a e Chuvas Intensas

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Hidrologia AplicadaMétodos Estatísticos

eChuvas Intensas

Prof. Flávio Dau1ºSem / 2009

Freqüência de Totais Precipitados

O conhecimento das características das precipitações apresenta grande interesse de ordem técnica por sua freqüente aplicação nos projetos hidráulicos.Nos projetos de obras hidráulicas, as dimensões são determinadas em função de considerações de ordem econômica, portanto, corre-se o risco de que a estrutura venha a falhar durante a sua vida útil. É necessário, então, se conhecer este risco.

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Para isso analisam-se estatisticamente as observações realizadas nos postos hidrométricos, verificando-se com que freqüência elas assumiram cada magnitude. Em seguida, pode-se avaliar as probabilidadesteóricas. O objetivo deste estudo é, portanto, associar a magnitude do evento com a sua freqüência de ocorrência. Isto é básico para o dimensionamento de estruturas hidráulicas em função da segurança que as mesmas devam ter.


A freqüência pode ser definida por:

Os valores amostrais (experimentais) FOs valores da população (universo) P

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A freqüência é uma estimativa da probabilidade e, de um modo geral, será mais utilizada quanto maior for o número de ocorrência. Para se estimar a freqüência para os valores máximos, os dados observados devem ser classificados em ordem decrescente e a cada um atribui-se o seu número de ordem. Para valores mínimos, fazer o inverso.


A freqüência com que foi igualado ou superado um evento de ordem m é:

que são denominados Métodos da Califórnia e de Kimbal, respectivamente. Nas expressões, n é o número de anos de observação.

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Considerando a freqüência como uma boa estimativa da probabilidade teórica (P) e definindo o tempo de recorrência ou período de retorno (T) como sendo o período de tempo médio (medido em anos) em que um determinado evento deve ser igualado ou superado pelo menos uma vez, tem-se a seguinte relação:


Inversamente, a probabilidade de NÃO ser igualado ou de não ocorrer é P’ = 1 - P, isso porque as únicas possibilidades são de que ele ocorra ou não dentro de um ano qualquer e assim:

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Considere os seguintes valores: 45, 90, 35, 25, 20, 50, 60, 65, 70, 80. As freqüências observadas para estes valores estão apresentadas na tabelaseguinte.


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Com os dados desta tabela pode-se fazer várias observações:- considerando Kimbal, podemos concluir que a probabilidade (freqüência) de ocorrer uma precipitação maior ou igual a 90 mm.dia-1 é de 9,0% e que, em média, ela ocorre uma vez a cada 11,1 anos;- a probabilidade (freqüência) de ocorrer um valor de precipitação menor que 60 mm.dia-1 é de 55,0%.


Para períodos de recorrência bem menores que o número de anos de observação, o valor encontrado para F pode dar um boa idéia do valor real de P, mas para grandes períodos de recorrência , a repartição de freqüências deve ser ajustada a uma lei de probabilidade teórica de modo a permitir um cálculo mais correto da probabilidade.

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Séries Históricas

As séries originais possuem todos os dados registrados. Se os eventos extremos são de maior interesse, então o valor máximo do evento em cada ano é selecionado e assim é ordenada uma série de amostras. Essa série é denominada série de máximos anuais.

Séries Históricas

Em outros estudos, em que apenas interessam valores superiores a um certo nível, toma-se um valor de precipitação intensa como valor base e assim todos os valores superiores são ordenados numa série chamada série de duração parcial ou simplesmente série parcial. E ainda existem as séries de totais anuais, onde são somadas todas as precipitações ocorridas durante o ano em determinado posto pluviométrico.

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Séries Históricas

Ex.: precipitação diária: 30 anos de observação.

- série original: 30 * 365 = 10.950 valores;- série anual: 30 valores (máximos ou mínimos);- série parcial:

a) deve-se estabelecer um valor de referência: precipitações acima de 50 mm/dia;

b) série constituída dos n (número de anos) maiores valores (máx.) ou menores (min) valores.

Freqüência versus Valor

A distribuição geral que associa a freqüência a um valor (magnitude) é atribuída a Ven te Chow:

PT = valor da variável (precipitação) associado à freqüência T;P = média aritmética da amostra;S = desvio padrão da amostra; eKT = coeficiente de freqüência. É função de dois fatores: T e dadistribuição de probabilidade.

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Freqüência versus Valor

Em se tratando de séries de totais anuais, é comum se utilizar a distribuição de Gauss (normal), e para séries de valores extremos anuais, a distribuição de Gumbel fornece melhores resultados e é de uso generalizado em hidrologia.

Distribuição Normal ou de Gauss

É uma distribuição simétrica, sendo empregada para condições aleatórias como as precipitações totais anuais. Ao contrário, as precipitações máximas e mínimas seguem distribuições assimétricas.

Algumas propriedades importantes da distribuição normal:

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Se “x” é uma variável aleatória contínua, dizemos que “x” tem uma distribuição normal se sua função densidade de probabilidade é dada por:


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OBS.- Esta integral não tem solução analítica. Para seu cálculo pode-se utilizar tabelas estatísticas que fornece P(z) em função da área sob a curva normal de distribuição e o valor de Z.- A função probabilidade é tabelada para associar a variável reduzida e freqüência.- Na distribuição normal se trabalha com valores ordenados na ordem crescente;- O cálculo de T se faz por 1/P=1/F para F<0,5 (mínimo) e por 1/(1-P) = 1/(1-F) para F >= 0,5 (máximo).

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Problemas:a) conhecida a freqüência, estimar o valor da variável a ela associada; eb) conhecido o valor, estimar a freqüência.


Problemas:a) conhecida a freqüência, estimar o valor da variável a ela associada; eb) conhecido o valor, estimar a freqüência.

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Exemplo:

Uma bacia hidrográfica recebe chuvas anuais com distribuição aproximadamente normal. A análise de 20 anos de dados de chuvas revelou que a precipitação média anual é de 1.900mm e que o desvio padrão é de 450mm.Qual a probabilidade de ocorrer uma chuva anual que seja superior ou igual a 700mm ?


A função reduzida Z será:

2,67- 450

1.900 - 700

P - PZ ===

σ

Utilizando a tabela onde temos, para a Distribuição Normal, os valores das probabilidades de Z ≤ -2,67 obtemos:

P = 0,0038

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Portanto, a probabilidade de Z ≥ -2,67 será:

P = 1 – 0,038 = 0,9962 ou seja 99,62%

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Risco

Dentro deste estudo, uma outra possibilidade a considerar é a de que um certo fenômeno se repita ou não com certa intensidade pelo menos uma vez, porém dentro de N anos. Esse tipo de estudo é particularmente importante quando se analisam eventos (chuvas máximas, enchentes, etc.) para dimensionamento de estruturas hidráulicas de proteção. Neste caso, o valor de T (período de retorno) corresponde a um valor extremo da série anual. Nesses projetos são também considerados fatores econômicos e a ociosidade da estrutura se for superdimensionada. Por isso, um critério para a escolha de T é baseado no chamado risco permissível ou o risco que se quer aceitar para o caso de ruptura ou falha da estrutura.

Risco

A probabilidade de que uma precipitação extrema de certa intensidade seja igualada ou superada uma vez dentro de um ano é:

A probabilidade de não ser superada é:

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Risco

A probabilidade de não ocorrer um valor igual ou maior (ou de não ser superada) dentro de N quaisquer anos é:

J = PŃ ou J = (1− P)N

Por outro lado, a probabilidade de ser superada pelo menos uma vez dentro de N anos é:

J = 1− PŃ ou J = 1− (1− P)N

e portanto:

P = 1− (1− J)1/N

A probabilidade de não ocorrer um valor igual ou maior (ou de não ser superada) dentro de N quaisquer anos é:

J = PŃ ou J = (1− P)N

Por outro lado, a probabilidade de ser superada pelo menos uma vez dentro de N anos é:

J = 1− PŃ ou J = 1− (1− P)N

e portanto:

P = 1− (1− J)1/N

em que: J é denominado o índice de risco.Em outras palavras (J) é a probabilidade de ocorrência de um valor extremo durante N anos de vida útil da estrutura.

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Exemplo:

1) Uma precipitação elevada tem um tempo de recorrência de 5 anos.

a) Qual a sua probabilidade de ocorrência no próximo ano?

Exemplo:



P = 1/T = 1/5 = 0,20 ou 20%

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Exemplo:



P = 1/T = 1/5 = 0,20 ou 20%

b) Qual a sua probabilidade de ocorrência nos próximos três anos com um risco de 20,0%?

Exemplo:



P = 1/T = 1/5 = 0,20 ou 20%

b) Qual a sua probabilidade de ocorrência nos próximos três anos com um risco de 20,0%?

n = 3; J =0,20 P = 1 - (1 - 0,20)3 = 0,488 ou 48,8%

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Exemplo:

2) No projeto de uma estrutura de proteção contra enchentes deseja-se correr um risco de ruptura de 22% para uma vida útil de 50 anos. Qual o período de retorno para o valor de enchente em média esperado?

Exemplo:


J = 22%N = 50 anosP = 1 – (1 – J) 1/N

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Exemplo:


A probabilidade de ocorrer a ruptura da obra com um risco de 22% para uma vida útil de 50 anos será de 0,50% (0,4957%).

O tempo de retorno para esta ocorrência de enchente será de 201,73 anos.

Análise das Chuvas Intensas

Para projetos de obras hidráulicas, tais como vertedores de barragens, sistemas de drenagem, galerias pluviais, dimensionamento de bueiros, conservação de solos, etc., é de fundamental importância se conhecer as grandezas que caracterizam as precipitações máximas: intensidade, duração e freqüência.

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As equações de chuva intensa podem ser expressas matematicamente por equações da seguinte forma:

em que:i é a intensidade máxima média para a duração t, b; eX e c são parâmetros a determinar.Alguns autores procuram relacionar X com o período de retorno T, por meio de uma equação do tipo C = KTa, que substituída na equação anterior:


Equações de chuva para algumas cidades brasileiras:

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Análise das Chuvas IntensasEquações de chuva para algumas cidades brasileiras:

Florianópolis

Porto Alegre

b

0,052

t) (12

Tr 1265,67 i

+=

0,05Tr

0,88 b =


Hietograma Triangular

Altura total da precipitada (P) duração da chuva (t).

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Para determinação do instante de ocorrência do pico do hietograma é necessário conhecer o coeficiente de avanço da tormenta “r”, que relaciona o intervalo de tempo necessário para ocorrência do pico (ta) com, a duração total da chuva (tempo de base do hietograma triangular, (Td).

Tal coeficiente e variável de local para local, e portanto depende observações na faixa de 0,30 a 0,50.



Exemplo

Considere-se uma precipitação de 30mm, com duração de 15min e r = 0,38.

A intensidade da precipitação será:

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O tempo decorrido até o pico é:

O tempo de recessão é:

O ietograma resultante esta no slide seguinte.



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Método dos Blocos Alternados

Trata-se de uma solução simples desprovida de relação com fenômeno físico, que caracteriza uma condição crítica. Procedimento: - Seleciona-se a duração da tormenta (ta) e o intervalo de discretização (∆t); - Através da curva IDF, obtém-se a intensidade chuva para cada duração. - As intensidades são transformadas em alturas de chuvas; -Calcula-se o incremento do total precipitado acumulado; -- Os incrementos são remanejados numa seqüência tal que, no centro da duração da tormenta, situa-se o bloco maior e em seguida os demais blocos dispostos em ordem decrescente, um à direita e outra a esquerda do bloco maior.


Diagrama de Blocos Alternados

Exemplo

Obter o hietograma de Blocos Alternados para uma precipitação ocorrida na cidade de São Paulo, para um tempo de retorno de 100anos e com duração de 2 horas; discretizado em intervalos de 10 minutos.Montamos uma tabela onde inicialmente criamos as colunas Duraçãode precipitação (min) e Intensidade (mm/h).

A intensidade é calculada par cada incremento de tempo empregando a equação de Wilken para São Paulo apresentada abaixo.

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Análise das Chuvas IntensasDiagrama de Blocos Alternados

47,568120

51,266110

55,577100

60,66990

66,77380

74,22270

83,51360

95,44250

111,22840

133,20230

165,80020

219,09710

(mm/h) (mm)

IntensidadeDuração

A seguir calculamos as alturas precipitadas acumuladas em cada intervalo, considerando a intensidade constante no intervalo, e após estabelecemos os incrementos em cada intervalo de tempo considerado.



Agora rearranjamos os valores incrementos nos intervalos de tempo a partir do maior valor, a ser colocado no intervalo central, e os demais valores dos incrementos alternadamente acima e abaixo do intervalo anterior.

110 -1201,14895,1362,00047,568120

100 - 1101,35993,9881,83351,266110

90 - 1001,62592,6281,66755,577100

80 - 901,97391,0041,50060,66990

70 - 802,43889,0311,33366,77380

60 - 703,07986,5921,16774,22270

50 - 603,97883,5131,00083,51360

40 - 505,38379,5350,83395,44250

30 - 407,55174,1520,667111,22840

20 -3011,33466,6010,500133,20230

10 -2018,75155,2670,333165,80020

0 - 1036,51636,5160,167219,09710

(min)(mm)(mm/h)(h)(mm/h) (mm)

IntervalosIncrementosPrecipitaçãoDuraçãoIntensidadeDuração

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Análise das Chuvas IntensasDiagrama de Blocos Alternados

Com os valores obtidos traçamos o Diagrama de blocos alternados buscado.

1,148110 -1201,148

1,625100 - 1101,359

2,43890 - 1001,625

3,97880 - 901,973

7,55170 - 802,438

18,75160 - 703,079

36,51650 - 603,978

11,33440 - 505,383

5,38330 - 407,551

3,07920 -3011,334

1,97310 -2018,751

1,3590 - 1036,516

(mm/h)(min)(mm)

PrecipitaçãoIntervalosIncrementos



O volume total precipitado é a soma das precipitações em cada intervalo, portanto corresponde a 95,136 mm.

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Exercícios de aplicação :

Uma série histórica com totais anuais de precipitação contém 20 anos de observação; a média é de 1.200,0 mm e o desvio-padrão é de 114,9 mm. Pede-se:

a)Qual o valor de precipitação associado a um período de retorno de 75 anos?

b)Qual o período de retorno associado a uma precipitação de 1.400 mm?


Exercícios de aplicação :

Determinar a intensidade média de uma chuva para a cidade de São Paulo, com duração 25 minutos e período de retorno 5 anos.

Estabelecer a relação entre as durações de duas chuvas de intensidade média igual a 100 mm/h, uma com período de retorno de 10 anos e a outra com período de retorno igual a 50 anos, em Belo Horizonte.

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Exercícios:

Uma série histórica com totais anuais de precipitação contém 20 anos de observação; a média é de 1.200,0 mm e o desvio-padrão é de 114,9 mm. Pede-se:

a)Qual o valor de precipitação associado a um período de retorno de 75 anos?

b)Qual o período de retorno associado a uma precipitação de 1.400 mm?

Exercício:

As curvas I-D-F para Porto Alegre seguem a seguinte equação analítica:

b

0,052

t) (12

Tr 1265,67 i

+= 0,05Tr

0,88 b =

Os registros existentes indicam para a região um coeficiente de pico(r) de 0,45.Com estas informações traça os hietogramas Triangular e de Blocos Alternados para uma chuva com três horas de duração e tempo de retorno de trinta anos, para intervalos de trinta minutos. Identifica o intervalo horário em que a intensidade é maior e o valor desta intensidade em mm/h. Determina qual o volume total precipitado expresso em mm de chuva.

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FIM

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