

outro lado, como já se referiu atrás, o produto S�BfkF∆f estabelece a contribuição das

flutuações de frequência fk, alargada ao intervalo ½G} − ∆f 2⁄ ;G} + ∆f 2⁄ ¾, pelo que para

essa harmónica se tem

�}X = S�BfkF∆f (6.21)

o que verifica a expressão (6.3).

Resulta assim

�}X = S�BfkF∆f=[X �}X N A8 = a2S�BfkF∆f (6.22)

6.1.3 Formulação de Séries com variabilidade espacial

O modelo de geração de séries de vento deve reflectir, para além da variabilidade temporal

do escoamento, a variabilidade espacial. A primeira, como se viu, pode ser tratada gerando

amostras nos vários pontos, todas correspondendo ao mesmo espectro de potência. A

segunda exige definir a correlação entre séries.



A função de correlação (cruzada) definida entre dois processos estocásticos ocorrendo

simultaneamente em dois pontos A e B afastados de 1&, é definida no caso da velocidade

como

2& c©OB�O,�F©PB�Oí'O,�í�Fbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

©�UB��,�F©�UB��í'�,�í�F (6.23)

Note-se que na expressão anterior, quando � = F e como tal com afastamento nulo, se

obtém a função de autocorrelação no domínio do tempo (note-se novamente que o

processo tem média nula). Quando transformada no domínio da frequência, obtém-se a

função de densidade espectral. Esta operação é facilmente obtida através da transformada

de Fourier cuja operação é válida para uma função � = �B�F absolutamente integrável em ℝ.

Quando � ≠ F, obtêm-se a densidade espectral de energia cruzada, traduzida pela seguinte

expressão

6& B0F = a6&B0F6 B0F. 7Lℎ& B1&, 0F. 3� R��BMF (6.24)

em que �& é uma medida de desfasamento das séries temporais e 7Lℎ& B1&, 0F a função de

coerência das séries que depende não só da frequência, bem como do vector distância

entre os dois pontos, de acordo com a seguinte expressão

7Lℎ& B1&, 0F = #UB'�,MFí�UB'�,MF%��B��,MF%��B��í'�,MF (6.25)

onde por sua vez P representa o chamado coespectro e Q a quadratura (respectivamente a

parte real e a parte imaginária do espectro cruzado), sendo que para o vento atmosférico

se verificou experimentalmente que a razão entre a quadratura e o coespectro é pequena,

o que significa que, sem grande erro, a função de coerência pode ser definida apenas pela

parcela do coespectro de acordo com a hipótese clássica de Davenport (Saraiva & Silva,

2004).

Esta hipótese significa que se toma a turbulência como homogénea e, assim, exprimir a

coerência a partir de uma combinação de funções exponenciais da forma 7Lℎ& B1&, 0F =3�æ .



Nesta expressão, o expoente � deve conter a informação do vector distância entre pontos,

bem como da escala de comprimentos característica de turbulência ,& . Com base em

estudos experimentais, adopta-se a seguinte expressão de �

� = M½é/U'/UíéUU'UU¾vU½©B�/,��Fí©B�/,��í'�F¾ (6.26)

em que os índices 2 e 3 se referem às direcções no plano transversal à acção do vento. Os

símbolos 1 definem a distância na direcção indexada enquanto os coeficientes "& são

denominados “coeficientes de atenuação da correlação”. Estes coeficientes são função das

escalas características da turbulência e diminuem com o aumento da altura acima do solo.

De acordo com (Saraiva & Silva, 2004), é também expectável que tais coeficientes

aumentem com o aumento da velocidade média do escoamento e com a rugosidade do

solo.

De notar que a expressão de � na sua forma completa contempla mais um termo no

numerador referente à terceira direcção. Este termo assume uma forma análoga aos

restantes. Quando admitido igual a zero, só se relacionam as componentes do vento no

plano transversal, não sendo considerada qualquer relação na direcção longitudinal ao

escoamento à excepção de um desfasamento temporal de velocidades originado pelo

transporte dos turbilhões pelo escoamento médio. Assim sendo, está implícita a hipótese

de turbulência congelada de Taylor, isto é 2& B1, �F → 2& B1F (v. 3.2.3).

Quando as dimensões transversais dos turbilhões (e porque se trata apenas de correlação

nesse plano) tomarem valores inferiores às distâncias entre os pontos cujas séries são

objecto de correlação, obtém-se uma contribuição nula para a correlação. Por outras

palavras, tais turbilhões são incapazes de afectar simultaneamente esses dois pontos.

Já que a geração de ondas se baseia na sobreposição finita de harmónicas quando

comparadas as séries geradas em dois pontos, A e B, pode-se dividir a expressão (6.1) de

cada série na soma de três séries, tais que

�ABtF= ∑ Aini=1 cosB2πfit+ϕiF + ∑ Aj

mj=n+1 cosy2πfjt+ϕjz + ∑ Ap

pl=m+1 cosy2πfpt+ϕpz (6.27)

�BBtF= ∑ Aini=1 cosB2πfit+ϕiF + ∑ Aj

mj=n+1 cos �2πfjt+ϕ∗

j� + ∑ Appl=m+1 cos �2πfpt+ϕ∗

p� (6.28)



em que o primeiro termo corresponde aos turbilhões com comprimento muito superior à

variação de posição 1 entre pontos e como tal com contribuição para a correlação, o

segundo termo, também com contribuição, corresponde à diferença de fases entre séries,

enquanto o último termo correspondente aos turbilhões com comprimento inferior à

distância entre pontos não contribui para a correlação entre as séries.

Com isto, segundo (Saraiva & Silva, 2004), o desenvolvimento teórico deste modelo

permite demonstrar que, para o caso geral de n componentes em fase das m componentes

totais em média (m componentes com contribuição para a correlação), se tem

RAB = [�U ∑ A�U�c[ = �VU�WU (6.29)

e que, portanto, quando n → 0, e como tal não existem ondas em fase, RABbbbbb = 0 e por outro

lado, quando n → m N RABbbbbb → 1. Pode-se assim afirmar que se estabelece assim uma

relação entre variâncias do espectro em fase e do espectro total.

6.1.4 Processo vectorial

Considere-se um processo gaussiano vectorial constituído por M processos escalares.

De acordo com o estipulado até nos pontos 6.1.2 e 6.1.3, a iésima componente do processo

vectorial pode ser gerada de acordo com

�& = ∑ �&BG}, �FÒ}c[ (6.30)

sendo a késima componente calculada por

�&BG} , �F = ∑ X·& BG}FX cos u2�yG} + �G} z� + φ} + �& BG}Fw& c[ (6.31)

em que, além das variáveis descritas atrás, a expressão anterior contém para a definição

de cada harmónica uma diferença de fase entre as componentes do processo, �& BG}F e uma

matriz complexa triangular inferior indicada como ·BG}F (Mendes, 1995).

·BG}F½·∗BG}F¾¤ = 26�BG}F∆G (6.32)



A matriz complexa ·BG}F é definida pela expressão (6.32) e pode ser obtida pela

factorização de Cholesky, em que os termos não diagonais da matriz 6�BG}F representam

densidades espectrais cruzadas entre as várias dimensões do processo vectorial.

Por outro lado, a diferença de fase �& BG}F é uma variável complexa que assume valores

nulos sempre que a matriz de densidade espectral de potência 6�BGF assume valores reais,

como é o caso das condições de estudo a que se propõe este documento.

Nestas condições e para um sistema de m componentes, as equações (6.31) conduzem ao

seguinte sistema algébrico

YZZZ[�[B�F

�XB�F��B�F⋮�»B�F]

^_

= ∑

YZZZ[ ·[[BG}F 0 …

·X[BG}F ·XXBG}F 0·�[BG}F ·�XBG}F ·��BG}F

⋱ 0⋮0⋮ ⋱ ⋮

·»[BG}F ·»XBG}F ·»�BG}F ⋯ ·»»BG}F]^_

Ò}c[ 7L4YZZZ[ 2�BG} + �G}[F� + ∅}[

2�BG} + �G}XF� + ∅}X2�BG} + �G}�F� + ∅}�⋮

2�BG} + �G}»F� + ∅}» ]^_

(6.33)

Este sistema permite obter uma amostra de dimensão m de séries correlacionadas no

espaço. Facilmente se pode demonstrar que a co-variância do processo corresponde à co-

variância objectivo (Mendes, 1995).

6.2 Escoamentos potenciais em torno de um edifício

Um escoamento admitido incompressível pela equação da continuidade satisfaz a seguinte

relação

� ∙ � = 0 (6.34)

Por outro lado, um escoamento irrotacional satisfaz a relação

� × � = 0 (6.35)

O que significa que existe um campo potencial escalar φB�, ;, <F definido tal que

� = �φ (6.36)



e que portanto satisfaz a equação de Laplace:

� ∙ B�φF = 0⇔�Xφ = 0 (6.37)

Pode-se ainda mostrar que designado por ψ a função de deslocamento do fluído se tem

�Uψ��U + �Uψ

� U = 0 (6.38)

Com isto, conclui-se que qualquer escoamento irrotacional e incompressível permite

definir um campo potencial de velocidades e linhas de corrente que satisfazem a equação

de Laplace.

Note-se agora que esta equação é uma equação diferencial de segunda ordem, linear e

parcial. Como tal é valido admitir que nestas condições de linearidade, todas as soluções

são combinações lineares de soluções da mesma.

Posto isto, é possível concluir que, apesar da complexidade do escoamento, em condições

de irrotacionalidade e incompressibilidade o escoamento pode ser descrito pela

sobreposição de um número de escoamentos elementares igualmente irrotacionais e

incompressíveis.

6.2.1 Soluções do escoamento potencial

Descrevem-se de seguida os escoamentos elementares a ter em conta nesta descrição.

Figura 6-2 – Soluções das equações de escoamento potencial: (a) Escoamento uniforme (b) Campo de Fonte

(c) Vórtice

A Figura 6-2 ilustra três possíveis soluções do escoamento potencial. De seguida estas

soluções são descritas no âmbito deste trabalho.

O

r

Vθ

Vh

φ=const

Ψ=const

Ψ=const

φ=const

Vr

θ

(a) (b) (c)



a) Escoamento Uniforme

Considere-se um escoamento uniforme com velocidade �m , com direcção e sentido

positivo no eixo x. Demonstra-se facilmente que um escoamento deste tipo é irrotacional

obedecendo à condição (6.31).

De acordo com a figura, pode-se escrever as seguintes condições

�φ�� = _ = �m (6.39)

�φ� = c = 0 (6.40)

Resolvendo a equação diferencial obtém-se a menos de uma constante com pouca

importância para o problema a seguinte expressão para a função potencial

φ = �m� (6.41)

Analogamente pode-se obter a expressão para a função de corrente

ψ = �m; (6.42)

b) Escoamento de fonte e penetração

A segunda contribuição para a função potencial de um escoamento bidimensional pode ser

obtida considerando um escoamento com todas as linhas de corrente concêntricas num

ponto fonte ou de penetração, consoante a direcção dessas linhas de corrente, de acordo

com a Figura 6-2 (b).

Desta figura se percebe que num sistema de coordenadas polares a velocidade pode ser

descrita em duas componentes, �' e �R = 0.

Demonstra-se facilmente que este tipo de escoamento é incompressível em todos os

pontos excepto na origem e também irrotacional em todos os pontos.

Pode-se no caso deste tipo de escoamentos ter uma abordagem bastante conveniente.

Considere-se o ponto de fonte ou de penetração como um ponto discreto, de tal forma que

o escoamento envolvente é induzido por este ponto. Como referido em cima, este ponto

discreto é uma singularidade do sistema, uma vez que resulta numa indeterminação

quando imposta a condição de incompressibilidade. Este ponto pode assim ser



caracterizado por uma determinada força resultante do campo induzido em seu redor.

Considere-se agora infinitos pontos dispostos sucessivamente formando um contorno de

um corpo arbitrário. Utilizando esta condição de singularidade em cada um desses pontos

infinitesimais do contorno, conseguimos caracterizar todo o contorno.

Importa agora caracterizar numericamente um desses pontos fonte.

Imagine-se uma circunferência de raio r definida num escoamento tipo fonte. Imagine-se

também essa circunferência extrudida na direcção perpendicular ao plano, ao longo da

profundidade þ.

A quantidade de movimento elementar nessa superfície à cilíndrica de raio r é dada em

coordenadas cilíndricas por:

��⋅:6 = ��'B1:θF:þ (6.43)

A integração dessa quantidade de movimento em toda a superfície é por sua vez definida

tal que:

-/ = � ρ�'B1:θFXπ� þ = 2π1þρ�' (6.44)

Com isto, estamos em condições de escrever uma expressão para a taxa de variação de

volume de escoamento por unidade de profundidade

Λ = 2�1�'⇔�' = Λ

Xº' (6.45)

Por sua vez o potencial é obtido pela equação diferencial

�φ�' = �' = Λ

Xº' ⇔φ = Λ

Xº ln 1 (6.46)

e a equação das linhas de corrente é dada por

ψ = Λ

Xº θ (6.47)



c) Escoamento em Vórtice

Resta-nos introduzir um escoamento também bastante conveniente à resolução do nosso

problema. Este tipo de escoamento é caracterizado por linhas de corrente todas centradas

num ponto O, cujas velocidades são constantes em cada linha de corrente, mas variável de

linha para linha. Neste caso, as componentes da velocidade em coordenadas polares

podem ser descritas tal que �' = 0 e �R = 7/1, com c uma constante.

De notar que nestas condições o escoamento é incompressível em todos os pontos e

irrotacional em todos os pontos excepto na origem.

Considere-se a circulação em torno de uma das linhas de corrente à distância r do ponto O.

Tem-se assim que:

Γ = − � �⋅:4é = −�RB2π1F (6.48)

Desta expressão retira-se directamente que

�R = − Γ

Xπ' (6.49)

o que verifica naturalmente a condição de proporcionalidade inversa referida em cima.

A função potencial de velocidade pode ser obtida da seguinte forma

�φ�' = �' = 0 (6.50)

['

�φ�θ = �θ = − Γ

Xπ' (6.51)

Da resolução da equação diferencial obtém-se finalmente a expressão da função potencial

para um campo vórtice

φ = − Γ

Xπ' (6.52)

Assim, deste equação demonstra-se também que as linhas de corrente são descritas por:

ψ = Γ

Xπ' ln 1 (6.53)



6.2.2 Método dos Painéis

Este método visa estimar com de forma simples o escoamento potencial em torno de

corpos de secção arbitrária. As suas aplicações estendem-se às mais variadas áreas da

ciência, de salientar a sua aplicação nos estudos aerodinâmicos em aviões.

Considere-se um corpo arbitrário no espaço atravessado por um escoamento atmosférico

como representado na figura

Figura 6-3 – Diagrama resultante da combinação do escoamento uniforme com o escoamento de fonte

De acordo com (Fundamental of aerodynamics, John D.Andersons, Jr.), a força definida em

cada comprimento infinitesimal ds toma o valor λds. Tomando um ponto P de

coordenadas cartesianas (x,y) afastado a uma distância r do contorno do corpo, define-se o

potencial de velocidade induzido, :φ, tal que:

:φ = λ��Xπ ln 1 (6.54)

Assim sendo, o potencial de velocidade completo no ponto P, induzido por um segmento

de contorno da superfície é dado por exemplo entre a e b, por:

φB�, ;F = � λ��Xπ ln 1¼

¶ (6.55)

P(x,y)

r

ds

a b

λ=λ(s)

V∞

++++



Os resultados obtidos por aplicação do método dos painéis são, sobretudo, excepcionais

para determinadas condições que definem as circulações do ar atmosférico junto à

superfície dos corpos. Como se verá adiante, não são directamente admitidas no modelo

zonas de separação do escoamento.

Considere-se agora a seguinte secção arbitrária discretizada em i painéis lineares, de

altura h.

Figura 6-4 – Diagrama de forças de um corpo imerso num escoamento com velocidade �m

Na discretização representada divide-se agora o contorno da superfície por um conjunto

de segmentos lineares, nos quais se definem forças λ constantes em cada painel, variando,

no entanto, de painel em painel.

Considerando a totalidade dos n painéis, ter-se-á um conjunto de forças λ1, λ2,…, λn

desconhecidas. O objectivo deste método é resolver estas forças singulares, tais que o

escoamento terá linhas de corrente paralelas ao contorno do corpo.

Analogamente à expressão (do integral entre pontos), define-se o potencial induzido pelo

painel j num ponto P como

∆φ = � λ��Xπ þ0 1� = λ�

Xπ � þ0 1� :4 (6.56)

em que 1� é a distância no plano entre o P e o ponto de controlo do painel j,

P(x,y)

θ

α

Direcção do painel i

Direcção do fluxo livre

Pontos de controlo

Limites do painel

rpj

Painel 1

Painel 2

Painel j

Painel i Painel mV

x



1� = B� − � FX + B; − ; FX (6.57)

O potencial induzido num ponto P por todos os painéis é obtido através da soma discreta

das contribuições dos n painéis.

φBLF = ∑ λ�

Xπ � ln 1� :4 M c[ (6.58)

Denominando por B�& , ;&F as coordenadas do ponto de controlo do painel i, então soma das

contribuições de todos os painéis para o potencial no painel i é

φB�& , ;&F = ∑ λ�Xπ � ln 1� :4 M c[ (6.59)

O pressuposto deste método que define a direcção das linhas de corrente, tangentes ao

vector velocidade em todos os pontos, obriga a que seja necessariamente nula a

componente da velocidade, normal a cada painel.

Ora, esta componente surge da soma vectorial de duas grandezas. Por um lado, o

escoamento contribuirá com uma parcela decomposta na direcção do vector normal à

direcção do painel j, tal que:

�∞,M = �∞ ∙ 0 = �∞ cos β (6.60)

Do campo potencial escalar definido em (6.59), define-se a segunda componente da

velocidade normal ao painel i.

�Mc�

�M�ËφB� , ; FÍ (6.61)

Admitindo como condição de fronteira a anulação da componente normal da velocidade,

pode-se escrever

�∞,M + �Mc0⇔�m cos β& + λ�X + ∑ λ�

Xπ � ��U�

Bln 1& F :4 = 0M c[ (6.62)



Note-se que o primeiro termo da segunda igualdade surge de uma singularidade já que

quando � = F o vector 1& anula-se, ficando, consequentemente, a função logarítmica sem

significado.

Nesta expressão verifica-se que o integral depende apenas da geometria do problema, o

que confere grande aplicabilidade a esta expressão. Se essa quantidade for agora

denominada por ª&, , a expressão anterior vem

�∞,M + �Mc0⇔ λ�X + ∑ λ�

Xπ ª&, + �m 7L4 β& = 0M c[ (6.63)

Esta forma algébrica da equação fundamental do método dos painéis permite resolver um

sistema para i=1,2,…,n, resolvendo o campo de esforços, λ1, λ2,…, λn no contorno do corpo.

Naturalmente este tipo de método é tanto mais rigoroso quanto mais pormenorizada for a

discretização da superfície do corpo. No entanto, para discretizações bastante grosseiras

são obtidos relatados na biografia resultados bastante aceitáveis.

De forma análoga à expressão das duas contribuições para a velocidade normal, a

velocidade tangente num ponto de controlo do painel i pode ser obtida por:

�& = �m,� + �� = �m sin & + ∑ λ�Xπ � �

�d�Bln 1& F :4 M c[ (6.64)

Desta forma, o coeficiente de pressão no mesmo ponto de controlo é dado por:

"�,& = 1 − � R�Re�X

(6.65)

No caso descrito, em que se consideram o corpo totalmente imerso num escoamento que

assume a sua forma, e que por isso apresenta apenas componentes de arrasto, deverá ser

verificada a condição

∑ λ 6 = 0M c[ (6.66)

Nas condições apresentadas, quanto mais próximo de 0 for o somatório, melhor será a

aproximação do campo de λ. De notar que no caso de um corpo aberto não será verificada

a condição.



Como já referido, o método anterior adequa-se bem a um escoamento que desenhe linhas

de corrente tangentes à superfície do corpo. No entanto, resultados experimentais em

túnel de vento para secções de forma geométrica simples, demonstram que na realidade, o

escoamento não é uniforme como foi previsto no modelo.

Em função crescente do número de Reynolds o escoamento ganha turbulência desenhando

linhas divergentes do contorno da superfície, formando progressivamente vórtices nas

faces de sotavento.

Defina-se circulação no contorno de uma superfície por,

� = − � � ∙ :4 (6.67)

Esta expressão define no caso contínuo uma propriedade bastante idêntica à evidenciada

na expressão (6.66). Para iguais condições de escoamento, e num contorno fechado, a

circulação assume o valor 0. Neste caso não existe formação de vórtices, nem portanto

forças dessa natureza.

Relembrando a definição de vorticidade de um escoamento,

� = ∇ × � (6.68)

Pelo teorema de Stokes pode-se estabelecer uma relação directa entre Circulação, Γ, e vorticidade �. Invocando o teorema de Stokes, facilmente se obtém

� = − � � ∙ :4 = −h B∇ × �F� :6 (6.69)

que por outro lado poderá também ser escrito como

B∇ × �F ∙ 0 = − �i�% (6.70)

Por outro lado, sabe-se que a vorticidade relaciona-se com a velocidade angular de acordo

com a expressão (6.71), que definida no plano é definida pela expressão (6.72)

� = 2� (6.71)

�! = [X ��«

�� − �f� � (6.72)



Figura 6-5 – Diagrama de tensões resultantes de um campo de vórtices

A vorticidade típica dos campos rotacionais produz um binário de tensões tangenciais,�[,

em cada ponto do contorno do fluído.

De acordo com o especificado no método dos painéis, alguns parágrafos acima, é possível

da mesma forma introduzir o conceito de vorticidade na superfície do contorno do corpo

representado na Figura 6-5. Uma fatia infinitesimal do contorno de vórtices, :4, induz

uma velocidade infinitesimal, dV, de acordo com

:� = − j��Xπ' (6.73)

Considerando novamente o ponto LB�, ;F no escoamento, seja 1� a distância do ponto P ao

ponto de controlo de um qualquer painel j. Definindo �� o ângulo entre o eixo x e direcção

do painel. O potencial de velocidade induzido em P pelo painel j é dado por

∆φ = − [Xπ � �� :4 (6.74)

portanto, a contribuição de todos os painéis será dada pela soma discreta dessas

contribuições singulares.

φB�& , ;&F = − ∑ [Xπ � �� :4 M c[ (6.75)

Seguindo o raciocínio acima demonstrado, se agora se considerar um painel i cujo ponto

de controlo é definido pelas coordenadas B�&, ;&F, então pode-se definir facilmente �&

�& = tan�[ ��

(6.76)

�[

�[



Consequentemente, considerando que a função B4F é constante para cada painel, vem

que,

φB�& , ;&F = − ∑ j�Xπ � �& :4 M c[ (6.77)

Conduzindo novamente à anulação da componente normal da velocidade do escoamento

na periferia da superfície, e com isto dando significado à vorticidade definida na direcção

dos painéis, chega-se facilmente a uma nova expressão, que de forma idêntica à obtida

anteriormente permite resolver um sistema algébrico de n equações em função de n

incógnitas, e com isto, presumivelmente definir uma aproximação discreta do campo B4F. Da condição fronteira imposta, resulta assim

�m,M + �Mc0⇔�m 7L4 β& − ∑ j�Xπ � �R��

�M� :4 M c[ = 0 (6.78)

ou,

�m 7L4 β& − ∑ j�Xπ î&, M c[ = 0 (6.79)

De notar que nesta expressão não existe nenhum termo singular resultante da derivação

da função potencial segundo a direcção normal ao painel.

Até aqui segue-se paralelamente o raciocínio do método dos painéis apresentado

inicialmente. Contudo, neste modelo de painéis de vórtices é necessário verificar também

a condição de Kutta.

Existem infinitas possibilidades de escoamento em torno de uma superfície

correspondentes a infinitos valores � de circulação. Contudo, a natureza para uma

determinada forma adopta apenas uma configuração de escoamento possível. A condição

de Kutta, baseada em estudos experimentais, surge da necessidade de limitar as hipóteses

ao caso real. Os seguintes pontos definem os princípios fundamentais desta condição

(Andersson, 1991):

• Para uma dada forma, imersa num escoamento com determinado ângulo de

ataque, o valor da circulação � em torno dessa mesma secção é tal que o

escoamento deixa aresta posterior mais afastada do centro geométrico da secção,

com um escoamento suave.



• Se a aresta posterior tem origem num ângulo finito, então a aresta define um ponto

de estagnação do escoamento, em que a única solução possível é que a velocidade

seja nula Figura 6-6 (a).

• Se a aresta posterior é originada pela intersecção de duas formas arredondadas,

então a velocidade nesse ponto resulta da soma das velocidades do escoamento

que surgem em ambas as faces convergentes no vértice. Essas velocidades são

iguais em sentido, direcção e intensidade Figura 6-6 (b).

Figura 6-6 – Soluções da condição de Kutta

No caso que se procura estudar aqui, a própria discretização em painéis conduz sempre à

primeira hipótese, em que, portanto, o último vértice representará um ponto de

estagnação.

Em ambos os casos, a condição de Kutta em termos da vorticidade é descrita para a aresta

em causa respeitando a seguinte condição

B�üF = 0 (6.80)

em que TE significa “trailing edge” de acordo com a gíria anglo-saxónica.

Desta forma, se for considerada uma discretização que gera dois painéis adjacentes,

suficientemente próximos do ponto de estagnação, temos que & = −&�[.

Com a adição desta nova equação, obtemos um sistema de n+1 equações com as mesmas n

incógnitas. Assim sendo, a resolução do sistema leva que se ignore uma das equações do

sistema. A condição de Kutta é, como se viu, fundamental, restando apenas como hipótese

ignorar uma das equações do sistema de n equações. O mesmo é dizer que se ignora o

valor de num dos painéis, restando n-1 equações. Este procedimento pode induzir erros

no sistema, pelo que devem ser tidos em conta alguns cuidados na escola do painel a

ignorar.

aV1

V2

a

V1

V2

a) V1=V2=0 b) V1=V2≠0



Uma vez resolvido o sistema, a circulação pode ser obtida pelo somatório das

componentes de circulação de cada painel, i.e.

� = ∑ 4 M c[ (6.81)

, = �m�m� (6.82)

De notar que este método tem-se revelado mais ineficaz que o primeiro abordado neste

ponto. De facto, ao assumir-se uma função constante em cada painel pode ser uma

aproximação grosseira que gera erros bastante pesados para as soluções finais. Com o

intuito de melhorar a aproximação do campo de são descritos na bibliografia métodos de

ordem superior, que aproximam por uma função linear em cada painel. Contudo, para já

e no âmbito deste trabalho assume-se que o método descrito gera resultados aceitáveis.

6.3 Vibrações aeroelásticas e desprendimento de vórtices

O método descrito atrás procura descrever o escoamento potencial em torno de uma

forma arbitrária. Considerando a aplicação a um edifício, essa aproximação é grosseira

descrevendo um comportamento ordenado do escoamento não tendo em conta como tal

os fenómenos típicos do escoamento em torno de corpos de grandes dimensões.

Os fenómenos de libertação de vórtices foram descritos no capítulo 4, guardando-se para

esta secção uma aproximação matemática desse fenómeno.

Como descrito atrás, o desprendimento de vórtices ao longo da estrada de von Karman é

aproximadamente harmónico, libertando-se ora um turbilhão da zona superior da esteira

ora um turbilhão da zona inferior. Esta libertação alternada de grandes vórtices induz uma

força de sustentação nos edifícios.

Uma primeira aproximação da força induzida por metro de altura do edifício é dada por:

8$ = [X �¶�X�"$% sin �� (6.83)

Esta expressão, bastante idêntica a muitas outras apresentadas neste documento, introduz

a função sinusoidal que caracteriza o comportamento harmónico da função, em que ��

representa a frequência de libertação de vórtices definida por uma frequência K% que



satisfaz a condição de Strouhal. O coeficiente adimensional apresentando, "$% , é por sua

vez um coeficiente calibrado que caracteriza a força de sustentação com origem no

fenómeno estudado.

Figura 6-7 - Esquema do modelo oscilador acoplado para vibrações induzidas pelo desprendimento de vórtices

A expressão apresentada é, no entanto, uma aproximação demasiado simples ao fenómeno

nos edifícios em altura. Por um lado, a força de sustentação cresce com a amplitude da

oscilação do edifício, e por outro lado a correlação destas forças aumenta com a dimensão

do edifício. Por isto em (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996) é proposto

que a equação que descreve o comportamento do edifício durante este fenómeno deverá

ser escrita tal que:

-;� + 7;/ + ); = 8B;, ;/ , ;� , �F (6.84)

No âmbito deste trabalho adopta-se a forma mais simplista para obter estas forças. Para

isso, considera-se que na expressão (6.83) �� tomará o valor da frequência natural do

edifício. Este valor será o mais condicionante já que representa a fase em que a

amplificação a amplitude dos deslocamentos é amplificada. O coeficiente de sustentação

para este fenómeno, também na equação é definido pela literatura para vários números de

Reynolds e diferentes geometrias. Em (Gionsan, 2002) é proposto o seguinte conjunto de

parâmetros para definição deste fenómeno.



Secção S klm B L

Circular

Subcrítico Re<3x105

0.18 0.50 0.10 2.5

Supercrítico e Transição Re>3x105

0.25 0.20 0.30 1.0

Quadrada 0.11 0.60 0.25 3.0

Tabela 6-1– Parâmetros do desprendimento de vórtices

Neste quadro, o primeiro parâmetro é o número de Strouhal, "$% representa o coeficiente

de sustentação para o fenómeno da libertação de vórtices, B é a largura da banda, uma

medida da variabilidade da frequência de desprendimento de vórtices e L o comprimento

de correlação, o comprimento (como rácio da dimensão característica da forma) dentro do

qual os vórtices actuam em fase.

A determinação destes parâmetros para outro tipo de secções deve ser consultada em

bibliografia especializada ou determinada experimentalmente em túnel de vento.

De facto, com suporte em actividades em túnel de vento pode-se aproximar o fenómeno

através de modelos empíricos mais complexos e com melhores aproximações. Consoante

as características do cenário em estudo é necessário determinar um conjunto de

parâmetros que está fora do âmbito deste trabalho.

Nas últimas décadas têm sido apresentadas inúmeras abordagens numéricas para este

fenómenos. De notar os modelos 2D linear e não linear de R.H. Scanlan (Simiu & Scanlan,

Wind Effects on Structures, 1996) e o modelo 3D de Vickery & Basu, um dos mais aceites

na literatura usada (Pinheiro, 2004).



6.4 Método dinâmico de análise

O método proposto visa resolver uma história no tempo da interacção de um escoamento

com um edifício alto.

Considere o seguinte modelo estrutural de um edifício alto de geometria simples

arbitrária, com � pisos e com K = 3 × � graus de liberdade.

Figura 6-8 - Esquema do modelo oscilador acoplado para vibrações induzidas pelo desprendimento de vórtices

Considere-se agora que o movimento do edifício se dá num período de T segundos,

dividido em Nt instantes.

No primeiro instante o edifício é considerado em equilíbrio estático, sendo as suas

propriedades dinâmicas para os N graus de liberdade dados por

n�&B�Fo = p_�,&B�F_ ,&B�Fθ!,&B�F

q = 0 n�&B�Fo = pc�,&B�Fc ,&B�Fr!,&B�Fq = 0 n�&B�Fo = p9�,&B�F

9 ,&B�Fr!,&B�F

q = 0

em que _& , c& e 9& representam as componentes do deslocamento, velocidade e aceleração

do piso i, respectivamente.

Em cada instante é resolvido o método dos painéis apresentado em torno da secção

previamente e imputadas as forças numa “time-history” que devolve as condições

cinemáticas iniciais do próximo instante de cálculo. Resulta assim uma situação idêntica à

representada no esquema

1

2

3

n

α

α

L

D

M

x

y

x

z

�m



Figura 6-9 - Posição geométrica do piso i no instante � = �� + ∆�

A solução de cada instante é obtida resolvendo a equação do movimento da estrutura,

resolvida com recurso ao programa Robot Millenium 20.1 da Robobat. Este software

apresenta vários métodos para cálculo numérico da história no tempo, tendo-se adoptado

o método da decomposição modal. De notar que não é considerada a deformabilidade da

secção de cada piso, sendo como tal admitida a hipótese do piso rígido.

Para a resolução da interacção no novo instante interessa saber a velocidade que atingirá

o edifício num referencial móvel animado com a velocidade do instante anterior. Defina-se

a velocidade relativa no instante � = �� + ∆�,

�'�s,&�c��í∆� = �∞,��=�0+∆� − ��=�0+∆� (6.85)

Onde �m,& representa a velocidade do escoamento não perturbado à altura do piso �. Com este valor pode-se resolver novamente o método dos painéis, chegando-se a um novo

conjunto de forças D, L e M aplicados no instante � = �� + ∆�. Este processo cíclico é

computado numa rotina programada para o devido efeito, permitindo analisar um filme da

vibração do edifício bem como analisar os esforços em toda a estrutura, já que o programa

de cálculo Robot Millenium resolve todos os esforços durante os instantes calculados.

Esta ferramenta é bastante interessante do ponto de vista de aplicabilidade à engenharia

civil, já que não só permite adaptar facilmente o cálculo a várias geometrias de edifícios,

permite a par dos modelos desenvolvidos no domínio da frequência, analisar o

comportamento estrutural no domínio do tempo.

x

y

�m,&�c��í∆�

�&�c��í∆�

α�=�0+∆� � = ��

� = �� + ∆�



6.5 Estrutura do programa de cálculo

De acordo com o modelo descrito no último parágrafo, pode-se esquematizar o

funcionamento do programa de cálculo através do diagrama da Figura 6-10.

Figura 6-10 - Estrutura do programa de cálculo da interacção vento-estrutura

Modelo Estrutural

(Robot Millenium)

Secção do Edifício

(Microstation)

Interface Gráfica

(Matlab)

Info.

Geometria

(txt)

Perfil

do Vento

Propriedades

Edifício

Propriedades

Simulação

Time History

Passo de de t a

t+∆t

Campos de Desl.,

Vel. e Acel. no

instante k*∆t

Distribuição de

Forças

Instantâneas

Ger. vento no

instante k*∆t

Resultados

Dinâmicos

ULS

Vx, Vy, M

SLS

U, V, A

Desprendimento

turbilhões



Capítulo 7

VIBRAÇÃO DE EDIFÍCIOS ALTOS

Com a evolução da tecnologia a construção em altura tem vindo a ganhar uma posição de

destaque nas últimas décadas.

Durante muitos séculos, a altura dos edifícios foi sempre limitada pelo peso dos materiais

utilizados. Na actualidade, são relatadas com frequência grandes inovações no que

concerne à diminuição da densidade dos materiais, contribuindo para o crescimento

exponencial de edifícios em altura. Estas estruturas têm tendência a ser cada vez mais

leves e por isso mais flexíveis e com menor amortecimento. Como resultado, os edifícios

tornam-se mais susceptíveis à acção do vento que assume um papel dominante no seu

dimensionamento.

Nos capítulos anteriores abordou-se a quantificação da acção do vento. A quantificação das

pressões exercidas é fundamental para a verificação dos estados limites últimos da

estrutura. No entanto, os estados limites de serviço assumem também um papel

fundamental e de importância crescente no seu correcto dimensionamento. Na grande

generalidade das estruturas, a engenharia prevê para o dimensionamento de determinada

estrutura, um ciclo ou um conjunto de esforços máximos que limitam quase a zero a sua

probabilidade de rotura. Contudo, na construção em altura é necessário prever alguns

factores humanos que têm estimulado o desenvolvimento da ciência e tecnologia neste

âmbito.

Uma das características importantes do vento prende-se como a sua aleatoriedade,

traduzida pela parcela flutuante que é combinada a parcela média. As pressões irregulares

transmitem forças flutuantes à estrutura que estão na origem dos principais problemas

dinâmicos.

Na literatura, são apontados como problemas frequentes inerentes às deformações

excessivas, o desconforto humano, danificação de materiais de revestimento exterior bem

como balanceamento excessivo dos cabos dos sistemas de elevação.

Capítulo 7 –Vibração de edifícios altos


Pretende-se neste capítulo numa primeira parte abordar os principais efeitos dinâmicos

induzidos pelo vento e numa segunda parte referir os principais sistemas utilizado para os

minimizar.

7.1 Comportamento estrutural

Um edifício esbelto em altura apresenta geralmente três direcções predominantes de

movimento com origem nos três tipos de acções mais frequentes. A acção do vento induz

na estrutura vibrações acopladas aos principais modos de vibração nas duas direcções

ortogonais ao seu desenvolvimento em altura bem como torções no mesmo plano. No

entanto, os fenómenos dinâmicos são caracterizados por uma grande complexidade nem

sempre suficientemente descrita por estes três movimentos fundamentais.

Figura 7-1 – Fenómenos dinâmicos induzidos pelo vento

O diagrama exposto Figura 7-1 resume os fenómenos dinâmicos com origem no vento a

que uma estrutura na sua generalidade pode estar sujeita.

As vibrações na direcção do vento resultam directamente das flutuações de pressão das

rajadas ou indirectamente na crescente turbulência com origem na formação de vórtices

provocados pela presença de obstáculos na superfície do edifício ou na sua vizinhança.

Este último caso está directamente ligado às interferências aerodinâmicas entre diferentes

estruturas. A formação de vórtices nas diferentes superfícies induz vibrações forçadas na

direcção transversal. Por fim, os fenómenos Galope e Flutter caracterizam-se por uma

grande amplificação das vibrações.

A incontornável complexidade dos fenómenos dinâmicos, obriga por vezes à definição de

seis graus de liberdade, três translações e três rotações.

Efeitos Dinâmicos do Vento

Vibrações na direcção

do vento

Interferências

Aerodinâmicas

Vibrações

Transversais

Gust Response Buffeting behind

obstacles

Ef. dinâmicos

do vento Self-excited

vibrations

Flutter Galope Vortex

Shedding



Do capítulo 5 conclui-se que a massa, amortecimento e rigidez estruturais têm grande

influência na resposta do edifício. De facto, a vibração do edifício na direcção de arraste é

muito reduzida pelo aumento destas três características estruturais. O deslocamento

sofrido pela estrutura relaciona-se genericamente com estas grandezas tal que:

t� ∝ [a´vζ (7.1)

Por outro lado, os deslocamentos na direcção transversal, bem como eventuais oscilações

verticais relacionam-se apenas com o amortecimento (Kilpatrick, 1996).

ts ∝ [aζ (7.2)

As oscilações verticais são geralmente provocadas quando as vibrações horizontais são

iniciadas pela turbulência.

Assim sendo, quanto mais leves e flexíveis são as estruturas maiores as deformações

sofridas e necessariamente pior a qualidade de serviço do edifício.

7.2 Avaliação do conforto no interior de edifícios altos

7.2.1 Evolução dos modelos

A avaliação em serviço de um edifício, à parte dos problemas materiais, passa

necessariamente pela definição de níveis de conforto humano no seu interior. O conforto

humano foi o primeiro problema a ser estudado.

Apesar da construção de grandes edifícios sobretudo na América do Norte na primeira

metade do século XIX, apenas surgiram os primeiros estudos nesta área em meados da

segunda metade do século.

Em 1967, Chang refere que a resistência estrutural não é o único aspecto fundamental a

considerar num edifício grande (Kilpatrick, 1996). Em objecção dos procedimentos

utilizados no dimensionamento à resistência, Chang propõe que para garantir conforto

humano se deve reconsiderar o período de retorno de 50 anos habitualmente utilizado

para um período de retorno de 10 anos ou mesmo 2 anos, dependendo da natureza da

estrutura.


A aceleração, a variação da aceleração, habitualmente denominada de

anglo-saxónica e a frequência de vibração são apontadas como as principais causas de

desconforto. Com base nestas grandezas Chang propôs um ábaco para verificação do

conforto humano no edifício

Figura 7-2 – Ábaco de avaliação de conforto sensibilidade dos ocupantes às acelerações do edifício (b)

Figura 7-3 – Distribuição dos limites de percepção da vibração do edifício.

Posteriormente, Chen e Robertson levaram a cabo um estudo durante o período de

dimensionamento das torres gémeas do World Trade Center, do qual surge um ábaco de

validação das estruturas.

Vibração de edifícios altos

ão da aceleração, habitualmente denominada de “jerk” na literatura

e a frequência de vibração são apontadas como as principais causas de

Com base nestas grandezas Chang propôs um ábaco para verificação do

Ábaco de avaliação de conforto – Amplitude de deslocamento vs período (a) Critério de sensibilidade dos ocupantes às acelerações do edifício (b) (Kilpatrick, 1996)

Distribuição dos limites de percepção da vibração do edifício. (Kilpatrick, 1996)

Chen e Robertson levaram a cabo um estudo durante o período de


na literatura

e a frequência de vibração são apontadas como as principais causas de

Com base nestas grandezas Chang propôs um ábaco para verificação do

do (a) Critério de

(Kilpatrick, 1996)

Chen e Robertson levaram a cabo um estudo durante o período de


Em 1975, Davenport numa publicação associada

apresenta curvas que relacionam o “quociente de sensibilidade dos ocupantes” (um rácio

entre as acelerações de ponta e o limiar de percepção da a aceleração para um conjunto de

ocupantes) e a aceleração de ponta relacionada com a sua frequência de ocorrênci

ábaco apresentado na Figura

tempestades de ventos fortes por ano.

Figura 7-4 – Acelerações toleráveis vs Número médio anual de tempestades (Davenport)

Outros estudos, sobretudo experimentais, têm sido levados a cabo por Takeshi Goto,

Isyumov and Halvorson, Dobryn, Isyumon and Masciantonio, entre outros

1996).

7.2.2 Métodos regulamentares

Em 1993 foi iniciada uma colaboração entre a ASCE (American Society of Civil Engineers)

e a CTBUH com o objectivo de estudar a Percepção das vibrações estruturais e a sua

mitigação.

O critério norte-americano considera as acelerações de ponta com uma probabilidad

serem excedidas em 10 anos. Este critério é também baseado na sensibilidade ao

movimento de 50% dos ocupantes dos edifícios, no entanto

bastante inferior de ocupantes seja sensível aos movimentos para que seja posta em causa

a fiabilidade da estrutura. Ciente desta realidade, Isyumov introduz um conjunto de

valores para verificação das acelerações resultantes com um período de retorno de 1 ano,

além das já consideradas para o período de retorno de 10 anos.

Estas considerações conduzem aos conjuntos de valores sumarizado na

discriminados já consoante a utilização do


a publicação associada aos riscos dos sistemas estruturais

resenta curvas que relacionam o “quociente de sensibilidade dos ocupantes” (um rácio


ocupantes) e a aceleração de ponta relacionada com a sua frequência de ocorrênci

Figura 7-3 estas relações são dadas em função do número de

tempestades de ventos fortes por ano.

Acelerações toleráveis vs Número médio anual de tempestades (Davenport) (Kilpatrick, 1996)


Dobryn, Isyumon and Masciantonio, entre outros (Kilpatrick,

Métodos regulamentares

foi iniciada uma colaboração entre a ASCE (American Society of Civil Engineers)


considera as acelerações de ponta com uma probabilidad


movimento de 50% dos ocupantes dos edifícios, no entanto, basta que um percentil


fiabilidade da estrutura. Ciente desta realidade, Isyumov introduz um conjunto de


além das já consideradas para o período de retorno de 10 anos.

nduzem aos conjuntos de valores sumarizado na

discriminados já consoante a utilização do edifício.


aos riscos dos sistemas estruturais

resenta curvas que relacionam o “quociente de sensibilidade dos ocupantes” (um rácio


ocupantes) e a aceleração de ponta relacionada com a sua frequência de ocorrência. No

estas relações são dadas em função do número de

(Kilpatrick, 1996)


(Kilpatrick,

foi iniciada uma colaboração entre a ASCE (American Society of Civil Engineers)


considera as acelerações de ponta com uma probabilidade de


basta que um percentil


fiabilidade da estrutura. Ciente desta realidade, Isyumov introduz um conjunto de


Figura 7-5


Figura 7-5 – Recomendações para avaliação da tolerância das vibrações induzidas pela acção do vento

De notar que os valores sugeridos na tabela não dependem da frequência dos principais

modos de vibração. No entanto, segundo

da frequência é mínima quando se restringe o conjunto de o

vibrações a um número pequeno como se pretende com esta tabela

O “Bulletin D’Information Nº 209

International du Beton (actualmente FIB

um conjunto de ábacos que podem ser encontrados também em

Deischl, & Eisenmann, 1994).

Os autores deste documento sugerem a utilização da

da sensibilidade humana à vibração

entre amplitude máxima de deformação, aceleração máxima e frequência de vibração.

Figura 7-6 – Ábaco tridimensional de avaliação da percepção das vibrações do edifício deslocamento, frequência e aceleração

Vibração de edifícios altos

Recomendações para avaliação da tolerância das vibrações induzidas pela acção do vento (Isyumov, 1993) (Kilpatrick, 1996)


vibração. No entanto, segundo Kilpatrick, estudos comprovam que a influência

da frequência é mínima quando se restringe o conjunto de ocupantes sensíveis às

a um número pequeno como se pretende com esta tabela (Kilpatrick, 1996)

tion Nº 209 – Vibration Problems in Structures” do Comite Euro

International du Beton (actualmente FIB – Federation Internationale du Beton)

um conjunto de ábacos que podem ser encontrados também em (Bachman, Ammann,

Os autores deste documento sugerem a utilização da Figura 7-6 como método de avaliação

à vibração do edifício. Este ábaco ilustra relações não lineares


Ábaco tridimensional de avaliação da percepção das vibrações do edifício – Amplitude de

deslocamento, frequência e aceleração (Bachman, Ammann, Deischl, & Eisenmann, 1994)

Recomendações para avaliação da tolerância das vibrações induzidas pela acção do vento


, estudos comprovam que a influência

cupantes sensíveis às

ick, 1996).

s in Structures” do Comite Euro-

Federation Internationale du Beton) apresenta

(Bachman, Ammann,

como método de avaliação

do edifício. Este ábaco ilustra relações não lineares


Amplitude de (Bachman, Ammann, Deischl, & Eisenmann, 1994)



7.3 Minimização das vibrações estruturais – Sistemas estruturais

Um dos grandes problemas das estruturas leves e esbeltas, susceptíveis à envolvência

complexa do escoamento do vento, é o baixo coeficiente de amortecimento próprio deste

tipo de estruturas. Com o tal têm surgido vários sistemas que procuram minimizar os

efeitos da vibração do vento.

Um conjunto de alterações na estrutura ou mesmo introdução de equipamentos adicionais

permitem melhorar o comportamento dos edifícios em interacção com o vento.

Observando a equação genérica do movimento verifica-se que qualquer alteração

estrutural introduz uma alteração na matriz de massas, amortecimento ou rigidez.

O aumento da massa do edifício pode melhorar a vibração do edifício, contudo amplifica

bastante as forças sísmicas de inércia. Se esta acção for pouco relevante, então a relação de

massa do edifício e acção do vento deverá ser optimizada de forma a melhor a

performance estrutural, mas por outro lado, a velocidade adimensional do vento aumenta

e, como tal, aumenta a energia do vento e por consequência o deslocamento do edifício,

enquanto a aceleração diminui praticamente com o quadrado da massa. Considerando o

aumento da rigidez do edifício diminuirá o aumento dos deslocamentos, não influenciado

contudo as acelerações tornando mais perceptível as oscilações.

Posto isto, em cada caso deverá ser adoptado um sistema estrutural adequado.

Normalmente, o orçamento disponível para estes equipamentos “não visíveis” é um factor

também importante para a escolha da solução.

7.3.1 Alterações ou adição de elementos estruturais

Vários elementos estruturais podem ser adicionados à estrutura. Os mais correntes são

elementos treliçados ou mesmo paredes que ligam as zonas exteriores do edifício ao

núcleo interno. Esta ligação permite que estes elementos ajudem a resistir às acções

laterais transferindo algumas destas cargas para a zona exterior resistente. Geralmente,

acima dos 40 pisos, esta técnica revela-se pouco eficaz (Kareem, Kijewski, & Yukio,

Mitigation of Motions of Tall Buildings with Specific Examples of Recent Applications,

2004).

Um desenvolvimento deste sistema é a cintagem de toda a periferia da estrutura com

elementos exteriores ligados ao núcleo interno, quer seja com paredes estruturais quer



seja por meio de treliças. Este sistema permite que sejam atingidas alturas superiores,

revelando também pouca eficácia para super-estruturas.

O sistema estrutural mais eficaz, já utilizado em grandes edifícios como a “Sears Tower”

em Chicago e muito em foco nas últimas décadas do século XX é a concepção da estrutura

como um conjunto de tubos acoplados. Estes núcleos podem encontrar-se lado a lado ou

no interior de outros.

Outras opções podem ser adoptadas, como por exemplo o aumento da massa modal já que

as acelerações induzidas pelo vento são inversamente proporcionais à massa.

7.3.2 Alterações geométricas dos edifícios

Este tipo de aplicações visa atribuir à estrutura uma forma aerodinâmica que ofereça um

melhor comportamento quando envolvido pelo vento.

As principais aplicações conhecidas passam pelo arredondamento das arestas da secção

do edifício, podendo no limite definir-se um eixo maior na direcção predominante do

vento. O edifício ganha uma forma que induz um escoamento mais ordenado em torno do

edifício oferecendo menos resistência à passagem do vento.

A introdução de aberturas na estrutura permite também que o escoamento atravesse em

algumas zonas o edifício conseguindo-se diminuir os coeficientes de força do edifício. No

entanto, pode ter consequências adversas se diminuir a frequência de ressonância de

libertação vórtices (Kareem, Kijewski, & Yukio, Mitigation of Motions of Tall Buildings with

Specific Examples of Recent Applications, 2004). Outro parâmetro a ter em conta é a

variabilidade da secção do edifício em altura. Algumas combinações de secções variáveis

em altura podem contribuir para evitar que fenómenos como o desprendimento de

turbilhões em torno do edifício se formem em toda a sua altura. Segundo a bibliografia, a

introdução de elementos na fachada que conduzam o vento como desejado é também uma

solução habitual.

7.3.3 Adição de elementos dissipadores - amortecedores

Os sistemas de amortecimento com recurso a elementos exteriores à estrutura são

divididos em quatro classes:

• Amortecimento Passivo

• Amortecimento Activo

• Amortecimento Semi-activo

• Amortecimento Híbrido

Figura 7-7 – Ilustração dos modelos de funcionamento das

7.3.3.1 Amortecedores Passivos

O amortecimento passivo pode também ser dividido em duas classes: amortecimento com

dissipação indirecta de energia e a

As duas classes são caracterizadas pelos principais sistemas nas tabelas seguintes.

TMD Tuned Mass Damper

Incorporação de um sistema capaz de dissipar energia, ligando uma massa concentrada à estrutura por permitindo uma interacção com a estrutura. Estes elementos induzem amortecimento na estrutura diminuindo as frequências de vibração.

TLD Tuned Liquid Damper

Caracterizados pela incorporação de edifício. Cada tanque é dividido em múltiplos exploram o movimento dos fluidos e o comportamento de quebra provocado pela formação de ondas que reduz as acelerações em mais de 50%.

ID Impact Damper

São definidos dispositivos formados por pequenas massas rígidas no interior de um reservatório. Essas massas podem oscilar livremente colidindo nas paredes desse reservatório. O choque das massas estrutura permitindo o reequilíbriovibração.

Tabela 7-1 – Sistemas de amortecimento passivo com dissipação indirecta de en

(a) (b)


Amortecimento Passivo

activo

Amortecimento Híbrido

Ilustração dos modelos de funcionamento das técnicas de amortecimento Passivo (a), Semi(b) e Activo (c) (Datta, 2003)

Amortecedores Passivos


dissipação indirecta de energia e amortecimento com dissipação directa de energia.


Incorporação de um sistema capaz de dissipar energia, ligando uma massa concentrada à estrutura por meio de equipamento elástico e amortecedor permitindo uma interacção com a estrutura. Estes elementos induzem amortecimento na estrutura diminuindo as frequências de vibração.

Caracterizados pela incorporação de reservatórios de água distribuídos pelo edifício. Cada tanque é dividido em múltiplos (depósitos) amortecedoresexploram o movimento dos fluidos e o comportamento de quebra provocado pela formação de ondas no fluído são os responsáveis pelo acréscimo de amortecimento que reduz as acelerações em mais de 50%.

São definidos dispositivos formados por pequenas massas rígidas no interior de um reservatório. Essas massas podem oscilar livremente colidindo nas paredes desse reservatório. O choque das massas na periferia do dispositivo impulsiona a estrutura permitindo o reequilíbrio, garantindo determinando parâmetros de

Sistemas de amortecimento passivo com dissipação indirecta de energia

(b) (c)


técnicas de amortecimento Passivo (a), Semi-activo


mortecimento com dissipação directa de energia.


Incorporação de um sistema capaz de dissipar energia, ligando uma massa meio de equipamento elástico e amortecedor

permitindo uma interacção com a estrutura. Estes elementos induzem

água distribuídos pelo amortecedores, que

exploram o movimento dos fluidos e o comportamento de quebra provocado pela são os responsáveis pelo acréscimo de amortecimento

São definidos dispositivos formados por pequenas massas rígidas no interior de um reservatório. Essas massas podem oscilar livremente colidindo nas paredes desse

na periferia do dispositivo impulsiona a , garantindo determinando parâmetros de

ergia



VED Viscoelastic Damper

Materiais polímeros ou outros materiais deformáveis são utilizados para dissipar energia e possibilitar a rápida recuperação de forças importantes em vibrações com frequências altas, características de tempestades ou mesmo sismos. São instalados dispositivos metálicos que envolvem o material viscoelástico em diagonais que funcionem ao corte. A força gerada pelo sistema é dependente da velocidade e como tal desfasada da função de deslocamento, o que torna o sistema particularmente eficaz. Este sistema induz também um acréscimo na rigidez do edifício (Kareem, Kijewski, & Yukio, Mitigation of Motions of Tall Buildings with Specific Examples of Recent Applications, 2004).

VDD Viscous Damping Device

O sistema de amortecimento viscoso gera uma força resistente ao longo de um deslocamento finito através da acção de um piston forçado por uma câmara preenchida com um fluído completamente viscoso de comportamento linear. Este sistema tem como vantagem o facto de não exigir de energia exterior para ser accionado e de ter uma manutenção muito baixa, justificando por isso ser a escolha na maioria das aplicações de engenharia civil.

MD Metallic Dissipators or Damper

Os dissipadores metálicos recorrem à deformação de uma peça metálica que liga duas partes cinematicamente “independentes” da estrutura, geralmente juntas entre elementos contíguos. Este sistema é utilizado na resistência lateral aos sismos desde a hegemonia do povo grego. Nos dias que correm utilizam-se geralmente pratos de aço que por escorregamento e fricção permitem a dissipação de energia não comprometendo a resistência às acções verticais.

FS Friction System

A aplicação de sistemas de fricção proporciona um comportamento plástico não linear permitindo que a estrutura recupere o comportamento elástico, quando sujeita a vibrações indesejadas.

Tabela 7-2 – Sistemas de amortecimento passivo com dissipação directa de energia

7.3.3.2 Amortecedores Activos

AMD Active Mass Damper

Neste tipo de sistema, um dispositivo computadorizado analisa as vibrações do edifício e para determinados parâmetros introduz uma força de controlo baseada na resposta do edifício. A força é submetida através de uma ou várias massas deslizantes ou em pêndulos para contrariar o movimento. Estes sistemas necessitam de pequenas massas revelando maior eficácia do que os sistemas passivos.

AVS Active variable stiffness

Como o próprio nome indica este sistema faz variar a rigidez da estrutura. A sua aplicação é comum em edifício susceptíveis à carga sísmica já que as suas características, já que o sistema atribui à estrutura propriedades antiressonantes como consequência do controlo das vibrações. A instalação de dispositivos estruturais em V invertido por piso permite controlar a rigidez estrutural, accionando-os alternadamente.

Tabela 7-3 – Sistemas de amortecimento activo

7.3.3.3 Amortecedores Híbridos (HMDs)

Os sistemas de amortecimento híbridos utilizam o conceito de massa móvel dos

amortecedores de massa sintonizados, calculado para as vibrações fundamentais do

edifício, acoplado com um sistema de amortecimento activo que corrige a instabilidade

da resposta do edifício para forças aplicadas subitamente por sismos ou tempestades

(Kareem, Kijewski, & Yukio, Mitigation of Motions of Tall Buildings with Specific Examples

of Recent Applications, 2004)

excedidos parâmetros extremos de vibração, estando nas restantes situações em resposta

passiva. Este sistema permite a

instalação bastante elevados.

7.3.3.4 Amortecedores Semi

Reservando as melhores características dos sistemas passivos e activos, os sistemas semi

activos representam a última tecnologia em sistemas de dissipação de energia. Possuindo

a rápida adaptabilidade dos sistemas activos para

estabilidade devido às suas características passivas. Estes sistemas conseguem produzir

resultados muito próximos dos sistemas activos com um risco de instabilidade muito

inferior ou com muito menor consumo de energia

of Motions of Tall Buildings with Specific Examples of Recent Applications, 2004)

resultado destes resultados, este sistemas oferecem no futuro excelente viabilidade na

aplicação no domínio da engenharia civil, nomeadamente das estruturas esbeltas.

7.4 Optimização de sistemas

Considere-se o seguinte sistema estrutural de m graus de liberdade com uma massa

sintonizada acoplada ao nível do piso i+1.

Figura 7-8 – Sistemas estrutural de um edifício de M graus de liberdade com um TMD acoplado no piso i+1




of Recent Applications, 2004). A resposta do sistema será activa sempre que forem


passiva. Este sistema permite assim economia de energia, contudo apresenta custos de

Amortecedores Semi-Activos

Reservando as melhores características dos sistemas passivos e activos, os sistemas semi

representam a última tecnologia em sistemas de dissipação de energia. Possuindo

a rápida adaptabilidade dos sistemas activos para carregamentos rápidos, oferecem maior



inferior ou com muito menor consumo de energia (Kareem, Kijewski, & Yukio, Mitigation

of Motions of Tall Buildings with Specific Examples of Recent Applications, 2004)


domínio da engenharia civil, nomeadamente das estruturas esbeltas.

Optimização de sistemas TMD sob a excitação do vento

se o seguinte sistema estrutural de m graus de liberdade com uma massa

sintonizada acoplada ao nível do piso i+1.

Sistemas estrutural de um edifício de M graus de liberdade com um TMD acoplado no piso i+1

Cao, Li, Li, & Liu, 1999)




A resposta do sistema será activa sempre que forem


ssim economia de energia, contudo apresenta custos de

Reservando as melhores características dos sistemas passivos e activos, os sistemas semi-

representam a última tecnologia em sistemas de dissipação de energia. Possuindo

carregamentos rápidos, oferecem maior



(Kareem, Kijewski, & Yukio, Mitigation

of Motions of Tall Buildings with Specific Examples of Recent Applications, 2004). Como


domínio da engenharia civil, nomeadamente das estruturas esbeltas.

se o seguinte sistema estrutural de m graus de liberdade com uma massa

Sistemas estrutural de um edifício de M graus de liberdade com um TMD acoplado no piso i+1 (Li,



Quando este sistema é submetido a uma acção lateral do vento as equações dos dois

sistemas, edifício e TMD, podem ser escritas como

.t�B�F + "t/ B�F + *tB�F = âB�F + 8B�F (7.3)

-��B�F + 7��B�F + )��B�F = −-��&B�F (7.4)

em que as grandezas associadas mantêm as propriedades das equações de movimento já

descritas neste documento. Nestas equações em particular, âB�F representa o vector de

forças da acção do vento distribuídas por piso e 8B�F a força introduzida na estrutura pela

massa sintonizada.

Se apenas um TMD for instalado na estrutura, no i-ésimo piso, então o parâmetro 8B�F

pode ser simplificado tal que

8B�F = wG B�Fx = D 0 , F ≠ �7��/� + )�� = � , F = � y (7.5)

Considerando apenas os m primeiros modos de vibração da estrutura, o vector

deslocamento pode ser descrito por meio do método da sobreposição por

tB�F = ∑ Φ ; B�F» c[ (7.6)

onde Φ e ; B�F são a j-ésima função de forma modal e a coordenada modal generalizada

da estrutura, respectivamente.

As equações dinâmicas dos sistemas podem ser obtidas em função das coordenadas

generalizadas, ; B�F e do deslocamento relativo do amortecedor, ��B�F.

;� B�F + 2ξ � ;/ B�F + � X; B�F = [´�

∑ Φ& 4&M&c[ cB�F + »{´�

Φ Ë2ξ��/ B�F + ��X��B�FÍ (7.7)

��B�F + 2ξ��/ B�F + ��X��B�F = − ∑ Φ ;� BtF»&c[ , F = 1,2,… , - (7.8)

Na expressão (7.7) o parâmetro 4& é um parâmetro relativo à acção do vento. De forma

geral, mas por vezes grosseira, pode admitir-se que o primeiro modo de vibração da

estrutura é o modo fundamental para a acção do vento. Considerando apenas este modo e

admitindo a função modal normalizada com valor igual à unidade no piso onde é colocado

o TMD (o i-ésimo piso), as equações (7.7) e (7.8) vêm que:



£1 01 1¦ D;�[B�F

�/�B�Fy + Y2ξ[�[ 2 -� .[⁄ ξ��0 2ξ��

Z D;/[B�F�/�B�Fy+ |�[X − -� .[⁄ ��X

0 ��X} D;�[B�F

�/�B�Fy =

D1 .[ ∑ Φ&[4&M&c[⁄0 y (7.9)

Como já se viu em capítulo anteriores, a função densidade espectral da resposta de

coordenadas generalizadas é descrita pela seguinte relação

6ÚÚB�F = ·¤B��F6±±B�F·∗B��F (7.10)

Por meio de operações e simplificações matemáticas, esta relação permite por sua vez

chegar à expressão da variância do deslocamento, Ù[ (Li, Cao, Li, Li, & Liu, 1999).

�Ú[X = áy$v,${,~v,~{,´v,»{z³y$v,${,~v,~{, v,»{,Φ�v,��z � (7.11)

Com isto, pode-se chegar finalmente à condição que define o rácio óptimo de

amortecimento. Este valor será tanto mais adequado, quanto menor o valor de �Ú[X . Este

valor verifica-se quando se anula a primeira derivada desta função relativamente ao

amortecimento do TMD, ξ� .

�§Ýv�~{ = �

�~{ �á³� = [

³U £à �³�~{ − � �á

�~{¦ = 0 N à �³�~{ − � �á

�~{ = 0 (7.12)

Assim, a frequência óptima do TMD bem como o rácio da massa do TMD relativamente à

massa vibrante do primeiro modo do edifício, resultam das soluções das seguintes

expressões, respectivamente.

à �³�${ − � �á

�${ = 0 (7.13)

à �³�μ − � �á

�μ = 0 (7.14)

Sendo que μ representa o rácio da massa do amortecedor, -� e a massa vibrante da

estrutura, para este caso a massa modal do primeiro modo de vibração, .[.



Porém, a obtenção da solução analítica deste problema é geralmente uma tarefa complexa.

Posto isto, surgem na bibliografia fórmulas com muito boa precisão que simplificam este

problema através de relações matemáticas bastante acessíveis.

Warburton propôs em 1982 várias expressões que permitem calcular de forma acessível

os parâmetros óptimos para os TMD em edifícios altos Warburton (Warburton, 1982).

r�� = $��$v= a[í�. �

[í� (7.15)

�� = a�B[í�.¡ �FB[í�FB[í�. �F (7.16)



Capítulo 8

MÉTODOS PROPOSTOS NOS REGULAMENTOS

INTERNACIONAIS

8.1 Introdução

São vários os regulamentos internacionais que descrevem procedimentos para a

quantificação dos efeitos da acção do vento na direcção longitudinal de edifícios altos.

Geralmente baseados em estudos extensivos, são, por necessidade, simples. Não se deve

esperar grande rigor nos resultados obtidos.

Na sua grande generalidade, os regulamentos recorrem ao modelo desenvolvido

inicialmente por Davenport em 1967, “Gust loading factor” na literatura anglo-saxónica

(vide 5.5), resultando no final do cálculo uma acção equivalente estática (ESWL). Contudo,

são reconhecidas diferenças significativas nas acções obtidas para cada regulamento. Num

futuro próximo e como resultado da globalização do mercado do projecto é desejado que

os regulamentos reduzam e se aproximem em conteúdo.

Dos principais regulamentos internacionais destacam-se como principais regulamentos,

subentenda-se, mais desenvolvidos, os seguintes códigos:

• Eurocode-1993 (Europa)

• ASCE 7-98 (Estados Unidos da América)

• AS1170.2-89 (Austrália)

• NBC-1995 (Canada)

• RLB-AIJ-1993 (Japão)

Códigos como estes apresentam inevitavelmente na sua abordagem factores como:

• Especificações para velocidades base ou de referência para várias zonas

abrangidas pelo código. Geralmente uma velocidade de referência a 10m de altura

e em terreno aberto (rural);

Capítulo 8 –Métodos propostos nos regulamentos internacionais


• Factores para cálculo das variações da velocidade em altura, tipo de terreno,

direcção do vento, topografia, etc.;

• Coeficientes de força e pressão para várias formas geométricas de edifícios;

• Contabilização de efeitos dinâmicos ressonantes em edifícios flexíveis.

Posto isto, procura-se neste capítulo descrever e comparar a abordagem proposta por

cada regulamento, exemplificada no final para o caso de estudo desenvolvido. A descrição

neste a partir desta secção baseia-se quase de forma integral no documento apontado nas

referências de autoria de (Zhou, Kijewski, & Kareem, Along-Wind Load Effects on Tall

Buildings: Comparative Study of Major International Codes and Standards, 2002). Esta

necessidade prende-se com a dificuldade em aceder a todos os regulamentos. É, no

entanto, interessante abordar os pontos referidos no documento citado.

A descrição e comparação são feitas progressivamente por tópicos, considerando a

definição das características e acções médias do vento, factores de rajada e acções

equivalentes estáticas.

8.2 Descrição das características do vento

Como demonstrado no Capítulo 4, as grandezas fundamentais para quantificação da acção

do vento pelo método GLF são: a velocidade do vento, a intensidade da turbulência, o

espectro de potência do vento, as escalas de comprimento de turbulência e a correlação do

campo de velocidades do vento.

Importa assim descrever a abordagem de cada regulamento a estas grandezas.

8.2.1 Velocidade Básica do Vento

Na grande generalidade dos regulamentos mundiais, a velocidade básica do vento, ��, é

determinada experimentalmente com medições a 10 m de altura sobre terreno aberto.

EC 1 ASCE 7 AS1170.2 NBC RLB-AIJ Velocidade básica do vento

3s 3s 1h 10min 10min

Factor de rajada do vento 3s 1h 1h 10min 3s

Resposta induzida pelo vento

1h 1h 1h 10min 10min

Tabela 8-1 – Tempos médios nos diferentes regulamentos



São elaboradas médias sobre amostras de dimensões e períodos de amostragem

diferentes. Neste contexto, a Tabela 8-1 relata os tempos médios de amostragem segundo

cada código não só para a velocidade básica mas também para o factor de rajada do vento,

bem como a resposta induzida pelo mesmo.

A velocidade de dimensionamento é obtida no caso geral pela expressão

� = ��. "� . "�. "& . "' (8.1)

Este conjunto de coeficientes configura a velocidade básica numa aproximação da

velocidade de um determinado local introduzindo a influência do meio ambiente, da

direcção do vento, dos intervalos de amostragem utilizados na obtenção de �� e outros

factores significativos associados à estrutura do vento. Desta forma, os índices poderão ser

descritos de acordo com a seguinte enumeração:

-"� - coeficiente de direccionalidade, “directionality”

-"� - , coeficiente de protecção/exposição “shield”

-"& – coeficiente de importância, “importance”

-"' – coeficiente de retorno, “return”

8.2.2 Comportamento médio do vento

A distribuição que caracteriza a velocidade média do vento em altura é influenciada pela

topografia do terreno, obstáculos na vizinhança, bem como pelos intervalos de

amostragem utilizados na sua definição. A dimensão do intervalo utilizado nas médias

influencia o perfil da velocidade do vento. Note-se que para os intervalos correntes na

Tabela 8-1 uma amostra de três segundos terá com certeza uma distribuição mais regular

do que uma amostra de uma hora.

Como referido no capítulo 2, são utilizados predominantemente duas formulações para o

comportamento da velocidade do vento em altura, a lei exponencial e a lei logarítmica. Os

regulamentos abordados e na sua generalidade, recorrem à lei exponencial.

B<F = ��. ¸. � ![��x

(8.2)

As constantes r e ¸, calibram a expressão de acordo com o tipo de terreno. Os valores

propostos variam de regulamento para regulamento e são resumidos na Tabela 8-2


ASCE -7 3s b r A 0.66 0.20 B 0.85 0.14 C 1.00 0.11 D 1.09 0.09 E

ASCE 1h b A 0.30 B 0.45 C 0.65 D 0.80 E

Tabela 8-2 – Coeficientes de definição dos perfis de vento segundo os vários regulamentos

É usual recorrer-se à relação adimensional

média da velocidade. No entanto

regulamentos utilizam as rajadas medidas em 3s. De acordo com

Kareem, Along-Wind Load Effects on Tall Buildings: Comparative Study of Major

International Codes and Standards, 2002)

(citar fórmula/apresentar fórmula) para uma rajada de 3s.

Considerando esta transformação,

coeficiente adimensional de acordo com o conjunto de gráficos

Figura 8-1 – Comparação das funçõesespectral (c) nos vários regulamentos

8.3 Intensidade da turbulência

O comportamento da intensidade da turbulência é também descrito por uma função

exponencial

Métodos propostos nos regulamentos internacionais

AS1170.2 EC 1 RLB-AIJ 3s 10min 10 min

b r b r b r 0.76 0.14 0.55 0.29 0.39 0.35 0.91 0.10 0.77 0.21 0.58 0.27 1.04 0.07 1.00 0.16 0.79 0.20 1.18 0.04 1.17 0.12 1.00 0.15

1.23 0.10

ASCE -7 AS1170.2 NBC 1h 1h 1h

r B r b r 0.33 0.29 0.28 0.43 0.36 0.25 0.45 0.20 0.67 0.25 0.15 0.58 0.16 1.00 0.14 0.11 0.69 0.13

Coeficientes de definição dos perfis de vento segundo os vários regulamentos “padronizados”

se à relação adimensional "�B<F = �bB<F/�Ø�� para caracterizar a variação

velocidade. No entanto, como já foi feita a observação, nem todos os

regulamentos utilizam as rajadas medidas em 3s. De acordo com (Zhou, Kijewski, &

Wind Load Effects on Tall Buildings: Comparative Study of Major

nternational Codes and Standards, 2002), recorre-se neste estudo a uma transformação

(citar fórmula/apresentar fórmula) para uma rajada de 3s.

Considerando esta transformação, é possível desenhar as curvas que representam este

acordo com o conjunto de gráficos Figura 8-1 (a).

Comparação das funções velocidade normalizada (a), intensidade da turbulência (b) e nos vários regulamentos – ASCE, AS1170, NBC, AIJ, EC1.

Intensidade da turbulência


0.35 0.27 0.20 0.15 0.10

“padronizados”

para caracterizar a variação

nem todos os

(Zhou, Kijewski, &

Wind Load Effects on Tall Buildings: Comparative Study of Major

se neste estudo a uma transformação

é possível desenhar as curvas que representam este

(b) e densidade




ªB<F = 7. B</10F�� (8.3)

Nesta expressão 7 e : são também constantes que dependem da caracterização do terreno.

Os valores que podem tomar de acordo com as classes de terreno definidas nos

regulamentos são apresentados na tabela Tabela 8-3

ASCE -7 AS1170.2 EC1 RLB-AIJ NBC c d c d c d c d c d A 0.450 0.167 0.453 0.300 0.621 0.360 0.402 0.400 0.434 0.290 B 0.300 0.167 0.323 0.300 0.335 0.250 0.361 0.320 0.285 0.210 C 0.200 0.167 0.259 0.300 0.200 0.140 0.259 0.250 0.189 0.160 D 0.150 0.167 0.194 0.300 0.204 0.200 0.145 0.120 E 0.162 0.150

Tabela 8-3 – Coeficientes para definição do perfil da intensidade de turbulência

A computação da função referida na expressão (8.3) conduz à Figura 8-1(b).

8.4 Função espectral do vento, Escalas de Comprimento de

Turbulência e Correlação da estrutura do vento

A Tabela 8-4 resume as expressões definidas para a função espectral do vento

adimensional, bem como a escala de comprimentos da turbulência.

Função espectral do vento Escala comp. da turbulência

ASCE 7 G6«BGF

�«X= 6.868�

B1 + 10.302�F /� , � = G. ,!B<F�B<F

,!B<F = þB</10F% þ e p dependem do tipo de terreno

AS1170.2 G6«BGF

�«X= 4�6.667B2 + �XF /� , � = ,µG

�bµ ,µ = 1.00B·/10F�.X

NBC G6«BGF

�«X= 2�3B1 + �XF/� , � = 1,20G

�bµ ,µ = 1200

RLB-AIJ G6«BGF

�«X= 4�

B1 + 70.8�XF /� , � = ,µG�bµ

,µ = 100B·/30F�.

EC1 G6«BGF

�«X= 6.868�

B1 + 10.302�F /� , � = G. ,!B<F�bB<F ,!B<F = 300B</300F%

p depende do tipo de terreno

Tabela 8-4 – Funções de densidade espectral do vento de acordo com os vários regulamentos



De referir na formulação destas expressões que na definição das escalas de comprimentos

da turbulência apenas para o código europeu e para o americano se têm uma dependência

do terreno, introduzida pelo parâmetro p . De facto, nos restantes regulamentos este

parâmetro não é utilizado, sendo que para o código Canadiano ,µ assume mesmo um

comportamento constante em altura. A Figura 8-1 (c) ilustra os resultados aplicados na

computação destas funções.

8.5 Quantificação da Acção de Rajada do Vento (GLF)

Os procedimentos para cálculo da acção do vento introduzindo a amplificação de rajada

seguem o modelo referido no capítulo 4 de autoria de Davenport. Nos vários regulamentos

a aplicação deste modelo difere na abordagem feita por cada um para a modelação do

campo de velocidades do vento e das suas características e estrutura dinâmica. Esta

abordagem está na origem das diferenças apresentadas nas expressões que conduzem ao

cálculo do carregamento estático equivalente, de acordo com a Tabela 8-5. De notar que no

código americano e europeu a reposta de fundo é baseada num modelo GLF de autoria de

Kareem, no entanto, bastante semelhante à formulação de Davenport.



Tabela 8-5 – Definição do Factor de rajada –GLF- de acordo com os vários regulamentos

a As expressões apresentadas não correspondem exactamente à forma apresentada nos regulamentos apresentando sim uma forma padrão para possibilitar a comparação directa entre regulamentos. b K é um coeficiente dado no regulamento canadiano NBC, função do tipo de terreno. c ü = G[6«BG[F �«X⁄ e K = G[ ,!Á �b!Á⁄ . d 2s = 1 η − 1 2ηXB1 − 3�XηF ⁄⁄ para η >0; 2s = 1 para η =0; 2µ,η = 4.6G[·/�!Á ; 2á ,η = 4.6G[à/�!Á ; 2¹ ,η = 15.4G[à/�!Á .

ASCE -7 AS1170.2 NBC RLB-AIJ EC1

G 0.925��1 + 1Þ�X à + ÞÜX2

1 + Þ« . 1 �� 1 + 1ÞRXàB1 + rFX + ÞWX2 1 + 1√à + 2 1 + ÞW. 1√à + 2

1 + ÞW . 1√à + 21 + 3.51

T 3,600s 3,600s 3,600s 3,600s 3,600s

z 0.6· · · · 0.6·

r 1 = 1.7ª! 1 = 2ª! 1 = a2*/"�µ 1 = B3 + 3rF/B2 + rFª! 1 = 2ª!

g

Þ� = ÞR = 3.4 ÞR = 3.7 ÞW = ÞÜB�, cF ÞW = a2 lnB�. cF + 1.2 ÞW = ÞÜB�, cF

ÞÜ = ÞÜB�, G[F ÞW = a2 lnB�. G[F c = G[a6ü/B6ü + ζàF c = G[a2/Bà + 2F c = Bc�Xà + G[X2F/Bà + 2F

B 1

1 + 0.63 �à + ·,! �

�.�� 1

1 + √64àX + 36·X,µ

23� 11 + �·

4571

�à122

�B1 + �XF/�

�[/µ

�

1 − 1|1 + 5.1 u ,µ

√·àw[.�

�à·�

}}[/� 11 + 0.9 �à + ·

,! ��.��

E 9.5K[

B1 + 10.3K[F /� 0.6K[

B2 + K[XF /� 2K[X3B1 + K[XF/�

4K[B1 + 71K[XF /�

6.8K[B1 + 10.2K[F /�

S 2µ2áB0.53+ 0.472¹F 1

Y1 + 3.5 G[·�µ Z Y1 + 4 G[à

�µ Z

1Y1 + 8G[·3�µ Z Y1 + 10G[à

�µ Z

0.84Y1 + 2.1G[·

�µ Z Y1 + 2.1G[à�µ Z

2µ2á

Acção d

o Ven

to em E

difícios A

ltos

Dissertação d

e Mestrad

o em E

ngenh

aria Civil

1

15



Capítulo 9

CASO DE ESTUDO

9.1 Descrição do caso de estudo

Como modelo para validação dos métodos apresentados tanto para estados limites

últimos, bem como para estados limites de serviço, propõe-se a aplicação dos mesmos

bem como da análise proposta no Capítulo 6 à seguinte estrutura.

Edifício em Benidorm – Arq. Souto Moura

Altura (m) 200 nº pisos 50

Forma Secção � ρρρρ edif 180 kg/m3

Dim. Secção (m2) 23×23 ρρρρ ar 1. 25 kg/m3

Tabela 9-1 – Descrição do Caso de Estudo

Figura 9-1 – Ilustração do caso de estudo

Capítulo 9 – Caso de estudo – Edifício em Benidorm


9.2 Caracterização dinâmica do edifício

A simulação do modelo estrutural no programa de cálculo, “Robot Millenium”, permite-nos

obter o seguinte resumo de resultados.

Modo

0

Frequência

(Hz)

Período

(seg)

Mas.rel.UX

(%)

Mas.rel.UY

(%)

Mas.corr.UX

(%)

Mas.corr.UY

(%)

1 0.22 4.59 0.01 61.9 0.01 61.9

2 0.22 4.59 61.92 61.92 61.9 0.01

3 1.36 0.73 74.56 68.29 12.65 6.38

4 1.36 0.73 80.94 80.94 6.38 12.65

5 3.82 0.26 82.73 85.69 1.79 4.75

6 3.82 0.26 87.48 87.48 4.75 1.79

7 7.48 0.13 90.09 88.21 2.61 0.73

8 7.48 0.13 90.82 90.82 0.73 2.61

9 12.36 0.08 91.35 92.31 0.53 1.49

10 12.36 0.08 92.84 92.84 1.49 0.53

11 18.46 0.05 93.02 94.01 0.18 1.17

12 18.46 0.05 94.19 94.19 1.17 0.18

13 25.77 0.04 94.21 95.15 0.02 0.95

14 25.77 0.04 95.16 95.16 0.95 0.02

15 34.3 0.03 95.48 95.57 0.32 0.41

16 34.3 0.03 95.89 95.89 0.41 0.32

17 44.04 0.02 95.99 96.35 0.1 0.46

18 44.04 0.02 96.46 96.46 0.46 0.1

19 54.98 0.02 96.54 96.83 0.08 0.37

20 54.98 0.02 96.91 96.91 0.37 0.08

Tabela 9-2 – Caracterização dinâmica do caso de estudo – Modos de vibração e participações modais

Nesta tabela, além das frequências de vibração que nos permitem a aplicação dos métodos

abordados nos capítulos anteriores, podemos prever desde já a influência dos modos de

vibração do edifício, nem sempre explícitos na aplicação desses mesmos modelos.

A Figura 5-2 ilustra no domínio da frequência, a contribuição dos diferentes modos de

vibração no comportamento dinâmico do edifício. Este parâmetro pode ser inicialmente

ajuizado pela percentagem de massa vibrante de cada modo. No caso concreto deste

edifício, e em geral nos edifícios altos, o primeiro modo de vibração de cada grau de

liberdade é geralmente predominante como demonstram os 62% de participação de

massa nestes modos na direcção x e y. Por outro lado, o grande desfasamento de

frequências de vibração características de modos de primeira ordem e de ordens

superiores, coloca em princípio essa excitação fora do espectro de acção do vento.

Contudo, mesmo em edifícios esbeltos deve ser estudada a influência dos modos de

vibração mais complexos (Zhou, Gu, & Xiang, Along

and Responses of Tall Buildings. Part II:Effects of Mode Shapes)

Os seis primeiros modos, correspondentes a quase 90% de participação de massa

vibratória são ilustrados na Figura

Figura 9-2 –

De referir a boa concordância da frequência

comparativamente com a expressão geralmente referida nos regulamentos e normas

aplicáveis.

9.3 Caracterização da acção pelo

9.3.1 Acção Longitudinal

Hipóteses admitidas:

• Exposição costal – Zona II

• Factor de turbulência -

f1=0.22Hz f1=1.36Hz



o em edifícios esbeltos deve ser estudada a influência dos modos de

(Zhou, Gu, & Xiang, Along-wind Static Equivalent Wind Loads

and Responses of Tall Buildings. Part II:Effects of Mode Shapes).

rimeiros modos, correspondentes a quase 90% de participação de massa

Figura 9-2.

Principais modos de vibração do caso de estudo

De referir a boa concordância da frequência fundamental obtida pela análise modal,


0[ = 46ℎ = 0.23 Hz

Caracterização da acção pelo EC 1-4

Acção Longitudinal – MGLF

Zona II;

- kl=0;

Hz f1=3.82Hz f1=7.48Hz f1=12.36Hz f1=18.46



o em edifícios esbeltos deve ser estudada a influência dos modos de

wind Static Equivalent Wind Loads

rimeiros modos, correspondentes a quase 90% de participação de massa

obtida pela análise modal,


18.46Hz



• Factor de orografia – c0=1;

• vb=27m/s;

• Edifício com estrutura metálica e com núcleo central em betão armado;

Edifício em Benidorm – Aplicação do EC 1-4

V0 (m/s) 44.64 l�b (m) 247.13 R2 0.930 �g (kN.m) 1.039.639

�b (m) 60 B2 0.542 j� 3.25 �Ì (kN.m) 1.814.978

i�b (m/s) 29.17 E 0.109 G a 1.746 �� (mili-g) 10.43

��b 0.209 S 0.143 cf 1.512

a – este valor despreza o denominador apresentado na tabela 8-5, traduzindo desta forma a verdadeira amplificação da acção. A expressão supracitada admite o produto posterior por j� anulando nesse caso o denominador.

Tabela 9-3 – Aplicação do MGLF de acordo com o EC 1-4

9.3.2 Acção Transversal – Desprendimento de turbilhões (Anexo EC 1-4)

De acordo com o EC 1-4, o efeito do desprendimento de turbilhões deverá ser tido em

conta no dimensionamento de um edifício sempre que seja verificada a seguinte equação

c�'&�,& < 1,25.c»

em que c�'&�,& é a velocidade crítica para o modo i, considerando-se neste estudo o

primeiro modo e c» a velocidade média para o período de 10 minutos na secção em que se

dá o fenómeno.

De acordo com o mesmo deslocamento, esta secção é definida para o primeiro modo por

uma faixa na zona dos deslocamentos máximos que para o caso modal é definida na zona

do ponto mais alto do edifício. A dimensão desta faixa, o comprimento de correlação, é

definida em função da relação do deslocamento máximo modal e a dimensão transversal

do edifício, ;±,»¶� ¸⁄ , o que torna o processo iterativo.



Admitindo uma relação ;±,»¶� ¸⁄ < 0,1, ou seja um deslocamento no topo do edifício

inferior a 23cm tem-se que , , o comprimento de correlação para o primeiro modo é igual

a

,[ = 6. ¸ = 6 ∗ 23 = 138m

Desta forma, c» deve ser calculado em þ[, o centro dessa faixa. A velocidade média em þ[ é

toma o valor de

þ[ = 138 2⁄ + B200 − 138F =131m c»B131-F = 45,02m/s

A velocidade crítica é dada por

c�'&�,& = ¼.M�,�%� = X�∗�,XX

�,[X = 42,17m/s

Como tal a expressão c�'&�,& < 1,25.c» é verificada, sendo por isso necessária a análise de

desprendimento de turbilhões do edifício.

Apesar desta verificação, procura-se aqui explorar o regulamento nesta matéria para

comparação com o método proposto.

9.3.2.1 Deslocamento máximo devido a vibrações transversais

Procedimento 1

.,�²õ¼ = [

%�U ∙ [%� ∙ * ∙ *¬ ∙ "s¶�

67 = X|�»�,�O²T¼U

-&,� = ��&W. ¸. :

"s¶� = �3− 2,4 ∗ «�T��,�«�B[�[»F�*1,1=0.827



Procedimento 1 – EC 1.4

St 0.12 m� 23.04 K 0.118 ��,n�� 0,176 �� 0.60 k �¡ 0.827 ¢o 0.08

De acordo com os valores obtidos, ;±,»¶�=4,14m o que não verifica a hipótese admitida

atrás onde e considerou ;±,»¶� ¸⁄ < 0,1.

Recorrendo a um processo iterativo é possível obter a seguinte tabela de resultados

Procedimento 1 – EC 1.4

St 0.12 m� 23.04 K 0.118 ��,n�� 0,172 �� 0.60 k �¡ 0.720 ¢o 0.08

De notar que para as condições resultantes do processo iterativo, a relação c�'&�,& <1,25.c» continua a ser verificada.

Procedimento 2

De acordo com (Bachman, Ammann, Deischl, & Eisenmann, 1994), ;±,»¶� ¸⁄ pode ser obtido simplificadamente por

;±,»¶� ¸ =⁄ 0.123. 7$ . 16�X ∙ 1

67

Esta expressão conduz aos seguintes resultados

Procedimento recomendado em (Bachman, Ammann, Deischl, & Eisenmann, 1994)

St 0.12 m� 23.04 K - ��,n�� 0,267 �� - k �¡ 0.720 ¢o 0.08



A diferença nestas duas expressões justifica-se pela definição grosseira do parâmetro

* ∙ *¬ que na segunda expressão é aproximado por 0,124. Comparativamente ao método

proposto no EC-1.4, este valor revela-se exagerado para o caso em estudo.

9.3.2.2 Forças de desprendimento dos turbilhões

De acordo com o EC-1.4 pode-se relacionar os deslocamentos anteriormente obtidos como

uma força de inércias relacionada com esse deslocamento por

8ëB4F = -B4F ∙ y2�0&, zX ∙ φ&, B4F ∙ ;±,»¶�

O cálculo desta expressão conduz a uma distribuição de forças horizontais linearmente

dependente da função modal normalizada φ&, B4F assumindo valor máximo no topo da

estrutura.

A resultante máxima das forças horizontais transversais é neste caso (para o

deslocamento máximo obtido de acordo com o Procedimento 1) de 184039 kN.

9.4 Caracterização da acção pela abordagem proposta

9.4.1 Interface Gráfica do Programa e dados de Input

Os dados de input da aplicação desenvolvida são ilustrados na Figura 9-3. A secção

discretizada com uma rotina auxiliar foi previamente importada tal como é visível na

figura. Considerando um comprimento de 0,5m por painel, obteve-se para a secção

23mx23m um total de 183 painéis a considerar no algoritmo descrito no Capítulo 6. Nesta

figura é também apresentada uma vista tridimensional do edifício, meramente ilustrativa

já que na abordagem proposta não se explora ainda a tridimensionalidade do edifício, no

que diz respeito à discretização das suas fachadas como contribuições unitárias para os

graus de liberdade.



Figura 9-3 – Interface gráfica do software desenvolvido para resolução do modelo proposto

9.4.2 Caracterização da acção

Os diagramas seguintes ilustram a variação da componente média com a altura e a

variação da velocidade do vento a diferentes alturas. Estas funções são exemplos das

funções computadas no método proposto.

Figura 9-4 – Variação da velocidade em altura de acordo com EC 1-4 (3s)

26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 460

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

velocidade (m/s)

altura

(m

)



Figura 9-5 – Diagrama ilustrativo de séries de vento aleatórias correlacionadas no espaço a z=0m (a) z=100m (b) e z=200m (c)

Atente-se ao facto deste tipo de amostragem necessitar de ser validado através do cálculo

da correlação entre as séries geradas.

9.4.3 Caracterização da Resposta

Quando simulada a acção caracterizada pelos diagramas Figura 9-4 e Figura 9-5 obtêm-se

os seguintes diagramas no domínio do tempo.

9.4.3.1 Forças e Esforços

0 50 100 150 200 250 30010

20

30

40

Tempo (s)

velo

cid

ade

(m

/s)

0 50 100 150 200 250 30030

35

40

45

50

55

Tempo (s)

velo

cid

ade (

m/s

)

0 50 100 150 200 250 30030

40

50

60

Tempo (s)

velo

cid

ade (

m/s

)

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276

Mo

me

nto

(k

N.m

) x1

0^

6

t(s)Mx na base My na base



Figura 9-6 – Diagramas de esforços na base do edifício ao longo do tempo (a) momentos flectores (b) esforços transversos

9.4.3.2 Deslocamentos e Acelerações

Figura 9-7 – Diagramas de Deslocamentos no topo do edifício (z=200m) ao longo do tempo

Figura 9-8 – Diagramas de Aceleração no topo do edifício (z=200m) ao longo do tempo

Na direcção longitudinal os resultados obtidos, quando comparados com os resultados

regulamentares, revelam-se positivos uma vez que o desvio dos valores de pico registados,

valores estes que para os 300s analisados serão os condicionantes para as combinações

fundamentais, são inferiores a 10%. O mesmo se passa com o valor médio, onde se regista

também um desvio bastante aceitável. Por outro lado, os esforços de corte na base do

edifício, relacionados directamente com o momento pelas leis de equilíbrio dinâmico

apresentam necessariamente variações idênticas.

A sua flutuabilidade no tempo, apresentada também nos mesmos diagramas, está

inevitavelmente ligada à flutuabilidade das séries de vento geradas e também aos

movimentos modais da estrutura, que se recorde têm uma frequência de 0,22Hz nos

modos fundamentais o que resulta num período de aproximadamente 4,54s. A relação

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276

Fo

rça

de

Co

rte

(k

N) x1

0^

3

t(s)Fx na base Fy na base

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276

De

slo

cam

en

to (

cm)

t(s)Ux no topo Uy no topo

-30

-20

-10

0

10

20

30

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276

Ace

lera

ção

l (cm

/s^

2)

t(s)ax no topo ay no topo



entre forças aplicadas (resultantes no esforço de corte a menos das propriedades

dinâmicas do movimento) está directamente relacionada com o quadrado da velocidade

relativa que atinge o edifício em cada instante, o que de resto é evidente nos dois métodos,

tanto os métodos regulamentares no domínio da frequência como no método proposto no

domínio do tempo.

A flutuabilidade dos valores medidos na linha de tempo, resulta assim da turbulência do

escoamento com também de diversos aspectos dinâmicos que se traduz numa

amplificação do esforço médio em cerca de 75% nos métodos regulamentares e cerca de

84% na abordagem proposta. Dado que o comportamento vibracional da estrutura forma

uma curva aproximadamente sinusoidal, então esta grande amplificação de esforços

resulta numa grande amplitude de movimentos, o que se traduz a nível cinemático em

grandes deslocamentos e grandes deformações.

Valores elevados de acelerações estarão na origem das náuseas e mau estar provocado nos

seus ocupantes, como de resto foi referido atrás neste documento. De acordo com os

valores calculados pelos métodos regulamentares e com os valores obtidos com a

abordagem proposta, obtêm-se agora uma diferença de cerca de 40%, com valores de

10,43 mili-g e 7,25 mili-g respectivamente. Neste caso os valores são superiores nos

métodos regulamentares, possivelmente também porque estes métodos são mais

simplistas, alvos de menor estudo e portanto também mais conservativos quando

analisados directamente com uma análise dinâmica.

Os deslocamentos por sua vez relacionam-se com as acelerações pelas habituais relações

diferenciais da dinâmica.

Constata-se deste diagrama que o movimento sinusoidal se dá em torno de uma ordenada

positiva ao contrário do diagrama de acelerações que se desenvolve em torno do zero. Este

facto é justificado por existir também um momento médio sempre actuante na estrutura,

existindo flutuações em torno desse movimento, mas não suficientes para a estrutura

voltar à posição inicial. Já as acelerações, dado o carácter pendulatório do movimento

assumem valores tanto positivos como negativos como de resto seria expectável.

Dos métodos regulamentares consegue-se ainda depreender que a parcela ressonante é

30% superior à parcela da resposta de fundo. Denota-se assim que esta componente


assume um papel bastante importante na contabilização das acções do vento em

estruturas esbeltas como os edifícios altos. Contudo, na expressão do MGLF, tanto a

componente de fundo como a componente ressonante entram na expressão com uma

contribuição quadrática.

No que se refere à análise transversal, os resultados não são tão evidentes. A tentativa de

simular um possível efeito de asa nos edifícios não teve sucesso, isto porque os resultados

a que se chegou comparativamente com a análise longitudinal foram sempre bastante

superiores e sem significado físico. A grande dificuldade na geração de resultados deste

caso concreto prende-se com a verificação das condições do escoamento na esteira do

edifício. Quando se trata de uma asa, é, de facto, fácil definir matematicamente as

condições de Jukowski numa aresta na esteira do edifício. Para o edifício em estudo e para

um escoamento perpendicular à fachada de topo, a definição deste ponto não é acessível

pelo que a verificação da condição se torna bastante complexa.

Por outro lado, o desprendimento de turbilhões é um fenómeno que matematicamente é

descrito com maior facilidade, baseada sobretudo em grandezas experimentais

consultadas nas referências bibliográficas deste trabalho. Assim, a viabilidade destes

resultados é à partida garantida, porém não é possível efectuar comparações directas com

métodos regulamentares já que nas referências consultadas este é um tema ainda pouco

explícito não sendo razoáveis os resultados a comparar.

Figura 9-9 – Valores registados de momentos na base em função da frequência de desprendimento de turbilhões na esteira do edifício

Em relação a esta acção é interessante notar que quando analisado o diagrama numa

escala de frequências de desprendimento de turbilhões (computada na Figura 9-13 como

uma função sinusoidal), o edifício entra em oscilação amplificada – ressonância – para uma

frequência próxima da sua frequência natural. Assim sendo, regista-se nesse ponto a

excitação do primeiro modo como registado na Figura 9-9.

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0,000 0,053 0,104 0,148 0,183 0,207 0,219 0,218 0,203 0,177 0,140 0,094

Mo

me

nto

(k

N.m

) x1

0^

6

fv(Hz)Mx na base My na base

Frequência do primeiro modo (f1)


Figura 9-10 – Valores registados de momentos na base em função da frequência de desprendimento de turbilhões na esteira do edifício

Quando expandida esta escala para uma escala de maior alcance com as frequências de

desprendimento de vórtices a variarem linearmente, pode-se registar também na zona do

1,36Hz a excitação do segundo modo de vibração da estrutura na direcção y – direcção das

forças transversais. Note-se na Figura 9-10 que quando excitado o primeiro modo a

estrutura demora mais tempo a atingir novamente o equilíbrio dinâmico com vibrações

não amplificadas. Por outro lado, regista-se também uma contribuição significativa do

segundo modo, dado que são atingidas amplitudes de vibração, associadas a momentos na

base, superiores às vibrações no primeiro modo. Não obstante, a probabilidade desta

excitação ocorrer é bastante inferior para a acção considerada – o vento.

Em certos casos, quando os primeiros modos de vibração se encontrarem bastante

próximos, o que não se verifica nesta estrutura, poderá ocorrer uma excitação acoplada

por acção do vento de mais do que um modo vibracional.

Note-se ainda que a diferença entre resultados obtidos pelos métodos regulamentares e

pela abordagem proposta poderão também ser influenciados pela disparidade dos

parâmetros de rigidez e amortecimento considerados em ambos os casos. Por um lado, a

definição destes valores no caso dos métodos regulamentares é feito com base em tabelas

pré-definidas de forma simplificada ao contrário do segundo caso em que estes

parâmetros estão associados à modelação da estrutura no ambiente do programa de

cálculo utilizado. Note-se que a ordem de grandeza das variações detectadas entre o

método regulamentar e o método proposto é semelhante às diferenças verificadas quando

comparados métodos regulamentares diferentes (Zhou, Kijewski, & Kareem, Along-Wind

Load Effects on Tall Buildings: Comparative Study of Major International Codes and

Standards, 2002).

-2,5-2

-1,5

-1-0,5

0

0,51

1,5

22,5

0,000 0,167 0,333 0,500 0,667 0,833 1,000 1,167 1,333 1,500 1,667 1,833

Mo

me

nto

(k

N.m

) x1

0^

6

t(s)Mx na base My na base

Frequência do primeiro modo em y (f1) Frequência do segundo modo em y (f2)



A título ilustrativo aplicam-se as expressões aproximadas para pré-dimensionamento das

propriedades óptimas para um sistema de amortecimento “Tuned Mass Damper”, incluídas

em 7.4.

De acordo com a Tabela 9-2, a massa modal do primeiro modo é 61,9% da massa vibrante

o que corresponde a 13140 Ton. Considerando um amortecedor de 100 Ton, obtém-se um

rácio de 0,76%, de acordo com o seguinte cálculo

£ = 10013140 = 0,0076

Posto isto, da aplicação directa das expressões (7.15) e (7.16) obtém-se os seguintes

resultados

r�� = ��[

= 0.994 $v¤v./¥U¦§§§§ �� = 1.373 rad/s

�� = 0.0218

Considerando agora um amortecedor com 200 Ton vem que

£ = 0,0152 r�� = $��$v= 0.988 $v¤v./¥U

¦§§§§ �� = 1.366 rad/s �� = 0.0307

Destas expressões pode-se verificar que sobretudo a frequência óptima é um parâmetro

com uma variação muito subtil devendo como tal ser calculado com bastante precisão.

Note-se também que o valor da frequência óptima para o sistema de amortecimento é um

valor bastante próximo da frequência fundamental.

Figura 9-11 – Variação da frequência óptima de vibração e do rácio de amortecimento do TMD em função da massa do TMD

1,3

1,31

1,32

1,33

1,34

1,35

1,36

1,37

1,38

1,39

1 10 100 1000

ωω ωωo

pt

ra

d/s

m damper (Ton)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

1 10 100 1000

ξξ ξξ opt

m damper (Ton)



Da computação destas expressões num domínio de 1 Ton a 1000 Ton, obtém-se os

seguintes gráficos. Este gráficos permitem verificar que os parâmetros variam

inversamente, num domínio sensível como referido atrás. Note-se que quando a massa

decresce para zero, a frequência óptima aproxima-se rapidamente da frequência

fundamental da estrutura.

9.5 Variação da geometria

A computação de uma secção alternativa à secção do caso de estudo, neste caso uma

secção com iguais dimensões exteriores mas com cantos arredondados com um raio de 5m

conduz à obtenção dos diagramas da Figura 9-13.

Figura 9-12 – Ilustração da alteração à secção: arredondamento dos cantos

Como resultado da alteração geométrica efectuada, é previsível que se obtenham acções e

respostas inferiores às obtidas anteriormente. Analisando como exemplo o diagrama

apresentado referente aos momentos na base (já que como já se viu, as restantes

grandezas estão invariavelmente associadas a esta), verifica-se que, pontualmente, os

resultados atingem máximos idênticos.

Por um lado, os valores médios de cada diagrama praticamente coincidem, por outro, o

diagrama para a secção alterada é um diagrama com menores amplitudes e portanto com

menores oscilações. Este parâmetro é bem traduzido pelo desvio padrão da amostra.

Comparativamente para os dois diagramas obtém-se 339805 kN.m para 304490 kN.m,

para a secção original e a secção modificada, respectivamente. Desta forma, trata-se de

uma diminuição de cerca de 11%.

Secção Original Secção Modificada



Figura 9-13 – Comparação dos momentos na base do edifício, por efeito das forças longitudinais para a secção quadrada e uma secção idêntica de cantos arredondados.

Por outro lado a susceptibilidade à formação e libertação de turbilhões na esteira do

edifício também pode ser medida através do momento na base perpendicular ao anterior.

No entanto, para abordagem proposta, estas alterações seriam medidas pelo parâmetro

experimental adoptado para o “Coeficiente de Lift”, "$.Tal facto leva a que não seja aqui

apresentada essa situação, primeiro porque o valor característico para esse coeficiente

teria de ser analisado para a secção alterada e por outro lado, porque, mesmo sendo

conhecido este parâmetro, os resultados obtidos seriam expectáveis.

9.6 Alguns Exemplos de Edifícios Existentes

9.6.1 Burj Dubai

O edifício Burj Dubai, actualmente em construção, contará com mais de 700m de altura. A

sua dimensão, ultrapassa o domínio dos edifícios objectos de estudo neste documento,

contudo representa um excelente exemplo de aplicação de engenharia de vento. Durante o

seu dimensionamento foram efectuados estudo iterativos intensivos. Dada a complexidade

e dimensão do edifício, estes estudos foram desenvolvidos sobretudo em túnel de vento,

onde o edifício representado à escala 1:150 foi amplamente estudado.

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

1 26 51 76 101 126 151 176 201 226 251 276

Mo

me

nto

(k

N.m

) x1

0^

6

t(s)My quadrado My quadrado arredondado



Figura 9-14 – Torre Burj Dubai (a) Modelo de estudo em túnel de vento (b) Fotomontagem do edifício

Durante a fase de concepção, foram implementadas análises de HFBB que permitiram

através da análise acção-resposta diminuir significativamente os esforços na estrutura,

redireccionando os eixos geométricos da estrutura e optimizando a sua forma em planta,

variável em altura, de acordo com os ventos predominantes característicos do microclima

local (Irwin, Developing Wind Engineering Techniques to Optimize Design and Reduce

Risk, 2005).

A forma do edifício é baseada numa planta local, aproximando-se a sua planta a grupos de

formas idênticas a asas, terminando em pontos de esteira angulosos na direcção da maior

acção. As análises finais deste processo iterativo, permitiram concluir a susceptibilidade

da estrutura aos mais altos modos de vibração bem como refinar as grandezas estocásticas

características da sua resposta.

A descrição do vento na camada limite foi efectuada com recurso a um conjunto de dados

passados obtidos em estruturas existentes, posteriormente regenerados por algoritmos

matemáticos .

Em particular, o efeito das vibrações estruturais nos seus ocupantes foram tidos em conta

nos testes HFBB combinados como dados estatísticos do vento local, tendo sido previstas

acelerações de pico com períodos de retorno de 1 a 10 anos nas mais altas fracções

residenciais. Os testes iniciais indicaram valores de 37 mili-g, bastante superiores aos

valores recomendados pelos regulamentos. Contudo, como resultado da optimização


direccional, da geometria e das propriedades mecânicas do edifício atingiu-se uma

redução de quase 50% deste valor, 19 mili-g, atingindo-se assim um valor claramente

admissível.

9.6.2 Taipei 101

A torre Taipei 101 representa também um fantástico exemplo da aplicação da engenharia

dinâmica e do vento.

Figura 9-15 – Torre Taipei 101 (a) Modelo de estudo em túnel de vento (b) Fotografia do edifício

Neste exemplo, particularmente, a introdução de pequenas alterações na forma da secção

revela a grande influência que este tipo de acção pode induzir os edifícios altos. Como

resultado das diversas análises efectuadas durante a concepção geométrica do edifício,

obteve-se uma redução de 25% do momento na base do edifício sob acção do vento. Este

benefício foi obtido introduzindo pequenas variações nos cantos do edifício, aligeirando o

contorno do vento nas zonas de pressões máximas (no plano da secção do edifício).

Figura 9-16 – Ilustração da optimização da secção transversal do edifício para efeitos do vento

Secção Original Secção Optimizada



As análises em túnel de vento revelaram também que os pisos mais elevados do edifício

seriam expostos a vibrações excessivas. A introdução de um TMD de 600 toneladas como

ilustrado na Figura 9-17 permitiu corrigir este fenómeno.

Figura 9-17 – Ilustração do TMD aplicado nos pisos superiores do Taipei 101



Capítulo 10

CONCLUSÕES

A acção do vento em edifícios altos tem sido estudada nas últimas décadas por diversos

investigadores. Como consequência, têm surgido resultados e modelos importantes com

aplicação prática no domínio do projecto.

Esta acção é geralmente muito complexa e de difícil descrição. O máximo carregamento a

que uma estrutura está sujeita durante o seu período de vida útil e as sensações que os

seus movimentos podem provocar nos seus ocupantes, dependem das propriedades

estatísticas da velocidade do vento, direcção e local, da forma da estrutura, orientação,

bem como da rugosidade ou topografia do terreno, além das características dinâmicas do

edifício ou mesmo da interferência dos edifícios vizinhos.

A descrição matemática deste fenómeno exige consoante o objectivo do estudo, a adopção

de várias hipóteses simplificativas quer nas teorias de mecânica de fluidos quer na

dinâmica estrutural. Estas duas ciências não são dissociáveis no domínio dos edifícios

altos. A esbelteza e vulnerabilidade destes edifícios a cargas horizontais originam

fenómenos aerodinâmicos e aeroelásticos.

A necessidade de prever o comportamento de uma estrutura alta sujeita à acção do vento

tem conduzido ao desenvolvimento de vários métodos e ferramentas de análise. Umas

caracterizadas por rapidez, outras por qualidade nos resultados, outras ainda pela

flexibilidade e acessibilidade com que podem ser utilizadas obrigam a um conhecimento

no mínimo genérico das potencialidades de cada uma, já que raramente são substituíveis

devendo complementar-se em todo o percurso de projecto de um edifício. Por isto, e não

obstante da utilização dos métodos e ferramentas abordadas, revela-se de facto

interessante no panorama de estudo prévio, possuir uma ferramenta que auxilie a

definição das propriedades geométricas e dinâmicas de um edifício.

Capítulo 10 – Conclusões


A complexidade dos fenómenos e da descrição matemática das flutuações e interacções

acção-resposta limita geralmente grande parte das abordagens. Por isto, todas as

abordagens devem ser assentes num conjunto de postulados concretos e cientes das suas

limitações. Neste contexto, a introdução de conceitos e teorias já largamente estudados no

domínio da aerodinâmica de asas revela-se interessante. As hipóteses simplificativas e o

comportamento bem caracterizado da acção do vento em torno das asas deve ser tido em

conta quando adoptado na análise em edifícios.

Além desta análise é necessário introduzir outros fenómenos característicos unicamente

de “bluff-bodies” e da escala dos edifícios. As teorias da libertação de turbilhões e efeitos

da viscosidade visam complementar as teorias iniciais dos campos potenciais e

irrotacionais, característicos dos métodos de painéis de análise em asas.

Os principais regulamentos internacionais apresentam abordagens bastante idênticas,

com base nos métodos mais vulgares para descrição matemática da acção do vento e

resposta do edifício na direcção do escoamento. Os métodos dos factores de rajada são as

ferramentas mais vulgares e acessíveis para predição da interacção do escoamento com o

edifício. A sua aplicação nos regulamentos diverge nos factores de caracterização da

velocidade média, espectro e intensidade de turbulência adoptados por cada código. A

divergência nos valores obtidos da aplicação de cada regulamento é considerável, na

ordem dos 20%. É por isso importante perceber a origem destes valores e definir

parâmetros equivalentes nos vários códigos, já que poderão existir consequências

estruturais, de conforto ou mesmo financeiras.

A direcção perpendicular à acção de vento e a torção dos edifícios não se encontra ainda

bem descrita por estes métodos. Neste aspecto, ferramentas como o túnel de vento

revelam-se mais fiáveis. Contudo, existem já algumas abordagens desenvolvidas. Estas

abordagens pecam geralmente na flexibilidade da sua aplicação, uma vez que estão

geralmente associadas a formas de secções ou dependentes de resultados experimentais.

Nesta direcção os fenómenos revelam-se muito mais complexos e as teorias de bandas

utilizadas na direcção do vento perdem a validade. O Eurocode 1: Actions on structures -

Part 1-4: General actions -Wind actions apresenta por exemplo algumas expressões para

quantificação de alguns dos fenómenos na direcção perpendicular do vento.



Da acção do vento sobre um edifício, resultam geralmente condicionantes em serviço de

grande importância no projecto. As vibrações estruturais que se desenvolvem

principalmente nas duas direcções principais devem ser analisadas nas suas três

principais grandezas, deslocamentos, velocidades e acelerações. Se o deslocamento

assume especial importância para a avaliação da deformabilidade dos materiais utilizados

nos edifícios, a velocidade e acelerações assumem geralmente grande preponderância no

conforto dos seus ocupantes. Vários métodos geralmente gráficos e limites admissíveis

têm sido propostos nos últimos anos. Alguns regulamentos apresentam algumas linhas de

cálculos auxiliares com base nesses modelos.

Apesar da abordagem bastante simplificativa e preliminar, o modelo de simulação

proposto apresenta boa concordância com os valores referidos nas referências

bibliográficas revelando-se uma ferramenta útil. Esta permite facilmente introduzir

alterações geométricas e dinâmicas de forma acessível, não exigindo conhecimentos de

maior na área. Contudo, a simplicidade da abordagem exige que o utilizador esteja

consciente das suas limitações.

O método dos painéis é um método bastante poderoso na mecânica de fluidos na área da

aeronáutica e desde que bem justificado e analisado convenientemente resulta numa

ferramenta bastante interessante no domínio da engenharia civil, neste caso no domínio

dos edifícios altos. Os resultados revelaram-se assim animadores apesar de ainda exigirem

um longo trabalho para construção de uma base matemática mais sólida. Como

consequência da sua simplicidade, deixa-se em aberto um longo percurso de investigação

com o objectivo de desenvolver esta ferramenta, dotando-a de maior precisão e

englobando novas teorias na descrição dos fenómenos.

A análise no domínio do tempo, apesar de matematicamente não acrescentar nada de

novo, isto porque a sua ligação ao domínio da frequência encontra-se claramente

desvendada nas referências matemáticas de análise de sinais, é importante por permitir

uma análise acima de tudo mais intuitiva. Por outro lado, recorde-se que recorrendo a um

programa de cálculo largamente utilizado no meio e com uma interface acessível concede

ao analista algum à vontade na análise feita. Com recurso a este programa, o analista tem a

possibilidade de aplicar as mais diversas opções estruturais no modelo sem com isso

condicionar a análise feita com a abordagem proposta, posteriormente interligada pela

interface desenvolvida.

Capítulo 10 – Conclusões


Com este trabalho encerra-se um ciclo onde se formou um conjunto de informação acima

de tudo básica para a Engenharia do Vento, concretamente na sua interacção com os

edifícios altos. Esta informação é essencial para futuras análises e desenvolvimentos na

área.

A ferramenta destinada ao apoio ao projecto em fase de concepção que se procurou aqui

inicial revela-se promissora num futuro próximo.

A título ilustrativo enumeram-se um conjunto de possíveis objectivos de estudo no futuro:

• Desenvolvimento do modelo de cálculo, procurando descrever o escoamento em

torno do edifício através de funções matemáticas mais completas, englobando por

exemplo os efeitos da viscosidade do ar em contacto com a superfície do edifício;

• Desenvolvimento de um modelo matemático para predição do efeito de asa nos

edifícios, englobando este fenómeno com as oscilações introduzidas pelo efeito do

desprendimento de vórtices na esteira do edifício.

• Análise da influência da variabilidade do vento em torno do edifício de acordo com

um diagrama de ventos predominantes;

• Análise de efeitos locais do vento em torno do edifício, i.e. os seus efeitos sobre o

revestimento bem como o ruído provocado pelo vento nos pisos mais elevados e

sujeitos a maiores velocidades;

• Introdução no modelo de cálculo a modelação e optimização de sistemas de

amortecimento enumerados neste documento;

• Desenvolvimento da interface do programa, introduzindo um modelo

tridimensional à semelhança dos modelos de CFD, sem nunca esquecer o âmbito

da análise pretendida com esta ferramenta;

• Comparar os resultados obtidos com modelos experimentais em túnel de vento,

variando geometrias e alturas de edifícios, procurando consolidar um conjunto de

dados que permita o desenvolvimento de trabalhos e análises futuras.



Capítulo 11

REFERÊNCIAS

⋅ (s.d.). Obtido de http://www.wikipedia.org

⋅ Andersson, J. D. (1991). Fundamentals of Aerodynamics. McGraw-Hill.

⋅ Aurelius, L., Holmes, J., & Rofail, A. (2003). High Frequency base balance

methodologies for tall buildings with torsional and coupled resonant mods. 11th

Internacional Conference on Wind Eng. Texas.

⋅ Bachman, H., Ammann, W. J., Deischl, F., & Eisenmann, J. (1994). Vibration Problems

in Structures - Practical guidelines. Birkhäuser.

⋅ Bierbooms, W. Simulation of stochastic wind fields which encompass measured wind

speed series. The Netherlands: Wind Energy Research Group.

⋅ Boggs, D. (1995). Acceleration Indexes for Human Comfort in Tall Buildings - Peak

or RMS? Cermark Peterka Peterson, Inc.

⋅ Boggs, D., Denoon, R., & Wright, B. (2005). Wind Engineering for the Las Vegas

Stratosphere Tower. The sixth Asia-Pacific Conference on Wind Eng. (APCWE-VII).

Korea.

⋅ Brown, D., Kareem, A., & Kijewski, T. (s.d.). Identification of Dynamic Properties of

a Tall Building from Full-Scale Response Measurements.

⋅ Bulletin D'Information N 209 - Vibration Problems in Structures. Comite

International du Beton.

⋅ Bulletin D'Information Nº209 - Vibration Problemas in Structures. Comite Euro-

International du Beton.

⋅ Chen, X., & Kareem, A. Equivalent Static Wind Loading on Buildings: A New

Prespective. NatHaz.

⋅ Chen, X., & Kareem, A. (2004). Equivalent Static Wind Loads on Buildings: New

Model. Journal of Structural Eng., ASCE .

Capítulo 11 – Referências


⋅ Clough, R. W., & Penzien, J. (1993). Dynamics of Structures. McGraw-Hill.

⋅ Cochran, L. State of the Art Review of Wind Tunnels and Physical Modeling to

Obtain Structural Loads and Cladding Pressures. Architectural Science Review. USA.

⋅ Cochran, L. (2007). State of the Art Review of Wind Tunnels and Physical Modelling

to Obtain Structural Loads and Cladding Pressures. Architectural Science Review.

⋅ Datta, T. (2003). A state-of-the-art review on active control of structures. ISET

Journal of Earthwuake Technology , 1-17.

⋅ Davenport, A. G. (1967). "Gust loading factors". J. Struct. Div. , 11-34.

⋅ Duflot, P., McNamara, R. J., & Taylor, D. P. (s.d.). Fluid Viscous Dampers to Reduce

Wind-induced vibrations in Tall Buildings.

⋅ Easom, G. (2000). Improved Turbulence Models for Computational Wind

Engineering. Thesis submitted to the University of Notthingham .

⋅ Eisele, J., & Kloft, E. (2002). High-Rise Manual. Birkhauser.

⋅ Gioffrè, M., Minciarelli, F., & Simiu, E. (2001). Estimates of Extreme Wind Effects

and Wind Load Factors Influence of Knowledge Uncertainties. Probabilistic Eng.

Mechanics, Vol. 16 .

⋅ Gionsan, I. (2002). Vortex Shedding Induced Loads on Free Standing Structures.

⋅ Gu, M., Kareem, A., & Zhou, Y. (s.d.). Equivalent Static Buffeting Wind Loads on

Structures.

⋅ Gu, M., Kareem, A., & Zhou, Y. (s.d.). Gust Loading Factors for Design Applications.

⋅ Gu, M., Kareem, A., & Zhou, Y. Stochastic Wind-Excited Response for Tall Buildings:

Influence of Mode Shapes. 8th ASCE Speciality Conference on Probabilistic

Mechanics and Structure Reliability.

⋅ Gu, M., Xiang, H., & Zhou, Y. Alongwind Static Equivalent Wind Loads and

Responses of Tall Buildings. Part I: Unfavorable Distributions of Static Wind Loads.

Key Lab. for Disaster Reduction in Civil Eng., Dept. of Bridge Eng. Shangai.

⋅ Gurley, K., Kareem, A., & Tognarelli, M. A. Analysis and Simulation Tools for Wind

Engineering . Notre Dame: Dpt. of Civil Eng. and Geological Sciences.



⋅ Ho, P. H. (2007). Eonomics Planning of Super Tall Buildings in Asia Pacific Cities.

Hong Kong: Strategic Integration of Surveying Services.

⋅ Holmes, J. D. Wind loading and structural response - Lectures.

⋅ Holmes, J. D. (2007). Wind Loading of Structures.

⋅ Holmes, J., Rofail, A., & Aurelius, L. (2003). High frequency base balance

methodologies for tall buildings with torsional and coupled resonant modes. 11th

International Conference on Wind Engineering. Texas.

⋅ Homicz, G. F. (1991). Numerical Simulation of VAWT Stochastic Aerodynamic Loads

Produced by Atmospheric Turbulence: VAWT-SAL Code. New Mexico: Sandia Report.

⋅ Hu, X. (2006). Wind Loading Effects and Equivalent Static - Wind Loading on Low-

Rise Buildings.

⋅ Irwin, P. A. (2005). Developing Wind Engineering Techniques to Optimize Design

and Reduce Risk.

⋅ Irwin, P. A., & Baker, W. F. (2006). The Burj Dubai Tower, Wind Engineering.

Structure Magazine .

⋅ Jayachandran, P. (2003). Design of Tall Buildings, Preliminary Design and

Optimization. International Conference on Tall Buildings and Industrial Structures.

India.

⋅ Jayachandran, P. (2004). Tall Buildings - Design and Behaviour. Massachusetts: Dpt.

of Civil Eng. and Environmental Eng.

⋅ Kaperski, M. (1992). Extreme wind load distributions for linear and nonlinear

design. Eng. Struc. , 27-34.

⋅ Kareem, A. A Tribute to Jack E. Cermak - Wind Effects on Structures: A Reflection on

the Past and Outlook for the Future.

⋅ Kareem, A., & Kwon, D.-K. (2007). Gust-front factor: A New Framework for the

Analysis of Wind Load in Gust-fronts. 12th Internacional Conference on Wind Eng.

Australia.

⋅ Kareem, A., & Zhou, Y. Areodynamic Admittance Function of Tall Buildings.

⋅ Kareem, A., & Zhou, Y. (2001). Gust Loading Factor: New Model. Journal of

Structural Engineering .



⋅ Kareem, A., Kijewski, T., & Kwon, D.-K. E-Analysis of High-Rise Buildings Subjected

to Wind Loads.

⋅ Kareem, A., Kijewski, T., & Yukio, T. (2004). Mitigation of Motions of Tall Buildings

with Specific Examples of Recent Applications. ???

⋅ Kareem, A., Kijewski, T., & Zhou, Y. Aerodynamic Loads On Tall Buildings:

Interactive Database. ASCE.

⋅ Kareem, A., Kijweski, T., & Tamura, Y. Mitigation of Motions of Tall Buildings with

Specific Examples of Recent Applications.

⋅ Katz, J., & Plotkin, A. (2001). Low-Speed Aerodynamics. Cambridge.

⋅ Kilpatrick, J. (1996). The Influence of Wind-Induced Motions on the Performance

of Tall Buildings.

⋅ Kwok, K. (2007). Behaviour of Tall Buildings in Strong Winds. Global Chinese Wind

Eng. Forum Tamkang University , Taipei.

⋅ Li, Q., Cao, H., Li, G., Li, S., & Liu, D. (1999). Optimal design of wind-induced

vibration control of tall buildings and high-rise structures. Wind and Structures ,

69-83.

⋅ Liang, S., Zhang, L., Gu, M., & Liu, S. (2003). Torsional dynamic wind loads on

rectangular tall buildings. Science Direct .

⋅ Mathew, S. (2006). Wind energy - Fundamentals, Resource Analysis and Economics.

Springer-Verlag.

⋅ Mendes, P. (1995). Geração de Amostrar de Processos Através da Sobreposição de

Harmónicas, Aplicação a Séries de Velocidade do Vento. IC/IST.

⋅ Mendis, P., Ngo, T., Haritos, N., & Hira, A. (2007). Wind Loading on Tall Buildings.

eJSE .

⋅ Morais, V., & Vieira, C. (2006). Matlab 7&6 - Curso completo. FCA.

⋅ Natural Hazard Laboratory - Web. (s.d.). Obtido de www.nd.edu/~nathaz

⋅ Nepf, H. (2002). Transport Processes in the Environment. MIT.

⋅ Oliveira, L., & Lopes, A. G. (2007). Mecânica dos Fluidos. ETEP.



⋅ Panofsky, H., & Dutton, J. (1984). Atmospheric Turbulence. New York: John Wiley &

Sons.

⋅ Pinheiro, M. A. (2004). Vibrações aeroelásticas em Torres Esbeltas. Rio de Janeiro:

COPPE/UFRJ.

⋅ Qiusheng, L., Cao, H., Li, G., Li, S., & Liu, D. (1999). Optimal design of wind-induced

vibration control of tall building and high-rise structures. Wind and Structures, Vol.

2, No.1.

⋅ Radulescu, G.-M., & Radulescu, C.-M. (2005). Tall Structures Behaviour Under the

Action of Irregular Heat of the Wind of Cumulated Loadings. Deformation

Measurment and Analysis .

⋅ Sain, M. K., & Spencer, B. F. (1997). Controlling Buildings: A New Frontier in

Feedback. IEEE Control Systems Magazine on Emerging Technology, vol. 17 .

⋅ Saraiva, J. A., & Silva, J. M. (2004). A Interacção do Vento com Grandes Estruturas.

Lisboa.

⋅ Saraiva, J. A., Silva, F. V., & Silva, F. A. (2005). Condições Climáticas e Anos Típicos.

ENCAC - ELACAC .

⋅ Saraiva, J., & Silva, V. M. (s.d.). A interacção do vento com grandes estruturas.

⋅ Silva, F. M., & Saraiva, J. G. Natural Ventilation Air Change Rates Considering

Atmospheric Turbulence. Lisboa.

⋅ Simiu, E. (2002). Meteorological Extremes. National Institute of Standards and

Technology.

⋅ Simiu, E., & Miyata, T. (2006). Design of buildings and Bridges for Wind. John Wiley

& Sons.

⋅ Simiu, E., & Scanlan, R. H. (1996). Wind Effects on Structures. John Wiley & Sons,

Inc.

⋅ Thepmongkorn, S., & Kwok, K. (1998). Wind-induced coupled translational-

torsional motion of tall buildings. Wind and Structures , 43-57.

⋅ Trusca, N. (2005). Structural Aspects for Tall Buildings. IST.



⋅ Warburton, G. B. (1982). Optimal absorber parameters for various combinations of

response and excitation parameter. Earthquake Engineering and Structural

Dynamics , 381-400.

⋅ Welter, G. (2006). A hipótese da turbulência isotrópica e a universalidade da

constante de kolmogorov. Brasil: Universidade Federal de Santa Maria.

⋅ Welter, G. S. (2006). A Hipótese de Turbulência localmente isotrópica e a

universalidade da constante de Kolmogorov. Dissertação sobre Área de

Concentração em áreas clássicas da fenomologia e suas aplicações, Brasil .

⋅ Xinzhong, C., & Kareem, A. Equivalent Static Wind Loading on Buildings: A New

Prespective. NatHaz.

⋅ Zhou, Y., & Kareem, A. (s.d.). Aerodynamic Admittance Function of Tall Buildings.

⋅ Zhou, Y., Gu, M., & Xiang, H. (s.d.). Along-wind Static Equivalent Wind Loads and

Responses of Tall Buildings. Part II:Effects of Mode Shapes.

⋅ Zhou, Y., Kareem, A., & Gu, M. (s.d.). Gust loading factors for design applications.

⋅ Zhou, Y., Kijewski, T., & Kareem, A. (2002). Along-Wind Load Effects on Tall

Buildings: Comparative Study of Major International Codes and Standards. Journal

of Structural Engineering .

I

ANEXOS

A.1 Resposta de Sistemas Estruturais a Acções Periódicas

Resposta de um sistema pontual a uma acção harmónica

Considere-se um sistema de um grau de liberdade sujeito a uma acção harmónica do tipo

L = L� sin �g� (A. 1)

A equação de movimento de um sistema sujeito à força P é habitualmente expressa na

forma

-�� + 7�/ + )� = L� sin �g� (A. 2)

A resolução da equação diferencial (A. 2) conduz à combinação de uma solução

complementar e uma solução particular.

A solução complementar c�B�F que contempla a resposta do sistema livre amortecido e a

solução partircular c�B�F são descritas por

c�B�F = ½� cos �¹� + à sin �¹�¾3�æ©� (A. 3) c�B�F = ([ cos �¹� + (X sin �¹� (A. 4)

A introdução da equação c�B�F = ([ cos �¹� + (X sin �¹� na equação geral do

movimento resulta num sistema de duas equações que apresentam as seguintes soluções

para as constantes ([ e (X

([ = #�} £ �Xæå

B[�åUFUíBXæåFU¦ (A. 5)

(X = #�} £ [�åU

B[�åUFUíBXæåFU¦ (A. 6)

em que = �g �.⁄

Com estes resultados, pode-se agora escrever a expressão resultante da combinação das

duas soluções. A resposta total é assim definida por

cB�F = ½� cos �¹� + à sin �¹�¾

Dos dois termos que compõe a

(A. 7), o termo da direita tem especial interesse já que se prolonga indefinidamente

ao longo do tempo, enquanto o termo da esquerda é rapidamente amortecido pela função

exponencial.

O termo da direita é habitualmente design

harmonic response” e pode ser decomposta nas parcelas reais e imaginárias resulta a

parte real num vector de amplitude

� = #�} £ [

B[�åUFUíBXæåFU¦[/X

O rácio entre a resultante da resposta

factor de amplificação, definida então pela seguinte igualdade

ç¶ = O#�/} = ½B1 − XFX + B2�F

Figura A.

se agora escrever a expressão resultante da combinação das

duas soluções. A resposta total é assim definida por:

¾3�æ©� + #�} £ [

B[�åUFUíBXæåFU¦ ½B1 − XF sin �g� − 2�

, o termo da direita tem especial interesse já que se prolonga indefinidamente


O termo da direita é habitualmente designado de Resposta harmónica,”Stead


parte real num vector de amplitude

O rácio entre a resultante da resposta harmónica com a resposta estática é denominado

factor de amplificação, definida então pela seguinte igualdade

B FX¾�[/X

Figura A. 1 – Função de amplificação dinâmica

se agora escrever a expressão resultante da combinação das

� cos �g�

(A. 7)

, o termo da direita tem especial interesse já que se prolonga indefinidamente


ado de Resposta harmónica,”Stead-state


(A. 8)

harmónica com a resposta estática é denominado de

(A. 9)

III

A variação deste factor é ilustrada na Figura A. 1, onde se verifica que ç¶ é naturalmente

função de e do coeficiente de amortecimento. De notar que as curvas representativas

atingem picos para = 1, fenómeno o qual é denominado de ressonância. É interessante

reparar que a ocorrência deste fenómeno perde importância para estruturas com maior

amortecimento.

Por vezes é conveniente obter estas expressões na forma exponencial. Como se a

representação harmónica no domínio dos complexos é bastante conveniente a nível de

análise matemática. A forma exponencial da equação de movimento para a resposta cB�F é

dada por

cB�F� + 2��cB�F/ + �XcB�F = #�» 3&B$g �íªF (A. 10)

A resposta particular será desta forma dada por c�B�F = �3&B$g ��ªF (A. 11)

De notar que � assume igual expressão já que não depende da representação harmónica

ou exponencial da acção sobre o sistema.

Resposta de um sistema pontual a uma acção periódica

Como uma acção periódica pode ser descrita como a sobreposição de um número finito de

harmónicas, no fundo a resposta de um sistema pontual é dada analogamente à resposta

descrita no ponto anterior.

Assim para uma acção definida por

LB�F = 9� + ∑ 9M cos �gM� +mMc[ ∑ ¸M sin �gM�mMc[ (A. 12)

a resposta total amortecida é dada por

cB�F = [} �9� + ∑ £ [

B[�åUFUíBXæåFU¦mMc[ × n½2�9MM + ¸MB1 − MFX¾ sin �gM� + ½9MB1 − MFX −2�¸MM¾ cos �gM�o� (A. 13)

IV

No caso de a função periódica ser escrita por meio de funções exponenciais é corrente

escrever-se a seguinte igualdade para a expressão da resposta total amortecida

cB�F = ·MLM3&$g«� (A. 14 )

em que as funções · e L referentes à n-ésima função são definidas pelas seguintes

expressões

·M = [} Y [

y[�å«Uzí&BXæå«FZ (A. 15)

LM = [Ò ∑ +B�»F3��&U¬«� �Ò�[»c[ (A. 16)

Resposta de um sistema de um grau de liberdade generalizado

Esta é a definição dinâmica mais corrente para analisar um edifício alto. Na generalidade,

um edifício deste género é uma estrutura muito esbelta que se deforma continuamente ao

longo de uma linha em princípio curva, passível de uma descrição matemática por meio de

uma função de uma só variável.

Figura A. 2 - Estrutura em consola tratada com um grau de liberdade generalizado

Este tipo de análise é efectuado contemplando uma distribuição de flexibilidade da

estrutura.

Considere-se uma estrutura esbelta, aproximada por uma consulta vertical bastante

esbelta, com uma relação geométrica de por exemplo h/b=10.

Z(t)

H

v(x,t)

m(x)

EI(x)

V

A deformada imposta por uma acção horizontal pode ser descrita por um único grau de

liberdade já que a estrutura se deforma com um comportamento contínuo. A função que

traduz esse andamento é designada por função de forma, ®B�F, e tem um papel

fundamental na acção do vento em edifícios altos.

cB�, �F = �B�F¯B�F (A. 17)

Para um sistema definido desta forma é corrente formular-se as equações do movimento

por equilíbrio de energias. Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais chega-se a uma

expressão em tudo idêntica à equação do movimento até aqui descrita, no entanto, os

parâmetros com igual significado físico têm uma formulação diferente em virtude do novo

conceito de grau de liberdade.

-∗ �B�F + 7∗ / B�F + )∗¯B�F = +∗B�F (A. 18)

Definida a equação do movimento em função das coordenadas generalizadas no domínio

do tempo, torna-se necessário definir as expressões de massa, amortecimento e rigidez

generalizadas. De acordo com a expressão cB�, �F = � �¯(�F a função de forma deverá

estar incluída na equação do movimento. Esta função é englobada nos termos de massa

generalizada -∗,amortecimento generalizado 7∗ e rigidez generalizada )∗.

-∗ = � -B�F�B�FX:�µ� (A. 19)

7∗ = 9[ � üªB�F�′′B�FX:�µ� (A. 20)

)∗ = � üªB�F�′′B�FX:�µ� (A. 21)

Note-se que o termo da rigidez pode combinar duas parcelas caso seja necessário.

Habitualmente quando se fala de rigidez de um sistema refere-se à rigidez de flexão. Em

todo o caso, a esta rigidez deverá ser subtraída uma parcela relativa às acções normais ao

edifício que estão associadas à instabilidade do mesmo.

Posto isto, o termo da rigidez )∗ deverá ser substituído por um termo )b∗ que se relaciona

com o primeiro por meio das seguintes expressões

)b∗ = )∗ − ){∗ (A. 22)

VI

){∗ = K � �′B�F:�µ� (A. 23)

O termo ){∗ denomina-se rigidez geométrica generalizada. Quanto este termo for igual à

rigidez de flexão e se anular a rigidez resultante )b∗ atinge-se K�'.

Resta, por fim, notar que apesar dos parâmetros descritos serem definidos na forma

integral da função de forma �B�F, podem existir singularidades na estrutura como por

exemplo sistemas de amortecimento, que deverão ser contabilizados em parcelas

discretas.

A título justificativo, por exemplo no caso referido atrás dever-se-ia introduzir no termo

de amortecimento generalizado uma parcela semelhante a

7Á = ∑ 7& �&B�FX (A. 24)

Resposta de um sistema com n graus de liberdade

A generalização das propriedades demonstradas nos pontos anteriores para sistemas

pontuais a sistemas compostos por N graus de liberdade é, em regra, correcta.

A sobreposição de efeitos é de grande utilidade na resolução deste problema.. A validade

da sobreposição de ondas harmónicas características das acções periódicas estende-se

agora à sobreposição de efeitos sobre os graus de liberdade. Na realidade é possível

compreender o conjunto de efeitos como a sobreposição dos efeitos exercidos em cada um

dos graus de liberdade.

Se no grau de liberdade F actuar uma força variável no tempo + B�F, a resposta em i pode

ser obtida sobrepondo os efeitos de um conjunto de impulsos na forma do integral de

Duhammel. A expressão geral da resposta na coordenada i devido à acção em j é dada pelo

seguinte integral

c& B�F = � + B�Fℎ& B� − �F:�� , � = 1,2,… ,K (A. 25)

Desta forma, a resposta total em i é obtida por uma acção global envolvendo todas as

componentes do vector +B�F, somando todas as contribuições de todas as componentes da

acção.

VII

c&B�F = ∑ £� + B�Fℎ& B� − �F:�� ¦Ò c[ , � = 1,2,… ,K (A. 26)

Tal como referido, para sistemas de um grau de liberdade estas expressões têm também

uma descrição possível no domínio da frequência. De referir que esta formulação da

resposta é a habitualmente utilizada, como se verá nos capítulos que se seguem. Assim

sendo, as transformações de c& B�F = � + B�Fℎ& B� − �F:�� , � = 1,2,… ,K e c&B�F =

∑ £� + B�Fℎ& B� − �F:�� ¦Ò c[ , � = 1,2,… ,K são definidas por

c& B�F = [Xº � ·& B��gFL B��gF3&$g �:m

�m �g (A. 27)

c&B�F = [Xº ∑ Ë� ·& B��gFL B��gF3&$g �:m

�m �gÍÒ c[ , � = 1,2,… ,K (A. 28)

No domínio da frequência a resposta do sistema estrutural resulta na seguinte equação

�B��gF = ·B��gFLB��gF (A. 29)

Em que ·B��gF representa a matriz de transferência complexa, de dimensão NxN.

Ambas as formas de descrição da resposta �, no domínio do tempo ou no domínio da

frequência estão relacionadas pela transformada de Fourier, como descrito em A.3.

VIII

A.2 Algoritmo FFT

Transformada de Fourier e Algoritmo FFT

A transformada de Fourier define a relação entre um sinal no domínio do tempo e a sua

representação no domínio da frequência. A transforma de Fourier de uma função � = �B�F

absolutamente integrável é definida para � ∈ ℝ, por

8B�F = � �B�F3�&$�:�m�m , � = √−1 (A. 30)

No entanto, a sua aplicabilidade em computação é limitada a um domínio discreto, sendo

importante definir a sua expressão para um conjunto de amostras discretas. Pode-se

admitir que a versão computável da transformada de Fourier, no domínio discreto toma

por exemplo, a seguinte forma

8 = ∑ +}3�&$I��Ò�[}c� (A. 31)

onde N representa no caso das amostras tratadas, o número de harmónicas e +} define os

termos ) de uma sucessão correspondente à amostragem de uma função +B�}F .

Considere-se ainda, por simplicidade, que �} define um conjunto de pontos igualmente

espaçados, tais que �} = ). ∆� com ) = 0,1,… ,K − 1 em que K é par. Esta aplicação é

habitualmente referenciada pela sigla DFT (Discrete Fourier Transform).

A aplicabilidade desta função estende-se às amostras geradas com domínio discreto.

O instante � que define o coeficiente 8 , é dado pela seguinte expressão:

� = XºÒ.∆$ F, F = ?− Ò

X , − ÒX + 1,… , Ò

XA (A. 32)

A interpretação desta expressão realiza que a transformada é definida por um conjunto de K coeficientes 8 , definidos para outros tantos instantes � , medindo em cada um desses

instantes a contribuição do conjunto de frequências �} . Na realidade, a expressão (A. 1)

proporciona uma análise do sinal em função do comportamento aleatório do mesmo.

Pode-se pensar que este sinal depende da frequência angular tal que Ak = AkB�}F, para

cada harmónica, como de resto demonstra a expressão (A. 3).

IX

Considere-se a geração de um processo gaussiano nas condições anteriores em N instantes

e considerando a sobreposição de N harmónicas.

A computação da DFT obriga para cada F à multiplicação de um vector de dimensão K com

uma matriz quadrada K × K, o que envolve KX multiplicações complexas e KX − K adições

complexas para obtermos N amostras no domínio da frequência. Este número de

multiplicações e adições faz com que as aplicações de DFT se tornem proibitivas, mesmo

com os sucessivos avanços tecnológicos que as máquinas têm sofrido.

A transformada rápida de Fourier (FFT) é um algoritmo rápido de cálculo da DFT. São

diversas as variantes reconhecidas para aplicação deste algoritmo. Destaca-se o “algoritmo

FFT de base 2” em que, de uma forma simplista, as N amostras de entrada são

transformadas em N pontos de frequência reduzindo o esforço de cálculo para K. þLÞXK

operações.

Yang propôs a seguinte formulação para os termos +}

+} = a2S�BfkF∆f 3&ϕk (A. 33)

obtida da consideração dos termos xBt�F como a parte real de 8 . Esta transformação

possibilita o recurso ao algoritmo FFT para calcular a série xBt�F, o que comparativamente

com a aplicação directa da equação (A. 1) traduz-se numa diminuição substancial do

esforço de cálculo.

X

A.3 Fundamentos da teoria de variáveis aleatórias

De acordo com a teoria de probabilidades, uma variável aleatória pode assumir qualquer

valor possível condicionada ou não a um conjunto. Estes números são impossíveis de

estimar.

A compreensão deste tipo de grandezas passa pela compreensão da sua função de

distribuição de probabilidades.

No caso contínuo, a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória t é dada pela

função Gï , chamada função densidade de probabilidade, tal que GïB�F:� representa a

probabilidade LB� ≤ t ≤ � + :�F.

Desta forma, a função densidade de probabilidade acumulada será dada por

8ïB�F = � :4��m GïB4F = LBt ≤ �F (A. 34)

Inversamente, a densidade não acumulada da variável t é por sua vez, dada pela relação

GïB�F = >8ï >�q (A. 35)

Desta forma, a função de densidade de probabilidade para n variáveis é definida por

Gïv…ï« = �±òv…ò«��v…��« (A. 36)

Quando esta função tem como domínio o espaço e tempo, B�& , �F, esta função define um

campo aleatório que é conhecido como processo estocástico.

O momento centrado de ordem p é por sua vez dado pela expressão

¢½t − £ï¾M¥ = � :�½t − £ï¾MGïB�& , �F (A. 37)

onde £ï representa o valor médio. De notar que o momento centrado de ordem 2 é

geralmente designado de variância e a sua raiz quadrada de desvio padrão.

O momento estatístico de ordem p do campo escalar tB�& , �F é definido por

XI

¢t�B�&, �F¥ = � :�GïB�& , �Ft� (A. 38)

Momentos com mais de uma variável também podem ser construídos. Estes momentos

são denominados tensores de correlação. No caso de + = 2, o tensor de correlação entre

um campo aleatório em ℝ� η& definido no ponto L e η s no ponto Lsé representado por

2&, = ¢η&η s ¥ �, F = 1,2,3 (A. 39)

Quando a função de densidade de probabilidade que define o campo aleatório η& for

independente do tempo, o campo é estatisticamente estacionário, ou seja, apesar da

aleatoriedade que o caracteriza os seus parâmetros estatísticos não variam com o tempo.

Se além de estatisticamente estacionária a distribuição for independente da translação no

espaço então o campo denominar-se-á de homogéneo, pelo que 2&, só dependerá do

vector espacial que une os dois pontos.

Quando além de estacionária e homogénea a distribuição for invariante à rotação e

reflexão de coordenadas, este campo é isotrópico.

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