9_Deflexao de Vigas

RESISTÊNCIA DOS

MATERIAISCAPITULO

Notas de Aula:

Prof. Gilfran Milfont

As anotações, ábacos, tabelas, fotos e

gráficos contidas neste texto, foram

retiradas dos seguintes livros:

-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-

Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw

Hill-4ª edição-2006

- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.

C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-

2004

-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James

M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003

-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel

C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009

-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,

Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003

9 Deflexão das Vigas

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Deformação de Viga Sob Carregamento Transversal

1 - 2

• Vimos a seguinte relação entre a curvatura

de uma viga e o momento fletor:

EI

xM )(1

• Para a viga em balanço da figura, temos:

EI

Px

1

• A curvatura varia linearmente com x

• Na extremidade

livre A,

AA

ρρ

,01

• Na extremidade

engastada B,PL

EIB

B

,01


Deformação de Viga Sob Carregamento Transversal

1 - 3

• Para a viga biapoiada da figura:

• Determinamos as reações de apoio em A e C;

• Escrevemos as equações e desenhamos o

diagrama de momento fletor;

• Observamos que a curvatura é zero, nos pontos

onde o momento é nulo, isto é, nas extremidades

da viga e no ponto E.

EI

xM )(1

• A curvatura nos dá, então, uma idéia razoável da

forma da viga deformada.

• Notamos também que a curvatura máxima ocorre

onde a magnitude do momento é máxima.

• O projeto de vigas exige informações mais

precisas sobre o deslocamento transversal e a

inclinaçao da viga em vários pontos.


Equação de Linha Elástica

EI

xM )(1

1 - 4

• Do cálculo elementar, temos que a curvatura de

uma curva é dada por:

2

2

232

2

2

1

1

dx

yd

dx

dy

dx

yd

• Substituindo e integrando, temos:

21

00

1

0

2

21

CxCdxxMdxyEI

CdxxMdx

dyEIEI

xMdx

ydEIEI

xx

x


Equação de Linha Elástica

1 - 5

21

00

CxCdxxMdxyEI

xx

• C1 e C2 são constantes de integração, determinadas

a partir das condições de contorno para a viga,

conforme exemplos a seguir:

Viga biapoiada:Biapoiada com balanço:

Viga em balanço

• Para carregamentos mais complicados, com

várias cargas, faz-se necessário dividir a viga

em várias partes para representar a eq. do

momento para cada uma. Aí, surgem outras

constantes de integração, o que exige a

aplicação da condição de continuidade da

Linha Elástica e da Declividade como

condições de contorno.


Determinação da LE Diretamente do Carregamento

Distribuído

1 - 6

• Para vigas submetidas a cargas distribuídas:

xwdx

dV

dx

MdxV

dx

dM

2

2

• Ficamos então com a equação:

xwdx

ydEI

dx

Md

4

4

2

2

432

2213

161 CxCxCxC

dxxwdxdxdxxyEI

• Integrando quatro vezes:

• As quatro constantes de integração são

encontrada a partir das condições de contorno.


Vigas Estaticamente Indeterminadas

1 - 7

• Considere a viga AB, engastada em A e apoiada

em B.

• Do diagrama de corpo livre, vemos que existem

quatro incógnitas (reações).

• Temos somente três equações da estática:

000 Ayx MFF

A viga é então, estaticamente indeterminada.

21

00

CxCdxxMdxyEI

xx

• Para sua solução, lançamos mão de equações

auxiliares, conseguidas a partir das condições de

deslocamento da viga:

Surgem mais duas incógnitas, C1 e C2, que

são encontradas pela aplicação das condições

de controno: 0, :E00,0 :Em yLxmyx


Problema Resolvido 9.1

1 - 8

maLP

EmmIW

2,1m5,4kN220

GPa20010302101360 46

Para a viga ABC da figura, pede-se:

(a) A equação da linha elástica,

(b) determine a flecha máxima,

(c) calcule, para os dados abaixo ymax.

- Reações:

L

aPR

L

PaR BA 1

LxxL

aPM 0

xL

aP

dx

ydEI

2

2



1 - 9

PaLCLCLL

aPyLx

Cyx

6

1

6

10:0, Em

0:0,0 Em

11

3

2

• Integrando e aplicando as condições de

contorno, temos:

213

12

6

1

2

1

CxCxL

aPyEI

CxL

aP

dx

dyEI

xL

aP

dx

ydEI

2

2

32

6 L

x

L

x

EI

PaLy

PaLxxL

aPyEI

L

x

EI

PaL

dx

dyPaLx

L

aP

dx

dyEI

6

1

6

1

3166

1

2

1

3

22

Substituindo,



1 - 10

• Localizando o ponto onde a declividade é

nula (onde a flecha é máxima).

32

6 L

x

L

x

EI

PaLy

LL

xL

x

EI

PaL

dx

dym

m 577.03

316

02

• A deflexão máxima é dada por:.

32

max 577.0577.06

EI

PaLy

EI

PaLy

60642.0

2

max

6-9

23

max1002310200

5,42,1102200642.0

y mmy 7,5m107,5 3

max



1 - 11

Para a viga ABC da figura, pede-se:

(a) A reação em A, (b)

A equação da linha elástica, (c) A inclinaçãoem A.

• SOLUÇÃO:

L

xwxRMM

x

L

xwxRM AAD

60

32

10

3

0

2

0

L

xwxRM

dx

ydEI A

6

30

2

2

L

xwxRM

dx

ydEI A

6

30

2

2

21

503

1

402

1206

1

242

1

CxCL

xwxRyEI

CL

xwxREI

dx

dyEI

A

A



1 - 12

• Condições de contorno:

01206

1:0,

0242

1:0,

0:0,0

21

4

03

1

3

02

2

CLCLw

LRyLx

CLw

LRLx

Cyx

A

A

• Resolvendo para o ponto A:

030

1

3

1 40

3 LwLRA LwRA 010

1

xLwL

xwxLwyEI

3

0

503

0120

1

12010

1

6

1 xLxLxEIL

wy 43250 2

120

• Ficamos então com a eq. da LE:

42240 65120

LxLxEIL

w

dx

dy

EI

LwA

120

30em x = 0,


Método da Superposição

1 - 13

Princípio da Superposição:

• A deformação e a declividade de

vigas submetidas a vários

carregamentos podem ser obtidas

pela superposição do efeito de cada

carregamento individualmente, que

após somados dão o resultado do

carregamento como um todo.

• Este procedimento é facilitado pela

existência de tabelas que mostram

o efeito de vários tipos de cargas e

condições de apoio de vigas.



1 - 14

Para a viga e o carregamento da

figura, determine a inclinação e a

flecha no ponto B.

SOLUÇÃO:

Superpondo a deformação devido ao carregamento I e II :



1 - 15

Carregamento I

EI

wLIB

6

3

EI

wLy IB

8

4

Carregamento II

EI

wLIIC

48

3

EI

wLy IIC

128

4

Para o segmento CB, o momento é zero, logo:

EI

wLIICIIB

48

3

EI

wLL

EI

wL

EI

wLy IIB

384

7

248128

434



1 - 16

EI

wL

EI

wLIIBIBB

486

33

EI

wL

EI

wLyyy IIBIBB

384

7

8

44

EI

wLB

48

7 3

EI

wLyB

384

41 4

Combinando as duas soluções,


Aplicação da Superposição Para Vigas

Estaticamente Indeterminadas

1 - 17

• O método da superposição pode ser

utilizado para determinação das

reações de apoio em vigas

hiperestáticas.

• Considerando uma das reações (B)

como superabundante.

• Determine a deformação sem o suporte

redundante.

• Trate a reação redundante como uma

carga desconhecida, que somada ao

outro carregamento resulta em uma

deformação compatível com o tipo de

suporte (B).



1 - 18

Para a viga contínua da figura, determine:

a) A reação em cada apoio,

b) A inclinação na extremidade A.

SOLUÇÃO:

• Considere como “redundante” o suporte B,

• Depois, aplique a reação em B, forçando um deslocamento nulo neste apoio.



1 - 19

• Carga distribuída:

EI

wL

LLLLLEI

wy wB

4

334

01132.0

3

2

3

22

3

2

24

• Reação :

EI

LRLL

EIL

Ry BB

RB

322

01646.033

2

3

• Para que haja a compatibilidade: yB = 0

EI

LR

EI

wLyy B

RBwB

34

01646.001132.00

wLRB 688.0

• Da estática:

wLRwLR CA 0413.0271.0



1 - 20

EI

wL

EI

wLwA

33

04167.024

EI

wLLL

L

EIL

wLRA

322 03398.0

336

0688.0

EI

wL

EI

wLRAwAA

33

03398.004167.0 EI

wLA

3

00769.0

Declividade em A:

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