A. Sistema de primeira ordem; b. gráfico do pólo plano s.
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a. Sistema de primeira ordem;
b. gráfico do pólo
plano s
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Resposta de um sistema de primeira ordem a um
degrau unitário
Inclinação inicialConstante de tempo
63% do valor final parat = uma constante de tempo
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,9
1,0
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DEFINIÇÕES• Constante de Tempo para um sistema de
primeira ordem é o tempo necessário para que a resposta ao degrau alcance 63% de seu valor final;
• Tempo de Subida para um sistema de primeira ordem é o tempo necessário para que a resposta ao degrau varie de 10% até 90% de seu valor final
aTr
2,2
aTc
1
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DEFINIÇÕES
• Tempo de Estabilização para um sistema de primeira ordem é o tempo necessário para o que a resposta ao degrau alcance 98% do valor de estado estacionário da resposta
aTs
4
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EXEMPLO: Resultados de
laboratório de um ensaio com
resposta de um sistema ao
degrau. Encontre a Função de
Transferência deste sistema
Tempo (s)
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0,45
0,13
0,72
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Exemplo
• A resposta ao degrau mostrada no gráfico anterior foi traçada para:
7
5
s
sG
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EXEMPLO
• Calcule o Valor Final, Constante de Tempo, o Tempo de Estabilização e o Tempo de Subida para o sistema de primeira ordem mostrado abaixo quando o mesmo é submetido a uma entrada degrau unitário:
50
50)(
s
sG
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EXEMPLO
aTc
1
aTr
2,2
aTs
4
150
50lim
50
50limlim
000
sss sssssGc
02,050
11
aTc
044,050
2,2rT
08,050
44
aTs
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Resposta no Domínio do Tempo:
Sistemas de segunda ordem:• Resposta Superamortecida;• Resposta Subamortecida;• Resposta sem Amortecimento;• Resposta Criticamente Amortecida; • Frequência Natural; • Relação de Amortecimento;
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Sistemas de Segunda Ordem
bass
bsG
2
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Encontre a resposta ao degrau para os quatro sistemas de segunda ordem
mostrados abaixo:
99
92
ss
sG
92
92
ss
sG
9
92
s
sG
96
92
ss
sG
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Generalizando um sistema de Segunda Ordem
• Frequência Natural do Sistema
• Relação de Amortecimento do Sistema
22
2
2 nn
n
sssG
n
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Definição da Relação de Amortecimento -
• Relação entre a “frequência exponencial de decaimento” e a “frequência natural não amortecida do sistema”:
• Para um sistema sem amortecimento os pólos estão no eixo imaginário e portanto na expressão acima
bass
bsG
2
0a
n
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Definição da Relação de Amortecimento -
• Portanto os pólos valem:
• Logo:
• Para o sistema amortecido as raízes valem:
bjs 2,1
2n
n
b
b
2
42
1
22
2,1
a
abaa
s
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Definição da Relação de Amortecimento -
• Temos então:
22
2
2
2
2
nn
n
n
n
n
sssG
a
a
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Respostas de segunda ordem em função da relação de amortecimento
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Parâmetros de Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem
• Tempo de Subida: tempo para a resposta variar de 10% até 90% do seu valor final;
• Tempo de Estabilização: tempo necessário para que a resposta ao degrau alcance 98% do valor de estado estacionário;
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Parâmetros de Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem
• Tempo de Pico: tempo necessário para que a resposta alcance seu valor máximo;
• Ultrapassagem Percentual (Sobrenível Percentual): O quanto o valor da resposta (em Percentual) ultrapassa no tempo de pico o valor de estado estacionário da resposta.
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Especificações da resposta de segunda ordem subamortecida
máx
1,02
0,98
0,9 cfinal
0,10,1 cfinal
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Tempo de Pico
tsenedt
tdc
sssC
sssC
ssssC
dt
tdc
ntn
nn
nn
nn
n
nn
n
n 2
2
222
2
2
222
2
22
2
11
1
1
1
1
2
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Tempo de Pico
2
2
2
2
2
2
1
11
...2,1,0;1
01
011
n
p
p
n
n
n
ntn
T
nparaocorreTn
t
nnt
tsen
tsenedt
tdcn
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Percentual de Ultrapassagem (Sobrenível Percentual)
%100%
1
1cos1
11
111cos1
:1
11
1cos1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
22
21
2
2
2
2
xeUP
etc
senetc
senetc
temosTpicodetempoaoigualtpara
tsentetc
n
n
n
n
n
p
nnt
n
n
n
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Tempo de Estabilização
ns
ns
n
t
t
nt
T
T
t
e
e
tetc
n
n
n
4
7,4102,0ln9,0;92,3102,0ln1,0
102,0ln
102,0ln
102,0
02,01
1
1cos1
11
22
2
2
2
2
2
2
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%100%21 XeUP
100/%ln
100/%ln22 UP
UP
21
n
pTn
sT 4
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Ultrapassagem percentual em
função da relação de amortecimento
Relação de amortecimento,
Ult
rapa
ssag
em p
erce
ntua
l,%U
P
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
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Tempo de subida normalizado
versus relação de amortecimento
para uma resposta de
segunda ordem subamortecida
Relação de amortecimento
Tem
po d
e su
bida
× F
reqü
ênci
a na
tura
l
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,00,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,90,80,70,60,50,40,30,20,1 1,104
1,2031,3211,4631,6381,8542,1262,4672,883
Tempo de subida
normalizado
Coeficiente de
amortecimento
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Respostas de segunda ordem subamortecidas com os valores da relação de
amortecimento
0,11,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,2
0,40,5
0,80,6
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Exemplo
• Encontre para uma entrada degrau para o sistema abaixo
sp TeUPT %,
10015
1002
ss
sG
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plano s
2
22 1
cos
nn
n
RELAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS DE RESPOSTA AO DEGRAU E A POSIÇÃO DOS PÓLOS DE G(S) NO PLANO “s”
AMORTECIDA
NATURALFREQUÊNCIAd
AMORTECIDA
LEXPONENCIAFREQUÊNCIAd
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dn
pT
21
dnsT
44
AMORTECIDALEXPONENCIAFREQUÊNCIA
AMORTECIDAOSCILAÇÃODEFREQUÊNCIA
d
d
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Linhas de valores constantes para tempo de pico, Tp, tempo de assentamento, Ts, e ultrapassagem percentual, %UP - Nota: %UP1 < %UP2
2
22 1
cos
nn
n
dn
pT
21
plano s
%UP1
%UP2
dnsT
44
![Page 35: A. Sistema de primeira ordem; b. gráfico do pólo plano s.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062512/552fc160497959413d8e910d/html5/thumbnails/35.jpg)
Respostas ao degrau de sistemas de segunda
ordem subamortecidos à medida que os pólos
se movem:a. com parte real
constante;b. com parte imaginária
constante;c. com relação de amortecimento
constante.
A mesma envoltória
A mesma freqüência
A mesma ultrapassagem
plano s
plano s
plano s
Movimentaçãodo pólo
Movimentaçãodo pólo
Movimentaçãodo pólo
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Exemplo:Encontre
plano s
spn TUPT ,,%,,
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%100%21 xeUP
100/%ln
100/%ln22 UP
UP
21
n
pTn
sT 4
![Page 38: A. Sistema de primeira ordem; b. gráfico do pólo plano s.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062512/552fc160497959413d8e910d/html5/thumbnails/38.jpg)
Resposta de Sistemas com três pólos
rdn
dn
s
D
s
CsB
s
AsC
22
tdd
t rn DetCsentBeAtc cos
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Influência de Terceiro Pólo em um sistema de Segunda Ordem
• Quanto menor a Constante de Tempo do pólo menor sua influência na resposta
• Quanto mais a esquerda do plano “s” estiver o pólo menor será o resíduo associado a este pólo (ver exemplo a seguir)
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Influência do Resíduo do Terceiro Pólo
000045,0,0067,0,135,0
0024,0....)10(22
2
024,0....)5(22
2
5,0....)2(22
2
1052
102
52
22
eee
etcssss
sC
etcssss
sC
etcssss
sC
t
t
t
![Page 41: A. Sistema de primeira ordem; b. gráfico do pólo plano s.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062512/552fc160497959413d8e910d/html5/thumbnails/41.jpg)
Validade de aproximação de Segunda Ordem
• Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três (ou mais) pólos pode ser aproximado por um Sistema de Segunda Ordem se os pólos adicionais estiverem a esquerda dos pólos dominantes, pelo menos cinco vezes mais distantes.
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EXEMPLO•
• -2.0000 + 4.5323i• -2.0000 - 4.5323i
3542,244
626,73
10542,244
42,245
542,244
542,24
23
22
21
sssssC
sssssC
ssssC
![Page 43: A. Sistema de primeira ordem; b. gráfico do pólo plano s.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062512/552fc160497959413d8e910d/html5/thumbnails/43.jpg)
Respostas ao degrau dos
sistemas T1(s), T2(s) e T3(s)
Tempo (s)
Res
post
a no
rmal
izad
a
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4