A Hipótsese de Louis de Broglie

7/24/2019 A Hiptsese de Louis de Broglie

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Grupo de Ensino de Fsica da Universidade Federal de Santa Maria

O Eltron como Onda

Em 1924, de Broglie sugeriu a hiptese de que os eltrons poderiamapresentar propriedades ondulatrias alm das suas propriedades corpusculares jbem conhecidas. Esta hiptese se justificava por uma questo de simetria, j que aradiao eletromagntica apresentava, em certos fenmenos, propriedadesondulatrias e, em outros fenmenos, propriedades corpusculares. Se a hiptese dede Broglie fosse verdadeira, experimentos de interferncia e difrao poderiam serrealizados com eltrons. Em 1927, Davisson e Germer mostraram experimentalmenteque a intensidade de um feixe de eltrons espalhados apresentava o padro demximos e mnimos tpico do fenmeno da difrao.

Difrao de Bragg

Numa rede cristalina, os tomos esto regularmente espaados a distncias da

ordem de 1010m (Fig.1). Esses tomos podem servir de centros espalhadores para

raios x e raios , que so radiaes eletromagnticas com comprimentos de onda da

mesma ordem de grandeza dessas distncias.

Quando um cristal atravessado por raios x ou raios , os raios espalhadostm um padro de intensidade que depende da interferncia das ondas espalhadasem cada tomo do cristal e de um fator caracterstico dos tomos. Num cristal formadopor vrios tipos de tomos, cada tipo contribui diferentemente para o espalhamento.

Para concretizar a discusso, vamos considerar um cristal cbico formado portomos de um nico tipo e com um tomo em cada vrtice da estrutura cristalina(Fig.2). Nesta figura, representamos a interseo do cristal com o plano da pgina. Os

tomos da estrutura cristalina definem uma srie de conjuntos de planos paralelosigualmente espaados. Na Fig.2, representamos apenas trs conjuntos de planos.


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Agora, consideremos uma onda plana, de comprimento de onda , incidentesobre um conjunto de planos paralelos separados de uma distncia d (Fig.3). Nestafigura, representamos os raios incidentes R1 e R2, associados onda plana emquesto, os planos AA e BB, pertencentes ao conjunto de planos considerados, e o

ngulo entre cada raio da onda plana e cada plano do conjunto considerado.

As ondas espalhadas interferem construtivamente, produzindo um mximo deintensidade na direo dos raios difratados R1 e R2, desde que sua diferena depercurso seja igual a um nmero inteiro de comprimentos de onda:

2d sen = n ( n = 1, 2, 3, ... )

Esta a expresso matemtica da lei de Bragg. Os valores de n esto

limitados pela condio sen 1.

Embora o argumento tenha sido levado a cabo com os planos AA e BB, todosos outros planos do conjunto de planos paralelos considerado tambm contribuem,dando lugar a um mximo muito intenso.

Para radiaes com um dado comprimento de onda e para um dado conjunto

de planos paralelos, isto , para uma dada distncia d, a variao do ngulo produzdirees alternadas de mximos e mnimos de intensidade para a radiao espalhada,correspondentes, respectivamente, interferncia construtiva e interfernciadestrutiva (Fig.4).


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Experimento de Davisson e Germer

O experimento de Davisson e Germer mostra, para os eltrons, umcomportamento tpico de ondas. Nesse experimento, o filamento A, mantido a alta

temperatura pela corrente gerada pela diferena de potencial V1, emite eltrons(emisso termoinica). Esses eltrons so acelerados desde o filamento A at a placa

colimadora B pela diferena de potencial V2(Fig.5). Passando pela placa colimadora,os eltrons, formando agora um feixe estreito, incidem sobre um cristal e sodispersados.

Um detector permite medir a intensidade do feixe de eltrons dispersados em

funo do ngulo = 2, para diferentes valores da diferena de potencial V2, isto ,para diferentes energias dos eltrons incidentes no cristal.

A Fig.6 representa um diagrama polar da distribuio da intensidade de um

feixe de eltrons com energia de 60 eV, dispersado por um cristal de nquel. Pelafigura, podemos observar que a intensidade do feixe de eltrons dispersados tem um

mximo para 2= 50 ou = 25.

A Fig.7 mostra os resultados de experimentos nos quais a intensidade foi

medida para um dado ngulo , mas com valores diferentes para a diferena depotencial aceleradora. No eixo das abcissas, colocamos a raiz quadrada dessadiferena de potencial para que os mximos e mnimos de intensidade ficassem maisou menos a mesma distncia uns dos outros.

Os resultados apresentados nas duas figuras so tpicos da distribuio de

intensidades da disperso de ondas. Mximos e mnimos de difrao iguais a esses


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aparecem nos experimentos de Bragg, em que raios x e raios so espalhados pelostomos que constituem um cristal.

No experimento de Davisson e Germer, os eltrons difratados so observadoscom a mesma geometria dos experimentos de difrao de Bragg com raios x.Verificamos, ento, que a corrente de eltrons registrada pelo detector mxima todavez que satisfeita a condio de Bragg. Portanto, o experimento de Davisson eGermer mostra, para os eltrons, um comportamento tpico das ondas.

Relaes de de Broglie

Para os ftons, a freqncia , a energia E, o comprimento de onda e omdulo da quantidade de movimento p tm as seguintes relaes:

h

E=

e

p

h=

A segunda expresso vem da primeira porque, para os ftons, valem, tambm,

as relaes E = pc e = c.

J que os eltrons, assim como os ftons, tm comportamento de onda e departcula, de se esperar que os eltrons, quando se comportam como ondas, tenhamfreqncias e comprimentos de onda dados pelas mesmas expresses acima. Estasrelaes, quando aplicadas aos eltrons, chamam-se relaes de de Broglie. Naverdade, aplicam-se a quaisquer corpos, quer sejam microscpicos, quer sejam

macroscpicos. Mas, para corpos macroscpicos, o comprimento de onda de deBroglie est alm de qualquer possibilidade de observao ou medida.

Por exemplo, para um corpo com massa de 1 kg, que se move com umavelocidade de mdulo 1 m/s, temos:

m1063,6)s/m1(kg1

Js1063,6 3434

=

=

No possvel observar o comportamento ondulatrio de tal corpo, porexemplo, por interferncia ou difrao, j que no existe qualquer abertura ou

obstculo dessa ordem de grandeza. Os ncleos atmicos, que so os menoresobstculos que poderiam ser usados, tm dimetros da ordem de 1015m.

Exerccio 1

Calcule o comprimento de onda dos eltrons usados no experimento deDavisson e Germer, sabendo que tinham uma energia de 54 eV.

Exerccio 2

Compare o comprimento de onda de um fton com energia de 10 MeV com ocomprimento de onda de um eltron livre com energia cintica do mesmo valor.


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Exerccio 3

Um microscpio eletrnico opera com eltrons de 12 keV e pode resolverestruturas com dimenses tpicas de pelo menos 15 vezes o comprimento de onda dede Broglie do eltron. (a) Calcule as dimenses tpicas da menor estrutura que podeser resolvida por esse microscpio eletrnico. (b) Identifique algumas estruturas comtais dimenses.

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