1

AA-220 AERODINÂMICA NÃO

ESTACIONÁRIA

O Método Doublet Lattice

Prof. Roberto GILEmail: gil@ita.brRamal: 6482

2

Proposta

� Métodos de elementos discretos são aproximações que permitem tratar numericamente a integral que representa a solução de uma distribuição de soluções elementares da equação do potencial aerodinâmico linearizado sobre uma superfícies sustentadora

� Apresentar o método Doublet Lattice, um tipo de método de elementos discretos, também conhecido como “método de painéis” para o caso plano, ( “planar”), chegando a uma expressão final que permite a sua implementação.

� Este é um dos métodos que são baseados na equação geral:

� Esta forma geral é também conhecida como solução de Küssner (ver NACA-TR-979)

( ) ( ) ( )1, , , ,

4S

d dw x y z p K x y zU

ξ ηξ ηπρ ∞

−= ∆ − −∫∫

3

Métodos de Elementos Discretos

� Métodos de elementos discretos são baseados na solução integral da equação do potencial aerodinâmico linearizado, neste caso no domínio da frequência, particularizada para condições de contorno que descrevem a configuração aerodinâmica de interesse.

� A transformação da forma diferencial da EPAL para a forma integral é realizada aplicando-se o teorema de Green, chegando a:

( ) ( ), , , S D

S S W

S Wx y z k dS dϕ ϕ ϕ

+

+=− +∫∫ ∫∫

4

Solução Elementar

� Esta equação integral assume que sobre a superfície S, são

distribuídas fontes ϕϕϕϕs e dipolos ϕϕϕϕd (soluções elementares da equação do potencial aerodinâmico linearizado), bem como nas superfícies que definem a esteira aerodinâmica (W - Wake).

� O potencial harmônico devido uma fonte e um dipolo de

intensidade σσσσ e µµµµ (ou ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ ) são, por exemplo, dados por:

onde,

( ) 2( )

, ,0

4

,ikM

M R X

S

k e

R

βσ ξϕ

π

η∞

∞ − =

( ) ( )

( )

2 2 2 2, ,0

, ,

R X Y z

Y y

x y z X x

ξ η β

η

ξ

= + +

= −

= −

( ) 2( )

, , 0,

4

ikMM R X

D

k e

n R

β

π

ϕ ξ ηϕ

∞∞ − ∆ ∂ = ∂

Distância entrea fonte e o ponto que recebePonto que recebe

Posição da fonte

5

Kernel

� Isto é, soluções elementares são função de parâmetros geométricos, numero de Mach e frequência de oscilação (frequência reduzida).

� Note que existe um termo comum entre parênteses nas relações que definem as soluções elementares:

� Este termo também é conhecido como o Kernel da relação integral e é dado por:

2( )

ikMM R X

e

R

β

∞∞ −

2( )

0

ikMM R X

eK

R

β

ϕϕ

∞∞ −

= =

6

Kernel

� O Kernel é uma função de Green de espaço livre, da equação:

� Ele representa a solução da equação acima sobre um domínio tridimensional com uma fonte ou um dipolo pontual não estacionária de intensidade unitária concentrada no ponto

� Assume-se como notação para a intensidade do dipolo como ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕ

pois o mesmo representa um salto de potencial através da superfície de sustentação sobre a qual estes dipolos estão distribuídos.

( ) ( ), , , S D

S S W

S Wx y z k dS dϕ ϕ ϕ

+

+=− +∫∫ ∫∫

( ), , 0ξ η

7

Kernel

� Rescrevendo a solução integral como função do Kernel tem-se:

� A mudança de notação do argumento variável k para ik éintroduzida para reforçar a natureza da intensidade do potencial que obedece uma variação harmônica simples.

� Versão plana (planar): Vamos estudar um modelo mais simples, onde se pressupõem que o corpo é uma superfície de sustentação coincidente com o plano coordenado X-Y

� Desta forma assume-se que a coordenada Z é nula, ver equação acima.

( ) ( ) ( ) ( )1 1

, , , , ,0, , ,0,4 4

S S W

S WK

x y z ik ik K dS ik dn

ϕ

ϕϕ σ ξ η ϕ ξ ηπ π

+

+∂

=− + ∆∂∫∫ ∫∫

8

O Método de Funções Kernel

� Como já vimos, o objetivo dos método baseados em função Kernel é resolver o problema de configurações complexas, tais como aeronaves completas;

� Subdivide-se a superfície destas configurações aerodinamicamente complexas, bem como a esteira que se forma a jusante do corpo elementos geométricos discretos de área de tamanho finito, aos quais associam-se pontos de referência;

� Sobre cada ponto deste área elementar, assume-se que existe uma distribuição fontes e dipolos. Estas singularidades são soluções elementares da equação integral (e também da diferencial) que modela o nosso problema.

9

Sustentação não estacionária

� Portanto o Kernel neste caso fica reduzido a:

� Esta relação integral representa uma distribuição de dipolos sobre a superfície de sustentação e a esteira.

� Ou seja, uma vez que existe um salto de potencial da esteira, énecessário discretizá-la para representar os efeito de memória representado pelo atraso aerodinâmico induzido pela esteira de vórtices da superfície de sustentação.

� Isto implica em um aumento do esforço computacional em termos de alocação de memória, por exemplo, uma vez que é necessário assumir que a esteira estende-se a uma distancia suficientemente grande do bordo de fuga.

( ) ( )( )

( )1

, , , , ,0,4

S W

S WK

x y z ik ik dn

ϕϕ ϕ ξ η

π+

+∂

= ∆∂∫∫

10

Potencial de Aceleração

� Desta forma, é conveniente recorrer a uma formulação em termos do potencial de aceleração, pois se o potencial de velocidade satisfaz a equação:

� O potencial de aceleração também vai satisfazer, uma vez que se pode escrever o a equação do potencial aerodinâmico linearizadocomo função do potencial de aceleração.

� Como o potencial de aceleração é na realidade a pressão linearizada, e na esteira não se tem salto de pressão, seránecessário somente discretizar o domínio que compreende a superfície da asa.

( ) ( )( )

( )1

, , , , , 0,4

S W

S WK

x y z ik ik dn

ϕϕ ϕ ξ η

π+

+∂

= ∆∂∫∫

11

Potencial de Aceleração

� Pode-se associar o potencial de aceleração ao potencial de velocidade através da relação que define a pressão linearizadacomo função do potencial de velocidade.

( )

0

, , , ,

pU

x t

bx y z ik ik k

x U

ϕ ϕψ

ρ

ϕ ωψ ϕ

∞

∞

∆ ∂∆ ∂∆ ∆ =− = + ∂ ∂ ∂∆

∆ = + ∆ =∂

12

Potencial de Aceleração

� Da mesma forma, as derivadas por potencial de velocidade bem como o potencial de aceleração satisfazem a equação do potencial aerodinâmico linearizado.

� Como

é uma equação diferencial, pode-se obter a relação inversa como:

com x0 uma variável auxiliar.

( ), , ,x y z ik ikx

ϕψ ϕ

∂∆∆ = + ∆

∂

( ) ( )0

0 0, , , , , ,

x

ikxikxx y z ik e e x y z ik dxϕ ψ

−∞

= ∫

13

Kernel na relação integral

� A escolha do limite inferior da integral como é feita para satisfazer a condição que ϕϕϕϕ desaparece quando x � ∞∞∞∞, ou seja, a frente da superfície de sustentação

� Substituindo a relação para o salto do potencial de velocidade ∆ϕ∆ϕ∆ϕ∆ϕpelo potencial de aceleração chega-se a seguinte relação integral:

onde:

obtido quando assumimos o MHS

( ) ( ) ( )1, , , , ,0, , ,0,

8p

S

x y z ik C ik K X Y ik dSψϕ ξ ηπ

=− ∆∫∫

( ) ( )0

0 0, ,0 , ,0

X

ikxikXK

K X Y e e x Y dxn

ϕ

ψ

−

−∞

∂=

∂∫

14

O novo Kernel

� Kψ é o novo Kernel, ou conhecido como Kernel associado ao potencial de aceleração.

� Note que ao eliminarmos a necessidade de modelar esteira, complicamos a forma de obter o Kernel da relação integral, uma vez que o mesmo depende de uma integração do Kernel associado ao salto de potencial de velocidades gerado pela distribuição de dipolos.

( )( )

02

0

( )

02 2 2 2

0

, ,0,

ikMX M R x

ikxikX eK X Y ik e e dx

n x Y z

β

ψ

β

∞∞ −

−

−∞

∂ = ∂ + + ∫

( ), , 0,pC ikξ η∆ � coeficiente de pressão associado a intensidadedo dipolo de pressão

15

Particularizando a solução

� Para particularizar a solução do problema integral, devemos associar condições de contorno que definem o nosso corpo bem como os movimentos a ele associados.

� Convenientemente, ao escrevemos a relação entre o salto de velocidade (downwash) e a condição de contorno, ao representar através da relação linearizada, temos, transformado para o domínio da frequência:

� Note que ϕϕϕϕn representa a devida do potencial na direção normal, e h(x,y,0) uma função de deslocamento da superfície de sustentação. (condição de contorno de Neumann)

( ) ( ) ( ) ( ), , 0, , ,0, , ,0 , ,0n

hx y ik w x y ik x y ikh x y

xϕ

∂= = +

∂

16

Solução de Küssner

� Caso “planar” - vetor n alinhado com o eixo “z”. Derivada do potencial em relação a z – velocidade normal induzida (downwash):

� Fazendo as substituições do que definimos anteriormente:

� Solução de Küssner para o potencial de aceleração associado ao downwash.

( ) ( ) ( )0 0

1, ,0, lim , ,0, , ,0,

8z pz z

S

x y ik C ik K X Y ik dSz

ψϕ ξ ηπ= →

∂ = − ∆ ∂ ∫∫

( )

( )( )

02

0

( )2

0

022 2 2 20

0

, , 0,

1, ,0, lim

8

ikMX M R x

ikx

z z

z

S

ikX

p

x y ik

ee e dx

z x YC ik S

zd

β

ϕ

ξ ηπ β

∞∞ −

−

−∞

=

→

∂

=

− ∆

∂ + +

∫ ∫∫

17

Relação Integral

� O que representa a a integral do slide anterior?

18

Asa discretizada por

dipolos de pressão – BC’s

� Porém o que queremos são as velocidades normais induzidas em pontos de uma superfície devido a uma distribuição de dipolos de pressão sobre esta mesma superfície.

� Inicialmente integramos o potencial de aceleração sobre a superfície para calcular o a intensidade do dipolo como uma função do salto de pressão;

� Agora vamos integrar a derivada do potencial de velocidade na direção z , ou seja, o downwash ( ou velocidades normais induzidas) e obter :

(130)

( ) ( )

( )( ) ( )

20

2

2

, , , ,

1 1

4

M Ri xix

aU

S

d d

w x y z x y zz

pU

e e dz R

λω ξωξ

βξ ηλ

φ

πρ

∞

∞

− − − − −

∞

−∞

∂ ∂

∂= =∂

= ∆ ∫∫∫

19

A Função Kernel

� Para tornar mais simpática a equação (130), é comum encontrar-se na literatura a expressão:

(131)

onde :

(132)

é conhecido como a função Kernel.

E lembrando que :

( ) ( ) ( )1, , ,

4,

S

d dK x yw x z pU

zy ξ ηξπ

ηρ ∞

− −−

= ∆∫∫

( )( ) ( )

20

2

2

1, ,

M Ri x iix

aU UK x y z e e e d

z R

λω ξ ωλωξ

βξ η λ

∞

∞ ∞

− − − − −

−∞

∂ − − = ∂ ∫

( ) ( ) ( )2 2 22 2R x y zξ β η β ζ= − + − + −

20

A relação integral final

� Normalmente adimensionaliza-se a equação (132) considerando :

(133)

tem-se:

(134)

21

2

p

ww

U

pC

Uρ

∞

∞

=

∆∆ =

( ) ( ) ( )1, , , ,

8p

S

d dw x y z C K x y z ξ ηξ ηπ

=− ∆ − −∫∫

21

O Cálculo da Função Kernel

� É uma função notoriamente complexa onde está presente uma derivada segunda com relação à normal à superfície de sustentação.

(135)� O objetivo agora é calcular esta derivada segunda em z acima.

Uma vez que o processo é matematicamente complexo vamos partir direto para o resultado final da relação que descreve o Kernel

� A equação (135) pode ser reescrita de uma forma mais simplificada como :

(136)

( )( ) ( )

22

2

1, ,

ii xM Rx

U UK x y z e e d

z R

ωω ξλξ

βξ η λ

∞∞ ∞

− −− −

−∞

− − =

∂∂

∫

( )( )

[ ]2

02, ,

i x

UK x y e Iz

z

ω ξ

ξ η ∞

− ∂

∂− − =

22

O Cálculo da Função Kernel

com

(137)

Lembrando que:

(138)Define-se algumas variáveis auxiliares como :

, e (138A)

( )2

0

1i

M RxU

I e dR

ωλξ

βλ

∞∞

−−

−∞

=

∫

0

0

0

x x

y y

z z

ξ λ

η

= − =

= −

=

( )2 2

1 0 0

11

r y z

rk

U

ω

∞

= +

=

( )2 2 2

1R rλ β= +

1r

λνβ

=

23

O Cálculo da Função Kernel

� Ao se aplicar a derivada segunda presente na Eq. (136), e considerando as mudanças de variáveis apresentadas tem-se

(139)que também pode ser escrita como

(140)� Landahl propôs uma mudança de variáveis para integral I0 dada

por:

, onde

( )( ) 2 2

0 0 0 00 0 0 3 2 2

1 1 1 1 1

1, ,

i x

U z I z IK x y z e

r r r r r

ω ξ

∞

−

∂ ∂ = − + ∂ ∂

( )( ) 2

0 0 00 0 0 2

1 1 1 1 1 1

1 1, ,

i x

U I z IK x y z e

r r r r r r

ω ξ

∞

−

∂ ∂∂ = + ∂ ∂ ∂

1

0 2 2

1

i t

U

t

eI dt

r t

ω

∞

−∞

= +

∫1t ur=

( )1 1 1 02

1t u r M R x

β∞= = −

24

Versão Plana (“Planar”)� No caso de estudos aerodinâmicos em um contexto linear, a

pequenas perturbações de superfícies de sustentação finas, tal como no caso de asas, o efeito da espessura é de segunda ordem.

� Desta forma é consistente assumir apenas uma distribuição de dipolos para representar o salto de potencial que ocorre no caso da asa oscilando segundo um movimento harmônico simples, bem como o salto de potencial que ocorre na esteira.

� Singularidade do tipo fonte usualmente são empregadas para modelar os efeitos de espessura, enquanto que as singularidades dipolo servem para modelar o efeito de salto de potencial, o qual está associado a um salto de pressão (o mesmo raciocínio foi usado por Theodorsen, quando usou uma fonte e um sorvedouro aproximando-se de casa lado – extradorso e intradorso – do aerofólio).

25

“Planar”

A adoção da aproximação plana simplificará bastante a soluçãodo problema, uma vez que apenas algumas das integrais deverãoser calculadas como segue:

26

Kernel “Planar”

� Na seqüência é necessário calcular as derivadas de I0 compondo novas funções que posteriormente serão usadas para o calculo do Kernel.

� Rodemich derivou uma expressão geral para a função Kernel, e Landahl propôs uma forma mais simplificada para representar esta expressão:

(142)� A abordagem para calcular o Kernel será simplificada assumindo

que a superfícies de sustentação coincide com o plano (x,y), ou planar. Desta forma, tem-se:

, e(143)

� Este resultado pode ser verificado ao se considerar a asa é plana e com z=0. (Trabalho de Albano e Rodden)

( )( )

1 1 2 2

2

1

, ,

i x

U K T K TK x y z e

r

ω ξ

ξ η ∞

−

+ − − =

1 1T =2

02

1

zT

r

=

27

Kernel “Planar”

� Falta determinarmos as parcelas K1 e K2 da Eq. (143) que podem ser escritas como:

e

(144)� A resultado final obtido por Landahl para o caso mais geral pode

ser encontrado no trabalho de Albano e Rodden, ou Giesing, Kalman, e Rodden.

� Todavia, dada a simplificação para o caso plano (z0=0) permite que a fórmula final fique ainda mais simples.

� Fazendo o limite de z tendendo a zero, deve-se observar o comportamento do Kernel dada pela Eq. (142) quanto a possibilidade de problemas numéricos.

01 1

1

IK r

r

∂=

∂3 0

2 1

1 1 1

1 IK r

r r r

∂∂ = ∂ ∂

28

Kernel “Planar”

� No entanto, assumindo que a superfície é plana, tem-se o resultado final para o Kernel simplificado dado por: :

(145)

� O cálculo da função K1 requer a avaliação da integral I1 . Esta integral está relacionada à integral I0 cuja solução fora simplificada assumindo-se o caso plano.

� A expressão para K1 e dada por:

(146)

( )( )0

0

10 0 0 20

1

lim , ,

i x

U

z

KK x y z e

r

ω

∞

→

=

[ ] [ ]

( )

1 1 1

1

11 1 1 32

2 211

,1 1

ik u ik u

u

M r e eK I I du

R u u

∞− −∞

=− − = + +

∫

29

Kernel “Planar”

� Esta integral por sua vez ainda pode ser simplificada considerando o caso plano, resultando em :

(147)� A integral J1 pode ser resolvida aproximando-a por uma série

finita. Esta solução foi apresentada por Laschka para o caso onde o argumento da integral u é positivo e maior que zero. Esta série é representada por:

(148)

[ ]

( )( ) [ ]

( )[ ]1 1 1 1 1

1

11 1 1 11 1

22 21

1 , 1

1 1

ik u ik u ik u

u

u uI e ik J J e e du

u u

∞− −

= − + − = − + +

∫

( )

11

12 12

1

1

ncu

n

n

ua e

u

−

=

− = +

∑

30

Aproximação de Laschka

� O coeficiente c = 0.372 e os coeficientes an são dados por:

( )( )

111

1 12 2 21 1

ncu

n

n

a eJ nc ik

k n c

−

=

≅ − +

∑

( )

11

12 12

1

1

ncu

n

n

ua e

u

−

=

− = +

∑

31

Aproximação de Laschka

� Substituindo a equação (148) em (147) tem-se:

(149)

� Obtem-se desta forma, uma aproximação para a integral I1. Porém, esta fórmula é valida para apenas para u1 > 0.

� Uma vez que o integrando da equação (146) é simétrico, quando u1 < 0, pode-se tirar vantagem desta simetria e obter o valor para I1 e usar a mesma aproximação da equação (149) para estas condições.

� Avalia-se separadamente a parte real e imaginária como:

(150)

( )( )

111

1 12 2 21 1

ncu

n

n

a eJ nc ik

k n c

−

=

≅ − +

∑

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, 2Re 0, Re , Im ,I u k I k I u k i I u k= − − + −

32

Métodos de elementos discretos

baseados na função Kernel

� O que apresentamos anteriormente é a base para todos os desenvolvimentos baseados em métodos de função Kernel.

� Avaliar o Kernel não é tarefa fácil, especialmente quando mesmo refere-se a um salto de pressão (potencial de aceleração)

� A diferenças entre os métodos baseados em função Kernel são essencialmente associadas a técnicas que buscam uma solução racional para esta função que é complicada.

� Dentre alguns métodos clássicos, podemos citar:� Doublet Lattice Method (DLM) - Albano e Rodden (1969),� Doublet Point Method (DPM) - Ueda e Dowell (1982),� ZONA 6 Method – Chen e Liu (1990),� ...

33

Caso de Estudo:

O método “Doublet Lattice”

� A diferença básica entre eles écomo as singularidades são distribuídas sobre os elementos usados para discretizar a geometria.

� As integrais também são resolvidas de forma diferente.

� Como será visto a diante, DoubletLattice Method (DLM) assume que os dipolos são distribuídos ao longo de uma linha a ¼ da corda de cada painel, bem como a escolha de um ponto a ¾ da corda onde se mede o downwash induzido pelos demais painéis que discretizam o corpo.

34

O Método Doublet Lattice

� O método doublet lattice é um método de painéis onde a solução elementar é representada por um dipolo de pressão de intensidade que varia harmonicamente no tempo.

� A equação integral que representa o método é dada por(151)

� Uma vez que se está restringindo esta solução para o caso plano, o Kernel pode ser re-apresentado como:

(152)

(153)

( ) ( ) ( )1, , , ,

8p

S

d dw x y z C K x y z ξ ηξ ηπ

=− ∆ − −∫∫

( )( )0

10 0 2 2

00

, ,0 lim

i x

U KK x y e

y

ω

ε ε∞

→

= +

[ ]

[ ]

( )

1 1

1

1

0

1 12 2 2 2

0 0 1

1 32 21

1

1

ik u

ik u

u

M y eK I

x y u

eI du

u

β

−∞

∞ −

=− − + + = +

∫( )

0

1

2 2 2

0 0 0

1 2

0

yk

U

M x y xu

y

ω

β

β

∞

∞

=

+ −=

35

O Método Doublet Lattice

� A função Kernel é singular para . Em existindo esta singularidade deve-se tomar um cuidado especial ao se integrar este Kernel para se obter o downwash. (Eq. 151)

� Esta singularidade acontece quando os “sending points” dos painéis estão alinhados com os “receiving points”, do próprio painel, bem como com os painéis a montante a a jusante.

� Ou seja, a singularidade ocorre quando as coord. y e η são as mesmas ou x0 e y0 forem ambos nulos .

� Outro fato a ser notado é que u1 varia de –∞ a +∞. Ou seja, seráque é possível avaliar a equação (151) com todas estas dificuldades?

� Uma forma de se evitar estas dificuldades numéricas é através de soluções analíticas tal como funções aproximadas.

� Uma forma de tratarmos tais dificuldades é o emprego “valores principais”.E do que trata “Valores Principais”?

� O procedimento de valores principais estabelece que o limite para

ε � 0 é obtido no passo final da solução do meu problema.

0y

36

O Método Doublet Lattice

� A implementação do método Doublet Lattice é baseada em um procedimento empírico cujo objetivo é simplificar o cálculo da integral da Eq. (151).

� Ao invés se assumir que os dipolos estão dispostos ao longo do plano de cada elemento que discretiza a superfície de sustentação, considera-se que os mesmos estão dispostos ao longo de uma linha ao longo da envergadura de cada painel.

� Esta forma simplifica também do ponto de vista do tratamento dos painéis que pode ser uniforme ao longo de toda a superfície discretizada.

� Esta linha de dipolos é colocada sobre a linha a ¼ da corda de cada painel, enquanto que o downwash medido em um ponto a ¾da corda do painel, sobre a sua linha de centro.

� A escolha destas posições é de natureza empírica.

37

Discretização em painéis

� “Sending” e “receiving panels”

38

Elemento

� Orientação do elemento

39

O Método Doublet Lattice

� Desta forma, a integral de área presente na Eq. (151):

(154)

� Poderá ser representada por uma integral, ao longo de cada uma das distribuições lineares de dipolo ao longo da corda do painel.

(155)

( ) ( ) ( )1, , , ,

8p

S

d dw x y z C K x y z ξ ηξ ηπ

=− ∆ − −∫∫

( ) ( ) ( )1, , , ,

8

L

p

L

w x y z C K x y z dlξ ηπ

+

−

=− ∆ − −∫

40

O Método Doublet Lattice

41

O Método Doublet Lattice

� A força por unidade de comprimento ∆f desta distribuição de dipolos assim como a força por unidade de área do painel (∆p -salto de pressão) são assumidas constantes dentro do painel e são relacionadas por:

(156)� Aplicando a transformação de coordenadas :

(157)

pois : e

cos

força fp f p xcos

área x

∆∆ = = ⇒∆ =∆ ∆ Λ

∆ Λ

( ) ( ), ,lξ η ξ→

( ) ( )0

1, ,0 lim , ,

4S

d dlf

w x y K x y zU xε

ξξ ηπρ →

∞

− ∆ = − − ∆∫∫

coslη= Λcos

fp

x

∆∆ =

∆ Λ

42

O Método Doublet Lattice

� Integrando (157) ao longo da direção :

(159)E da relação para o cálculo do Kernel (146):

(160)Temos:

(161)

( ) ( )0 00

, ,0 lim , ,04

L

L

dlf

w x y K x yU επρ →∞ −

∆=− ∫

( )( )

( )0

0 0 1 0 0, ,0 ,

i x

UK x y e K x y

ω

∞

=

( ) ( )( )

0 0

2 20

, ,0, ,0 lim cos

4

L

L

dlK x yp x

w x yU yεπρ η ε→∞ −

∆ ∆=− Λ

− +∫

43

O Método Doublet Lattice

Como:

(162)

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

0 0

2 20

cos

0 0

2 20cos

0 0

2 20

, ,0, ,0 cos lim

4

, ,0lim cos

4

, ,0lim

4

L

L

L

L

e

e

dl

dl

d

K x yp xw x y

U y

K x yp x

U y

K x yp x

U y

ε

ε

εη

πρ η ε

πρ η ε

πρ η ε

→∞ −

Λ

→∞ − Λ

→∞ −

∆ ∆=− Λ

− +

∆ ∆=− Λ

− +

∆ ∆−

− +

∫

∫

∫

44

O Método Doublet Lattice

� Na integral :

pode-se aproximar a função Kernel por uma função parabólica.

(163)� Ou seja, com três pontos no domínio do painéis consegue-se

aproximar a função por esta parábola.

(164)

( )( )

0 0

2 2

, ,0e

e

K x yd

yη

η ε− − +∫

( ) 2

0 0 0 1 2, ,0K x y A A Aη η≅ + +

( )0 0, ,0K x y

( )( )( )

,

,

, 0

L L

R R

C C

x y e

x y e

x y

η

η

η

⇒ =−

⇒ =+

⇒ =

45

O Método Doublet Lattice

� Os coeficientes são dados por:

(165)

Portanto:

(166)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

1

0 2

,

, ,

2

, 2 , ,

2

L L

R R L L

L L C C R R

A K x y

K x y K x yA

e

K x y K x y K x yA

e

=

−=

− −=

( )( )

[ ]

2

2 20

0 1 2

0 1 2

, ,0 lim4

4

e

e

dp x

w x yU y

A A

p xB B B

U

A

εη

η η

πρ η ε

πρ

→∞ −

∞

+ +∆ ∆=−

− +

∆ ∆=− + +

∫

46

O Método Doublet Lattice

� Onde cada um dos termos B é calculado como:

(167)� A equação para o cálculo do Kernel pode ser adimensionalizada :

Finalmente: (168)

( )0

20 20

0

2

0

0

2

lim

lim tan

2

e

e

e

e

dA

y

A ya

e

y e

A

Bε

ε

ηη ε

η

ε ε

→−

→−

=− +

− =

=−

∫( )( )

( )

( )( )

( )

1

2

2

2 2 2

2 2

1

2

22

21log

2

22 log

e y ey

y ee y

e y eye y

y

A

Aey

Be

B − = + −+ − = + + −+

bk

U

ω

∞

=2

2p

pC

Uρ ∞

∆∆ =

ww

U∞

=

( ) [ ]0 1 2, ,08

pC

B B Bx

w x yπ

∆ ∆=− + +

47

Vortex Lattice

� Quando a frequência reduzida é nula, o DLM se reduz ao VortexLattice Method (VLM)

� Portanto é bastante comum encontrar nas implementações do DLM onde VLM também implementado para se obter a matriz de coeficientes de influencia para k=0

� Esta idéia se justifica pois a solução do VLM é absolutamente analítica sem requer qualquer tipo de aproximação para a solução das integrais associadas ao Kernel.

� Boas referencias sobre o método:� Katz e Plotkin – “Low Speed Aerodynamics”� AFFDL-TR-71-5 PART I, VOL I

48

Vortex Lattice (k=0)

� Bound vortex line:

49

Método Vortex Lattice

� VLM

50

Carregamentos através do DLM

� A forma de se resolver o problema de calcular o carregamento aerodinâmico não estacionário empregando este método consiste em estabelecer primeiramente condições de contorno que caracterizam o movimento da superfície a ser modelada:

( ) ( )( )3 / 4

3 / 4 3 / 4

c

c c

wdh dh h dhw U w

dt dx U U dx

�= + ⇒ = = +

1 1

1b

bi i im i i i

i i

b

i i i

b

i i i

d dh h

dx U dx U

h

h

φα η φ η

φ η

φ η

∞ ∞

= =

= + ≡ +

= ⇒

=

∑ ∑�

�

��associado as condições de contorno

(é o que se empregano DLM)

0V U≡

51

Coeficientes de influência

� O conceito básico dos métodos de elementos discretos foi assumir que o corpo é subdivididos elementos, conhecidos como painéis

� Cada painel possui um ponto conhecido como ponto de controle onde se impõem a condição de contorno (e se associa ao downwash induzido pelo movimento).

� A equação integral é aproximada pela soma de integrais elementares associada a cada painel.

� As integrais elementares que representam as influências de um painel nele mesmo, assim como a interferência mútua entre os painéis implica em um sistema de equações que relacionam pressões ao downwash.

� Como resultado tem-se um sistema de equações algébricas que pode ser representado na forma matricial.

52

Matriz AIC

� Esta matriz decorre da representação algébrica referenta a interferência aerodinâmica dos panéis

� Por este motivo é conhecida como matriz de coeficientes de influência (aerodynamic influence coefficients matrix - AIC), e tem como papel relacionar o downwash induzido por um movimento (condição de contorno) que implicará em uma variação de pressão percebida por todos os painéis

� Esta forma linear é justificada pelo principio da superposição das influências exercidas pelas singularidades (dipolos) em cada painel.

� A variação de pressão no painel “j” implica em uma variação no downwash no painel “i”.

( ) ( ) ( )0 0

, ,0, , ,0, lim8

j

j

i

z z z

S

pCx y ik ik K dS

zψϕ ξ η

π= →

∆ ∂ =− ∂ ∫∫

53

Matriz AIC

� i � painel que percebe o downwash, j � painel ao qual estáassociado o salto de pressão

onde D é a matriz de coeficientes de influência. E D é dado por:

uma função exclusivamente do Mach, geometria e frequência reduzida.

i

z i ij p jw D Cϕ = = ∆

( )1 1

0

1lim , ,0, ,

8

j j

j j

ij i n i n n nz

D K x y M k d dz

ξ η

ψ

ξ η

ξ η ξ ηπ

− −

∞→

∂ =− − − ∂ ∫ ∫

54

� Relação entre a pressão e o downwash será dada pela sistema de equações:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 / 4

3 / 4

0

0

, , , , , ,

, , , ,

c

c

h hw x y t x y t V x y t

t x

w hx y i w ikk i h x y x y

Vk

x

∂ ∂= + ⇒∂ ∂

∂⇒ℑ⇒ = = +

∂

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }p pi ii iw D C C AIC w= ∆ ⇒ ∆ =

( )1 1

, 00

1lim , ,0, ,

8

nj nj

nj nj

ni nj ni n ni n n nz

D K x y M d dz

k

ξ η

ψ

ξ η

ξ η ξ ηπ

− −

→

∂ =− − − ∂ ∫ ∫

( ){ } ( ) ( ){ }pC i AIC ik kwk i ∆ = Note que o DLM é desenvolvido no domínio da frequência !

0

0k

b

V

V

b

kω

ω

= ⇒

⇒ =

Carregamentos através do DLM

55

� Relação entre a pressão, a condição de contorno, e o carregamento:

( ){ } ( ) ( ){ }

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( ){ } [ ] ( ) ( ) { }2

0

1

2

p

hw ik U ikh

x

C ik AIC ik w ik

hw ik ikh

x

F ik ikx

L ik V S AIC ik F ik h

�������������������

ρ

⇓

∆ = ∂

= + ⇒∂ ∂

∂

⋅ ⋅ = + ⋅ ∂

=

= + ∂

Carregamentos através do DLM

56

� Relação entre a pressão, a condição de contorno, e o carregamento:

� Como a formulação das equações de movimento para aeronave flexível é apresentada na forma de variáveis de estado, deveremos transformar o nosso modelo aerodinâmico para o domínio do tempo.

( ){ } ( ) ( ){ }

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } [ ] ( ) ( ) { }2

0

1

2

p

hw ik U ikh

x

C ik AIC ik w ik

hw ik ikh

x

F ik ikx

L ik V S AIC ik F ik h

�������������������

ρ

⇓

∆ = ∂

= + ⇒∂ ∂

∂

⋅ ⋅ = + ⋅ ∂

=

= + ∂

Carregamentos através do DLM

57

Carregamento Aerodinâmico

� Ou seja, fechamos a nosso problema com a possibilidade de obter uma distribuição de pressão nos painéis, a qual pode ser relacionada a uma força aerodinâmica por:

onde S é uma matriz que representa as áreas dos painéis e F(ik):

é um operador que representa a derivada substancial do modo de movimento, responsável por gerar as pressões.

( ){ } [ ] ( ) ( ) { }21

2L ik U S AIC ik F ik hρ =

( ) ( ) ( ) ( )F ik ikx

∂ ⋅ ⋅ = + ⋅ ∂

58

� Lembrando que :

� E o vetor de forças generalizadas, para um modo "i"

{ }{ } { }

{ }{ } { }

b

b

h

h

φ η

φ η

=

=

��

( ){ } { } ( ){ }

( ){ } { } [ ] ( ) ( ) { }{ }

( ){ } { } ( ) { }{ } ( ) { }

2

2 2

0

1

2

1 1

2 2

i

i

i

TB

i

TB B

i i i

TB B

i i i i

Q ik L ik

Q ik U S AIC ik F ik

Q

Q ik U Q ik V Q ik

MAICQ

���������

��������� ���

η

η

η

φ

ρ φ φ η

ρ φ φ η ρ η

=

=

= =

( )( )

( ) ( )w ik

w ik w ik U w ikU

= ⇒ = ⋅

Carregamentos Generalizados

59

Carregamento Generalizado

� Do método DLM, por exemplo implementado no NASTRAN, pode-se extrair todas as matrizes abaixo :

� Note também que:

� Perceba que estamos no domínio da frequência!

[ ] ( ) ( ) ( )S AIC ik F ik Q ik =

( ){ } { } [ ] ( )( )

( ) { }{ }

( ){ } { } [ ] ( ) { }{ }( ) { }{ }

( ){ } { } [ ] ( ) { }( ) { } { }

2

2

2

1

2

1

2

1

2

i

i

i

TB B

i i i

TB B B

i i i i i

TB B B

i i i i

Q ik U S AIC ik ikx

Q ik U S AIC ik ikx

Q ik U S AIC ik ikx

η

η

η

ρ φ φ η

ρ φ φ η φ η

ρ φ φ φ η

∂ ⋅ = + ⋅ ∂ ∂ = + ∂ ∂ = + ∂