Depart. de Engenharia ElétricaUniv. Federal do Pará

Belém-Parálimao@gpeb.ufsc.br

40. SBAI- Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente , São Paulo, SP, 08-10 de Setembro de 1999

IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS ORIENTADOS À BLOCOS ATRAVÉS DEREDE NEURAL COM DINÂMICA INTERNA

R. C. L. de Ollveíra', F. M. de Azevedo'', J. M. Barreto", J. A. L. Barreiros!lLab. de Controle e Sistemas 2Grupo de Pesquisa Eng. 3Depart. de Informática e

Biomédica EstatísticaDepart. de Engenharia Elétrica Univ. Federal de Santa Catarina

Univ. Federal de Santa Catarina Florianópolis - Santa CatarinaFlorianópolis - Santa Catarina barreto@inf.ufsc.br

azevedotãgpeb.ufsc.br

Keywords : non-linear process, neural networks, block-oriented systems, identification.

Resumo - Processos dinâmicos não-lineares orientados àblocos são identificados através de uma rede neural artificial(RNA) com dinâmica interna, a partir das medidas de entrada esaída do processo .

Palavras Chaves: processos não-lineares, rede neural, sistemaorientado à blocos, identificação.

Abstract - Identifícation of biock-oriented nonlinear systems isachieved by a new rnodel of Iocally recurrent globaIlyfeedforward neural network only with input/outputmeasurements .

1 INTRODUÇÃO

modelos não-lineares formados pela combinação de blocosnão-lineares estáticos e blocos dinâmicos lineares (Billings eFakhouri, 1978). Exemplos destes modelos são : modelo deWiener (Sbárbaro e Johansen, 1997), modelo de Hammerstein(Âstrõm e Wittenmark, 1995), modelo Wiener-Hammerstein(Haber e Unbehauen, 1990) e modelo Hammerstein-Wiener(Bai, 1998), como observados na figura a seguir .

Oin1mia Uour H NIk>L.inearid1dcE.stática

Ca)Modelo &::

W.o.I..bearidadcEsWic.a H Oicl.Jn)QLine.tr F+-(b)MMdodeHm::menr;tcio

Dtn1mk:&UneuH NJ<>.l.louri dade&Ulica H Dln1mica Llne.vF(c) Modclode Wlcncr-lWnmc:nttln

NJo.Uneatidide EcWia HDinlmk:a11DcarHNao.UDClridadc:: ERMk:z

A complexidade e diversidade dos sistemas não-linearespodem ser consideradas como .as razões para a não existênciade uma teoria geral de identificação não-linear (Sjõberg, 1995).Devido a estes fatos é importante estudar · e desenvolvermétodos para identificar classes de sistemas não-lineares.

Existem basicamente duas linhas mestras no desenvolvimentode métodos para identificar processos não-lineares. A primeiradelas é o uso de uma descrição geral para representar oprocesso não-linear. Típicas representações não-lineares geraissão as séries de Voltem e expansão de Wiener (Schetzen,1980), e as RNA's (Sjõberg, 1995). O uso prático destesmodelos envolve a decisão de quais termos da série.de Volterrae da expansão de Wiener serão utilizados, ou então qual atopologia da rede neural, para uma dada aplicação . Nãoexistem receitas para guiar esta seleção da estrutura do modelonão-linear quando há ausência de conhecimento sobre .0processo identificado (BilIings e Chen, 1995).

A segunda linha é considerar classes especiais de modelos não-lineares , tais como sistemas bilineares (Dunoyer et alii, 1997),sistemas affine (Liu e Celikovsky, 1997), etc. Uma das classesde sistemas não-lineares mais estudadas é aquela que considera

197

Figura 1 - Modelos Não-Lineares orientados à blocosNestes modelos apenas os sinais de entrada e de saída sãodisponíveis . Todos os outros sinais intermediários não sãodisponíveis. Estes modelos são do tipo caixa-cinza porqueexiste o conhecimento prévio da sua estrutura.

Estes modelos podem servir para aproximar processos que sãoencontrados em algumas aplicações importantes , tais como :controle de pH (pajunen, 1994), fluxo de fluidos (Zhang e Bai,1996), sistemas lineares com sensores não-lineares (Doeblin,1983), dentre outros.

2 IDENTIFICAÇÃO DE PROCESSOSORIENTADOS À BLOCOS '

Estes modelos orientados à blocos são identificados pormétodos paramétricos e não-paramétricos. Os métodosparamétricos tratam a não-linearidade como sendo do tipopolinomial finita, de ordem conhecida e o sistema com umaúnica entrada. Neste caso, o algoritmo de identificação daspartes lineares e não-lineares são dependentescomputacionalmente, ou seja, os parâmetros de uma parte são

(8)

Camada de Salda. Camada de Entrada Camada In\Crn1cdiária

Por conter neurônios com dinâmica linear e com não-linearidade estática o modelo neural da figura 3 estácompletamente adequado para implementar modelos deprocessos orientados à bloco s. A figura a seguir mostra como arede neural implementa os quatro modelos da figura 1.

Existem na literatura trabalhos que utilizam RNA's naidentificação de processos orientados à blocos (Al-Duwaish etalii, 1996). Entretanto nestes trabalho a RNA é do tipofeedforward multicamadas estática, e serve para identificarapenas a parte não-linear estática do processo, a parte dinâmicalinear é identificada através de um modelo ARMA com o usodo algoritmo dos mínimos quadrados recursivos.

ou,

Figura 3. RNA com dinâmica interna

4 IDENTIFICAÇÃO NEURAL

y(k) =N[W,x(k -I),u(k -I)] (9)

que formaliza o modelo dado pelas equações (1) e (2) . Oalgoritmo de aprendizado (De Oliveira et alii, 1997) ajustará oselementos de W de tal forma que N(.) "" <1>(.).

O uso da rede neural com dinâmica interna na implementaçãode modelos para processos orientados à blocos tem as seguintescaracterísticas : método de identificação unificado para osmodelos da figura 1; método de identificação que devido atopologia das RNA's serve para identificar sistemas SISO eMIMO; a partir da capacidade de aproximação não-linear dasRNA's, não existe restrições quanto ao tipo de não-linearidadeestática presente no processo; permite a identificaçãosimultânea dos blocos dinâmicos lineares e dos blocos não-lineares estáticos. A aplicabilidade da identificação neural paraesta classe de processos é ilustrada através de vários exemplossimulados.

5 EXEMPLOS SIMULADOSO procedimento de identificação neural é mostrado na figura 5. Para validar o modelo gerado pela RNA com dinâmicainterna, é utilizado um conjunto de testes de validação propostopor BilIings e Chen (1995). Estes testes são representados poralgumas estimativas de funções correlações .amostradas, quedeterminam a qualidade do modelo encontrado.

(1)(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

sarda.r----,

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considerados constantes enquanto os parâmetros da outra parte com,são determinados (Ãstrõm e Wittenrnark, 1995) .

net x y

Figura 2 - Modelo de neurônio artificialDado um processo, representado por,

x(k + I) =.Ax(k)+ Bu(k)=

Na tentativa de superar alguns destes problemas e apresentarum método de identificação unificado para os quatro modelosnão-lineares mostrados na figura 1, este trabalho apresenta ummodelo neural com dinâmica interna como uma alternativapara a modelagem de processos orientados à blocos.

A RNA utilizada inclui neurônios dinâmicos, responsáveis peladinâmica linear, e neurônios estáticos, responsáveis pela não-linearidade estática. O algoritmo que ajusta os parâmetros daRNA, de forma a tomar a saída da rede igual a saída doprocesso, é do tipo backpropagation.

A figura 2 mostra um modelo geral do neurônio artific ial (DeAzevedo , 1997) . Este modelo possibilita a inclusão dedinâmica através da função de ativação, responsável peloestado do neurônio, e apre senta a função de saída estática quegera o sinal de sa ída do neurônio. Uma RNA com dinâmicaintern a, que utiliza este modelo de neurônio é vista na figura 3.

Embora estes métodos de identificação, paramétricos ou não-paramétricos, tenham sido desenvolvidos para sistemasorientados à blocos, os mesmos não são aplicadosindistintamente para os quatro tipos de modelos da figura 1.Por exemplo, os procedimentos de identificação desenvolvidospara o modelo de Wiener-Hammerstein (Billings e Fakhouri,1978), modelo de Hammerstein (Rangan et alii, 1995) emodelo de Wiener (Sbárbaro e Johansen, 1997) não se aplicamaos modelos de Hammerstein-Wiener, devido a existência deduas não-linearidades. Já o método desenvolvido para omodelo de Hammestein s6 se aplica ao modelo de Wiener se anão-linearidade deste for inversível (Greblick, 1992).

3 RNA COM DINÂMICA INTERNA

onde k é o instante de amostragem, A é a matriz de dinâmicanxn, B é o vetor entradanxl, u(k) é o sinal de entrada, x(k) é ovetor de estados nxl, y(k) é o sinal de saída, e <D(.) é a funçãonão-linear de saída que realiza o mapeamento 1, omesmo pode ter um modelo representado pela RNA da figura3. Da figura 3 tem-se que,

S;(k)=h[x;(k)]1)= qlJei(1q+... ...+

+ Tttt(k:)net;(k) = wh/l(k)

ou,

O sinal de saída da RNA será,

y(k) =1WSh[Ax(k - 1) +W1u(k-I)] (7)

198

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(12)

coletadas para um sinal .de entraàa do tipo senoidal comomostrado na equação abaixo (NA é o número de amostras).

j2sen( 2 k tr )+0.2 ,kSlOOll(k) = NAl 4

(2ktr )2sen -- +0.2 ,k>lOONAl2

A RNA utilizada é formada por 4 camadas de neurônios : aprimeira camada apresenta um único neurônio com funçãoativação identidade, significando um neurônio estático, efunção de saída do tipo tangente hiperbólica; a segunda camadatem dois neurônios com função ativação do tipo equação adiferenças de primeira ordem, onde a entrada do neurônio éafetada pelo estado do próprio neurônio, equações (13) e (14),e função de saída do tipo tangente hiperbólica;

xj(k+l) =aiixj(k) +net;(k) (13)

A=[oJl O] (14)O 0 22

a terceira camada contem seis neurônios com função ativaçãoidentidade, significando neurônios estáticos, e função de saídado tipo tangente hiperbólica; a última camada tem um úniconeurônio com função ativação identidade, significando umneurônio estático, e função . de saída do tipo tangentehiperbólica.

A identificação se deu em duas etapas : uma sessão detreinamento, onde a RNA teve os seus pesos ajustados emfunção dos dados coletados e outra sessão onde foi calculada aestimativa das funções correlações amostradas. Os resultadossão mostrados a seguir. A figura 6 mostra o comportamento daRNA após o treinamento (195077 iterações) e a figura 7 mostraa estimativa das funções correlações cruzadas. O modelo éadequado se todas as estimativas estiverem entre as linhastracejadas, que é a banda de confiança (Billings et alii, 1992).

5.2 Modelo de Wiener

&<nd,

(b)RNA implementando um modelo de Hammerstein

(c) RNA implementando um modelo de Wiener-Hammerstein

(a) RNA implementando um modelo de Wiener

(d) RNA implementando um modelo de Hammerstein-WienerFigura 4 - RNA com dinâmica interna implementandomodelos dinâmicos não-lineares orientados à blocos

»(»

O processo não-linear do tipo Wiener de segunda ordem édescrito abaixo,

XI (k +I) = -D.7XI (k)+ O.2X2 (k)+ u(k) (f5)x2(k + l ) =0.3xl(k) -0.6x2(k )

Y(k ) = sen((xI (k»)2 )+d(k) (16)o.tu

Sn al d. Salda do Proc. sso (_>. Sk\ald. Sa ldada RNA( )

0.00 40.01:1 ao.oo 120.00 160.00 200.00lnstanlt de AlnOltragel':'l

Figura 6 - RNA após de aprendizado, para o modelo deHammerstein-Wiener

Fig. 5. Identificação neural

5.1 Modelo de Hammerstein-Wienero processo não-linear do tipo Hammerstein-Wiener de segundaordem é descrito por,

Xj(k +1) = -D.7Xj(k)+O.ltanh[u(k)] (lO)(k+1)= (k) +O.21atlh[u(k)]

y(k) = [Xj(k)J' +d(k) (11)

onde k é o instante de amostragem, x(k) é o vetor de estados,u(k) é o sinal de entrada, y(k) é o sinal de saída e d(k) é asequência de ruído de medida. O ruído é simulado por umasequência pseudo-aleatória de distribuição normal com média0.0 e variância 0.0003. Este valor de variância foi escolhidopara que o ruído não deformasse completamente o sinal desaída. O conjunto de treino é formado por 200 amostras

0.00

;;;:[ ....ª

' .00

199

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l ':C:J::] ":c:::J:!OO o 2OO :!m o an

Figura 7· Funções Correlações: Phi1=l1>a;('r); Pbi2=l1>ue('t");Pbi3=l1> 'Z ('t"H Phi4=l1> 'Z 2('t"); Pbi5=l1>e(f71)('t")

u e u e

o ruído é simulado de maneira análoga ao caso anterior,apenas modificando-se a variância para 0.05, O conjunto detreino é formado por 200 amostras coletadas para um sinal deentrada do tipo senoidal como mostrado na equação abaixo;

)+O.2,k $100 (17)u(k ) = (2kfr )

1.3sen -- -nz.mcoNAl2

A RNA utilizada é formada por 4 camadas de neurônios : aprimeira camada apresenta um único neurônio com funçãoativação identidade e função de saída do tipo linear comsaturação (saturação igual a 100); a segunda camada tem doisneurônios com função ativação do tipo equação a diferenças deprimeira ordem, onde a entrada do neurônio é afetada pelosestados de todos os outros neurônios dinâmicos, equações (18)e (19), e função de saída do tipo tangente hiperbólica;

Xl (k+ I)=alJxI (k)+aI2x2(k)+lletl (k) (18)X2(k+I)=a2lxI (k) +a22x2(k)+net2(k)

A = [ a11 a12J (19)a21 a22

a terceira camada contem dez neurônios com função ativaçãoidentidade e função de saída do tipo tangente hiperbólica; aúltima camada tem um único neurônio com função ativaçãoidentidade e função de saída do tipo linear com saturação(saturação igual a 100).

Como anteriormente, a identificação se deu em duas etapas :treinamento e cálculo da estimativa das funções correlaçõesamostradas. A figura 8 mostra o comportamento da RNA apóso treinamento (26852 iterações) e a figura 9 mostra aestimativa das funções correlações cruzadas.

Sinal d. Salda doProeeuo(_)a Slnald. Saldada ANA( )

" 'JI," ,1\ ,

I V'

•. o - - N b - - - -- - -. f - - _.

.1 .1·:200 · tOO o 100 200 -200 ·100 o 100 200-Q. - - Q. - --

·1 .1-:DO -tce o '00 200 -2)0 ·100 o 100 200

Q.. • •_ •

•1o $0 "XI 1:lO 200

Figura 9 - Funções Correlações: Phi1= <1Ia;('t"); Phi2= <f>ue('t") ;

Phi3=l1> 'Z ('t"); Phi4=<f> 'Z 2('t"); Phi5=l1>e(f71)('t")U € u s

5.3 Modelo de Hammersteino processo não-linear do tipo Hammerstein de segunda ordemé descrito pelas equações abaixo,

xI(k+l) =O.8Xl(k)- X2(k)+ /[u(k)] (20)x2(k + 1)=O.15xI(k)+ O.3/ [u(k )]y(k)= xI(k)+d(k) (21)/[u]=u-0.9u2 +0.35u3 (22)

o ruído é simulado de maneira análoga ao da seção 5.1, apenasmodificando-se a variância para 0.3. O conjunto de treino éformado por 200 amostras coletadas para um sinal de entradaigual ao da equação (17).

A RNA utilizada é formada por "5 camadas de neurônios : a "primeira camada apresenta um único neurônio com funçãoativação identidade e função de saída do tipo linear comsaturação (saturação igual a 10); a segunda camada contemnove neurônios com função ativação identidade e função desaída do tipo tangente hiperbólica; a terceira camada apresentaum único neurônio com função ativação identidade e função desaída do tipo tangente hiperbólica; a quarta camada tem doisneurônios com função ativação do tipo equação a diferenças deprimeira ordem, onde a entrada do neurônio é afetada pelosestados de todos os outros neurônios dinâmicos, equações (18)e (19), e função de saída do tipo tangente hiperbólica ; a últimacamada tem um único neurônio com função ativaçãoidentidade e "função de saída do tipo linear com saturação(saturação igual aIO).

( " \ ' \ I

V Jl O t iO 200

Inl tl.ntl d. AmOllflg.m

Figura 10 - RNA após aprendizado para o modelo deHammerstein

I I I I40 !O 120 180

InstantadI Amostragam

I'"

Figura 8 - RNA após aprendizado para o modelo de Wiener

200

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(31)

(30)'EB" ,EO - - - ;;oB----Q. - ll... - - - ---

.20) .100 o 100 200 ..200 ·UI) o 100 200;;:8--- -Q,. - - -- o. - -- - . - - -

.100 o 100 200 -HO o 100 200

-----.-a.. - - .__ .-

-,o 50 UJJ 1Sl 200

Figura 11 - Funções Correlaçõe: Phil=<I>a:(T); Phi2=<I>u,(T);Phi3=<I> ; (T); Phi4=<1> Z 2(T); Phi5=<I>..I )(T)

U E U e "Dl

Como nos casos anteriores, a identificação se deu em duasetapas : treinamento e cálculo da estimativa das funçõescorrelações amostradas. A figura 10 mostra o comportamentoda RNA após o treinamento (7074 iterações) e a figura 11mostra a estimativa das funções correlações cruzadas.

5.4 " Modelo de Wiener-Hammersteino processo não-linear do tipo Wiener-Hammersteinde segundaordem é descrito abaixo,

xl (k +1) =o.8xfck) -:Xi (k)+u(k) (23)xi (k + 1) =O.15x f (k )+03u(k) .

y l (k) = J(r:) (24)

j(x:)= xl - ]2 +o.3skP. (25)

outros neurônios dinâmicos, equações (30) e (31), e função desaída do tipo tangente hiperbólica;

xl 2(k+I)=a112xI2(k)+allx/(k)+lletI2(k)X22(k+ I) = a212Xl2(k)+a222x22(k)+ llet22(k)

A ="[aI12 all ]2 2 2a21 a22

a última camada tem uni único neurônio com função ativaçãoidentidade e função de saída do tipo linear com saturação (nívelda saturação igual alO).

Como nos casos anteriores, a identificação se deu em duasetapas : treinamento e cálculo da estimativa das funçõescorrelações amostradas. A figura 12 mostra o comportamentoda RNA após o treinamento (2 iterações) e a figura 13 mostra aestimativa das funções correlações cruzadas.

1.0 Sinal d. Sa lda do ProCfSSO(_ ) • Sinal da Sald. da RNAI )

tO 120lnstan le de

Figura 12 • RNA após aprendizado para o modelo deWieIier-Hammerstein

a terceira camada apresenta um único neurônio com funçãoativação identidade e função de saída do tipo tangentehiperbólica; a quarta camada contem seis neurônios comfunção ativação identidade e função de saída do tipo tangentehiperbólica; a quinta camada apresenta um único neurônio comfunção ativação identidade e função de saída do tipo tangentehip.erbólica; a sexta camada tem dois neurônios com funçãoativação do tipo equação a diferenças de primeira ordem, ondea entrada do neurônio é afetada pelos estados de todos os

o ruído é simulado de forma análoga ao da seção 5.2 . Oconjunto de treino é igual ao da seção 5.3 .

A RNA utilizada é formada por 7 camadas de neurônios : aprimeira camada apresenta um único neurônio com funçãoativação identidade e função de saída do tipo linear comsaturação (saturação igual a 10); a segunda camada tem doisneurônios com função ativação do tipo equação a diferenças deprimeira ordem, onde a entrada do neurônio é afetada pelosestados de todos os outros neurônios dinâmicos, equações (28)"e (29), e função de saída do tipo tangente;

x/(k+l) =alI1xl1(k)+a121X21(k)+net/(k) (28)X21(k+ I) = a 211xi I (k)+a221X21(k)+net21(k)

A =[aIl1 a 121] (29)1 1 1

a21 a22

x f (k +1) /(k)

+ I)

y (k) = x[(k) +d(k )

(26)

(27)--- ----0.. - o. . _. _._-

4-200 -100 o 100 200 -200 .100 o 100 200

·200 .ico o 100 200 .200 _100 o 100 200

0. . • - - - _. _ --

.,50 tOO 150 200

Figura 13 • Funções Correlações: Phil=<I>,,(T);Phi2=<1lu,(T) ;Phi3=<I> z (T)ÕPhi4=1Il Z 2(T) ;Phi5=<I>E(&)(T)

U E u E

6 DISCUSSÃOOs resultados apresentados demostram a utilidade deste novomodelo neural para a identificação dos importantes sistemasorientados a blocos. O teste de validação, embora na literaturatenha sido utilizado apenas para modelos neurais com dinâmicaexterna, também é adequado para redes com dinâmica interna.As pequenas discrepâncias encontradas em algumas funções<I>'s são irrelevantes devido ao pequeno número de pontos forado intervalo de confiança. É conveniente lembrar que emborana tarefa de identificação do processo não-linear feito pela redeneural com dinâmica interna, envolva o aprendizado porexemplos, . para que este modelo possa ser utilizado compresteza é necessário algum conhecimento sobre o processo a

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ser identificado. Esta necessidade de conhecimento se faz em Greblick.i, W. (1992) . Nonpararnetric Identification of Wieneraplicações que envolvam redes neurais ou em outras Systems. IEEE Trans. on Infonnation The01Y, VoI. 38,abordagens para a identificação de processos dinâmicos No. 5, pp. 1487-1493.(Ninnes e Goodwin, 1995).

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