Estrategias didácticas para el desarrollo de competencias

matemáticas Horacio Solar

Facultad de Educación

Pontificia Universidad Católica de Chile

hsolar@uc.cl

Antecedentes • ¿Qué son las competencias matemáticas?

• La capacidad del individuo para formular, emplear e interpretar las matematicas en distintos contextos. Incluye el razonamiento matematico y la utilizacion de conceptos, procedimientos, datos y herramientas matematicas para describir, explicar y predecir fenomenos. Ayuda a los individuos a reconocer el papel que las matematicas desempenan en el mundo y a emitir los juicios y las decisiones bien fundadas que los ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos necesitan. (PISA, 2015, pág. 9)

• Formular, emplear e interpretar son procesos matemáticos.

• “Existe un conjunto de capacidades matemáticas fundamentales que sustentan cada uno de los procesos descritos y la competencia matematica“ (PISA, 2015, pág. 15)

capacidades- competencias- habilidades

Niss 1999 8 competencias

Abrantes 2001 8 competencias

NCTM, 2000 5 estándares de

procesos

Inglaterra, 2007 4 procesos clave

Bases curriculares 2012 4 habilidades

• A medida que aumenta el nivel de competencia matematica de un individuo, este puede progresar hacia un nivel cada vez mayor de capacidades matematicas fundamentales (Turner y Adams, 2012). Por tanto, el aumento de la activacion de las capacidades matematicas fundamentales esta asociado al aumento de la dificultad de las preguntas. (PISA, 2012, p,15)

• Las competencias son procesos matemáticos que organizan el currículo, tales como: resolver problemas, modelizar, argumentar, calcular, representar.

• Las competencias se desarrollan a través de un contenido matemático, y se desarrollan a largo plazo.

¿Que son las competencias?

• Marco Curricular 2002 no estaban presentes en forma destacada, aunque había un eje de resolución de problemas.

• Ajuste Curricular 2009 se destaca la importancia de desarrollar procesos matemáticos dentro de los cuales la resolución de problemas ya no se concibe como un eje en sí mismo, sino que es parte del razonamiento matemático.

¿Cómo ha evolucionado las competencias matemáticas en el currículum chileno?

• Pero…

la presencia de estos procesos estaban lejos de articular el currículum, tal

como lo proponen las experiencias internacionales (Abrantes, 2001; Niss, 2002;

OCDE, 2003; Ministerio de Educación Nacional, 2006)

¿ En Chile las competencias matemáticas están presentes en el currículum?

• En las bases curriculares del 2012 se presentan cuatro habilidades matemáticas, cada uno con sus indicadores:

Resolver problemas

• Resolver problemas utilizando estrategias como las siguientes:

• simplificar el problema y estimar el resultado

• descomponer el problema en subproblemas más sencillos

• buscar patrones

• usar herramientas computacionales

• Evaluar el proceso y comprobar resultados y soluciones dadas de un problema matemático.

• Utilizar lenguaje matemático para identificar sus propias ideas o respuestas.

Argumentar y Comunicar • Describir relaciones y situaciones matemáticas usando lenguaje matemático,

esquemas y gráficos.

• Explicar • soluciones propias y los procedimientos utilizados • demostraciones de resultados mediante definiciones, axiomas, propiedades y

teoremas • generalizaciones por medio de conectores lógicos y cuantificadores utilizándolo

apropiadamente

• Fundamentar conjeturas usando lenguaje algebraico para comprobar o descartar la validez de los enunciados.

• Realizar demostraciones simples de resultados e identificar en una demostración, si hay saltos o errores.

Modelar • Usar modelos, utilizando un lenguaje funcional para resolver problemas

cotidianos y para representar patrones y fenómenos de la ciencia y la realidad.

• Seleccionar modelos e identificar cuando dos variables dependen cuadráticamente ó inversamente en un intervalo de valores.

• Ajustar modelos, eligiendo los parámetros adecuados para que se acerque más a la realidad.

• Evaluar modelos, comparándolos entre sí y con la realidad y determinando sus limitaciones.

Representar • Elegir o elaborar representaciones de acuerdo a las necesidades de la

actividad, identificando sus limitaciones y validez de éstas.

• Transitar entre los distintos niveles de representación de funciones.

• Organizar, analizar y hacer inferencias acerca de información representada en tablas y gráficos.

• Representar y ejemplificar utilizando analogías, metáforas y situaciones familiares para resolver problemas.

Preguntas abiertas • ¿Las habilidades se desarrollan de igual manera para cualquier eje?

• ¿En una unidad debo desarrollar todas las habilidades o debo centrarme en alguna?

• ¿Qué tareas matemáticas son apropiadas para el desarrollo de una habilidad en particular?

• ¿CÓMO SE ARTICULAN LOS CONTENIDOS CON LAS HABILIDADES?

…el problema (no el único)

Existen pocas investigaciones que se preocupan de la articulación entre

procesos y contenidos.

Modelo de competencia matemática

Competencias Matemáticas

Organizaciones Matemáticas

Niveles de Complejidad

Cognitiva

Tareas Técnicas Procesos

Tres dimensiones

Dos elementos fundamentales

Se conforman de

Condiciones de Realización

Depende de

Argumentar y comunicar

Comunicación Chamorro ( 2013) NCTM ( 2003, pag 64) OCDE (2006)

“la capacidad de comunicar, explicar y argumentar matemáticamente significa que los estudiantes deben llegar a ser capaces de proporcionar suficientes razones para que sus compañeros y el profesor puedan llegar a intuir por qué han hecho lo que han hecho. En este sentido, los estudiantes que desarrollan sus propios procedimientos de resolución de problemas, más que imitar el procedimiento dado en el libro de texto, deben reflexionar sobre los significados implicados, ya que compartir su trabajo implica más que sólo mostrar el procedimiento seguido, implica explicar y justificar”

“la comunicacion es un camino para compartir y para aclarar ideas y que a través de la comunicación, las ideas llegan a ser objetos de reflexión, perfeccionamiento, discusión y rectificación, argumentando que el proceso de comunicación ayuda también a dar significado y permanencia a las ideas y a hacerlas públicas”

Propósitos de la comunicación matemática

Organizar y consolidar su pensamiento matemático a través de la comunicación.

Comunicar su pensamiento matemático con coherencia y claridad a los compañeros, profesores y otras personas

Analizar y evaluar las estrategias de pensamiento matemáticos de los demás.

Usar el lenguaje matemático con precisión para expresar ideas matemáticas.

“la comunicacion matematica se entiende como la capacidad de expresarse de muy diversas maneras sobre temas de contenido matemático, tanto de forma oral como escrita, así como comprender las afirmaciones orales o escritas expresadas por otras personas sobre esas mismas materias. Como la comunicación, al igual que las otras capacidades se van adquiriendo en forma gradual, PISA ha definido tres grupos de capacidades en base al tipo de exigencias cognitivas que se requieren para resolver los distintos tipos de problemas matemáticos: el grupo de reproducción, el grupo de conexiones y el grupo de reflexión, cimentándose cada uno en el grupo anterior”

Evolución de la comunicación matemática y rol del profesor

Características de la comunicación matemática

Papel del profesor

Las matemáticas que se discuten en ellos son generalmente más complejas y quizás más abstractas que las de los niveles inferiores.

Cuando los alumnos explican su pensamiento, pueden someterse a criterios más rigurosos que los aplicados a los más jóvenes. Sería de esperar que cada alumno no sólo presente y explique la estrategia usada para resolver un problema, sino también que analice, compare y contraste la significación y eficiencia de diversas estrategias. Las explicaciones deberían incluir los argumentos matemáticos y los fundamentos, no sólo ser descripciones de procedimientos o resúmenes. En los últimos minutos, podrían anotar sobre lo aprendido junto con sus dudas.

Crear un sentimiento de comunidad en las clases, para que los alumnos se sientan libres de expresar sus ideas, sincera y abiertamente, sin temor al ridículo; estableciendo normas relativas al aprendizaje, que apoyen el aprendizaje de todos los alumnos.

Guiar la discusión en clase apoyándose en lo que él aprende mientras controla el aprendizaje de los alumnos.

Establecer una rica comunicación en la clase, en la que se anime a los alumnos a compartir sus ideas y a buscar aclaraciones hasta llegar a comprender.

La comunicación debería centrarse en tareas matemáticas importantes, para ello los profesores deberían identificar y utilizar trabajos que: se relacionen con ideas matemáticas importantes; sean abordables por distintos métodos de solución y permitan diversas representaciones.

Pueden usar la comunicación oral y escrita para dar oportunidad a sus alumnos para: pensar a través de sus problemas; formular explicaciones; probar un vocabulario o una notación nuevos; experimentar formas de argumentación; justificar conjeturas; criticar justificaciones; reflexionar sobre su propia comprensión y sobre las ideas de otros.

Etapa 6-8 (6° a 8° año Básico)

Caso comunicación: clase de Catherine

• En un curso de séptimo básico se está estudiando la unidad de porcentajes, Para ello, Catherine la profesora del curso les presenta una tarea matemática a sus estudiantes en el cual ellos deben escoger una opción que resulte la más conveniente:

• La srta. Carmen premió a su sobrino Sebastián por obtener buen rendimiento el primer semestre y le dio a escoger las siguientes opciones:

• opción 1: El triple de $28.530 aumentado en 1/2 de $ 50.000

• opción 2: El 25% de $448.250 disminuido en $2.000

• opción 3: $2 duplicando su valor por día, durante las vacaciones

Respuestas a opción 2: El 25% de $448.250 disminuido en $2.000

Paulina: Divide por 2 y el resultado por 2

Jordan Traduce a fracciones y divide por 4.

Esteban Descomposición del % 25%= 10%+10%+5%

Argumentación en el aula de matemáticas

• La argumentación es un proceso complejo y estructurado, cuyo propósito es convencer a alguien de la validez de una afirmación.

• Diferencia entre explicar y argumentar: • Explicar consiste en hacer comprensible un hecho presentandolo en conexion con

otros hechos. • La funcion de explicar es ante todo descriptiva. • Las preguntas por que se produce este fenomeno, por que se obtiene este resultado,

son las que requieren explicaciones. • En cambio las preguntas por que afirmas que..., por que respondes que… son las que

requieren que se proponga al menos un argumento.

• De las caracterizaciones de argumentación que se pueden encontrar en la literatura, el modelo de Toulmin (1958) es uno de los que más se han utilizado para analizar la argumentación en la clase de matemáticas.

Dato Conclusión

Garantía Refutador

Calificador

Respaldo

La conclusión es la afirmación cuya validez se quiere establecer. El dato es el soporte que se provee para apoyar y validar la conclusión. Es el punto de partida de quien argumenta, y puede ser un hecho o una información. La garantía es un conjunto de afirmaciones y razones, que busca establecer la relación entre el dato y la conclusión, haciéndola comprensible. El calificador señala la certeza con la cual se establece la conclusion, la cual es subjetiva (“estoy seguro/no estoy muy seguro”), o bien, es sobre la explicacion o el calificador (“siempre ocurre/ocurre excepto en estos casos”). El refutador es una afirmación que describe circunstancias bajo las cuales la explicación o el calificador no son válidos. En tal sentido, opera directamente sobre la explicación o sobre el calificador. El respaldo es el conocimiento básico (definiciones, propiedades, teoremas) que permite asegurar la explicación, describiéndola matemáticamente. Es decir, es un soporte a la explicación, y por tanto no se refiere a la conclusión propiamente tal.

Modelo de Toulmin (1958)

Interpretación de la argumentación

• Consideramos la construcción del modelo de Toulmin entendido como argumentación colectiva (Krummheuer, 1995; Conner, Singletary, Smith, Wagner, Francisco, 2014).

• En el aula de matemáticas no es frecuente que encontremos discusiones en que aparezcan todos los procesos de la argumentación, por ello, hemos acordado que para que exista argumentación debe haber, por lo menos, cuatro procesos:

Dato Conclusión

Garantía Refutador

Caso argumentación: Clase de Mónica

• Curso de 6º básico (10-11 años). • La tarea consiste en: marcar con una

X del mismo color las figuras que reciban el mismo nombre.

• La profesora solicita a dos alumnos que salgan a la pizarra a identificar las figuras que marcaron.

• Los alumnos discrepan en si la primera figura marcada (señalado con un circunferencia verde) corresponde a un cuadrado

Dato Las dos figuras, ¿son un cuadrado?

Estructura de Toulmin Caso Mónica

¿Cómo abordar el rol del profesor?

• Caracterizar la gestión de la argumentación.

• Una manera de estudiar la gestión de la argumentación, es por medio de las estrategias comunicativas.

• Varios autores han puesto el foco en la importancia de espacios de comunicación y discusión en el aula de matemáticas (Chapin, O’Connor, & Anderson, 2009; Smith & Stein, 2011, Boerst at al., 2011).

• Nuestro interés es en las acciones docentes para promover una comunicación en el aula (Lee, 2010), a lo que hemos llamado estrategias comunicativas.

Estrategias comunicativas

• Se ha diseñado un instrumento de análisis en que se ha definido ocho estrategias

• Cada estrategia cuenta con un listado de indicadores (acciones docentes)

Estrategias ACCIÓNDOCENTE Niveldelogro Evidenciaocomentario(identificarlasquenosonsonobservables)

Asegurarquetodostenganla

oportunidaddeaportar

Incluir,enlasactividades,

preguntasquefavorezcanladescripciónyexplicacióndeprocedimientose

ideas.

Destacado

Amedidaquesepresentaosedesarrollalaactividad,laprofesorarealizapreguntas

como:-¿Todoslosladosentodassoniguales?

-¿Túestásdeacuerdoconqueesosdossoniguales?-¿NospuededecirporquéustednomarcóigualquelaFrancisca?

Novalidarlasrespuestasdelosalumnosantesdelasocializaciónde

algunasrespuestasydelasexplicacionesdelastécnicas,nienlapizarra,nipuestoporpuesto.

Destacado

Laprofesoranovalidalasrespuestasqueotorganlosalumnos,sinoquepreguntaalos

mismoscompañerossiestánonodeacuerdoconelloylaexplicaciónplanteada.P:¿NospuededecirporquéustednomarcóigualquelaFrancisca?Perodíganosatodosparaqueescuchemos

Michael:Porquesinosotrosgiramosestoderecho,quedaríaigualcomoeste[Señalauncuadradoqueseencuentraapoyadoenunvérticeyelotroqueseapoyaenunaarista]P:Sieselogiramosquedaríaigualcomoese¿Puedegirarsuguíaymirar?Silogiran,¿quedaigualqueelotroono?

Alumnos:SiP:¿Siono?

Estrategias comunicativas

Estrategias Acciones docenes destacadas en Mónica

Oportunidades de participación

Incluir, en las actividades, preguntas que favorezcan la descripción y explicación de procedimientos e ideas.

No validar las respuestas de los alumnos antes de la socialización de algunas respuestas y de las explicaciones de las técnicas, ni en la pizarra, ni puesto por puesto.

No invalidar los errores; en la socialización de los errores, retomar al niño/a que originó la discusión, y pedir su opinión sobre lo planteado por sus compañeros.

Gestión del error

Promover que alumnos con respuestas correctas e incorrectas salgan a exponer, sin validar antes la calidad de éstas. Gestionar el error, con foco en las explicaciones incorrectas, y no en las respuestas incorrectas.

Tipo de preguntas

Plantear preguntas que no cambien de un foco a otro muy rápidamente; tratar que las preguntas promuevan que las ideas evolucionen.

Modelización

• La modelización contribuye a entender la actividad matemática como un proceso cíclico.

• En ese sentido, desde la educación matemática, se promueve en los alumnos el paso de un modelo a otro.

• Los esquemas pueden ser vistos como un modelo intermedio (una técnica de modelización), y el cálculo, operación o función como el modelo matemático propiamente tal.

Modelización

(Maaß, 2006)

Problema del mundo real

Modelo intermedio

Interpretacón de la solución

Modelo matemático

Solución matemática

Simplificar

Trabajar en las matemáticas

Validar

Interpretar

Identificar, construir

MATEMÁTICAS REALIDAD

Modelización

• Distinción entre Resolución de problemas y Modelización: • La resolución de problemas centrará la atención en los procedimientos

asociados al proceso de resolución (ej: identificación de datos y la incógnita, selección de estrategias, etc).

• La modelización pone foco en los modelos matemáticos puestos en juego. Estos modelos pueden ser técnicas, operaciones o relaciones entre variables.

• Esta idea no quiere decir que la resolución de problemas y la modelización sean competencias independientes

Ejemplos de modelización

• Situación real.

Simplificar

• Modelo intermedio.

Identificar

o construir modelo

• Modelo matemático

Agrego una cantidad de fichas a una caja, y luego agrego otra cantidad. ¿Puedo saber cuántas fichas hay en total?

Esta imagen representa la operación: 7 + 5 = 7+1+1+1+1+1

Digo 7, y cuento: 8, 9, 10, 11 y 12.

Ejemplos de modelización

• Situación real.

Simplificar

• Modelo intermedio.

Identificar

o construir modelo

• Modelo matemático

Juan tiene 25 chocolates, y Mónica tiene 15 chocolates más que Juan. ¿Cuántos chocolates tiene Mónica?

Est esquema representa la relación entre las cantidades.

25 + 15

25

15

Ejemplos de modelización

• Situación real.

Simplificar

• Modelo intermedio.

Identificar

o construir modelo

• Modelo matemático

Don Pedro tiene una parcela de 30m de ancho y 50m de largo. ¿Cuál es la superficie del terreno?

Esta representación muestra a la parcela como si fuera exactamente

un rectángulo.

A=b·h

50m 30 m

Representación NCTM ( 2003) Extracto progresión bases

curriculares Fonide (2010)

Crear y utilizar representaciones para organizar, registrar y comunicar ideas matemáticas Seleccionar, aplicar y traducir representaciones matemáticas para resolver problemas Usar representaciones para modelizar e interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos

Elegir y utilizar representaciones concretas, pictoricas y simbolicas para representar enunciados. Crear un problema real a partir de una expresion matematica Transferir una situacion de un nivel de representacion a otro Relacionar y contrastar información entre distintos niveles de representación

Entender y utilizar las relaciones entre diversas representaciones de la misma entidad Escoger y traducir representaciones en otras Usar representaciones para interpretar fenomenos fisicos, sociales y matematicos

Complejidad en representación (OCDE; 2012)

caracterización de la representación

Procesos

• Utilizar

• Seleccionar

• Traducir

• Contrastar

• Diseñar

• …

Condiciones

• Representaciones familiares o no familiares

• Más de una representación

Evaluación competencias de modelizar, representar La evaluación de estas competencias esta condicionado por la complejidad en el diseño de las tareas matemáticas

Representar: (representaciones familiares, no familiares, utilizar, traducir, contrastar, crear, etc.)

Modelizar (trabajar en el modelo matemático, desarrollar todo el ciclo de modelización, determinar condiciones para elaborar o usar un modelo, etc.)

Desafios

• Tareas matemáticas para el desarrollo de habilidades

• Planificar por habilidades

• Evaluar habilidades

• Comunicar progresión de las habilidades