A LOacuteGICA DA DEMONSTRACcedilAtildeO PELA REDUCcedilAtildeO AO

ABSURDO

Antonio Luis VENE1CELA i

Tacircnia Regina Vendrame PAU[)ETTOecirc

Resumo O texto analisa a loacutegica que estahelece a demonstraccedilatildeo matemaacutetica

pela reduccedilatildeo ao ahsurdo Resgata pontos histoacutericos iniciados pejos hahiloacutenicos

c () seu domiacutenio dos nuacutemeros inteiros e racionais Sugere uma possiacutevel influecircncia

dos hahiloacutenicos sohre os pitagoacutericos que cultianl111 uma secircIacuteta secreta Comenta

o surgimento de uma crise entre os pitagoacutericos pelo fato da irracionalidade da

raiz quadrada de 2 sendo prmado pelos seus integrantes utilizando-scjustamcnte

da reduccedilatildeo ao ahsurdo (lldlfCIIacuteo ati ohsltrdllil) Trata ainda ela loacutegica formal

estilo de raciociacutenio nas demonstraccedilocirces matemaacuteticas e a proacutepria demonstraccedilatildeo

pcln redllclIacuteo (( uhslmlIIl ela irracionalidade da raiz quadrada de 2

Palavras chaves loacutegica matemaacutetica Reduccedilatildeo ltln absunjo Demonstraccedilatildeo

matemuacutetica

Introduccedilatildeo

Qual matemaacutetico natildeo demonstrou ou analisou um teorema pelo

menos lima ez pela reduccedilatildeo ao ahsurdo No momento da demonstraccedilatildeo o

resultado do teorema ou o raciociacutenio utilizado na proa As respostas para

tv1~slr~ em Matemaacutetica Aplicada IBILCE-UNESP Prof~ssor da F undaccedilio Educacional de raccedilaluba-SP kstr~ em Fducaccediluumln tNOESTL Protissora da Fundaccedilio Educacional de Araccedilatuha-SP

62

estas perguntas sagraveo deveras abrangentes Contudo neste trabalho focalizaremos

apenas uma parte da segunda pergunta ou seja a importacircncia do raciociacutenio

util izado na prova (especiticamente a demonstraccedilatildeo pelo reduclio adahsurdum)

Utilizaremos a conhecida crise na doutrina pitagoacuterica isto eacute a

irracionalidade da raiz quadrada de dois como motivaccedilatildeo para o estudo proposto

por este trabalho a qual seraacute demonstrada em sua totalidade Para situar o leitor

no contexto do problema acrescentamos um pouco da histoacuteria da Babiloacutenia e

dos pitagoacutericos

lJm toacutepico contendo uma introduccedilatildeo sobre loacutegica fomlal e sobre

demonstraccedilotildees matemaacuteticas foi inserida para melhor tundamentar e esclarecer

o raciociacutenio usado nas demonstraccedilotildees pelo reelllclio (fel ahslIrdllm

Acrescentamos um apecircndice contendo lemas de apoio na

demonstraccedilatildeo pelo reduclio (fel ahsllrdllll1 A compreensatildeo do raciociacutenio da

demonstraccedilatildeo loacutegica e teoacuterica tica evidenciada no diagrama das dependecircncias

loacutegicas da demonstraccedilatildeo em questagraveo

Um Pouco de Histoacuteria

Os babiloacutenios construiacuteram um sistema de numeraccedilatildeo sexagesimal

de posiccedilatildeo isto eacute YY YY YY indicava 2(6ltf +2(60)+2 e tambeacutem

estenderam este princiacutepio agraves ftmiddotaccedilotildees ou seja YY YY YY tambeacutem

significava 2(60 ( + 2(60 t + 2 (BOYER 1974) Estes tagravetos mostram que

os babiloacutenicos dominavam o poder da computaccedilatildeo que a modema notaccedilatildeo

decimal para tjaccedilotildees nos confere

A eficiecircncia da computaccedilatildeo babiloacutenica natildeo resultou somente de seu

sistema de numeraccedilatildeo Desenvolveram tambeacutem processos algoriacutetmicos entre

1 Na linha do tempo estamos entre 2000 e 600 A C

63

os quais um para extrair a raiz quadrada (frequumlentemente atribuiacutedos a homens

que viveram mais tarde tais como o grego Arquita (428-365 AC) a Heron de

Alexandria ( 1 OOOc) ou tambeacutem eacute chamado de algoritmo de Newton)

Os babilocircnios natildeo gostavam de trabalhos com reciacuteprocos de

nuacutemeros irregulares pois esses natildeo podiam ser expressos exatamente em fraccedilocirces I 7 30)

sexagesimais finitas ( por exemplo 8 60 (60T assim 8 eacute um nuacutemero

regular mas 7 nagraveo eacute regular ( 7I eacute uma diacutezima perioacutedica)

Existem historiadores que afirmam que a matemaacutetica babiloacutenica se

orientava puramente a fins praacuteticos mas outros atirmam que a matemaacutetica

numeacuterica era usada somente para tagravezer a exultaccedilatildeo do espiacuterito

O mundo grego por muitos seacuteculos teve seu centro entre os mares

Egeu e Torno mas a civilizaccedilagraveo helecircnica natildeo estava localizada soacute ali Em 600

AC coloacutenias gregas podiam ser encontradas ao longo das margens do Mar

Negro e 1editerragraveneo e j()i nessas regiocirces atagravestadas que um novo impulso se

manit~st()u na matemaacutetica Para isto os colonistas da beira-mar especialmente

na Iocircnia tinham duas vantagens tinham o espiacuterito ousado e imaginativo tiacutepico de

pioneiros e estavam mais proacuteximos dos dois principais vales de rio de que se

podia extrair conhecimentos Tales de Mileto (624-548 AC aprox imadamentc)

e Pitaacutegoras de Samos (580-500 AC aproximadamente) I tinham ainda mais

uma vantagem estavam em condiccedilatildeo de viajar aos centros antigos de

conhecimento e laacute adquirir informaccedilatildeo de primeira matildeo sohre astronomia e

matemaacutetica (BOYER 1974)

Pitaacutegoras era um proteta e um miacutestico nascido em Sam os uma das

ilhas do Oodecaneso permanecendo uma figura obscura e isto se deve em

~ Matemaacuteticos gregos

64

parte agrave perda de documentos daquela eacutepoca Fundou uma comunidade secreta

cujo seus membros eram conhecidos por pitagoacutericos Talvez a mais notaacutevel

caracteriacutestica da ordem pitagoacuterica fosse a confianccedila que mantinha no estudo da

matemaacutetica e da tilosofia como base moral para a conduta

A purificaccedilatildeo da alma dos pitagoacutericos era realizada em parte por

regime Hsico estrito e em parte por ritos que lembram os adoradores de Orfeu

e Dioniacutesio mas as hamlOnias e misteacuterios da filosofia e da matemaacutetica tamheacutem

eram partes essenciais desses rituais

Dizia-se que o lema da escola pitagoacuterica era Tudo eacute nuacutemero

Lembrando que os habilocircnios tinham associado vaacuterias medidas numeacutericas agraves

coisas quc os cercavam desde os movimentos nos ceacuteus ateacute () valor de seus

escrtlOs podemos perceber nesse lema uma forte afinidade com a

Mesopotacircmia Mesmo o teorema a que o nome de Pitaacutegoras estaacute associado

muito provavelmente veio dos babilocircnios Sugeriu-se como justificativa para

ehamaacute-Io de teorema de Pitaacutegoras que foram os pitagoacutericos os primeiros a dar

uma demonstraccedilatildeo dele mas natildeo haacute meio de veriticar esta conjetura (BOYER

1974)

Apaixonados pelos nuacutemeros inteiros os pitagoacutericos acreditavam

que todas as coisas podiam ser derivadas deles e certamente todos os outros

nuacutemeros (SAGAN 1982) Surgiu uma crise na doutrina quando descobriram

que a raiz quadrada de dois (a razatildeo entre a diagonal e o lado de um quadrado

era irracional) que 12 natildeo podia ser expressa precisamente como a razatildeo de

dois nuacutemeros inteiros quaisquer natildeo importando serem nuacutemeros grandes

Ironicamente esta descobel1a foacutei utilizada como recurso no teorema de Pitaacutegoras

Originalmente irracional significa somente que um nuacutemero natildeo pode ser

expresso como lima razatildeo Para os pitagoacutericos isto teve um significado aterrador

uma alusatildeo de que seu mundo nagraveo fazia sentido enquadrando-se no significado

atual de middotmiddotirracional Ao inveacutes de partilhar estas importantes descobertas

iO lss middotraccedillIl1ha n3 p 62 - 76 Iun 2005 65

matemaacuteticas os pitagoacutericos retiraram o conhecimento da J2 do dodecaedro

O mundo exterior natildeo devia saber Mesmo hoje em dia encontramos cientistas

que se opotildeem agrave popularizaccedilatildeo da ciecircncia o conhecimento sagrado deve ser

guardado no culto intocado pela compreensatildeo puacuteblica

O argumento pitagoacuterico original da ilTacionalidade da raiz quadrada

de dois depende de um tipo de argumento chamado reduclio ad ahsurdwl1

admitimos a veracidade de uma atil111accedilatildeo observando suas consequumlecircncias e o

surgimento de uma contradiccedilatildeo o que toma a asserccedilatildeo falsa Para dannos um

exemplo moderno consideremos o aforismo elaborado pelo grande fiacutesico do

seacuteculo XX ]iels Bohr O oposto de toda grande ideacuteia eacute uma outra grande

ideacuteia Se a asserccedilagraveo for verdadeira suas consequumlecircncias poderatildeo ser no miacutenimo

um pouco perigosas Por exemplo consideremos o oposto da Medida Aurea

ou da condenaccedilatildeo ao mentiroso ou Tu nagraveo mataraacutes Vamos considerar entatildeo

que o aforismo de Bohr seja uma grande ideacuteia Se for entatildeo a asserccedilatildeo oposta

oposto de toda grande ideacuteia natildeo eacute uma grande ideacuteia isto deve ser verdade

tamheacutem Devemos tentar o reduclio ad ahsurdum Se a asserccedilatildeo contraacuteria eacute

Uumltlsa o afoacuterismo nos deteraacute desde que se contesse a si mesmo como natildeo sendo

uma grande ideacuteia (SAGA 1982)

Sobre a Loacutegica Formal

Tomam-se as sentenccedilas ou proposiccedilotildees declarativas pois elas

podem ser classificadas em verdadeiras e tagravelsas (NER1CL 1985) O valor loacutegico

de uma proposiccedilatildeo p se p eacute verdadeiro ou falso eacute verdadeiro ou falso cuja

notaccedilatildeo eacute ( P ) = t ou (p ) = F

Aleacutem das declarativas existem as interrogativas exclamativas imperativas

66

Para que haja coerecircncia no pensar deve-se obedecer trecircs leis do

pensamento

i) Se qualquer proposiccedilatildeo eacute verdadeira entatildeo ela eacute verdadeira isto eacute -1

eacute A (Princiacutepio da Identidade)

ii) A eacute A e eacute impossiacutevel que seja ao mesmo tempo natildeo-A (Princiacutepio da

Contradiccedilatildeot iii) Toda proposiccedilatildeo ou eacute verdadeira ou eacute tagravelsa (Principio do Terceiro

Excluiacutedo)

iY) Dado A necessariamente se daraacute B (Principio da Razatildeo Suticiente f

Podemos ter proposiccedilatildeo simples tais como p Joatildeo eacute filho de

Joseacute q Antoniojoga bola e r Paulo tem tilhos

As proposiccedilotildees simples podem ser ligadas pelos seguintes

conectivos

- nagraveo (- )

- e (

- ou ( v )

- se entatildeo ( -- )

- se e somente se ( - )

Denominam-se proposiccedilotildees compostas agraves proposiccedilotildees formadas

(ou conectadas) por duas ou mais proposiccedilotildees simples

U ma proposiccedilatildeo simples e lima composta pode ser combinada e

disposta na chamada ohd-nnluJe cujo nuacutemero de linhas estaacute em funccedilatildeo do

nuacutemero de proposiccedilotildees simples que a compotildee

Este princiacutepio afirma que uma coisa ou uma ideacuteia que se negam a si mesma se destroacutei a j

mesma - Este princ ipio afirma que tudo o que existe e tudo o que acontece tem uma razatildeo (causa ou

motIacuteo) para existir ou para acontecer e que tal razatildeo pode ser conhecida pela nossa razatildeo

67

li

Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade

Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees

Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)

representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees

Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas

atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos

iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas

tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha

ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando

em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas

Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade

p i li -q P~lI P - ( ~(fl )

I I r v r v I r F I F

r f F V F r

F bull

F bull

r iacute

v I

F I

Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)

Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de

acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que

[p =gt qqlliva~- (pA q)J

68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~

Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas

Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade

geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute

essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode

deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra

o que eacute verdadeiro

Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo

ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute

bom

Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade

ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4

fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A

verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo

prohIma

No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema

procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar

uma incoacutegnita

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica

a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um

princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo

mais simples e jaacute admitida

A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema

a demonstrar

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem

de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema

69

estas perguntas sagraveo deveras abrangentes Contudo neste trabalho focalizaremos

apenas uma parte da segunda pergunta ou seja a importacircncia do raciociacutenio

util izado na prova (especiticamente a demonstraccedilatildeo pelo reduclio adahsurdum)

Utilizaremos a conhecida crise na doutrina pitagoacuterica isto eacute a

irracionalidade da raiz quadrada de dois como motivaccedilatildeo para o estudo proposto

por este trabalho a qual seraacute demonstrada em sua totalidade Para situar o leitor

no contexto do problema acrescentamos um pouco da histoacuteria da Babiloacutenia e

dos pitagoacutericos

lJm toacutepico contendo uma introduccedilatildeo sobre loacutegica fomlal e sobre

demonstraccedilotildees matemaacuteticas foi inserida para melhor tundamentar e esclarecer

o raciociacutenio usado nas demonstraccedilotildees pelo reelllclio (fel ahslIrdllm

Acrescentamos um apecircndice contendo lemas de apoio na

demonstraccedilatildeo pelo reduclio (fel ahsllrdllll1 A compreensatildeo do raciociacutenio da

demonstraccedilatildeo loacutegica e teoacuterica tica evidenciada no diagrama das dependecircncias

loacutegicas da demonstraccedilatildeo em questagraveo

Um Pouco de Histoacuteria

Os babiloacutenios construiacuteram um sistema de numeraccedilatildeo sexagesimal

de posiccedilatildeo isto eacute YY YY YY indicava 2(6ltf +2(60)+2 e tambeacutem

estenderam este princiacutepio agraves ftmiddotaccedilotildees ou seja YY YY YY tambeacutem

significava 2(60 ( + 2(60 t + 2 (BOYER 1974) Estes tagravetos mostram que

os babiloacutenicos dominavam o poder da computaccedilatildeo que a modema notaccedilatildeo

decimal para tjaccedilotildees nos confere

A eficiecircncia da computaccedilatildeo babiloacutenica natildeo resultou somente de seu

sistema de numeraccedilatildeo Desenvolveram tambeacutem processos algoriacutetmicos entre

1 Na linha do tempo estamos entre 2000 e 600 A C

63

os quais um para extrair a raiz quadrada (frequumlentemente atribuiacutedos a homens

que viveram mais tarde tais como o grego Arquita (428-365 AC) a Heron de

Alexandria ( 1 OOOc) ou tambeacutem eacute chamado de algoritmo de Newton)

Os babilocircnios natildeo gostavam de trabalhos com reciacuteprocos de

nuacutemeros irregulares pois esses natildeo podiam ser expressos exatamente em fraccedilocirces I 7 30)

sexagesimais finitas ( por exemplo 8 60 (60T assim 8 eacute um nuacutemero

regular mas 7 nagraveo eacute regular ( 7I eacute uma diacutezima perioacutedica)

Existem historiadores que afirmam que a matemaacutetica babiloacutenica se

orientava puramente a fins praacuteticos mas outros atirmam que a matemaacutetica

numeacuterica era usada somente para tagravezer a exultaccedilatildeo do espiacuterito

O mundo grego por muitos seacuteculos teve seu centro entre os mares

Egeu e Torno mas a civilizaccedilagraveo helecircnica natildeo estava localizada soacute ali Em 600

AC coloacutenias gregas podiam ser encontradas ao longo das margens do Mar

Negro e 1editerragraveneo e j()i nessas regiocirces atagravestadas que um novo impulso se

manit~st()u na matemaacutetica Para isto os colonistas da beira-mar especialmente

na Iocircnia tinham duas vantagens tinham o espiacuterito ousado e imaginativo tiacutepico de

pioneiros e estavam mais proacuteximos dos dois principais vales de rio de que se

podia extrair conhecimentos Tales de Mileto (624-548 AC aprox imadamentc)

e Pitaacutegoras de Samos (580-500 AC aproximadamente) I tinham ainda mais

uma vantagem estavam em condiccedilatildeo de viajar aos centros antigos de

conhecimento e laacute adquirir informaccedilatildeo de primeira matildeo sohre astronomia e

matemaacutetica (BOYER 1974)

Pitaacutegoras era um proteta e um miacutestico nascido em Sam os uma das

ilhas do Oodecaneso permanecendo uma figura obscura e isto se deve em

~ Matemaacuteticos gregos

64

parte agrave perda de documentos daquela eacutepoca Fundou uma comunidade secreta

cujo seus membros eram conhecidos por pitagoacutericos Talvez a mais notaacutevel

caracteriacutestica da ordem pitagoacuterica fosse a confianccedila que mantinha no estudo da

matemaacutetica e da tilosofia como base moral para a conduta

A purificaccedilatildeo da alma dos pitagoacutericos era realizada em parte por

regime Hsico estrito e em parte por ritos que lembram os adoradores de Orfeu

e Dioniacutesio mas as hamlOnias e misteacuterios da filosofia e da matemaacutetica tamheacutem

eram partes essenciais desses rituais

Dizia-se que o lema da escola pitagoacuterica era Tudo eacute nuacutemero

Lembrando que os habilocircnios tinham associado vaacuterias medidas numeacutericas agraves

coisas quc os cercavam desde os movimentos nos ceacuteus ateacute () valor de seus

escrtlOs podemos perceber nesse lema uma forte afinidade com a

Mesopotacircmia Mesmo o teorema a que o nome de Pitaacutegoras estaacute associado

muito provavelmente veio dos babilocircnios Sugeriu-se como justificativa para

ehamaacute-Io de teorema de Pitaacutegoras que foram os pitagoacutericos os primeiros a dar

uma demonstraccedilatildeo dele mas natildeo haacute meio de veriticar esta conjetura (BOYER

1974)

Apaixonados pelos nuacutemeros inteiros os pitagoacutericos acreditavam

que todas as coisas podiam ser derivadas deles e certamente todos os outros

nuacutemeros (SAGAN 1982) Surgiu uma crise na doutrina quando descobriram

que a raiz quadrada de dois (a razatildeo entre a diagonal e o lado de um quadrado

era irracional) que 12 natildeo podia ser expressa precisamente como a razatildeo de

dois nuacutemeros inteiros quaisquer natildeo importando serem nuacutemeros grandes

Ironicamente esta descobel1a foacutei utilizada como recurso no teorema de Pitaacutegoras

Originalmente irracional significa somente que um nuacutemero natildeo pode ser

expresso como lima razatildeo Para os pitagoacutericos isto teve um significado aterrador

uma alusatildeo de que seu mundo nagraveo fazia sentido enquadrando-se no significado

atual de middotmiddotirracional Ao inveacutes de partilhar estas importantes descobertas

iO lss middotraccedillIl1ha n3 p 62 - 76 Iun 2005 65

matemaacuteticas os pitagoacutericos retiraram o conhecimento da J2 do dodecaedro

O mundo exterior natildeo devia saber Mesmo hoje em dia encontramos cientistas

que se opotildeem agrave popularizaccedilatildeo da ciecircncia o conhecimento sagrado deve ser

guardado no culto intocado pela compreensatildeo puacuteblica

O argumento pitagoacuterico original da ilTacionalidade da raiz quadrada

de dois depende de um tipo de argumento chamado reduclio ad ahsurdwl1

admitimos a veracidade de uma atil111accedilatildeo observando suas consequumlecircncias e o

surgimento de uma contradiccedilatildeo o que toma a asserccedilatildeo falsa Para dannos um

exemplo moderno consideremos o aforismo elaborado pelo grande fiacutesico do

seacuteculo XX ]iels Bohr O oposto de toda grande ideacuteia eacute uma outra grande

ideacuteia Se a asserccedilagraveo for verdadeira suas consequumlecircncias poderatildeo ser no miacutenimo

um pouco perigosas Por exemplo consideremos o oposto da Medida Aurea

ou da condenaccedilatildeo ao mentiroso ou Tu nagraveo mataraacutes Vamos considerar entatildeo

que o aforismo de Bohr seja uma grande ideacuteia Se for entatildeo a asserccedilatildeo oposta

oposto de toda grande ideacuteia natildeo eacute uma grande ideacuteia isto deve ser verdade

tamheacutem Devemos tentar o reduclio ad ahsurdum Se a asserccedilatildeo contraacuteria eacute

Uumltlsa o afoacuterismo nos deteraacute desde que se contesse a si mesmo como natildeo sendo

uma grande ideacuteia (SAGA 1982)

Sobre a Loacutegica Formal

Tomam-se as sentenccedilas ou proposiccedilotildees declarativas pois elas

podem ser classificadas em verdadeiras e tagravelsas (NER1CL 1985) O valor loacutegico

de uma proposiccedilatildeo p se p eacute verdadeiro ou falso eacute verdadeiro ou falso cuja

notaccedilatildeo eacute ( P ) = t ou (p ) = F

Aleacutem das declarativas existem as interrogativas exclamativas imperativas

66

Para que haja coerecircncia no pensar deve-se obedecer trecircs leis do

pensamento

i) Se qualquer proposiccedilatildeo eacute verdadeira entatildeo ela eacute verdadeira isto eacute -1

eacute A (Princiacutepio da Identidade)

ii) A eacute A e eacute impossiacutevel que seja ao mesmo tempo natildeo-A (Princiacutepio da

Contradiccedilatildeot iii) Toda proposiccedilatildeo ou eacute verdadeira ou eacute tagravelsa (Principio do Terceiro

Excluiacutedo)

iY) Dado A necessariamente se daraacute B (Principio da Razatildeo Suticiente f

Podemos ter proposiccedilatildeo simples tais como p Joatildeo eacute filho de

Joseacute q Antoniojoga bola e r Paulo tem tilhos

As proposiccedilotildees simples podem ser ligadas pelos seguintes

conectivos

- nagraveo (- )

- e (

- ou ( v )

- se entatildeo ( -- )

- se e somente se ( - )

Denominam-se proposiccedilotildees compostas agraves proposiccedilotildees formadas

(ou conectadas) por duas ou mais proposiccedilotildees simples

U ma proposiccedilatildeo simples e lima composta pode ser combinada e

disposta na chamada ohd-nnluJe cujo nuacutemero de linhas estaacute em funccedilatildeo do

nuacutemero de proposiccedilotildees simples que a compotildee

Este princiacutepio afirma que uma coisa ou uma ideacuteia que se negam a si mesma se destroacutei a j

mesma - Este princ ipio afirma que tudo o que existe e tudo o que acontece tem uma razatildeo (causa ou

motIacuteo) para existir ou para acontecer e que tal razatildeo pode ser conhecida pela nossa razatildeo

67

li

Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade

Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees

Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)

representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees

Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas

atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos

iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas

tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha

ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando

em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas

Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade

p i li -q P~lI P - ( ~(fl )

I I r v r v I r F I F

r f F V F r

F bull

F bull

r iacute

v I

F I

Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)

Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de

acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que

[p =gt qqlliva~- (pA q)J

68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~

Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas

Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade

geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute

essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode

deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra

o que eacute verdadeiro

Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo

ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute

bom

Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade

ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4

fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A

verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo

prohIma

No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema

procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar

uma incoacutegnita

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica

a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um

princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo

mais simples e jaacute admitida

A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema

a demonstrar

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem

de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema

69

os quais um para extrair a raiz quadrada (frequumlentemente atribuiacutedos a homens

que viveram mais tarde tais como o grego Arquita (428-365 AC) a Heron de

Alexandria ( 1 OOOc) ou tambeacutem eacute chamado de algoritmo de Newton)

Os babilocircnios natildeo gostavam de trabalhos com reciacuteprocos de

nuacutemeros irregulares pois esses natildeo podiam ser expressos exatamente em fraccedilocirces I 7 30)

sexagesimais finitas ( por exemplo 8 60 (60T assim 8 eacute um nuacutemero

regular mas 7 nagraveo eacute regular ( 7I eacute uma diacutezima perioacutedica)

Existem historiadores que afirmam que a matemaacutetica babiloacutenica se

orientava puramente a fins praacuteticos mas outros atirmam que a matemaacutetica

numeacuterica era usada somente para tagravezer a exultaccedilatildeo do espiacuterito

O mundo grego por muitos seacuteculos teve seu centro entre os mares

Egeu e Torno mas a civilizaccedilagraveo helecircnica natildeo estava localizada soacute ali Em 600

AC coloacutenias gregas podiam ser encontradas ao longo das margens do Mar

Negro e 1editerragraveneo e j()i nessas regiocirces atagravestadas que um novo impulso se

manit~st()u na matemaacutetica Para isto os colonistas da beira-mar especialmente

na Iocircnia tinham duas vantagens tinham o espiacuterito ousado e imaginativo tiacutepico de

pioneiros e estavam mais proacuteximos dos dois principais vales de rio de que se

podia extrair conhecimentos Tales de Mileto (624-548 AC aprox imadamentc)

e Pitaacutegoras de Samos (580-500 AC aproximadamente) I tinham ainda mais

uma vantagem estavam em condiccedilatildeo de viajar aos centros antigos de

conhecimento e laacute adquirir informaccedilatildeo de primeira matildeo sohre astronomia e

matemaacutetica (BOYER 1974)

Pitaacutegoras era um proteta e um miacutestico nascido em Sam os uma das

ilhas do Oodecaneso permanecendo uma figura obscura e isto se deve em

~ Matemaacuteticos gregos

64

parte agrave perda de documentos daquela eacutepoca Fundou uma comunidade secreta

cujo seus membros eram conhecidos por pitagoacutericos Talvez a mais notaacutevel

caracteriacutestica da ordem pitagoacuterica fosse a confianccedila que mantinha no estudo da

matemaacutetica e da tilosofia como base moral para a conduta

A purificaccedilatildeo da alma dos pitagoacutericos era realizada em parte por

regime Hsico estrito e em parte por ritos que lembram os adoradores de Orfeu

e Dioniacutesio mas as hamlOnias e misteacuterios da filosofia e da matemaacutetica tamheacutem

eram partes essenciais desses rituais

Dizia-se que o lema da escola pitagoacuterica era Tudo eacute nuacutemero

Lembrando que os habilocircnios tinham associado vaacuterias medidas numeacutericas agraves

coisas quc os cercavam desde os movimentos nos ceacuteus ateacute () valor de seus

escrtlOs podemos perceber nesse lema uma forte afinidade com a

Mesopotacircmia Mesmo o teorema a que o nome de Pitaacutegoras estaacute associado

muito provavelmente veio dos babilocircnios Sugeriu-se como justificativa para

ehamaacute-Io de teorema de Pitaacutegoras que foram os pitagoacutericos os primeiros a dar

uma demonstraccedilatildeo dele mas natildeo haacute meio de veriticar esta conjetura (BOYER

1974)

Apaixonados pelos nuacutemeros inteiros os pitagoacutericos acreditavam

que todas as coisas podiam ser derivadas deles e certamente todos os outros

nuacutemeros (SAGAN 1982) Surgiu uma crise na doutrina quando descobriram

que a raiz quadrada de dois (a razatildeo entre a diagonal e o lado de um quadrado

era irracional) que 12 natildeo podia ser expressa precisamente como a razatildeo de

dois nuacutemeros inteiros quaisquer natildeo importando serem nuacutemeros grandes

Ironicamente esta descobel1a foacutei utilizada como recurso no teorema de Pitaacutegoras

Originalmente irracional significa somente que um nuacutemero natildeo pode ser

expresso como lima razatildeo Para os pitagoacutericos isto teve um significado aterrador

uma alusatildeo de que seu mundo nagraveo fazia sentido enquadrando-se no significado

atual de middotmiddotirracional Ao inveacutes de partilhar estas importantes descobertas

iO lss middotraccedillIl1ha n3 p 62 - 76 Iun 2005 65

matemaacuteticas os pitagoacutericos retiraram o conhecimento da J2 do dodecaedro

O mundo exterior natildeo devia saber Mesmo hoje em dia encontramos cientistas

que se opotildeem agrave popularizaccedilatildeo da ciecircncia o conhecimento sagrado deve ser

guardado no culto intocado pela compreensatildeo puacuteblica

O argumento pitagoacuterico original da ilTacionalidade da raiz quadrada

de dois depende de um tipo de argumento chamado reduclio ad ahsurdwl1

admitimos a veracidade de uma atil111accedilatildeo observando suas consequumlecircncias e o

surgimento de uma contradiccedilatildeo o que toma a asserccedilatildeo falsa Para dannos um

exemplo moderno consideremos o aforismo elaborado pelo grande fiacutesico do

seacuteculo XX ]iels Bohr O oposto de toda grande ideacuteia eacute uma outra grande

ideacuteia Se a asserccedilagraveo for verdadeira suas consequumlecircncias poderatildeo ser no miacutenimo

um pouco perigosas Por exemplo consideremos o oposto da Medida Aurea

ou da condenaccedilatildeo ao mentiroso ou Tu nagraveo mataraacutes Vamos considerar entatildeo

que o aforismo de Bohr seja uma grande ideacuteia Se for entatildeo a asserccedilatildeo oposta

oposto de toda grande ideacuteia natildeo eacute uma grande ideacuteia isto deve ser verdade

tamheacutem Devemos tentar o reduclio ad ahsurdum Se a asserccedilatildeo contraacuteria eacute

Uumltlsa o afoacuterismo nos deteraacute desde que se contesse a si mesmo como natildeo sendo

uma grande ideacuteia (SAGA 1982)

Sobre a Loacutegica Formal

Tomam-se as sentenccedilas ou proposiccedilotildees declarativas pois elas

podem ser classificadas em verdadeiras e tagravelsas (NER1CL 1985) O valor loacutegico

de uma proposiccedilatildeo p se p eacute verdadeiro ou falso eacute verdadeiro ou falso cuja

notaccedilatildeo eacute ( P ) = t ou (p ) = F

Aleacutem das declarativas existem as interrogativas exclamativas imperativas

66

Para que haja coerecircncia no pensar deve-se obedecer trecircs leis do

pensamento

i) Se qualquer proposiccedilatildeo eacute verdadeira entatildeo ela eacute verdadeira isto eacute -1

eacute A (Princiacutepio da Identidade)

ii) A eacute A e eacute impossiacutevel que seja ao mesmo tempo natildeo-A (Princiacutepio da

Contradiccedilatildeot iii) Toda proposiccedilatildeo ou eacute verdadeira ou eacute tagravelsa (Principio do Terceiro

Excluiacutedo)

iY) Dado A necessariamente se daraacute B (Principio da Razatildeo Suticiente f

Podemos ter proposiccedilatildeo simples tais como p Joatildeo eacute filho de

Joseacute q Antoniojoga bola e r Paulo tem tilhos

As proposiccedilotildees simples podem ser ligadas pelos seguintes

conectivos

- nagraveo (- )

- e (

- ou ( v )

- se entatildeo ( -- )

- se e somente se ( - )

Denominam-se proposiccedilotildees compostas agraves proposiccedilotildees formadas

(ou conectadas) por duas ou mais proposiccedilotildees simples

U ma proposiccedilatildeo simples e lima composta pode ser combinada e

disposta na chamada ohd-nnluJe cujo nuacutemero de linhas estaacute em funccedilatildeo do

nuacutemero de proposiccedilotildees simples que a compotildee

Este princiacutepio afirma que uma coisa ou uma ideacuteia que se negam a si mesma se destroacutei a j

mesma - Este princ ipio afirma que tudo o que existe e tudo o que acontece tem uma razatildeo (causa ou

motIacuteo) para existir ou para acontecer e que tal razatildeo pode ser conhecida pela nossa razatildeo

67

li

Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade

Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees

Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)

representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees

Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas

atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos

iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas

tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha

ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando

em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas

Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade

p i li -q P~lI P - ( ~(fl )

I I r v r v I r F I F

r f F V F r

F bull

F bull

r iacute

v I

F I

Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)

Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de

acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que

[p =gt qqlliva~- (pA q)J

68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~

Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas

Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade

geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute

essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode

deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra

o que eacute verdadeiro

Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo

ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute

bom

Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade

ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4

fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A

verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo

prohIma

No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema

procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar

uma incoacutegnita

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica

a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um

princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo

mais simples e jaacute admitida

A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema

a demonstrar

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem

de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema

69

parte agrave perda de documentos daquela eacutepoca Fundou uma comunidade secreta

cujo seus membros eram conhecidos por pitagoacutericos Talvez a mais notaacutevel

caracteriacutestica da ordem pitagoacuterica fosse a confianccedila que mantinha no estudo da

matemaacutetica e da tilosofia como base moral para a conduta

A purificaccedilatildeo da alma dos pitagoacutericos era realizada em parte por

regime Hsico estrito e em parte por ritos que lembram os adoradores de Orfeu

e Dioniacutesio mas as hamlOnias e misteacuterios da filosofia e da matemaacutetica tamheacutem

eram partes essenciais desses rituais

Dizia-se que o lema da escola pitagoacuterica era Tudo eacute nuacutemero

Lembrando que os habilocircnios tinham associado vaacuterias medidas numeacutericas agraves

coisas quc os cercavam desde os movimentos nos ceacuteus ateacute () valor de seus

escrtlOs podemos perceber nesse lema uma forte afinidade com a

Mesopotacircmia Mesmo o teorema a que o nome de Pitaacutegoras estaacute associado

muito provavelmente veio dos babilocircnios Sugeriu-se como justificativa para

ehamaacute-Io de teorema de Pitaacutegoras que foram os pitagoacutericos os primeiros a dar

uma demonstraccedilatildeo dele mas natildeo haacute meio de veriticar esta conjetura (BOYER

1974)

Apaixonados pelos nuacutemeros inteiros os pitagoacutericos acreditavam

que todas as coisas podiam ser derivadas deles e certamente todos os outros

nuacutemeros (SAGAN 1982) Surgiu uma crise na doutrina quando descobriram

que a raiz quadrada de dois (a razatildeo entre a diagonal e o lado de um quadrado

era irracional) que 12 natildeo podia ser expressa precisamente como a razatildeo de

dois nuacutemeros inteiros quaisquer natildeo importando serem nuacutemeros grandes

Ironicamente esta descobel1a foacutei utilizada como recurso no teorema de Pitaacutegoras

Originalmente irracional significa somente que um nuacutemero natildeo pode ser

expresso como lima razatildeo Para os pitagoacutericos isto teve um significado aterrador

uma alusatildeo de que seu mundo nagraveo fazia sentido enquadrando-se no significado

atual de middotmiddotirracional Ao inveacutes de partilhar estas importantes descobertas

iO lss middotraccedillIl1ha n3 p 62 - 76 Iun 2005 65

matemaacuteticas os pitagoacutericos retiraram o conhecimento da J2 do dodecaedro

O mundo exterior natildeo devia saber Mesmo hoje em dia encontramos cientistas

que se opotildeem agrave popularizaccedilatildeo da ciecircncia o conhecimento sagrado deve ser

guardado no culto intocado pela compreensatildeo puacuteblica

O argumento pitagoacuterico original da ilTacionalidade da raiz quadrada

de dois depende de um tipo de argumento chamado reduclio ad ahsurdwl1

admitimos a veracidade de uma atil111accedilatildeo observando suas consequumlecircncias e o

surgimento de uma contradiccedilatildeo o que toma a asserccedilatildeo falsa Para dannos um

exemplo moderno consideremos o aforismo elaborado pelo grande fiacutesico do

seacuteculo XX ]iels Bohr O oposto de toda grande ideacuteia eacute uma outra grande

ideacuteia Se a asserccedilagraveo for verdadeira suas consequumlecircncias poderatildeo ser no miacutenimo

um pouco perigosas Por exemplo consideremos o oposto da Medida Aurea

ou da condenaccedilatildeo ao mentiroso ou Tu nagraveo mataraacutes Vamos considerar entatildeo

que o aforismo de Bohr seja uma grande ideacuteia Se for entatildeo a asserccedilatildeo oposta

oposto de toda grande ideacuteia natildeo eacute uma grande ideacuteia isto deve ser verdade

tamheacutem Devemos tentar o reduclio ad ahsurdum Se a asserccedilatildeo contraacuteria eacute

Uumltlsa o afoacuterismo nos deteraacute desde que se contesse a si mesmo como natildeo sendo

uma grande ideacuteia (SAGA 1982)

Sobre a Loacutegica Formal

Tomam-se as sentenccedilas ou proposiccedilotildees declarativas pois elas

podem ser classificadas em verdadeiras e tagravelsas (NER1CL 1985) O valor loacutegico

de uma proposiccedilatildeo p se p eacute verdadeiro ou falso eacute verdadeiro ou falso cuja

notaccedilatildeo eacute ( P ) = t ou (p ) = F

Aleacutem das declarativas existem as interrogativas exclamativas imperativas

66

Para que haja coerecircncia no pensar deve-se obedecer trecircs leis do

pensamento

i) Se qualquer proposiccedilatildeo eacute verdadeira entatildeo ela eacute verdadeira isto eacute -1

eacute A (Princiacutepio da Identidade)

ii) A eacute A e eacute impossiacutevel que seja ao mesmo tempo natildeo-A (Princiacutepio da

Contradiccedilatildeot iii) Toda proposiccedilatildeo ou eacute verdadeira ou eacute tagravelsa (Principio do Terceiro

Excluiacutedo)

iY) Dado A necessariamente se daraacute B (Principio da Razatildeo Suticiente f

Podemos ter proposiccedilatildeo simples tais como p Joatildeo eacute filho de

Joseacute q Antoniojoga bola e r Paulo tem tilhos

As proposiccedilotildees simples podem ser ligadas pelos seguintes

conectivos

- nagraveo (- )

- e (

- ou ( v )

- se entatildeo ( -- )

- se e somente se ( - )

Denominam-se proposiccedilotildees compostas agraves proposiccedilotildees formadas

(ou conectadas) por duas ou mais proposiccedilotildees simples

U ma proposiccedilatildeo simples e lima composta pode ser combinada e

disposta na chamada ohd-nnluJe cujo nuacutemero de linhas estaacute em funccedilatildeo do

nuacutemero de proposiccedilotildees simples que a compotildee

Este princiacutepio afirma que uma coisa ou uma ideacuteia que se negam a si mesma se destroacutei a j

mesma - Este princ ipio afirma que tudo o que existe e tudo o que acontece tem uma razatildeo (causa ou

motIacuteo) para existir ou para acontecer e que tal razatildeo pode ser conhecida pela nossa razatildeo

67

li

Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade

Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees

Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)

representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees

Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas

atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos

iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas

tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha

ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando

em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas

Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade

p i li -q P~lI P - ( ~(fl )

I I r v r v I r F I F

r f F V F r

F bull

F bull

r iacute

v I

F I

Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)

Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de

acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que

[p =gt qqlliva~- (pA q)J

68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~

Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas

Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade

geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute

essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode

deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra

o que eacute verdadeiro

Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo

ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute

bom

Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade

ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4

fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A

verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo

prohIma

No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema

procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar

uma incoacutegnita

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica

a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um

princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo

mais simples e jaacute admitida

A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema

a demonstrar

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem

de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema

69

matemaacuteticas os pitagoacutericos retiraram o conhecimento da J2 do dodecaedro

O mundo exterior natildeo devia saber Mesmo hoje em dia encontramos cientistas

que se opotildeem agrave popularizaccedilatildeo da ciecircncia o conhecimento sagrado deve ser

guardado no culto intocado pela compreensatildeo puacuteblica

O argumento pitagoacuterico original da ilTacionalidade da raiz quadrada

de dois depende de um tipo de argumento chamado reduclio ad ahsurdwl1

admitimos a veracidade de uma atil111accedilatildeo observando suas consequumlecircncias e o

surgimento de uma contradiccedilatildeo o que toma a asserccedilatildeo falsa Para dannos um

exemplo moderno consideremos o aforismo elaborado pelo grande fiacutesico do

seacuteculo XX ]iels Bohr O oposto de toda grande ideacuteia eacute uma outra grande

ideacuteia Se a asserccedilagraveo for verdadeira suas consequumlecircncias poderatildeo ser no miacutenimo

um pouco perigosas Por exemplo consideremos o oposto da Medida Aurea

ou da condenaccedilatildeo ao mentiroso ou Tu nagraveo mataraacutes Vamos considerar entatildeo

que o aforismo de Bohr seja uma grande ideacuteia Se for entatildeo a asserccedilatildeo oposta

oposto de toda grande ideacuteia natildeo eacute uma grande ideacuteia isto deve ser verdade

tamheacutem Devemos tentar o reduclio ad ahsurdum Se a asserccedilatildeo contraacuteria eacute

Uumltlsa o afoacuterismo nos deteraacute desde que se contesse a si mesmo como natildeo sendo

uma grande ideacuteia (SAGA 1982)

Sobre a Loacutegica Formal

Tomam-se as sentenccedilas ou proposiccedilotildees declarativas pois elas

podem ser classificadas em verdadeiras e tagravelsas (NER1CL 1985) O valor loacutegico

de uma proposiccedilatildeo p se p eacute verdadeiro ou falso eacute verdadeiro ou falso cuja

notaccedilatildeo eacute ( P ) = t ou (p ) = F

Aleacutem das declarativas existem as interrogativas exclamativas imperativas

66

Para que haja coerecircncia no pensar deve-se obedecer trecircs leis do

pensamento

i) Se qualquer proposiccedilatildeo eacute verdadeira entatildeo ela eacute verdadeira isto eacute -1

eacute A (Princiacutepio da Identidade)

ii) A eacute A e eacute impossiacutevel que seja ao mesmo tempo natildeo-A (Princiacutepio da

Contradiccedilatildeot iii) Toda proposiccedilatildeo ou eacute verdadeira ou eacute tagravelsa (Principio do Terceiro

Excluiacutedo)

iY) Dado A necessariamente se daraacute B (Principio da Razatildeo Suticiente f

Podemos ter proposiccedilatildeo simples tais como p Joatildeo eacute filho de

Joseacute q Antoniojoga bola e r Paulo tem tilhos

As proposiccedilotildees simples podem ser ligadas pelos seguintes

conectivos

- nagraveo (- )

- e (

- ou ( v )

- se entatildeo ( -- )

- se e somente se ( - )

Denominam-se proposiccedilotildees compostas agraves proposiccedilotildees formadas

(ou conectadas) por duas ou mais proposiccedilotildees simples

U ma proposiccedilatildeo simples e lima composta pode ser combinada e

disposta na chamada ohd-nnluJe cujo nuacutemero de linhas estaacute em funccedilatildeo do

nuacutemero de proposiccedilotildees simples que a compotildee

Este princiacutepio afirma que uma coisa ou uma ideacuteia que se negam a si mesma se destroacutei a j

mesma - Este princ ipio afirma que tudo o que existe e tudo o que acontece tem uma razatildeo (causa ou

motIacuteo) para existir ou para acontecer e que tal razatildeo pode ser conhecida pela nossa razatildeo

67

li

Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade

Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees

Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)

representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees

Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas

atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos

iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas

tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha

ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando

em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas

Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade

p i li -q P~lI P - ( ~(fl )

I I r v r v I r F I F

r f F V F r

F bull

F bull

r iacute

v I

F I

Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)

Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de

acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que

[p =gt qqlliva~- (pA q)J

68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~

Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas

Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade

geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute

essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode

deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra

o que eacute verdadeiro

Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo

ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute

bom

Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade

ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4

fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A

verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo

prohIma

No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema

procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar

uma incoacutegnita

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica

a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um

princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo

mais simples e jaacute admitida

A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema

a demonstrar

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem

de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema

69

Para que haja coerecircncia no pensar deve-se obedecer trecircs leis do

pensamento

i) Se qualquer proposiccedilatildeo eacute verdadeira entatildeo ela eacute verdadeira isto eacute -1

eacute A (Princiacutepio da Identidade)

ii) A eacute A e eacute impossiacutevel que seja ao mesmo tempo natildeo-A (Princiacutepio da

Contradiccedilatildeot iii) Toda proposiccedilatildeo ou eacute verdadeira ou eacute tagravelsa (Principio do Terceiro

Excluiacutedo)

iY) Dado A necessariamente se daraacute B (Principio da Razatildeo Suticiente f

Podemos ter proposiccedilatildeo simples tais como p Joatildeo eacute filho de

Joseacute q Antoniojoga bola e r Paulo tem tilhos

As proposiccedilotildees simples podem ser ligadas pelos seguintes

conectivos

- nagraveo (- )

- e (

- ou ( v )

- se entatildeo ( -- )

- se e somente se ( - )

Denominam-se proposiccedilotildees compostas agraves proposiccedilotildees formadas

(ou conectadas) por duas ou mais proposiccedilotildees simples

U ma proposiccedilatildeo simples e lima composta pode ser combinada e

disposta na chamada ohd-nnluJe cujo nuacutemero de linhas estaacute em funccedilatildeo do

nuacutemero de proposiccedilotildees simples que a compotildee

Este princiacutepio afirma que uma coisa ou uma ideacuteia que se negam a si mesma se destroacutei a j

mesma - Este princ ipio afirma que tudo o que existe e tudo o que acontece tem uma razatildeo (causa ou

motIacuteo) para existir ou para acontecer e que tal razatildeo pode ser conhecida pela nossa razatildeo

67

li

Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade

Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees

Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)

representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees

Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas

atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos

iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas

tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha

ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando

em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas

Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade

p i li -q P~lI P - ( ~(fl )

I I r v r v I r F I F

r f F V F r

F bull

F bull

r iacute

v I

F I

Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)

Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de

acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que

[p =gt qqlliva~- (pA q)J

68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~

Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas

Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade

geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute

essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode

deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra

o que eacute verdadeiro

Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo

ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute

bom

Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade

ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4

fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A

verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo

prohIma

No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema

procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar

uma incoacutegnita

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica

a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um

princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo

mais simples e jaacute admitida

A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema

a demonstrar

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem

de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema

69

li

Para este trabalho nos interessa as tabelas-verdade

Tabela 1 Caacutelculo das proposiccedilotildees

Os conectivos vistos anteriormente ( V --+ +--+)

representam uma operaccedilatildeo entre proposiccedilotildees

Podemos relacionar duas proposiccedilotildees simples ou compostas

atraveacutes da implicaccedilatildeo ( ) e equivalecircncia ( lt=gt ) Assim temos

iacute ) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p implica uma proposiccedilatildeo q quando em suas

tabelas verdades natildeo ocorrer rF (nesta ordem) numa mesma linha

ii) Diz-se que uma proposiccedilatildeo p eacute equivalente a uma proposiccedilatildeo li quando

em suas tabelas verdades natildeo ocorrer 1Fnem 1Fem suas linhas

Provaremos a seguinte equivalecircncia [p =gt q] lt=gt [~ (PAacute ~ qn Para isso construiacutemos a tabela-verdade

p i li -q P~lI P - ( ~(fl )

I I r v r v I r F I F

r f F V F r

F bull

F bull

r iacute

v I

F I

Tabela 2 Tabela-verdade que comprova a equivalecircncia (1)

Tomando a 41 e 6a colunas nesta ordem cmos que estatildeo de

acordo com o item (ii) acima onde concluiacutemos que

[p =gt qqlliva~- (pA q)J

68 C ICSS( Araccedilatuha 11 3 P (2middot 7igt Jllll 21i(l~

Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas

Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade

geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute

essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode

deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra

o que eacute verdadeiro

Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo

ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute

bom

Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade

ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4

fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A

verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo

prohIma

No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema

procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar

uma incoacutegnita

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica

a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um

princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo

mais simples e jaacute admitida

A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema

a demonstrar

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem

de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema

69

Demonstraccedilotildees Matemaacuteticas

Demonstrar em matemaacutetica eacute deduzir de uma definiccedilatildeo ou verdade

geral mediante um axioma alguma consequumlecircncia necessaacuteria (NERICL 1985)

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica procede sempre por identidade e eacute

essencialmenh dedutiva Difere da simples deduccedilatildeo porque enquanto esta pode

deduzir logicamente o falso aquela (a demonstraccedilatildeo matemaacutetica) soacute demonstra

o que eacute verdadeiro

Outra diferenccedila estaacute em que a simples deduccedilatildeo compreende o verbo

ser exprimindo uma relaccedilatildeo de conveniecircncia ou inconveniecircncia como Pedro eacute

bom

Mas a demonstraccedilatildeo matemaacutetica compreende sempre uma igualdade

ou desigualdade 10 5 5 e 10gt 5 + 4

fIaacute diferenccedila em )ereaee LI eewohiI~ e )erdade LI demonstrar A

verdade a demonstrar eacute expressa pelo teorema e a rerdade a eescohrir pelo

prohIma

No teorema procura-se tomarcvidente uma verdade no prohlema

procura-se tornar evidente uma verdade no prohlema procura-se determinar

uma incoacutegnita

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica divide-se em analiacutetica e sintJtica

a) Demonstraccedilatildeo analiacutetica eacute iI que parle do teorema e sobe a um

princiacutepio Eacute preciso suhir da proposiccedilatildeo a demonstrar a uma proposiccedilatildeo

mais simples e jaacute admitida

A demonstraccedilatildeo analiacutetica por sua vez pode ser positiva ou negativa

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Positiva quando supotildee verdadeiro o teorema

a demonstrar

- Demonstraccedilatildeo Analiacutetica Negativa que pode receber o nome tamheacutem

de demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo ao absurdo quando supotildee o teorema

69

contraditoacuterio ao que vai ser demonstrado o que seria um absurdo

Conclui-se disso pela tagravelsidade do teorema contraditoacuterio e pela verdade

do que se quer demonstrar

b) Demonstraccedilatildeo sinteacutetica eacute a que parte do princiacutepio e desce ao teorema

a ser demonstrado Este processo adapta mais agrave demonstraccedilatildeo

propriamente dita

Loacutegica do Reductio ad Absurdum

o interesse deste trabalho eacute analisar o reductio ael ahsurdwn que

signitica reduzir um raciociacutenio ao absurdo Este procedimento provavelmente foi

L1til izudo pelos pitagoacutericos para demonstrar a irracionalidade da raiz quadrada

de dois Assim se tomarmos duas proposiccedilotildees p e q as quais satildeo conectadas

como

(a)(p-+ q)e

(b) (p ~ q)

e vemos na Tabda 2 que para qualquer proposiccedilatildeo p e q v ( - (p A - q) eacute

igual a -(p ~ q) Em (a) nas demonstraccedilotildees matemaacuteticas temos um teorema

onde p eacute a hipotese e q eacute a tese que se pretende provar Jaacute no item (b) temos a

negaccedilatildeo de uma proposiccedilatildeo composta e eacute nele que encontramos o redudio (fel

ahsurelum A igualdade entre os valores loacutegicos das duas proposiccedilotildees eacute que

nos leva agrave utilizaccedilagraveo da demonstraccedilagraveo de um teorema pelo redllclio ael uhsurdulIl

(para isto nossa atenccedilatildeo seraacute voltada para as duas primeiras linhas da Tabela

2) Utilizamos as demonstraccedilotildees pelo reductio adahmrdum quando as mesmas

exigem apenas duas e somente duas definiccedilotildees distintas tais como provar que

um elemento eacute par (ou iacutempar) provar que um elemento pertence (ou natildeo pertence)

a um conjunto etc

70 iCSSt (I1ssn Araccedilatuha 1 11 ) p 62middot 76 Jun 2005

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica pela reduccedilatildeo ao absurdo segue os

passos

A) Suponha que seja vaacutelido p

B) Suponha que seja vaacutelido -q

C) ltilize as definiccedilotildees e teorias envolvidas e os aplique em -q

D) Encontra-se uma contradiccedilagraveo (ou absurdo) isto eacute uma coisa (ou

elemento) com dois significados distintos ao confontamlOs p com

-q

Veja que desenolvimento interessante a utilizaccedilatildeo de ferramentas

loacutegicas para resolver prohlemas de demonstraccedilagraveo matemaacutetica

A loacutegica do reductio ad ahsurdum tem o seguinte padratildeo

l (p) 1 isto significa que consideramos vaacutelida a hipoacutetese p

ii) v (-q) I ~ aqui negamos a tese e a consideramos vaacutelida

Desenvolvendo -q atraveacutes de axiomas definiccedilotildees e lemas

concluiacutemos uma proposiccedilatildeo r que eacute uma suacutebita negaccedilatildeo da hipoacutetese p ou seja

confrontando r e p onde ( r coincide com - p ) temos uma contradiccedilatildeo ou

choque de declaraccedilotildees e a este fato chamamos de ahsurdo Desta forma

ohtemos que ( p A - q) F o que levaria a l ( -(P A -q ) ) I e pela

Tahela 2 ( I a linha) l ( q ) r Mas isto natildeo pode ocorrer uma cz que

consideramos no item (ii) que (- q) 1 logo li (q) F Assim o ahsurdo

estaacute em considerarmos l (- q) I Portanto pela Tabela 2 a uacutenica situaccedilatildeo

onde teremos (p) ~ I e v (q) r eacute na primeira linha desta tahela onde

l ( -(P A -q)) cc r e v(p -Hj) = r Utilizemos um teorema (que tambeacutem eacute chamado de proposiccedilatildeo)

como exemplo para ilustrar os passos acima e a prova da ilTacionalidade da

raiz quadrada de dois seraacute visto num toacutepico posterior

71

Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par

Prora

Inicialmente consideremos as sentenccedilas

a- e par

a e par

A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se

a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova

utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)

i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)

ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que

pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)

ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +

Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos

(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0

que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar

i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja

l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe

a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos

considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1

Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que

na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par

Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos

algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio

do indiviacuteduo

~ -q 11 nagraveo eacute par

Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI

12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~

A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois

Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os

passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos

i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com

a rh = 2 III (v (- li) = V)

ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(

eacute irredutiacutevel I i (v (p) =

V)

Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q

( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2

bull (2)

concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou

seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)

obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos

que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um

inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos

calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos

I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12

ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a

iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ

(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos

( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)

h

73

que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute

r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja

v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando

que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a

demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional

Conclusatildeo

o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens

relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado

pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar

os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e

tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo

Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas

demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas

definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar

que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc

Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo

ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e

demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo

atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )

acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo

Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois

utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo

No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter

antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na

experiecircncia (BARKER 1976)

74

A demonstraccedilatildeo matemaacutetica pela reduccedilatildeo ao absurdo segue os

passos

A) Suponha que seja vaacutelido p

B) Suponha que seja vaacutelido -q

C) ltilize as definiccedilotildees e teorias envolvidas e os aplique em -q

D) Encontra-se uma contradiccedilagraveo (ou absurdo) isto eacute uma coisa (ou

elemento) com dois significados distintos ao confontamlOs p com

-q

Veja que desenolvimento interessante a utilizaccedilatildeo de ferramentas

loacutegicas para resolver prohlemas de demonstraccedilagraveo matemaacutetica

A loacutegica do reductio ad ahsurdum tem o seguinte padratildeo

l (p) 1 isto significa que consideramos vaacutelida a hipoacutetese p

ii) v (-q) I ~ aqui negamos a tese e a consideramos vaacutelida

Desenvolvendo -q atraveacutes de axiomas definiccedilotildees e lemas

concluiacutemos uma proposiccedilatildeo r que eacute uma suacutebita negaccedilatildeo da hipoacutetese p ou seja

confrontando r e p onde ( r coincide com - p ) temos uma contradiccedilatildeo ou

choque de declaraccedilotildees e a este fato chamamos de ahsurdo Desta forma

ohtemos que ( p A - q) F o que levaria a l ( -(P A -q ) ) I e pela

Tahela 2 ( I a linha) l ( q ) r Mas isto natildeo pode ocorrer uma cz que

consideramos no item (ii) que (- q) 1 logo li (q) F Assim o ahsurdo

estaacute em considerarmos l (- q) I Portanto pela Tabela 2 a uacutenica situaccedilatildeo

onde teremos (p) ~ I e v (q) r eacute na primeira linha desta tahela onde

l ( -(P A -q)) cc r e v(p -Hj) = r Utilizemos um teorema (que tambeacutem eacute chamado de proposiccedilatildeo)

como exemplo para ilustrar os passos acima e a prova da ilTacionalidade da

raiz quadrada de dois seraacute visto num toacutepico posterior

71

Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par

Prora

Inicialmente consideremos as sentenccedilas

a- e par

a e par

A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se

a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova

utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)

i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)

ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que

pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)

ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +

Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos

(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0

que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar

i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja

l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe

a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos

considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1

Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que

na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par

Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos

algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio

do indiviacuteduo

~ -q 11 nagraveo eacute par

Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI

12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~

A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois

Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os

passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos

i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com

a rh = 2 III (v (- li) = V)

ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(

eacute irredutiacutevel I i (v (p) =

V)

Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q

( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2

bull (2)

concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou

seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)

obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos

que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um

inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos

calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos

I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12

ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a

iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ

(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos

( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)

h

73

que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute

r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja

v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando

que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a

demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional

Conclusatildeo

o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens

relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado

pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar

os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e

tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo

Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas

demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas

definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar

que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc

Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo

ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e

demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo

atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )

acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo

Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois

utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo

No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter

antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na

experiecircncia (BARKER 1976)

74

Proposiccedilatildeo 1 Se ( eacute par entatildeo u eacute par

Prora

Inicialmente consideremos as sentenccedilas

a- e par

a e par

A proposiccedilatildeo pode ser escrita na forma p ~ q Por definiccedilatildeo se

a eacute par logo ex iste um inteiro a de tal forma que ( 2 a Para a prova

utilizaremos o reductio cd absurduo ou seja os passos de (A) ateacute (D)

i) Suponhamos que seja vaacutelido a hipoacutetese p ue eacute par (v (p) =c V)

ii) Suponhamos que seja vaacutelido tambeacutem que - q ( nagraveo eacute par o que

pode ser escrito como - q LI eacute impar (l (- li) I)

ii i) Se u eacute impar logo existe um inteiro B tal que ( 2 () +

Lleundo ao quadrado ambtls os lados desta uacuteltima equalCcedilatildeo obtemos

(- = 2 (2(f + B) + Chamando i) =20- + 0

que tambeacutem eacute um inteiro temos que (2 26 + 1 e concluiacutemos r u- eacute iacutempar

i) Onde estaacute o absurdo Em (i) considerados p (2 sendo par ou seja

l (p) e no item (iii) concluiacutemos que r u- eacute impar Eacuteneste ponto que existe

a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute r coincide com - p Assim natildeo podemos

considerar v ( - li) I x bull ou seja l ( - q) F e desta forma l ( li) = 1

Observando a Tabela 2 e considerando que l (p) r vemos que

na 1 linha temos v ( p ~ q) r~ validando a demonstraccedilatildeo P011anto a eacute par

Este tipo de detalhe na demonstraccedilatildeo deve ser feito pelo menos

algumas eles tomando a demonstraccedilatildeo como parte integrante do raciociacutenio

do indiviacuteduo

~ -q 11 nagraveo eacute par

Utilizando o edllcllO ohllsrdwlI

12 CSS( lt1CS( Araalnha ~ 11 r 62 - 76 JUIl 2()(j~

A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois

Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os

passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos

i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com

a rh = 2 III (v (- li) = V)

ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(

eacute irredutiacutevel I i (v (p) =

V)

Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q

( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2

bull (2)

concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou

seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)

obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos

que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um

inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos

calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos

I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12

ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a

iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ

(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos

( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)

h

73

que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute

r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja

v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando

que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a

demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional

Conclusatildeo

o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens

relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado

pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar

os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e

tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo

Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas

demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas

definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar

que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc

Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo

ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e

demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo

atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )

acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo

Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois

utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo

No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter

antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na

experiecircncia (BARKER 1976)

74

A Prova da Irracionalidade da Raiz Quadrada de Dois

Consideremos a sentenccedila q fi eacute irracional Utilizando os

passos de (A) ateacute (D) vistos acima temos

i) Suponhamos que seja vaacutelido que - q fi eacute racional com

a rh = 2 III (v (- li) = V)

ii) Suponhamos tambeacutem que seja vaacutelido p h(

eacute irredutiacutevel I i (v (p) =

V)

Construiacutemos assim a seguinte proposiccedilatildeo composta p A - q

( r iii) Tomando h 2 logo a=fih gt (c = h2

bull (2)

concluiacutemos que ([c eacute par Pela Proposiccedilatildeo 1 (demonstrada acima) a eacute par ou

seja existe um inteiro a tal que a =2 a Substituindo este resultado em (2)

obtemos (2u) 2h =gt h= fi de onde concluiacutemos

que J2 eacute par Mais uma vez pela Proposiccedilatildeo 1 h eacute par ou seja existe um

inteiro fgt tal que h 2B Obtivemos que LI = (1 e h = B assim podemos

calcular lide( ( h) lide( 2u 2B) Pela Proposiccedilatildeo (n~r apecircndice) temos

I1dc(2rL2p) I11dc(CLI~) Com isso concluiacutemos que mdc(ah) 2 c 12

ou seja mdc (ah) eacute par e tambeacutem mdca h) 1= I a

iv) Onde estaacute o absurdo Em (ii) consideradosp h eacute irredutiacuteveJ

(ver Definiccedilatildeo no apecircndice) ou seja l (p) = r e no item (iii) concluiacutemos

( e h sagraveo inteiros II No apecircndice encontramos a definiccedilatildeo de irredutiacuteel I C mJc(u P) II p ~ eacute irreditiacuteeL logo a e h sagraveo primos entre si ou seja mdera h)

h

73

que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute

r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja

v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando

que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a

demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional

Conclusatildeo

o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens

relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado

pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar

os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e

tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo

Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas

demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas

definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar

que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc

Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo

ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e

demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo

atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )

acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo

Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois

utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo

No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter

antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na

experiecircncia (BARKER 1976)

74

que r mdc( a h) f I Eacute neste ponto que existe a contradiccedilatildeo ou absurdo isto eacute

r coincide com - p Assim natildeo podemos considerar v ( - q) = V ou seja

v ( - q) = F e desta forma v ( q) = V Observando a Tabela 2 e considerando

que l (p ) = T vemos que a 1 a linha temos li ( - (p A - q) ) = I validando a

demonstraccedilatildeo Portanto fi eacute irracional

Conclusatildeo

o tema tratado neste trabalho eacute o foco de inuacutemeras abordagens

relacionadas agrave loacutegica Um panorama do iniacutecio do estudo da loacutegica realizado

pelos Babilocircnicos ft)i incluiacutedo para melhor situar o leitor e motivaacute-lo a vislumbrar

os toacutepicos seguintes Esta teoria subsequumlente teve o objetivo de compor e

tpta() IL1Cic bJic() cr)nheCIlI f-~ntDclacllapri()ri dectda indiviacuteduo

Ressaltamos em quais situaccedilotildees usamos a redwilo ao absurdo nas

demonstraccedilotildees isto eacute quando estas exigem apenas duas e somente duas

definiccedilotildees distintas tais como provar que um elemento eacute par (ou iacutempar) provar

que UIll elemento pertence (ou natildeo pertence) a um conjunto etc

Para damlos suporte teoacuterico agrave loacutegica da demonstraccedilatildeo pela reduccedilatildeo

ao absurdo introduzi mos algumas noccedilotildees baacutesicas da loacutegica formal e

demonstraccedilotildees matemaacuteticas Discutimos a loacutegica da referida demonstraccedilatildeo

atraveacutes de um roteiro contendo quatro principais passos onde destacamos )

acircmago e a beleza desta demonstraccedilatildeo

Finalmente provamos a irracionalidade da raiz quadrada de dois

utilizando a loacutegica da rcduccedilatildeo ao absurdo e com isto concebemos a conexagraveo

No que se refen ao conhecimento a expressatildeou plllilF significa passiacutevel de obter

antes da experiecircncia Jaacute o termo empiacuterico (ou u posleriiiri) signi fica baseado na

experiecircncia (BARKER 1976)

74

das infornlaccedilotildees histoacutericas relacionadas aos pitagoacutericos com a fundamentaccedilatildeo

moderna da loacutegica para resolvennos problemas de demonstraccedilatildeo matemaacutetica

Deixamos evidenciada a diferenccedila entre o resultado e o raciociacutenio

da demonstraccedilatildeo de um teorema pois nosso interesse eacute o raciociacutenio da

demonstraccedilatildeo ou seja desejamos responder agrave pergunta como faccedilo para

demonstrar um cel10 teorema e com esta divisatildeo libe11amos nossa mente de

questotildees tais como onde utilizo este teorema (resultado) Oll como utilizo

este teorema (resultado )

L1l1 estudo detalhado sobre a grande impOl1Uacutencia do resultado do

10r111 ltI plhk sr tito posteriormente este aspedo podemos estudar o estilo

do raciodnio para se prOar um teorema uti lizando aacuterios outros teorema ou

lemas l

Apecircndice

Na Proposiccedilatildeo 2 abaixo omitiremos a demonstraccedilatildeo uma cz que

a mesma pode ser encontrada em MILlES e COELHO (1997)

Definiccedilatildeo I

Chama-se lIluacuteximo dhisor comum de ( e h ) maior de seus

diisores comuns

Definiccedilatildeo 2

Dois inteiros LI e h dizem-se rcuinll1lel1le primos se mdc (U hj

1

Proposiccedilatildeo 2

Sejam a h inteiros d mdc (a h) e c um inteiro arbitraacuterio entatildeo

mec (Uc hc) dmiddot C ccc

l Por exemplo as dependecircncias loacutegicas das proposiccedilotildees de Euclides (GRANGER 1974 l

75

~~~~_~------------------------

VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical

logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo

e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005

Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy

stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy

ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It

suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who

cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is

commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven

hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad

absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy

cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy

dum ofirrationality o1the square ro01 of2

Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy

stratilll1

Referecircncias Bibliograacuteficas

BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976

BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982

GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974

MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo

Pau lo Fclusp 1997

NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985

SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982

76

VENEZUELA Antonio Luiz PALUDETTO Tacircnia Regina The mathematical

logic by l11eans ofrcduction to absurdity Avesso do Avesso Revista Educaccedilatildeo

e Cultura Araccedilatuba v3 n3 p 62 - 76 jun 2005

Abstractlhe texl analyzes lhe logic that estahlishes the mathel11atical demonshy

stmtion hy means ofthe reduction to absurdity It rescues historical points initishy

ated by the Babylonians and Iacutets domains ofthe whole and mtional numhers It

suggests a possihle inl1uence ofthe Bahylonians oveI the Pythagoreans who

cultivated a secre sect lhe appearance 01 a crisis al110ng the Pythagoreans is

commented 10r the fact ofthe irrationalityofthe square root of heing proven

hy lheir members heing used exaclly ofthe reduction to ahsurdity (reductio ad

absurdum) lt also approaches lhe tltmnallogic reasoning style in the mathematishy

cal demonstrations and the demonstration itsdt hy mcans ofrccluctio ad ahsurshy

dum ofirrationality o1the square ro01 of2

Ke~ ords mathematicallogic reduction to absurdity mathematical clemonshy

stratilll1

Referecircncias Bibliograacuteficas

BARKFR FB Filosofia da Matemaacutetica Rio de Janeiro Zahar J976

BOYER cB Histoacuteria da Matemaacutetica Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher 1974

DOMINGUES HH IEZZI G Aacutelgebra moderna Satildeo Paulo AluaI 1982

GRANGER GG Filosofia do estilo Satildeo Paulo Edusp 1974

MILlES C P COELHO S P ~uacutemeros Uma introduccedilatildeo agrave ~latemaacutetica Satildeo

Pau lo Fclusp 1997

NERICL Iei Introduccedilatildeo agrave loacutegica Satildeo Paulo Nobel 1985

SAGAN C Cosmos Rio de Janeiro FranciscoAlvcs 1982

76