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IntroduçãoContagem de caminhos

ProbabilidadesO Lema principal

A lei de arco-seno

A matemática de lançamentos de moeda

Serguei Popov

Departamento de Estatística, IMECC-UNICAMPwww.ime.unicamp.br/∼popov

Serguei Popov A matemática de lançamentos de moeda



A lei de arco-seno

Introdução

Contagem de caminhos

Probabilidades

O Lema principal

A lei de arco-seno




A lei de arco-seno

I modelo matemático: passeio aleatório simplesunidimensional

I moeda honesta = as probabilidades de sair cara/coroa sãoiguais

I jogamos uma moeda honesta sucessivamenteI cara = um passo para cimaI coroa = um passo para baixo




A lei de arco-seno

tempo0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

−1

−2

−3




A lei de arco-seno

Introdução


Probabilidades

O Lema principal

A lei de arco-seno




A lei de arco-seno

I até o tempo n, no total, há 2n caminhos (começando naorigem)

I seja N(n, r) a quantidade de caminhos que terminam noponto (n, r)

I como calcular N(n, r)?




A lei de arco-seno

0 n

r

I n + r tem que ser par (se n + r for ímpar, N(n, r) := 0)I se a =número de passos para cima, b =número de

passos para baixo, então n = a + b, r = a− bI logo,

N(n, r) =(

a + ba

)=

(n

n+r2

)




A lei de arco-seno

Princípio de reflexão: como contar o número de caminhos de xaté y , que tem (pelo menos) um ponto em comum com a linhareta?

x

y




A lei de arco-seno


x

y

h




A lei de arco-seno


x

y

h

x′




A lei de arco-seno


x

y

h

x′

Resultado:o número de caminhos de x até y com a propriedade desejada= o número total de caminhos de x ′ até y




A lei de arco-seno

Introdução


Probabilidades

O Lema principal

A lei de arco-seno




A lei de arco-seno

I notação: Sn é a posição do passeio aleatório no tempo nI 1

2n = probabilidade de cada caminho fixo de comprimento nI logo, se n + r é par,

pn,r := P[Sn = r ] =(

nn+r

2

)2−n

I seja u2n := p2n,0 = P[S2n = 0] = probabilidade de estar naorigem no momento 2n

I então, u2n =

(2nn

)2−2n




A lei de arco-seno

Como u2n se comporta quando n→∞? Vamos usar a fórmulade Stirling:

n! ∼√

2πn(n

e

)n.

Logo,

u2n =

(2nn

)2−2n =

(2n)!(n!)2 · 22n ∼

√4πn (2n)2ne−2n

(√

2πn nn e−n)2 · 22n

Simplificando, obtemos

u2n ∼1√πn

(1)




A lei de arco-seno

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Probabilidades

O Lema principal

A lei de arco-seno




A lei de arco-seno

LemaPara qualquer n ≥ 1

P[S1 6= 0,S2 6= 0, . . . ,S2n 6= 0] = P[S2n = 0] = u2n

0 2n




A lei de arco-seno

Demonstração do lema:

Temos

P[S1 > 0, . . . ,S2n > 0] =∞∑

r=1

P[S1 > 0, . . . ,S2n−1 > 0,S2n = 2r ]

(os termos correspospondentes a r > n são todos iguais azero).




A lei de arco-seno

P[S1 > 0, . . . ,S2n−1 > 0,S2n = 2r ] = 2−2n ·#caminhos

0 2n

x = (1, 1)

y = (2n, 2r)




A lei de arco-seno


0 2n

x = (1, 1)

y = (2n, 2r)

#caminhos= N(2n− 1, 2r − 1)−#caminhos




A lei de arco-seno


0 2n

x = (1, 1)

y = (2n, 2r)

#caminhos= N(2n− 1, 2r − 1)−#caminhos

x′ = (1,−1)




A lei de arco-seno


0 2n

x = (1, 1)

y = (2n, 2r)

N(2n− 1, 2r + 1)= N(2n− 1, 2r − 1)−#caminhos

x′ = (1,−1)




A lei de arco-seno

Então,

P[S1 > 0, . . . ,S2n−1 > 0,S2n = 2r ]

= 2−2n(N(2n − 1,2r − 1)− N(2n − 1,2r + 1))

=12(p2n−1,2r−1 − p2n−1,2r+1),

logo

P[S1 > 0, . . . ,S2n > 0] =12

∞∑

r=1

(p2n−1,2r−1 − p2n−1,2r+1)

=12

p2n−1,1 =12

u2n

(exercício: verifique(2n−1

n

)= 1

2

(2nn

))




A lei de arco-seno

Introdução


Probabilidades

O Lema principal

A lei de arco-seno




A lei de arco-seno

Último empate:I seja k = max{j ≤ n : S2j = 0}I 2k é o momento quando ocorre o último empate

0 2k 2n




A lei de arco-seno

Teorema (a lei de arco-seno para o último empate)

Seja α2k ,2n a probabilidade que o último empate até o tempo2n ocorra no momento 2k. Então

α2k ,2n = u2ku2n−2k . (2)

Demonstração:I queremos contar caminhos tais que S2k = 0,

S2k+1 6= 0, . . . ,S2n 6= 0I a primeira parte (até 2k ) podemos escolher de 22ku2k

maneiras diferentesI pelo Lema, a parte restante pode ser escolhida de

22n−2ku2n−2k maneiras diferentesI dividimos por 22n, obtendo a probabilidade desejada.




A lei de arco-seno

Porque “arco-seno”?

I denote f (x) =1

π√

x(1− x), 0 < x < 1

I então, por causa de (1) e (2), temos α2k ,2n ≈ 1n f (k/n)

I logo, pode-se mostrar que para x ∈ (0,1)

P[último empate antes de 2xn] =∑

k<xn

α2k ,2n

≈ 2π

arc sen√

x .




A lei de arco-seno

0 1 x

f(x) =1

π√x(1− x)




A lei de arco-seno

Exemplo:

I lançamos moeda uma vez por segundo, durante um ano(ou seja, 2n = 31 536 000)

I P[último empate nos primeiros 9 dias] ≈ 0,1I P[último empate nos primeiros 2 dias e 6 horas] ≈ 0,05I P[último empate em 2 horas e 10 minutos] ≈ 0,01




A lei de arco-seno

0

2n

tempo acima de zero (ate 2n) = soma dos intervalos azuis




A lei de arco-seno

Teorema (a lei de arco-seno para o tempo acima de zero)

A probabilidade que, até o momento 2n, a trajetória fica 2kinstantes acima de zero, é α2k ,2n. Ou seja, o tempo acima dezero tem a mesma distribuição que o último empate.

Por exemplo, se a moeda é lançada uma vez por segundodurante um ano,

I com probabilidade 0,1 um dos jogadores vai liderardurante menos que 4 dias e meio

I com probabilidade 0,01 um dos jogadores vai liderar por,no máximo, 1 hora e 5 minutos.




A lei de arco-seno

Já que é uma palestra de divulgação. . .

Pós-graduação em Estatística, IMECC/UNICAMPwww.ime.unicamp.br/posgrad/, clicar em Estatística

Obrigado pela atenção!


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