A Teoria dos Campos Conceituais (Vergnaud, 1987,1990, 2000) é a que

mais noções cognitivas tem introduzido: esquema, invariante operatório

(conceito em ação e teorema em ação), conceito de campo conceitual, sentido

de um conhecimento, considerando que possui algumas noções elaboradas

dentro de uma natureza epistêmica.

A Noção de Conceito

Para Vergnaud (1990) um conceito é um “trigémio de três conjuntos”:

S, I e s. Sendo S, um conjunto de situações que darão sentido ao conceito (a

referência); I é um conjunto de invariantes nas quais assenta a

operacionalidade dos esquemas (o significado) e s ou R é o conjunto das

formas pertencentes e não pertencentes à linguagem que permitem

representar simbolicamente o conceito, as suas propriedades, as situações e

os procedimentos de tratamento (o significante).

Numa representação gráfica, conceito seria, como representado no

quadro 1.

Quadro 1 -0 Definição de Conceito

Como destaca Vergnaud (1990), estudar o desenvolvimento e o

Conceito

Referência

(S)

Significado

(I)

Significante

(s ou R)

funcionamento de um conceito, no decurso da aprendizagem ou quando da sua

utilização, é necessariamente considerar estes três planos ao mesmo tempo.

Não existe, em geral, a dualidade entre significantes e significados, nem entre

invariantes e situações. Não se pode, pois, reduzir o significado, nem os

significantes, nem às situações.

Ao estabelecer uma relação conceito e situação, Vergnaud apóia-se nas

idéias de Piaget relacionando S, I e s ou R aos elementos básicos da função

simbólica, onde, como citado anteriormente e concordando com Magina et al

(2007), S refere-se a realidade ou referente e I e R referindo à representação.

Aqui a representação é vista como a interação entre dos aspectos do

pensamento: o significado I e o significante R. Com isto, nos casos da adição e

subtração e, multiplicação e divisão, não faz sentido estudá-los como

operações distintas e isoladas, e sim dentro de um campo conceitual das

estruturas aditivas (adição e subtração) e um campo conceitual das estruturas

multiplicativas (multiplicação e divisão).

Vergnaud propõe uma noção de conceito o que parece atribuir uma

natureza cognitiva, ao incorporar os invariantes operatórios “sobre o que

repousa à operacionalidade dos esquemas”. Esta noção é distinta do que são

os conceitos e teoremas na ciência, para os que não propõe nenhuma

conceitualização. Expressamente, disse que:

Uma aproximação psicológica e didática da formação de conceitos matemáticos, conduz a considerar um conceito como um conjunto de invariantes utilizáveis na ação. A definição pragmática de um conceito põe, portanto, em jogo, o conjunto de situações que constituem a referencia de suas diferentes propriedades e o conjunto de esquemas posto em jogo pelos sujeitos nestas situações. (Vergnaud, 1990. p. 145)

Uma primeira observação é que na aproximação dada aos processos de

conceitualização não se tem em conta o uso de significantes explícitos

(palavras, enunciados, símbolos e signos).

Uma segunda observação é que em dita aproximação se distingue com

claridade o plano pessoal do institucional, nem seu caráter relativo ao sujeito

individual o aos contextos institucionais. O “saber sábio” se propõe como um

elemento de referência para o investigador com um caráter absoluto ou

universal. A incorporação do conjunto de situações e de significantes, junto

com os “invariantes operatórios constituintes dos esquemas”, leva

inevitavelmente a confundir os planos cognitivos e epistêmicos, no que vai

dificultar estudar a dialética entre ambas facetas da cognição matemática. Esta

falta de problematização da dualidade pessoal-institucional se percebe também

na definição da noção de campo conceitual.

A Noção de Campo Conceitual

A primeira descrição que faz Vergnaud de um campo conceitual é a de

“conjunto de situações”. Porém a continuação fica clara que, junto das

situações, se devem considerar também os conceitos e teoremas que se põe

em jogo na solução de tais situações.

Em efeito, se a primeira entrada de um campo conceitual é a das situações, se pude também identificar uma segunda entrada, a dos conceitos e dos teoremas. (Vergnaud, 1990, p.147)

Assim, por exemplo, o campo conceitual das estruturas aditivas é por

sua vez, o conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias

adições ou subtrações, e o conjunto de conceitos e teoremas que permitem

analisar estas situações como tarefas matemáticas.

Nesta descrição de campo conceitual não se mencionam elementos de

tipo subjetivo, pelo qual consideramos que ao campo conceitual lhe atribui

uma natureza de tipo epistêmica. Os conceitos e teoremas que intervêm aqui

se qualificam como “matemáticos”, noções que não são teorizadas; a de

conceito matemático não parece ser a mesma que a de cognitiva de conceito,

que acaba de definir-se como uma tríplice heterogênea de conjuntos formados

por situações, invariantes e significantes.

A noção de campo conceitual e seus exemplos possuem características

muito gerais (estruturas aditivas, estruturas multiplicativas, a eletricidade, a

mecânica, as magnitudes espaciais, a lógica de classes). Igualmente às

noções de conceito não se relativiza os contextos institucionais, dificultando

deste modo a analise da dinâmica de tais formações epistêmicas.

Segundo nossa interpretação a noção de campo conceitual, que de uma

maneira implícita também inclui os algoritmos e procedimentos de resolução

dos tipos de problemas que se incluem nos campos conceituais, poderia

assimilar-se a praxiologia matemática global, já que ambas noções tem uma

natureza institucional e incluem componentes similares.

A Noção de Sentido

Concordo com Vergnaud, ao definir a noção de sentido:

“O sentido é uma relação do sujeito com as situações e os significantes. Mais precisamente, são os esquemas evocados no sujeito individual, por uma situação ou por um significante que constitui o sentido dessa situação ou desse significantes para este sujeito. Os esquemas, ou seja, as condutas e sua organização. O sentido da adição para um sujeito individual é o conjunto dos esquemas que ele pode pôr em pratica para tratar as situações com os quais lhe acontece ser confrontado, e que implicam a idéia de adição, bem como o conjunto dos esquemas que ele pode pôr em pratica para operar sobre os símbolos, numéricos, algébricos, gráficos e de linguagem, que representam a adição.” (Vergnaud, 1990, p. 158)

Nesta descrição, Vergnaud está fazendo corresponder a um objeto

matemático, por exemplo, “ a adição”, com um conjunto de outros objetos

(situações, esquemas e significantes), isto é, como anteriormente apresentado,

como um conceito no sentido cognitivo. Tal sistema representa então, o sentido

ou significado da adição para o sujeito, pois guarda uma forte relação com o

significado pessoal de um objeto matemático considerado como “sistema de

práticas pessoais eficazes para a resolução de um certo tipo de problema”.

A respeito deste ponto, podemos dizer que a teoria dos campos

conceituais não introduz uma versão institucional da noção de sentido, pelo

qual se dificulta o estudo da dialética entre as dimensões pessoais e

institucionais da cognição matemática.

As noções de esquema e conceitos são uma analise muito fina dos

procedimentos de pensamento, dos gestos intelectuais do aluno, posto que, de

algum modo é a facilidade do aluno na realização destes gestos no que leva a

permitir principalmente, entrar na situação que vai a condicionar a atribuição de

sentidos adaptados.

A Teoria do Campo Conceitual pode ser considerada como uma teoria

que clarifica essencialmente o funcionamento individual do aluno ou do

professor.

A Noção de Esquema

A Noção cognitiva básica para Vergnaud é de esquema, que descreve

como a “organização invariante da conduta para uma classe de situações

dadas” (Vergnaud, 1990. P.136). Diz que “são nos esquemas onde se devem

investigar os conhecimentos em ação do sujeito que são os elementos

cognitivos que permitem a uma classe de situações cujas características são

bem definidas. Porém um esquema repousa sempre sobre uma

conceitualização implícita, sendo os conceitos em ação e os teoremas em

ação, constituintes dos esquemas operatórios. Por sua vez, considera que os

esquemas são os elementos que servem de base para as competências

matemáticas. De maneira mais precisa, Vergnaud (1990, p.135) assinala que

para “considerar corretamente a medida da função adaptativa do

conhecimento, se deve conceder um lugar central das formas que toma na

ação do sujeito. “O conhecimento racional é operatório ou não é

conhecimento”.

Para Vergnaud, é necessário distinguir duas classes de situações: (1)

aquelas para as quais o sujeito dispõe em seu repertório [...] de competências

necessárias para o tratamento relativamente imediata da situação; (2) aquelas

para as quais o sujeito não dispõe de todas as competências necessárias, o

que lhe obriga a um tempo de reflexão e de exploração de todas tentativas

abordadas e lhe conduz eventualmente ao êxito ou ao fracasso. Segundo

Vergnaud, o conceito de esquema se aplica facilmente à primeira categoria de

situações e com maior dificuldade da segunda.

Um esquema és uma totalidade organizada que permite generalizar uma

classe de condutas diferentes em funções das características particulares de

cada uma das situações da classe na qual uma das situações da classe à qual

se dirige.

A noção de esquema incorpora elementos procedimentais (técnicas ou

modos de atuar) e tecnológicos-teóricos implícitos (conhecimentos em ação);

porém está associada a uma classe de situações, entendidas como tarefas. Em

tal sentido, admite uma interpretação coerente no termino dos sistemas de

práticas pessoais ligadas a um tipo de problemas.

Há inúmeros exemplos de esquemas na área da matemática. É

importante lembrarmos que, cada esquema é relativo a uma classe de

situações, cujas características estão bem definidas (VERGNAUD, 1990).

Sendo assim, o esquema (totalidade dinâmica organizadora da ação do sujeito

para uma classe de situações especificada) é, portanto, um conceito

fundamental tanto pra psicologia como para didática.

De acordo com este pensamento é fundamental uma explicação mais

detalhada dos invariante operatórios. Vergnaud (1990) distigue três tipos:

1. Invariantes de tipo proposição – podem ser verdadeiro ou falsos

(teorema em ação).

2. Invariantes de tipo função proposicional – constituem-se como base

para construção das proposições (conceitos em ação);

3. Invariantes de tipo argumento – podem ser objetos materiais,

personagens, números, relações e mesmo proposições.

Recuperando o trabalho de Piaget, Vergnaud (2000) considera que

o esquema é uma forma invariante de organização da atividade, cuja

função primária é gerar a medida que se atua em uma situação. Os

avanços na situação são resultados da ação do aluno, do efeito da

dinâmica própria da situação Independiente do aluno ou do efeito de

ambos. Vergnaud levanta as seguintes propriedades do esquema:

a) Se relacionam com todas as formas da atividade: ações,

julgamentos e raciocínios intelectuais. Estas manifestações são

distintas, porém raras vezes independentes, o que dá lugar a

um enriquecimento dos esquemas no curso da experiência, por

seu descobrimento, combinação, diferenciação e

reestruturação.

b) Ter uma função assimilatória que é essencial. Perante

situações e objetos novos, os esquemas formados para

situações conhecidas são evocados e provados. Os esquemas

evocados permitem interatuar com a situação nova e esclarecer

sua relevância para aprender algo sobre ela. Pode sucedeu que

ocorra uma assimilação da nova situação, mas também o

esquema evocado não se ajusta é necessário um processo de

acomodação para separar e recombinar os componentes do

esquema existente ou construir novos esquemas. Em virtude de

ambas propriedades o esquema se propõe como a estrutura

básica para entender as continuidade e descontinuidades que

ocorrem no processo de construção e adaptação do

conhecimento. Ao compreender um problema, o aluno organiza

sua atividade conforme a determinado esquema, mas no curso

da atividade, este pode ser substituído, reconformado ou criado

em função de sua relação com os esquemas que deram lugar

ao entendimento original do problema.

Vergnaud (2000) indica que, para entender o funcionamento dos

esquemas ao dar significado a um problema, é necessário considerar

seus componentes estruturantes. Separadamente, os componentes não

são funcionais, mas em conjunto, voltam ao esquema uma totalidade

dinâmica e funcional. Estes são: propósitos, regras de ação, invariantes

operacionais e inferências. A grosso modo, no contexto da compreensão

e solução de um problema, a definição de cada componente seria:

Os propósitos se referem, quanto à situação de que se trata, a

intenção, a motivação, o desejo, a necessidade. Ao solucionar um

problema, os indivíduos antecipam a meta do problema segundo um

entendimento; estabelecem e modificam seus planos conforme a

concordância das ações com os resultados esperados; reconsiderar a

sua interpretação e resultados esperados.

Os invariantes fazem parte do esquema diretamente epistêmica; tem a

função de: reconhecer os objetos matemáticos, suas propriedades, seus

relacionamentos e as transformações que esses objetos experimentam; extrair

e selecionar as informações pertinentes; inferir as conseqüências úteis para a

ação e controlara forma de informações posterior. É, portanto, uma função de

conceituação e de inferência (Vergnaud, 2000).

As inferências levam o individuo a decidir que informação considerar e a

adaptar sua atividade em um problema, mas o mais importante, é que o levam

ao entendimento das relações entre conceitos e teoremas relacionados com o

entendimento do problema e sua solução.

As regras de ação são a parte propriamente generativa do esquema,

guiam a informação e a regulação da atividade. As regras de ação são é por

em pratica dos teoremas em ação. Não engendram tão só a ação, mas toda a

atividade mental que não é diretamente observável, como é o caso das

inferências.

Se tem em conta este quatro componentes do esquema, se pode

compreender como a atuação do aluno perante um problema pode ser

sistemática e contingente (Vergnaud, 2000). Sistemática, porque em cada

situação as ações do aluno não são aleatórias, obedecem a um entendimento

do problema e a um propósito em sua solução (sendo estes corretos ou não).

Contingente, porque estas ações se decidem antecipando o que se considera

que és apropriado e se deve ser feito na situação. Se for o caso do aluno não

conhecer o esquema apropriado, ensaiará alternativas e o construirá a partir

dos esquemas existentes.

Se considerarem seus componentes estruturantes, se verá que os

algoritmos são esquemas, pois compreendem teoremas em ação, propósitos,

regras de ação e inferências. No caso particular do algoritmo do resto, seus

componentes implicam em entendimentos acerca do sistema decimal, as

relações entre os números que levam à diminuição da ação, assim como a

coordenação com outros significados que o relacionam com diversas situações

(transformação, comparação, combinação, etc). Desta maneira, o esquema,

como organização invariante da atividade, se utiliza de maneira flexível,

adaptando-se a diversos problemas.

A explicação de Vergnaud de esquema que nos aproxima mais do

entendimento entre a relação do problema e do indivíduo que dá significado é

agir em conformidade com ela. Contudo, continua a ser explicado como é que

se coordenam e articulam os esquemas, que são parte do processo de dar

significado e solucionar um problema. O conceito de representação como

conjunto de esquemas serve para este fim.

A Noção de Situação

Para Vergnaud (1990) o conceito de situação está relacionado aos

processos cognitivos e as respostas do sujeito frente às situações as quais são

confrontados, limitando sua definição ao sentido muito utilizado na área da

psicologia. Por outra parte, é necessário levar em consideração que existe uma

grande variedade de situações num campo conceitual e que os conhecimentos

dos alunos são modelados por situações que tenha encontrado e dominado.

Qualquer situação pode reduzir-se a uma combinação de relações de

bases com dados conhecidos e desconhecidos. Um exemplo disto seria o

campo conceitual das estruturas aditivas. Vergnaud (1990) identifica seis

relações de base a partir das quais se podem gerar todos os problemas de

adição e subtração da aritmética. Estas relações são composição de duas

medidas em uma terceira; transformação (quantificada) de uma medida inicial

em uma medida final; a relação (quantificada) de comparação entre medidas; a

composição de transformações; a transformação de uma elação e a

composição de duas relações.

Vergnaud estabelece que uma situação tem um interesse didático

moderado posto que, são instrumentos para a analise das dificuldades

conceituais que encontram os alunos.

A Noção de Significados e Significantes

Apesar de que são as situações as que dão sentido aos conceitos

matemáticos, este sentido não esta nelas. São os esquemas que uma

situaçãoou um significante evoca no indivíduo o que constitui o snetido dessa

situação ou significante.

Na Teoria dos Campos Conceituais, a função da linguagem e outros

significantes são triplas: (1) ajuda a designação e a identificaçõs dos

invariantes (objetos, propriedade, relações e teoremas); (2) ajuda no raciocínio

e na inferência; e (3) ajuda a antecipar efeitos e fins, na planificação e no

controle das ações.

A linguagem, além da função de comunicação e representação, tem uma

função como ajuda do pensamento, isto é, no caso da necessidade , um

indivíduo verbaliza o que esta fazendo, com o propósito de planejar e controlar

ações que não domina completamente.

Expressa eficácia do simbolismo de diagramas com quadrado, círculos,

flechas e chaves, para a transformação das categorias do pensamento no

objeto do conhecimento. A invariância do significante contribui a uma melhor

identificação do significado e a sua transformação em objeto do conhecimento.

Mas a relevância do simbolismo e da linguagem é relativa aos conhecimentos e

ao desenvolvimento cognitivo do aluno.

O simbolismo matemático não é rigorosamente, falando em uma

condição necessária, nem uma condição suficiente, para a conceitualização;

mas contribui ultimamente a esta conceitualização, especialmente para a

transformação das categorias do pensamento matemático em objetos

matemáticos.

A chave para teorizar sobre a aprendizagem da matemática esta em

considerar a ação do sujeito na situação e na organização de sua conduta

tendo aqui a importância do conceito de esquema. Por enquanto o

funcionamento cognitivo dos sujeitos em situação depende do estado de seus

conhecimentos implícitos e explícitos (VERGNAUD, 2000, p. 20)

Representação

Vergnaud (2000) propõe uma concepção de representação que permite,

em particular, analisar a organização e operação dos esquemas que se

elaboram durante a experiência. A relevância da representação para a ação do

problema é evidente no trabalho de Vergnaud (1987) desde a maneira como a

concebe, explicando os termos da relação de três elementos: referente,

significado e significador.

O referente é o mundo real tal e como se apresenta ao aluno, ao longo

de sua experiência. O mundo vive mudando e o aluno atua sobre ele para

produzir eventos e efeitos que lhe dêem prazer o que está de acordo com suas

expectativas e representações, conscientes ou inconscientes.

O significante está no coração da teoria da representação, no sentido de

que é neste nível donde se reconhece as invariantes, as inferências, as ações

geradas e as previsões feitas.

O significado consiste em diferentes sistemas simbólicos que estão

diferencialmente organizados... É essencial que os símbolos empregados na

comunicação estejam no âmbito dos significadores, enquanto que os

significados estão no âmbito dos significantes.

Vergnaud (VERGNAUD e RÉCOPÉ, 2000) reconhece três

entendimentos da representação que são parte da literatura psicológica e que

se corresponde com os elementos antes descritos e um quarto entendimento

que integra os anteriores:

1. Como fluxo de consciência. Mediante a percepção e a imaginação que

contribuem para identificação dos objetos, suas propriedades e suas

relações.

2. Como um sistema de invariantes. Os significados relativos a conceitos

em ação e teorema em ação que permitem pensar e atuar na realidade.

3. Como um sistema de signos e símbolos. Que mediam a comunicação e

o pensamento. Neste sistema é essencial o vínculo entre os invariantes

e a linguagem natural.

4. Como uma assembléia de esquemas que, ao ser integrados, organizam

a atividade e permitem:

a. Simular a realidade e antecipá-la. O aluno, mediante seu

conhecimento de conceitos e princípios matemáticos e seu

conhecimento acerca das representações gráficas, lingüísticas e

simbólicas, simula os eventos e relações expressadas em um

problema e antecipa seu comportamento na solução;

b. Organizar e dirigir a atividade. A partir da representação, na

solução de u problema os alunos estabelecem propósitos,

decidem mudar, fazer ajustes, elucidar inferências,e etc.

Os esquemas por si só, são incapazes de dar conta dos aspectos

citados anteriores. Mas na articulação de esquemas em uma representação

capaz de simular, organizar e dirigir a atividade.

Durante o desenvolvimento da atividade, os esquemas se transformam e

são substituídos, dando lugar a novas relações entre esquemas. Neste sentido,

sugere-se que a representação é ao mesmo tempo produto da ação, pois

graças a experiência sobre as situações, os alunos aprendem forma mais

complexa e eficazes de representações (VERGNAUD e RÉCOPÉ, 2000).

As noções integradas de campo conceitual, esquema e representação

constituem um campo de referencia para explicar como da um significado a um

problema e como se atua para solucioná-lo. A noção de campo conceitual

explica a relação entre a estrutura de conceitos que se ativam ao entender os

argumentos de um problema e ao entender sua solução. A noção de esquema

atende a organização da atividade do aluno, como planifica, organiza, decide

suas ações e integra-a e adapta seus conhecimentos na solução de um

problema. Finalmente, a noção de representação explica como o aluno simula,

antecipa e atua sobre o problema, pondo em jogo seus conhecimentos acerca

de conceitos e esquemas que mediam entre o entendimento e a solução deste.

Ao compreender um problema, o aluno o representa, o qual implica

aproveitar conhecimentos já existentes ou construir outros novos. Em sua

representação estão contidos esquemas de entendimento e de solução. O

entendimento pode resultar da evocação e adaptação de um esquema

conhecido ou do descobrimento de u novo. Com base no entendimento, se

levanta uma solução e se antecipa certa resultado. Para solucionar o problema,

o aluno decide qual informação é relevante e decide quais serão s ações

apropriadas, ensaia uma ou mais esquemas de solução e acerta os que são

congruentes co seu entendimento.

Dado o caráter flexível e adaptável do esquema, durante o

desenvolvimento da atividade aluno pode retificar, adequar ou modificar seus

conhecimentos, sempre buscando uma congruência entre seu entendimento e

a solução do problema. Adota novas representações que se vinculam com

formas de representação que já lhe são válidas. Estas relações, entre

representações, são um indicador claro da evolução do conhecimento.

Referencia Bibliográfica

MAGINA, S. et al. As estruturas aditivas nas séries iniciais do ensino fundamental: um estudo diagnóstico em contextos diferentes. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, México, v. 10, p. 219-239, 2007.

VERGNAUD, G. Conclusion Chapter, en C. Janvier (ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, Hillsdale, NJ, Lawrence Erlbaum,1987, pp. 227-232. ______. La théorie dês champs conceptuals. Recherches en Didactique dês Mathématiques. RDM, 10 (2.3). Grenoble, 1990. (p. 133-169).

––––––“Constructivism et apprentissage des mathematiques”, Trabajo presentado en la Conferencia sobre Constructivismo en Ginebra, Suiza, 2000

VERGNAUD, G. y M. RÉCOPÉ, “De Revault d’allonnes à une théorie du schème aujourd’hui”, Psychologie Française, 2000, vol. 45, núm. 1