1. Prove que uma força central é conservativa.

2. Prove que o movimento de uma partícula sob a influência de um campo central está contido num plano.

3. A força atrativa entre um nêutron e um próton no núcleo atômico está sujeita à função potencial de Yukawa:

( ) 0, <=−

kr

ekrVar

, onde k e a são constantes.

a) Encontre f(r); b) Discuta o movimento de uma partícula movendo-se sob influência de tal força;

4. Calcule a energia E caso a partícula mova-se num círculo de raio r0 sujeito ao potencial de Yukawa.

5. Ache a energia potencial para uma partícula que se move num campo central rrk ˆ2−=F

r

a) Que trabalho é realizado pela força ao mover a partícula de um ponto do círculo de raio r=a>0 a um ponto no círculo r=b>0?

b) O trabalho depende da trajetória? Explique!

6. Calcule a força correspondente às seguinte funções energia potencial: a) V=kxyz, k é constante;

b) 2

21 krV = , k é constante;

7. Uma partícula move-se sob a influência da força 0,ˆ3 <= krrkF

r.

a) Discuta qualitativamente o movimento; b) Calcule a energia caso a partícula mova-se num círculo de raio r0.

8. Uma corrente de comprimento L e massa M é segura verticalmente de maneira que sua extremidade inferior apenas encoste sobre uma mesa horizontal (veja figura). Se sua extremidade superior é solta, determine a força sobre a mesa, em função do comprimento da corrente sobre a mesa, enquanto a corrente cai.

L

x

Exercício 8

9. Calcule o trabalho realizado pela força ( ) kxyzjzxiyxF ˆˆˆ2 +−+=r

, dada em Newton, sobre um corpo ao deslocá-lo da posição ( )mr 0,0,0

0=r até ( )mr 2,1,11 =

r, ao longo dos dois

caminhos relacionados abaixo: a) Caminho C1: arco da parábola y=x2 no plano z=2;

b) Caminho C2: ao longo da reta x=y; z=2.

Para os problemas 11 a 16 Determine o trabalho realizado pela força ,ˆ2ˆˆ kyjzixF +−=10. r

em Newton ados. É esta

16. Curva y= x3;

18. A força abaixo é conservativa? seu potencial.

no deslocamento de um corpo ao longo dos caminhos relacion

,2);

z=2 de (1,1,2) até (2,8,2);

força conservativa?

11. Eixo y de 0 até 1;

12. Parábola y=2x2 ;z=2 de (0,0,2) até (1,2

13. Curva z=y4; x=1 de (1,0,0) a (1,1,1);

14. Reta y=x; z=x de (1,1,1) até (3,3,3);

15. Curva y=x; z=x2 de (0,0,0) até (1,1,1);

17. Caminho fechado da figura abaixo.

Caso afirmativo calcule;ˆˆˆ kczjbyiaxF ++=

r

19. A força abaixo é conservativa? seu potencial.

em A por uma força proporcional à sua distância ao ponto A. Em B, a força, dirigida para A, vale F0. Calcule o trabalho feito contra a força, quando o corpo move-se de A para B.

z

x Problem

y 1

1

C1 C2

C3

a 16 1

Caso afirmativo calcule

,203 233 ybxayzf x −= ,10 4 ybx 3 3axzf y −=

,9 2axyzf z = Onde a, b e c são constantes.

20. Um corpo move-se do ponto A até B ao longo do semicírculo de raio R mostrado ao lado. Ele é atraído ao ponto de orig

Fr

21. Um objeto desce um plano inclinado com atrito e toca em uma mola apoiada em sua base, retornando até uma altura um pouco menor que aquela em que ele foi liberado. Faça um esboço das energias: mecânica, cinética, potencial e elástica e também do trabalho realizado pela força de atrito.

22. Uma partícula sofre uma força do tipo: ( )xxF cos⋅=

Sabendo que , que ∫ ∫−= vduuvudv ( ) ( )xsendxx =∫cos e que ( ) ( )xdxxsen cos−=∫ calcule o trabalho feito para levar o corpo da posição x = 0 até a posição x = a.

23. Dois corpos se chocam na ausência de forças externas, alterando sua direção, sentido e módulo da velocidade.

a) O que se pode dizer sobre a energia mecânica destes corpos? b) O que se pode dizer sobre o momento linear destes corpos?

24. Um objeto de massa m com velocidade v, atinge uma placa de aço, formando um ângulo de θ e ricocheteia com a mesma velocidade e mesmo ângulo. Qual é a variação (módulo e direção) do momento do objeto?

25. Um foguete se desloca, partindo do repouso, sobre a ação de seus propulsores vencendo a força da gravidade e a força de atrito. Como seria possível calcular sua velocidade em função do tempo?

26. Um tijolo de massa m cai a partir do repouso do 3º andar de uma altura h até o solo. Determinar:

a) A velocidade do tijolo ao atingir o solo. b) Suponha que o tijolo caia em cima de uma mola. Calcule a deformação máxima que a

mola sofrerá.

27. Um corpo de 3 kg, preso a uma mola elástica, oscila com amplitude de 4 cm e período de 2 segundos.

a) Qual a energia total do sistema? b) Que velocidade máxima tem o corpo/?

28. Uma mola, cuja constante elástica vale k, está pendurada verticalmente. Um bloco de massa m está ligado a esta mola na posição sem deformação e cai a partir do repouso. Obtenha uma expressão para a distância máxima de queda do bloco antes de iniciar seu movimento de subida.

29. Uma mola, cuja constante elástica vale k, está pendurada verticalmente. Um bloco de massa m está ligado a esta mola na posição sem deformação e cai a partir do repouso. Obtenha uma expressão para a velocidade máxima que o bloco atinge.

0Fr r

o A B

R

θ

Exercício 20

30. Uma partícula de massa m move-se em um potencial unidimensional x da seguinte forma:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

axVV

2tan 2

0π

Onde V0 e a são constantes. Encontre, para uma dada energia E, a posição x em função do tempo e do período de movimento.

31. Considere o seguinte potencial central:

22

2

2kr

mrLV +=

Faça um esboço do gráfico do potencial e explique as possíveis trajetórias das partículas

quando submetidas a este potencial.

32. Considere que a força que atua em uma partícula seja dada pela relação: 223 xaxF −⋅= . Calcule o trabalho feito por esta força para levar a partícula do ponto

x = a até o ponto x = 0.

33. Uma partícula é atraída em direção ao eixo z por uma força F proporcional ao quadrado de sua distância ao plano xy e inversamente proporcional à sua distância ao eixo z. Some uma força adicional perpendicular a F, de forma a tornar conservativa a força total e determine a energia potencial.

34. Determinar o trabalho feito pela força elétrica ̂ ̂ para mover um elétron ao longo de 1 4 do circulo da curva ̂, do ponto (1,0) ao ponto (0,1).

,̂

35. Uma partícula é submetida a ação de uma força cujos componentes são:

Calcule o trabalho realizado por esta força, quando a partícula se move ao longo de uma

cxF

ybxayF

czbxyaxF

z

y

x

=

+=

++=23

23

linha reta a partir da origem até o ponto ( )000 ,, zyx .

36. Uma partícula de massa m está sob ação de um potencial do tipo:

( ) 32 bxaxxV −= a) Determine a força.

37. Uma corda de comprimento L e massa por unidade de comprimento igual a u está

38. Crie um problema, apenas com dados relevantes e que permitam a sua solução,

estejam em duas

b) Descreva o movimento desta partícula.

enrolada sobre o solo. Calcule o trabalho necessário para levantar a ponta da corda do solo até a altura l < L.

envolvendo o conceito de conservação de momento linear para: a) Dois corpos de massas diferentes que se chocam e cujos movimentos

dimensões; b) Um choque onde não haja conservação de momento linear.

39. Uma partícula de 2,0 kg é submetida a uma força constante dada por ( )NkjiF ˆ15ˆ10ˆ15 +−=

r, estando também sujeita a força da gravidade que atua o k̂− . Esta partícula é deslocada do ponto (1,0,2) até o

ponto (0,2,0) através do seguinte caminho: Inicialmente do ponto (1,0,2) até a origem pela curva 22xz = e posteriormente da origem até o ponto (0,2,0) através da curva yz 43 −= lcule o trabalho feito pela força resultante sobre esta partícula. C 2/0,10 sm= .

verticalmente no sentid

y . onsidere g

Ca

40. Calcule o centro de massa de uma semi-esfera maciça e homogênea de raio R.

41. Calcule o centro de massa de um cone maciço e homogêneo cujo raio da base é R e cuja

42. Calcule o centro de massa de uma barra de comprimento L e massa M cuja densidade

massas dos blocos bem como as velocidades

44. Considere a colisão elástica mostrada neste diagrama. Com respeito à massa e ao ângulo

45. Uma força é dada F(t) = bt3 + c onde b e c são constantes. Qual é o impulso t em segundos?

altura é H.

linear é dada por , (b positivo) quando ela é colocada ao longo do eixo x com a extremidade mais leve na posição x0>0.

43. Considere a colisão mostrada nessa figura. As antes e depois da colisão são fornecidas. O que se pode concluir a respeito desta colisão?

que condições devem ocorrer para que 1 e 2 sejam iguais?

46. Utilizando a relação para a massa relativística obtenha a expressão E=mc2.

47. Considere o gráfico abaixo para a energia potencial. Esboce o gráfico da força.

48. Considere quatro esferas puntuais cujas massas são 100, 200, 300 e 400 gramas colocadas nos vértices de uma pirâmide cujo lado da base é 20 cm e a altura é 30 cm. Calcule o centro de massa.

49. Mostre que só existe um potencial associado a uma força se o seu rotacional é nulo.

50. Discuta a conservação de energia no movimento de um sistema massa-mola. Obtenha as expressões para energia cinética e energia potencial em função do tempo.