SI ESTÁ PELOTA, ES PELOTA

En 1904, el matemático, físico y filósofo Henri Poincaré (1854-1912) hizo pública una conjetura poco usual relacionada conun instrumento de clasificación creado por él mismo. El temade la conjetura es la esfera, de manera que vale la pena dejarclaro lo que entenderemos por esfera antes de enunciar la con-jetura. Definiremos la esfera de dimensión 1, el círculo, comouna recta a la que se le agrega un punto en el infinito. Informal-mente, la 1-esfera puede pensarse entonces como un aro, y po-demos tomar una pelota como la imagen mental de la esfera dedimensión 2, o 2-esfera.

Proyectemos los puntos de un círculo sobre una recta comose muestra en la figura 2. El punto A se proyecta sobre el pun-to B y el punto P va a parar al punto Q de la recta. El foco deproyección es el “polo norte” del círculo: el punto N. Median-te este procedimiento conocido como proyección estereográfi-ca identificamos los puntos de la recta con el círculo sin su “po-lo norte”. El punto N, entonces, se identifica con el punto enel infinito que agregamos a la recta.

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Las cosas son exactamentelo que parecen, ni más, ni menos...

Jean-Paul Sartre

as cosas son lo que parecen: posible-mente cierto pero no evidente. Elintelectual mexicano Jesús ReyesHeroles dijo alguna vez, refiriéndo-

se al contexto político, que “la forma es fon-do”; alguien más expresó que “lo que parecees”. En contradicción por lo menos aparente,hay un viejo refrán que reza: “las aparienciasengañan”. Este último suele usarse como me-dida precautoria en ciencia, y en particularen matemáticas: es de fundamental impor-tancia no obtener conclusiones a partir de laprimera impresión.

A un siglo de la conjetura de Poincaré

En matemáticas las cosas no siempre son lo queparecen, especialmente si se habla de nudos,donas, esferas y objetos de una, dos, tres o másdimensiones. La conjetura de Poincaré constituyeun paso necesario para entender la dimensión 3.

Juan Antonio Pérez

L

Apelando de nuevo a la proyección este-reográfica, identificamos cada punto del planocon un punto de la 2-esfera, exceptuando su“polo norte”. La 2-esfera sería, así, un plano alque se le agrega un punto en el infinito. Nueva-mente el punto N hace las veces de punto enel infinito. Véase la figura 3.

El espacio tridimensional es nuestro espacioambiente, y por analogía con los casos anterio-res, la esfera de dimensión 3 puede concebirsecomo nuestro espacio ambiente habitual másun punto en el infinito. La 1-esfera puede vi-sualizarse como “encajada” en el plano, y la 2-esfera en el espacio tridimensional. La 3-esferapuede encajarse en el espacio de 4 dimensio-nes, pero ser animales tridimensionales nos im-pide observar el fenómeno con los sentidos.

A un siglo de la conjetura de Poincaré

1-esfera 2-esfera

Figura 1.

Figura 2.

N

P

A

B

Q

Figura 3.

N

P

A

B

Q

El matemático, físico y filósofoHenri Poincaré (1854-1912) hizo pública una conjetura

poco usual relacionada con un instrumento

de clasificación creado por él mismo. El tema

de la conjetura es la esfera

En la rama de las matemáticas llamada to-pología, todas las esferas de la misma dimen-sión son indistinguibles, y además, por extra-ño que parezca, la forma no es esencial. Lapropiedad más básica de un círculo topoló-gico no es la redondez, o dicho técnicamentela curvatura. Un círculo topológico es simple-mente una curva cerrada que no tiene auto-in-tersecciones; en este sentido, los objetos quese muestran en la figura 4 son círculos topoló-gicos en el plano.

La figura 5 muestra dos círculos topológicosque habitan en el espacio tridimensional; sonlo que llamamos nudos. La única curva cerraday simple en el plano es la curva de Jordan, o di-cho topológicamente, el círculo. Por el con-trario, en dimensión 3 hay una gran cantidadde curvas cerradas simples, las que conocemoscomo nudos.

La primera de estas dos figuras es un nudotrivial, es decir, puede desanudarse sin romper-se. Parece una figura 8, pero no lo es porque nose intersecta a sí misma. Los objetos anteriorestienen en común la propiedad de tener un úni-co “agujero” en el medio; la figura 8, por el con-trario, tiene 2 “orificios” y no es por tanto uncírculo topológico, no es pues una esfera de dimensión 1. El concepto de 2-esfera es igual-mente elástico, a nivel topológico por supues-to. Los objetos que aparecen el la figura 6 re-presentan las distintas 2-esferas topológicas.

Un círculo puede caracterizarse como unacurva cerrada sin auto-intersecciones. Una 2-esfera es una superficie cerrada sin auto-in-tersecciones, aunque esta propiedad no la caracteriza, ya que superficies como el toroson cerradas y carecen de auto-interseccio-nes. Ser cerrado y no tener auto-interseccioneses una propiedad que comparten todas las esfe-ras de todas las dimensiones.

La homología, que así se llama el instrumen-to algebraico ideado por Poincaré para clasi-ficar espacios, se basa en lo que podemos lla-mar triangulación, en analogía con el caso dedimensión 2.

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Figura 4.

Figura 5.

Figura 6.

frontera de un 2-disco, pero la 1-esfera mismano tiene frontera) que tenga la homología dela esfera es la esfera (topológicamente hablan-do, por supuesto). Poincaré mismo demostróla validez de su afirmación en dimensiones 1 y2; sin embargo, a finales de 1904, nuevamen-te el propio Poincaré encontró un espacio dedimensión 3 que teniendo la homología de laesfera no era la esfera. El ejemplo se hizo rápi-damente famoso como la “esfera salvaje”.

Poincaré se vio entonces obligado a modi-ficar su afirmación primera, incluyendo unapropiedad que también él mismo había in-troducido en 1895: ser simplemente conexo(la conexidad simple se mide con un inva-riante conocido como grupo fundamental; Pé-rez, 2002, págs. 133-136, y Pérez, 2001, págs.92-95). Un lazo en un espacio es una curvacerrada, aunque no necesariamente simple. Elestudio de los lazos nos permite medir las po-sibilidades de contracción de un objeto en di-mensión 1: si todos los lazos se pueden defor-mar continuamente hasta un punto, se dice

Revisemos algunos ejemplos: el tetraedro constituye unatriangulación de la 2-esfera, y agregando algunas aristas obte-nemos otra triangulación de la 2-esfera. Tenemos en figura 7tres triangulaciones distintas de la esfera de dimensión 2.

Si usted, caro lector, se toma la molestia de contar los vér-tices, las aristas y las caras de las anteriores triangulaciones ob-servará que la suma alternada

(vértices) - (aristas) + (caras)

es invariablemente igual a 2. Técnicamente decimos que la ca-racterística de Euler de la 2-esfera es 2, y constituye, por decirlode alguna manera, una especie de “resumen” de su homología(Pérez, 2002, págs. 127-132). En dimensiones superiores la ho-mología de los espacios topológicos se obtiene usando una ana-logía natural de la triangulación.

Poincaré creyó inicialmente que la homología caracterizabacompletamente los espacios topológicos, lo que hubiese resul-tado muy conveniente, puesto que mediante manipulacionesalgebraicas sería posible obtener conclusiones topológicas, o siel lector prefiere, geométricas. Con la preocupación de no ob-tener conclusiones apresuradas, Poincaré decidió probar conlos espacios más sencillos posibles: las esferas.

Como el lector puede imaginarse con facilidad, la estructu-ra de una esfera topológica puede no tener en absoluto la apa-riencia de una esfera, con lo que se dificulta su identificación.La triangulación permite, contando caras de distintas dimen-siones, identificar los espacios de forma relativamente simple.El aserto original de Poincaré afirma que cualquier objeto ce-rrado (“cerrado” se usa como sinónimo de compacto y sin fron-tera; ser compacto puede pensarse como ser limitado, una 1-es-fera es compacta pero una parábola no lo es. La 1-esfera es la

A un siglo de la conjetura de Poincaré

Figura 7.

Con la preocupación de no obtener conclusiones

apresuradas, Poincaré decidióprobar con los espacios más sencillos posibles:

las esferas

Poincaré tenía la misma homología de la esfera, pero no todossus lazos podían contraerse hasta un punto. La clave parecía re-sidir en esta propiedad, y entonces la conjetura modificada que-dó como sigue: Un objeto cerrado y simplemente conexo quetenga la homología de la esfera es la esfera.

A partir de 1904 esta afirmación fue conocida como laconjetura de Poincaré, y el hecho de que se satisface para ob-jetos de dimensión 5 o mayor fue demostrado a principios delos años sesenta por Stephen Smale; no fue sino hasta 1982 que Michael Freedman hizo lo propio para objetos de dimen-sión 4. Un objeto cerrado que tenga la homotopía de la esferaes la esfera.

Como se observa, en estos dos casos fue necesaria una hipó-tesis adicional: la homotopía. Esta propiedad mide las caracterís-ticas de contracción de un objeto en dimensiones superiores, deforma análoga que el hecho de ser simplemente conexo lo mi-de en dimensión 1. La afirmación en dimensión 3 ha resultadotener más complicaciones.

Como hemos visto, a nivel topológico, una pelota puede noparecerlo, y viceversa: no todo lo que parece pelota lo es. Si re-sulta admisible la analogía en dimensión 3, y pudiésemos pensaren pelotas tridimensionales, uno puede explotar la diferenciagramatical castellana entre ser y estar. Ser pelota es una propie-dad intrínseca, mientras que estar pelota es un asunto circuns-tancial, digamos, de apariencia. En lenguaje común, la conje-tura de Poincaré afirma que si se está pelota, necesariamente sees pelota.

¡HÁGANSE LOS NUDOS!

La conjetura de Poincaré y sus consecuencias nos hacen re-flexionar acerca de que la naturaleza tomó una decisión sen-sata al fabricarnos de dimensión 3. Y por el hecho mismo deque nos desenvolvemos en un espacio de tres dimensiones, ladimensión 3 merece nuestra atención, y sus características sontales que dimensiones superiores han sido estudiadas y enten-didas mucho antes que la nuestra. A mediados del siglo XX losprofesionales de la matemática se percataron de que un sellodistintivo de la dimensión 3 son los nudos: sólo hay nudos endimensión 3, y ése es uno de nuestros privilegios.

Entender los nudos llevará necesariamente a entender la es-fera de dimensión 3, y de ahí el interés de los matemáticos. Ba-sado en los nudos, el matemático norteamericano James Wad-del Alexander (1888-1971) demostró que, juntos, la homologíay el hecho de ser simplemente conexo no son suficientes para

que el objeto en cuestión es simplemente co-nexo. Un cilindro, por ejemplo, tiene un ori-ficio en el medio que impide contraer los la-zos; el cilindro entonces no es simplementeconexo. En un toro encontramos lazos que ro-dean agujeros, como se muestra en la figura12; luego ser simplemente conexo no es unapropiedad del toro.

Poincaré ya había demostrado que las esfe-ras de dimensión 2 o más de 2 eran simple-mente conexas. Ilustremos el hecho: si inten-tamos lazar una pelota, lo más probable es quela cuerda resbale y se reduzca a un punto. Téc-nicamente decimos que todos los lazos en la 2-esfera son triviales. La “esfera salvaje” de

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A nivel topológico, una pelotapuede no parecerlo,

y viceversa: no todo lo que parece pelota lo es.

Ser pelota es una propiedadintrínseca, mientras que

estar pelota es un asunto circunstancial, digamos,

de apariencia. En lenguaje común,

la conjetura de Poincaré afirma que si se está pelota,necesariamente se es pelota

auto-intersectan producen una cantidad ma-yor de fragmentos del plano. No hay nudos,pues, en el plano, pero además toda superficievista suficientemente de cerca se comporta co-mo un plano; una ilustración de ello es nues-tro planeta, pues si bien es cierto que como sa-bemos es esférico, las mediciones en espaciospequeños son efectuadas como si se tratase deun plano. En síntesis, sobre una superficie nohay nudos.

En dimensión 4, por otra parte, los nudosson también imposibles; cualquier intento deanudamiento se desvanece recurriendo a la di-mensión adicional. Consideremos un ejemplo:si tenemos en un plano un lazo que rodea unaperforación del plano, la curva no podrá sercontraída dentro del plano hasta un punto; noobstante, si permitimos al lazo salir del planodurante el proceso de contracción, evitamospasar por la perforación y contraeremos el la-zo. De igual modo, si un nudo no puede desa-

caracterizar los objetos tridimensionales y, por supuesto, en par-ticular, la esfera de dimensión 3. En ese sentido, la conjetura dePoincaré es falsa en la forma en la que se le conoce comúnmen-te. No obstante, en los inicios del siglo XXI, más de un siglo des-pués de que fuera formulada la primera de las conjeturas dePoincaré, parece que hay elementos suficientes para caracteri-zar las esferas, lo que será un gran paso en la comprensión delmundo que nos rodea.

La dimensión 3 es ciertamente muy peculiar. Vivir en di-mensión 3 es algo realmente ventajoso, y de ello no nos hemospercatado posiblemente por la costumbre de habitar en ella. Enmenos de tres dimensiones la vida es insípida, ofrece pocas posi-bilidades. Nuestras vidas en un plano, como podemos ver despuésde un pequeño esfuerzo de imaginación, serían francamente abu-rridas (Pérez, 2002, págs. 37-40).

No hay nudos que valgan la pena en un mundo de dimen-sión 2. Vaya, ni siquiera hay nudos posibles. En dimensión 4 ysuperiores las agujetas de los zapatos se desatarán de inmediato;tampoco entonces hay nudos que valgan la pena.

En dimensión 2, por ejemplo, una cuerda cerrada tiene sólodos posibilidades: se auto-intersecta o no se auto-intersecta, ysi no lo hace, entonces es lo que se conoce como una curva deJordan; es decir, una curva cerrada simple. Si nuestra cuerda seauto-intersecta, entonces se dice que no es simple, y por su-puesto no es un nudo. La figura 8 ilustra los dos casos conside-rados de curvas cerradas en el plano.

La primera es una curva cerrada no simple, y la de la dere-cha es una curva de Jordan. Un círculo topológico en el plano,o curva de Jordan, tiene la propiedad de dividir el plano enexactamente dos regiones: interior y exterior; las curvas que se

A un siglo de la conjetura de Poincaré

Figura 8.

Vivir en dimensión 3 es algorealmente ventajoso, y de ello

no nos hemos percatado posiblemente por

la costumbre de habitar en ella. En menos de tres

dimensiones la vida es insípida, ofrece pocas

posibilidades. Nuestras vidasen un plano, como podemosver después de un pequeño

esfuerzo de imaginación, serían francamente aburridas

Una de las tareas importantes es buscar las características dela dimensión 3 que la hacen diferente de las otras dimensiones,y para ello conviene buscar todas las semejanzas posibles. Losespacios euclidianos no difieren mucho uno de otro, por lo queestos espacios deben ser estudiados a través de sus esferas, sobrelas cuales hay mucho más control: las semejanzas y las diferen-cias se magnifican facilitando su estudio.

Si consideramos a la recta como una parte del plano, y alplano a su vez como una parte del espacio tridimensional, en-tonces podemos pensar en la 1-esfera como el “ecuador” de la2-esfera.

Por analogía, la esfera de dimensión cero es el “ecuador” dela 1-esfera; es decir, dos puntos constituyen el “ecuador” de lacircunferencia. En general, consideramos a la esfera de dimen-sión como el ecuador de la esfera de dimensión.

Un disco es el interior de una circunferencia. Con ánimo degeneralizar, al igual que llamamos 1-esfera a la circunferencia,llamaremos 2-disco a su interior, puesto que es un objeto de di-mensión 2. Procediendo nuevamente por analogía, un 1-disco esun segmento y tiene como frontera una 0-esfera: el objeto cons-tituido por los dos puntos en sus extremos.

Un 3-disco tiene el aspecto de una pelota sólida y su fronte-ra es una 2-esfera, es decir, una pelota hueca. Generalizando: laesfera de dimensión es la frontera del disco de dimensión. Conlas nociones anteriores, entremos en contacto con un hechomatemático conocido: la 1-esfera divide a la 2-esfera en un parde 2-discos (figura 11).

tarse en dimensión 3, podrá hacerlo si se lepermite moverse por una dimensión adicional.

En dimensiones superiores a la tercera mu-chas de las posibilidades que tenemos desapa-recen, lo que vuelve a dejarnos en el desampa-ro emotivo. En dimensión 3 tenemos nudos,poseemos la capacidad de anudar, y eso es unacaracterística única y exclusiva de la terceradimensión.

Las ventajas de la dimensión 3 son ahoraevidentes: en otras dimensiones no podríamosusar zapatos con agujetas, no existirían lastrenzas en las cabelleras femeninas, ni los mo-ños para los regalos. En otras dimensiones, encontraparte, tampoco existirían instrumentostan salvajes como la horca.

Estudiar nudos es entonces un instrumentoindispensable para entender la tercera dimen-sión, el ámbito geométrico en el que gozamosy sufrimos nuestras respectivas existencias, yen el que transcurre nuestra historia.

La conjetura de Poincaré constituye, por loantes argumentado, un paso necesario para en-tender la dimensión 3, y los nudos son algo que,como ya sabemos la distinguen de otras dimen-siones. Los nudos y la conjetura nos revelaránmucho de lo que de nuestro Universo desco-nocemos; por ello, una respetable cantidad dematemáticos han buscado afanosamente unademostración de la conjetura de Poincaré me-diante el uso de los nudos. No se ha producidohasta ahora tal demostración; sin embargo, elestudio de los nudos ha arrojado mucha luzacerca de nuestro universo, que tiene la suer-te de poseer nudos.

COSAS DE LA VIDA

En la presente sección trataremos de algunascuriosidades geométricas que distinguen espa-cios entre sí; en particular, nos ocuparemos deun resultado obtenido en 1929 por James Ale-xander en el camino hacia una demostraciónde la conjetura de Poincaré, que tiene que vercon un concepto conocido como irreducibilidad.

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Figura 9.

La 0-esfera es el ecuador de la 1-esfera

La 1-esfera es el ecuador de la 2-esfera

Los hemisferios de la 2-esfera son discos“combados”. Basta aplanarlos para obtener losdiscos. Esto no resulta sorprendente, pero elhecho de que cualquier curva cerrada simple,es decir, cualquier “círculo” sobre la 2-esferaproduce el mismo fenómeno, es decir, dividela 2 esfera en un par de 2-discos, es ya un he-cho notable. Esta propiedad se llama irreduci-bilidad (figura 12).

La región contenida dentro de la curva es,salvo deformación continua, un 2-disco, aligual que lo es la región exterior. Por supuestono todas las superficies gozan de esta propie-dad. En un 2-toro, por ejemplo, hay 1-esferasque son frontera de un 2-disco como el que semuestra en la figura 13.

Sin embargo, en la figura 14 se muestrandos 1-esferas en un 2-toro que no son fronterade un 2-disco en ningún caso.

En ambos casos, la 1-esfera bordea un ci-lindro, y verificarlo se considera un sano ejer-cicio de imaginación para el lector. No to-das las superficies son entonces irreduciblescomo la esfera, pero aquellas que no lo son,después de alguna cirugía lo serán. El proce-dimiento es el siguiente, y lo ilustraremos conel toro. Como ya vimos, cortarlo por un círcu-lo que no es la frontera de un disco nos pro-duce un cilindro; ahora bien, si al cilindro lecolocamos dos “conos” en los extremos, obten-dremos una esfera. El proceso se ilustra en lafigura 15.

Como se observa, luego de agregar los co-nos basta “inflar” la superficie obtenida parallegar a una 2-esfera, que como sabemos esirreducible. Ahora bien, el caso del toro es re-lativamente sencillo, pero puede demostrarsecon cierta facilidad que basta con un númerofinito de pasos para obtener, a partir de una su-perficie compacta, una superficie irreducible.De hecho, la única superficie irreducible es la2-esfera, y el teorema de clasificación de su-perficies orientables (Pérez, 2002, págs. 137-144) indica que toda superficie de éstas es unaesfera con una cantidad finita de asas.

A un siglo de la conjetura de Poincaré

Figura 10.

1-disco 2-disco 3-disco

Figura 11.

Figura 12.

Estos hechos pueden parecer triviales tra-tándose de superficies y en particular de 2-es-feras. No obstante, no es evidente que la 3-es-fera, nuestro espacio ambiente, presente elmismo comportamiento. Sin embargo, ya en1929, Alexander demostró que una 2-esferadivide a la 3-esfera en un par de 3-discos, esdecir, que la 3-esfera es irreducible, y además,que al igual que para las superficies, los obje-tos de dimensión 3 que no son irreducibles, loserán después de una cantidad finita de “ciru-gías esferoidales”.

Como ejercicio para el lector proponemosintentar cirugía sobre un toro doble, es decir,sobre una 2-esfera con dos asas. Pasar despuésal caso de una cantidad finita de asas será ru-tinario, y usted habrá saboreado la gloria deobtener una demostración del análogo en di-mensión 2 del teorema de Alexander, cuyocontenido se expresa en el párrafo anterior.

Después de todo, el concepto de irreduci-bilidad es un hecho geométrico, y sus conse-cuencias, siendo tridimensionales, son cosasde la vida.

LA ÍNTIMA GEOMETRÍA

DE LA MANZANA

La conjetura de Poincaré es uno de los secretosque aún nos reserva la naturaleza, aunque talvez por poco tiempo, puesto que se produjerondurante 2003 varios anuncios que apuntan aque la humanidad contará en un futuro cerca-no con una demostración de su veracidad.

Dado que la conjetura de Poincaré unificala clasificación de las esferas en todas las di-mensiones, no sólo nos interesan las propie-dades de la dimensión 3 que la distinguen deotras dimensiones; estamos también interesa-dos en aquellas propiedades que la dimensión3 comparte con otras. Comenzaremos, al igualque en el apartado anterior, con una analogíaen dimensión 2.

Una de las propiedades interesantes de lassuperficies compactas es que puede fraccionar-

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Figura 13.

Figura 14.

Figura 15.

se en porciones cuya frontera es una curva deJordan, es decir, un círculo topológico. La dis-tribución de un mapa es una buena ilustración;en ella, la frontera de cada país es una curva deJordan, como se ilustra en la figura 16.

Ahora bien, incluso en caso de que la su-perficie tenga orificios, lagos por ejemplo, estapropiedad de las superficies compactas tieneaún lugar, como puede observarse en la Figu-ra 17.

Para objetos de dimensión 3, una propie-dad análoga a la anterior no es del todo evi-dente. En primer lugar, porque las fronterasposibles no son círculos, sino esferas y toros:las superficies compactas más elementales.

La conjetura de geometrización de Thurstonafirma que todo objeto compacto de dimensión3 puede descomponerse como la unión de obje-tos con estructura geométrica que tienen co-mo frontera toros o 2-esferas. El hecho de quetenga estructura geométrica significa que enestos objetos tienen sentido las nociones dedistancia y de curvatura.

Valdría la pena ilustrar la conjetura deThurston descomponiendo un objeto de di-mensión 3, como una manzana, la que salvopor la hoja, puede pensarse como un disco dedimensión 3 en lenguaje topológico. En reali-dad, la forma usual en la que nos comemos unamanzana reproduce la conjetura de geometri-zación de Thurston.

La manzana originalmente tiene un as-pecto que, salvo por las imperfecciones del di-bujo se ve como la figura de la izquierda, y alfinal, después del suculento banquete, su as-pecto es el que se ofrece a la derecha de la fi-gura 18. Ahora bien, si pudiésemos reconstruirla parte de la manzana que usamos como ali-mento, su aspecto sería poco más o menos elde la figura 19: un toro sólido.

Pero eso no es todo: con algo de imagina-ción y otro poco de topología, podemos “in-flar” los restos de la manzana hasta obteneruna “manzana nueva”, en cuya superficie, esosí, se notaría la acción de nuestra dentadura.

A un siglo de la conjetura de Poincaré

Figura 16.

Figura 17.

Figura 18.

Pensemos además en las posibles descomposiciones de untoro sólido: la forma en la que se corta una rosca de reyes nosmuestra una descomposición en dos 3-discos. Partir una donapor la mitad nos descompone un toro sólido en dos toros sóli-dos. Morder la dona produce una descomposición en un torosólido y un 3-disco. Una dona rellena muestra una descompo-sición distinta… ¿puede usted identificarla?

No sabemos cómo llegó William Thurston a proponer suconjetura, pero si una manzana pudo haber estimulado al genioque propuso una teoría gravitatoria, no es descabellado que laconjetura de Thurston haya nacido del estudio de la íntimageometría de una manzana.

EL FINAL SIEMPRE FELIZ

Demostrar la validez de la conjetura de Thurston en general esun trabajo que aún está pendiente, aunque de ser correcto loafirmado por Grigori Perelman, matemático ruso, el aserto deThurston habrá sido demostrado y con ello también la más fa-mosa conjetura de Poincaré.

La ilustración anterior sirve básicamentepara percatarnos de que la frontera de los re-siduos de la manzana es una esfera, al igualque la frontera de la manzana original. Peroademás, dado que podemos descomponer lamanzana como se ilustra, entonces hemos des-compuesto la manzana que es un objeto tridi-mensional, en dos nuevos objetos cuyas fron-teras son un toro y una esfera (figura 21).

La figura 21 muestra que la conjetura deThurston se cumple para manzanas, o si ustedprefiere, 3-discos. Un ejercicio provechoso parael lector y que recomendamos ampliamente esbuscar descomposiciones distintas del 3-disco:puede descomponerse en dos 3-discos si parti-mos la manzana por la mitad; puede tambiéndescomponerse en dos toros sólidos entrelaza-dos. Después de éstas, muchas otras descompo-siciones se harán presentes en la imaginaciónde usted.

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Figura 19.

Figura 20.

muestre la conjetura de Poincaré aunque talhecho ya no servirá para celebrar su centésimoaniversario.

Para saber más:

Anderson, M. T. (2004), “Geometrization of 3-ma-nifolds via the Ricci Flow”, Notices of the Ameri-can Mathematical Society, Rode Island, vol. 51,núm. 2, 184-193.

Fort, M. K. (1962), Topology of 3-manifolds and rela-ted topics, New Jersey, Prentice Hall.

Milnor, J. (2003), “Towards the Poincaré conjectureand the classification of 3-manifolds”, Notices ofthe American Mathematical Society, Rode Island,vol. 50, núm. 10, 1226-1233.

Perelman, Gregory, artículos disponibles en http://ar-Xiv.org/find/math/1/au:+Perelman_G/

Pérez, J. A. (2001), La herencia matemática del siglo XX,Conaculta/IZC, México.

Pérez, J. A. (2002), Galería matemática, México,Grupo Editorial Iberoamérica.

Singer, E. (2004), “The reluctant celebrity”, Nature,vol. 47, 29 enero, págs. 388-389.

Juan Antonio Pérez es doctor en matemáticas con especiali-dad en topología equivariante. Realiza investigación acerca demodelos algebraicos para el cálculo de cohomologías de Borel.Es investigador en la Unidad Académica de Estudios Nuclearesde la Universidad Autónoma de Zacatecas. Ha publicado dos libros de divulgación: Galería matemática y La herencia mate-mática del siglo XX.japerez@cantera.reduaz.mx

En su trabajo, Perelman usa técnicas inesperadas y alta-mente ingeniosas para demostrar la conjetura de Thurston. Entérminos generales, Perelman echa mano del concepto de cur-vatura y usa una transformación continua llamada flujo de Ric-ci para obtener redondez, es decir, curvatura constante y posi-tiva en una variedad tridimensional irreducible, simplementeconexa y con la homología de la esfera.

Grisha, como se hace llamar, es un matemático lleno de pe-culiaridades: es suficientemente joven como para ser un serioaspirante a la medalla Fields y es conocido entre sus colegas porllevar un comportamiento poco ortodoxo. Sus trabajos se en-cuentran todavía en evaluación por la comunidad matemáticaluego de su aparición en 2004, año que representó una oportu-nidad inmejorable para que los trabajos de Perelman fuesensancionados positivamente, justo a cien años de que la conje-tura fuese formulada.

Además de la medalla Fields, el Instituto Clay ha ofrecidouna recompensa de un millón de dólares a quien proporcio-ne una solución a uno de los siete llamados “problemas del mi-lenio”, uno de los cuales es justamente la conjetura de Poincaré.Es posible que Perelman se haga acreedor a la recompensa delInstituto Clay, y también es probable que se rehúse a aceptar-la, pues ya se ha dado el caso de que rechace un premio en me-tálico que le fuera ofrecido por una sociedad europea.

Tres artículos de Perelman cuyo objetivo es la demostraciónde la conjetura de Poincaré pueden ser encontrados en inter-net, en el portal que se consigna en las referencias. El cuarto, elcual contendría la cereza del pastel no ha aparecido al terminarla redacción del presente artículo y los tres primeros no han su-perado la etapa de arbitraje. Esperemos: es posible que se de-

A un siglo de la conjetura de Poincaré

Figura 21.