SUMRIO

1 BREVE HISTRIA ....................................................................................................... 4

2 MTODOS DE RESOLUO...................................................................................... 7

2.1 EQUAES INCOMPLETAS .............................................................................. 7

2.1.1 INCOMPLETAS DE B e C .............................................................................. 7

2.2 INCOMPLETAS DE B ......................................................................................... 7

2.3 INCOMPLETAS DE C ......................................................................................... 8

2.4 COMPLETAS ........................................................................................................ 8

2.4.1 MTODOS ALGBRICOS ............................................................................... 8

2.4.1.1 MTODO DE RESOLUO CONVENCIONAL ................................... 8

2.4.1.1.1 DEDUO ALTERNATIVA .............................................................. 9

2.4.1.2 MTODO DA SEMI-SOMA E PRODUTO ............................................. 9

2.4.1.3 MTODO DA SUBSTITUIO DE VARIVEIS ............................... 10

2.4.1.4 FRMULA ALTERNATIVA ................................................................. 10

2.4.1.4.1 DEMONSTRAO INDEPENDENTE DO CONHECIMENTO DA

FRMULA RESOLUTIVA................................................................................. 10

2.4.1.5 MTODO DO QUADRADO DA SOMA E DIFERENA .................... 11

2.4.1.6 MTODO DIFERENCIAL OU DAS COORDENADAS DO VRTICE

12

2.4.1.7 MTODO FAN- FAN .............................................................................. 12

2.4.1.8 MTODO DA TRANSFORMAO ..................................................... 13

2.4.2 MTODO DA FALSA POSIO DUPLA .................................................... 14

3 MTODOS NO ALGBRICOS DE RESOLUO ................................................ 15

3.1 MTODOS GRFICOS ...................................................................................... 15

3.1.1 MTODO GRFICO DE UM SISTEMA DE EQUAES .......................... 15

3.1.2 MTODO CARTESIANO ............................................................................... 15

3.2 MTODOS GEOMTRICOS CONSTRUTVEIS ............................................. 16

3.2.1 MTODO DE DESCARTES ........................................................................... 16

3.2.2 MTODO GEOMTRICO DE EUCLIDES ................................................... 17

3.2.3 MTODO DE EUCLIDES 2 ........................................................................... 17

3.3 MTODOS GEOMTRICOS NO CONSTRUTVEIS ................................... 18

3.3.1 MTODO GEOMTRICO DE COMPLETAR O QUADRADO................... 18

3.3.2 MTODO GEOMTRICO DE COMPLETAR O QUADRADO -

ALTERNATIVO .......................................................................................................... 19

3.3.3 MTODO GEOMTRICO .............................................................................. 19

4 .BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ............................................................................. 21

1 BREVE HISTRIA

A histria das equaes do segundo grau1 remontam desde a poca dos egpcios,

babilnios, gregos, hindus e chineses. O primeiro registro das equaes polinomiais do 2

grau que se tem noticia foi feita pelos babilnios. Eles tinham uma lgebra bem

desenvolvida e resolviam equaes de segundo grau por mtodos semelhantes aos atuais ou

pelo mtodo de completar quadrados. Como as resolues dos problemas eram

interpretadas geometricamente no fazia sentido falar em razes negativas. O estudo de

razes negativas foi feito a partir do sculo XVIII.

Como eles no utilizavam coeficientes negativos, precisavam distinguir diferentes

casos possveis:

a.) qpxx =+2

b.) pxqx =+2

c.) qpxx +=2

O caso 02 =++ qpxx com p e q positivos obviamente no teria soluo. Na

Grcia, a matemtica tinha um cunho filosfico e pouco prtico. Euclides, nos Elementos

resolve equaes polinomiais do 2 grau atravs de mtodos geomtricos.

Diophanto contribuiu para mais um avano na busca da resoluo de equaes do 2

grau ao apresentar uma outra representao da equao introduzindo alguns smbolos, pois

at ento a equao e sua soluo eram representados em forma discursiva.

Na ndia as equaes polinomiais do 2 grau eram resolvidas completando-se

quadrados. Esta forma de resoluo foi apresentada geometricamente por Al-Khowrizm,

no sculo IX. Eles descartavam as razes negativas, por serem "inadequadas" e aceitavam

as razes irracionais. Tinham tambm uma "receita" para a soluo das equaes de forma

puramente algbrica.

A abordagem chinesa para a resoluo destas equaes foi o mtodo fan-fan

redescoberta, independentemente, em 1819 pelo matemtico ingls William George

1 o Brasil, costuma-se chamar de frmula de Bhaskara frmula que d as solues da

equao do segundo grau. Alm de ser historicamente incorreto, esta nomenclatura no usada em nenhum outro pas (veja a respeito a Revista do Professor de Matemtica, 39(1999), p. 54).

Horner. Assim, o mtodo fan-fan ficou conhecido como mtodo de Horner. Sculos mais

tarde Isaac Newton desenvolveu um mtodo bastante similar.

No sculo XVI, Franois Vite utilizou-se de simbolismo para representar equaes

dando um carter geral.

Ao longo da Baixa Idade Mdia, no Islam, os rabes tornaram-se patronos da

cultura, traduzindo para o rabe manuscritos hindus e gregos como Os Elementos de

Euclides, o Almajesto de Ptolomeu, alm de inmeros trabalhos de astronomia, medicina

e filosofia grega, que posteriormente foram traduzidos para o latim e outras lnguas por

intelectuais europeus. Em Bagd foi criada a Casa de Sabedoria comparvel ao antigo

Museu de Alexandria, onde encontrava-se mestres, como o matemtico e astrnomo

Mohammed ibu-Musa Al-Khowrizm (Maom, filho de Moiss de Khwarezm) que

escreveu algumas obras de astronomia, tabelas sobre o astrolbio, relgio do sol, aritmtica

e lgebra. Estas ltimas tiveram papeis importante na histria da matemtica. O livro De

numero hindorum (Sobre a arte hindu de calcular) foi, provavelmente, baseado numa

traduo rabe de Brahmagupta, e trata de uma exposio completa dos numerais hindus. A

traduo para o latim desta obra contribuiu, na Europa, para a divulgao destes numerais

que posteriormente vieram ser chamados de algorismos ou algoritmos, palavra que

originalmente deriva do nome de Al-Khowrizm. Seu livro mais importante foi Al-jabr

wa'l Muqabalah, de onde se originou o termo lgebra. Neste livro Al-Khowrizm expressa-

se inteiramente com palavras, mesmos os nmeros so escritos em palavras em vez de

smbolos. O texto contm uma exposio direta e elementar da resoluo de equaes,

especialmente de segundo grau. No se sabe os significados certos dos termos Al-jabr e

Muqabalah, supe-se que al-jabr significa "restaurao" ou "completao" e refere-se

transposio de termos subtrados para o outro lado da equao, a palavra Muqabalah

significa "reduo" ou "equilbrio" e refere-se cancelamento de termos semelhantes em

lados opostos da equao. O Al-jabr wa'l muqabalah chegou ns em duas verses, a latina

e a rabe. A traduo latina inicia-se com uma exposio do princpio posicional para

nmeros e passa-se resoluo, em seis captulos, dos seis tipos de equaes formadas com

trs espcies de quantidades: razes, quadrados e nmeros (isto , x , 2x e nmeros). Vamos

detalhar um pouco o contedo destes captulos. O captulo I abrange o caso dos quadrados

iguais a razes, que atualmente representamos como xx 52 = , xx

43

2

= , xx 105 2 = , etc.,

cujas respostas so, respectivamente, 5=x , 12=x , 2=x . A raiz 0=x no era

reconhecida, assim como as razes negativas. O captulo II abrange o caso de quadrado

igual a nmeros. O captulo III resolve o caso de razes iguais a nmeros, analisando os

casos em que o coeficiente do termo varivel igual a um, menor que um ou maior que um.

Os captulos IV, V e VI abrange os trs casos de equaes quadrticas com trs termos:

quadrados e razes iguais a nmeros ( 39102 =+ xx );

quadrados e nmeros iguais a razes ( xx 10212 =+ );

razes e nmeros iguais a quadrados ( 243 xx =+ ).

As solues apresentadas so regras prticas de "completar o quadrado" aplicadas a

exemplos especficos. Al-Khowrizm aps expor e resolver as equaes demonstra

geometricamente seus resultados. Como exemplo, a equao 39102 =+ xx representada

por um quadrado de lado x , e sobre os quatro lados constroem-se retngulos de largura 2,5

unidades. Para completar o quadrado maior precisamos construir quatro quadrados menores

nos cantos da figura, cada um com rea igual a 6,25 unidades. Portanto para "completar o

quadrado" somamos 4 vezes 6,25 unidades ou seja 25 unidades, obtemos ento um

quadrado com rea total 39 + 25 = 64. Conclumos que o lado do quadrado maior mede 8

unidades e se subtrairmos 2 vezes 2,5 unidades, ou seja, 5 unidades, achamos x = 3, o que

comprova o resultado obtido no captulo IV.

Figura 1

2 MTODOS DE RESOLUO

Chama-se equao do segundo grau, toda funo polinomial do tipo

02 =++ CBxAx onde devemos ter, necessariamente 0A , pois em caso contrrio,

teramos uma equao do primeiro grau.

2.1 EQUAES ICOMPLETAS

Chama-se equao do segundo grau em sua forma incompleta, toda funo

polinomial do segundo grau desprovida dos coeficientes B e/ou C .

2.1.1 ICOMPLETAS DE B e C

02 =Ax

Se o produto de dois nmeros igual a zero ( )0= M 2, existem trs possibilidades: 0=M ; 0= ou 0 == M logo podemos concluir que: 0=x e 0=x .

Esse tipo de equao no tem aplicao prtica tendo em vista que as razes sempre sero

nulas, so, portanto uma mera formalidade matemtica.

2.2 ICOMPLETAS DE B

02 =+ CAx

Logo: A

Cx

A

Cx

==2

2 Seja 0= QP QP = . Quadrando os dois lados da igualdade obtemos: 22 QP =

022 = QP . Fatorando ( )( ) 0=+ QPQP . Chamando QPM = e QP += chegamos a concluso de que qualquer nmero multiplicado por zero igual a zero.

Os sinais devem-se ao fato de que um nmero positivo ou negativo terem o

mesmo quadrado.

2.3 ICOMPLETAS DE C

02 =+ BxAx

Fatorando temos: ( ) 0=+ BAxx . Se o produto de dois nmeros igual a zero, existem trs possibilidades: 0=M ; 0= ou 0 == M logo podemos concluir que:

0=x e 0=+ BAx A

Bx

= .

2.4 COMPLETAS

02 =++ CBxAx

Todos os tipos de equao do 2 grau incompletas so facilmente solveis

algebricamente, no necessitando nenhum conhecimento adicional alm dos j adquiridos

para resolver equaes do primeiro grau. O mesmo j no acontece com a forma completa,

e este o nosso desafio. Inicialmente vamos dividir os mtodos de soluo em quatro tipos:

a) Algbricos; b) Grficos c) Geomtricos construtveis d) Geomtricos no costrutveis.

2.4.1 MTODOS ALGBRICOS

So mtodos de resoluo que se valem das regras e manipulaes algbricas.

2.4.1.1 MTODO DE RESOLUO COVECIOAL

A tcnica usada aqui a de completar o quadrado. Se multiplicarmos a equao

original por A4 teremos: 0444 22 =++ ACABxxA . Podemos observar que s teremos

um trinmio quadrado perfeito se adicionarmos um termo igual 2B aos dois lados da

equao. Ento : 2222 444 BACBABxxA =+++ .

Desenvolvendo temos: ( ) ACBBAxBACBAx 4242 222 =+=++ 3 e isolando a

incgnita obtemos: A

ACBBx

2

42 = frmula geral de resoluo de uma equao do

segundo grau.

2.4.1.1.1 DEDUO ALTERATIVA

Dividindo toda a equao por A temos: 02 =++A

Cx

A

Bx e passando o termo

independente para o outro lado da igualdade temos que A

Cx

A

Bx =+2 . Completando o

quadrado temos: 22

2

22

+=

++

A

B

A

C

A

Bx

A

Bx . Como o primeiro termo agora um

trinmio quadrado perfeito, fatorando chegamos a: 22

22

+=

+

A

B

A

C

A

Bx logo

2

22

+=

+

A

B

A

C

A

Bx e depois de algumas simplificaes obtemos finalmente que

A

ACBBx

2

42 = que a conhecida formula resolutiva da equao do segundo grau.

2.4.1.2 MTODO DA SEMI-SOMA E PRODUTO

Dividindo toda a equao por A temos: 02 =++A

Cx

A

Bx . Fazendo

A

BS

2= e

A

CP = obtemos: 022 =+ PSxx e a soluo obtida por: PSSx = 2 .

3 O duplo sinal se deve ao fato do quadrado de nmeros simtricos conduzirem ao mesmo resultado.

2.4.1.3 MTODO DA SUBSTITUIO DE VARIVEIS

Vamos substituir na equao original a seguinte varivel definida por: A

Byx

2= o

que leva a:

022

2

=+

+

C

A

ByB

A

ByA e resolvendo temos:

024 2

22

=+

+

+ C

A

ByB

A

B

A

yByA 0

24

222

=+++ CA

BBy

A

ByBAy

0424

22

222

=+=++ CA

BAyC

A

B

A

BAy e por fim:

2

2

2

4

44A

ACB

A

CA

B

y=

= ou

ainda a

ACBy

2

42 = . Como queremos obter o valor de x , s substituirmos na

segunda equao: A

ACBB

A

Byx

2

4

2

2

== que a frmula resolutiva j

conhecida.

2.4.1.4 FRMULA ALTERATIVA

Seja ACB 42 = ento ACB 42 = e fatorando obtemos que

( )( ) ( )( ) ( ) ( )== B CABCABB 2222 mm e multiplicando tudo por ( )1 temos: ( ) ( )= mB CAB 22 logo = mB

Cx

2.

2.4.1.4.1 DEMOSTRAO IDEPEDETE DO COHECIMETO DA

FRMULA RESOLUTIVA.

Multiplicando toda a equao por C4 , temos: 0444 22 =++ CCBxACx .

Adicionando 22xB chegamos a 222222 444 xBxBCCBxACx =++ . Colocando 2x em

evidncia no primeiro membro obtemos: ( ) 22222 444 xBCCBxACBx =++ . Transpondo tudo para o primeiro membro e fatorando encontramos que

( ) ( ) 024 222 =++ CBXACBx e vamos concluir que: CBxACBx 242 += e CBxACBx 242 = e ento chegamos a frmula final que

ACBB

Cx

4

22

= .

2.4.1.5 MTODO DO QUADRADO DA SOMA E DIFEREA

Seja a seguinte identidade: ( ) ( )22 4 xxxxxx =+ 4 Ento podemos resolver qualquer equao do segundo grau seguindo o seguinte

procedimento: A

Bxx =+ e

A

Cxx = e de posse desses dados podemos calcular a

diferena entre as razes e atravs de um sistema do primeiro grau teremos a soluo. Em

outras palavras temos: 22 4 DPS = , e podemos armar o seguinte sistema:

=+

=

Sxx

Dxx.

Somando as duas equaes temos: DSx +=2 e 2

DSx

+= e

2

DSx

= .

De outra forma, 22

4 DA

C

A

B=

2

2 4

A

ACBD

=A

ACBBx

2

42 +=

e A

ACBBx

2

42 = .

4 Essa identidade obtida de: ( ) 222 2 BABABA ++=+ e ( ) 222 2 BABABA += . Subtraindo a primeira da segunda obtemos: ( ) ( ) ABBABA 422 =+ ou ( ) ( )22 4 BAABBA =+ que a identidade procurada.

2.4.1.6 MTODO DIFERECIAL OU DAS COORDEADAS DO VRTICE

( )( ) ( )( )( )A

xfxfxfxx

00

=== onde ( )( )A

Bxfx

20

== e ( )( )( )0= xfxf

o valor que a funo assume no ponto ( )( )A

Bxfx

== 0 . ( )( )( )A

xfxf4

0

== . Como

( )( )A

Bxfx

== 0 tambm chamado de vx abscissa do vrtice e ( )( )( )A

xfxf4

0

==

da mesma forma igual a vy ordenada do vrtice, ento a frmula resolutiva pode ser

escrita tambm em funo das coordenadas do seu vrtice: ( )( )( )

A

xfxfxx v

0==

A

yxx vv

= .5

2.4.1.7 MTODO FA- FA

Em 1803 o grande matemtico chins Chu Shih-chich, escreveu a obra Ssu-Yan

(precioso espelho dos quatro elementos) uma tcnica especial para a resoluo da equao

polinomial do 2 grau, baseada em aproximaes sucessivas, de grande preciso,

denominado mtodo fan-fan. Em 1819, o matemtico ingls William George Honer

reivindicou a descoberta do mtodo, rebatizando-o de mtodo de Horner.

O mtodo consiste em descobrir a soluo aproximada na equao original e efetuar

a transformao 0xxy = . Suponhamos que com essa transformao obtenhamos a

seguinte equao do segundo grau: 02 =++ zvyy . Analisemos essa equao

transformada: a medida que a aproximao anterior tende para a soluo, 0y . Logo,

nesse intervalo podemos considerar que yy 2 e obtemos a aproximao final v

zy

+

=

1.

O processo repetido at que se encontre uma soluo com a preciso que se deseje.

5 Essa frmula bastante interessante e revela algumas propriedades como: a) a coordenada do vrtice deve ter sinal oposto ao de A para que haja duas razes reais b) se a coordenada do vrtice for igual a zero a equao admite duas razes iguais.

Seja resolver a equao 052922522 =+ xx . A soluo positiva dessa equao

est entre 19 e 20. Utilizando a aproximao inicial 190 =x e faamos a transformao

191 = xy . Substituindo na equao original obtemos: ( ) ( ) 052921925219 2 =+ xx 0143290 1

21 =+ yy e obtemos a aproximao 49,0291

1431 ==y e portanto,

49,19291

143191 =+=x . Fazendo-se agora 42,192 = xy obtemos uma nova equao

066,098,29022 =+y e a nova aproximao ser 0022,098,291

66,02 ==y . A nova

aproximao ser 4922,190022,049,192 =+=x . Que maravilha!

2.4.1.8 MTODO DA TRASFORMAO

Seja 02 =++ CBxAx . Multiplicando por A temos: 022 =++ CABAxxA e

fazendo Axy = e CAm = a equao transforma-se em 02 =++ mByy .

Deduo da frmula resolutiva:

mByy =+2 ( )2BBy ++ 222 2 BBymBByy ++=++ ( ) 22 BBymBy ++=+

( ) ( ) ( ) 222 2 wBywBywBy ++++=++ ( ) 222 22 wwBwyBBymwBy +++++=++

( ) ( ) 222 22 wwBBwyBmwBy +++++=++ . Para eliminar a incgnita no segundo membro, necessrio que

202

BwBw

==+ . Ento:

22

2

422

2

BB

BBm

BBy +

++=

++ e

22

42

Bm

By +=

+

2

42

Bm

By +=+

2

42

Bm

By += e finalmente chegamos a:

2

42

BAC

BAx +=

4

41

2

2BAC

AA

Bx

+= =

A

ACB

A

B

2

4

2

2 .

2.4.2 MTODO DA FALSA POSIO DUPLA

um mtodo bastante antigo de aproximao de uma equao qualquer. Conhecido

como regula duorum falsorum, possvel ser aplicada at as equaes transcendentais. O

mtodo provavelmente se originou na China, percorreu a ndia, a Arbia e finalmente

chegou at ns. Em notao moderna temos: ( ) ( )( ) ( )21

21123

xfxf

xfxxfxx

= . Onde 21, xx so as

razes por falta e por excesso e 3x uma aproximao melhor. O processo pode ser repetido

indefinidamente at obter-se a preciso requerida.

Sabendo que ( ) ( ) ( ) ( )

31

31

21

21

xx

xfxf

xx

xfxf

=

e fazendo ( ) 03 =xf chegamos a: ( ) ( )( ) ( )21

21123

xfxf

xfxxfxx

= .

Seja resolver a equao 052922522 =+ xx . A soluo positiva como j vimos

est entre 19 e 20. Aplicando a frmula 5,19148143

14820143193 =

=x .

3x1x

( )1xf

( )2xf

2x

3 MTODOS O ALGBRICOS DE RESOLUO

3.1 MTODOS GRFICOS 3.1.1 MTODO GRFICO DE UM SISTEMA DE EQUAES

x

CBAxCBAxxCBxAx

=+=+=++ )(02 . Fazendo ( ) BAxxM += e

( )x

Cx

= . Traando-se o grfico das funes ( )xM e ( )x e o nos pontos de intercesso temos a soluo da referida equao. Seja resolver a seguinte equao:

039102 =+ xx ( ) 10+= xxM e ( )x

x39

= e traando-se o grfico obtemos:

x

y

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

E, portanto, as solues desta equao so: 3=x e 13=x .

3.1.2 MTODO CARTESIAO

mtodo que foi apresentado no sculo XVIII pelo ingls Sir John Leslie, em sua obra

Elements of Geometry. Seja resolver a equao 02 =+ cbxx . Sobre o sistema de coordenadas

cartesianas, marquemos os pontos: ( )1,0=A e ( )cbB ,= . Tracemos o crculo de dimetro AB . Os pontos em que o circulo tocar na abscissa so as razes da equao.

B

A

Com efeito, ( ) 2222

12

1

22

1

2

++

=

++

cbcy

bx e quando 0=y tem-se

02 =+ cbxx

3.2 MTODOS GEOMTRICOS COSTRUTVEIS 3.2.1 MTODO DE DESCARTES

Em 1637, o francs Ren Descartes

desenvolveu um mtodo geomtrico para a

obteno da soluo positiva da equao do

tipo 22 cbxx += . O mtodo consiste em

traar um segmento LM de comprimento

c e em L traa-se uma perpendicular L

de comprimento 2

b. Com centro em N

constri-se um crculo de raio L e traa-

se a reta passando por M e N at

interceptar o ponto O. O segmento OM a soluo positiva da equao. Com efeito,

222

22c

bbx +

=

e da decorre que 22 cbxx = .

c M L

N N

P

O

2

b

3.2.2 MTODO GEOMTRICO DE EUCLIDES

Seja resolver a seguinte equao

22 BBxx =+ . Inicialmente traamos um

quadrado de lado B e unamos o ponto C

ao ponto mdio do lado oposto definindo

no ponto E. com um compasso centrado

em E e com EC como medida

encontremos o ponto F localizado no

prolongamento de AB . O valor de BF

uma raiz da equao dada. De fato, o valor de BF dado por ( )15222

22

=+

BBB

B.

Ou ainda, raciocinando de outra forma 222

22B

BBx +

=

+ onde 5

22

BBx = .

3.2.3 MTODO DE EUCLIDES 2

Seja resolver a seguinte equao: CxBx = 2 ou o que equivalente CxBx += 2

Tracemos o segmento AB e dividamos ao meio no ponto C . Em seguida tracemos o

segmento CP perpendicular a AB cujo comprimento igual a C e unamos o ponto P ao

ponto D de modo que 2

BPD = . Construir o quadrado DBEG cujo lado uma raiz da equao

dada. Podemos completar tambm o retngulo ABEF de modo a visualizar melhor a construo

com a equao dada.

A B

E F

C D

P

G

xDB =

BEDGAF ==

2

B

B

F B E A

D C

H G 2

2

2B

B+

522

22

BB

B=+

Observando a construo acima podemos concluir que a rea do retngulo ABEF

igual a Bx e a rea do quadrado DBEG igual a 2x . Logo o retngulo ADGF tem rea igual a

C . Se o segmento DB igual a x , ento o segmento CD igual a xB

2 e aplicando Pitgoras

ao tringulo retngulo temos: ( ) 22222

=+

BCx

Be resolvendo obtemos:

CB

xB

CB

xB

=

=

4222

222

2

4

2

2 CBBx

= m .

3.3 MTODOS GEOMTRICOS O COSTRUTVEIS 3.3.1 MTODO GEOMTRICO DE COMPLETAR O QUADRADO

Seja resolver a seguinte equao: cxbx =+2 onde 0>c . Precisamos raciocinar como

sendo a expresso um somatrio de reas, logo:

Seja 2x representado por um quadrado e xb

por um retngulo de lados x e b . Dividindo-se o

retngulo em quatro partes obtemos o resultado ao

lado:

A rea da figura hachureada igual a c .

Como podemos observar, se completarmos o quadrado maior estaremos formando quatro

quadrados menores de lados 4

b, portanto de area

2

4

b. A rea dos quatro quadrados dada por

22

244

=

bb. Logo a rea total do quadrado externo igual a

2

2

+

bc e o lado ser

portanto a raiz quadrado da rea que igual a: 2

2

+ bc . O valor procurado o lado

2x

x

x

4

b

2x

2x =

xb =

subtrado de duas vezes o lado do quadrado menor

42

b portanto,

+=

42

2

2bb

cx .

3.3.2 MTODO GEOMTRICO DE COMPLETAR O QUADRADO - ALTERATIVO

O mtodo alternativo consiste em dividir o retngulo em duas partes e no mais quatro

partes.

A rea da figura hachureada igual a c . Se completarmos o quadrado maior estaremos

formando um quadrado menor de lado 2

b, portanto de area

2

2

b. Logo a rea total do

quadrado externo igual a 2

2

+

bc e o lado ser portanto a raiz quadrado da rea que igual a:

2

2

+ bc . O valor procurado o lado subtrado do lado do quadrado menor portanto,

+=

22

2bb

cx

3.3.3 MTODO GEOMTRICO

Seja resolver a seguinte equao: xbcx =+2 onde 0>xb . Traamos o quadrado

ABCD para representar 2x e o retngulo BEFC para representar c unidades. Logo o retngulo

ABEFCD formado com o quadrado deve ser igual a xb , de modo que b== DFAE . Tomando

o ponto mdio de AE, e traando um quadrado de lado 2

b teremos formado o quadrado GEIH.

Formando o quadrado LHJK, teremos:

2x

2x =

x 10 =

x

2

b

De fato, a rea de BEFC difere de GHIE por LHJK. O que nos leva a concluir que LH

dado por: cb

2

2. Como GEAG = GEBGAB =+ e decorre da que

22

2b

cb

x

=

+ e de modo geral c

bbx

=

2

22.

Como exemplo vamos resolver xx 10212 =+ .

Ento LH igual a: 22152 = e a raiz dada por: 352 ==+ xx .

2x c x

x

b

2

b

2

b

A E

D C

B

F

G

H I J

L K

2x c x

x

b

5 A E

D C

B

F

G

H I J

L K

4 .BIBLIOGRAFIA COSULTADA

CARL b. Boyer. Histria da matemtica. 2 edio, Editora Edgard blucher ltda., 1999

EVES, Howard . Introduo histria da matemtica. 3 edio, editora Unicamp, 2002.

Campinas, SP.

FRAGOSO, Wagner da Cunha. Uma abordagem histrica da equao do 2 grau. In Revista

do Professor de matemtica 43, 2000

GUELLI, Oscar.Contando a histria da matemtica: histria da equao do 2 grau. tica,

2 edio, 1993, So Paulo

http://www.matematica.br/historia/requacoes.html