-9a -

9) TAREFA PARA O LAR – 1① Como surgiu a Resistência dos Materiais?

R-) A RESMAT surgiu do estudo Das estruturas (casas, pontes , torres, veículos, etc).

② Se uma viga for submetida a um ou vários esforços, o que a RESMAT procurará determinar?

R-) A RESMAT determinará esses esforços e a lei de deformação dessa viga, quais deformações acontecerão e, se o

material utilizado no suporte, associados às suas dimensões, a estrutura ou resiste às solicitações oju se rompe.

③ A quem se deve o estudo sistematizado (organizado e escrito) da RESMAT e quem era ele?

R-) Galileu Galilei, físico italiano (1.564 - 1.642)

④ Quais os objetivos principais da RESMAT que serão estudados neste curso?

R-) 1- Estudo das estruturas que podem ser associadas a uma barra de eixo retilíneo.

2- Estudo das estruturas que obedecem a Lei de Hooke.

3- Situações de pequenas deformações.

⑤ Quais são as 4 equações (Leis) que uma estrutura deve obedecer para estar em

Equilíbrio Estático e o que significa cada um de seus elementos nas equações ?

R-) Leis (ou equações) da Estática: Σ FH = 0 (somatório das forças horizontais nulo).

Σ FV = 0 (somatório das forças verticais nulo).

Σ MF = 0 (somatório dos momentos fletores nulo).

⑥ Um automóvel, hipoteticamente, está viajando numa estrada totalmente reta com velocidade

constante. Esse veículo está em equilíbrio estático, em equilíbrio dinâmico ou não está em equilíbrio? E

se a velocidade não for constante?

R-) Se a velocidade é constante, o veículo está em equilíbrio dinâmico.

Se a velocidade não é constante, o veículo não está em equilíbrio.

⑦ Determine as reações na viga: Desenho esquemático

F2=4 tf carga distribuída de 4,2 tf/m F2=4 tf F3= 4,2x3,6 = 15,12 kgf

F1=3 tf HC = ?

F1=3 tf

RB =? 1,8 m RC = ?

0,8 m 3,6 m

0,8m 3,6 m A B C

A B C

-10a-

1ª condição de equilíbrio estático e cálculos: Σ FH = 0

HC – F1 = 0 à HC = 3 tf ( 1 )

2ª condição de equilíbrio estático e cálculos: Σ FV = 0 à RB + RC - F2 – F3 = 0

RB + RC = 4 + 15,12 à RB + RC = 19,2 tf ( 2 )

Convenção do sinal do momento fletor (positivo no sentido horário): M+

3ª condição de equilíbrio estático e cálculos: ( Aplique momentos de flexão no ponto C )

Σ MFc = 0 à RB . 3,6 + RC . 0 – F2 . 4,4 – 15,12 .1,8 = 0

RB . 3,6 + 0 - 4 . 4,4 – 27,22 = 0 à 3,6 . RB = 44,82 à RB = 12,5 tf ( 3 )

( 3 ) em ( 2 ) à 12,5 + RC = 19,12 à RC = 6,62 tf ( 4 )

R-) RB = 12,5 tf ; RC = 6,62 tf ; HC = 3 tf

⑧ Determine as reações da viga a seguir: Só há um apoio em D que é um engastamento (encaixe)

F2 = 830 kgf 1.200 kgf/m

F1 = 340 kgf

engastamento

1,2 m 1,4 m 0,8 m

A B C D

F2 = 830 kgf F3 = 1.200 x 1,4 = 1.680 kgf

F1=340kgf R1 = ? R1 = ?

1,2 m 0,7 m 0,7m 0,8 m R2 = ? < MR

1,4 m Momento resistente

1,5m

3,4m

A B C D

Σ FH = 0 à R1 - F1 = 0 à R1 = 340 kgf ( 1 )

Σ FV = 0 à R2 - F2 – F3 = 0 à R2 - 830 – 1.680 = 0 à R2 = 2.510 kgf ( 2 )

Σ MF = 0 à MR – 830 . 3,4 - 1680 . 1,5 = 0 à MR – 2.822 - 2.520 = 0 à MR = 5.342 kgf . m (3)

Resp: R1 = 340 kgf ; R2 = 2.510 kgf ; MR = 5.342 kgf . m

-23-

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1

5º TERMO – 3ª SEMANA DE AULA – 1ª AULA:

____ /___ /2013

“Todas as estruturas se deformam”

18- LEI DE HOOKE - DEFORMAÇÃO UNITÁRIA (ɛ) - MÓDULO DE POISON (µ) - MÓDUL0 DE YOUNG (E)

Cada material deforma-se de uma maneira diferente que outro material ao sofrer esforços.

Usaremos a seguinte premissa no nosso estudo:

“A deformação que cada material apresenta quando sofre tração ou compressão, é quantitativamente igual.”

Quando nos referimos a corpos sofrendo compressão, trata-se de coro de pequena altura. Caso contrário, se fosse de grande

altura, haveria uma interferência chamada flambagem que altera os resultados. Exemplo:

F F

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Compressão sem flambagem compressão com flambagem

19- A LEI DE HOOKE

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ʖ ʖ L1 L2

∆L1

P Fig. ①

∆L2

P Fig. ②

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1- Sejam, por exemplo, 2 pedaços de elástico Fig.① e Fig. ②: um com 2cm de comprimento e outro com 10 cm (5 x 2

cm). Aplicando a mesma tração nos 2, notamos que o alongamento no maior é igual a 5 vezes o alongamento do menor (10 : 2).

Generalizando, temos:

Se L2 = n x L1 , então L2 = n x L1

Conclusão: A deformação x1 (em cm, por exemplo), não é característica do material, porém, o quociente (resultado da divisão)

de cada deformação pelo seu comprimento original, será sempre o mesmo nº, isto é, a relação x1/L é uma característica do

material elástico.

Chamaremos x1/L de ɛ e seu nome é deformação unitária. Assim: deformação unitária = ɛ = x1 /L

,2- Sejam, agora, 2 elástico de mesmo comprimento e do mesmo material, mas com espessuras diferentes: um mais grosso

(seção S1) e outro mais fino (seção S2) e apliquemos a mesma força P aos 2 materiais (Fig.③ e Fig.④)

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ʖ ʖ S1 L1 S2

L2

L1

P Fig. ③

L2

Fig. ④

P

O mesmo material elástico sofre deformações diferentes porque as suas espessuras são diferentes. Assim, cria-se o índice x1/L

e calculemos P/S (tensão ou pressão).

A comparação da relação L1/ L1 e L2/ L2 com P/S1 e P/S2 nos mostra que é tudo proporcional.

Conclusão: Para caracterizar um material sofrendo deformações na tração (ou compressão), as variáveis a serem consideradas

são: [ E ] = kgf/cm2

F/S [ σ ] = kgf/cm2

ɛ = ∆L/L ; σ = F/S ; E = σ/ɛ = [ ɛ ] = não tem ( nº puro: adimensional)

∆L/L

Onde E é o módulo de elasticidade ou módulo de deformabilidade longitudinal ou módulo de Young.

Materiais elásticos de mesma composição química, sofrerão idêntico ɛ = ∆L/L (deformação unitária) e estirem submetidos à

mesma tensão σ = F/S.

Enunciado da Lei de Hooke: “ Corpos de um mesmo material uma relação linear entre ɛ e σ. “

Ou, em outras palavras mais simples:

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“ Se um corpo, sofrendo tração (ou compressão), tiver uma deformação ∆L então, se a força dobrar, a

deformação também dobrará .”

Graficamente, teremos:

σ = F/S

E = tg α

α

ɛ = ∆L/L

σ = F/S

σ3 F

σ2 C D

σ1

B

O ɛ = ∆L/L

Onde: σ1 à tensão limite de proporcionalidade (limite de elasticidade).

σ2 à tensão de escoamento (a partir daqui, temos a plasticidade).

σ3 à tensão de ruptura.

Trechos: OB à elástico linear.

BC à elástico não linear.

CD à escoamento (deformação plástica).

DF à pequena deformação elástica até o rompimento em F.

-26-

▪ Enquanto as tensões variam de 0 a σ1, a lei de deformações é linear e a situação é elástica (trecho OB).

▪ A partir de σ1 até σ2 a curva BC não é mais linear, embora ainda seja elástica.

▪ A partir de σ2 é o chamado escoamento do material, no trecho CD (deformação plástica).

▪ Se continuarmos a fazer crescer a força F, aumentando a tensão, crescerão as deformações (trecho DF) e, aí, chegando ao

ponto F, a peça rompe-se.

▪ Cada material da natureza tem suas próprias leis de deformação.

▪ O aço é muito utilizado por ser material dúctil, isto é pode-se trabalhar nele na situação plástica, permanente (construção de

peças de aço).

▪ Nas balanças de mola, interessam as deformações elásticas (cessado o esforço, cessa a deformação). Restando deformações

residuais (plásticas) a balança ficará desequilibrada.

▪ Os materiais frágeis rompem-se antes de apresentar o patamar de escoamento. É o caso do concreto, vidro, madeira e

outros.

Admitamos que a Lei de Hooke seja válida para todos os matérias.

O gráfico a seguir mostra a hipótese admitida (tração e compressão):

σ = F/S

aço

ferro

alumínio

madeira

couro

elástico (borracha)

ɛ = ∆L/L

σ à tensão ; F à força ; S à área da seção transversal ; L à comprimento inicial da peça ; ∆L à deformação da

peça

20- MÓDULO DE YOUNG

OU MÓDULO DE DEFORMABILIDADE LONGITUDINAL OU MÓDULO DE ELASTICIDADE

SÍMBOLO: E

Módulo de Young ou Módulo de Deformabilidade Longitudinal ou Módulo de Elasticidade, de símbolo E, é um índice (nº) que

cada material tem que mostra sua deformabilidade por tração ou compressão.

-27-

Alguns valores de E:

MATERIAL E (kgf/cm2)

Aço doce 2.100.000

Ferro 1.000.000

Alumínio 700.000

Cordoalha de aço 1.000.000

Madeira de 80.000 a 140.000

Madeira compensada 40.000

Couro 2.000

Borracha 10

Esses dados mostram que, dadas 2 peças (uma de aço e outra de alumínio, por ex:), geometricamente iguais, se ambas forem

esforçadas com a mesma força F, então a deformação do alumínio será 3 vezes maior que a do aço (2.000.000/700.000 = 3).

Observe que o material que tem maior Módulo E, tem menor deformabilidade.

21- MÓDULO DE POISSON

Ao comprimirmos ou tracionarmos longitudinalmente um corpo, suas dimensões transversais sofrem mudanças. Na tração,

cada uma das dimensões transversais diminui. Na compressão, as dimensões transversais aumentam.

O Módulo de Poisson é a relação (no caso, quociente) entre a deformação longitudinal e cada dimensão transversal e é uma

característica de cada material.

∆a

∆a/a F a F

µ =

∆L/ L ∆L L a

O Módulo de Poisson varia de 0 a 0,5. Para o aço é cerca de 0,3 e para o concreto, cerca de 0,15.

Estricção é o fenômeno da diminuição das dimensões transversais de um corpo ao sofrer tração.

Veja a experiência com o elástico:

-28-

Comprimento inicial = 7cm

Espessura inicial = 2mm

Comprimento final = 18cm

Espessura final = 1mm

Para passar de 7cm para 18cm, e eslástico teve sua espessura diminuída de 2cm para 1cm.

Por hipótese, admitimos que, cessada a ação de uma força, permanecem tensões chamadas tensões residuais.

Por exemplo no dobramento de ação na construção civil, se as peças forem expostas ao tempo, suas partes dobradas começam

a se oxidar antes das partes não deformadas, como fruto das tensões residuais que o dobramento gerou.

Um exemplo da ductilidade do aço. Lembrando:

Ductilidade de um material é a sua capacidade de produzir deformações permanentes sem se romper.

Seja um grampeador de escritório grampeando várias folhas de papel. Note que o grampo, inicialmente na forma de U se

deforma. Observe o desenho esquemático:

Martelo: peça que empurra o

grampo em direção ao papel.

Força

grampo

folhas de papel

base do grampeador

C Ͻ grampo dobrado

O grampo, uma estrutura de aço,deformou-se permanentemente numa outra estrutura que prende o papel.

-29-

22- EXERCÍCIOS DE CLASSE 3

1- Enuncie a Lei de Hooke.

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2- Um material elástico de 16cm de comprimento sofre uma tração e, seu comprimento vai a 18,6cm. Se a tração tivesse sido aplicado no mesmo material mas de comprimento 24cm, que aumento teria havido?

3- Porque, quando falamos em compressão, estamos nos referindo a corpos de pequena estatura?

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4- Sejam 2 materiais elásticos de mesmo comprimento 25cm, porém de seções de áreas diferentes, 3cm 2 e 6cm2 e apliquemos neles a mesma força de tração P = 12kgf. Calcule a deformação que ocorrerá em cada um dos materiais. Calcule as deformações unitárias ɛ1 = ∆L1/L e ɛ2 = ∆2/L e compare-as com P/S1 e P/S2.

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5- O que é o Módulo de Young (ou Módulo de Deformação Longitudinal ou Módulo de Elasticidade)? Qual a sua unidade?

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6- Ao aplicar uma força num material elástico e fazer a força aumentar gradativamente, medindo os ∆L correspondentes, a

peça passa por situações diferentes. Explique-as._______________________________________________________

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7- Qual a diferença entre Material Dúctil e Material Frágil? Dê exemplos.

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-23- TAREFA PARA O LAR – 3

1- Seja um elástico de comprimento L e largura a. Esticando-o um pouco lentamente, vemos que, ao cessar essa tração, o elástico volta ao seu comprimento inicial. Por que?

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2- Se o elástico sofrer um esforço de tração mais forte, com cuidado para não rompê-lo, e, ao sentir que está quase rompendo, cessamos o esforço e notamos que o elástico não volta mais ao seu comprimento inicial. Por que?

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3- Passando por esses 2 estágios e continuando aumentar a tração o que acontecerá? Porque?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4- Faça o gráfico ɛ x σ mostrando e explicando todos os seus trechos.

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5- Que material tem maior deformabilidade: o alumínio ou a madeira? Por que? O aço ou o ferro? Por que?

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Se um material que tem a maior deformabilidade que outro, terá maior ou menor Módulo de Young que esse outro?

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8- O que acontece com um corpo (no sentido longitudinal e no sentido transversal) quando ele é submetido a uma

grande tração longitudinal?

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9- O que acontece com um corpo (na dimensão longitudinal e na dimensão transversal) quando ele é submetido a uma

grande compressão longitudinal?

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10- Defina e explique o Módulo de Poisson µ.

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No caso do grampeador com grampo de aço, porque não usar grampos de alumínio? ________________________________________________________________________________

11- Imaginemos que, um carro, em altíssima velocidade, espatifou-se contra um poste de concreto armado.

a) O que terá acontecido com o concreto do poste? Por que?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) O que aconteceu com as barras de aço do concreto armado? Por que?

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c) O que aconteceu com as chapas de aço do carro? Por que?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

d) O que deve ter acontecido com os ossos do motorista, além da multa que levou? Por que? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

FACULDADE SUDOESTE PAULISTA – FSP

ENGENHARIA CIVIL

5º TERMO – 1º SEMESTRE DE 2.013

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

Prof. Ms. Wanderley Pereira Lanças EMENTA: ● O equilíbrio das estruturas. Leis do equilibro.

● Os tipos de esforços nas estruturas. Tensões, coeficientes de segurança, tensões admissíveis.

● Lei de Hooke , Módulo de Poison e Módulo de Young.

● Tipos de apoio.

● Estruturas isostática, hiperestáticas e hipostáticas.

● Tipos de flexão: normal, simples, composta, oblíqua.

● Momento Estático, Momento de Inércia, Módulo Resistente, Raio de Giração.

● Tensões normais em vigas.

● Tensões tangenciais (cisalhamento) em vigas.

● Linhas Elásticas em vigas. Teorema de Mohr.

● Treliças. BIBLIOGRAFIA BÁSICA

• BOTELHO, Manoel H. C., Resistência dos Materiais. São Paulo: Blucher, 2.008.

DA SILVA JR., Jayme Ferreira, Resistência dos Materiais. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S.A., 2ª edição, 1.966.

VLADIMIR, A., Resistência dos Materiais. São Paulo: McGraw Hill, 2.004.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

FONSECA, A., Curso de Mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2.001.

NASH, William, Resistência dos Materiais. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1.961 LANGENDOCK, Telemaco Van, Resistência dos Materiais-Tensões. Científica, 1.956 Apostilas da disciplina Resistência dos materiais da década 1.960-70 da Escola Politécnica da USP. BEER, F. P., Resistência dos Materiais. São Paulo: Makron Books, 2.005.