A N Á L I S E D E E S T R U T U R A S N O E S T A D O

' PLANO D E TENS O E S E D E FORMA Ç o·E S

c o M MATE RI AI s E LÁ s TI c os, o R T 6 T R o-

P O S E N Ã O L I N E A R E S ..

. ' Artur Obino Neto

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PRO~RAMAS

DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO

DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTEN

ÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIAS CM.Se.)

Aprovada por:

Presidente

( ='==· ~- P~

RIO DE JANEIRO

ESTADO DA GUANABARA - BRASIL FEVEREIRO DE 1975

i

AGRAVECIMENTOS

A todos que colaboraram na elaboração deste

trabalho;

A Coordenação dos Programas de Pós-Gradua -

çao de Engenharia (COPPE) da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, e

Ao Conselho Nacional de Pesquisas (CNPq) p~

las bolsas de estudo concedidas.

ii

SINOPSE

Este trabalho de Tese consiste na análise de

estruturas segundo uma Teoria da Elasticidade Não Linear com res

peito as propriedades dos materiais. O príncipio da estacionar!

dade da energia é utilizado com condições de elasticidade mais

fracas que a Lei de Hooke Generalizada.

Para a resolução de problemas de estado pla­

no de Tensões ou Deformações é utilizado o método dos elementos

finitos. Sendo que este enfoque recai na resolução de um siste­

ma de equações não lineares, portanto é necessário um processo

incremental-iterativo para resolução do mesmo.

Aplicou-se o trabalho a estruturas de con­

creto supondo que este material funcionasse segundo lei proposta

pelo C.E.B .. A análise é feita até a rotura, que na compressao

admitia a envoltória de Coulomb-Mohr, enquanto que na tração

era suposto o critério de máxima tensão.

iii

ABSTRACT

The present dissertation deals with

structural analysis for elastic-rnaterials with non-linear

constitutive equations. The principle of stationary energy is

shown under weaker conditions than the usual assurnption of a

generalized Hooke's law.

The finite elernent rnethod is

solving plane stress and plane strain problerns.

used

This

for

rnethod

leads to a systern of non-linear equations, which requires an

incrernental-iterative procedure to achieve the solution.

The theory is applied to concrete

structures, assurning that the material behaves according to the

C.E.B. standards. The analysis was perforrned increasing the

external forces until the colapse of the strucuture, assurning

the Coulornb-Mohr covering for cornpression and the rnaxirnurn

stress criterion for tension stresses.

iv

TNVICE

NOTAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

I - INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II - ALGUNS RESULTADOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE

2.1 - Objetivo

2.2 - Equações de Equilíbrio

2.3 - Equações Cinemáticas

2.4 - Teorema do Trabalho

2.5 - Condição de Estabilidade do Material

2.6 - Elasticidade ..... .

2.7 - Teoremas de Minimização

III - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS PARA MATERIAIS ELÃSTICOS,

ESTAVEIS E ORTÕTROPOS . . . . . . . . . . . . 3.1 - Propriedades das Equações Constitutivas

3.2 - Representação Clássica dos Coeficientes da

Matriz Constitutiva . . . . . . . . 3. 3 - Equações Constitutivas para o Estado Plano

de Tensões . . . . . . . . . . . . . 3.4 - Equações Constitutivas para o Estado Plano

de Deformações . . . . . . . . . . . .

.

.

IV - Mt:TODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADOS AO COMPORTA-

MENTO NÃO LINEAR DO MATERIAL . . . 4.1 - fundamentos Teóricos do Método

. .

. .

.

1

4

4

4

5

7

8

10

12

16

16

19

24

27

31

31

V

4.2 - Método dos Elementos Finitos para Estado Pla­

no de Tensões ou de Deformações .

V - PROGRAMA AUTOMÁTICO . . . . . . . . . . . . 5.1 - Considerações Gerais sobre o programa

5. 2 - Subrotinas dos Dados . • . . . . .

5.3 - Subrotinas Retiradas da Referência 11

5.4 - Programa Principal.

5.5 - Subrotina INCRE

5. 6 - Subrotina NOLIN

VI - APLICAÇÕES A ESTRUTURAS DE CONCRETO EM ESTADO PLANO

DE TENSÕES OU DE DEFORMAÇÕES

6.1 - Equações Constitutivas do Concreto

6.2 - Estados Limites do Concreto

6.3 - Aplicação I .

6.4 - Aplicação II

6.5 - Aplicação III

VII - CONCLUSÕES

BIBLIOGRAFIA

APfNDICE A

APfNDICE B

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

46

46

47

47

48

51

52

53

53

56

59

64

74

88

91

93

95

A

A • ri

B • rJ

c .. J.J

E,E. J.

e. J.

vi

NOTAÇÃO

Operador diferencial para as equaçoes cinemáticas

Componentes da matriz do operador

Componentes da matriz que relaciona os deslocamentos no­

dais com as deformações

Componentes da matriz que relaciona as tensões com as de

formações

Módulos longitudinais secantes

Componentes do vetor das deformações

Deformação máxima do concreto antes de plastificar

Funções

f7 Vetor das cargas aplicadas aos nós de um elemento J

F'

G,G. J.

e kjl

K .• J.J

n. J.

N .. J.J

p

Q. J

Máxima tensão de cálculo à compressao do concreto

Máxima tensão de cálculo a tração do concreto

Núcleo da primeira variação de um funcional

Núcleo da segunda variação de um funcional

Módulos transversais secantes

Matriz de rigidez de um elemento

Matriz de rigidez da estrutura

Componentes do vetor normal unitário

Função de interpolação

Energia potencial das forças externas

Componentes do vetor de deslocamentos nodais da estrutura

Componentes do vetor de deslocamentos nodais da estrutura

após a enésima iteração

Componentes do vetor cargas nodais na estrutura

vii

s.. Componentes da matriz que relaciona as deformações com as l.J

tensões

T Energia potencial total

T. Trabalho interno de um campo de tensões p/um campo de de-i

formações.

Te Trabalho das forças externas

u. Componentes do vetor deslocamento do corpo l.

u. Componentes do vetor deslocamento prescrito na fronteira l.

do corpo

u. Componentes do vetor deslocamento do corpo apos a enésima l.

solução.

u* Componentes do vetor deslocamento solução l.

u .. = l. 'J

Derivadas do vetor deslocamentos em relação as coorde

nadas cartesianas

u Energia potencial de deformação ...

U" Energia complementar de deformação

V Domínio do corpo

ve Domínio do elemento

W Densidade de energia de deformação

w* Densidade de energia complementar de deformação

x. Coordenadas cartesianas l.

X. Componente do vetor das forças de massa por unidade de J

volume

aI: Fator de aceleração para a convergência l.

ó Primeira variação

a2 Segunda variação

e.. Componentes do tensor das deformações l.J

n Função variação

a. Componente do vetor das tensões l.

viii

Componentes do tensor das tensões a •• l.J

Derivadas do tensor das tensões em relação as coor-a cr ..

cr. . . =__;!:]_ iJ,i a .

xi denadas cartesianas

cr . Componentes do vetor das tensões precritas na fronteira UJ

Í1 fronteira com tensões prescritas

} 2 fronteira com deslocamentos prescritos

v,v.,v .. Coeficientes de Poisson l. l. J

Se somente se

--+ Acarreta

Existe pelo menos um

Qualquer que seja

Pertencente

( ) Tensor

[ J Matriz

{ } Vetor

< , > Produto interno

1 • 1 Norma de um espaço de energia

1 l·I I Norma de um espaço de Hilbert

1 • 1 k Semi-norma de ordem k

D Saída do computador

~~~> Chamada de subrotina

<~~__,> Comando iterativo

> Comando condicional ~---J

1

I - INTROVUÇAO

Na formulação da Teoria Matemática da Elastici

dade para problemas estáticos da Mecânica do Contínuo, ocorrem 3

tipos de equações:

1) Equações de Equilíbrio no interior do corpo e na fronteira on­

de existem tensões prescritas.

2) Equações Cinemáticas nas quais as deformações sao relacionadas

com os deslocamentos no interior do corpo ou então, os desloca

mentos são prescritos na fronteira.

3) Equações Constitutivas onde o campo de deformações está rela­

cionado ao campo de tensões, sendo que essas equaçoes dependem

essencialmente do tipo de material do corpo elástico analisado.

A linearização da Teoria da Elasticidade é fei

ta em 2 níveis distintos:

1) Linearização das Equações Cinemáticas que acarreta uma invari­

ância na geometria do corpo analisado antes e após as solicita­

çoes. Esta hipótese é mostrada detalhadamente por Novozhilov

[ref.1].

2) Linearização das Equações Constitutivas, que caracteriza-se pe­

la aplicação da Lei de Hooke Generalizada.

o No presente trabalho apresenta-se somente

primeiro nível de linearização (Linearidade Geométrica); logo os

problemas analisados apresentarão uma Não Linearidade Física ou de

Material.

2

Embora este tipo de análise (não linear) utili

zando o método dos Elementos Finitos seja encontrado em alguns tra

balhos [ref. 2,3,4 e S];tomou-se como base a [ref. 6]. Nesta re­

ferência sao apresentados vários processos para a resolução de sis

temas de equações não lineares: incremental, iterativo e misto.

Aqui, utiliza-se o método misto (incremental e iterativo), pois

este permite o conhecimento de resultados parciais (método incre­

mental) e também de uma solução com a aproximação função de um

erro pré-estabelecido (método iterativo).

Torna-se,então, necessario conhecer resultados

básicos da Teoria da Elasticidade, como o Teorema da Mínima Ener­

gia Potencial Total, sem "a priori" introduzir a Lei de Hooke gene

ralizada. (Cap. II).

Quanto a obtenção das equaçoes constituti -

vas para um material de comportamento nao linear, foi seguida a o­

rientação dada por Calcete [ref.BJ, para problemas de estado pla­

no de tensões. (Cap. III).

Para a resolução do sistema de equaçoes nao

lineares desenvolveu-se um algoritmo baseado no trabalho de Iakvlev

[ref.9], sendo que a convergência da solução é mostrada através

dos resultados apresentados por Oden (_ref.10]. (Cap. IV).

Com base nas considerações feitas acima a-

daptou-se, para uma análise não linear, o programa automatico da

~ef.11] e algumas aplicações a estruturas de concreto sao apre-

sentadas no Capítulo VI. Deve ficar claro que soluções mais reais'

só poderão ser obtidas utilizando-se equações constitutivas ajusta

3

das às curvas experimentais, como as descritas por Kupfer [ref.

12 e 13] .

Quanto a hipótese de ortotropia, admitida ao

nivel de cada elemento, resulta da simplificação de considerar a

curva tensão-deformação do CEB do estado de compressão simples

válida segundo as direções principais. Esta consideração equiva

le a uma simplificação da real anisotropia do concreto em estado

múltiplo de tensão.

4

II - ALGUNS RESULTAVOS VA TEORIA VA ELASTICIVAVE

2.1 - OBJETIVO

Na utilização de métodos diretos para a mini

mização de funcionais, que solucionem problemas da Teoria da Elas

ticidade é necessário conhecer alguns resultados como o Teorema'

da Energia Potencial Total.

Neste capítulo quer-se demonstrar suscinta­

mente este teorema e principalmente analisar as hipóteses funda -

mentais necessárias para êste objetivo; de forma que não seja im­

posto, "a priori", a Linearidade das Equações Constitutivas.

f importante observar que o comportamento e­

lástico dos materiais será uma hipótese básica, porém segundo con

dições mais fracas que a Lei de Hooke Generalizada.

Da referência [7] tem-se os seguintes resul­

tados:

2.2 - EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

Equilíbrio interno das forças aplicadas ao e

!emento infinitesimal de um corpo deformável.

cr ••• +X.=O J.J,J. J

iej=l,2,3 (2.1)

cr •• - componente do tensor das tensões l.J

Xj - fôrças de massa por unidade de volume aplicadas ao

corpo.

5

Equilíbrio interno dos momentos aplicados ao

elemento infinitesimal do corpo, supondo que não há momentos dis­

tribuídos no seu volmme:

(J •• = (J .. l.J Jl.

( 2. 2)

Conclui-se, então, que o tensor das tensões é

simétrico e também demonstra-se que existem eixos ortogonais nos

quais anulam-se as componentes de Índices desiguais; estes eixos

são denominados de principais.

Equilíbrio para tensões prescritas na frontei

ra do corpo:

: O• • • n. l.J l.

em } (2.3) 1

a - componente do vetor das tensões prescritas na nj fronteira.

n. - componentes do vetor normal unitário a fronteira l.

do corpo segundo a direção i.

} - fronteira com tensões prescritas.

1

2.3 - EQUAÇÕES CINEMÁTICAS

Estas equaçoes, como já foi mencionado, rela­

cionam os deslocamentos e as deformações:

1 E • • = - 2- ( u. . + u. . + uk . . uk . )

l.J 1,J J ,1 ,1 ,J (2.4)

6

e .. - componente do tensor das deformações 1.J

u. - componente do vetor dos deslocamentos do corpo na 1.

direção i.

De (2.4) mostra-se:

E••::: E•• (2.5) 1.J J l

Portanto, o tensor das deformações é simétri­

co e apresenta eixos principais analogamente ao tensor das ten -

soes.

Uma das linearizações da Teoria da Elastici­

dade é feita ao desprezar-se os termos de 29 ordem na expressao

(2.4), isto é, supõe-se as deformações e rotações da mesma ordem

e ambas desprezíveis frente a unidade; pode-se mostrar [ref.1] que

o domínio e a fronteira do corpo são tratadas como invariantes

então, (2.4) transforma-se em:

1 E • • : -

2- ( U. , + U • • )

1.J 1.,J J,l (2.6a)

~

Ao escrever estas equaçoes sera suposta impl!

citamente a integrabilidade do campo de deformações com respeito

aos deslocamentos, isto é, existe o campo de deslocamentos capaz

de gerar o de deformações. As relações entre deformações e deslQ

camentos apresentarão portanto, uma Linearidade Geométrica.

A prescrição de valores de deslocamentos na

7

fronteira é:

u. = u. l. l.

em 2 (2.6b)

2

u. - vetor de deslocamentos prescritos na fronteira. l.

2 - fronteira com deslocamentos prescritos.

2

2. 4 - TEOREMA DO TRABALHO

mostra-se:

Das equações de equilíbrio e cinemáticas de-

TI = T e

TI = Jv

cr .. e: •• dV (2.7) l.J l.J

T1 - trabalho interno do campo de tensões por um

de deformações.

campo.

V - domínio do corpo

T = li 'ni . ui d 2 + f x. . ui dV e l.

1 V

1

T - trabalho das forças externas que equilibram o campo e

~ . cr .. por um campo de deslocamento, compativeis com l.J

as ligações, que gera E • • • l.J

8

f importante observar que as seguintes afirm2

çoes sao demonstráveis:

a) E E E C

b) E C T T

c) E E T T

-+- E E

-,. E C

E E equaçoes de equilíbrio

E C equaçoes cinemáticas

T T teorema do trabalho

2. 5 - CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE DO MATERIAL

Seja um corpo submetido a um estado de equil!

brio e õX, e ôan. componentes de vetores que sao forças exte-J. 1-

riores adicionais ao equilíbrio originando um campo de tensões

( ôa · · ) ; 1-J

seja, também, ôU· componente do vetor de deslocamen-1-

tos não identicamente nulos compatíveis com as ligações externas

do corpo gerando um campo de deformações

de deslocamentos virtuais.

De (2.7), tem-se:

Trabalho externo realizado:

x. 1-

u. 1-

dV +

\ 1

( ô e: • • ) ,· denominados ' J.J '

n. 1-

u. 1-

tem-se:

9

Trabalho interno realizado:

TI = Jv ºªij Ô E •• dV

l.)

e, T = T I e

Demonstra-se, então, [ref .14]

a) Equilíbrio instável:

b) Equilíbrio indiferente:

c) Equilíbrio estável:

A partir da condição de estabilidade de equilíbrio(~) ,

ó a . • l.)

Ó E •• l.)

dV > O

Estendendo-se a relação acima a qualquer volume infinit~

simal do corpo (dV), tem-se o que denomina-se de estabilidade do

material:

Óa. • Ó E •• > Q l.J l.)

Pode-se, então, afirmar:

10

"Na evolução de um estado I e para um estado

II de solicitações, com ligações compatíveis que impeçam

camentos rígidos virtuais, tem-se:

JII

I

li (J •• 1.J

ó e: •• 1.J

t, (J •• ó e: •• > o 1.J 1.J

II I = o •• - o .. 1.J 1.J

II I =e: •• -e: .. 1.J 1.J

deslo-

(2.8)

II o •. 1.J

componente do tensor das tensões no estado II.

I o .. 1.J

idem, para o estado I.

II e: •• 1.J

componente do tensor das deformações no estado II.

I e: •• 1. J

idem, para o estado I. 11

2. 6 - ELASTICIDADE

O material é elástico quando para um determine

do estado de tensões existir uma relação unívoca (função W*) dos

componentes do tensor das tensões tal que:

W* = f(o .. ) 1.J

aw* e: • • = 1.J ao ..

1.J

( 2 • 9)

11

Sendo definida a função (figura 2.1):

w = C1 • • • E • • - W* 1] 1]

6 / "l' ij

, ,

• / w .. /

/ ~

/ f,i, /

Figura 2.1: Representação uniaxial das funções W e W*

E como:

aW* a E ••

1]

= o '

tem-se:

aw = a . . 1]

Logo:

W=f'(e: .. ) 1]

Então sejam os funcionais:

U = Ív W dV

U* = Jv vJf: dV

(2.10)

(2.11)

(2.12)

12

U Energia (Potencial) de deformação

U* - Energia (Potencial) complementar de deformação

E, denomina-se:

W Densidade de energia de deformação

W* Densidade de energia complementar de deformação

Pode-se, portanto, concluir:

"O material elástico e estável acarreta uma cor:

respondência biunívoca entre tensões e deformações".

Supõe-se que o corpo elástico está em um Estado

Natural se nao há solicitações exteriores e a energia de deformação

é nula neste estado. Isto é:

W( E •• ) l.J

3-- o ' sendo w = o - E • • l.J

= o (2.13)

w,':( a .. ) l.J ~ o' sendo W* = o - a .•

l.J = o

2.7 - TEOREMAS DE MINIMIZAÇÃO

O trabalho das forças exteriores para o corpo

ir do estado I para o estado II, supondo este processo quasi es­

tático, isto é, com pequenas acelerações dos deslocamentos (óu.>, de l.

(2.7), tem-se:

l!Te = TII TI = JII [ J X. óu dV + e e l. i I V

+ J ºn. Ó U, d l l 21

l. l.

ou

AT. 1

Utilizando (2.10):

Sendo:

e

Tem-se:

AT = AT. = AU e 1

13

o . • • 1J

ô e: •• 1J dV J =

dV

• ôe:. ·] 1J dV =

AU = JV AW dV

Pode-se, então, assumir que a variação de ene~

gia de deformação ( õU) é:

õ U = f V õW . dV = f V ªij . õ e: •• 1J

• dV (2.14)

14

Seja:

p = - Ív xi u .• dV

/) cr n. u .. d } (2.15) 1. 1.

1.

1 p - Energia potencial das forças externas

De (2.7) e (2.13):

Ív xi óu . dV

/) cr ÓU. • d } =

1. n. 1. l

óP =

1

= J;ij Ó E •• • dV 1.J

De (2.14):

óP = - óU (2.16)

Definindo:

T = P + U (2.17)

T - Energia Potencial Total

Então, de (2.16):

óT = óP + óU = O (2.18)

Usando as equaçoes de equilíbrio (2.1), (2.2)

e (2.3); a equaçao cinemática (2.6) e teorema do trabalho (2.7) '

tem-se:

ôcr •• 1.J

15

ô E. • • dV 1.J

Da condição de estabilidade do material (2.8):

2 ô T > O

As relações (2.17), (2.18) e (2.19)

enunciar o Teorema da Energia Potencial Total:

(2.19)

permitem

"Entre todas soluções a que além de compatível for equi­

librada, minimiza o funcional energia potencial total (T), isto'

~

e: ôT = O e ;

desde que verifiquem as hipóteses de:

Linearidade Geométrica (2.6),

Estabilidade do Material (2.8) e

Elasticidade (2.9). 11

As hipóteses acima serao as utilizadas durante

o trabalho.

16

III - EQUAÇDES CONSTITUTIVAS PARA MATERIAIS ELÃ.STICOS, ESTÁ.VEIS E

ORTé1TROPOS

3,1 - PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS

Como foi visto no capítulo anterior, as rela­

çoes (2,2) e (2.5) garantem a simetria dos tensores das tensões e

das deformações. A partir destas propriedades pode-se escrever os

componentes destes tensores em forma vetorial:

E 11 E 12 El3 E el 11

E22 e2

E E E c:::l> E 33 ~

e3

21 22 23 El2 e

'-1

El3 e 5

E23 e E E E 6 31 32 33

ª11 012 ª13

a a 11 1

ª22 ª2

~ a

~ a

a a a 33 3 21 22 23 a a

12 '-1 a a

13 5 a a

a ·a a 23 6 31 32 33

17

Reescrevendo (2.9) e (2.10):

o· = ].

e. = ].

aw ae.

].

aw,·,

a a. ].

i=l,2, ... ,6

(3.1)

( 3. 2)

A equaçao constitutiva pode ter a seguinte for ma:

a.=c .. ,e. ]. . J.J J

i, j = 1, 2, .•. , 6 (3.3)

Admitindo que

com o campo de deformações, estas

e .. sao coeficientes variáveis

c .. :f(ek) J.J

J.J - -equaçoes sao não lineares:

i,j,k=l,2, .•. ,6 (3.4)

Como foi visto no capítulo anterior a relação

entre tensões e deformações é biunívoca, acarretando:

e.=s .. ,a. ]. J.J J

(3.5)

Onde:

s .. J.J

= f' ( (1 • )

J (3.6)

A simetria dos coeficientes elásticos é mostra

da na ref.[15], sob condições mais gerais que a assumida neste trabalho:

e .. = e .. J.J J]. (3.7)

18

De (3.7) tem-se 21 elementos na matriz dos

coeficientes elásticos:

c11 c12 c13 c111 eis eis

c22 c23 c211 c2s c2s

[ cij J c33 c34 c35 c36

=

C44 c'-15 c'-16

Simétrico C55 css

css

Sendo o material ortótropo e os eixos coorde­

nadas coincidentes com os eixos de ortotropia, segundo a [ref.7]

mostra-se que a matriz

[ cij J =

[e .. ] terá 9 elementos, a conhecer: lJ

c11 c12 c13 o o o

c22 c23 o o o

C33 o o o

c'-14 o o

Simétrico css o

css

19

3.2 - REPRESENTAÇÃO CLÁSSICA DOS COEFICIENTES DA MATRIZ CONSTITU­

TIVA.

Comparando ( 3. 3) com (3.4), tem-se:

-1 [Cij] = [sij]

onde relações entre coeficientes ~

as os sera:

c .. ckk 2 - c.k

s .. = ;J ;J J 1.1. D

i = 1, 2' 3

cik c.k c .. ckk j = 2' 3, 1 s .. = J 1.J (3.9)

1.J D k = 3, 1, 2

.e = 4, 5' 6

s .e.e 1 =

c .e.e

D = c11 c22 C33 c11 2

c23 c22 2

c13 C33 2

c12

Seguindo a orientação de Calcote [ref.8] defi­

ne-se, a seguir, os coeficientes E, v e G

Considera-se um primeiro estado de solicita

çoes em que:

cr =ª =O 2 3

De (3.3), tem-se:

20

= "1

= o

= o

Resolvendo o sistema:

(C22 C33 2

"1 . - C23) el =

D

"1 (Cl3 . c23 - C12·C33) e2 =

D

"1 (Cl2 (23 - c22 . c13> e3 =

D

Definindo os coeficientes:

El "1 D = = 2 el c22 C33 - c23

e2 c12 C33 - c13 . c23 "12 = = 2 (3.10a)

e C22 C33 - c23 1

e3 c22 c13 - c12 . c23 "13 = = 2

el c22 C33 - c23

21

Seja um segundo estado de solicitação:

De modo análogo ao anterior, pode-se definir:

E2 CJ 2 D = = 2 e2 c11 . C33 - c13

el c12 C33 - c13 . c23 \121 = = 2 (3.10b)

e2 c11 C33 - c13

e3 c11 c13 - c12 . c13 \12 3 = = 2

e2 c11 C33 - c13

Seja um terceiro estado de solicitação:

De forma análoga ao primeiro estado, tem-se os coeficien

tes:

E3 CJ 3 D = = e3 c11 . c22 - c12

22

el c22 c13 - c12 c23 "31 = = 2

e3 c11 c22 - c12

e2 c11 c23 - c13 . c12 "32 = =

e3 c11 c22 - c12

Das relações (3.10) e (3.4), tem-se:

V•• : f 1 (ek) 1J

i,j=l,2,3

k=l,2, ... ,6

E. - módulo longitudinal secante ( Young) 1

v .• - coeficiente de Poisson 1J

(3.10c)

i 'Í- j

Essas grandezas sao variáveis com o estado de

deformação do corpo.

Combinando as relações (3.10) com (3.9), tem-

se:

s .. l i 1, 2' 3 = =

11 E. 1 j 1, 2' 3 =

\1 •• \1 ••

s .. =-..2:1. = __]2;_ i 'Í- j

J. J E. E. J. J

Pode-se definir os seguintes coeficientes:

23

cr . G. ]. e .. i = 4, 5, 6 = =

]. ].]. e.

].

Das relações (3.10) e (3.4), tem-se:

k=l,2, ... ,6

G. - módulo transversal secante ].

(3.12)

A grandeza G. ].

é variável com o estado de de

formação do corpo.

Combinando (3.12) com (3.9), tem-se:

l = 4, 5, 6 (3.13)

Utilizando as relações (3.11) e (3.13), a relação

(3.5) ~

e:

1 "21 "31 o o o el El ç ç cr 1

"12 .1 "32 e2 -El ç ç o o o cr 2

"13 "23 l e3 -El E2 ç o o o cr 3

(3.14) o o o l o o cr 4 e4 G4

es o o o o l o cr 5 Gs e o o o o o 1

6 G6 cr 6

24

De (3.7), tem-se:

"12 "21 =

El E2

"13 =

"31 (3.15)

El E3

"2 3 "3 2 =

E2 E3

(3.14) e (3.15) confirmam o que já foi visto que sao

necessários 9 coeficientes para determinar as propriedades dos m~

teriais elásticos e ortótropos e também, observa-se que estes coe­

ficientes são funções do campo de deformações no caso da não linea­

ridade destas propriedades.

3.3 - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS PARA O ESTADO PLANO DE TENSÕES

Para este tipo de problema admite-se por hi-

pótese que:

ª3 = ªs = ºs = o (3.16)

Logo:

es = e6 = o

25

Como estas considerações vao violar as condi­

çoes de compatibilidade, analisa-se como se fosse um estado médio

ao longo da espessura da peça aplicado na superfície média desta.

Substituindo:

e de (3.14) e (3.16), tem-se:

1 li 2 o el --r --r;- C11 1

e2 1 o (3.17) --r;- o 2

Simétrico 1 e4 ~ C1 4

e de ( 3 .15):

( 3. 18)

As relações (3.17) e (3.18) podem ser escritas da se

guinte forma:

26

e. 1 ( cr • cr • ) = E":" - \) . 1. 1. 1. J ·1.

e 1 = """G cr .e. .e.

.e.

Explicitando os coeficientes

E. 1.

G .e. =~

e .e.

e• 1.

cr • J

i = j

.e.

=

=

E. 1.

1, 2

2, 1 (3.19)

4

e

(3.20)

Utilizando estas relações com as leis experi -

mentais a serem apresentadas no capítulo VI determina-se as ex -

pressoes que relacionam

çoes.

E. 1.

Sendo definidos:

' \) .

1. e com o campo de deforma-

Utilizando a relação de materiais isótropos [ref.3]:

E

2(1 + v)

para materiais ortótropos. A relação inversa de (3.17), e:

27

º1 El

v./51 o E2

o

E2 -1

E2 1 o e2 º2 =

1 - v2

(1-v) 151 e4 04 2 r;-Simétrico

(3.21)

f necessário conhecer apenas 3 dos coeficientes E1

E2 , v1 , v2 , de modo que satisfaçam a relação (3.18).

3.4 - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS PARA O ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES

Por hipótese, tem-se:

Logo:

ºs = ºs = o (3.22)

Como o estado plano de deformações contém ainda, 7 coefi

cientes elásticos para um material ortótropo são efetuadas algumas

28

simplificações com o objetivo de reduzir o numero de coeficientes

elásticos:

v12

-- V - V 13 - 1

V :V :V 21 23 2 (3.23)

De (3.14) e levando em conta as hipóteses (3.22) e

(3.23), tem-se:

1 v2 v3 o el s r;- E3 IJ 1

e2 1 V3 o IJ 2

E2 E3

o 1 o IJ s 3

Simétrico 1

e4 G4 IJ 4

(3.24)

Da terceira equaçao, tem-se:

+ = /i (3.25)

29

Da condição de simetria (3.15).

(3.26)

De (3.24), (3.25) e (3.26), tem-se:

o

o

Simétrico 1 -ç

(3.27)

De (3.25) e (3.26):

(3.28)

De (3.27) e (3.28):

Cf • - v. Cf •

E. ]. ]. J i 1, 2 (3.29) = = ]. e· + V3 11 ].

j = 2 ' 1

G,e Cf l

l = 4 = el

30

De modo análogo ao estado plano de tensões ob

tem-se as expressões que ligam

çoes.

E. l.

e V• J.

com o campo de deforma

Como já visto anteriormente:

E 2(l+v)

e, sendo:

E D =

A relação inversa de (3.27) e:

o

o

Simétrico E

2(l+v)

(3.30)

Neste tipo de problema é necessário conhecer

'+ dos coeficientes E. , v. ( i=l, 2 e j =l, 2, 3) desde que satis-J. J

façam a relação (3.26),

31

IV - METOVO VOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO AO COMPORTAMENTO NÃO

LINEAR VO MATERIAL

4.1 - FUNDAMENTOS TEÕRICOS DO MfTODO:

Na utilização de métodos numéricos para a reso­

lução de problemas da Teoria da Elasticidade é fundamental conhe­

cer a convergência destes métodos para a solução exata. Isto será

mostrado neste capítulo com o auxílio dos resultados obtidos nas

referências 9 e 10.

No capítulo II foi visto as hipóteses necessá­

rias para que o funcional Energia Potencial Total (T), aplicado

a problemas elásticos, alcançada a estacionaridade (mínimo), for­

necesse a solução. Tal solução é obtida através de um método nu­

mérico, particularmente, o método dos Elementos Finitos.

De (2.11) , (2.15) e (2.17) , tem-se:

T = U + P = W dV - X. u. dV -l l ~

1

cr u. n. i l

d l

De (2.14) e (2.18) e colocando as tensões e defor

maçoes sob a forma vetorial:

32

ôT = ôU + ôP = f v

a. ôe. dV -f v

X. ÔU dV ]. ]. ]. i

/) ºn. u. d } = o (4.1) ].

].

1

o2T = f v

ôo. ].

ôe. ].

dV > O (4.2)

Esta formulação utiliza o funcional ·de um cam­

po, porque as variáveis generalizadas a serem minimizadas são os

deslocamentos (ui). O método, portanto, consiste em determinar

o campo de deslocamentos (u.) que satisfaça a relação (4.1). ].

Devido a nao linearidade das equações consti-

tutivas, o sistema de equações resultantes é não linear sendo ne­

cessário estabelecer um método iterativo para a solução do siste-

ma.

O algoritmo utilizado é uma variante do Newton­

Raphson generalizado apresentado por Iakvlev [ref.9].

Tem-se então, na n+l etapa:

= u1: - s1: ]. ].

(4.3)

i, j = 1, 2, ..• , l

33

l - número de variáveis generalizadas

u~ - vetor deslocamento após a enésima etapa do método J.

iterativo

S~ fator de aceleração para a convergência l.

Sendo < , >

oT (uj, n l

o produto interno de um espaço.

= <f(u.),n> J

2 o T ( uj , n, n) = < F' (u.) n, n > J

F núcleo da primeira variação do funcional T

F' - núcleo da segunda variação do funcional T

n - função variação qualquer

Analisando a convergência do método, onde

(4.4)

(4.5)

u 1: . ' l.

é o vetor de deslocamentos solução do problema, então de (4.4),

tem-se:

oT(u:'l = o - F(u:') = o (Equação de Euler) J. J.

Se:

F(u~) ... o (resíduo) n u :: u. -J. J. n+l n o (incremento) u. - u. ... J. J.

A condição de convergência deste algoritmo é:

34

3 M > o e Jm > o' onde m, ME H (espaço de Hil-bert).

Então:

m < n ' n > < < F' (ui) n, n '

> < M '

< n' n >

De (4.5), tem-se:

2 n) (4.6) m < n' n > ~ ó T( u. , n ' .:: M < n' n > 1.

Esta condição é fundamental para demonstrar a

convergência do método dos Elementos Finitos em problemas não li­

neares [ref .10], como será visto a seguir:

Seja q. 1.

método dos elementos finitos.

Se: u*, q. E. 1. 1.

H· '

Onde:

E = - q. ]_

o campo de deslocamentos adotado no'

da [ref .10] , tem-se:

2 óT(u.,E,E)

]_ (4.7)

E - erro de interpolação

rrh - projeção no espaço das funções que aproximam a so­

lução segundo uma certa malha de elementos finitos.

h - parâmetro definido como a maior distância entre dais

35

~

nos, pertencentes ao mesmo elemento, na malha uti-

lizada. (fig.4.1).

figura 4.1 - Parâmetro de malha (h)

De (4.6) e (4.7), tem-se:

T ( ur_) l ~ M • < E, E > ( 4. 8)

Da definição de norma:

11 E 112 = < E, E >

Tem-se: de (4.8):

r T(qi) T(u*) ,j < ]. . '

M 11 E 112 (4.9)

36

Sendo N > O € H, tem-se o Teorema da In

terpolação:

J J E 11 k

< N • h • l,u I k (4.10)

k - ordem do polinômio de interpolação

J • J k - semi-norma de ordem k [ref .10] .

De ( 4. 9) e (4.10) mostra-se que quando o

parâmetro de malha (h) tende a zero o funcional de energia po -tencial da solução por elementos finitos ( T(qi) ) converge pa-

ra o funcional real ( T(ut<) l ) ' sendo válido para os deslocame!}

tos q. l

os resultados da estacionaridade apresentados para uf,

4.2 - MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSÕES

OU DE DEFORMAÇÕES

Para a aplicação deste método numérico em pr9

blemas de Elasticidade Plana, fundamentado na [ref. 6], adota-se

0 seguinte procedimento:

Primeira etapa:

Arbitra-se certas funções de interpolação cu­

jas variáveis generalizadas são os deslocamentos nodais e com a

seguinte forma: i = 1, 2' ... ' n

u. = N .. q. (4.11) l lJ J j 1, 2, l = ... '

37

n - número de graus de liberdade em cada nó da malha

dos elementos.

l - numero de graus de liberdade de um elemento

N .. - função de interpolação l.J

Neste trabalho o elemento utilizado foi o de

forma triangular com o campo interno de deslocamentos linear, deno

minado TRIM 3. (Fig. 4. 2).

Portanto:

n = 2 e l = 6

X2

q6

nJr---'~5

--j--------'-----------------4XI

Figura 4.2: Elemento TRIM 3

~

Coordenadas dos nos:

NÓ l:

38

Funções de interpolação:

N ... = J.J

Onde:

N .. = J.J

e

j =

a. = J

b. = J

c. = J

j =

j =

1 2t,,

o

1 e

xlm

x2m

xlm

3 e

5 e

e a area

(a. + b. x1

+ c. x2

) J J J

{: = 1 e j = 2 '

= 2 e j = 1,

2

. x2n xln . x2m

x2n

xln

4 trocar em a. ' J por .e.

6 trocar em a.' J

por m

do elementos ( Í',) :

4, 6

3, 5

b. e c. m por n e n J J

b. e C, m por .e e n J J

t, = 1 2

39

1

. det 1

1

Segunda etapa:

Aplica-se a equação cinemática (2.6) para ob

ter-se as deformações em funções dos deslocamentos nodais:

e = A . r ri u. 1

Onde o operador

A = [A .] = rJ:

A

a ax1

o

a ax2

~

e:

i = 1, 2

r=l,2e3

o

a ax 2

a ax1

De (4.11) e (4.12), tem-se:

e = B rj . q. j = 1, 2 ' . .. ' r J

bl o b3 1 B rj = A ri

N .• = o 1J 26 c2 o

cl b2 C3

(4.12)

6 (4.13)

o b5 o

c4 o c6

b4 C5 b6

40

Terceira etapa:

Aplica-se as equações constitutivas dos mate­

riais; nas quais supoe-se os materiais elásticos, estáveis e ortó­

tropos e com os coeficientes funções do campo de deformações. Lo­

go de (3.3), (3.4) e (4.13):

a . = e. i ir

Onde:

e. = fCq.) ir J

(4.14)

(4.15)

Esta função é determinada a partir das rela-

çoes (3.21) para o estado plano de tensões ou das relações

(3.30) para o estado plano de deformações e sendo conhecidas as re

lações que determinam os coeficientes destas relações em função do

campo de deformações.

Quarta etapa:

Admitindo de (2.6) que B • rJ

independe de qj"

(Linearidade Geométrica) e aplicando (4.1) ao nível de elemento,

tem-se:

õTe = f v õe. a . dV - õq. . f~ = o

i i e J J

e

(4.16)

e = 1, 2' ... ' N e

41

V - domínio do elemento e

f7 - resultantes de todas as solicitações aplicadas J

no

elemento nos nós deste.

~

Ne - numero de elementos da malha.

De (4.13) , (4.14) e (4.16), tem-se:

B. . C. B dV q - f: J = O J i ir r.e e t J

Como õq. sao componentes de um vetor das va­J

riações quaisquer dos deslocamentos nodais, tem-se:

k'7 q - f7 = o (4.17) J .e .e J

k7 = f v B .. e. Br.e dV

J.t'. J i ir e

e

k7 - coeficientes da matriz de regidez de elemento e. J.t'.

f7 - coeficientes do vetor das cargas no elemento e. J

Quinta etapa:

Aplicando a equação (4.17) a todos os elemen

42

tos a que foi subdividido o domínio e fazendo uma montagem adequa­

da dos coeficientes da matriz de rigidez para os deslocamentos de

mesmo nós e direções, escreve-se:

K. . • q. J]. ]. Q. = o J

(4.18)

K .. - coeficientes da matriz de rigidez global do probl~ J].

ma.

Q. - coeficientes do vetor de todas as cargas do probl~ J

ma.

De (4.15) e (4.17), tem-se:

K •. = f(q 0 ) l.J .._

(4.19)

Aplicando (4.2) ao nível do elemento e supondo

constante as propriedades elásticas para cada etapa do método ite­

rativo:

> o

Portanto, a matriz dos coefientes ~

e posi-

tiva definida.

Como a matriz global é uma montagem a partir das

matrizes de rigidez dos elementos e já foi visto que quando o par~

metro h tende a zero o problema converge, pode-se generalizar

que a matriz de coeficiente K .• -2:2

também é positiva definida.

43

Sexta etapa:

Evidentemente sempre supoe-se que os coeficie~

tes elásticos serao finitos, e portanto, limitada a matriz de ri­

gidez global, isto é:

K •. (qD) ~ M 1. J .(.

Esta propriedade conjugada com a de positiva '

definida sao as condições de aplicabilidade do algoritmo (4.3) '

e sendo de (4.4) e (4.5):

F(qD) = K ••• q. - Q. ,(. 1.J J 1.

F'(qD) = K •• .(. 1.J

Então:

n n -l [K .. Cqo)] '

1. J .(. (K1:. q1: - Q.)

1.J J 1. (4.20)

n - Índice da etapa da iteração

.f.=1,2, ••• ,M

M - número de graus de liberdade do problema

Sendo que os deslocamentos prescritos "a prio­

ri" nas condições de fronteira ( 22 ) são invariáveis.

Pode-se utilizar o fator de aceleração de

Ai tken modificado [Fef. li[! :

onde:

sétima etapa:

Com o cálculo do vetor

termos absolutos, o erro relativo:

( )

) (4.21)

compara-se, em

a um valor pré-fixado. Sendo menor calcula-se as Tensões e Defor­

mações correspondentes a estes deslocamentos e incrementa-se a car

ga para determinar um novo campo de deslocamentos. Sendo maior '

retorna-se a terceira etapa do método, até que haja a convergên -

eia. (Figura 4. 3).

a

-; e

o

õ

'+5

q

~

de incrementas de n - numero carga ~

r - numero de iterações por incremento

r(l) r(2) r(n) ~

toal m = + + ... + - numero

raçoes

Figura 4.3 - Método incremental - iterativo

para problemas não lineares.

de ite-

46

V - PROGRAMA AUTOMÁTICO

5 .1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE O PROGRAMA

O programa desenvolvido foi em Linguagem For­

tran (versão IV) para computadores de grande porte como: IBM/

360 e /370 ou o Burroughs 6700.

Utiliza-se arquivos auxiliares para guardar a

matriz de rigidez da estrutura particionada ou não em blocos, cu­

jo limite de variáveis de cada bloco dependerá da memória útil

do computador.

PROGRAMA PRINCIPAL

----- L-----· 1-- - - -- - ~-- - --------

DADOS CARRE FORMB REBLO INCRE RECAL

- ----- --1-- - - >-~-----1-- --~--- '"-- - - .__

DEBLO NOLIN

·--·-·-·-~--· ------·--·--·-~---·--· -·--· ELAST RIGID ELAST ELAST RIGID

INCLI ~ Figura 5.1 - Esquema do Programa

47

No esquema mostrado na figura 5.1, a linha tr~

cejada (- - - - ) , significa a divisão do programa em estruturas de

"overlay", sendo que na linha traço-ponto (-· -· - ·) ocorre um "o­

verlay" particular chamado "region" onde pode-se, em qualquer lu­

gar, chamar as subrotinas nesta região.

5.2 - SUBROTINAS DOS DADOS

DADOS: - Nesta subrotina le-se a topologia da estrutura, as pro-

priedades do material analisado. As coordenadas e as in­

cidencias dos nós podem ser geradas automaticamente.

CARRE: - Nesta subrotina le-se os carregamentos da estrutura, o er

ro admissível no processo iterativo e n9 de incrementos '

de carga com os respectivos pesos de cada incremento.

5.3 - SUBROTINAS RETIRADAS DA REFERÍ;NCIA 11

~

FORMB: - Nesta subrotina a matriz de rigidez global e montada em

vetor e em blocos e guardada num arquivo auxiliar.

EIAST: - Nesta subrotina sao calculados os coeficientes da matriz

constitutiva do material, levando em conta a ortotropia e

se o problema é estado plano de tensões ou de deformações.

RIGID: - Nesta subrotina calcula-se a matriz de rigidez do elemen­

to (TRIM 3).

48

INCLI: - Subrotina para a rotação dos eixos locais quando o apoio

no elemento analisado é inclinado.

DEBLO: - Subrotina que triangulariza a matriz de rigidez global já

particionada ou não, verificando a viabilidade de aplica­

ção do método de Cholesky e quando necessário calculando

os resíduos para o bloco da partição seguinte.

~

REBLO: - Subrotina que resolve o sistema de equaçoes apos a matriz

de rigidez ser tringularizada.

RECAL: - Subrotina que calcula as reações de apoio da estrutura.

5.4 - PROGRAMA PRINCIPAL

No programa principal é que está programado o

algoritmo para a resolução dos sistemas de equações não lineares.

INfCIO

IMPRESSÃO DO

TiTULO

DADOS

KI = l,NC

49

CARRE

KK = l,NI

CÁLCULO DA PARCELA

DO CARREGAMENTO

INÍCIO DA ITERAÇÃO

FORMB

REBLO

ACRÉSCIMO DOS DESLOCAMENTOS

DEVIDO À ITERP.ÇÃO

CONVERG:ÊNCIA DA

ITERAÇÃO

NÃO

INCRE

50

(

IMPRESSÃO DOS DEê

LOCAMENTOS TEN­

SÕES E DEFORMAÇbES

FIM DOS INCRE­

MENTOS DE CARGA

NÃO

SIM

RECAL

FIM DOS CASOS NÃO

DE CARREGAMENTO

f SIM

FIM DO PROGRAMA ) r

Figura 5.2 - Diagrama de bloco do programa principal

51

5.5 - SUBROTINA INCRE

Nesta subrotina calcula-se o novo vetor de car

gas para a próxima iteração devido o campo de deslocamentos nao

ser compatível com o campo de tensões segundo as equações constit~

tivas adotadas. A partir desta subrotina é chamada a NOLIN que ex

plicar-se-á adiante:

( ENTRADA DA SUBROITNA)

t N = 1, NE

f FORMAÇÃO DE MATRIZES AUXILIA

RES (B e D) PARA O CÁLCULO

DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES

t<

OS VETORES DE CARGA SÃO ORDE NADOS POR ELEMENTO

. + CÁLCULO DAS TENSÕES E DEfOR-MAÇÕES PRINCIPAIS E ÂNGULO QUE A DIREÇÃO PRINCIPAL! ID..!3 MA COM o EIXO DOS X.

' 1

1 NOLIN

' CÁLCULO DOS RES!DUOS DE CARGA DEVIDO A DIFERENÇA ENTRE o VALOR PIAS TENSÕES E O OBTIDO PELAS EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS. ,

SIM 1 FIM (sAfDA - SUBROTINA) DOS ELEMENTOS/

. r NÃO

figura 5.3 - Diagrama de bloco da subrotina INCRE

52

5.6 - SUBROTINA NOLIN

Nesta subrotina calcula-se o estado de tensões

e as propriedades elásticas corretas, segundo as equações constit~

tivas do material dado em função das deformações principais (entre

da da subrotina).

(ENTRADA DA SUBROTINA)

t

CÃLCULO DAS TENSÕES "EQUIV~

LENTES 11 AO ESTADO UNIAXIAL

1 CÃLCULO DAS DEFORMAÇÕES "E-

SIM ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES

QUIVALENTES" AO ESTADO

PLANO DE TENSÔES

ONÃC 1

,,

VERIFICAÇÃO DA ROTURA DO E-LEMENTO SEGUNDO UM CRITERIO ADOTADO.

• 1

HÁ SIM IMPRESSÃO DO NÜMERO DO ELE-

ROTURA /

ÓNÃO MENTO E DO TIPO DE ROTURA.

1

CÁLCULO DOS NOVOS COEFICIE~ TES ELÁSTICOS EM FUNÇÃO DAS EQUAÇÔES CONSTIT. ADOTADAS

i TENSÕES CORRIGIDAS

PARA O ESTADO PLANO T

SAfDA DA SUBROTINA ) Figura 5.4 - Diagrama de bloco da subrotina NOLIN

53

VI - APLICAÇVES A ESTRUTURAS VE CONCRETO EM ESTAVO PLANO VE TEN­

SVES OUVE VEFORMAÇVES

6.1 - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS DO CONCRETO

soes, e

Das relações (3.20) de estado plano de ten

sendo:

T'." = (J • l. l.

Tem-se:

E. = l.

....

- ',). l.

i = 1, 2 (J • (6.1)

J j 2' 1 =

(6.2)

T'.' - tensão "equivalente" ao estado uniaxial na dire -l.

çao i.

Utilizando a curva do C. E. B. [yef .17] , para

o concreto submetido a um estado de compressão simples (uniaxi -

al).

Tem-se:

T~ 2 + b + (6.3) = a e. e. c l. l. l.

De (2.13).

c = o (6.'+)

TI

--"ei--c--------------1--------~•i

---------1fccd

Figura 6.1 - Curva do C.E.B. para a compressao sim­

ples.

Da curva da figura 6.1:

e. l

T 1: = - f 1 ccd

d T~' l

d e. l

= o

e - deformação do concreto no início da plastificação c

~ -a compressao.

f - tensão de cálculo do concreto à compressao. ccd

Estas condições em (6.3):

a =

2 fccd b =

55

De (6.2) , (6.3) , (6.4) e (6.5), tem-se:

T :' ].

E. ].

A relação

T :' + ].

a. = ]. 1 -

2 e. ].

+

e. + ].

inversa

\} . T. ]. J

\} i \} . J

2 fccd

2 fccd

e. ].

de ( 5 .1)

i = 1,

j = 2 '

~

e:

2

1

Para solicitações trativas, isto é,

o material obedecerá a Lei de Hooke:

2 f ccd E. = const. = ]. e c

2 f ccd T,., = e. I ].

e c

Sendo ainda válida a relação (6.8).

(6.5)

(6.6)

(6.7)

( 6. 8)

T. > O, ].

(6.9)

(6.10)

56

Adota-se por simplificação:

v 2 = const. = 0,2 (6.11)

De (3.18):

El (6.12)

Sendo de (3.29):

(6.13)

d. - deformação equivalente ao estado plano de tensõe~ J.

No estado plano de deformações substitui - se

e. por d. nas relações (6.6) , (6.7) , (6.9) e (6.10), e J. J.

é adotado:

(6.14)

Logo as equaçoes constitutivas (3.21) e

(3.30) ficam determinadas em cada estado de deformações

relações (6.6) a (6.14),

6.2 - ESTADOS LIMITES DO CONCRETO

pelas

Segundo a !yef. l~, utiliza-se a envol tó-

ria de Coulomb - Mohr para a rotura por compressao e a maior

57

tensão principal de tração para a rotura por tração. (Fig. 6.2) 6 ij

fccd fccd/2 õii

Figura 6.2 - EnvoltÓria do Concreto

Para o estado plano de tensões (az = O), tem

se:

f ctd ~ 0 1 ~ O (Figura 6.3)

Para o estado plano de deformações, existe

ªz' e portanto, a 1 pode ser de compressao. (Figura 6.4).

58

61

fctd

fccd ccd/2 fcld

Figura 6.3 - EnvoltÓria para estado plano de tensões

fctd

Figura 6.4 - EnvoltÓria para estado plano de deforma­

çoes.

59

6.3 - APLICAÇÃO I:

Comparação das equaçoes estabelecidas no i­

tem I, deste capítulo, com os resultados apresentados por Kupfer

[!,ef.12] .

A malha utilizada para discretizar o corpo ' ~

de prova e:

0.20 M

Figura 6.5 - Malha de elementos finitos da aplicação I

Neste problema a análise foi a de um esta-

do plano de tensões, com 4 tipos de carregamentos que sao rnostr~

dos a seguir, e corno dados tem-se:

= 1500 t/rn2

' fctd = 150 t/rn2

e = 0,002 c

6y :!:1 -=-o-6x

,r 0.10m

60

Óy/fccd

LEI DE HOOKE

----TESE

-------- REF. 12

ty, t• ( 0/00) r------------+----------4---+---+---+----'-__::,.

-2

---

-1

/ /

/ /

/ /

/ /

/

/

I /

/

-1

ligura 6.6 - CarregB,!!lento 1

1 1 1 1

1

1

1 1 1 1 1 1 1 \ 1 \

0.2 0.4 0.6 0.8

' ' ' ---

-2

61

___i_L = ..!L óx ±0.5

-1

/ /

/ '/

ty

/ /

/

I I

/ /

I I

I

I

/

I I

I

Figura 6.7 - Carregamento 2

I I

0.3

02

(

I I

I

I 1 1 1 1 1 1

I I I

____ L.EI DE HOOKE

----TESE

---- ---REF.12

ty,tx(0,00)

02 o.4 os o.e

-Q5

-1.0

62

__.§L = ..!!___ 6x ±1

(y /fccd

---- LEI DE HOOKE

____ TESE

02 --------REF.12

r;-------------i~-------__Jf_~--+---t--1-----l-__.:_t~y,t,x (0/00) ~2 _, 02 0.4 Q6 OB .O

/ I

I /

/ í'

I

I

I I

I /

/ I

I / r .05

.,.o

Figura 6.8 - Carregamento 3

-2

63

_§_L_ _ ± 1

6• ±0.1

-1

I I

I I

/ /

/ /

/ /

/

6"y /0.666fccd

-----LEI OE HOOKE

----TESE

02 -·------REF.12

/ I

OJ

I I I I I I

I I

/ ..Q I I

-L

1

1 1 1 1 1 1

t Y, t, X (QA'.)O)

02 0.4 06 ªª 10

\~ 1 t~ 1

\ \ \

Figura 6.9 - Carregamento 4

64

O primeiro carregamento (Fig. 6.6), simula

um estado uniaxial de tensões, servindo portanto como teste pa­

ra o programa automático desenvolvido neste trabalho.

6.4 - APLICAÇÃO II:

Estudo de concentração de tensões em furos

circulares para peças planas submetidas a um estado plano de te~

soes. A discretização da peça foi feita conforme a figura 6.10.

Figura 6.10 - Malha de elementos finitos da aplicação II

65

Analisa-se três casos de carregamentos e com

para-os com as soluções propostas na referência [19] que consi­

dera o material elástico linear.

A Px

ó

Figura 6.11 - Carregamento 1

y(m)

5

Px 121/~ o.e

66

ylm)

REFERÊNCIA .1$

o o o TESE

00

figura 6.12 - Distribuição de tensões em AB (carre­

gamento 1).

yll/m)

o

67

Px/12t1m

---- REFERÊNCIA J. $

o o TESE o rotura no ponto B

o

-20 -40

Figura 6.13 - Deslocamento vertical de B x Variação

da carga Px (carregamento 1)

.6 8

p p

o

figura 6.14 - Carregamento 2

y(m)

5

4

2

69

p= 12 t/m ' y(m)

_____ REFERENCIA .i 9

o --o-- -oTESE

4 o

o

2

20

Figura 6.15 - Distribuição de tensões em AB (carre­

gamento 2)

'P/121/m

1.

a

70

-----REFERENCIA .1S

o o o TESE

o

o

o

100

rotura no bordo do circulo interno

Figura 6.16 - Deslocamento vertical de B x Variação

da carga Px (carregamento 2)

71

1 r p r r r l

p o p

1 1 1 1 T r p

Figura 6.17 - Carregamento 3

y(m)

4

2

72

ref .t.9

p 1201/m = º·2 o o o TESE

y(m)

o

4

2

o

100 200 6x(t/m2)

figura 6.18 - Distribuição de tensões AB

mento 3)

·O

o

y(t/m2l

(carrega-

1D

Q5

j)

1201/m

73

----- ref .13 rotura no .bordo do cil"Qllo interno

o o o TESE o

o

o

o

o

o

-500 -1000

figura 6 .19 - Deslocamento vertical de B x variação

da carga Px (carregamento 3)

74

6.5 - APLICAÇÃO III:

Estudo da distribuição do carregamento verti

cal em blocos de apoio, com seção transversal retangular. (Fig.

6.20). A discritização é a da Fig. 6.21.

d

P= pbo

1 1 1 1 IP

* A

1 ·1 ·1 rlp.

b

>i >.

J Figura 6.20 - Esquema estrutural de um bloco de apoio

75

Figura 6.21 - Malha de elementos finitos da aplicação III

Como mostrado na figura 6.20 a carga está

distribuída parcialmente no bloco (b 0 < b) e variando adis­

tância b0

obtera-se alguns tipos de roturas com suas respecti

vas cargas máximas resultantes (P = p . b0). (Fig. 6.22),

2

Prutura

'ii,,fa:d

A AB

76

-----T. PLASTICIDADE ( limite superior) ref. 18

-----T.PLASTICIDADE ( limite inferior) ref. 18

----TESE

B. BC c

0.5 /b

Figura 6.22 - Tipos de rotura em função de

77

As regiões que mostram os tipos de rotura

(Figura 6.22) sao:

A - rotura localizada na região de aplicação do carre

gamento (puncionamento)

B - rotura por tração (separação) na região central

do bloco

C - rotura total da peça por compressao (esmagamento)

AB - região de transição ocorrendo as roturas do tipo

A e B

BC - região de transição ocorrendo as roturas do tipo

B e C

Neste gráfico compara-se os resultados obti­

dos no presente trabalho com os obtidos aplicando a Teoria da

Plasticidade [ref .18], na qual foram delimitadas, aproximadamen

te, regiões onde poderiam situar as soluções pela plasticidade.

Observa-se que as primeiras soluções são inferiores as que ocor­

rem para a carga máxima devido a plastificação, concordante

com as conclusões do trabalho já acima referido.

Na figura 6.23 está bastante clara a região

em que na vizinhança do ponto central A rompe por tração (rot~

ra por separação).

78

P= Proturo

.5

Figura 6.23 - Tração em A em função de

·bo/b

b /b o

79

Exemplifica-se a seguir alguns dos casos a-

nalisados:

a) = 0,10

Rotura localizada na região de aplicação da

carga (A). (Figura 6.24).

P = 225 t rotura

p

p

Figura 6.24 - Rotura do bloco - b /b = 0,10 o

P( t)

500

25

80

"

o

.inicio da rotura K-/

-250

o

o

LEI DE HOOKE

0 TESE

-500 d5(104n) "\

figura 6.25 - Carga resultante CP) x Deslocamentcsver­

ticais em B (b0

/b = 0,10)

81

P( t)

5

----- LEI DE HOOKE

o o o TESE

~turo total o

o

o

25 o

o inicio do ratura

50 100

Figura 6.26 - Carga resultante (P) Tensão hori-

zontal em A (ax). (b0

/b = 0,10)

b) b o

b

82

= 0,30

Rotura localizada e rotura por tração (AB).

(Figura 6.27)

P t = 550 t r-o ura

p

Figura 6.27 - Rotura do bloco - b0

/b = 0,30

P( t)

250

83

o

o

o

o

o

o o

o -----LEI DE HOOKE

-o-o--OTESE

-250 - 00

Figura 6.28 - Carga resultante (P) x

verticais em B (b0

/b = Deslocamentos

0,30)

dy( 1a6m)

2

84

P(t)

o o

---- LEI DE HOOKE o

o

-o·- -o--o TESE o o

o o

o

o

l iíx( t/m2) =----------+-o----------too:c----------z5'0

Figura 6.29 - Carga resultante (P) x Tensão horizon­

tal em A (ox). (b0

/b = 0,30)

85

e) = 0,90

Rotura total por compressao (C) . (Fig.6.30)

P = 1.900 t rotura

p

Figura 6.30 - Rotura do bloco - b0

/b = 0,90

1000

86

~(. t:)

n,ura o

o

o

---- ILEI OE HOOKE

o o o TESE

Figura 6.31 - Carga resultante (P) x Deslocamentos

verticais em B (b0

/b = 0,90).

200

1000

87

P(I)

rotura

o

o

o

---- LEI DE HOOKE

o o o TESE

50

figura 6.32 - Carga resultante (P) x Tensão hori­

zontal em A (a ) (b /b = 0,90) X O

88

VII - CONCLUSÃO

O programa automático, desenvolvido neste

trabalho, enfoca a nao linearidade das equações constitutivas e

os critérios de rotura do material, programados na subrotina NO­

LIN. As subrotinas RIGID, ELAST e INCRE sao relativas ao

elemento TRIM 3. Conclui-se que o programa principal, fundame~

tado num algoritmo de resolução de sistemas de equações não li­

neares, pode analisar outros tipos de não linearidades bastando

somente modificar as subrotinas anteriores.

Ao analisar-se a primeira aplicação, um as-~

pecto interessante observado e que, nas curvas experimentais, o

concreto inicialmente é mais rígido que nas relações adotadas,

porem ao caminhar-se para a rotura esta diferença decresce, mes­

mo assim, o caráter não linear das equações constitutivas foi e­

videnciado.

No primeiro carregamento da segunda aplica­

çao a diferença obtida entre a solução por este trabalho e a te­

órica (fig.6.13) é interpretado como um decréscimo de rigidez de

vido a tensões de compressão em algumas regiões da estrutura.

Entretanto, o segundo carregamento fornece excelentes resultados,

comparados ao teórico (fig.6.16), porque as tensões de compres­

sões são desprezíveis enquanto que as tensões de trações sao con

sideráveis, originando, assim, uma análise linear quanto as e­

quações constitutivas. Para o terceiro carregamento, apenas in­

verteu-se o sinal do anterior, originando campos de tensões de

compressão com valores próximos da rotura do material e a solu-

89

çao obtida (fig.6.19) diferiu da teórica devido a nao linearida­

de desta análise.

Na terceira aplicação preocupou-se mais com

os critérios de rotura do material; observando que na região B

(fig.6.22) os campos de tensões sao de tração e, portanto, a aná

lise apresenta um comportamento próximo ao linear, enquanto que

na região C a nao linearidade do problema foi mais acentuada.

Nas observações vistas acima e pelos resulta

dos experimentais [ref. 12 e 13], conclui-se que este tipo de

análise não linear das equações constitutivas deve ser efetuado,

quando o carregamento origina um campo de tensões próximo a ro­

tura do material. Recomenda-se, portanto, a utilização deste

trabalho para verificações à rotura. Para cargas de serviço com

valores na vizinhança da metade da carga de rotura pode-se uti­

lizar programas menos complexos.

Justifica-se o uso do elemento finito TRIM 3

porque, em geral, as malhas para a análise de roturas sao refina

das, portanto, não é necessário um elemento refinado.

É importante observar que o estado limite Úl

timo das aplicações do presente trabalho foi a da rotura do pri­

.meiro elemento.

Como extensão deste trabalho tem-se os seguin

tes assuntos:

a) Utilização de outras relações constitutivas conjugadas a um

estudo experimental.

90

b) Análise de problemas tridimensionais com nao linearidade fÍsi

ca.

c) Incorporação dos termos nao lineares nas equaçoes cinemáticas

(2.4).

d) Estudo da plastificação do material, com critérios adequados.

e) Adaptação do trabalho, com algumas das extensões anteriores ,

para elementos finitos isoparamétricos.

91

BIBLIOGRAFIA

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Concrete by Finite Element Method" -

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L.N.E.C. - Setembro de 1970

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Structures Massives" -

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Int.Symp. on Discret Meth. in Eng. - Milan - Setembro

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Science" -

McGraw Hill - 1971

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Van Nostrand Reinhold Cia. - 1969

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dos Elementos Finito" -

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COPPE/UFRJ - 11 Julho de 1972

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Kurzzeit Belastung Unter Besonterer Berucksichtigung

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McGraw Hill - 1972

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COPPE/UFRJ - 1 Março de 1968

19 - N.I.Muskhelishvili - "Some Basic Problems of the Theory of

Elasticity" -Gronigen, Holanda - 1953

93

APENVICE A - MANUAL VE UTILIZAÇ~O VO PROGRAMA

A.l) - Cartões a serem lidos:

VARIÁVEIS NOMERO DE FORMATO CARTÕES

a) Para cada problema:

NPROB,IET 1 2Il0

TIT 1 20A4

NP,NE,NCC,NTM,INX 1 6Il0

RC,RT,EUC,EUT 1 4Fl0.5

(ORT(l,L),L=l,5) 1 SFlO.O

I,ESP(I) NTM I10,Fl0.0

LIA(I),CORD(L,l),CORD(I,2) NP I5,2F10.4

M,(LIST(M,I)I=l,3),IMAT(M) NE 5Il0

NNR(k) ,NTC(k),

REC(k,l) ,REC(K,2) ,AG(k) NCC 2Fl0,3Fl0.3

b) Para cada carregamento (NC):

NI,ERRO,ITMAX 1 I10,Fl0.0,Fl0

NI>l:(RESO(J),J=l,NI) NI/8 8Fl0.0

NA,VA(l),VA(2) Número de I10,2F10.2 cargas

Cartão Branco 1 -

94

A.2) - Significado das variáveis:

NPROB > o ,< o

IET = 1

= 2

TIT

NP

NE

NCC

NC

NTM

INX = o t- o

RC

RT

EUC

EUT

ORT

ESP

LIH

CORD

LIST

IMAT

NNR

NTC - 1

=10

= 11

REC

AG

NI

ERRO

ITMAX

NA VA( L)

Começa um problema

Termina um problema

Estado plano de tensões

Estado plano de deformações

Comentário para título

Número de pontos nodais da estrutura

Número de elementos da estrutura

Número de condições de contorno de estrutura

Número de casos de carregamento

Número de tipos de espessura

Gera as coordenadas automáticamente

Não tem geraçao

Resistência à compressão do concreto

Resistência à tração do concreto

Máxima deformação de compressao

Máxima deformação de tração

Propriedades iniciais do material

Espessura do elemento por tipo

Número do nó ~

Coordenada dos nos

Incidência dos nós

Tipo de espessura do elemento Número do nó com restrição (apoios)

Restrição aos deslocamentos na direção y

Restrição aos deslocamentos na direção x

Restrição aos deslocamentos nas 2 direções Recalque de apoio

Ângulo entre a direção do apoio e o eixo dos x

Número de incrementes Erro admissível no cálculo iterativo

Número máximo de iterações permitidas

Número do nó com carga aplicada

Valor da carga aplicada: L=l - Componente horizontal

L=2 - Componente vertical

e=== PROGRAMA PR[NCIPAL ot ANALISE DE ESTADO PlANO DE TENSOES E DtFORMAPR!NC IMPkJCIT REAL *R(A-H,O-Z) PRJNC OIMENSION TIT(20l,NNR(701,NTC(70l,REC(70,~l,AG(71),ESPC25) 1 PtS0(20PRINC

*l,EU,31,PROP(S) PRINC DIMENS!ON V(400J,COR0(200,2l,D(400),DES~CaOO),QZ(400l,BET1(400) D[MENSION ORTc300,Sl,LISTC300,3) 1 IMAT(300),fORCE(300,6l,OEF~300,6l

*.IR(300) COMMON LR,U• DEFINE FILE 12(57U,6'1D,U,IDI

PR!NC

1 2 3 lj

8

Ul=S PRINC 10 uv=6 PR!NC 11

002 READCLR,llNPRQB,IET PR!NC 12 1 FüRMATC2l!OJ PRINC 13

IFCNPROHJ4D0,400,QOI PRINC 14 40! ,,RITE(Lw,2) PR!NC 15

2 FORMAT(lHl 1 4X,õPROGRAMA DE ENGENHARIA CIVILÕ,BX,õ•õ,8~,õCOPPE/UFRJPRINC 16 tíl,/5X,62Cõ-õ),/SX,õANALISE NAO LINEAR DE ESTADO PLANO DE TENSOES PRINC 17 • E DEFORMAC0FSõ,/5X,62(õ•aJ,,sx,õELE~ENTO TRIM 3õ,2DX,õARTUR OBINPRINC 18 *O NETOõ/~X,62Cõ•éill PRii~C 19

GOTO D00,3011,Ilr PRINC 20 300 wRITE(LW,3JNPR0B PRINC 21

3 FORMAT(/1,SX,õANALISE NUMERüô,I4,3X,õ•õ,3X,õESTADO PLANO DE T~NSDEPRINC 22 *Sôl PRINC 23

GO TO 30?. PRINC 24 301 wRITE(LW,4JNPR0B PRJNC 25

q FDRMAT(/1,SX,õANALISE NUMEROõ,!4,3X,õ·õ,3X,õESTAOO PLANO DE DEFORMPR!NC 26 •ACOESõl PRINC 27

•

;,,.

<.O cn

·----3er-N6t. ~2----------- --- ------- - --- - -- -- - - - - ------ - - - - - -·· -- - - -- - -- -- -- --- ----- ·· ----?-R-:r-Ne- a-a------- - - -- ---- ----·· NN0=3 PR!NC 29

C ~== LEITURA DOS DADOS BASICOS DA ESTRUTURA PRINÇ 30 CA~L DADÓS(NP,NC,TIT,NE1NCC,REC,CORD,LIST,IMAT1DRT,NNR1NTC,NNO PRINC 31

*,AG,ESP,RC,RT,EUC,EUTJ PRINC 32 ()0 ! 5 I=l ,5 PRINC 33

15 PROP ( I l ::QIH C1, I l PR I NC '.~li NEQ=NP*NGL PRINC 35 DO 405 KI=!,~C PRINC 36

DO 20 J:1,NE DO 20 I:al.,5 ORT(J,Il=PROPCIJ

PRINC PRINC

20 CONTINUE PRINC C --- LEITURA DE CADA CASO DE CARREGAMENTO, PRINC

1 O 'i

CALL CARRE(NEQ,KI,TIT,NGL,NP,V,NE,NNO,LIST,LF,LL,NI,ERRO,PE9D,ITMAPRINC *Xl PRINC

DO 105 iNE=!,NEQ PRINC OESl,(J·,t:l=o: PRINC QZCINf ,::\, PRJNC BETA ( J JEJ =!. 00 90 ,=1,NF IR(fl,J:.J DO 110~ KK: t, r,q

C === CALCULO E I~PRESSAO DA CARGA FRACIONADA

PRINC PRINC PRINC PRINC PRINC PRINC PRHJC PRINC PRINC PRINC PRINC PRINC

100

e:;::

200 7 1 O

00 100 INE::l,~if.Cl Q(INEl=VIINEl•PESO(KK) IT=o IDIF=O FOR~ACAO DO SJSTE~A D~ EQUACO~S EM BLOCOS, ·~RITE(LW,710) IT P0RMATC//8X,õtTERACA0 NO:õ,IJJ CALL FORMB(NEQ,NE,LI3T,!MAT,CORD,ORT,NNO,NGL,NCC,NNR,NTC 1 Q,RtC,

* 1. F , 1. L , l C , I E T , K K , A G , I T , l: S f' 1 E , l D l

37 :se

4 1 42 43 4" 45 46 47

49 50 51 52 53 5 li 62 63 65 67 68 69

C === RESOLUCAO DO 3ISTEMA OE tQuACoEs PR[NC 71 CALL RE8LOCIC,LF,Ll,NEQ,Q,IDJ PRINC 72 IF(IT,EG,O) Go ro 330 PRINC Jq

lO m

-- --------{}o--J~O·-:[t;{-c::-t ,,,-t:-1:J--------------- - - - -- - - -- - - - ---- --- -- -------------- · - - - - - - - - - P-R!Nf:- -s-o-- ------------ ---- -- -IFCDESLCINt:),ff),0,) GOTO 320 PR!NC 81 DIFR=DABSCQ(INE)/D~SLCINE)) PRINC 82 IF(DIFR•ERROl 320 1 320,330 PRINC 83

320 . fDIF=O PRINC 84 350 CONTINUE PRINC 85

GO TO 360 PRl!liC 86 330 IDIF=l PRINC 87 C === cA1.cULD DO FAJIJR OE Ac~LERAcAO DA ITERAcAO BETA PRJNC 88

.360 DO 797 INE=!,NEQ PRINC 89 DEL2=QZCINE)•O(INE-.l PRrNC 90 QZ(INE):Q(INEJ PRINC 91. TOP=Q(INE)*DEL2 PRINC 92 DEN::OEL2*Dí:l.2 PRINC 93 IFCIT•ID!F.~Q:Ol GOTO 79A PRINC 911 IF(DEN,t.C,,O:l GO TO 798 PR!NC 95 8ETACINEl=8~TAllNE)tlBETA(INEl•l,l•fOP/DEN PRINC 96

C === ACUMIJLACAO DOS DESLOCAMENTOS PRINC 97

7q13 7q7 e = = =

450

':i70 520

550

e=== e=== 7flS

DESL(INEl=OESLl!NE)tBETA(INEl•QCINEJ PRINC 98 GO TO 797 PRINC 99 DESLCINEl=DESL(lNEJ+íl(INfl PRINC!OO CONTINUE PRINC!Ol TESTE PARA O. CALCULO ITERATIVO PRINC102 IF(JDI~l 450,500,qso PRINC103 !T=IT+l PRINC104 IFCIT•lTMAXJ 785,785,570 PRINClOS ~RITE(LW,520) ITMAX PRINC106 FORMAf(//BX,b CALCULO ITERATIVO FOI EFETUADO MAIS DEõ,I3,õ VEZES5lPRINC107 ~RITECL~1550l KK PRINC108 FORMAT(//AX,ílINCREMENTO NUMERO :õ,I5l PRJNC!09 GO TO SOO PRINC!lO CALCULO DAS FONCAS EQUIVAL~NTES AO INCRE~ENTO DAS TENS0ES DEVIDO PRINClll AD CALCULO ITERATIVO PRINC112 CALL JNCRE1c~rST,CüRD,NE,NNO,NGL,O~SL,ERRD,RC,RT,EUC1EUT,FílRCE,DEFPRINC!ll

*,Q,ORTiE,IT,KK,ESP,!MAT,ltT,NCC,PINR,NTC,IR) PRINCIIG GO TO 200 PRINCll.5

"'

· · t ·::: :::-::- -!-Mi'fü:'&3 AO--r,~ s- -T-Etv Stlf.-&-,-il'E-fr:l RAACCJ F.s- -i:- D E-SL:-CJC ArtE·N TCH,· - - · - - -- -w:nie-1-i-e,- -- -- -- - -- - -- - -- -- --SOO wRITE(L~,950) IT PRINC117 950 FORMATCõlõ,5X,5NUMtR0 DE IERACOES fFFTUADAS ;õ,I3J PRINCl!8

WRITE(LW,760) KK PRINC12ó 760 FORMAT(//8X,õQESL0CAMENT0S DO INCREMfNTO NUM õ,I2,/,õ PTO NODALõ, PRINC\27

•SX,õDESL Xõ 1 6X,õDESL Yõ) PRINCl28 DO 830 INE=!,NEQ,2 PRINC129 !=CINEtll/2 PR!NC130

830 ~KIT~(LW,8401 !,DESL(INt.J,DESLCl~EtlJ PRINC!31

600

8 7 O 880

l.i 04

81 O 702 e=== 405

FORMATCI7,3X,Fl2,9,2X,F!2,9J PRJNC132 ftRITE(LW,600) PRINC133 ~0RMAT(//8X,õTENS0ES NOS ELEMENTOS TR!ANGULARESCTR[M 3lõ,/,2X,õELEPRINC134

•MENTOõ,SX,õSIG Xõ,SX,õSIG Yô,4X,ÕTAL XYõ,6X,õTP lõ,hX,õTP 2õ,6X, PRINC13S •õTZõ,6X,õANG nRTOõJ PRINC\36

DO 850 N=l,NE PRINC137 il,/RJTE::CLW,860) 1~,CFC1RCECN,IJ,t::1,6l,DéFCN,6l PRJNCl38 F0RMAT(I113X,7FI0,3) PRINC139 ()0 8'70 N=l, NE PRINC143 WRITE(L-'JdlBO) N,(nf:'.F(N,IJ,t:=t,5) PRINC1114 FORMAT(I7,1X,5~l2,8l PRINC145 CONTINUE PRINC!IJ6 DO 810 N=.! ,NE. PRJNC1SO ,~RITE(LW, 71l2lN, (ORTCN,N5J ,NS=l,5) PRINC\51 FORMATCI7,3X,?F12,4,2X,1F12,q) PRINC152 CALCULO DAS REACDES DE APOIO, PRINC\53 CALL RECAL(NNQ,NGL,NCç,NE1LIST,NNR1IMAT,ORT,IET,CORD1DESL,NTC,KK1 PRINC154

•AG,ESP,E,ITl PRINCISS GO TO 402 PRINClSt>

400 wRITE(LW,8) PRINCl57 B FORMATCIHt,5X,5TERMINO DO PROCESSAMENTOô,/J PRINC158

CALL EXIT PRINC15q END PRINCl6! SUBROUTINE DADOS CNP,NC,TIT,NE,NCC,RfC,CORD,LIST,IMAT,ORJ,NNR,NTÇ,DADOS 1

*~NO,AG,ESP,RC;RT,EuC,EUTI DADOS 2 C === SU~ROTINA PARA LEITURA DOS DADOS DA ESTRUTURA, DADOS 3

IMPLICIT REAL •BcA•H,O•ZJ DADOS 4 · - - - - - · · ··(H ME Nil f ON- -r-n·cN~ ,- /lli\rRU (j-)-,-[111' e-c·7iJ"J·, 1'"E-C- t7 0-,-2) , .A G c-11 l , e:; P (2'5")' - - - - - - - 0-A"DO s- - -5 - -

DIMENSIO~ CüRD(200,2l,LIAC200l DIMENSIO~ ORT(300 1 5),LISTC300 1 3),1MAT(300l COM,'.10N LR, l.VJ

C --- LEI1uRA E IMPR~SSAü DO TITULO E CONTROLES GERAIS Rf.AD(LR,7JTIT

7 FORMAT(20Al,J wRITECLW,lOOlTIT

100 F0RMATC//SX,2DA4l

DADOS B DADOS 9 DADOS 10 DADOS 11 DADOS 12 DADOS 13

<O ro

READILR,llNP,Nt,NCC,NC,NTM,INX l FORMAT(6110)

,.,R!TE(Li,,901) 901 FORMAT(//8X,õNPÕ,8X,õNEõ,7X,õNCC~,8X,õ~Cõ,7X,õNTMõ,7X,õINXõ)

~RITECL•,l)NP,NE,NCC1NC,NTM,INX C --- LEITURA E I~PpE$SAO DAS CARACTERISTICAS DOS MATERIAIS

READ(L~,IOl)Rc,RT,E11C,EUT 101 FORMAT (l.lf: l O: 5)

DADOS lll DADOS 15 DAD01l ló DADOS 17 DADOS 18 DADOS 19 DADOS 20 DADOS 21 DA.DOS 22

102 ~,RITE(L•\, 102) FORMAT(//// 1 ~x,óPROPRIEóADES INICIAIS DOS MATER!AISõ,/,8X,õRCõ,8X,DADOS 23

902

2

108

8

105

lló

*ÕRTõ,7X,õEucõ,7X,õFUTõ) wR[TE(LW 1 90?l RC,HT,EUC,EUT FORMAT(~X,4FI0,5) . R~AD(LR,21 (ORT(!,1),I:\,~l fORMAT(SF!0,0) ,~RITECL1,, 108) FOHMATC8X,õE1õ,7X,õNI\õ,7X,õE2õ,hX,õNI2õ,6X,õANGõl ~RITECL•,81 CORTCl,tl,I=l,SJ FORMAT(Fl3,0,F8,2,FID,O,F8.2,F10,0) R E A D C l R, l O '5 l C I , E S P C I l , L = 1 , N T M) FORMAT(IlO,FI0,0) ~RITE(i-,V., l 15) FORMAT(BX,õTIPO DE tSPESSURAõl WRITE(LM1116)1[,ESP(I),I=1,NTM1 ~ORMAl(IIO,FI0,3) DO 130 !=l,1\/Tfl' IF(ESP(Il -o:000011131,13\,130

DADOS 24 DADOS 25 DADOS 26 DADOS 27 DADOS 28 DADOS 29 DADOS 30 DADOS 31 DADOS 32 DADOS 33 DADOS 34 DADOS 35 DADOS 36 DADOS 37 DADOS 38 DADOS 39 DADOS 40

<.O <.O

·--1;3 J;----f.SP-<-I-}=t ,---- - ---- -- --- ---- - - ---- --- ----- · - - - -- - - · · -- ------- -----o-A-oos--Lri---------------------130 C0~1TINUE

ORTr1,5J=ORTCJ,5l*0,0\7453292 C --- GERACAO AUTOMATICA DOS NüS

6 1>RITE(Ll~16l FORMAf(ôlõ,Bx;ncoaRDENADAS DOS ! A:: 1 IF(INX) 9un3,q404,9qQ]

'll!0.3 !=IA

DAoos 42 OADOS 43 DADOS 41! DADOS 45

NOSô,//,3X,ôNOõ,SX,5Xõ,8X,5Yô,1X,/lDAD0S 46 DADOS 47 DADOS 48 DADOS 4'l

READCLR,11) LIACil 1 C0RDCI 1 1l,CDRDCI,2l 9400 I=I+l

IF(t•NP) 9qos;9q0S,9406 9409 READ(LR,11) LIA(Il,CORDCI,1),CORDCI,2)

JF(LIA(Il•L!A(l•ll•!l 940i,9400 1 9401 9401 Il=LIA(I•ll+I

I2=LIA(Il•1 I:S=LIACI) Ll.l\(I3l=L!~(X) C0RD(I3,1):C0PDCI,1l C0RDCI3,2l=C0RDII,2l NPorn=r3~Il+l DELTX=CORDCI,tl•CDRDCI·l,ll DELfY=CDROCI,2J~coRD(I•l,2) ACRSX=DtLTX/NPoNT ACRSY=DELTY/NpONT DO 9402 J::,r\,T?. LIA(Jl=LIA(J•\l+I C0RDCJ,l.l=CORD1J•1,\l+ACRSX

9402 C0RD(J,2J:C0RDCJ•1 1 2l+ACRSY I=I3 00 TO 9400

91104 READ(LR, 11 l CL I~(J) ,CORDC,J, !J ,CORD(J,2) ,J:IA,NPJ 11 F0RMATC3CI5,~F10,4l) ()ij06 IFCNP•L,IACNPl l 103, !0~, 103 !03 ~RITE(~W,121 12 FORMAT(//IOX,õLEITURA tRRADA 005 DADOS• PARtõ)

-----------c-Ar,L--E-Xi-i---------------- -- - ------------- ------- --------104 WRITtCLw,9) CL lACJ),CORDCJ,1),CORP(J,21,J:IA,NP) 9 FORMATCIS,F10;3,F9,3J C ;:: GERACAO AUTOMATICA DAS INCIDENCIAS

\bO 165

.-iRITECL,W, 155) FORMAT(/l7X,ôELEMENTOõ,17X,õNUMEHO N:Q AEAD(LR,165) M,CLISTCM,ll,I=l,31,IMATCM) FORMATC'iitOl

DADOS 50 DADOS 51 DADOS S2 DADOS 5,3 DADOS 51! DADOS 55 DADOS 56 DADOS 57 DADOS 58 DADOS 5q DADOS 60 DADOS 61 DADOS 62 DADOS 6'.\ DADOS 64 DADOS bS DADOS ó6 DADOS 67 DADOS 68 DADOS 1,9 DADOS 70 DADOS 71 DADOS 72 DADOS 73 DADOS 74 ilADOS 75 DADOS 76

1-' o o

-- -- - -- - - - - -0-11-r,os--77-- - - - - --- -- - - -- - - -- - -DADOS 78 DADOS 79 D.ADOS 80 DADOS 81 DADOS 82 DADOS 83 DAOOS 81! DADOS 85

170 N=N·tl DADOS 86 IF(~•N) 185, 18'.>, l 75 DADOS 87

175 . DO 180 l"ó!,3 DADOS 88 180 LISTCN,Il=L!ST(N•l,Il+I DADOS 89

1 85 190

1 9 1.;

e --­---20 O l) 1

IMAT(N)=!MAT(N•ll DADOS 90 i!RlTE(1 W,l90) N, (L.IST(N,.Il,I=l,3),IMAT(N.l DADOS 91 FOR~AT(9X,!3,13X,I3,9X 1 !3,9X,I3,l3X 1 I?.l DADOS 92 IF(N,,Mll70.)9S,195 DAOOS 93 IF(N•NU 160,200,200 DADOS 94 LEITURA DAS CQNDICDES DE CONTORNO DADOS 95 t'JRITECLW,111) DADOS 96 FORMAT(/1,SX,oCONO!COES Dt APOIOõ,/,5X,õPT,NODALÕ,7X,õAPoIOõ,6X,õRDADOS 97

*rCALA,Xõ,6x,õoECALQ,Yô,6X,õANGULOõ,/31X,5C;ELAST,õ,6X,õC;ELAST,õ/)OAOOS 98 Rf::AO[LR,lll(NNR(KJ,rsrccK),REC(K,ll,RF.C(K,2),AG(K),K=t,NCCl DADOS 99

4 FQRMAf(2110,3FlU,3) DAOOSlOO AG(7\J:Q, DADOS101 DO !20 K=l,NCr. DAOOS102

120 AG(71l=AGC7ll+DABSCAGCKJJ PAOOS103 nRITECL•,1bJ(NNR(K),NTCCKl,REC(K,ll,REC(K,2l,AG(K),K:1,NCC) DADOS104 FOR~ATII10,Ilq,2f-!q,3,F13,1l DADOS105 Rf. TURN DADOS 106

2900 ~RITE(LW,7000) N 7000 FORMAT(/,Sx,õfHRO ELEM NUM=õ,I3l

RETURN ENO DAOOS107 SUBROUTINE CARRE (Nf.Q,KI,TIT,NGL,NP,V,NE,NNO,LIST,lF,LL,NI,ERRO,PECARRf. 1

•sO,ITMAXl CARRE ?.

1-' o 1-'

--{;- - ",,,,. -Sl:IBRO-T· I i\·A- ·f-[-JflMfrQ-OR ~- Do -v Ff-(!R- j}f- -e A R(;-A-s .. · - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ·C-A-RR t- - -1- - - - - - - - - - - - - ·- - - - - - -IMPLICIT REAL •8(A-~,O-ZJ CARRt 4 DIMENS!ON T!TC201,PESOC2Ôl,VA(2l CARRE 5 OIME:f'.;SIO,~ 1/(400) DIMENSION LI$T(J00,3) COMMON LR,L11

e=== ZERAMENTO DO v~TOR DE CARGAS DO 11:>0 I=l,NéQ

160 V(I):o,

CARRE 8 CARRE 9 CAí~RE 1 O CARRE lt

READ(~R,3lNI 1 ERR0 1 ITMAX CARRE 12 ;1 FORMAT(IlO,FIO,O,I10l CARRE 13

IF(NI,EG,OJ NT=l CARRt IA IfCERRO,EQ,O,l ERR0=0,01 CARRt 15 IP(ITMAX,EQ,OJ !TMAX=\00 CARRE WRITE(LW1100lTIT,KI 1 NI,ERRO,ITMAX CARRE 16

100 FORMAT(lttl,4k,20A4,//,5X,õCAS0 DE CARREGAMENTO NUMERílõ 1 I5,/5X, CARRE 17 *ªN MERO DE r~cR~MENTU9 DE ÇARGA=õ,15,/SX,õERRO ADMITIDO =õ,Fl0,7,/CARRE 18 *SX,õNUM, MAXtMíl DE rfERACOES =õ,I5,/5X 1 32(õ•ôll . CARRE 19

C --- LEITURA E IMPR~SSAC DOS PESOS D03 INCREMENTOS CARRE 20

l lo

\05 lo

20 '.I O e=== 115 200 1 11

IF(NI•l) 105,!10,!0'i CARRE: 21 PESO(ll=l. CARRE 22 GO TO 115 C:ARRE 23 REAO(LR,!Ol(PFSO(JJ,J=l,NIJ CARRf: 24 FORMAT(BF!o;o1 CARRE 25 v.RITE(lW,15) CARRE. 26 FORMAT(// 1 8X,õPES0 DOS INCREMENT0Sõ 1 / 1 6X,õINCREMõ,3X,õPES0ôl CARRE 27 DO 20 J:1,,,I CARRE 28 WRITEl~W,30) J,PESO(JJ CARRE 29 FORMATCIID,FIQ,U) CARRE 30 LEITURA,IMPRL~SAO F ARMAZENAMENTO DO V~TOR DE CARGAS C:ARRE 31 ~RITE(Lw,2no) GARRE. 32 ~ORMAT(//5X,óPT N0DAL5,3X,õCARGA Xõ,4X,ôCARGA Yõ,/) CARRE. 33 READCi_R,9lNA, (VA(Kl ,K=1,NGI.) CARRE :s11

9 FORMAT(I10,2fJ0.2) ' CARRf:. :,5 If(NAl130,L~0,120 CARRE. 36

120 ,·JR!TE(t,.W16)NA,CVA(fl,K=\,NGI.) CARRE. 37 · --- --- 6---F-eRt.tA-T o-1-o-.-1"1'.3-,-2·,r·1 i-,-2i--- · ·· - - - --- ---- ---- --- -- - -- ------- - - - --- - -··- - - - -- --·c-A-1,Rr:- ".1-a- -- ·--- -- ----- - - - - - -

DO 170 K=!,llGL GARRE 39 IA=(NA•l)•NGltK CARRE qo

170 V(IAJ:V(lAl+VA(K) C:ARRE UI GO TO 111 CARRE 42

130 IF(KI•\)180,180,lqa CARRE 43 C --- CAlCULO DA LARGURA D~ FAIXA GARRE 4q

180 Lf=O CARRE 45 DO 192 ~I" 1, tJE C ARRE 46

DO 19?. J2=2,NNO DO 1.92 ,Jl:2,N~JO DIF=LIST(N,J1J•LIST(N,J2~1l LFF=CDABS(DIFJ+l)•NGL IFCLFF~Lf) 192,192,193

19:, L.F=t..FF 192 CONTINUE

LL=900/LF/NGL•NGL C --- VERIFICACAO ílA LARGURA DE FAIXA NAO PODE ULTRAPASSAR !O

IFCLf~JOl 194,194,!QS \95 WRITE(Ln,!Qh)LF 196 FORMATC//,ô LARGURA DE FAIXA MAJOR DO QuE O COMPRIMENTO DO BLOCO,

•l.F=ó, I3) CAl,l EXIT

l 911 RETURN f. ND SUHROUTINf FORMBIN~Q,NE,LIST1IMAT1CORD,ORT,NN0 1 NGL1NCC,NNR,NTC1

*V,R~C,Lf•LL,IC,I~T,KK,AG,IT,ESP,l 1 lD)

CARRf: 47 CARRE: 48 CARRr. 49 CARRE 50 CARRE 51 CARRE 52 CI\RRE 5~\

CARRE 57 CARRE 58 CARRE 59 CARRE 60 CARRE 61 CARRE 62 FORMfl 1

C --- SUHROTINA FORMADORA DA MATRIZ Dl RIGIDEZ DA ESTRUTURA EM BLDCOS,ARFORMB :, 4 5 6 7

C === MAZ~NANDO•OS FM VETOR, FORMB IMPLICIT REAL *8(A•H•O~Zl FORMB DIMENSION NNR[70),NTC(/O),REC(70 1 2),AG[?l) 1 ESP(25l,E(3,3),CRIGC6,bFORMB

•l FORME\ UIME~SIDN V[40DJ,CORU(200,21 DIMENSION ORT(300,5),LI9TC300,3l,IMAf[300l DIMENSION Rf(QOO) CQMMQN l.R,LW fORMB 11

1-' C> w

. - - - - - - - - -!'lj-f:'! ::1;}- - - - - - - -· - - - - - - - - - - - - -· - - -. ·- ·- ·-. - - - - ·- - -- - - -- - - - - - - -- - -- -- --------------fi)"l~MB--1~3"----- - - - -- - --- ------

e "'"'" 1 E, ' 2 (J 1

2 O ,, 202 2 O :1

r r: = 1 .rRAMENTO DO PRIMlIRü ! , i ·ff Cl • !.. L l 2 O O , 2 O l , ? O 1 I .1 A"LL *L.F GC· TQ 202 !l ,>:NE11•Lf" O( ,?03 NL=:t,nA Rl,\ILl=O,

F ORMB 14 BLOÇO FORMH 17

FORMB 18 FORMEI 19 FORMB 20 FORMl'l 21 FORMB 22 FORMB 23

C --- INICIO DA MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ POR BLOCOS e=== VERIFICACAO Dos ELEMENTOS QUE CONTRIBU~M EM CADA BLOCO

204 DO 210 N=l,N~ DO 207 Jl:::1,N1,0 NL=CLI31CN,JIJ•l)•NGL•CIC~l)*LL IP(NLl20'1,2D6,206

208 !F(NL•LLl209,2D7,2J7 207 (;(JNIII\IUE

GOTO 210

FORMB 2/.1 FORMB 25 fORMB 26 FORM<l 27 r ORMB 2A FORMB 29 FORMB .30 FORMB 31 F ORMfl 32

C --- MONTAG~M DA MATRIZ OE RIGIDEZ 00 ELEMENTO QUE CONTRIBUI P/ O 209 tFCIT+KK,EQ,l:ANü,~,NE,ll GOTO 10

BLOCOFORMB 33

1 o CALL ELAST(ORTC~,1),0RT(N,2J,ORT(N 1 3J,URT(N,4) 1 0RTCN,5l,IET,El r MA::, I M •\ T e rn EsPE=EsP ( IM1\)

C === C:MAM~DA IJA SUBROTINA f-'ORM1\DORA DA IIATfUL DE RIGIDEZ DO ELE;'•1ENTO CALL RIGIDcN,LIST,ÇO~o,E,CRIG,ESPE,AG,NNO,NCC,NNR,NGL,NO) DO 210 Jt::1,:·1~J() NL=(L!ST(N,Jl)•ll•NGLR(IC-l)•LL IF(NLl210,212;212

212 IFINL·LLl2!3,210,21D 213 DO 210 J=l,NílL

Nl.=NL+l I = ( J 1., ! l * i~ r; L + J DO 210 K\=1,NNO NC=(LISTCN,KIJ•ll*NG~-crc-11•~L DO 210 K=t,NG!_ ,'JÇO=Nc t!< t l •NI.,

FORMB /J\ FORMB 112

N, FORMB 113 FORMB 4ll fORMB '!5 FORM6 4b FORMB 1-17 Fo1;M8 48 F OR,-.iB 49 FORMB 50 FORMB 51 FORMB 52 FORMB 53 FORMB 54 FORM8 55

o +

---------- - --- - --- ----f-oi<MtJ--s-e,--------------------· - - - - - - - -t: ·( K-1-..-t i TNê,t; +1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -IF(NC0l210,2101214

214 lA=(NL•ll•LFtNCO RE(IAl=RE(IAJ+CRIGCI,Ll

210 CONTINUE C === MOD!FICACAO OA MATRIZ DEVIDO AS CONDICOES DE CONTORNO 181 DO 220 N~l,NÇc

NX::JO*•l~!Gt..-l.l I=NNR(N)

FORMS 57 FORMB 58 FDRMB Sq FORM6 óO FORMA 61 F'ORM8 62 PORMB 63 FORMB 64

NL=CI•IJ*NGL~(lC•lJ*LL IFC~Ll220 1 222,222

222 IFCNL•(LL+lF•\ll223,220,22D 223 NTCA:NTC(N)

00 220 M=!,NGI., Nl"Nlt1 IA=C1'1L-l l*LF+1 Il)A=NTCA/NX IF(I0Al224,224,225

225 JJ:NL+(IC~!l*LL C --- TESTE DE VtRIFICACAO DA TECNICA A SER ADOTADA.

e=== 286 :11 O

e --­---221 227

2 2 t,

IF(DABS(REC(N,MJJ•0,000001) 221,221,286 TECNICA DO NUMERO GRANDE IF(IA•IIAJ31D,310,2b9 V(JJl=lO,E+?O*RECCN,MJ RECI~J:10,[+20 GO TO 21:>9 TECNICA DA INJRODUCAO DE UM E ZlROS, IF(NL•LLl226,?2b,227 NDH=NL·lL+l IFCNDIF•LFJ225,?28,2bq ,~DIF=2 REClAl=l, V ( J ,JJ = R E C ( N, M l

FORMB 65 FORMB ób FORMB 67 FORMB 68 F O flMB 69 FORMB 70 FQRMB 71 F-ORMd 72 FORMB 73 FORMB 74 FORM1l 75 FORMf.l 76 FORMB 77 FORMB 78 FORMB 79

FoRr,,l;l 83 FORMtl 84 FORMB 85 FORMf3 86 FORMB 87 f'ORMB 88

228 DO 229 J=NDJF ,U· FORMl:l 9:$ !FCNL-lLl ?30,230 1 231 FORMB 94

230 JJ=NL+(IC•!l*LL+J•l FORMB 95

f-' o cn

--- ---- - -r-f-t-.J-J-..-rvEfri-:tft t,-3~t,2-:3-t----- --- -- ---- -- - - - -- - - ----- - -- ---- -- -- -- -- - -- - ------t'nRMr.l- ·q-5- - - - --------- -- -- -- -301 ]A=(N~•ll•LF-+J FORMB 97

VCJJJ::V(JJJ-Rf(IAHRECCN,Ml F-OR~Hl 98 Rr(IA)::O,

23 \ NR=NL t l"MJ JFCNRl229,229,232

232 JJ=1'1R+(IC•!l*LL IA:(NR-ll*Lf+,J V(JJl=VCJJ)•RECIAl*RtCCN,MJ

F-ORMB102 FORMtl103 F'ORMBlOl! FORMB105 FORMB106

229 269

e:::: 2?4 305

251 220

2 .1 ij

235 e = = = 236

REDAl=O, co~ TINuE NTCA=NTCA•NX~IDA Go ro 2s1 INTROOUCIO 00 APOIO ELASTICO, !f(NL·LL) ~05,30S,2Sl RE(IA)::RECIAJ+RECC~,~) NX=NX/10 CONTINUE L.Ll=NEQ~IC*L.l. IFCLLI)234,23a,?35 LLI=NEQ•(IC•l)•LL NO=! GOTO 236 LLI"LL CHAMADA üA SUBROTINA D(CílMPOSITORA CALL DEBLO(NO,IC,LF,LLI,LL,RE,IC) IF(NOl237,?37,?38 IC:::IC+l. GD TO 204 RETIJRN E,~D

DA MATRIZ RE.,

SUBROUTINE ELAST(E!,P1,E2,P218,!FT,E) C :::::: SUBROTINA FORMADORA DA MATRIL DE ELA~TICIDADE

IMPLICIT REAL •~(A•H,O•~) DIMENSION E(3;3l,T13,3) 1 Fl3,3l COMMCJN LR,1.t/

---- ---- ··f. t 1, sr- e.------ -- -- ·-- ------ ----------- ------- --- ----.. ---- --- --E C 2, 3 J =o. [(3,ll=O, fU,2)=0. IF(P2•0,09J 20,20,21

20 GOTO 130,JJJ;IET C --- ESTADO PLANO DE TENS0fS P/ O MATERiaL tS0TR0PD,

30 AUX=El/(l,•P1••2J E(l,!J::AUX

FORM8110 FORMl:l111 F-ORMll 1 l.2 FORMllll3 f-ORMllll4

f-ºORMl:l! 18 FORMBi19 FORMB120 FORMB121 FORMll122 FOflMB123 fí.JR1"1B.\211 FORM8125 FORMl>l2(l

FURMEl131

fORM8134 FOf~M8135 E:LAST ! tLAST 2 E.L.AST 3 E:'.LAST li

Ei.~ST 5 --- -- -- -- - - -1t;-A"5,---1,- -

f:.LAST 7 E.L/IST 8 E.LAST 9

ELAST 11 t.L.AST 12 f:.L/IST 13 f:.l,AST lll

1-' o cn

E ( 1, ?.) =AvX*Pi f.C?.,ll=ECl,?.l E(2,2l:aAUX EC3,3l=AuX•(t:•Plll2, RETURN

"

e=== ESTADO PLA~O oE DEFORMACOES PI o MATERIAL ISOTROPO, 31 AWX=E!•Cl,-PIJ/CCl,+P!l*(l,-2,•PIJJ

E(l,l):AUX EC!,2):AUX*Pl;Cl,•Pll F.:(2,ll=EC!,2l f:(2,2)::AuX E ( ~, 3) = A U X* ( 1 >, 2 , * P l l / ( 2 , *C 1 , • P 1 l ) RE·ruRN

C === MATRIZ DE TRANSFORMACAO P/ ~ATERIAIS ORTOTROPOS 21 T(t,ll=DCOSCB)**?

f(l,2)::DSIN(BJ••?. T(1,JJ=•2,*D9IN(~)*DCOS(Hl T(2.\)=TC1,?.l T(2,2l=TC\,1) TC2,.$)=•TC1. 1 3) T(3,1)=.:rc2,3J/2, T(3,2J=~T(3,1 J T(l,3):T(l,ll-T(J 1 2) (12=DSílRT(El•~2) P12=üSQRTCPl•P2l A.N=E l lE2 GOTO (22,23),IET

--e--==-=- -E:-s ic!l-W-ft--/1-kíl -o-E- -T-E N-so-es -t'"t- -e -tti\-'r-E R·I-A-L:- -ewro-r·R op-o- - - - - - --- - - - - -22 AUX=E2/(1,·Pl?.••2)

E(ldl=AUX*AN e.C1,21:P\2•DSílRT(AN)*AUX E(2,2):AUX E(3,3l=Cl,•Pl2l*DSQRT(AN)/2,*AUX GU TO 2q

e=== eãTADP PLA~O oE DEFORMACOES P; MATERIAL ORTOTROPO 23 P3=0,2

ELAST 1":i ELA.ST !6 é.L.AST l 7 féL.AST l.A E.l..AST 19 ELAST 20 EcL.AST 21 EL. AS T 2?. El,.AST 2:3 ELAST 24 ELAST 25 é.LAST 26 f.L.AST ?. 7 ELAST 28 EL.AST 29 ELAST 30 é.LAST 31 é.i..,I\ST 32 f;L,AST :n ELAST 31! ELAST 35 EL,AST 36 f.LAST 37 E.L,AST 38 ELAST 39 é.LAST qo é.L,AST 41

.. - - - - - - - ·E-t;lt s 1- -4-2 - - - - - - - - -

é:l.AST 43 E.LAST ll4 é.l.AST 45 tLAST 46 E.t,AST 47 E.LAST 48 ELAST 4g ELAST 50

AUX=E2/(1,•PL-P2•Pl*P3•P2•P3·2,•Pl*P2•Pll E(1,ll=AUX*AN*Cl,•P3*P2l F(t,2l=AUX•P!•CJ;+P3l E(2,2):AUX•C1:•Pl•Pll tC3,3l=El2/C2;-c1,+p12JJ

211 [(2.\l=ECL?J C --- T~ANSFQRMACAO DE COORDENADAS,

DO 2~ I=1,3 DO 25 ,l=l,3 F(:(,,JJ:::O, DO 25 K=l 1 3

25 F(I,Jl=FC!,J)+E(I,KJ•TCJ,KJ DO ?..7 I=ld DO 27 ,J=l d t.Ct,,n=o, DO 27 l'i=l,S

27 ECI,Jl=F(I,Jl+TCI,K)*F(K,JJ RE !Uf<e; E.NO SUBROUTlNf R!Glü(N,LIST,CORD,E,CRTG,ESP 1 AG,NNO,NCC,NNR,NGL,Nü)

C ==: SIJHROTINA FORMADORA DA MATRIZ OE RIGIDEZ DO ELEMENTO TRIMl, PMPLICIT REAl ~8(A•H,O•Zl OI~ENSIO~ NNR(70J,AGC7ll,E(3,3J,CRIGC6,61,H(3,6),D(316l DIMENSIUN CORDC2D0,21 DI~ENS10N LI8T(300,3) CO>H~ON LR,L.w

C ==: LISTA DE INCID~NCIA DE CADA EL~MENTO,

ELAST 51 ELAST :>2 EI. AS T 5:1 ELAST 511 E.L •. AS T 55 E.LAST 56 ELAST S7 tl.AST 58 tl-AST 59 EL.AST 60 f::LAS T 61 f-1.AST 6 .,

<.

f:.LAST 63 EL.AST 64 f:LAST 65 t.LAST 66 H.AST 67 f.i,AST 68 ELAST 69 RI G Hl l RIG!D 2 RIGID s RIGID /j

RIG(D 7 RT.GIO 8

1-' C)

(X)

---- --- --r-o:t..-1-ly]' çN,1-}------- - - ---- ------ - -- - -- -- ---- - --- - - -J=t.ISTUi,2)

- ----------R-tt,rD- 9--------------------

K•LIST(N,3) C ==: COORDENADAS LílCAIS

AJ:CORD(J,t)•CORDCI,1) AK:CDRD(K,\J•CORDCI,IJ BJ=cORD(J,2)-cURD(I,2) BK=CORD(~,2l•CORDCl,2l AREA=CAJ*BK~AK•YJl/2,

RJGID 10 RIGID 11 RIGID 12 RIGID 13 RIGJO 14 RIGIO 15 RIGID 16 RIGID !7

IFCAREAJ220 1 220,221 RIGID IB C --- MENSAGEM DE ERRO REFERENTE A LISTA DE INCIDENCIA RIGID 19

220. WRITE(LW,1QO)N RIGID 20 IDO FDRMATC///,SX,õAREA NEGATIVA PARA O ELEMENfO NUMERDõ,I4) RIGID 21

CALL EXIT RIG!D 22 C === FORMACAO DA MATRIZ QUE RELACIONA DEFORMACAO COM DESLOCAMENTO RIGID 23 C === os coEFICI~NTES ESTAO MULTIPLICADOS POR 2•AHEA RIGIO zq

22! 8(1,1):ôJ~l:lK RIG!D 25 B(l,2l=O, RIGID 26 l:l(ldl=BK RIGID 27 BCt,4l=O. RIGID 28 B(!,Sl=~BJ RIG!D 2g 8(1,h)=O, RIGID 30 n(2,\l=o; RIGID 31 BC2,2l=AKNAJ RIGIO 32 8(2,3):0. RIGID 33 BC2,4J:::,..AK RIGID 34 8(2,'ó)=O, fHG·ro 35 Fl(2,ól=AJ RIGID 36 B(3;1)=8C2,2) RIGID 37 5C3,2l=B<t,ll RIGID 38 BU,-~J= .. AK R!GID 39 í3C3,4)::Bt< RIGIO 40 B(3,5)::A,) RIGI0 li\ liU,óJ=~l:lJ RJGID 42

C === FORMACAO DA MA[RIZ QUE HE~ACin~A AS T~N30ES COM os DlSLOÇAMENTOS, HIGID U3 DO 205 I=J., 3 flIGID 44

----- -- --oe-7.1)-'j-a<=-i-,-ó----- -- --- - · ··----- -- - - - -- --- --- -- - - -- -- - - - - - -- -- - - - - -----------,n-cH 0--4:,----- ---

D ( I, J l =O. RIGID 46 DO ?.05 K=!,3 RIGID 47

205 oCI,Jl=oCI,Jl+E(I,K)/(2,*AREA)•B(K,J) RIGID 48 C --- fORMACAO DA MATRIZ DE RIGIDEZ RIGID 49

DO 2110 r=1, 1, RIGID 50 DO 240· J:::1, 6 RIGIO 51 CRIGCI,Jl=O, RIGID 52 DO 240 K=t,1 RIGID 53

f-' o <D

240 CRIGCl,Jl:CAIGC!,J)tDCK,IJ/2,*BCK,JJ *ESP C === CONSIDERACAO DE APOIO INCL!NADO,

IFCAGC71J~íl.000001)300,300,30\ 301 DO 102 I=l,NCC

IF(DABS(AG(Jl)•0,000001)302,302,306 306 DO 302 J=l,NNO

304 '.~02

.300

!PCLISTCN,Jl•NNN(IJ)3D2,304,302 CALL INCLI(CRIG,AG(IJ,J,NGL 1 D) CDNfHJUr. RETURN END SUOROUTINF !NCLI(C,AG,J 1 NGL,D)

C --- SUBROTINA PARA ROTACAO DO SISTlMA DE REFERENCIA D6 P6V36 N6D C --- ELEMENTO CORRFSPONDENTE A UM APOIO INCLINADO,

IMPLICIT REA!. •8(A~H,O•Z) DIMENSION C(6,nl,DC3,6) CQMMON Lfl 1 Lw CS=DC0SCAG*0,017a5J292) SS=DSINCAG*0,017453292) ll=CJ•l)*Nc;1,.+1 DO !5 Jl=!,5,2 •=cs*C(Il,J!+tl+SS•C(Il+l,J\tl) B:-SS•C(Il,Jl)+CS•C(Il+l,Jl) C(I1,J1J=cs•C(Il,Jl)tSS*C(ll+l,J\) CII1+1,Jl+1l=•SS*C(Il,JL+l)+CS•CII1+1,J)tl) C(Il.,Jltl):::A

15 CII!·>i,Jll=ll

RJGID 54 R!GID 55 RIGID 56 RIGID 57 RIGID 58 RIGID 59 RIGID 60 RIGID 61 RIGID 62 RIGID 63 RIGID 64 !NCLI 1

&,.6 INCLI 2 INCLI 3 INCl,,I IJ INCLI 5 INCI.I 6 INCLI 7 INCLt 8 INCLI (J

INC!.I 10 INCLI 11 INCL,I 12 11\/CLI 13 INCLI \4 INCLI 15 INCLI 16

------- - -()(J-1-&-J1"1-,-lj,2- - ----- - - - -- -- - - - ---- - - -- -· --------- - - - - ---------------x-Nc1:r-,-,--A:::•SS•CCJl,Il)+CS*C(J!,I\+l) s=CS*C(Jlt1,I1)+SS•CCJ1+1,r1+1) C(J1,I1l=Cs•CCJ1,I1l+SS•CCJl1Il+ll C(Jl+l,Il+ll=•SS•C(Jl+l,Il)+CS•CCJ1+1,I1+1J C(J\,I!+t):A

16 C(J1+1,I1l=8 C --- ~ODIFICACAO DA

DO 17 J!=\ ,:s MATRIZ QUE RELAC!ONA TENSOEB COM OS DESI.OCAMtNTOS 1

INcL.I lf3 !NCL.I 19 INCLI 20 INCI.I 21 lNCL.l 22 lNCLI 23 INCI.I 24 INCL! 25

A=DCJl,Ill D(J),Ill=D(Jl,Jll*CStD(Jl,Il+ll*SS

17 DCJ!,I\+l)=•A•SS+D(Jl,Il+ll*CS Ré.TURN END SUBROUTINE Dé.BLOCNO,IC,LF,LLI,L.L,RE1IDJ

C === SUBROTINA DECOMPOSITORA DA MATRIZ REEM UMA MATRIZ FAIXA TRIANGU~ C === LAR SUPERIOR, QUé. MULTIPLICADA PELA SUA TRANSPOSTA FORNECE A PRI• C --- MEIRA, A DEC0MP0SICA0 PODE SER EFETUADA EM BLOCOS, C SE NO DIFERE OE 1, EXISTEM OUTRAS PARTICOES A SEREM EFETUADAS. C IC • INDICE CONTADOR QUE INDICA O NUMERO DA PARTICAO C LF ~ LARGURA OE FAIXA DO PROBLEMA, C LLI • NUMERO DE EQUACOES DA PARTlCAO IC, C LL • NUMERO MAXIMO DE tQUACUES PUR PARTICAO, C Rf • PARTICAO A SER TRIANGULARIZADA,

!MPLICIT REAL •8CA-H,O•Z) DIMENSIO~ RE(900l COMMON LR,Lw

e --- TRil~GULIR!lAc:AO DO Bi,,OCO DE INDICE CONTADOR IC, ID~(L•LF/320•CIC•ll+lç DO 21 I;::l,L.LI IA= 'I•ll •L,F+1 ºº 21 J=l,t.J !E=IA~l+J IQ=L.F•J !FC!•i•IQJ"i,6,6

:i Ií.l=I"l

! NCI,, I 26 !NCLI 27 I NC l. I 28 INCL.I 2'l INCI.I 30 DEBl.0 1 DEBl.0 ?. DE BLD 3 DEBLO /j DEBL.0 5 DEBLO 6 DEBLO 7 DEBLQ 8 DEBLO q DEBl.,0 1 O DEBLO 1\

DEBl-0 13 DEBLO 14 DEBl..0 15 DEBl-.0 16 Df.BLO l. 7 OEBLO 18 DEBLO l'l Df:BLO 20 DEfJLO 21 DEBLO 22

-- ----- 6 -seM-A-::-o,. --- ----- --- - ---- ---- --- - - - -- --- --- - - - - - ---------- - - - - -- ---- - - - DE:-fll.fl- 42"-:~-------- -IF(IQ•1)12,8,8

8 DO ll K::1,rQ IB=C!•K•ll,LF+Ktl J~::J+Kt(I•Kal)*LF

li SOMA=soMAtRE(IBl•RE(JA) 12 IF(J•\)20,13,20 13 30~A=RE(IAJ•SQMA

!F (SOMAI l~i, 15, 18

DEBL.O' 24 DEBLO 25 DEBLO 26 DEBL,0 27 DEBLD 28 OEBLO ?.9 DEBLO :SO DE!'H.O 31

C --- MENSAGEM DE ERRO, DEBLO 32 15 ~RITE(Lft,161I,J,SOMA,IC,LF,1..L,LLI DEBLO 33 16 FORMAT(/l,SX 1 õSUBROT1NA NAO ADEQUADA PARA A RESOLUCAO DO SISTEMA DEBLO 34

• PARE I=õ,?3,õ J:õ,I3,ô SüMA=õ,~10,4,/,SX,ô IC:õ,I3,õ DE:BLO 35 •LF=õ,I3,õ LL=õ,J3,ô LLt=õ,I3l DEBLO 36

CALl, EX!T DEBLO 37 IA RE(IAJ:OSQRT(SOMAJ DEBLO 38

GO TO ?. \ Dt.BLO 39 20 RE(IEl=C~f(IEJ-SOMA)/RE(IA) DEBLO 40 21 CONTINUE DEBLO 41

NL=Ll .. l •1..F DEBLO 42 ~IRITEC!.26IpJCr,lCIJ,I=!,Ni.) OEBLO 1n IFCND-IC)23,qq,23 DEBLO 44

C === FORMACAO DO IIE9IPUO PARA O BLOCO SlGUlNTE, DtBLU 45 23 lf'CN0-1146,411,46 DEBLO 46

46 DO 36 I=l,LLI DEBLO 47 DO 36 J=l,LF D~BLO 48 IE=Cl~!)*LF+J DEBLD 49 [FCI-~F+ll?B,?8,38 DEBLD 50

28 IF(J•LF+IJ?9,29,38 OEBLO 51 29 tQ=LLl+Jtl•Lf DfBLO 52

SOMA=O, DEBLO 53 DO 34 K:IQ,LLI DEBLO 54 IA=LLI•I•K+l+(K•ll•i..F DEBLO S5 JA=LLI+J+l•Kt(K-1)~1..F D~BLO 56

34 S0MA=SD~A+RE(IA)•RECJA) DEBhO 57 RECIE)=•SOMA DEBLO 58

------- --c1e -ro--:Hi--------------------------------------- --- ----------ors-c;o· ?9 -38 RECIE):O, DEBLO 60 S6 CONT ! 'IIU[ DEBhO 61

44 RETLJRN Dé.BLD 62 fND DEBLO 63 SUBRDUTIN( REtLOCICS,LF,LL 1 NEQ,V,I0l REBLO 1

C === SUBROTINQ RFSoLVEDORA DO SISTEMA OE EQuACOES A PARTIR DA MATRIZ REBLO 2 C ::: fAIXA TRIANGULAR SUPERIOR OBTIDA POR DEBLO E ARMAZENADA EM VETORESREBLO 3 C ICS - NtJMERO TOTAL OE PARTICOES, REBLD 4

e e

9

21

NEO • NUMERO TOTAL DE EQUACOl:.S DO SISTEMA, V• VETOR DO CARREGAMENTO QUE SE TRANSFORMA NOS DESLOCAMENTOS, IMPLICIT REAL •RCA•H,O•Z) DIMENSION VC4QOI DIMENS!ON RECQDOI

REBl.0 REBLD Rl:.BLO

5 6 7

C0~1MON LR,l.,; REBLU 10 DO 34 rc,q, rcs Rl:.BLO 11 IFCIC•ICSJB,5,5 REBLO 12

5 LLI=NEG•(IC•ll*LL REBLO 13 GO TO 9 Rl:.BLO !4

8 LLI=LL Rl:.BLO 15 ID=~L*LF/32D*CIC•ll+Iç REBLO 16 IA=L,L. I •Lf REBLO 17 READ(12õifl)(RECil,I:1,IA) REBLO 18

11 DO 23 I=l.,L.tI REEJLO 19 IA=CI•l)•LF+l Rl:.BLU 20 J=I·LFt\ IH::BL,0 21 IFC!+l•LF) \4, [IJ, 15 Rf:BLO ,'2

14 J=t REBLO 23 1S SOMA=o, Rl:.BLO 24

11=!•1 REBLO 25 IFCJ~I1J18,t8,22 RfBL.0 26

l.8 DO 21 K=J, II REBL.0 27 KA=l•K+lt(K•l)•LF REBLO 28 KB•K+[IÇ•ll*LL AEBLO 29 SOMA=SOMAtpE(KAl•VCKijJ REBLO 30

22 I2=ItCIC•1J•LL REBLO 31

w

---- - -r.S--1t ~-rri-:o e v·<-rt.r~s-o~tA l 1·1<t-t 111-i- ------ -------- -- --- ------------- ---- ------ ------m~rn:o- -s-2----- ------------ ---L S = LF • 1 REALO 33 DO 33 1=1,LS REOLO 34 l2=IC•LL+I REBLO 35 Kl~LLtI 1 LFtl REBLO 36 00 :n K:l(t, LL RE.BLO 37 KA=LL+I•Kt\+(K•ll*LF REBLO 38 KH=K+CIC-IJ•LL REBLD 59 IF(I2•NE0l33,J3,34 REBLO 40

33 V(I2l=VCI2J-RE(KAJ•VCKHl 34 C0~1Til\JUf.:

C ::: CALCULO DOS OESLOCAME~TOS V DA ESTRUTURA oo 60 12=1, rcs

REBLO 41 REBLO 42 REBLO 43 REBL,0 4/J REBLO 45 REBLO 46 Rr.BLO 47

44

JC=ICS•I2tl IF(ICS•IC)38,3B,41

38 LLI=NEQ•(IC•i)*LL GOTO 4~

41 LLI=LL IO=LL*LFl320•1IC-tl+IC IA ;;LL I •t..F READll?.õIDJ(RE(Il,I:1,IA) DO 59 IA=l,LLI

REEH.0 49

Rf:.BLO 51 REBLO 52

l=LLI•IA+l REBl.0 56 I1={I•l)*LF+I REBLO 57 J=I+Lf'•l REBLO 58 KAA=I+(IC•ll*LL REBLD 5q SOMA=V CKAA) REBLO 60 Il=l+I REBLO 61 IF(I1•JJ55,5S,59 REBLO 62

55 DO 58 1<:I ! , J R!:.BLO ó3 "6=K+CIC~1J•LL REBLO 64 IFIKB·NEQJ68,68,59 REBLO 65

68 KA=K•I+1+(J•ll*LF REBLO 66 58 SO~A=SO~A-RE(KA)*V(KB) REBLO ó7 59 V(KAA)=S0MA/R~CI3l REBLO 68 óO C~r,TINUE RE.Al.0 69

- - - - - - - - ---i.-t rüAA- -- - - -- - -- - - - - - -- - - - - -- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - -- -- - - - - - - -1,E-a-t: o- ,o---· ---·· -----------· ~ND REBLO 71 SUBROUTINE I~CPEl (LIST,ÇORD,Nf,NNO,NGL,V,ERRO,RC,RT,EUC,EUT,FORCElNCRE l

*,DEF,FE,ORT,CIT,KK,r:sP,IMAT,lET,NCC,NNíl,NTC,IRl INCRéé 2 C INCRE 3 C === SUBROTINA PARA A FORMACAD DAS FORCAS EQUIVALENTES DEVIDO AO INCRE INCRE 4 C ;:: MENTO DAS TENsüES INCRE 5

IMPLICIT REAL •8CA•H10•Zl INCRE 6 DlMENSION NNR(70J,NTCC70l,ESP(25),EC3,3l,BC3 1 6),DC3,6J,FD(6)1RC6l1INCRE 7

5

8

*D1FC2l,RD(3l,DIFRC2) DI~E~SIO~ V(400l,CORD(200,2l,FEl400J DIMENSION DRT(300,S),~IST(300,3),IMAT[JOO),'ORCEC300,6l,DfF(300,6)

•• !R(300) ca,:~·0111 LR,u. IFC=O lFCIT,[G,ll r.o TO 8 DO 5 r.=1,Nr· IF(IRPn,f.Q,lJ GOTO 8

INCRE 8

lNCRc. 12 J!';CRE 13 !NÇRl 11-1 INCRE 15

CONTINUE INCRE 17 GO TO 9 INCRE. 18 IFC:el INCRE 19

9 DO 1000 N=l, NF: INCRE 20 C ~== LISTA DE !NCIDENCIA DE CADA ELEMENTO, INCRE 21

I=LIST(N,t) INCRE 22 J=LIST (N, i'.) INCRE 23 K=LISTC,,,31 INCRE 24

C --- COORDENADAS LOCAIS INCRE. 25 AJ::CORDCJ,11~cORD(I,l) Il>JCRE:: 26 AK=tORD(K,ll•CORD(I,1) INCRt 27 ~J=CüRD(J,2)•CORDC!,2) INCRE 28 BK:CORDC~1?J•CORDCl,2) INCRE 29 AREA=CAJ*BK~AK•BJl/2, INCRE SO

C --- FORMACAQ DA MATRIZ QUE RELACIO~A DEFQRMACAO CQM D5SLOCAM[NTO INCRE 31 C ==: OS COEFICIENTES ESTAO MULTIPLICADOS POR 2~AREA INCRE 32

8(1,l)=BJ-BK INCRE 33 8(\,2)=0, H11cRf. 34

1-' 1-' cn

------ - - --8: E1 ,"s}=B+<--------------- ---- -- - ------ -- ----- -- - - - -- - --- ---- -- -- - - - - - -- - - - ·-- --r ilrCRE- ~s5----- -- ------- -- ---B Cl, 4) = 0, INCRE. 36 B(!,5):~tlJ INCRE 37 6(1,6)=0, INCRE. :;fl fl(2.1)=0, INCRE -~9 B12,2l=AK~AJ INCRE 40 8(2,:\):0. INCRE 41 BC2,4l=~AK INCRE 42 8(2,5)=0, !NçRE 43

e ------20 1 O

205 e===

8(2,6):.AJ B(~,tl=8(2,zl BC3,2J::B(l.1) BC3,3l=•AK BD,4):BK B(.3,5)::AJ 8(3,bl=•BJ F~R~ACAO DA MATRIZ QUf RELACIONA AS TENSDES COM OS DESLOCAMENTOS, If(KK+IT•2) IQ,10,?0 CALL ELASTCORTCN,1l,0RT(N,2),DRTCN 1 3l,ORT(N14l,ORT(N,5l,IET,El DO 205 !=t,.~ DO 205 ,J:1,h D(I,JJ:Q, QU 205 K=],3 DfI,JJ:DCI,Jl+ECI,K)/(2,•AREAl•B1K 1 J) FORMACAO DO VETOR DESLOCAMENTO POR ELEMENTO NA NUMERACAO LOCAL DO 300 I'"l, /IJNQ M=CLIST(N,Jl•!l*NGL :~=CI~ll>t'lGL DO 300 .J=l, /IJGL IJ:K+J J~ :M+~J

300 R(IJ);V(J2) C ==~ CALCULO DAS TENSOES t DtFORNACOlS POR ELEME/IJTO

!A::NGl.*NNO IFCIR(N),EQ,IJ GOTO 325 IFCIFC,EO,O) GOTO 32S

INCRE 44 INCRE 45 INCRE 1.16 INCRE 47 Ii'<CRE 48 J.NCRé:. 49 I f\JCRI:. 50 I l'<C RE 51 INCRE 52 INCRE 53 Ii'<CRE 54 INCRE 55 It,,CRE Só I/IJCRE 57 INCRE 58 I/IJCRE 59 It,,cRE 60 INCRE 61 INCRE 62 INCRE 63 INCRE 6/l JNCf<f:. 65 I/IJCflE 66 INCRE 67 H,cRr. 68 INCRE; 69 I/IJCfH. 70

------· --oe320"-:!-=i, :s------------------------------- ·------ · ·-------------------111rcRé--rr-------------------

320

FORCE(N,I)::O, DO 320 J=!,IA FORCECN,I):FORCE(N,Il+D(I,Jl*R(Jl E l : ( F o R e E e N' l ) + r: o R e E ( N 1 2 l J / 2. F=OSGRT(((~ORCE(N,l)•FORCE(N,2)J/2,J••2+FORCE(/IJ,3J**2) FQRCEC'l,4):f.l+F FOf,CF.(N,•,;):Et.f S1GN:fORCE(/IJ,3J*(FORCEC/IJ,4)•~0RCfCN,2))

!NcRE 72 I1'iCRE 73 INCRE 74 INCRE 75 INCRE 76 INCRE 77 INCRE: 78 INCRE 79

350 375 .mo

3?,5

!FCDABSCFORC[{N,31)-1,D•Oll 350,350,360 IFIDABS(FCRCE(l,,ll•FDRCE(N,21)•1,D•Oll 380,380,315 IFCfoRCECN,ll•fORCEC~,2ll 390,386,380 . D E F ( i,, 6) : O , GOTO 32S DEF1N,6l=90,*S1GN GOTO 325 IFCDABS(FORCtcN,qJ.fORCE(N,2)).l.D•Dll 3q0,3q0,395 DEF(N,6l=DAT~NIFORCEIN,ll /lfDRCfCN,a)-FORCEIN,2ll)*57,29577951 DO 310 I=l,3 DEF(N,I)=O, DO 31,0 ,J=!.,IA

INCRE: 82 INCRE B~ INCRE 84 INCRE 85 INCRt. 86

310 OEF(/IJ,Il=DEFIN,IltBCI,JltR(Jl/(2.•AREA)

lNCR!: 88 INCRE 89 INCRE 90 INCRE-. 91 IN(:RE 92 INCRE 93 !i'1CRI:. 91, INCRE:: 9:> INCRE 96 Ii\lCRE 97 Ir"cRE 98

S=CDEF(NrlJtDEF(N,2))/2, r=oSQRT(((DfF[N,l)•DEFcN,2J)l2,)••2+(DEFc~,3J/2,J••2) 0Ef'(11J,1n=s+r IJEr' C ,~ r 5 l =S-T

C === CALCULO DAS 1ENSOES E CIRACTERISTICAS FISICAS C === SEGUNOO U~A LEI NAO LINEAR

620

860 621

Jf'IIT,~E,85) GOTO 621 v,RI TE(Lt•,620) FílRMAf(//8x,õcEFORMACQES NOS ELEMENTOSÕ,/,2X,õELEME/IJT05,6X,õE

•X,õE Yõ,8X,óG XYõ,9X,õE !õ,9X,õE 2ôl WRITE(LW,8801 (DEFIN,Il,l=1,5l FüHMAr(7X,3X,SF12.B)

PRINC140 Xll,9PRINC141

PRINC142

CA~L NOLIN!(DrF(N,4),DEF(N,5J,DEP(N,6J,RC,RT,EUC,EUT,ORT,SIG1,SIG2INCRE 99 •,FORCEIN,a),FQRCE(~,5),N,IT,KK,I~T,IR,FORCE(N,6)) INCRE:.100

---- ----- -1F~ Fi)itE;E·Cw,-s 1 ~ t:-{},o~ -J- -Lso--r-o- -1, eo- - - -- - - - - -- - - - - - - - - -- -- --- -- -- - - -- - - - · -- --iê.tRt.1-0-r---------- - · - --- --D I FC l l =F DRC E l ~, 41-3 I G t INCREI02 D1F(2l=F0RCE(N,Sl•SIG2 INCRE103 GO ro 650 INCRElO~

600 DIFl1l=O, !NCRE:.105 OIF(2)=0, INCRE106

C === CA~Cu1 O DAS FoHCAS E:.WulVALENTEs AO INCR~MENTO DAS TEIIJSOEs INCRE:.107 e === A~NUM~RACAO ~oCAL INCREIOB 650 TETA=DEF(~,6)•0,017453292 INCRE109

RO(l)=DIF(!)*DCOS(TETA)**2+DIF(2)*DS[N(TETA)**2 INCREIIO RDC2l=DIF(l)•DSINCTETA)**2tDIF(2l*DCOSCTETAJ••2 INCRE!!! RD(3J:0,5*DSINC2,•TEfAl•(OlF(\)-DIF(2)l INCRE112 IMA=IMAl'(Nl . INCRE113 DO ifQO l.=1,IA INCRE!14 FD(Il=O, INCRE115 DO qoo J=l,3 INCRE116

400 FD(Il=FD(IJ+H(J,ll•RD(Jl•tSP(I~Al/2, INCRE117 C === 8-Nu~ERACAO GLOBAL INCREll!

DO 500 I=l,NNQ INCRE119 ~=(LISTCN,Jl•\l~NGL. INCRE120 K~CI•ll*NGL INCRE12l 00 500 J=l,NGL INCRE122 IJ:K+J INCRE123 J2~M+J INcRE124

500 FECJ2l=FD(IJl+FECJ2l INCRE125 IF(IT,GT,2l GQ TO IODO lNCRE126 IF(ORT(N,l.l,GT,1000,l GOTO 1000 H\JCRE!27 IFCORTCN,3).Lf,1000) FüRCECN,5J=SIG2 INCR~128 OS=SIGl•PORCE(N,5) INCRf.129 IF(DS,GE.O.) GO ro 450 INCRE130 ~DRCECN,4):FORCE(N,SJ INCRE13! FORCEIN 1 5l=S1Gl INCRf.132 AuX=üpT(N,3) INCRE13~ ORT(N,3)=0RT(N,1) H1CRE134 ORf(N,ll"'AUX INCRf.135 AUX=ORT(N,41 INCRE136

- - -- - --- -vr.r-c1;-,-4-J ,:-0-1< r, w,-z-i---- - - ----- -- -- -------- - - - - ------- - - - - - - - - -- --- - - -- ---- -- - -wcRE 13-7 ORT(N,2l=Aux 1NCRE138 IFCDEf.(t\/,6).Lr.O.) Go TO 420 JNCRE13'l DEF(N,6)~DfF(N,6)•'l0, lNCRt140 GO TO 750 lNCREl4 \

420 OEFIN,6)=DEF(N,hlt90, INCRE142 GO To /50 r.,~CRE!/.13

USO FORCE(N,41:SIGI INCRE144 750 ANGL=DEFCN,6lw0.017453292 INCRE145

FORCECN,l)=FORCECN,qJ•DCOS(AiliGll•*2+fORCE(N,5)•DSIN(ANGLJ•*2 INCRE146 PORCECN,2l=FORCECili 1 4l•DSIN(ANGLl••2+FORÇECN,5l•DCQS(ANG~)**2 INCRE147 fCRCECN,3l=o,s•DSIN(d,•ANG~l*(FORCE(N,4l~FoRC~(N,S)) INCRE148 ORTCN,Sl=ANGL INCRE1a9

\000 CONTit\/UE. IiliCRE150 RETURN INCRE!~! END INCRE1~2 3UBROUTINE NOLINIICEF1,DEF2,TETA,RC,RT,EUC,EUT,DRT,SIG1,SIG2,Tl,T2NOLIN 1

•,N,!T,NI,IET,tR,T3l NOLIN 2 C === su~ROTlt\;A QuE CALCuLA AS TENSOES E PROPRIEoAoEs FISICAS SEGUNDO NDLIN 3 C ==: UMA LEI NIO LINEAR NOLIN 4

IMPlICIT RfAL •8(A•H,O•Zl NOLIN 5

83S 8QO

ô 1 O

1 O '.i

11 O

D l ME N $ I O N 1) ( 2 l , S ( ?. l , T ( 2 l DIMENS10N OHT(30D,5J,IR(300) Çü,'1Mü,~ Li~, L.<• IF(ORTCN,Jll 800,800,810 0Rf1N,3)=0RTIN,1) ORTIN,~l=ORTIN,2) R 1 =11 C IEUC R2e;fÜ /EUT GOTO (105,110),IET D(!)=DEFl DC2)=0EF2 r:s:o, GO TO 120 DELTA=ORT(N 1 2J/0RT(N,ll*(fl+T2) D1tJ=DEF1+0,2•DELTA

NOL l ilJ .,

NOi,IN 17 NOLIN l.8 NOLlt\/ 19 NOLIN 20 NOLIN 21 ~10LIN 22 NOi,,IN 23

- - - - - - - - - -1} t r."J~E F i~, 2 .-vEt f t,.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - · - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - · -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -T3:0,2•(T!;-T2) NOLIN 27

120 T~1~=Tl•ORTCN,2)*T2 f(2)=f2•0RT(~.4)*Tl

e=== VERrFICACAo A RuTuR• sEGuNDO o CRITERIO DE MüHR•COULOMB lrCT2+(0,5,RCll 5,5,20

NO!,, IN 30 NOLIN 3\

5 IF(Tll \101,1101 1 920 NOl,IN :s2 1101 GOTO [910,920),IET NOL,.!N 33 910 IFCT2+RCl7,7 1 ]0 NOL.. I N .34

920

7 15

20 12 1 ô

1 O O O

30

50

·· toe

22

T 1 l=Tl IF(T3,GT.T!JT1l=Tl TL=RC-0,5•RC/RT*Tll IF(T2+TLJ7,7,30

~R[TECL~,15) 11,IT,NI

NOLIN 15 NOL,IN Jó r..o.,rN 37 r..QLIN 38

FDRMAT(//8X,õELE~ENTO NUMERO :õ 1 I5,õATINGIU A RUTURA POR CDMPRESSANOLIN 40 *0Õ,/,8X,ÕITERACAO NU~ERO =õ,15,l,BX,õ!NCREMENTO NUMERO =õ,I5l NOLIN 41

GOTO 1000 ff(IH•Tl)!2,1?,30

WRITE(LW,10) r:,IT,~r FORMAf(//RX,ÕELEME~TU NUMERO =õ,!5,ÕATING!u A RUTURA POR TRACAOõ,

•/,BX,õITERACAO NUMERO =õ,15,/,BX,õINCREMENTO NUMERO =a,I5) IRC,~l=l ORTlN, 1)"! .f·O:I nRT O,, 2 J -'O, ORTCN,3)=1.EO) üfHC,~,a)::O, S(\J:O(ll•OPT(N,1) S(2)=0C2l•ORT(N,3l GO TO 2'i0 IF(IR(,\).EQ,l) GOTO !000 00 19 I=l,2 ,J;: ! *2~ l IFCDC!ll 50,SQ,IOO DRT(N,Jl=Rl•C2 1 tD(I)lfUCl S(IJ=R1,D(Il•C2,tD(Il/EUC) c;o ro l9

- -()RT (1'r,J1 <:>R-~-- ------- - --------------- - - - - - -- - - - - -- --S ( l):: T ( Il C0NT H,uE lfCTll 22,21,21 XNI2;:0.2 XNl1=XNI2•0RT(N,1)/0RT(N,3) If(XNI!,LT.o,;oR,XNI1.GE,D,5) GOTO 21 ORT(N,2)=XNI1 . . ORT CN, I.!) =XNI2

NOLIN 70

NOLIN 72 NOLlN 73 ,~OLH1 7~

NOL,lN 78 ívOL I N 79

NOLIN ll 1 NOL.IN 82

NO!, H1 84 NOLIN A '5 11,Q[,IN 86

NOL,IN102

1--'

"' o

21 e --­---250

7 O 1

GOTO 250 ORTCN,2l=ORT(N 1 4)*0RTCN,l)/ORT(N,3) ANGULO DE ORTOTRoPIA ORTlN,Sl=TETA*0,017453292 IF[IT,NE,85) Gü TO 171

NO(.IN! 03

~iRITE:(LW,7011 F'RINC147 FORMAT(//BX,õPROPRIEDADES ELASTICAS FINAIS DO MATERIALõ,/,2X1õEL~MPR!NC148

aENTOõ,SX,õE 1õ,12X,õNI tõ,9X,õE 2õ,9X,õNI 2õ,4X,õANG ORTOõ) ARITE(LR,702) (ORT(~,NS),NS=!,5) FORMAT(7X,3X,2F12,4,2X,3fl2,4) SIGl=CSCl)tORT(N,2)•S(2Jl/Cl,•OR1(N 1 2)•0RT(N,4JJ NOLINIOS S1G2=(S(2l+OAT(N,4)*3(1))/(l,~ORT(N,2)*0RT(N,4l) NOLIN\06 RETURN NOL.JN\07 E~ID f',0LIN112 SUSROUT!NE RfcAL(NNO,NGL.,NCC,N~,LIST,NNR,lMA1,0RT,!ET,CORD,V1NTC1KRECAL 1

*.~,AG,ESP,t:,IT) flECAl. ?. C === SUBROfINA CALCULADORA DAS REACOfS DE APOIO PELAS çONDICOES DE RECA~ 3 C :;: EGUILIDRIO DE CADA ELEMENTO, RfCAL 4

IMPLICIT REAL •81A-H,O.Z) RECAL S D I Mf: r, SI O N ~ r. R C 7 O l , N T C ( 7 O l , A G ( 7 1 ) , E S P ( 2 5 l , R ( 1 llO ) , C:: O, 3 J , D ( 6) , ~RI G ( 6 R E CAL li

*,6) RECAL 7 DIMENS!ON V(4nOJ,CORD(200,2) DIMENSION ORT 13D0,5l,LIST(30D,3J,IMA1(100l COM~IQ~i LR,L<I ~JAUX=O IS:NNCl*NGL. NN=2*NCC

R~:CAL 10 RECAL lt RECAL 12 RE:CAL 13

-- - --------c;-e-1.-o-<J--r.=-i-,-r,11-- - --- - - ·--- - - - -- ---- -- -- - --------------------------------~i'~CAt-,~-------------------109 R(N)::Q,

Dli 100 N=l,M, DÕ 100 NA=l,~1NO oo 1 os ..:=1, i,cc IF(LISTCN,NAl•NNR(K)l\05,104 1 105

10~ CONrINUE GOTO 100

104 IF(N•NAUX)J12,lt3,!!2

RECAL 15 Rf:CAL lb REC:AL 17 RECAL 18 RECAL 19 RF.:CAL 20 RECAL 21 RECAl. 22

C === MONTAGlM DA MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO N, RECAL 23 112 CALL ELASTcORTCN 1 1),0RTIN,2l,ORT(N,3J,ORT(N,4) 1 0RT(N 1 5J,JEf,E) RECAL 24

IMA=IM~'T(NJ RECAL 25 ~SPE=ESPCIMA) HECAL 26 CALL RIGIDCN,LIST,CORD,E,CRJG,ESPE 1 AG,NNO,NCC,NNR,NGL,ISJ RECAL 27

113 DO 114 KJ=!,5,2 RECAL 28 KJ!=CKJtll/2 RECAL 29 KJ1=2*CLIST(N,KJ1l•1l~1 RECAL 30 DCKJJ:V(KJJJ RECAL 31

!14 D(l~Jt.'lJ=V(KJltll RECAL 32 C === CALCULO DAS R[ACOES DE APOIO, RECAL 33

NAUX:N RECAL 31• NX=ID**(NGL•ll RECAL JS NlCA=NTCCK) RECAL 36 DO 108 M=l,~GL. RECAL 37 IDA=NTCA/NX RECAL J8 If'(IDAJ108,1ílfl,l10 RECAL 39

110 NN:(K•ll*NGL+M RECAL 40 J=(NA•ll*NGL+M RECAI., ~1 DO 111 !A=!,IS Rf.CAL. 42

111 R(NN):R(M,)+CRIGC,l,IAl*DCIAJ RECAI., 43 ~TCA=NTCA•NX•IDA RECAL 44

10/l NX=NX/10 Rf.CAL. 45 100 CONTINUE RECAI., 41;,

C --- IMPRESSAO DOS RESULTADOS, RECAI., 47 ~RITf(LW,l)KK RECAL 48

1 FURMAT(//15X,õREACO~S DE APOIO DO CASO DE INCREMtNTO NUMEROõ,I3,RECAL 49 - - -;,-;- r s-x-.~PGf,T-(r -r, ot'-At;õ-,.tr-X-,a RE-4-C-AS- -x-a- 1 11(-,-õ-RE A-C-Aí:J --y-a-,-~x, -õ-tt11iG tJ L-o õ, / J -Rf:-C-A 1;;- -s-o- -------------------

WRITE(L.~,2)(Í'<NR(I\J,R(2•1<-1),R(2*!0 1 Ar,(1<) 1 K:1,NCC) - RECAL 51 2 FORMATCI10,Fl8,l•Fl5,3,Fl5,2l RECAL 52

RETURN RECAL 53 END RECAL sa