90015579 Apostila Raciocinio Logico Pedro Evaristo Athenas PDF

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Somos o que fazemos, mas somos principalmente, o que fazemos para mudar o que somos Eduardo Galeano

LGICA A Lgica uma cincia de ndole matemtica e fortemente ligada Filosofia. J que o pensamento a

manifestao do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser atingida. Assim, a lgica o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. A aprendizagem da lgica no constitui um fim em si. Ela s tem sentido enquanto meio de garantir que nosso pensamento proceda corretamente a fim de chegar a conhecimentos verdadeiros. Podemos, ento, dizer que a lgica trata dos argumentos, isto , das concluses a que chegamos atravs da apresentao de evidncias que a sustentam. O principal organizador da lgica clssica foi Aristteles, com sua obra chamada rganon. Ele divide a lgica em formal e material.

Um sistema lgico um conjunto de axiomas e regras de inferncia que visam representar formalmente o raciocnio vlido. Diferentes sistemas de lgica formal foram construdos ao longo do tempo quer no mbito estrito da Lgica Terica, quer em aplicaes prticas na computao e em Inteligncia artificial.

Tradicionalmente, lgica tambm a designao para o estudo de sistemas prescritivos de raciocnio, ou seja, sistemas que definem como se "deveria" realmente pensar para no errar, usando a razo, dedutivamente e indutivamente. A forma como as pessoas realmente raciocinam estudado noutras reas, como na psicologia cognitiva.

Como cincia, a lgica define a estrutura de declarao e argumento e elabora frmulas atravs das quais estes podem ser codificados. Implcita no estudo da lgica est a compreenso do que gera um bom argumento e de quais os argumentos que so falaciosos.

A lgica filosfica lida com descries formais da linguagem natural. A maior parte dos filsofos assumem que a maior parte do raciocnio "normal" pode ser capturada pela lgica, desde que se seja capaz de encontrar o mtodo certo para traduzir a linguagem corrente para essa lgica.

RACIOCNIO O Raciocnio uma operao lgica, discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou mais

proposies, para concluir atravs de mecanismos de comparaes e abstraes, quais so os dados que levam s respostas verdadeiras, falsas ou provveis.

Foi pelo processo do raciocnio que ocorreu o desenvolvimento do mtodo matemtico, este considerado instrumento puramente terico e dedutivo, que prescinde de dados empricos.

Logo, resumidamente o raciocnio pode ser considerado tambm um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formao de conceitos e da soluo de problemas, sendo parte do pensamento.

RACIOCNIO LGICO-DEDUTIVO Como vimos, a deduo uma inferncia que parte do universal para o mais particular. Assim considera-

se que um raciocnio lgico dedutivo quando, de uma ou mais premissas, se conclui uma proposio que concluso lgica da(s) premissa(s). A deduo um raciocnio de tipo mediato, sendo o silogismo uma das suas formas clssicas.

Iniciaremos com a compreenso das seqncias lgicas, onde voc deve deduzir, ou at induzir, qual a lei de formao das figuras, letras, smbolos ou nmeros, a partir da observao dos termos dados.

HUMOR LGICO

Aulas 1 e 2


SEQUNCIAS LGICAS

As seqncias podem ser formadas por nmeros, letras, pessoas, figuras, etc. Existem vrias formas de se estabelecer uma seqncia, o importante que existam pelo menos trs elementos que caracterize a lgica de sua formao, entretanto algumas sries necessitam de mais elementos para definir sua lgica.

Algumas seqncias so bastante conhecidas e todo aluno que estuda lgica deve conhec-las, tais como as progresses aritmticas e geomtricas, a srie de Fibonacci, os nmeros primos e os quadrados perfeitos.

SEQUNCIA DE NMEROS Progresso Aritmtica

Soma-se constantemente um mesmo nmero.

2 5 8 11 14 17 Progresso Geomtrica

Multiplica-se constantemente um mesmo nmero.

2 6 18 54 162 486 Incremento em Progresso

O valor somado que est em progresso.

1 2 4 7 11 16 Srie de Fibonacci

Cada termo igual a soma dos dois anteriores.

1 1 2 3 5 8 13 Nmeros Primos

Naturais que possuem apenas dois divisores naturais.

2 3 5 7 11 13 17 Quadrados Perfeitos

Nmeros naturais cujas razes so naturais.

1 4 9 16 25 36 49

+3 +3 +3 +3 +3

x3 x3 x3 x3 x3

+1 +2 +3 +4 +5


SEQUNCIA DE LETRAS As seqncias de letras podem estar associadas a uma srie de nmeros ou no. Em geral, voc deve escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou no, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para entender a lgica proposta. A C F J O U Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses nmeros esto em progresso. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU

B1 2F H4 8L N16 32R T64 Nesse caso, associou-se letras e nmeros (potncias de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 1, 3, 1, 3 e 1 posies. ABCDEFGHIJKLMNOPQRST

SEQUNCIA DE PESSOAS Na srie a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que esto em uma posio mltipla de trs (3, 6, 9, 12,...) sero mulheres e a posio dos braos sempre alterna, ficando para cima em uma posio mltipla de dois (2, 4, 6, 8,...). Sendo assim, a seqncia se repete a cada seis termos, tornando possvel determinar quem estar em qualquer posio.

SEQUNCIA DE FIGURAS Esse tipo de seqncia pode seguir o mesmo padro visto na seqncia de pessoas ou simplesmente sofrer rotaes, como nos exemplos a seguir.


INVESTIGAO: VERDADES E MENTIRAS

INVESTIGANDO As questes de investigaes esto presentes na maioria das provas de raciocnio lgico, mas cada edital

descreve esse tipo de questo de maneira diferente. Podemos dizer que essas questes tratam do entendimento da estrutura lgica de relaes arbitrrias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictcios, deduzindo novas informaes a partir de relaes fornecidas e avaliao das condies usadas para estabelecer a estrutura daquelas relaes.

Uma investigao um processo de construo do conhecimento que tem como metas principais gerar novos conhecimentos e/ou confirmar ou refutar algum conhecimento pr-existente. basicamente um processo de aprendizagem tanto do indivduo que a realiza quanto da sociedade na qual esta se desenvolve. A investigao, no sentido de pesquisa, pode ser definida como o conjunto de atividades orientadas e planejadas pela busca de um conhecimento.

As questes de investigao so muito interessantes e prazerosas de se fazer. No enunciado, so dadas pistas que associadas a hipteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a concluses diretas, sem precisar supor. O primeiro passo ento, perceber se precisaremos ou no supor alguma coisa, ou seja, se todas as informaes so verdadeiras ou existem mentiras. Quando todas as informaes forem verdadeiras, no haver necessidade de hipteses, mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer suposises para chegarmos as concluses.

IDENTIFICANDO CADA CASO Existem basicamente trs casos de questes de investigaes. Todos eles procuram deduzir novas

informaes, com base nas informaes fornecidas no enunciado. Para resolver questes de investigao, devemos inicialmente identificar o caso e seguir os procedimentos

peculiares a cada um deles.

1 CASO - Somente Verdades: ORDENAO. Esse tipo de questo d apenas informaes verdadeiras, que nos permite colocar em ordem pessoas, objetos, datas, idades, cores, figuras ou qualquer outra coisa, mediante pistas que devem ser seguidas. O fato de colocar os dados fornecidos na ordem desejada, permitir identificar o item correto a ser marcado.

EXEMPLO: Alysse mais velha que Bruna, que mais nova que Carol, mas esta no a mais velha de todas.

CONCLUSES: Sejam A, B e C as respectivas idades de Alysse, Bruna e Carol, ento A > B e C > B Como Carol no a mais velha, podemos ordenar as idades das meninas da seguinte forma: A > C > B

2 CASO - Somente Verdades: DEDUES. Como todas as informaes dadas so verdadeiras, o que ser importante saber organizar as informaes em uma tabela para cruzar os dados. Por exemplo, cada coluna trata das informaes de uma determinada pessoa e as linhas tratam das caractersticas dessas pessoas. O que devemos fazer preencher a tabela cruzando as informaes de cada uma das pessoas, iniciando pelas informaes diretas e posteriormente deduzindo as outras.

EXEMPLO: Alysse, Bruna e Carol fazem aniversrio no mesmo dia, mas no tm a mesma idade, pois nasceram em trs anos consecutivos. Uma delas Psicloga, a outra Fonoaudiloga e a mais nova Terapeuta. Bruna a mais nova e tm 25 anos. Carol a mais velha e no Psicloga.

CONCLUSES: Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir. A B C

Profisso

Idade

Aulas 3 a 5


Como Bruna a mais nova e tm 25 anos, e que a mais nova Terapeuta, deduzimos que Bruna Terapeuta. Logo podemos preencher os seguintes dados na tabela. A B C

Profisso T

Idade 25

Como Carol a mais velha e no Psicloga, deduzimos que Carol Fonoaudiloga e tm 27 anos, j que as trs nasceram em anos consecutivos e a mais nova tem 25 anos. Logo podemos acrescentar as seguintes informaes na tabela. A B C

Profisso T F

Idade 25 27

Por excluso, deduz-se que Alysse tm 26 anos e Psicloga. Assim, temos a tabela totalmente preenchida. A B C

Profisso P T F

Idade 26 25 27

3 CASO - Verdades e Mentiras: HIPTESES, CONFIRMAES E REJEIES. Esse ltimo caso requer maior ateno, pois existem verdades e mentiras envolvidas no

enunciado e atravs da anlise das hipteses chegaremos s devidas concluses. Por exemplo, quando um delegado procurar descobrir quem o verdadeiro culpado entre trs suspeitos, ele lana mo de hipteses, ou seja, ele vai supondo que cada um deles seja o culpado e vai analisando a veracidade de informao que ele possui, a fim de confirmar ou rejeitar a hiptese.

EXEMPLO: Alysse, Bruna e Carol so suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vov. Quando perguntadas sobre o fato, declararam o seguinte: ALYSSE: Foi a Bruna que comeu BRUNA: Alysse est mentindo CAROL: No fui eu Sabendo que apenas uma delas est dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo, descubra quem comeu o bolo.

CONCLUSES: Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir. ANLISE DAS AFIRMAES HIPTESES A B C

A foi quem comeu B foi quem comeu C foi quem comeu

Como Alysse (A) disse Foi a Bruna que comeu, ela s estar dizendo a verdade caso (na hiptese de) Bruna tenha realmente comido, caso contrrio estar mentindo, logo analisando essa afirmao, temos: A B C

A comeu F B comeu V C comeu F

Como Bruna (B) disse que Alysse est mentindo, temos que Bruna s estar mentindo no caso (na hiptese de) de Alysse falar a verdade, caso Alysse esteja mentindo ento Bruna estar falando a verdade, ou seja, as colunas 1 e 2 tero valores lgicos contrrios, logo temos: A B C

A comeu F V B comeu V F C comeu F V


Finalmente, como Carol disse que No fui eu, temos que ela s estar mentindo no caso (na hiptese de) dela ser a culpada, caso contrrio estar dizendo a verdade, logo temos: A B C

A comeu F V V B comeu V F V C comeu F V F

Agora o momento de aceitar ou refutar as hipteses. Foi dito no enunciado que apenas uma das meninas diz a verdade, ento com base nisso devemos identificar a nica linha que tem apenas uma nica afirmao verdadeira. Observe que apenas na terceira linha, ou seja, apenas no caso de Carol ter comido o bolo, teremos duas garotas mentindo e apenas uma dizendo a verdade. Portanto, podemos afirmar que a 3 hiptese foi aceita e as outras duas foram rejeitadas. Concluso, Carol comeu a ltima fatia do bolo.

HIPTESE

Uma hiptese uma teoria provvel mas no demonstrada, uma suposio admissvel. Na matemtica,

o conjunto de condies para poder iniciar uma demonstrao. Surge no pensamento cientfico aps a recolha de dados observados e na conseqncia da necessidade de explicao dos fenmenos associados a esses dados. normalmente seguida de experimentao, que pode levar verificao (aceitao) ou refutao (rejeio) da hiptese. Assim que comprovada, a hiptese passa a se chamar teoria, lei ou postulado.

EXEMPLO DO 1 CASO - VERDADES: ORDENAES 01. Em um prdio de 4 andares moram Erick, Fred, Giles e Heitor. Sabe-se que Heitor no mora no 1 andar, Erick mora acima de Todos, Giles mora abaixo de Fred e este acima de Heitor, Determine quem mora no 2 andar. a) Heitor a) Erick d) Fred e) Giles SOLUO: Com base nas informaes fornecidas no enunciado, vamos ordenar os moradores. Inicialmente como Erick mora acima de todos, ento ele mora no 4 andar. Como Fred mora acima de Heitor e Heitor no mora no 1 andar, ento Heitor tem que morar no 2 andar e Fred no 3 andar, para satisfazer essas condies. Por excluso, Giles mora no 1 andar, o que satisfaz a condio de morar abaixo de Fred. OBS.: importante diferenciar em cima, acima, em baixo e abaixo. Por exemplo, se Geovanne mora no 10 andar de um prdio, outro morador que more:

EM CIMA, mora no andar imediatamente acima, ou seja, no 11 andar. ACIMA, mora em um andar superior, no necessariamente em cima. EM BAIXO, mora no andar imediatamente abaixo, ou seja, no 9 andar. ABAIXO, mora em um andar inferior, no necessariamente em baixo.

EXEMPLOS DO 2 CASO - VERDADES: DEDUES 02. (IPAD) Luciano, Cludio e Fernanda so trs estudantes de Filosofia. Sabe-se que um deles estuda Frege, o outro Kant e o terceiro Wittgenstein. Sabe-se ainda que: 1) Cludio ou Fernanda estuda Frege, mas no ambos; 2) Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas no ambos; 3) Luciano estuda Frege ou Cludio estuda Wittgenstein, mas no ocorrem as duas opes simultaneamente; 4) Fernanda ou Cludio estuda Wittgenstein, mas no ambos. Luciano, Cludio e Fernanda estudam respectivamente: a) Kant, Wittgenstein e Frege. b) Kant, Frege e Wittgenstein. c) Wittgenstein, Kant e Frege. d) Frege, Kant e Wittgenstein. e) Frege, Wittgenstein e Kant.


SOLUO: Do enunciado, podemos organizar as informaes na tabela a seguir:

Luciano Cludio Fernanda Frege Kant

Wittgenstein

De acordo com cada premissa podemos eliminar (X) os cruzamentos incorretos:

1) Se Cludio ou Fernanda estuda Frege, mas no ambos, ento Luciano no estuda Frege

Luciano Cludio Fernanda Frege F Kant

Wittgenstein

2) Se Luciano ou Fernanda estuda Kant, mas no ambos, ento Cludio no estuda Kant

Luciano Cludio Fernanda Frege F Kant F

Wittgenstein

3) Se Luciano estuda Frege ou Cludio estuda Wittgenstein, mas no ambos, ento Cludio estuda Wittgenstein pois j tnhamos concludo que Luciano no estuda Frege

Luciano Cludio Fernanda Frege F Kant F

Wittgenstein F VERDADE F Como Luciano no estuda nem Frege, nem Wittgenstein ento por excluso ele estuda Kant. Nesse caso resta apenas que Fernanda estuda Frege

Luciano Cludio Fernanda Frege F VERDADE Kant VERDADE F

Wittgenstein F VERDADE F 02. Trs crianas Astolfo, Belarmino e Cleosvaldo brincavam, cada qual, com um nico tipo de brinquedo. Considere as seguintes informaes:

Os brinquedos so: Falcon, Playmobil e Atari; As idades dos trs so: 11, 8 e 6; Astolfo no brincava com um Falcon e nem com o Atari; A criana que tem 11 anos, brincava de Atari; Cleosvaldo tem menos de 8 anos.

Com base na informaes dadas, correto afirmar que a) Belarmino tem 11 anos. b) Astolfo tem 11 anos. c) Belarmino brincava com um Falcon. d) Cleosvaldo brincava com um Atari. e) Astolfo no tem 8 anos. SOLUO: Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:

ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDO IDADE

BRINQUEDO


Sabendo que Astolfo brincava com um Playmobil e que Cleosvaldo tem 6 anos, temos:

ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDO IDADE 6

BRINQUEDO Play

Como A criana que tem 11 anos, brincava de Atari, apenas Belarmino se encaixa, logo

ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDO IDADE 11 6

BRINQUEDO Play Atari

Por excluso, temos

ASTOLFO BELARMINO CLEOSVALDO IDADE 8 11 6

BRINQUEDO Play Atari Falcon

03. Trs amigas, Anna, Bruna e Camila, encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas azul, o de outra preto, e o de outra branco. Elas calam pares de sapatos destas mesmas trs cores, mas somente Anna est com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Bruna so brancos. Camila est com sapatos azuis. Desse modo, a) o vestido de Bruna azul e o de Anna preto. b) o vestido de Bruna branco e seus sapatos so pretos. c) os sapatos de Bruna so pretos e os de Anna so brancos. d) os sapatos de Anna so pretos e o vestido de Camila branco. e) o vestido de Anna preto e os sapatos de Camila so azuis. SOLUO: Do enunciado, podemos organizar a tabela a seguir:

ANNA BRUNA CAMILA VESTIDO SAPATOS

Sabendo que Camila est com sapatos azuis, temos:

ANNA BRUNA CAMILA VESTIDO SAPATOS Az

Sabendo que Nem o vestido nem os sapatos de Bruna so brancos, ento Anna tem que ter sapatos brancos

ANNA BRUNA CAMILA VESTIDO SAPATOS Br Az

Como Anna est com vestido e sapatos de mesma cor, temos

ANNA BRUNA CAMILA VESTIDO Br SAPATOS Br Az

Por excluso, deduz-se que Bruna est com sapatos pretos e sabendo que somente Anna est com vestido e sapatos de mesma cor, temos

ANNA BRUNA CAMILA VESTIDO Br Az Pr SAPATOS Br Pr Az


EXEMPLOS DO 3 CASO VERDADES E MENTIRAS: HIOPTESES 04. Quando a me de Aurismar, Belomar, Cleosmar e Denysmar, chega em casa, verifica que seu vaso preferido havia sido quebrado. Interrogados pela me, eles fazem as seguintes declaraes:

"Me, o Bel foi quem quebrou" disse Auri "Como sempre, o Denys foi culpado" disse Bel "Me, sou inocente" disse Cleo Claro que o Bel est mentindo" disse Denys

Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, diga quem quebrou o vaso. a) Aurismar b) Belomar c) Cleosmar d) Denysmar e) Nenhum deles SOLUO: Do enunciado, podemos construir a tabela a seguir, onde sero analisadas as declaraes mediante as hipteses:

ANLISE DAS DECLARAES HIPTESES AURI BEL CLEO DENYS

AURI BEL

CLEO DENYS

Analisaremos as declaraes de cada criana, de acordo com as hipteses dos culpados. No caso do Auri, ele estaria falando a verdade no caso do Bel realmente ser o culpado, ou seja, ele mente (F) na hiptese de outra pessoa ser o culpado, logo:


AURI F BEL V

CLEO F DENYS F

Analisando a declarao de Bel, vemos que apenas no caso de Denys ter sido o culpado ele estaria dizendo a verdade, ento para qualquer outra hiptese de culpado ele mente (F), logo temos:


AURI F F BEL V F

CLEO F F DENYS F V

Como Cleo se declara inocente, apenas na hiptese dele ser o culpado, sua declarao dita como falsa (F), em todas as demais hipteses ele realmente seria inocente, logo:


AURI F F V BEL V F V

CLEO F F F DENYS F V V


Nesse caso, sempre a declarao de Denys tem valor lgico contrrio ao de Bel, pois eles se contradizem, ento Denys s ir mentir no caso dele ser o culpado, ou seja:


AURI F F V V BEL V F V V

CLEO F F F V DENYS F V V F

Observe que somente na hiptese de Cleo ser o culpado que apenas uma das declaraes se torna verdadeira (V), sendo ento trs falsas (F). Como somente Denys diz a verdade, a terceira hiptese a nica aceita, sendo ento Cleosmar declarado o culpado.


DIAGRAMAS LGICOS

QUANTIFICADORES So elementos que transformam as sentenas abertas em proposies. Eles so utilizados para indicar a quantidade de valores que a varivel de uma sentena precisa assumir

para que esta sentena torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposio.

TIPOS DE QUANTIFICADORES a) Quantificador existencial:

o quantificador que indica a necessidade de existir pelo menos um elemento satisfazendo a proposio dada para que esta seja considerada verdadeira.

indicado pelo smbolo , que se l existe, existe um ou existe pelo menos um. EXEMPLO: (p) x R / x 3 (q) Existe dia em que no chove.

b) Quantificador universal: o quantificador que indica a necessidade de termos todos os elementos satisfazendo a proposio

dada para que esta seja considerada verdadeira. indicado pelo smbolo , que se l para todo ou qualquer que seja. EXEMPLO: (m) x R x 5 (L-se: para todo x pertencente aos reais, tal que x maior ou igual a 5) (n) Qualquer que seja o dia, no chover.

TEORIA DOS CONJUNTOS

NOMENCLATURA UTILIZADA - conjunto dos nmeros reais * - conjunto dos nmeros reais no nulos + - conjunto dos nmeros reais no negativos *+ - conjunto dos nmeros reais positivos

Q - conjunto dos nmeros racionais Q* - conjunto dos nmeros racionais no nulos Z - conjunto dos nmeros inteiros Z+ - conjunto dos nmeros inteiros no negativos Z* - conjunto dos nmeros inteiros no nulos N - conjunto dos nmeros naturais N* - conjunto dos nmeros naturais no nulos

- conjunto vazio - smbolo de unio entre dois conjuntos - smbolo de interseco entre dois conjuntos - smbolo de pertinncia entre elemento e conjunto - smbolo de incluso entre dois conjuntos - qualquer que seja

Aulas 6 e 7


UNIO ( )

Unio de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, ou ao conjunto B ou a ambos.

INTERSEO ( ) Interseo de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a ambos os conjuntos dados.

DIFERENA ( ) ou COMPLEMENTAR Diferena entre os conjuntos A e B, nesta ordem, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, porm, no pertencem a B. O conjunto A B tambm chamado de complementar de B e em A, pois o que falta para B completar o conjunto A. COMPLEMENTAR EM RELAO AO UNIVERSO O complementar de A, o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que no pertencem ao conjunto A. DIFERENA ENTRE UNIO E INTERSEO A diferena o conjunto unio e o conjunto interseo de A e B, resulta nos elemento que pertencem a somente um desses conjuntos, ou seja, pertencem somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B.

CONCLUSES: 1o. A B = B A 2o A = A 3o A A = A 4o (A B) C = A (B C) 5o n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

EX.: Pessoas que so atletas (A), mas no so

baianos (B)

EX.: Pessoas que so atletas (A) ou baianos (B)

(o ou no excludente, portanto isso significa que o conjunto unio abrange os

elementos que fazem parte de pelo menos um dos conjuntos)

CONCLUSES: 1o A B = B A 2o A = 3o A A = A 4o (A B) C = A (B C)

EX.: Pessoas que so atletas (A) e so

baianos (B)

B

A

A B

A B

B

A

A B

B

A

EX.: Pessoas que no so atletas (A)

(Dentre todos os envolvidos, podendo ser, ou no,

baianos)

EX.: Pessoas que ou so atletas (A), ou so baianos (B)

(O ou...ou excludente)

(A B) - (A B)

B

A

CA = A

B

A


CONJUNTOS LGICOS NENHUM No existe interseo entre os conjuntos. EX.: A: Nenhum soldado covarde

ALGUNS Existe pelo menos um elemento na interseo entre os conjuntos, mas nem todos. EX.: B: Alguns soldados so covardes

TODOS Um dos conjuntos subconjunto do outro. EX.: C: Todos os soldados so covardes

TIPOS DE PROPOSIES COMPOSTAS Uma proposio chamada de composta quando formada a partir de outras proposies mais simples (p, q, r, ...) mediante o uso de:

modificadores (~) conectivos ( e ) condicionais ( e ).

TAUTOLOGIA

Dizemos que uma proposio composta uma tautologia, ou seja, uma proposio logicamente verdadeira, quando tem o valor lgico verdadeiro independentemente dos valores lgicos das proposies parciais usadas na sua elaborao. Ex.: p q: No concurso Joo foi aprovado ou reprovado

CONTRADIO

Dizemos que uma proposio composta uma contradio, ou seja, uma proposio logicamente falsa, quando tem o valor lgico falso independentemente dos valores lgicos das proposies parciais usadas na sua elaborao. Ex.: p q: Sophia nasceu em Fortaleza e em So Paulo

CONTINGNCIA

Dizemos que uma proposio composta uma contingncia quando ela pode ter os valores lgico verdadeiro ou falso.

COVARDES SOLDADOS

COVARDES SOLDADOS

COVARDES SOLDADOS

OBS.: A negao da premissa A ser: ~A: No verdade que nenhum soldado covarde ou ento ~A: Existe pelo menos um soldado covarde

OBS.: A negao da premissa B ser: ~B: No verdade que alguns soldados so covardes ou ento ~B: Nenhum soldado covarde

OBS.: A negao da premissa C ser: ~C: No verdade que todos os soldado so covardes ou ento ~C: Existe pelo menos um soldado que no covarde


EXEMPLOS 01. (IPAD) Supondo que todos os cientistas so objetivos e que alguns filsofos tambm o so, podemos logicamente concluir que: a) no pode haver cientista filsofo. b) algum filsofo cientista. c) se algum filsofo cientista, ento ele objetivo. d) alguns cientistas no so filsofos. e) nenhum filsofo objetivo. SOLUO: Dadas as premissas: A: todos os cientistas so objetivos B: alguns filsofos so objetivos Sejam O Objetivos C Cientistas F Filsofos Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas possveis: Dessa forma, temos que se algum filsofo cientista ele fica de acordo com o 2 ou 3 diagrama, o que implica necessariamente que esse filsofo ser objetivo, pois todo cientista objetivo. Resposta: C 02. (IPAD) Supondo que cronpios e famas existem e que nem todos os cronpios so famas, podemos concluir logicamente que: a) nenhum cronpio fama. b) no existe cronpio que seja fama. c) todos os cronpios so famas. d) nenhum fama cronpio. e) algum cronpio no fama. SOLUO: Dada a premissa: A: Nem todos os cronpios so famas Sejam C Cronpios F Famas Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes diagramas possveis: Podemos concluir que Se nem todo cronpio fama, ento necessariamente existe pelo menos um cronpio que no fama. Resposta: E 03. (IPAD) Em um pas estranho sabe-se que as pessoas esto divididas em dois grupos: o grupo dos que tm uma idia original e o grupo dos que tm uma idia comercializvel. Sabe-se tambm que 60% das pessoas tm uma idia original e apenas 50% tm idias comercializveis. Podemos afirmar que:

O

C F

O

C F 1o 2o 3o

O

F C

C F 1o 2o C F


a) 15% das pessoas tm idias originais e comercializveis. b) 10% das pessoas tm idias originais e comercializveis. c) 30% das pessoas tm idias comercializveis, mas no originais. d) 70% das pessoas tm idias originais e no comercializveis. e) 65% das pessoas tm idias originais e no comercializveis. SOLUO: Sejam A grupo dos que tm uma idia original ; B grupo dos que tm uma idia comercializvel; Como todas as pessoas (100%) esto em pelo menos um dos grupos (A ou B), temos: Sabendo que n(A B) = n(A) + n(B) n(A B) 100% = 60% + 50% x x = 10% portanto 10% das pessoas tm idias originais e comercializveis Resposta: B 04. verdade que "Alguns A so R" e que "nenhum G R" ento necessariamente verdade que: a) Alguns A no G. b) Algum A G. c) Nenhum A G. d) Algum G A. e) Nenhum G A. SOLUO: Sabe-se que todos os A que tambm so R, no podem ser G, pois nenhum G R, ento existem alguns A que nunca sero G. Resposta: A OBS.: Os outros itens esto errados por que podem ser verdade ou no, dependendo de como for o diagrama. Mas como no se pode garantir que G e A tm interseo ou no, nada se pode afirmar.

05. Supondo que Nenhum advogado foi reprovado e que Alguns bancrios foram reprovados, podemos logicamente concluir que: a) no pode haver advogado bancrio. b) algum advogado bancrio. c) nenhum advogado bancrio. d) todos os advogados so bancrios. e) alguns bancrios no so advogados.

SOLUO: Do enunciado temos os possveis diagramas: Dessa forma, percebemos que nas duas possibilidades alguns bancrios no so advogados, pois aqueles bancrios que foram reprovados, jamais podero ser advogados, pois nenhum destes foi reprovado. Resposta: E

A

B

R 1o 2o A

B

R

A B

x 50% x 60% x


ALGEBRA DAS PROPOSIES

INTRODUO

A Lgica Matemtica, em sntese, pode ser considerada como a cincia do raciocnio e da demonstrao. Este importante ramo da Matemtica desenvolveu-se no sculo XIX, sobretudo atravs das idias de George Boole, matemtico ingls (1815 - 1864), criador da lgebra Booleana, que utiliza smbolos e operaes algbricas para representar proposies e suas inter-relaes. As idias de Boole tornaram-se a base da Lgica Simblica, cuja aplicao estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computao e da eletrnica.

LGICA MATEMTICA

A lgica matemtica (ou lgica simblica), trata do estudo das sentenas declarativas tambm conhecidas como proposies, as quais devem satisfazer aos dois princpios fundamentais seguintes:

PRINCPIO DO TERCEIRO EXCLUDO: uma proposio s pode ser verdadeira ou falsa, no havendo alternativa.

PRINCPIO DA NO CONTRADIO: uma proposio no pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

Diz-se ento que uma proposio verdadeira possui valor lgico V (verdade) e uma proposio falsa possui valor lgico F (falso). Os valores lgicos tambm costumam ser representados por 0 (zero) para proposies falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposies verdadeiras ( 1 ou V ).

As proposies so indicadas pelas letras latinas minsculas: p, q, r, s, t, u, ... De acordo com as consideraes acima, expresses do tipo, "O dia est bonito" , "3 + 5" , "x um nmero

real" , "x + 2 = 7", etc., no so proposies lgicas, uma vez que no poderemos associar a ela um valor lgico definido (verdadeiro ou falso).

Exemplificamos a seguir algumas proposies, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lgico V ou F. Poderia ser tambm 1 ou 0.

p: "a soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180 " ( V ) q: "3 + 5 = 2" ( F ) r: "7 + 5 = 12" ( V) s: "a soma dos ngulos internos de um polgono de n lados dada por Si = (n 2).180 ( V ) t: "O Sol um planeta" ( F ) w: "Um pentgono um polgono de dez lados " ( F )

SENTENA ABERTA: No pode ser atribudo um valor lgico EX.: Algum est nascendo nesse exato momento Pode ser Verdadeiro (V) ou Falso (F), no se pode afirmar.

SENTENA FECHADA: Pode ser atribudo um valor lgico V ou F. EX.: O professor Pedro Evaristo ensina Matemtica Sentena Verdadeira (V) A soma 2 + 2 igual a 5 Sentena Falsa (F)

SMBOLOS UTILIZADOS NA LGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES)

no e Ou se ... ento se e somente se

tal que Implica Equivalente Existe existe um e somente um qualquer que seja

Aulas 8 a 10


O MODIFICADOR NEGAO Dada a proposio p, indicaremos a sua negao por ~p ou p. (L-se "no p" ).

EXEMPLOS: p: 2 pontos distintos determinam uma nica reta (V) ~p: 2 pontos distintos no determinam uma nica reta (F) q: Joo magro ~q: Joo no magro ~q: No verdade que Joo magro s: Fernando honesto

s: Fernando no honesto s: No verdade que Fernando honesto s: Fernando desonesto

OBS.: Duas negaes equivalem a uma afirmao, ou seja, em termos simblicos: ~(~p) = p. p: Diego dirige bem ~p: Diego no dirige bem ~(~p): No verdade que Diego no dirige bem ESTRUTURAS E OPERAES LGICAS

As proposies lgicas podem ser combinadas atravs dos operadores lgicos , , e , dando origem ao que conhecemos como proposies compostas. Assim, sendo p e q duas proposies simples, poderemos ento formar as seguintes proposies compostas: p q, p q, p q, p q.

Estas proposies compostas recebem designaes particulares, conforme veremos a seguir:

CONJUNO: p q (l-se "p e q" ) DISJUNO: p q (l-se "p ou q") CONDICIONAL: p q (l-se "se p ento q") BI-CONDICIONAL: p q (l-se "p se e somente se q")

Conhecendo-se os valores lgicos de duas proposies simples p e q, como determinaremos os valores

lgicos das proposies compostas acima? Isto conseguido atravs do uso da tabela a seguir, tambm conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.

IMPORTANTE: Afirmao e negao

sempre possuem valores lgicos contrrios!

Se A V, ento ~A F

Se A F, ento ~A V

A ~A

V F

F V


CONJUNO (E)

A conjuno s ser verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B tambm for verdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjuno toda torna-se falsa. EXEMPLO: Analise a afirmao: Nesse final de semana estudarei raciocnio lgico e informtica. A:Estudar raciocnio lgico B:Estudar informtica TABELA VERDADE

A B A B V V V F V F F F F V F F

CONCLUSES:

S existe uma possibilidade para o fim de semana. Para que a afirmao seja verdadeira, deverei estudar raciocnio lgico e informtica.

Observe que a afirmao falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas.

A B Premissa A e premissa B

Premissa A Premissa B Se (V) Ento (V)

Premissa A Premissa B

Ento (V) Se (V)

A B (l-se Premissa A e premissa B)

LINK:

ANLISE PARTINDO DA PREMISSA A SENDO (V)

ANLISE PARTINDO DA PREMISSA B SENDO (V)


DISJUNO NO-EXCLUDENTE (OU)

PREMISSAS NO EXCLUDENTES: so aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o ou significa dizer que pelo menos uma das premissas dever ser verdadeira. Nesse caso o ou significa que pelo menos uma das premissas verdadeira.

EXEMPLO: Analise a afirmao: Este final de semana irei praia ou ao cinema. A:Irei praia B:Irei ao cinema TABELA VERDADE

A B A B V V V V F V F V V F F F

CONCLUSES:

Sabendo que ele foi praia, conclui-se que ele pode ter ido ou no ao cinema. Sabendo que ele no foi praia, conclui-se que certamente foi ao cinema. Sabendo que ele foi ao cinema, conclui-se que ele pode ter ido ou no praia. Sabendo que ele no foi ao cinema, conclui-se que certamente foi praia.

Observe que, nesse caso, o ou significa que eu irei a pelo menos um desses lugares no fim de semana (o fim de semana longo e nada impede de ir aos dois lugares).

A v B Premissa A ou premissa B

Premissa A Premissa B Se (V) Ento (V) ou (F)

Premissa A Premissa B Se (F) Ento (V)


Ento (V) Se (F)

Premissa A Premissa B Ento (V) ou (F) Se (V)

LINK:

ANLISE PARTINDO DA PREMISSA A SENDO (V) OU (F)

ANLISE PARTINDO DA PREMISSA B SENDO (V) OU (F)

A B (l-se Premissa A ou premissa B)


DISJUNO EXCLUDENTE (OU...OU)

Quando estamos trabalhando com disjunes, devemos analisar inicialmente se as premissas so excludentes ou no excludentes. PREMISSAS EXCLUDENTES: so aquelas que no podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o

ou significa dizer que exatamente uma das premissas dever ser verdadeira. Caso seja usado ou...ou, devemos entender que se trata de disjuno excludente.

EXEMPLO: Analise a afirmao: Felipe nasceu ou em Fortaleza, ou em So Paulo. A:Felipe nasceu em Fortaleza B:Felipe nasceu em So Paulo TABELA VERDADE

A B A B V V F V F V F V V F F F

CONCLUSES:

Sabendo que ele nasceu em Fortaleza, conclui-se que no nasceu em So Paulo. Sabendo que ele no nasceu em Fortaleza, conclui-se que nasceu em So Paulo. Sabendo que ele nasceu em So Paulo, conclui-se que no nasceu em Fortaleza. Sabendo que ele no nasceu em So Paulo, conclui-se que nasceu em Fortaleza.

Observe que na tabela verdade falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo, pois fica claro que ningum pode nascer em dois lugares ao mesmo tempo. Ento, a afirmao s ser verdadeira, se exatamente um das duas premissas for verdadeira.

A v B

Ou premissa A, ou premissa B (Premissas excludentes)

Premissa A Premissa B Se (V) Ento (F)

Premissa A Premissa B Se (F) Ento (V)


Ento (V) Se (F)

Premissa A Premissa B Ento (F) Se (V)

A B (l-se Ou premissa A, ou premissa B)



LINK:


CONDICIONAL (SE ... ENTO) Essa condio deixa clara que se a premissa A for verdadeira, ento a premissa B ser necessariamente verdadeira tambm, mas a recproca no vlida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B seja verdadeira. EXEMPLO: Analise a afirmao: Se eu receber dinheiro na sexta-feira ento irei a praia no fim de semana. A:Receber dinheiro na sexta-feira B:Ir a praia no fim de semana TABELA VERDADE

A B A B V V V F V V F F V V F F

CONCLUSES:

Sabendo que eu recebi dinheiro, conclui-se que necessariamente fui praia. Sabendo que eu no recebi dinheiro, conclui-se que eu posso ter ido ou no praia. Sabendo que eu fui praia, conclui-se que eu posso ter recebido ou no o dinheiro. Sabendo que eu no fui praia, conclui-se que necessariamente eu no recebi o dinheiro.

Observe que a afirmao s ser falsa, se eu receber o dinheiro e mesmo assim no for praia.

A B Se premissa A, ento premissa B


Premissa A Premissa B Se (F) Ento (V) ou (F)


Ento (F) Se (F)

Premissa A Premissa B Ento (V) ou (F) Se (V)

Do quadro acima podemos concluir que A B equivalente a

~B ~A Se no for verdadeira a premissa B, ento no ser verdadeira a premissa A

A B (l-se Se premissa A, ento premissa B)



LINK:


OBS.: A condio suficiente para que B ocorra B condio necessria para que A ocorra ~B condio suficiente para que ~A ocorra ~A condio necessria para que ~B ocorra

CONDIO SUFICIENTE: condio mxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer) CONDIO NECESSRIA: condio mnima que deve ser atendida (caso B no ocorra, A no ocorre) RESUMINDO: Quem est do lado esquerdo do condicional sempre condio suficiente para quem fica do lado direito. Quem est do lado direito do condicional sempre condio necessria para quem fica do lado esquerdo. ATENO! Algumas maneiras diferentes de escrever a proposio Se A ento B: A B ~B ~A p: Se chover ento irei ao shopping p: Se chover, irei ao shopping p: Chovendo, irei ao shopping p: Quando chove, vou ao shopping p: Sempre que chove, vou ao shopping p: Toda vez que chove, vou ao shopping p: Caso chova, irei ao shopping p: Chover implica em ir ao shopping p: Chover condio suficiente para ir ao shopping p: Ir ao shopping condio necessria para chover p: Se no for ao shopping ento no choveu p: No chover condio necessria para no ir ao shopping p: No ir ao shopping condio suficiente para no chover

LINK:

LINK:

A B ~B ~A A SUFIENTE para B ~B SUFIENTE para ~A

A B ~B ~A B NECESSRIO para A ~A NECESSRIO para ~B


BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE)

Nessas condies, fica claro que a premissa A s ser verdadeira no caso da premissa B tambm ser. Fica ainda implcito que a recproca vlida, ou seja, a premissa B tambm s ser verdadeira no caso da premissa A tambm ser. EXEMPLO: Analise a afirmao: Irei a praia no fim de semana, se e somente se eu receber dinheiro na sexta-feira. A:Ir a praia no fim de semana B:Receber dinheiro na sexta-feira TABELA VERDADE

A B A B V V V F V F F F V V F F

CONCLUSES:

Sabendo que eu recebi dinheiro, conclui-se que certamente fui praia. Sabendo que eu no recebi dinheiro, conclui-se que eu no fui praia. Sabendo que eu fui praia, conclui-se que porque eu recebi o dinheiro. Sabendo que eu no fui praia, conclui-se que certamente eu no recebi o dinheiro.

Observe que a afirmao s ser verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lgico.

A B Premissa A, se e somente se Premissa B


Premissa A Premissa B Se (F) Ento (F)


Ento (F) Se (F)

Premissa A Premissa B Ento (V) Se (V)

Do quadro acima podemos concluir que A B equivalente a

~A ~B Premissa ~A, se e somente se Premissa ~B

OBS.: A condio necessria e suficiente para que B ocorra B condio necessria e suficiente para que A ocorra

A B (l-se Premissa A, se e somente se a premissa B)

LINK:




TABELA VERDADE

Sejam p e q duas proposies simples, cujos valores lgicos representaremos por (0) ou (F) quando falsa e (1) ou (V) quando verdadeira. Podemos construir a seguinte tabela simplificada:

TABELA VERDADE Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:

a conjuno verdadeira somente quando ambas as proposies so verdadeiras. a disjuno falsa somente quando ambas as proposies so falsas. a condicional falsa somente quando a primeira proposio verdadeira e a segunda falsa. a bi-condicional verdadeira somente quando as proposies possuem valores lgicos iguais.

EQUIVALNCIAS Duas proposies so equivalentes quando possuem os mesmos valores lgicos na tabela verdade, ou

ainda, quando podem substituir uma outra sem perda do sentido lgico. O importante nesse caso no confundir implicao com equivalncia. Por exemplo, dizer que A:Joo

rico implica em dizer que B:Joo no pobre, no entanto, dizer B:Joo no pobre no implica em dizer que A:Joo rico, portanto A e B no so equivalentes, mas podemos afirmar que A implica em B (A B). Por outro lado, se P:Joo honesto ento implica que Q:Joo no desonesto e de forma recproca se Q:Joo no desonesto ento implica que P:Joo honesto, portanto nesse caso P e Q so equivalentes pois uma proposio implica na outra (P Q).

A B = ~B ~A

Ex.: Se chover ento irei ao shopping Se no for ao shopping ento no choveu Se eu receber dinheiro, viajarei Se eu no viajar ento no recebi dinheiro Caso no faa sol, irei entrarei na internet Se eu no entrei na internet ento fez sol A B = B A = (A B) (B A)

Ex.: Se e somente se fizer sol ento irei praia Se e somente se for praia ento fez sol Se e somente se receber dinheiro, viajarei Se receber dinheiro, viajo e se viajar ento eu recebi Se e somente se passar, festejarei Se passar ento festejo e se festejar por que passei A B = (A B) (~A ~B)

Ex.: Se e somente se passar, festejarei Ou passo e festejo, ou no passo e no festejo Se e somente se sentir fome ento comerei Ou senti fome e comi, ou no senti fome e no comi

NEGAES (~) ou ( )

A negao de uma proposio (A) outra proposio (~A) que possui sempre valor lgico contrrio, ou seja, sempre que A for verdadeiro ento ~A falso e quando A for falso ento ~A verdadeiro.

comum o aluno confundir antnimo com negao! Mas cuidado, so coisas diferentes. Por exemplo, rico e pobre so antnimos, mas Joo pobre no a negao de Joo rico, afinal se Joo no for rico no quer dizer que seja pobre, quer dizer apenas que Joo no rico. Mas existe caso em que o antnimo a negao, tais como: culpado e inocente, honesto e desonesto, vivo e morto, dentre outros.

TABELA VERDADE A ~A V F F V

Ex.:

p q p q p q p q p q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V


A: Aline bonita ~A: Aline no bonita (no significa que ela feia) B: Kleyton alto ~B: Kleyton no alto (no significa que ele baixo) C: Daniel magro ~C: Daniel no magro (no significa que ele gordo) E: Karol foi aprovada ~D: Karol foi reprovada (nesse caso, reprovado significa no aprovado) F: Lia culpada ~F: Lia inocente (nesse caso, inocente significa no culpado)

LGEBRA DAS PROPOSIES Sejam p, q e r trs proposies simples e quaisquer, onde V uma proposio verdadeira e F uma proposio falsa. So vlidas as seguintes propriedades:

LEIS IDEMPOTENTES p p = p

Ex.: Eu no minto e s falo a verdade Eu falo a verdade p p = p

Ex.: Ou chover ou cair gua do cu Chover LEIS COMUTATIVAS p q = q p

Ex.: Estudarei lgica e informtica Estudarei informtica e lgica p q = q p

Ex.: Estudarei lgica ou informtica Estudarei informtica ou lgica LEIS DE IDENTIDADE p V = p (Se uma das premissas for necessariamente V, ento o valor lgico depender da premissa p)

Ex.: Amanh vai chover e o Sol amarelo (Pode ser V ou F, depende se chover ou no) p F = F (Se uma das premissas for necessariamente F, ento o valor lgico ser sempre F)

Ex.: Amanh vai chover e a lua quadrada (Ser F, independe de chover ou no) p V = V (Se uma das premissas for necessariamente V, ento o valor lgico ser sempre V)

Ex.: Amanh chover ou o Sol amarelo (Ser V, independe de chover ou no) p F = p

Ex.: Amanh vai chover ou a lua quadrada (Pode ser V ou F, depende se chover ou no)

LEIS COMPLEMENTARES ~(~p) = p (duas negaes equivalem a uma afirmao)

Ex.: No verdade que Monyke no bonita Monyke bonita p ~p = F

Ex.: Irei ao cinema e no irei ao cinema (F) p ~p = V

Ex.: Ou irei ao cinema ou no irei ao cinema (V)


~V = F (a negao de uma verdade sempre falsa) Ex.: No verdade que o Sol amarelo (F) ~F = V (a negao de uma mentira sempre verdade)

Ex.: No verdade que a Lua quadrada (V) LEIS ASSOCIATIVAS (p q) r = p (q r)

Ex.: Sophia linda e inteligente, alm de ser muito legal Sophia linda, alm de inteligente e muito legal (p q) r = p (q r)

Ex.: Irei a praia ou ao cinema, ou irei jogar Ou Irei a praia, ou irei ao cinema ou jogar LEIS DISTRIBUTIVAS p (q r) = (p q) (p r)

Ex.: Estudarei hoje e no fim de semana, ou irei ao cinema ou irei a praia Ou estudarei hoje e no fim de semana irei ao cinema, ou estudarei hoje e no fim de semana irei praia p (q r) = (p q) (p r)

Ex.: Ou viajarei hoje ou no fim de semana irei ao cinema e praia Viajarei hoje ou irei ao cinema no fim de semana, e viajarei hoje ou no fim de semana irei praia LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN Todas as propriedades a seguir podem ser verificadas com a construo das tabelas verdades. ~(p q) = ~p ~q

A conjuno s verdade se as duas proposies forem verdades, portanto se no verdade (p q) por que pelo menos uma das proposies falsa (no precisa que as duas sejam falsas).

Ex: Qual a negao da proposio composta: "Eu estudo e aprendo"? A negao procurada : "Eu no estudo ou no aprendo". Ex.: No verdade que Ribamar carioca e alto Ribamar no carioca ou Ribamar no alto TABELA VERDADE

p q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~q V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V

~(p q) = ~p ~q

A disjuno no-excludente verdade se pelo menos uma das duas proposies for verdadeira, portanto se no verdade (p q) por que as proposies tm que ser falsas.

Ex: Qual a negao da proposio "O Brasil um pas ou a Bahia um estado"? A negao : "O Brasil no um pas e a Bahia no um estado".


Ex.: No verdade que Roslia foi praia ou ao cinema Roslia no foi praia e no foi ao cinema TABELA VERDADE

p q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~q V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V

~(p q) = p ~q

O condicional (p q) s falso se p for verdade e que q for falso, portanto se no verdade (p q) por que as proposies p e ~q tm que ser verdadeiras.

Ex.:

Qual a negao da proposio: "Se eu estudo ento aprendo"? A negao procurada : "Eu estudo e no aprendo" Ex.: No verdade que se Milena receber dinheiro ento viajar Milena recebe dinheiro e no viaja TABELA VERDADE (1)

p q p q ~(p q) V V V F V F F V F V V F F F V F

TABELA VERDADE (2)

p q ~q p ~q V V F F V F V V F V F F F F V F

Observando as ltimas colunas das tabelas verdades (1) e (2), percebemos que elas so iguais, ou seja, ambas apresentam a seqncia F V F F, o que significa que ~(p q) = p ~q .

TAUTOLOGIAS

Dizemos que uma proposio composta uma tautologia, ou seja, uma proposio logicamente verdadeira, quando tem o valor lgico verdadeiro independentemente dos valores lgicos das proposies parciais usadas na sua elaborao.

Ex.: p q: No concurso Joo foi aprovado ou reprovado

CONSIDERE A PROPOSIO COMPOSTA: s: (p q) (p q) onde p e q so proposies simples lgicas quaisquer.


Vamos construir a TABELA VERDADE da proposio s considerando-se o que j foi visto at aqui, teremos:

p q p q p q (p q) (p q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V

Observe que quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies simples p e q, a proposio

composta s sempre logicamente verdadeira. Dizemos ento que s uma TAUTOLOGIA. Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposies:

p: O Sol um planeta (valor lgico F) q: A Terra um planeta plano (valor lgico F),

Podemos concluir que a proposio composta s: "Se o Sol um planeta e a Terra um planeta plano ento o Sol um planeta ou a Terra um planeta

plano" uma proposio logicamente verdadeira.

Ser apresentado a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais voc poder verifica-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades: Sendo p e q duas proposies simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposies compostas, so TAUTOLOGIAS: 1. (p q) p 2. p (p q) 3. [p (p q)] q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens") 4. [(p q) ~q] ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens")

Voc dever construir as tabelas verdades para as proposies compostas acima e comprovar que elas realmente so tautologias, ou seja, na ltima coluna da tabela verdade teremos V V V V.

NOTAS: as tautologias acima so tambm conhecidas como regras de inferncia. como uma tautologia sempre verdadeira, podemos concluir que a negao de uma tautologia sempre

falsa, ou seja, uma contradio.

CONTRADIO Dizemos que uma proposio composta uma contradio, ou seja, uma proposio logicamente falsa,

quando tem o valor lgico falso independentemente dos valores lgicos das proposies parciais usadas na sua elaborao.

Ex.: p q: Sophia nasceu em Fortaleza e em So Paulo p ~p:Amanh chover e amanh no chover

Opostamente a tautologia, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposio composta e verificarmos que ela sempre falsa, diremos que ela uma CONTRADIO.

EXEMPLO: A proposio composta t: p ~p uma contradio, seno vejamos:

p ~p p ~p V F F F V F

Portanto, uma contradio nunca poder ser verdadeira.

LINK:


PROPOSIO COMPOSTA QUALQUER OU CONTINGNCIA

Nesse caso, as proposies compostas que no so nem Tautologia nem Contradio so chamadas de Contingncia, ou seja, podem assumir valor lgico (V) ou (F), dependendo das demais proposies simples. EXEMPLO: Construindo a tabela verdade da proposio composta t: (p q) r, teremos:

NOTA: Se uma proposio composta formada por n proposies simples, a sua tabela verdade possuir 2n linhas.

p q r (p q) (p q) r V V V V V V V F V V V F V F V V F F F F F V V F V F V F F F F F V F V F F F F F


EXEMPLO 01. Todos acreditam que: Co que late, no morde. Considerando verdadeira essa afirmao, ento pode-se concluir que: a) Um co pode latir e mesmo assim me morder. b) Se um co no latir ir morder. c) Se um co no morder por que ele latiu. d) Se um animal latir e morder, ele no um co. e) Todos os animais que no mordem so ces.

SOLUO: Se todo co que late, no morde, ento se um animal latir ele pode ser um co, pois caso contrrio ele no teria mordido. Se um co latir e morder, far com que a afirmao fique falsa. 02. Aponte o item abaixo que mostra a negao de Roslia viajar para Londres ou comprar uma casa. a) No verdade que Roslia viajar para Londres e comprar uma casa b) Roslia no viajar para Londres ou no comprar uma casa c) Roslia no viajar para Londres e no comprar uma casa d) Roslia viajar para Londres e comprar uma casa e) Roslia no viajar para Londres e comprar uma casa

SOLUO: Sabemos que a negao de A B ~(A B) = ~A ~B Portanto, as possveis negaes para Roslia viajar para Londres ou comprar uma casa, so ~(A B): No verdade que Roslia viajar para Londres ou comprar uma casa Ou ento ~A ~B: Roslia no viajar para Londres e no comprar uma casa

03. Sabendo que Chover em Guaramiranga condio suficiente para fazer frio, podemos logicamente concluir que a nica afirmao falsa : a) Se chover em Guaramiranga ento far frio. b) Se no fizer frio em Guaramiranga porqu no choveu. c) choveu em Guaramiranga e no fez frio. d) Sempre que chove em Guaramiranga, faz frio. e) Faz frio em Guaramiranga condio necessria para chover.

SOLUO: A proposio composta dada, equivalente a A B : Se chover em Guaramiranga ento faz frio Portanto, sua negao ser ~(A B) = A ~B Ou ainda ~(A B): No verdade que se chover em Guaramiranga ento faz frio Que por sua vez equivale a A ~B: Choveu em Guaramiranga e no fez frio 04. Sabendo que Sempre que um parlamentar bom um bom poltico, ele honesto e Se um parlamentar honesto, ele um bom poltico. Ento, de acordo com essas afirmaes, podemos dizer que: a) Os polticos so sempre honestos b) Toda pessoa honesta poltico c) Se e somente se um parlamentar for honesto, ser um bom poltico. d) Todo parlamentar bom poltico e honesto e) Se e somente se uma pessoa for honesta, ser um parlamentar.

SOLUO: Observe a equivalncia a seguir (A B) (B A) = A B A situao dada bi-condicional, logo Se somente se um parlamentar for honesto, ser um bom poltico


05. Dizer que: "Andr artista ou Bernardo no engenheiro" logicamente equivalente a dizer que: a) Andr artista se e somente se Bernardo no engenheiro. b) Se Andr artista, ento Bernardo no engenheiro. c) Se Andr no artista, ento Bernardo engenheiro. d) Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista. e) Andr no artista e Bernardo engenheiro. SOLUO: Para resolver essa questo lembre-se que a negao do condicional A B ~(A B) = A ~B Logo ~(~(A B)) = ~(A ~B) Ou ainda, A B = ~A v B Nesse caso, as proposies abaixo so equivalentes ~BB v AA = BB AA VERIFICAO ATRAVS DA TABELA VERDADE Dado AA v ~BB: "Andr artista ou Bernardo no engenheiro" TABELA VERDADE

AA ~BB AA v ~BB V V V V F V F V V F F F

Observe, que apenas a premissa composta BB AA: "Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista" tem os mesmos valores lgicos de AA v ~BB. Onde ~BB a negao de BB, logo eles tero valores lgicos contrrios. TABELA VERDADE

AA BB BB AA V F V V V V F F V F V F

LINK:

NEGAES ~(A B) = ~A v ~B

~(A v B) = ~A ~B

~(A v B) = (A B) v (~A ~B)

~(A v B) = A B

~(A B) = A v B

~(A B) = A ~B

EQUIVALNCIAS A B = (A B) v (~A ~B)

A B = (A B) (B A)

A B = B A

A B = ~B ~A

A B = ~(A ~B) = ~A v B

A = ~(~A)


ARGUMENTAO INTRODUO

A anlise de um conjunto de proposies requer conhecimento da lgebra das proposies visto nas aulas anteriores, sobretudo os links apresentados para cada conectivo estudado: ou , ou...ou , e , se...ento

e se e somente se . Tudo consiste em organizar as proposies (de preferncia usando linguagem simblica), localizar um ponto de partida atravs de uma proposio simples dada (ou de uma hiptese) e a partir da, atravs de um efeito domin, deduzir todos os valores lgicos (V ou F) das outras proposies simples, admitindo que todas as proposies compostas so verdadeiras.

INFERNCIA

Inferncia, do latim inferre, o mesmo que deduo. Em lgica, inferncia a passagem, atravs de regras vlidas, do antecedente ao conseqente de um argumento.

A inferncia , portanto, um processo pelo qual se chega a uma proposio, afirmada na base de uma ou outras mais proposies aceitas como ponto de partida do processo.

Ento, inferir significa deduzir.

PREMISSA

Num silogismo (raciocnio ou conexo de idias), as premissas so os dois juzos que precedem a concluso e dos quais ela decorre como conseqente necessrio - antecedentes - de que se infere a conseqncia. Nas premissas, o termo maior (predicado da concluso) e o menor (sujeito da concluso) so comparados com o termo mdio e assim temos premissa maior e premissa menor segundo a extenso dos seus termos. O silogismo estruturado do seguinte modo:

Todo homem mortal (premissa maior) homem o sujeito lgico, e fica frente da cpula; representa a cpula, isto , o verbo que exprime a relao entre sujeito e predicado; mortal o predicado lgico, e fica aps a cpula.

Scrates homem (premissa menor) Scrates mortal (concluso)

H palavras que ajudam a identificar as premissas (indicadores das premissas), como: se, caso, quando, porque, desde que, pois que, como, dado que, tanto mais que, pela razo de que.

Podemos ento dizer que as premissas so as proposies que, em uma argumentao, precedem a concluso.

CONCLUSO A concluso de um argumento aquela que se afirma com base nas outras proposies desse mesmo

argumento, e, por sua vez, essas outras proposies que so enunciadas como prova ou razes para aceitar a concluso so as premissas desse argumento.

Proposio normalmente usado para expressar o significado de uma sentena ou orao declarativa. Note que "proposio" e "enunciado" no so sinnimos, mas no contexto lgico so usados em sentido quase idntico

Oportuno esclarecer que "premissa" e "concluso" so termos relativos, uma s proposio pode ser premissa num argumento e concluso noutro. Isoladamente, nenhuma proposio uma premissa ou uma concluso. "S premissa quando ocorre como pressuposio num argumento ou raciocnio. S concluso quando ocorre num argumento em que se afirma decorrer das proposies pressupostas nesse argumento". Deste modo premissa e concluso so termos relativos, como empregador e empregado, dependem do contexto: empregador para a sua domstica, empregado para a empresa que trabalha.

Frequentemente, a concluso apresentada (enunciada) primeiro, seguindo-se-lhe as premissas propostas em seu apoio. Mas pode corretamente estar no final do argumento ou intercalada entre as premissas.

Palavras como: portanto, da, logo, assim, consequentemente, segue-se que, podemos inferir, podemos concluir, so indicadores da concluso.

Aulas 11 e 12


ARGUMENTO

Argumento uma linha de raciocnio utilizada em um debate para defesa de um ponto de vista. O argumento o elemento bsico para a fundamentao de uma teoria.

O argumento exprime com freqncia o conceito geral de prova. Chama-se argumento porque estimula a mente e a ilumina para intuir a verdade e dar-lhe a sua adeso.

No mnimo, um argumento envolve duas proposies: uma premissa (ou mais) e uma concluso. Para se distinguir um argumento correto de um incorreto preciso, antes de mais, reconhecer quando os argumentos ocorrem e identificar as suas premissas e concluses. EXEMPLO: Todo homem mortal

Eu sou um homem

Eu sou mortal EXEMPLO: Se eu receber dinheiro, viajo

Se eu viajar, fico feliz

Recebi dinheiro

Estou feliz EXEMPLO: Caso no chova, irei a praia

Caso v praia, bronzeio

Se no chover, bronzeio

PROVA

A palavra prova no processo, bem como em outros ramos das cincias, pode assumir diferentes conotaes. Tanto o que possui vrios sentidos tanto na linguagem popular quanto no uso tcnico, e dentre eles, o dos juristas. Em direito, prova qualquer evidncia factual que ajude a estabelecer a verdade de algo.

Prova todo meio destinado a convencer o juiz, seu destinatrio, a respeito da verdade de um fato levado a juzo.

O vocbulo prova serve tambm para nomear os elementos fornecidos ao juiz, pela atividade probatria, para que este, com eles, reconstrua mentalmente aqueles fatos relevantes.

ANALOGIA Uma analogia uma relao de equivalncia entre duas outras relaes. As analogias tm uma forma de expresso prpria que segue o modelo: A est para B, assim como C est

para D. Por exemplo, diz-se que: "Os patins esto para o patinador, assim como os esquis esto para o esquiador". Ou seja, a relao que os patins estabelecem com o patinador idntica relao que os esquis estabelecem com o esquiador.

A maior parte das pessoas achar a analogia dos esquis/patins verdadeira. No entanto, extremamente difcil estabelecer de forma rigorosa porque que verdadeira. Normalmente, as analogias so fluidas e uma anlise mais detalhada poder revelar algumas imperfeies na comparao. Afinal, esquiar e patinar so atividades parecidas, mas no so exatamente iguais.

Em matemtica foi desenvolvida uma verso mais formal de analogia, o isomorfismo.

PREMISSAS

CONCLUSO

ARGUMENTAO

PREMISSAS

CONCLUSO

ARGUMENTAO

PREMISSAS

CONCLUSO

ARGUMENTAO


DEDUO

Raciocinar dedutivamente, partir de premissas gerais, em busca de uma verdade particular. Exemplo: O Ser humano imperfeito; Eu sou um ser humano; Logo, eu sou imperfeito;

Exemplo: Todo mamfero tem um corao; Todos os cavalos so mamferos; Logo, todos os cavalos tm corao;

INDUO

Os indutivistas acreditavam que as explicaes para os fenmenos advinham unicamente da observao dos fatos. Ento, raciocinar indutivamente partir de premissas particulares, na busca de uma lei geral, universal. EXEMPLO: Sabe-se que: O ferro conduz eletricidade O ferro metal O ouro conduz eletricidade O ouro metal O cobre conduz eletricidade O cobre metal

Logo os metais conduzem eletricidade.

EXEMPLO: Todos os cavalos at hoje observados tinham um corao; Logo, todos os cavalos tem um corao;

O princpio de induo no pode ser uma verdade lgica pura, tal como uma tautologia ou um enunciado analtico, pois se houvesse um princpio puramente lgico de induo, simplesmente no haveria problema de induo, uma vez, que neste caso todas as inferncias indutivas teriam de ser tomadas como transformaes lgicas ou tautolgicas, exatamente como as inferncias no campo da Lgica Dedutiva.

EXEMPLO

01. Dadas as seguintes premissas Caso no chova no fim de semana, irei a praia Quando vou praia, como caranguejo Sempre que como caranguejo, tomo refrigerante Esse fim de semana no choveu

Ento a concluso ser que nesse fim de semana a) Comi caranguejo e tomei refrigerante b) No comi caranguejo e tomei refrigerante c) Comi caranguejo e no tomei refrigerante d) No comi caranguejo e no tomei refrigerante SOLUO: Representando por siglas as proposies, torna-se mais fcil a representao simblica. CH: "Chover no fim de semana" P: "Irei a praia" CC: "Comer caranguejo" R: "Tomar refrigerante"

Ento, do enunciado, podemos escrever as proposies em linguagem simblica da seguinte forma:

~CH P


P CC CC R ~CH Partindo da proposio simples "No choveu no fim de semana" (~CH), segue por efeito domin a seqncia conclusiva representada pelas setas.

~CH P V V

P CC V V CC R V V

~CH V

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03. Um advogado usou as proposies a seguir, para argumentar a inocncia de seu cliente. Se Joo no estava na cidade ento ele inocente Se Joo estava na cidade ento almoou na casa da me no domingo Ou Joo almoou na casa da me no domingo, ou visitou Ana na cidade vizinha Se e somente se Joo recebeu dinheiro na sexta-feira, visitou Ana na cidade vizinha De acordo com seu extrato, Joo recebeu dinheiro na sexta-feira

Tomando como verdadeiras todas as proposies, o jri concluiu que: a) Joo inocente e no visitou Ana b) Joo inocente e visitou Ana c) Joo culpado e no visitou Ana d) Joo culpado e visitou Ana e) O jri no conseguiu chegar a uma concluso SOLUO: Sejam JC: "Joo estava na cidade " I: "Inocente" AM: "almoou com a me" VA: " visitou Ana" RD: "Recebeu dinheiro"

Ento, do enunciado, podemos escrever as proposies em linguagem simblica da seguinte forma:

~JC I JC AM AM VA RD VA RD Partindo da proposio simples "Joo recebeu dinheiro" (RD), segue por efeito domin a seqncia conclusiva representada pelas setas. ~JC I V V JC AM F F AM VA F V RD VA V V RD V Portanto, Joo inocente, no almoa com a me e visita Ana na cidade vizinha.

RESPOSTA: Item B 04. (IPAD) Se Ludwig entende de Lgica, ento h um rinoceronte na sala. Se h um rinoceronte na sala, ento Bertrand no entende de Lgica. Se Bertrand no entende de Lgica, ento George culpado. Mas George no culpado. Logo: a) H um rinoceronte na sala e Ludwig no entende de Lgica. b) Bertrand entende de Lgica e no h um rinoceronte na sala. c) H um rinoceronte na sala e Bertrand no entende de Lgica. d) Bertrand no entende de Lgica, mas Ludwig entende. e) No h um rinoceronte na sala e Ludwig entende de Lgica.

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EFEITO DOMIN: 1. Transferindo a informao inicial; 2. Como ele recebeu dinheiro, tem que ter ido visitar Ana; 3. Transferindo essa informao; 4. No ou...ou, somente uma das afirmaes verdadeira, logo AM F; 5. Transferindo essa informao; 6. Se JC fosse V, ento AM tinha que ser V, logo JC F; 7. A negao sempre tem valor lgico contrrio; 8. Transferindo essa informao;


SOLUO: Sejam LL RS : Ludwig entende de Lgica, ento h um rinoceronte na sala RS ~BL : Se h um rinoceronte na sala, ento Bertrand no entende de Lgica ~BL GC : Se Bertrand no entende de Lgica, ento George culpado Sabendo que George no culpado V, ento GC F, segue ento ~BL GC F F RS ~BL F F LL RS F F

EXERCCIOS 01. Sabe-se que ou Joo rico, ou Maria no bonita. Sabe-se ainda que ou Maria bonita ou Jos carpinteiro. Ora, Jos no carpinteiro. Logo: a) Maria no bonita b) Joo no rico c) Jos rico d) Jos no rico e) Maria bonita 02. Se Joo rico, Maria bonita. Se Maria bonita, Jos carpinteiro. Ora, Jos no carpinteiro. Logo: a) Maria bonita b) Joo rico c) Jos rico d) Joo no rico e) Maria rica 03. Se Ana no advogada, ento Sandra secretaria. Se Ana advogada, ento Paula no professora. Ora, Paula professora, portanto: a) Ana advogada b) Sandra secretria c) Ana advogada ou Paula no professora d) Ana advogada e Paula professora e) Ana no advogada e Sandra no secretria. 04. Receber dinheiro condio suficiente para eu viajar. Viajar condio suficiente para eu ficar feliz. Fazer uma boa ao condio necessria para eu ficar feliz. Sabendo que eu recebi dinheiro, ento: a) Estou feliz e fiz uma boa ao. b) Estou feliz, mas no fiz uma boa ao. c) No estou feliz, mas fiz uma boa ao. d) No estou feliz e no fiz uma boa ao. 05. (ESAF) Ou A=B, ou B=C, mas no ambos. Se B=D, ento A=D. Ora, B=D. Logo: a) B C b) B A c) C = A d) C = D e) D A GABARITO 01. E 02. D 03. B 04. A 05. A

Concluses: Como ~BL F, ento BL V, logo Bertrand entende de lgica Como RS F, ento ~RS V, logo No h um rinoceronte na sala

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EXERCCIOS 01. Observe a seqncia de figuras desenhadas:

Procure entender a lgica dessa seqncia e aponte qual ser a 100 figura. a) b) c) d) e) 02. Considere a seqncia de figuras:

Mantendo a mesma lei de formao, a 1 figura igual a) 11 figura b) 12 figura c) 13 figura d) 14 figura e) 15 figura 03. (FCC) Em cada linha do quadrado abaixo, as figuras foram desenhadas obedecendo a um mesmo padro de construo.

Segundo esse padro, a figura que dever substituir corretamente o ponto de interrogao

a) b) c) d) e) 04. (FCC) Jos decidiu nadar no clube, regularmente, de quatro em quatro dias. Comeou a faz-lo em um sbado; nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte, depois no domingo e assim por diante. Nesse caso, na centsima vez em que Jos for nadar, qual ser o dia da semana? a) tera b) quarta c) quinta d) sexta e) sbado 05. (FCC) Regina e Roberto viajaram recentemente e voltaram trs dias antes do dia depois do dia de antes de amanh. Hoje tera-feira. Em que dia Regina e Roberto voltaram? a) quarta b) quinta c) sexta d) sbado e) domingo

FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4

. . .

Aulas 13 e 14


06. (FCC) Se ba o sexto termo da seqncia de fraes irredutveis

31 ,

37 ,

157 ,

1531 ,

6331 ,... . Se ela est

logicamente estruturada, ento a+b igual a: a) 190 b) 182 c) 178 d) 202 07. (FCC) Considere que os nmeros que compem a seqncia (414, 412, 206, 204, 102, 100,...) obedecem a um lei de formao. A soma do nono e dcimo termos dessa seqncia igual. a) 98 b) 72 c) 58 d) 46 e) 38 08. (FCC) Os termos da seqncia (2, 5, 8, 4, 8, 12, 6, 11, 16, ...) so obtidos atravs de uma lei de formao. Determine a soma do dcimo e do dcimo segundo termos dessa seqncia, obtidos segundo essa lei. a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 09. (FCC) Segundo um determinado critrio, foi construda a sucesso seguinte em que cada termo composto de um nmero seguido de uma letra:

A 1 E 2 B 3 F 4 C 5 G 6 D 7 Considerando que no alfabeto usado so excludas as letras K, Y e W, ento, de acordo com o critrio estabelecido, a letra que dever anteceder o nmero 12 a) J b) H c) I d) F e) E 10. (FCC) Observe que, no diagrama abaixo, foram usados somente as letras K, R, C, S, A, F, X, H, T e que cada linha tem uma letra a menos que a anterior.

K R C S A F X H T S T C K X F R H F H K T R S X H K R X S T T R S K X

Se as letras foram retiradas obedecendo a um certo critrio, ento a prxima letra a ser retirada ser a) T b) R c) S d) K e) X GABARITO 01. B 02. C 03. B 04. B 05. E 06. A 07. D 08. A 09. A 10. D


EXERCCIOS

01. Joo mais velho do que Pedro, que mais novo do que Carlos; Antnio mais velho do que Carlos, que mais novo do que Joo. Antnio no mais novo do que Joo e todos os quatro meninos tm idades diferentes. O mais jovem deles : a) Joo b) Antnio c) Pedro d) Carlos 02. Cinco camisetas de cores diferentes foram dispostas em uma pilha. A branca est abaixo da laranja e acima da azul. A vermelha est acima da marrom e esta fica abaixo da branca. A laranja e a branca se encostam, assim como esta e a marrom. Qual a cor da camiseta do topo da pilha? a) Azul b) Laranja c) Branca d) Vermelha e) Marrom

03. (FCC) Cinco times: Antares, Bilbao, Cascais, Dali e Elite, disputam um campeonato de basquete e, no momento, ocupam as cinco primeiras posies na classificao geral. Sabe-se que:

Antares est em um primeiro lugar e Bilbao est em quinto; Cascais est exatamente na posio intermediria entre Antares e Bilbao; Deli est frente do Bilbao, enquanto que o Elite est imediatamente atrs do Cascais.

Nessas condies, correto afirmar que: a) Cascais est em segundo lugar. b) Deli est em quarto lugar. c) Deli est em segundo lugar. d) Elite est em segundo lugar. e) Elite est em terceiro lugar.

04. Sete funcionrios de uma empresa (Arnaldo, Beatriz, Carlos, Douglas, Edna, Flvio e Geraldo) foram divididos em 3 grupos para realizar uma tarefa. Esta diviso foi feita de modo que: cada grupo possui no mximo 3 pessoas;Edna deve estar no mesmo grupo que Arnaldo; Beatriz e Carlos no podem ficar no mesmo grupo que Geraldo; Beatriz e Flvio devem estar no mesmo grupo; Geraldo e Arnaldo devem ficar em grupos distintos; nem Edna nem Flvio podem fazer parte do grupo de Douglas. Estaro necessariamente no mesmo grupo: a) Arnaldo e Carlos; b) Arnaldo e Douglas; c) Carlos e Flvio; d) Douglas e Geraldo;

05. Alysse, Bruna e Carol fazem aniversrio no mesmo dia, mas no tm a mesma idade, pois nasceram em trs anos consecutivos. Uma delas Psicloga, a outra Fonoaudiloga e a mais nova Terapeuta. Bruna a mais nova e tm 25 anos. Carol a mais velha e no Psicloga.Dessa forma, podemos conckuir que: a) Carol a Psicloga e Bruna tem 26. b) Bruna a Terapeuta e Carol tem 27. c) Bruna a Terapeuta e Carol tem 26. d) Alysse a Psicloga e Carol tem 26. e) Alysse a Terapeuta e Carol tem 27.

Aulas 15 a 17


06. Um agente de viagens atende trs amigas. Uma delas loira, outra morena e a outra ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Anna, outra se chama Monyke e a outra se chama Carine. Sabe, ainda, que cada uma delas far uma viagem a um pas diferente da Europa: uma delas ir Alemanha, outra Frana e a outra ir Inglaterra. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informaes:

A loira: No vou Frana nem Inglaterra A morena: Meu nome no Monyke nem Carine A ruiva: Nem eu nem Monyke vamos Frana

O agente de viagens concluiu, ento, acertadamente, que: a) A loira Carine e vai Alemanha. b) A ruiva Carine e vai Frana. c) A ruiva Anna e vai Inglaterra. d) A morena Anna e vai Inglaterra. e) A loira Monyke e vai Alemanha. 07. Com relao a trs funcionrios do tribunal, sabe-se que: Joo mais alto que o recepcionista; Mrio escrivo; Lus no o mais baixo dos trs; Um deles escrivo, o outro recepcionista e outro segurana; Como base nisso, podemos afirmar que: a) Joo recepcionista e Mrio o mais baixo. b) Joo escrivo e Mrio o mais alto. c) Joo escrivo e Mrio o mais baixo. d) Luis o recepcionista e Joo o mais alto. e) Luis o recepcionista e Joo o mais baixo. 08. (FCC) Quatro empresas (Maccorte, Mactex, Macval, Macmais) participam de uma concorrncia para compra de certo tipo de mquina. Cada empresa apresentou um modelo diferente do das outras (Thor, Hrcules, Netuno, Zeus) e os prazos de entrega variavam de 8 a 14 dias. Sabe-se que:

Sobre os prazos de entrega, Macval apresentou o menor e Mactex o maior. O modelo Zeus foi apresentado pela Maccorte, com prazo de entrega de 2 dias a menos do que a Mactex. O modelo Hrcules seria entregue em 10 dias. Macval no apresentou o modelo Netuno.

Nessas condies, o modelo apresentado pela empresa a) Macval foi o Hcules. b) Mactex foi o Thor. c) Macmais foi o Thor. d) Mactex foi o Netuno e) Macval foi o Netuno 09. (FCC) Certo dia, trs tcnicos judicirios Altamiro, Benevides e Corifeu receberam, cada um, um lote de processos para arquivar e um lote de correspondncias a serem expedidas. Considere que: tanto a tarefa de arquivamento, quanto a de expedio devem executadas no mesmo dia e nos seguintes

horrios: das 10 s 12 horas, das 14 s 16 horas e das 16 s 18 horas; dois funcionrios no podem ficar responsveis pela mesma tarefa no mesmo horrio; apenas Altamiro arquivou os processos e expediu as correspondncias que recebeu em um mesmo horrio; nem as correspondncias expedidas e nem os processos arquivados por Benevides ocorreram de 10 s 12h; Corifeu expediu toda a correspondncia de seu respectivo lote das 16 s 18 horas.

Nessas condies, verdade que a) os processos dos lotes de Altamiro foram arquivados das 16 s 18 horas. b) as correspondncias dos lotes de Altamiro foram expedidas das 14 s 16 horas. c) Benevides arquivou os processos de seu lote das 10 s 12 horas. d) o lote de processos que coube a Benevides foi arquivado das 10 s 12 horas. e) Altamiro expediu as correspondncias de seu lote das 10 s 12 horas.


10. Alysse, Bruna e Carol so suspeitas de ter comido a ultima fatia do bolo da vov. Quando perguntadas sobre o fato, declararam o seguinte: ALYSSE: Foi a Bruna que comeu BRUNA: Alysse est mentindo CAROL: No fui eu Sabendo que apenas uma delas est dizendo a verdade e que apenas uma delas comeu o bolo, descubra quem comeu o bolo. a) Carol b) Bruna c) Alysse d) Denisa 11. Quando a me de Alysson, Bosco, Carlos e Daniel, chega em casa, verifica que seu vaso preferido havia sido quebrado. Interrogados pela me, eles fazem as seguintes declaraes: "Me, o Bosco foi quem quebrou" disse Alysson "Como sempre, o Daniel foi culpado" disse Bosco "Me, sou inocente" disse Cleber Claro que o Bosco est mentindo" disse Daniel

Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, diga quem quebrou o vaso. a) Alysson b) Bosco c) Cleber d) Daniel GABARITO 01. C 02. D 03. C 04. D 05. B 06. E 07. D 08. D 09. E 10. A 11. C


EXERCCIOS

01. (ESAF) Sete meninos, Armando, Bernardo, Cludio, Dlcio, Eduardo, Fbio e Gelson, estudam no mesmo colgio e na mesma turma de aula. A direo da escola acredita que se esses meninos forem distribudos em duas diferentes turmas de aula haver um aumento em suas respectivas notas. A direo prope, ento, a formao de duas diferentes turmas: a turma T1 com 4 alunos e a turma T2 com 3 alunos. Dada as caractersticas dos alunos, na formao das novas turmas, Bernardo e Dlcio devem estar na mesma turma. Armando no pode estar na mesma turma nem com Bernardo, nem com Cludio. Sabe-se que, na formao das turmas, Armando e Fbio foram colocados na turma T1. Ento, necessariamente, na turma T2, foram colocados os seguintes alunos: a) Armando e Bernardo b) Armando e Cludio c) Cludio e Eduardo d) Cludio e Dlcio e) Bernardo e Fbio 02. (ESAF) Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto, no necessariamente nessa ordem, ocupam as quatro primeiras posies no grid de largada de uma corrida. O carro que est imediatamente atrs do carro azul, foi menos veloz nos treinos do que o que est mediatamente a frente do carro azul. No treino, o carro verde foi o menos veloz de todos e por isso larga atrs do carro azul. O carro amarelo larga atrs do carro preto. As cores do primeiro e do segundo carro do grid, so, respectivamente, a) amarelo e verde. b) preto e azul. c) azul e verde. d) verde e preto. e) preto e amarelo. 03. (ESAF) Trs rapazes - Alaor, Marcelo e Celso - chegam a um estacionamento dirigindo carros de cores diferentes. Um dirigindo um carro amarelo, o outro um carro bege e o terceiro um carro verde. Chegando ao estacionamento, o manobrista perguntou quem era cada um deles. O que dirigia o carro amarelo respondeu: Alaor o que estava dirigindo o carro bege. O que estava dirigindo o carro bege falou: eu sou Marcelo. E o que estava dirigindo o carro verde disse: Celso quem estava dirigindo o carro bege. Como o manobrista sabia que Alaor sempre diz a verdade, que Marcelo s vezes diz a verdade e que Celso nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar quem era cada pessoa. As cores dos carros que Alaor e Celso dirigiam eram, respectivamente, iguais a: a) amarelo e bege b) verde e amarelo c) verde e bege d) bege e amarelo e) amarelo e verde 04. (ESAF) Cinco moas, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, esto vestindo blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moas que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda so, respectivamente: a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela. b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela. c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela. d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela. e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.

Aula 18


05. (ESAF) Trs amigos Lucas, Mrio e Nelson moram em Teresina, Rio de Janeiro e So Paulo no necessariamente nesta ordem. Todos eles vo ao aniversrio de Maria que h tempos no os encontrava. Tomada de surpresa e felicidade, Maria os questiona onde cada um deles mora, obtendo as seguintes declaraes:

Nelson: Mrio mora em Teresina.

Lucas: Nelson est mentindo, pois Mrio mora em So Paulo.

Mrio: Nelson e Lucas mentiram, pois eu moro em So Paulo.

Sabendo que o que mora em So Paulo mentiu e que o que mora em Teresina disse a verdade, segue-se que Maria concluiu que, Lucas e Nelson moram, respectivamente em a) Rio de Janeiro e Teresina. b) Teresina e Rio de Janeiro. c) So Paulo e Teresina. d) Teresina e So Paulo. e) So Paulo e Rio de Janeiro. GABARITO 01. D 02. E 03. C 04. E 05. A


EXERCCIOS

01. (ESAF) A proposio Algum advogado bancrio equivalente a: a) No h advogado bancrio. b) Todas as pessoas so advogados. c) Pelo menos um advogado bancrio. d) Todos os advogados so bancrios. e) Todos os bancrios no so advogados. 02. (ESAF) Qual a equivalncia de Todo comerciante rico? a) Nenhum comerciante rico. b) Todo comerciante no pobre. c) Nem todo comerciante rico. d) No h comerciante pobre. e) Nenhum comerciante no rico. 03. (ESAF) A equivalncia de Nenhum poltico honesto : a) Todas as pessoas so honestas. b) Todos os polticos so desonestos. c) Ningum honesto. d) Todo poltico honesto. e) Pelo menos um poltico honesto. 04. (ESAF) Qual a negao de Todo artista elegante. a) Nenhum artista elegante. b) Todas as pessoas so elegantes. c) Ningum elegante. d) Todo artista no elegante. e) Pelo menos um artista no elegante. 05. (ESAF) Considere que os argumentos so verdadeiros:

Todo comilo gordinho; Todo guloso comilo;

Com base nesses argumentos, correto afirmar que: a) Todo gordinho guloso. b) Todo comilo no guloso. c) Pode existir gordinho que no guloso. d) Existem gulosos que no so comiles. e) Pode existir guloso que no gordinho. 06. (ESAF) Das premissas: Nenhum A B. Alguns C so B, segue, necessariamente, que: a) nenhum A C. b) alguns A so C. c) alguns C so A. d) alguns C no so A. e) nenhum C A. 07. (ESAF) Das premissas: Algum A B e Todo B C, segue, necessariamente, que: a) Todo A C. b) Algum A no C. c) Nenhum A C. d) Algum A C. e) Nenhum C A. GABARITO 01. C 02. E 03. B 04. E 05. C 06. D 07. D

Aula 19


EXERCCIOS 01. (ESAF) Uma sentena logicamente equivalente a Se Ana bela, ento Carina feia : a) Se Ana no bela, ento Carina no feia. b) Ana bela ou Carina no feia. c) Se Carina feia, Ana bela. d) Ana bela ou Carina feia. e) Se Carina no feia, ento Ana no bela. 02. (ESAF) Joo afirma que Paulo rico e Maria bonita. Do ponto de vista lgico, se Paulo est mentindo, ento podemos dizer que: a) Paulo rico ou Maria bonita. b) Paulo no rico e Maria no bonita. c) Nem Paulo rico, nem Maria bonita. d) Paulo no rico ou Maria no bonita. e) Se Paulo rico ento Maria bonita. 03. (ESAF) Sabe-se que Beto beber condio necessria para Carmem cantar e condio suficiente para Denise danar. Sabe-se, tambm, que Denise danar condio necessria e suficiente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta, a) Beto no bebe ou Ana no chora. b) Denise dana e Beto no bebe. c) Denise no dana ou Ana no chora. d) nem Beto bebe nem Denise dana. e) Beto bebe e Ana chora. 04. (ESAF) Carmem, Gerusa e Maribel so suspeitas de um crime. Sabe-se que o crime foi cometido por uma ou mais de uma delas, j que podem ter agido individualmente ou no. Sabe-se que, se Carmem inocente, ento Gerusa culpada. Sabe-se tambm que ou Maribel culpada ou Gerusa culpada, mas no as duas. Maribel no inocente. Logo, a) Gerusa e Maribel so as culpadas. b) Carmem e Maribel so culpadas. c) somente Carmem inocente. d) somente Gerusa culpada. e) somente Maribel culpada. 05. (ESAF) Se o duende foge do tigre, ento o tigre feroz. Se o tigre feroz, ento o rei fica no castelo. Se o rei fica no castelo, ento a rainha briga com o rei. Ora, a rainha no briga com o rei. Logo: a) o rei no fica no castelo e o duende no foge do tigre. b) o rei fica no castelo e o tigre feroz. c) o rei no fica no castelo e o tigre feroz. d) o tigre feroz e o duende foge do tigre. e) o tigre no feroz e o duende foge do tigre. 06. (ESAF) Ana, Beatriz e Carla desempenham diferentes papis em uma pea de teatro. Uma delas faz o papel de bruxa, a outra o de fada, e a outra o de princesa. Sabe-se que: ou Ana bruxa, ou Carla bruxa; ou Ana fada, ou Beatriz princesa; ou Carla princesa, ou Beatriz princesa; ou Beatriz fada, ou Carla fada. Com essas informaes conclui-se que os papis desempenhados por Ana e Carla so, respectivamente: a) bruxa e fada b) bruxa e princesa c) fada e bruxa d) princesa e fada e) fada e princesa

Aula 20


07. (ESAF) Ana possui tem trs irms: uma gremista, uma corintiana e outra fluminense. Uma das irms loira, a outra morena, e a outra ruiva. Sabe-se que:

1) ou a gremista loira, ou a fluminense loira; 2) ou a gremista morena, ou a corintiana ruiva; 3) ou a fluminense ruiva, ou a corintiana ruiva; 4) ou a corintiana morena, ou a fluminense morena.

Portanto, a gremista, a corintiana e a fluminense, so, respectivamente, a) loira, ruiva, morena

90015579 Apostila Raciocinio Logico Pedro Evaristo Athenas PDF

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