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F A S C Í C U L O

FASCÍCULO

MATEMÁTICAE SUAS TECNOLOGIASMATEMÁTICA

16

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 16

FASCÍCULO

CARO ALUNO,Na Área de Matemática e suas Tecnologias, após uma análise estatística dos Objetos do Conhecimento abordados desde a criação do Novo Enem, tratamos de selecionar cuidadosamente os assuntos que listamos agora, trabalhados nos fascículos anteriores: Função Afim, Função Quadrática, Funções Exponenciais e Logarítmicas, Análise Combinatória, Probabilidade e Estatística, Proporcionalidade na Geometria, Trigonometria e suas aplicações e Volumes e suas aplicações.Para finalizar, neste fascículo, abordamos as Razões e Proporções, Sequências e Progressões e, finalmente, Porcentagem e Juros.Chegamos ao final do Projeto Enem 2015, com este fascículo número 16, certos da enorme contribuição que proporcionamos ao seu aprendizado que será traduzido na sua aprovação no curso desejado.

Sucesso e até breve!

INTRODUÇÃO

Os números soltos, isolados, para nada servem, mas,

embutidos de significados tudo explicam. Construir significados

para as razões e proporções é o foco principal do texto seguinte.

Para isso, você terá acesso a uma consistente fundamentação

teórica, acompanhada de situações-problema dentro das

habilidades de Matriz de Referência de Matemática e suas

Tecnologias, matriz essa que serve de base para o Enem.

OBJETO DO CONHECIMENTO

Razões e Proporções

Conceito de razão• A razão entre duas grandezas é o quociente entre elas.

Assim, por exemplo, se numa festa comparecerem 20 homens e 30 mulheres, dizemos que:I. A razão entre o número de homens e o de mulheres na

festa é:

n de s

n de

º

º

homen

mulheres(lê -se: 2 para 3)= =20

30

2

3

Isso significa que para cada 2 homens existem 3 mulheres.

II. A razão entre o número de mulheres e o total de pessoas na festa é:

n de mulheres

n total de

º

º pessoas(lê -se: 3 para 5)=

+= =20

20 30

30

50

3

5

Isso nos diz que para cada 5 pessoas na festa, 3 são são mulheres.

Em geral , dados dois números reais a e b , com

b ≠ 0 , usamos a

b ou a : b para indicar a razão entre a e b ,

respectivamente.

Na razão a

b (lê-se: a para b), o número a é chamado

de antecedente e o número b, de consequente.

Raz o entre ea

bã a b =

ProporçãoProporção é uma igualdade entre duas razões.

Quando dizemos que os números reais a, b, c, d, não nulos, formam, nessa ordem, uma proporção, significa que se tem a seguinte igualdade:

a

b

c

dou a b c d= =: :

(Lê-se: a está para b, assim como c está para d)

Observe, na última igualdade acima, que os termos a e d ficaram nas extremidades (a e d são chamados de extremos da proporção); já os termos b e c ficaram no meio (b e c são os meios da proporção).

Propriedades da proporção

Se a

b

c

d= , com a, b, c, d, reais não nulos, temos:

a

b

c

dk

a kbc kd

= = ⇒ =={ = k (constante de proporcionalidade)

Sendo assim, temos as seguintes propriedades:

I. a

b

c

d= ⇒ ad bc (propriedade fundamental)

“Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.”

II. a

b

c

d

a

b

c

d

a c

b d= ⇒ = = +

+

III. a

b

c

d

a

a b

c

c d= ⇒

+=

+

2 Matemática e suas Tecnologias

Números Diretamente ProporcionaisConsidere as seguintes sequências numéricas:

1ª sequência: (2, 6, 4, 10)

x2

x3

2ª sequência: (6, 18, 12, 30)

x2

x3

Nessas sequências, observe que elas crescem ou decrescem na mesma razão inversa, isto é, se um dado elemento de uma delas triplica, por exemplo, o correspondente desse elemento na outra sequência também triplica. Em outras palavras, os elementos correspondentes nas duas sequências estão na mesma razão. Veja:

6

2

18

6

12

4

30

103

612 3 430 3 10

= = = =

⋅⋅

= ⋅= ⋅

, isto ,

6 = 3 218 = 3é

Em geral, dizemos que os números da sucessão numérica (a

1, a

2, a

3, ..., a

n ) são diretamente proporcionais

(ou simplesmente proporcionais) aos números da sucessão (b

1, b

2, b

3, ..., b

n ) quando as razões entre seus respectivos

correspondentes forem iguais, ou seja:

a

b

a

b

a

b

a

bk

a k ba k b

a

n

n

n

1

1

2

2

3

3

1 1

2 2= = = = =

= ⋅= ⋅

....................

== ⋅

k bn

Esta razão constante k é chamada de fator de proporcionalidade e indica quantas vezes cada antecedente é maior que o respectivo consequente.

Exemplo:

Os irmãos João Victor, Gabriela e Matheus têm 16 anos, 14 anos e 10 anos, respectivamente. Se o pai deles distribuir R$ 240,00 entre eles, em partes diretamente proporcionais às idades, quanto receberá cada um?

Sendo k a constante de proporcionalidade, a parte de cada um será k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes serão 16k (João Victor), 14k (Gabriela) e 10k (Matheus).

Daí:

16 14 10 240 616 16 6 9614 14 6 8410 10 6 60

k k k kkkk

+ + = ⇒ = ⇒= == == =

···

Sendo assim, temos que:João Victor, Gabriela e Matheus receberam,

respectivamente, R$ 96,00, R$ 84,00 e R$ 60,00.

Grandezas diretamente proporcionaisObserve na tabela seguinte as quantidades (Q) de picolés

comprados a R$ 3,00 cada um e os respectivos valores pagos:

Valor (V) 3 6 15 24 18 36

Quantidade (Q) 1 2 5 8 6 12

x5

x5

Note que as razões obtidas entre os respectivos elementos das sequências de valores (V) e de quantidades (Q) são iguais.

V

Q

V

QCoeficiente deproporcionalidade

= = = = = ⇒ =3

1

6

2

15

5

36

123...

Em geral, dizemos que duas grandezas, A e B, são diretamente proporcionais quando uma aumenta e a outra também aumenta na mesma proporção, isto é, quando as razões obtidas entre os valores assumidos por uma das grandezas e os respectivos valores assumidos pela outra forem iguais.

Em símbolos:

A A k

onde

∝ ⇔ =B

B ,

a constante de proporcionalidadek é

Números inversamente proporcionaisConsidere as seguintes sequências numéricas:

• 1ª sequência: 1

2

1

6

1

4

1

10; ; ;

x

x

1

12

3

formada pelos

respectivos inversos de (2, 6, 4, 10).

• 2ª sequência: (6, 18, 12, 30)

x 3

x 2

Nessas sequências, observe, elas crescem ou decrescem na razão inversa, isto é, se um dado elemento de uma delas triplica, por exemplo, o correspondente deste elemento na outra sequência reduz-se à sua terça parte.

Note que os inversos dos números da 1ª sequência são diretamente proporcionais aos números da 2ª sequência.

Inversos da 1ª sequência (2, 6, 4, 10)

x 3

x 2

Em geral, dizemos que os números da sequência (a

1, a

2, a

3, ..., a

n) são inversamente proporcionais aos números

da sequência (b1, b

2, b

3, ..., b

n) quando os números de uma

delas forem, respectivamente, diretamente proporcionais aos inversos da outra, ou seja:

a

b

b

b

a

b

a

b

kn

n

1

1

2

2

3

3

1 1 1 1= = = = =...

ou de outra forma:

ab a b a b a b kn n1 1 2 2 3 3= = = = =...

Aqui, a constante k também é chamada de fator ou coeficiente de proporcionalidade e indica o produto entre os respectivos elementos das sequências inversamente proporcionais.

3Matemática e suas Tecnologias

Exemplo:

Os funcionários de uma fábrica, Lucas, Raquel e Elias,

no mês de maio, faltaram ao serviço 8 dias, 5 dias e 2 dias,

respectivamente. Se o diretor financeiro dessa fábrica dividir

R$ 396, 00 entre os citados funcionários, em partes inversamente

proporcionais às faltas, podemos calcular a parte de cada um.

Veja:As partes devem ser diretamente proporcionais aos

inversos dos números de faltas 1

8

1

5

1

2, ,e

respectivamente.

Sendo k a constante de proporcionalidade, as partes serão, então:

1

8

1

5

1

2

5 2396 5 8

· ( ), · ( ) · ( ).k Lucas k Raquel e k Elias Daí

k kk

:

k

8+ + = ⇒ + kk k

k

k

k

k

+ = ⇒

= ⇒

= =

= =

=

20 396 40

480

1

8

1

8480 60

1

5

1

5480 96

1

2

1

248

·

· ·

· ·

· · 00 240=

Sendo assim, temos que:Lucas, Raquel e Elias receberão R$ 60,00, R$ 96,00 e

R$ 240,00, respectivamente.

Grandezas inversamente proporcionaisMatheus quer dividir todos os seus 60 bombons entre

os amigos, em partes iguais. Observe na tabela seguinte os possíveis números de amigos e as respectivas quantidades (B) de bombons recebidos por cada amigo:

Número de amigos (A)

2 3 4 5 6 10 30

Bombons recebidos (B)

30 20 15 12 10 6 2

x 1—2

x2

Note que os produtos obtidos entre os respectivos elementos das sequências “número de amigos” (A) e “número de bombons recebidos“ (B) são iguais:

A · B = 2 · 30 = 3 · 20 = · · · = 30 · 2 ⇒ A · B = 60

Coeficiente de proporcionalidade

Em geral, dizemos que duas grandezas, A e B, são inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui na razão inversa, isto é, quando os produtos obtidos multiplicando-se cada valor assumido por uma das grandezas pelo respectivo valor assumido pela outra forem iguais.

Em símbolos:

A B A B konde

∝ ⇔ =. a constante de proporcionalidadek é

Exemplo:

Se 20 operários, todos com a mesma capacidade de trabalho, realizam determinado serviço em 15 dias, podemos inferir em quantos dias 24 desses operários farão serviço idêntico. Para isso, note que as grandezas, “nº de operários” (H) e “nº dias” (D) são inversamente proporcionais (note: “quanto mais homens trabalhando, menos dias eles gastam”). Daí, H · D = k, onde k é constante.

Daí, para os dois serviços, devemos ter:

H · D = 20 · 15 = 24 · x = k, onde x é o número de dias para a realização do outro serviço.

Assim, x = =20 15

2412 5

·, .

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.C-1

H-3

01. Segundo a Lei de Boyle-Mariotte, sabe-se que:

“A uma temperatura constante, os volumes de uma

mesma massa de gás estão na razão inversa das pressões

que produzem”. Se, sob a pressão de 5 atmosferas, uma

massa de gás ocupa um volume de 0,6 dm3, a expressão

que permite calcular a pressão P, em atmosferas, em função

do volume V, em dm3, ocupado por essa massa de gás, é

a) VP

=3

d) VP

=5

6

b) V = 3P e) VP

=25

3

c) VP

=5

6


H-3

02. Um fazendeiro resolveu que dividirá os 300 ha de sua fazenda em partes inversamente proporcionais às idades de seus três filhos e diretamente proporcionais às quantidades dos filhos de cada um de seus filhos, ou seja, seus netos. Sabe-se que as idades dos filhos, são 60, 50 e 30 anos e que cada um deles possui 5,3 e 2 filhos, respectivamente.


Marque a opção que corresponde à quantidade de ha que receberá o filho do meio.

a) 600

7ha d)

500

8ha

b) 700

8ha e)

700

6ha

c) 600

8ha

FIQUE DE OLHO!

O QUE É UM QUILATE DE OURO?

A palavra “quilate” vem do grego keratio, significando uma semente que era usada como unidade de peso na antiga

Grécia. Uma joia é considerada de n quilates se n

24 de sua

massa for de ouro, sendo n maior ou igual a 1 e menor ou igual a 24.

Assim, o ouro de um objeto com 18 partes de ouro e 6 de outro metal é de 18 quilates. Desta forma, o ouro 18 quilates tem 75% de ouro, e os 25% restantes são ligas adicionadas para garantir maior durabilidade e brilho à joia. Note que 18 quilates = 18/24 = 75% de ouro (também chamado de ouro 750).

O ouro puro tem 24 quilates (contém 100% de ouro) e é denominado ouro 1000. Na realidade, o ouro nunca tem uma pureza total, e a classificação mais alta cai para

999 pontos, na escala europeia, conforme mostra a tabela.

QuilatagemConteúdode Ouro

Pureza

24 K 100% 999

18 K 75% 750

14 K 58,3% 583

10 K 41,6% 416

Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Quilate – Adaptado.

INTRODUÇÃO

Olá, querido estudante,

Quem observa e identifica padrões pode fazer aferições com maior precisão e agilidade. Por exemplo, meu filho Matheus, no dia 30/junho/2011, quinta-feira, completou 14 anos. Observando que de 7 em 7 dias temos o mesmo dia da semana, podemos aferir que ele nasceu no dia 30/junho/1997, numa segunda-feira (3 dias antes de quinta-feira). Percebeu? Se não, veja: sendo 14 · (365 dias) uma quantidade de dias múltipla de 7, voltando no tempo essa quantidade, chegamos no mesmo dia da semana do dia 30/junho/2011 (quinta-feira). A partir daí, devemos voltar na semana apenas os 3 dias relativos a 29 de fevereiro de 2008, 2004 e 2000 (anos bissextos do período em questão).

Algumas sequências, dentre elas, as progressões

aritméticas e geométricas, apresentam padrões definidos

que estudaremos a seguir. Com certeza, o conhecimento de

tais padrões será de grande utilidade no enfrentamento de

situações-problema que contemplem sucessões numéricas.


Sequências e Progressões

SequênciaPor definição, uma sequência de n elementos é uma

função f de N+n = {1, 2, 3, ... n} em R:

ff n a

n

n

: *N R→( ) =

Por conveniência, representaremos uma sequência

apenas por suas imagens (a1, a

2, a

3, ..., a

n, ...), que podem

ser determinadas por meio da Lei de recorrência ou da

Lei de formação da respectiva sequência.

Lei de recorrência

Consiste em uma lei que nos permite encontrar

qualquer termo (an) da sequência “recorrendo” a termo(s)

anterior(es). Note que, na Lei de recorrência, é conveniente se

conhecer o primeiro termo (a1), caso contrário, não podemos

“recorrer” ao termo anterior para encontrar os demais termos.

Na sequência (1, – 2, 6, – 24, ...), por exemplo, cada

termo (an), a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o

termo anterior (an – 1

) por (– n), onde n indica a posição do

termo. Veja:

(1, − 2, 6, − 24, 120, ...)

×(−2) ×(−3) ×(−4) ×(−5)

Ass im, os termos da sequência poderão ser determinados por meio da Lei de recorrência:

aa n an n

1

1

1== − ⋅ ≥

− ,onde n 2

Note que o primeiro termo (a1 = 1) sendo conhecido,

a lei an = – n · a

n – 1, n ≥ 2, fornece o restante dos elementos

da sequência:

n = 2 ⇒ a2 = − 2 · a

1 = − 2 · 1 ⇒ a

2 = − 2

n = 3 ⇒ a3 = − 3 · a

2 = − 3 · (− 2) ⇒ a

3 = 6

n = 4 ⇒ a4 = − 4 · a

3 = − 4 · 6 ⇒ a

4 = − 24

..........................................................................


Lei de formação ou termo geral

Consiste em uma lei que nos permite encontrar qualquer termo (a

n) da sequência em função da sua posição n.

Na sequência (5, 8, 11, 14, ...), por exemplo, podemos obter o seu termo geral (Lei de formação), dando valores sucessivos a n na sua Lei de recorrência aa n an n

1

1

1== − ⋅ ≥

− ,onde n 2 .

Veja:a

a aa aa a

a a

n

n n

1

2 1

3 2

4 3

1

5333

3

1

=− =− =− =

− =

−( )

−

�igualdades

Somando membro a membro, essas n igualdades e cancelando os termos, obtemos:

an = 5 + (n − 1) · 3

Daí, a Lei de formação (termo geral) da sequência é:

a nn = +3 2

Assim, por exemplo, o 100o termo será a100

= 302.

Progressão AritméticaToda sequência numérica em que cada termo, a partir

do segundo, é igual à soma do termo precedente (anterior) com uma constante r chama-se progressão aritmética (P. A.). Ou seja, P. A. é uma sequência determinada por uma fórmula de recorrência do seguinte tipo:

a a dado

a a r n nn n

1

1 2

= ( )= + ∀ ∈ ≥

− , ,*N

A constante r é chamada de razão da progressão aritmética e pode ser obtida por meio da diferença entre dois

termos consecutivos quaisquer da P. A., isto é:

Razão da P. A. = a2 – a

1 = a

3 – a

2 = ... = a

n – a

n – 1 = r

Assim, se três termos (a, b, c) estão em progressão

aritmética, o do meio é a média aritmética dos extremos, uma

vez que temos:

Razão da P.A. = b – a = c – b → ba c= +

2.

Termo geral da P. A.

Considere a P. A. (a1, a

2, a

3, ..., a

m, a

m + 1, ..., a

n, ...) de

razão r. Sendo am e an dois termos dessa progressão, podemos

relacioná-los. Para isso, observe que:

a a ra a ra a r

a a r

m m

m m

m m

n n

+

+ +

+ +

−

− =− =− =

− =

1

2 1

3 2

1

�

Contando os índices (números naturais) de m + 1 até

n, observamos n – (m + 1) + 1 = n – m igualdades acima.

Somando, membro a membro, todas essas igualdades e fazendo

os devidos cancelamentos, obtemos:

a a r r r r oun m

n m vezes

− = + + + +( )−( )

... ,� ��

seja:

• an = a

m + (n – m)r

Em particular, para m = 1, temos que:

• an = a

1 + (n – 1) · r, para n ≥ 1.

Considere a seguinte situação-problema:

Em um trecho de serra de 13 km de uma rodovia, foi

implantada a Operação Descida. Um dos procedimentos dessa

operação consiste em bloquear a subida de veículos e permitir

a descida da serra por mais faixas. Para isso, são colocados

261 cones sinalizadores ao longo do trecho, sendo que a

distância entre dois cones consecutivos quaisquer é constante

e que o primeiro e o último ficam exatamente no início e no

fim do trecho, respectivamente.

Querendo descobrir qual deve ser a distância entre dois

cones consecutivos, podemos utilizar a fórmula do termo geral

de uma P.A. Veja:

Como 13 km = 13000 m, o primeiro cone ficará na

posição a1 = 0 m e o último, na posição a

261 = 13000 m.

Sendo R a distância (constante), em metros, entre dois cones

consecutivos, as posições dos cones formarão uma P. A. de

razão R. Daí: a261

= a1 + 260R → 13000 = 260R → R = 50 m.

Assim, a distância entre dois cones consecutivos

quaisquer deve ser 50 m.

Soma dos termos equidistantes dos extremos de uma P. A.

Considere ak e ap dois termos que ficam, respectivamente,

à igual distância dos extremos a1 e an de uma P. A. de razão R,

isto é, considere a seguinte P. A.:

+R +R +R +R +R +R

(a1 ; a

2 ; ... ; a

k – 1

; ak ; ... ; a

p ; a

p + 1 ; ... ; a

n)

Equidistantes dosextremos

Sendo m o número de razões que devemos somar ao

primeiro termo a1 para a obtenção de ak, m também será o

número de razões que devemos somar ao termo ap para a

obtenção do extremo an, uma vez que ak e ap são equidistantes

dos extremos a1 e an. Daí:

• ak = a

1 + mR, onde m = k – 1;

• an = a

p + mR, onde m = n – p.


Isso deixa evidente dois fatos:1º) A soma dos índices de dois termos equidistantes dos

extremos é igual à soma dos índices dos extremos. Veja:

m k n p k p n = = → + = +– –1 1

2º) Numa P. A., a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Veja:

mR a a a a a a a ak n p k p n= − = − → + = +1 1

Na P. A. 20 24 28 32 36 40 441 2 3 4 5 6 7a a a a a a a� � � � � � �; ; ; ; ; ;

, por exemplo,

temos que a1 + a

7 = a

2 + a

6 = a

3 + a

5 = a

4 + a

4 = 64. Note a

soma dos índices igual a 8 em cada adição.

Soma dos n primeiros termos de uma P. A.

Considere a P. A. (a1, , a

2 a

3, ..., a

n – 2, a

n – 1, a

n), onde a1 e

an são os extremos e a2 e an – 1, a3 e an – 2 etc. são equidistantes

dos extremos. Temos que: S

n = a

1 + a

2 + a

3 + ... + a

n – 2 + a

n – 1 + a

n e, como a ordem não

altera a soma, Sn = a

n + a

n – 1 + a

n – 2 + ... + a

3 + a

2 + a

1.

Somando, agora, membro a membro, essas duas igualdades, ficamos com:

2Sn = (a

1 + a

n) + (a

2 + a

n – 1) + (a

3 + a

n – 2) + ... + (a

n + a

1)

Observando que:a

1 + a

n = a

2 + a

n – 1 = a

3 + a

n – 2 = ... = a

n + a

1

(termos equidistantes dos extremos), temos:

22

1 11S a a a a S

a a nondn n n n

n

n vezes

= +( ) + + +( ) → =+( )

... ,·

ee:

• a1 é o primeiro termo somado;

• an é o último termo somado;

• n é a quantidade de termos, em P. A., somados.

Considere a seguinte situação-problema:

P P P ...A A

Deseja-se pintar com tintas de cores preta e

amarela, alternadamente, um disco no qual estão

marcados círculos concêntricos, cujos raios estão

em P. A. de razão 1 metro. Pinta-se, no primeiro

dia, o círculo central do disco, de raio 1 metro, usando 0,5 L de

tinta preta. Em cada dia seguinte, pinta-se a região delimitada

pela circunferência seguinte ao círculo pintado no dia anterior.

Se a tinta usada, não importando a cor, tem sempre o mesmo

rendimento, podemos descobrir a quantidade total de tinta

amarela gasta até o 21º dia, em litros, da seguinte forma:

I. O raio do primeiro círculo (menor), em metro, é r1 = 1

e forma, com os demais raios, uma P. A. de razão 1.

Assim, em metros, as medidas desses raios são r2 = 2,

r3 = 3, ... , a

21 = 21.

II. As áreas pintadas de amarelo são aquelas pintadas em dias

pares (segundo, quarto, ..., vigésimo dia), cujas áreas, em

m2, são respectivamente:

A1 = p · 22 – p · 12 → A

1 = 3p

A2 = p · 42 – p · 32 → A

2 = 7p

A3 = p · 62 – p · 52 → A

3 = 11p

A4 = p · 82 – p · 72 → A

4 = 15p

...........................................................

(Uma P. A. de razão R = 4p, cujo décimo termo, A10

, é a área

pintada no vigésimo dia.)

Assim, A10

= A1 + 9 · R, ou seja, A

10 = 3p + 9 · (4p) = 39p

e a soma das áreas pintadas de amarelo, em m2, será:

SA A

S101 10

10

10

2

3 39 10

2210=

+( ) → =+( ) =

· ·π ππ

III. No primeiro dia, foram usados 0,5 L de tinta preta para

pintar p · 12 = p m2 do disco. Como os rendimentos das

tintas são iguais e 210p m2 = 210 · (p m2), foram utilizados

210 · 0,5 L = 105 L de tinta amarela.

Progressão Geométrica

Toda sequência numérica em que cada termo, a partir

do segundo, é igual ao produto do termo precedente (anterior)

por uma constante q chama-se progressão geométrica (P. G.). Ou seja, P. G. é uma sequência determinada por uma fórmula

de recorrência do seguinte tipo:

a a dado

a a q n nn n

1

1 2

= ( )= ∀ ∈ ≥

− · , ,N*

A constante q é chamada de razão da progressão

geométrica e pode ser obtida por meio do quociente entre

dois termos consecutivos quaisquer da P. G., isto é:

Raz o da P Ga

a

a

a

a

aqn

n

ã . . ...= = = = =−

2

1

3

2 1

Assim, se três termos (a, b, c) estão em progressão

geométrica, o do meio ao quadrado é igual ao produto dos

extremos, uma vez que temos:

Raz o da P Gb

a

c

bb a cã . . ·= = → =2

A sequência (3, 6, 12, 24, 48, ..., an, ...), por exemplo, é

uma progressão geométrica de razão q = 2, ou seja, nela, cada

termo, a partir do segundo, é o seu termo anterior vezes 3.

Podemos dizer também que, nessa sequência, o quadrado de

cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo

anterior com o posterior.


Termo geral da P. G.

Considere a P. G. (a1, a

2, a

3, ..., a

m, a

m + 1, ..., a

n, ...) de

razão q.Sendo am e an dois termos dessa progressão, podemos

relacioná-los. Para isso, observe que:

am + 1

= am

· q

am + 2

= am

· q

am + 3

= am + 2

· q....................................

an = a

n – 1 · q

Contando os índices (números naturais) de m + 1 até n, observamos n – (m + 1) + 1 = n – m igualdades acima. Multiplicando, membro a membro, todas essas igualdades e cancelando os fatores iguais, mas em membros opostos, obtemos:

a a q q q q ou sejan m

n m vezes

= ( )−( )

· · · · ... · , :� ��

• an = a

m · qn – m

Em particular, para m = 1, temos que:

• an = a

1 · qn – 1, para n ≥ 1.

Cons idere a seguinte

2,43 . 105

Núm

ero

decé

lula

s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tempo (horas)

situação-problema:Para analisar o crescimento

de uma bactéria, foram inoculadas 1000 células a um determinado volume de meio de cultura apropriado. Em seguida, durante 10 horas, em intervalos de 1 hora, era medido o número total de bactérias nessa cultura. Os resultados da pesquisa estão mostrados no gráfico ao lado. No gráfico, o tempo 0 corresponde ao momento do inóculo bacteriano.

Observando que, de 0 a 5 horas, a quantidade de bactérias presentes no meio, medida a cada hora, segue uma progressão geométrica, o número de bactérias encontrado no meio de cultura, 3 horas após o inóculo, pode ser obtido da seguinte forma: I. a

0 = 1000 (número de bactérias na hora zero) e

a5 = 243000 (número de bactérias na 5ª hora) são termos

de uma mesma progressão geométrica. Daí:

aa

a a q q

Ent o

q

0

55 0

5 0 5

5 5

1000243000

243000 1000

243 3

=={ → = → =

= =

−. .

ã :

,, , .isto é q = 3

(Aqui, é conveniente considerar o primeiro termo a

0 = 1000, o índice indicando a hora, e não a

1= 1000.)

II. Queremos o número de bactérias na terceira hora (a3):

a a q a a3 03

33

31000 3 27000= → = → =· ·

Soma dos termos de uma P. G. finita

Considere a P. G. de razão q (a1, a

2, a

3, ..., a

n) cuja soma

dos termos é Sn = a

1 + a

2 + a

3 + ... + a

n. Temos que:

I. q · Sn = q · (a

1 + a

2 + a

3 + ... + a

n) ⇒

q · Sn = a

2 + a

3 + a

4 + ... + q · a

n

II. Sn – q · S

n = (a

1 + a

2 + a

3 + ... + a

n) – (a

2 + a

3 + a

4 + ... + q · a

n) ⇒

⇒ −( ) = − ∴ = −−

S q a q a Sa q a

qn n n

n11

11·

·

Podemos, agora, substituir an = a

1 · qn – 1 na fórmula

anterior e obter:

Sa a q

qe S a

q

qonde qn

n

n

n

= −−

= −−

≠1 1

11

1

11

·· , .daí:

Soma dos termos de uma P. G. infinita convergente

Quando a razão q de uma P. G. infinita é tal que –1 < q < 1, isto é, | q | < 1, dizemos que a P. G. é convergente. Isso significa dizer que quando n tende a mais infinito, an e qn

tendem a zero (convergem para zero). Na prática, substituindo qn = 0 na fórmula anterior, obtemos:

S aq

Sa

q∞ ∞= −

−

→ =

−111 0

1 1·

Dizemos que S∞ = a

q1

1 − é o limite da soma dos infinitos

termos da P.G. de razão q, onde |q| < 1 (P.G. infinita convergente).

Observação:

Considere a seguinte situação-problema:Uma bola é lançada na vertical de encontro ao solo, de

uma altura h. Cada vez que bate no solo, ela sobe até 80% da altura de que caiu. O comprimento total percorrido pela bola em sua trajetória, até tocar o solo pela quinta vez, pode ser

obtido observando que 8080

100

4

580% = = = e que, saindo de uma

altura h, a bola percorre: 2 2

4 4 4 4S h h · h · h · h ...

5 5 5 5 = + + + + +

descendo(bate no solo pela 3ª vez)



subindo

subindo

Daí, somando os termos iguais, obtemos:

S h h h h= +

+

+

+

2

4

52

4

52

4

52

4

5

1 2 3 4

· · · · · · · · hh +

�


Assim, até tocar o solo pela quinta vez, a bola percorrerá h mais a soma dos quatro primeiros termos da P. G., isto é:

S h aq

qS h h= + −

−

→ = +

−

−

1

4 1

4

1

12

4

5

145

145

· · · ·

Logo h: S = 3577625

·

Podemos também ca lcu la r o compr imento total percorr ido pela bola em sua tra jetór ia, até at ing i r o repouso. Para i sso, é só observar que

24

52

4

52

4

52

4

5

1 2 3 4

. . . . .

+

⋅ +

⋅ +

⋅ +

h h h h �

é a

soma dos infinitos termos de uma P.G. convergente

− < = <

14

51q .

Assim, até parar, a bola percorrerá a distância total S, tal que:

S ha

qS h

hh

hS h= +

−→ = +

−= + ∴ =1

1

245

145

8

5

5

19

··


Compreendendo a Habilidade– Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como

recurso para a construção de argumentação.C-4

H-17

03. Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios:– os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;– o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00;– os cartões seguintes geram multas cujos valores são

sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior.

Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta.

Cartão amarelorecebido

Valor da multa (R$)

1º –

2º –

3º 500

4º 1000

5º 1500

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões

amarelos durante o campeonato.

O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses

cartões equivale a

a) 30000 d) 39000

b) 33000 e) 42000

c) 36000



H-17

04. Em outubro de 2015, o preço do dólar aumentou 18%. Se admitirmos o mesmo aumento, mensal e cumulativo, nos meses subsequentes, em quantos meses, a partir de outubro, o preço do dólar ficará multiplicado por doze?

Dado: use a aproximação 12 ≅ 1,1815

a) 12 d) 15b) 13 e) 16c) 14

FIQUE DE OLHO!

A NATUREZA EM FIBONACCI

A sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...), chamada de sequência de Fibonacci, é tal que seus dois primeiros termos são iguais a 1 e cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos seus dois termos imediatamente anteriores. Em outras palavras, os números de Fibonacci formam uma sequência definida recursivamente pela lei:

FFF F F para nn n n

1

2

1 2

11

3

=== + ≥

− − ,

Os números de Fibonacci ligam-se facilmente à natureza. É possível encontrá-los no arranjo das folhas do ramo de uma planta, nas copas das árvores ou até mesmo no número de pétalas das flores, no corpo humano e nas formas de alguns animais. A seguir, temos situações em que possível identificar a sequência de Fibonacci.

Percebeu a sequência de Fibonacci na primeira figura? Se não, observe os números seguintes indicando as medidas dos lados dos respectivos quadrados. Esses mesmos números também indicam as medidas dos raios dos arcos de circunferências que formam a citada figura.


55

3 3

221

1

11

Essa belíssima sequência foi descoberta com a resolução do clássico problema dos coelhos, proposta pelo matemático italiano Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci (que quer dizer “filho de Bonacci”). O problema dos coelhos é o seguinte: “Quantos casais de coelhos teremos ao final de um ano, se partirmos de um único casal imaturo no 1º mês, que amadurece no 2º mês e gera um novo casal de filhotes no 3º mês e, a partir daí, continua parindo mensalmente, indefinidamente? Leve em conta que os novos casais gerados também passam pelo mesmo processo descrito anteriormente e considere que nenhum coelho vai morrer.”

Acompanhe a ilustração abaixo que nos traz a evolução da quantidade de coelhos.

1º mês:(jovem)

(maduro)

(maduro) (jovem)

(jovem) (maduro) (maduro)

Númerode casais

1

1

2

3

5

2º mês:

3º mês:

4º mês:

5º mês:

Note que, para n ≥ 3, o número total de coelhos do mês n – 2, F

n – 2, é também o número de casais maduros do mês

seguinte (mês n – 1). Como cada casal maduro do mês n – 1 gera um novo casal no mês n (mês seguinte), F

n – 2 também indica o número de casais imaturos

(recém-nascidos) do mês n.Sendo assim, os casais do mês n são os casais do mês anterior (mês n – 1) mais os recém-nascidos do mês n, ou seja:

Fn = F

n – 1 + F

n – 2, para n ≥ 3

Agora, fica fácil ver que a sequência representativa das quantidades de casais, mês a mês, é a sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...), na qual o décimo segundo termo é 144. Após um ano (12 meses), são 144 casais.

INTRODUÇÃO

Olá, querido estudante,

Daqui a 30 anos (360 meses), quando se aposentará, João Victor pretende resgatar um montante de 1 milhão de reais de sua conta poupança. Para isso, ele depositará, mensalmente, a partir de hoje, uma mesma quantia (x), cujos rendimentos médios estão estimados em 1% ao mês. Querendo determinar essa quantia (x) a ser depositada mensalmente, João Victor chegou à seguinte equação, cujo primeiro membro é uma soma de termos em progressão geométrica:

x + x · (1,01)1 + x · (1,01)2 + ... + x · (1,01)360 = 1000000

Nessa equação, x · (1,01)360 é o montante gerado pelo primeiro depósito e x, o gerado pelo último. Adicionando os termos em P.G., João Victor chegou à equação equivalente

x · ·,

,1

1 1 01

1 1 01

36− ( )−

= 1000000,

na qual, utilizando-se a aproximação (1,01)361 ≅ 36, o valor aproximado de x é 285,70 reais.

Você entende por que o montante gerado por cada parcela (x) depositada, após n meses, é dado por x · (1,01)n? Se não, leia com atenção a teoria seguinte, principalmente a parte relativa a juros compostos.


Porcentagem e Juros

PorcentagemChama-se porcentagem ou percentagem a porção

de um dado valor que se determina sabendo-se o quanto corresponde a cada 100.

pp

% = ( )100

l -se por centoê p

Por exemplo:

De um grupo de 100 jovens, 28 praticam natação.

Isso significa que 28% (lê-se “28 por cento”) dos jovens

praticam natação.A porcentagem de um número a em relação a outro b

é dada pela razão a

b.

Exemplos:

• = = =

• = =

3

21 5

150

100150

3

80 375

37 5

1

, %,

,,

isto , 3 150% de 2.é é

00037 5 37 5 8= , % , , % .isto , 3 é é de

Assim:

• p c c% de c = p% = p

100· ·

• Após um aumento de p% sobre c, passamos a ter:

cp

cp

c+ = +

100

1100

· ·

• Após um desconto de p% sobre c, passamos a ter:

cp

cp

c− = −

100

1100

· ·


• Após n aumentos sucessivos de p% sobre c, passamos a ter:

1100

+

pc

n

·

Em geral, para obter um resultado p% maior que certo valor x, devemos multiplicar x por (1 + p%).

Veja:

aumento

valor inicial

x · (1 + p%) = x + p%x��

Exemplo:

(Enem) O consumo total de energia nas residências brasileiras envolve diversas fontes como eletricidade, gás de cozinha, lenha etc. O gráfico mostra a evolução do consumo de energia elétrica residencial comparada com o consumo total de energia residencial, de 1970 a 1995.

50

40

30

20

10

0

energia totalenergia elétrica

1970 1975 1980 1985 1990 1995

Con

sum

o de

Ene

rgia

(x10

6 te

p)

*tep = toneladas equivalentes de petróleo.Valores calculados por meio dos dados obtidos de

http://infoener.iee.usp.br./1999

Verifica-se que a participação percentual da energia elétrica no

total de energia gasta nas residências brasileiras cresceu entre

1970 e 1995, passando, aproximadamente, de

a) 25% para 35%. d) 10% para 60%.

b) 40% para 80%. e) 20% para 60%.

c) 10% para 40%.

Solução:

Em 1970, o consumo de energia elétrica era cerca de 2,5 · 106 tep, de um total aproximado de 25 · 106 tep, isto é,

2 5 10

25 10

1

10

10

10010

6

6

,%.

·

·

tep

tep= = = Já em 1995, o percentual

e r a c e rc a d e 20 10

32 10

5

80 625

62 5

10062 5

6

6

·

·,

,, %.

tep

tep= = = =

Logo, aproximadamente, o consumo de energia elétrica passou de 10% para 60%.

Resposta correta: D

LucroChamamos de lucro (L), em uma transação comercial

de compra e venda, a diferença entre o preço de venda (V) e o preço de custo (C). Assim, podemos escrever:

• Lucro = preço de venda – preço de custo, isto é:

L = V – C

Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.

Observação:

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem, em relação ao preço de custo ou em relação ao preço de venda, das seguintes maneiras:

Percentual do lucro sobre o custo = LUCRO

PRE O DE CUSTOÇ

Percentual do lucro sobre a venda = LUCRO

PRE O DE VENDAÇ

Exemplo:

João comprou uma bicicleta por R$ 180,00 e a vendeu por R$ 216,00. Nesse caso, temos:

• Lucro (L) de João na transação:

L = V – C → L = 216 – 180 → L = 36 reais

• A porcentagem do lucro sobre o preço de custo:

LLUCRO

PRE O DE CUSTOLc c= = = → = =

Ç

36

1800 2

20

10020, %

• A porcentagem do lucro sobre o preço de venda:

LLUCRO

PRE O DE VENDALV V= = ≅ → ≅ =

Ç

36

1160 310

31

10031, %

Juro simplesSuponhamos que uma pessoa deseje comprar uma

geladeira e não disponha de dinheiro suficiente para pagamento à vista. Nessas condições, ela pode efetuar a compra a prazo ou tentar um empréstimo em um banco. Em qualquer um dos casos, a pessoa geralmente paga uma quantia – além do preço da geladeira – a título de juros. O valor desses juros é justificado pelo prazo obtido para o pagamento ou pelo “aluguel” do dinheiro emprestado.

Suponhamos agora que, sobre uma quantia, devam ser calculados juros simples, a uma taxa fixa por período, durante certo número de períodos. Isso significa que os juros correspondentes a cada um dos períodos serão “sempre calculados sobre a quantia inicial” e só serão incorporados a ela ao final do último período.

Sendo assim, para um capital inicial C0, emprestado à taxa i, todos os aumentos da dívida serão iguais a:

aumento = i · C0, não importando a época do aumento.

Lembre-se: taxa i significa a porcentagem de aumento.


Em geral, para um capital inicial C0 aplicado à taxa i, em

regime de juro simples, temos:

próximo aumento

constante

montante atual

próximo montante

Cn + 1

= Cn + i · C

0��

Assim, a sequência de montantes (C0, C

1, C

2, C

3, ..., C

n, ...)

é uma P. A. de razão R = i · C0, pois cada termo é o anterior

mais uma constante.Daí, usando a fórmula do termo geral da P. A., obtemos:

Cn = C

0 + (n – 0) · R → C C nn = + ⋅ ⋅0 i C0

Onde:

• Cn é o montante (total da dívida) após n aumentos;• C0 é o capital inicial;• n é o número de aumentos;• i é a taxa de juros (porcentagem de aumento).

i · C0 são os juros pagos em um aumento e J = n · i · C

0 são

os juros pagos em n aumentos. Portanto:

Montante = Capital inicial + Juros

Observação:

Exemplo:

Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$ 2400,00, comprometendo-se a pagar a dívida em 15 meses, à taxa de juros simples de 6% ao trimestre. Assim, temos:

C

n n mero de aumentos

em

0 240015

35

=

= =

→

( )ú

Taxa trimestral 15 mesees, teremos cinco aumentos.i ao trimestre=

6%

Substituindo os valores em Cn = C

0 + n · i · C

0, tem-se:

C C5 52400 56

1002400 2400

1

= + → = +· ·

aumento

5 aumentos

� ��

� �� 7720 3120= reais

Ao final dos 15 meses, o comerciante pagará um montante de R$ 3.120,00, sendo R$ 720,00 de juros.

Juro CompostoO tipo de juro mais usado nas transações financeiras é

o juro composto. Para entender esse tipo de juro, observemos o exemplo seguinte.

Aplicando R$ 100.000,00 durante 3 meses, à taxa de juro de 10% ao mês, qual o juro composto produzido?Calculemos:

Mês Capital Juro Montante

1º R$ 100000,00 R$ 10000,00 R$ 110000,00

2º R$ 110000,00 R$ 11000,00 R$ 121000,00

3º R$ 121000,00 R$ 12100,00 R$ 133100,00

Portanto, o juro composto produzido foi de R$ 33.100,00 (montante final menos capital inicial). Note que, em cada mês, a partir do segundo, a taxa de juro incide sobre o montante acumulado no mês anterior. Por isso, esse tipo de rendimento é chamado de juro composto.

Quando os juros são compostos, cada aumento é calculado sobre o respectivo montante. Assim, um capital C0, aplicado à taxa i, gera, após n aumentos, um montante Cn, tal que:

próximo aumento

montante atual

próximo montante

Cn + 1

= Cn + i · C

n

��

Daí:

Cn + 1

= Cn · (1 + i)��

constante = (1 + i)

Concluímos, pois, que a sequência de montantes

(C0, C

1, C

2, C

3, ..., C

n, ...) é uma P. G. de razão q = (1 + i), pois

cada termo é o anterior vezes uma constante.

Usando a fórmula do termo geral da P. G., obtemos:

Cn = C

0 · qn – 0 → C

n = C

0 · (1 + i)n

Onde:

• Cn é o montante após n aumentos;

• i é a taxa de juros (porcentagem de aumento);

• C0 é o capital inicial;

• n é o número de aumentos.


Compreendendo a Habilidade– Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações

dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.C-1

H-1

05. Numa loja, o preço de um produto tem um desconto de

15%, se for pago à vista, ou um acréscimo de 5%, se for

pago com cartão de crédito. Tendo optado pelo cartão, uma

pessoa pagou R$ 80,00 de acréscimo em relação ao que

pagaria, com desconto, à vista. Então a soma dos preços

do produto à vista com desconto e no cartão éa) R$ 700,00 b) R$ 740,00 c) R$ 760,00d) R$ 720,00e) R$ 780,00


Compreendendo a Habilidade– Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando

conhecimentos numéricos.C-1

H-5

06. Fulano aplicou um capital de R$ 15000,00 a juros compostos, pelo período de 4 anos, e a uma taxa de 2% am. Ao contabilizar o valor recebido ao final da aplicação, fulano concluiu que o valor corresponde a

Dado: log1,02

1,60 = 24

a) R$ 36800,00 d) R$ 37600,00b) R$ 37200,00 e) R$ 38400,00c) R$ 39700,00

FIQUE DE OLHO!

INFLAÇÃO

Em Economia, inflação é a queda do valor de mercado ou poder de compra do dinheiro. Porém, é popularmente usada para se referir ao aumento geral dos preços. Inflação é o oposto de deflação. Índices de preços dentro de uma faixa entre 2 e 4,5% ao ano é uma situação chamada de estabilidade de preços. Inflação “zero” não é o que se deseja, pois pode estar denunciando a ocorrência de uma estagnação da economia, momento em que a renda e, consequentemente, a demanda, estão muito baixas, significando alto desemprego e crise.

Os índices de inflação no Brasil são medidos de diversas maneiras. Duas formas de medir a inflação ao consumir são o INPC, aplicado a famílias de baixa renda (aquelas que tenham renda de um a seis salários mínimos), e o IPCA, aplicado para famílias que recebem um montante de até quarenta salários mínimos.

Até 1994, a economia brasileira sofreu com inflação alta, entrando num processo de hiperinflação, na década de 80. Esse processo só foi interrompido em 1994, com a criação do Plano Real e a mudança da moeda para o real (R$), atual moeda do país. Atualmente, a inflação é controlada pelo Banco Central por meio da política monetária que segue o regime de metas de inflação.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS


H-3

01. Duas grandezas positivas, x e y, são inversamente proporcionais, se existe uma correspondência bijetiva entre os valores de x e os valores de y e um número constante positivo k, tal que, se o valor y é o correspondente do valor x, então y · x = k. Nestas condições, se o valor y = 6 é o correspondente ao valor x = 25, então o valor y que corresponde ao valor x = 15 éa) 8 d) 14b) 10 e) 16c) 12


H-3

02. José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas

uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o

trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que, ao

final da primeira parte, eles redistribuiriam a quantidade

de laranjas que cada um carregava, dependendo do

cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto,

José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção

6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto,

José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção

4 : 4 : 2, respectivamente.

Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no

segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José,

Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda

parte do trajeto?

a) 600, 550, 350 d) 200, 200, 100

b) 300, 300, 150 e) 100, 100, 50

c) 300, 250, 200


H-3

03. Um aluno pré-universitário pretende passar toda a semana

estudando 12 h por dia. Ele intenciona dividir suas horas

de estudo entre Português e Matemática de tal maneira

que o tempo destinado ao estudo fique inversamente

proporcional às suas notas em cada matéria na última

etapa. Se o aluno tirou 9 em Português e 6 em Matemática,

qual o tempo que ele destinará ao estudo de Matemática

por semana?

a) 7h e 18min d) 6h e 58min

b) 7h e 12min e) 6h e 52min

c) 7h e 06min


H-3

04. O lucro de uma empresa foi dividido entre seus três diretores, recebendo o primeiro deles um valor proporcional a 5, o segundo um valor proporcional a 8 e o terceiro um valor proporcional a 10.Marque a opção que corresponde ao valor recebido pelo terceiro diretor, sabendo que o primeiro recebeu R$ 900000,00 a menos que o segundo.a) R$ 3500000,00 d) R$ 2800000,00b) R$ 3300000,00 e) R$ 2600000,00c) R$ 3000000,00


Compreendendo a Habilidade– Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações

dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.C-1

H-1

05. Amanda e Belinha são amigas e possuem assinaturas de TV a cabo de empresas diferentes. A empresa de TV a cabo de Amanda dá descontos de 25% na compra dos ingressos de cinema de um shopping. A empresa de TV a cabo de Belinha dá desconto de 30% na compra de ingressos do mesmo cinema. O preço do ingresso de cinema, sem desconto, é de R$ 20,00. Em um passeio em família, Amanda compra 4 ingressos, e Belinha compra 5 ingressos de cinema no shopping, ambas utilizando-se dos descontos oferecidos por suas respectivas empresas de TV a cabo.Quantos reais Belinha gasta a mais que Amanda na compra dos ingressos?a) 10 d) 25b) 15 e) 30c) 20

Compreendendo a Habilidade– Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando

conhecimentos numéricos.C-1

H-5

06. Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. Determine quantos meses depois da primeira aplicação o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa será igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa.a) 22 d) 26b) 20 e) 18c) 24

Compreendendo a Habilidade– Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de

argumentos sobre afirmações quantitativas.C-1

H-4

07. O valor C de um capital (empregado a uma taxa i de juros capitalizados periodicamente ao fim do período), após t períodos, é dado por C = C

0 · (1 + i)t, em que C

0 é o valor

inicial. Qual é o tempo necessário para que um capital empregado à taxa de 2% ao mês, com juros capitalizados mensalmente, dobre de valor?Utilize os dados da tabela a seguir que julgar conveniente:

x log x

0,02 – 1,6989

1,20 0,0791

2,00 0,3010

102 2,0086

a) 31 meses. d) 34 meses.b) 32 meses. e) 35 meses.c) 33 meses.



H-17

08. Na organização de um determinado rali, quanto à quilometragem diária a ser percorrida pelas equipes participantes durante os 20 dias da competição, ficou estabelecida a seguinte regra.No primeiro dia, as equipes deveriam percorrer 500 km e, nos dias subsequentes, deveriam percorrer 20 km a mais que no dia anterior.

A partir dos dados apresentados, é correto afirmar que uma equipe, para completar a prova, deverá percorrer no mínimo.a) 14000 km d) 13400 kmb) 13800 km e) 13200 kmc) 13600 km



H-17

09. Depois de percorrer um comprimento de arco de 7 m, uma criança deixa de empurrar o balanço em que está brincando e aguarda até o balanço, parar completamente. Se o atrito diminui a velocidade do balanço de modo que o comprimento de arco percorrido seja sempre igual a 80% ao do anterior, a distância total percorrida pela criança, até que o balanço pare completamente, é dada pela expressão D = 7 + 0,80 × 7 + 0,80 × (0,80 × 7) + ...

Considerando-se que o segundo membro dessa igualdade é a soma dos termos de uma progressão geométrica, é correto estimar que o valor de D, em metros, é igual aa) 28 d) 49b) 35 e) 56c) 42

Compreendendo a Habilidade– Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação

de grandezas.C-4

H-18

• Leia o texto para responder à próxima questão.

Pesquisas mostram diferenças numéricas significativas entre as várias regiões do Brasil, no que diz respeito ao número de fiéis distribuídos pelos diversos grupos religiosos. Os católicos, por exemplo, têm uma maior participação no total da população nas regiões Nordeste e Sul, ultrapassando 80% da população no Nordeste contra uma média nacional de 74%. Por outro lado, Rio de Janeiro e Rondônia são os estados com menor população de católicos. Considere que, nos anos seguintes, na publicação dos dados constantes no quadro a seguir, o número de fiéis das religiões orientais cresceu 20% ao ano em progressão geométrica, enquanto que o número de fiéis afro-brasileiros cresceu 25% ao ano em progressão aritmética.


NÚMERO DE FIÉIS POR GRUPOS RELIGIOSOS NO BRASIL

REGIÃO NORTE NÚMERO DE FIÉIS

Católicos 9285000

Evangélicos 2550000

Afro-Brasileiros 5500

Orientais 15000

Espiritualistas 50500

Outras Religiões 156500

Sem Religião 849500

TOTAL 12911000

Texto adaptado – www.mercator.ufc.br – Revista de Geografia da UFC, 2009.

10. Sendo log(1,2) = 0,08 e log(2,0736) = 0,32, o tempo necessário para que o número de fiéis das religiões orientais seja 16104 a mais do que o valor constante no quadro acima éa) 72 meses. d) 40 meses.b) 60 meses. e) 36 meses.c) 48 meses.



H-17

11. A figura a seguir representa um modelo plano do desenvolvimento vertical da raiz de uma planta do mangue. A partir do caule, surgem duas ramificações da raiz, e em cada uma delas surgem mais duas ramificações, e, assim, sucessivamente. O comprimento vertical de uma ramificação, dado pela distância vertical reta do início ao fim da mesma, é sempre a metade do comprimento da ramificação anterior.

cauleh

C

h1

h2

h3

h4

Modelo de raiz de planta de mangue

1 m

1/2 m

1/4 m1/8 m

Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramificação é de h

1 = 1m, qual o comprimento vertical

total da raiz, em metros, até h10

?

a) 1

21

1

210−

d) 2 1

1

1010−

b) 1

21

1

29−

e) 2 1

1

99−

c) 2 11

210−

GABARITOS

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01 02 03 04 05 06

a a b d c e

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01 02 03 04 05 06

b b b c a a

07 08 09 10 11

e b b c c

ANOTAÇÕES

Supervisão Pedagógica: Marcelo PenaSupervisão Gráfica: Felipe Marques e Sebastião PereiraGerente do SFB: Fernanda Denardin

Projeto Gráfico: Antônio Nailton, Daniel Paiva e João LimaEditoração Eletrônica: Antônio NailtonIlustrações: Arte FBRevisão: Allana Gadelha

OSG.: 098438/15

Expediente

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