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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CAIO SPÓSITO ESTEVES

ESTUDO DO TRANSIENTE HIDRÁULICO EM TUBULAÇÕES DE TRANSPORTE DE ÁGUA

NITERÓI – RJ

2018

CAIO SPÓSITO ESTEVES

ESTUDO DO TRANSIENTE HIDRÁULICO EM TUBULAÇÕES DE TRANSPORTE DE ÁGUA

Parte manuscrita do Projeto de Graduação do aluno Caio Spósito Esteves, apresentado ao Departamento de Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil.

Orientador:

Professor Gabriel de Carvalho Nascimento

NITERÓI – RJ 2018

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e do Instituto de Computação da UFF

E79 Esteves, Caio Spósito

Estudo do transiente hidráulico em tubulações de transporte de

água / Caio Spósito Esteves. – Niterói, RJ : [s.n.], 2018.

50 f.

Projeto Final (Bacharelado em Engenharia Civil) – Universidade

Federal Fluminense, 2018.

Orientador: Gabriel de Carvalho Nascimento.

1. Transientes hidráulicos. 2. Tubulação. 3. Modelagem

computacional. 4. Mecânica dos fluidos (Engenharia). I. Título.

CDD 620.106

Scanned by CamScanner

RESUMO

Com o passar dos anos, a análise do Transiente Hidráulico tornou-se cada vez mais

relevante em um projeto de transporte de fluidos. Quando ocorre uma perturbação no

sistema, a velocidade do escoamento deixa de ser constante e uma onda de pressão

se propaga ao longo da tubulação. A pressão aumenta, podendo atingir valores muito

altos, e se torna uma ameaça ao projeto podendo causar danos e até o rompimento de

tubos. O objetivo deste trabalho é estudar o transiente hidráulico e os métodos mais

utilizados para prevê-lo. Para isto, será modelado computacionalmente um sistema

hidráulico simples; que consiste em um reservatório à montante, uma válvula e um

outro reservatório à jusante; ligados por um tubo retilíneo, e serão calculados os

valores de sobrepressão gerados em casos de fechamento de válvula, rápido e lento.

Além disso, será calculada a sobrepressão máxima através de expressões clássicas

encontradas na literatura e compará-la com o valor obtido na modelagem

computacional.

ABSTRACT

Hydraulic Transient analysis has become even more relevant in fluids transport

projects. When a perturbation occurs in a water system, flow velocity changes and a

pressure wave gets propagating through the pipeline. Pressure surge can achieve high

values, causing damage to the system such as pipe rupture. This project aims to study

the water hammer phenomena and the most used methods to prevent it. To reach this,

a computer modeling of a simple hydraulic system, which consists of a reservoir

upstream connected by a straight pipe to a valve and another reservoir downstream, will

be carried out in order to calculate pressure surge caused by rapid and slow valve

close. Moreover, calculate the maximum value of pressure using some expressions

found in literature and compare them to the maximum pressure taken from

computational analysis.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Esquematização do comportamento da pressão ao longo do tempo

durante o transiente hidráulico ............................................................. ...................14

Figura 2 – Representação esquemática de uma tubulação que liga um registro a um

reservatório. ............................................................................................................. 15

Figura 3 – Valores de sobrepressão atingidos nas tubulações de diferentes PCHs.26

Figura 4 – Resultados obtidos pelas abordagens Euleriana e Lagrangiana na mesma

tubulação ................................................................................................................. 28

Figura 5 – Resultados obtidos através das abordagens MOC e MOC-CFD ........... 30

Figura 6 – Representação esquemática do Método das Características ................ 37

Figura 7 – Representação esquemática do sistema hidráulico estudado no programa

KyPipe ..................................................................................................................... 39

Figura 8 – Gráfico Pressão (kPa) x Tempo (s) para fechamento rápido, na válvula

AV-1, para tempo de fechamento igual a 1 segundo. .............................................. 41


AV-1, para tempo de fechamento igual a 2 segundos. ............................................ 42


AV-1, para tempo de fechamento igual a 3 segundos. ............................................ 42


AV-1, para tempo de fechamento igual a 5 segundos ............................................. 44


AV-1, para tempo de fechamento igual a 10 segundos. .......................................... 44






AV-1, para tempo de fechamento igual a 120 segundos. ........................................ 46


AV-1, para tempo de fechamento igual a 180 segundos. ........................................ 46

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Valor da constante k de acordo com o material do tubo ........................ 17

Tabela 2 – Valor da constante c de acordo com o tipo da tubulação ...................... 18

Tabela 3 – Características da tubulação em estudo e seus respectivos valores.... 38

Tabela 4 – Dados necessários para a análise do transiente hidráulico .................. 40

Tabela 5 – Valores de sobrepressão para fechamento rápido ............................... 41

Tabela 6 – Valores de sobrepressão para fechamento lento ................................. 43

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

PVC Policloreto de Vinila

PCH Pequena Central Hidrelétrica

MOC Método das Características

CFD Fluidodinâmica Computacional

LISTA DE SÍMBOLOS

D Diâmetro da tubulação (m)

e Espessura do tubo (m)

k Coeficiente que leva em consideração o módulo de elasticidade do material

a Celeridade (m/s)

E Módulo de elasticidade do material do tubo (GPa)

c Fator que leva em conta o modo como o trecho do tubo é ancorado

T Período da tubulação (s)

L Comprimento da tubulação (m)

ha Sobrepressão (m.c.a)

V Velocidade média de escoamento (m/s)

g Aceleração da gravidade (m/s²)

t Tempo de manobra (s)

ΔH Sobrepressão (m.c.a)

ΔV Variação da velocidade do escoamento (m/s)

H Pressão inicial (m.c.a)

C Constante de Allievi

Q Vazão (m³/s)

x Coordenada que representa distância (m)

F Função

f Função

Δx Variação da coordenada x (m)

Δt Variação do tempo (s)

λ Multiplicador de Lagrange

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO.................................................................................................... 11

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.......................................................................... 13

2.1 Conceitos Fundamentais .............................................................................. 17

2.1.1 Celeridade ........................................................................................... 17

2.1.2 Período ................................................................................................ 18

2.2 Classificação da manobra ............................................................................. 19

2.2.1 Manobra rápida ................................................................................... 19

2.2.2 Manobra lenta ...................................................................................... 19

2.2.3 Manobra muito lenta ............................................................................ 20

2.3 Métodos de cálculo ....................................................................................... 20

2.4 Expressões ................................................................................................... 22

2.4.1 Michaud ............................................................................................... 22

2.4.2 Joukowsky ........................................................................................... 22

2.4.3 Da Sparre ............................................................................................ 23

2.4.4 Johnson ............................................................................................... 23

2.4.5 Allievi ................................................................................................... 23

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .............................................................................. 25

4 METODOLOGIA ................................................................................................. 32

5 SIMULAÇÃO DO FENÔMENO .......................................................................... 38

5.1 Fechamento rápido ....................................................................................... 40

5.2 Fechamento lento ......................................................................................... 43

6 CONCLUSÃO ..................................................................................................... 47

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 49

11

INTRODUÇÃO

Estudos envolvendo o transporte de água através de dutos existem há milhares de

anos. Civilizações antigas já apresentavam interesse em transportar água para

agricultura e subsistência. Muitos anos mais tarde, foram desenvolvidos a teoria da

Mecânica dos Fluidos, bem como a Hidráulica Clássica. Porém, somente há dois

séculos começou-se a despertar o interesse ao estudo do regime transiente de

escoamento.

O regime transiente ocorre quando a velocidade do escoamento varia, podendo ser

definido como o regime de transição entre um regime permanente inicial e um final.

Esta variação da velocidade se dá quando ocorre uma perturbação no sistema. Esta

perturbação não só muda a velocidade do escoamento como faz com que uma onda de

pressão se propague.

Esta onda de pressão oscila entre uma onda de sobrepressão e uma onda de

subpressão, que se propagam ao longo da tubulação, uma após a outra, em intervalos

de tempo chamados de período da tubulação.

Quando a pressão atinge valores muito altos, podem ocorrer grandes vibrações na

tubulação, danificando os sistemas de apoio e ancoragem. Além disso, pode ocorrer o

rompimento do tubo. No caso contrário, pode haver dois fenômenos, o de cavitação e

separação da coluna d’água. Ambos se dão pela presença de vapor dentro da

tubulação. Porém no segundo caso, ocorre a formação de cavidades de vapor, fazendo

com que a coluna d’água se divida em duas.

Todos estes fenômenos citados, e outras consequências do transiente hidráulico, são

danosos às tubulações de transporte de água e precisam ser impedidos. Por isso é

necessário uma análise cuidadosa do golpe de aríete e conhecer com precisão as

pressões máximas e mínimas a serem atingidas. Sendo assim, propor soluções

cabíveis para evitar tais danos, ainda em nível de projeto.

12

Tendo em vista a importância do estudo deste fenômeno, o objetivo do presente

trabalho é elaborar um sistema hidráulico simples e a partir dele simular a ocorrência

do escoamento transiente.

Isso será feito em duas etapas. Na primeira delas, o sistema será modelado

computacionalmente com o auxílio do KYPipe. Utilizando o Método da Onda

Característica, esse software retorna os valores de pressão ao longo do tempo, após a

ocorrência do fenômeno. Na segunda etapa, os valores de sobrepressão serão

calculados através de equações analíticas encontradas na literatura, e serão

comparados com os resultados obtidos pela modelagem computacional.

13

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

No estudo da Mecânica dos Fluidos, quanto ao regime temporal, observam-se três

tipos de escoamento: estático, permanente e transiente. O regime estático é quando a

velocidade do escoamento é nula. Os regimes permanente e transiente ocorrem

quando a velocidade do escoamento é diferente de zero. Sendo constante e variável ao

longo do tempo, respectivamente.

Segundo Boulos et al. (2005), o transiente hidráulico também pode ser definido como a

transição de um regime permanente inicial e um final, devido a uma perturbação que

ocorreu no sistema. Essa perturbação pode ser causada por diversos motivos. Os

casos mais comuns são o de abertura ou fechamento de válvulas e registros, o de

ligamento ou desligamento de bombas, assim como o acúmulo de ar na tubulação.

Além da variação da velocidade do escoamento ao longo do tempo, outro fenômeno

que ocorre no transiente é a variação da pressão. Considerando o caso de condutos

forçados, aqueles em que o fluido escoa sob determinada pressão, irão observar-se

sobrepressões e subpressões ao longo da tubulação. São justamente essas tensões

adicionais, que por ora apresentam valores muito grandes quando comparados às

pressões de operação, as quais geram danos aos tubos.

Elbashir e Amoah (2007) esquematiza o fenômeno do transiente hidráulico (figura 1)

para o caso de fechamento de válvula. O fluido estava sobre uma pressão inicial, antes

de ocorrer o fechamento. Ao final do fechamento, a pressão máxima é atingida. Logo

após, a pressão a oscilar em torno de um valor. À medida que o tempo passa, a

amplitude dessa oscilação diminui, até se tornar nula. Ou seja, a pressão oscila até

convergir para um valor, este é o valor da pressão no estado permanente final.

14

Figura 1: Esquematização do comportamento da pressão ao longo do tempo durante o transiente hidráulico. Fonte: Elbashir e Amoah (2007).

De acordo com Azevedo Netto (1998, p.325), a fim de se elaborar uma representação

de como o fenômeno ocorre, é comumente utilizado o caso mais simples: fechamento

de um registro. Uma tubulação liga um reservatório à montante e um registro à jusante

(figura 2), e a água escoa no sentido do reservatório para o registro, a uma velocidade

constante. Algumas considerações necessitam ser feitas, tais como:

a massa líquida será divida em lâminas, sendo a lâmina “1”

imediatamente à montante do registro e a lâmina “n” imediatamente à

jusante do reservatório;

o atrito ao longo da tubulação é desprezado;

a água é compressível e o tubo deformável.

15

Figura 2: Representação esquemática de uma tubulação que liga um registro a um reservatório. Fonte:

Universidade Federal do Ceará.

Quando o registro é fechado, a lâmina “1” é comprimida pelas outras lâminas à jusante

da mesma. A reação a esta compressão se divide em distensão do tubo e esforços

internos na lâmina, que apresenta uma deformação elástica. A energia cinética da

massa líquida que se movia a uma velocidade “V” constante, e foi posta abruptamente

em repouso, se converte em pressão. Logo em seguida, o mesmo ocorre na lâmina “2”,

e assim por diante até chegar à lâmina “n”. O que caracteriza a propagação de uma

onda de pressão ao longo do tubo.

Considerando a lâmina “n” como a última que se encontra dentro da tubulação, quando

a onda de pressão chega à mesma, ela é comprimida e apresenta a mesma reação

das lâminas anteriores. Porém, não há outra lâmina à montante para que a onda

continue se propagando. Então, ela tende a sair da tubulação, com velocidade “- V”. Na

sequência, o mesmo ocorre com a lâmina “n – 1”, e assim por diante. Se

caracterizando uma onda de depressão, que se propaga no sentido do registro,

16

fazendo com que as lâminas ocupem o espaço em que inicialmente estavam (no

instante em que o registro é fechado).

Ao chegar na lâmina “1”, o processo se repete. Vale ressaltar que o atrito ao longo da

tubulação havia sido desprezado inicialmente, de maneira a simplificar a estruturação

do problema. Entretanto, este atrito é peça fundamental no estudo do fenômeno, pois é

o responsável por amortecer os golpes sucessivos até que cessem.

Como consequência, surgem deformações elásticas e trepidações na estrutura. Além

disso, parte dessa energia é convertida em energia sonora, onde o sistema emite um

ruído. Esse ruído é um dos principais indicadores de que está ocorrendo algo de

anormal naquela tubulação.

Quando se trata do desligamento de bombas, Azevedo Netto (1998, p.332) explica que

o mecanismo do fenômeno é o mesmo. Porém, há uma peculiaridade. Numa situação

em que há um conjunto moto-bomba em operação, recalcando água de um

reservatório inferior para um superior. O escoamento só ocorre porque a bomba

introduz energia no sistema, fazendo com que a força gravitacional seja superada e a

água suba através da tubulação até o ponto mais alto.

Quando a bomba é desligada, o fluido, por inércia, continua escoando, até o instante

em que é vencido pela ação da gravidade. O escoamento é invertido, e o fluido passa a

descer pela tubulação. Ao encontrar a bomba, ele passaria por ela novamente, fazendo

que operasse como uma turbina. Dessa forma, parte da energia cinética do fluido seria

retirada do sistema pela bomba, que a dissiparia principalmente em forma de calor,

danificando-a. Uma válvula de retenção é comumente instalada à montante do conjunto

moto-bomba, impedindo que a massa líquida o atinja. Quando a mesma atinge, então,

a válvula de retenção, ocorre um processo semelhante ao fechamento de um registro.

O cálculo rigoroso do golpe de aríete em uma instalação de recalque exige o

conhecimento prévio de dados relativos aos grupos elevatórios que influem no

fenômeno (AZEVEDO NETTO, 1998 p.334).

17

2.1 Conceitos fundamentais

Alguns conceitos fundamentais para o estudo do fenômeno do transiente hidráulico

serão descritas a seguir:

2.1.1 Celeridade

A celeridade “a” é a velocidade de propagação da onda de pressão ao longo do tubo.

Pode ser obtida através da Fórmula de Allievi:

𝑎 = 9900

48,3 + 𝑘𝐷𝑒

(1)

Onde: D: diâmetro da tubulação (m); e: espessura da tubulação (m) e k: coeficiente que

leva em consideração o módulo de elasticidade do material.

Material Valor da constante k

Aço 0,5

Ferro fundido 1,0

Concreto 5,0

Cimento-amianto 4,4

PVC 18,0

Tabela 2: Valor da constante k de acordo com o material do tubo.

18

Outra expressão encontrada na bibliografia, como em Tsutiya (2006, p.321), é:

𝑎 =

𝑘𝜌

1 + 𝑘𝐷𝑒𝐸

𝑐

(2)

Onde: a: celeridade; k: módulo de elasticidade da água; ρ: massa específica da água;

D: diâmetro da tubulação; E: módulo de elasticidade do material do qual é

confeccionado o tubo; e: espessura do tubo e c: fator que leva em conta o modo como

o trecho do tubo é ancorado.

Obs: o valor da constante c pode ser obtido segundo as situações a seguir.

Tabela 3: Valor da constante c de acordo com o tipo da tubulação.

Tipo da tubulação Valor da constante c

Tubulação presa rigidamente em uma extremidade 𝑐 = 1 − 𝜈

2

Tubulação ancorada, axialmente rígida 𝑐 = ( 1 − 𝜈 )

Tubulação com juntas de expansão 𝑐 = 1

2.1.2 Período

Período ou fase da tubulação “T” é o tempo que a onda de pressão leva para percorrer

toda a tubulação e voltar ao seu ponto inicial. Pode ser expresso por:

19

𝑇 = 2𝐿

𝑎

(3)

Onde: L: comprimento da tubulação (m) e a: celeridade (m/s).

2.2 Classificação da manobra

Além do período da tubulação, outro intervalo de tempo a ser considerado é o de

fechamento (ou abertura do registro) “t”. Comparando-se ambos, pode-se classificar a

manobra quanto à sua duração. Essa classificação influenciará diretamente em como

serão desenvolvidos os cálculos do golpe de aríete na situação desejada.

2.2.1 Manobra rápida (𝒕 < 𝑻)

A manobra é dita rápida quando ocorre em um intervalo de tempo menor o período da

tubulação. Isso significa que o registro já foi totalmente fechado enquanto a onda de

pressão ainda caminha ao longo do conduto. Nesta situação costuma-se observar os

maiores valores de sobrepressão.

2.2.2 Manobra lenta (𝑻 < 𝒕 < 𝟓𝟎𝟎𝑻)

20

Quando ocorre em um intervalo de tempo que varia do período da tubulação até 500

vezes o valor do mesmo, a manobra é dita lenta. As intensidades da sobrepressão

tendem a ser moderadas nesse caso.

2.2.3 Manobra muito lenta (𝒕 > 𝟓𝟎𝟎𝑻)

Quando a manobra é classificada como muito lenta, ela ocorre em um intervalo de

tempo maior que 500 vezes o período da tubulação. Nesta situação, o valor da

sobrepressão causada não dependerá mais da celeridade, e sim da variação da

velocidade do escoamento. Podendo assim, ser desprezível.

Da classificação da manobra quanto à sua duração, é possível inferir dois importantes

aspectos. O primeiro é que a magnitude da sobrepressão é inversamente proporcional

ao tempo de fechamento ou abertura do registro. Manobras mais rápidas irão gerar

fenômenos mais perigosos. O outro aspecto é que essa relação tem um limite. O qual,

quando atingido, torna o fenômeno algo que pode ser desprezado.

2.3 Métodos de cálculo

No final do século XIV, começou a surgir o interesse de engenheiros e cientistas

europeus a respeito do fenômeno do transiente hidráulico. Em um primeiro momento,

foram desenvolvidas teorias aproximadas para o cálculo da sobrepressão gerada pelo

golpe de aríete. Segundo Camargo (1991), Michaud e Joukowsky são tidos como as

bases do estudo desse fenômeno. Sendo Michaud o percursor nos estudos do golpe

de aríete, seguido por Joukowsky, que deu grande contribuição para a análise do

fenômeno.

21

Para chegar à sua expressão, Michaud não considerou a compressibilidade do fluido e

nem a elasticidade do tubo. Joukowsky, por sua vez, foi o percursor em levar em

consideração estes importantes fatores. Isso fez com que Joukowsky chegasse a

conclusão de que a sobrepressão é abrandada exatamente porque o fluido é

compressível e o tubo é levemente elástico. Assumindo-se o princípio da coluna rígida,

essas sobrepressões atingiriam valores infinitos, o que foge da realidade do fenômeno.

Allievi, posteriormente, adaptou as teorias de Michaud.. O que serviu de base para

Strickler conduzir experimentos e chegar a uma importante conclusão: a influência do

atrito e as perdas de carga eram insignificantes para a aplicação das fórmulas de

Allievi. Além destes, outros estudiosos elaboraram expressões empíricas como por

exemplo Da Sparre e Johnson.

Posteriormente, Schnyder desenvolveu um método gráfico para obtenção dos valores

das velocidades e sobrepressões geradas. Isso era possível conhecendo-se as

posições iniciais e determinando-se as posições de estudo. Porém, geralmente se

calcula os pontos nas extremidades da tubulação. Além disso, apresenta algumas

limitações. É necessário fazer simplificações, como por exemplo, arbitrar que as perdas

se localizem em apenas um ponto do trecho, ou no início ou no final. Por ser

dependente de desenhos, sejam eles feitos à mão ou com ajuda de programas de

computador, a precisão do método é prejudicada.

No fim do século passado, com a popularização do uso de computadores, outro

método foi desenvolvido, o chamado Método das Características. Este método consiste

basicamente em transformar as equações da conservação da massa e da quantidade

de movimento, em quatro equações diferenciais. Essas equações diferenciais não

possuem solução analítica e necessitam ser resolvidas computacionalmente. As

soluções das mesmas irão apontar os valores de pressão e de velocidade com maior

precisão, uma vez que não há mais a necessidade de se fazer aproximações ao longo

de sua dedução.

22

Com os recursos computacionais atualmente existentes, o método considerado como

mais potente e versátil para a análise e resolução de problemas de golpe de aríete é o

método das características. Recomendado inclusive pela ABNT (CAMARGO, 1991).

2.4 Expressões

A seguir serão mostradas as expressões obtidas pelos cientistas citados acima, a fim

de se calcular o transiente hidráulico.

2.4.1 Michaud

ℎ = 2𝐿𝑉

𝑔𝑡

(4)

Onde: ha: sobrepressão (m.c.a); L: comprimento da tubulação (m); V: velocidade média

da água (m/s); g: aceleração da gravidade (m/s2); t: tempo de fechamento ou tempo de

manobra (s). Segundo Azevedo Netto (1998, p.331).

2.4.2 Joukowsky:

∆𝐻 =𝑎∆𝑉

𝑔

(5)

23

Onde: ΔH: sobrepressão (m.c.a); ΔV: variação da velocidade do escoamento (m/s) e a:

celeridade (m/s). Segundo Tsutiya (2006, p.320).

2.4.3 Da Sparre

ℎ = 2𝐿𝑉

𝑔𝑡 .

1

2 ( 1 − 𝐿𝑉2𝑔𝑡𝐻)

(6)



manobra (s) e H: pressão inicial (m.c.a). Segundo Azevedo Netto (1998, p.331).

2.4.4 Johnson

ℎ = 𝐿𝑉

2𝑔 𝐻𝑡 𝐿𝑉 + 4𝑔 𝐻 𝑡 + 𝐿 𝑉

(7)



manobra (s) e H: pressão inicial (m.c.a). Segundo Azevedo Netto (1998, p.331).

2.4.5 Allievi:

24

ℎ = 𝐻

2 𝐶 + 𝐶 4 + 𝐶

(8)

Onde: H: pressão inicial (m.c.a) e C: constante de Allievi. Segundo Carvalho (2011).

𝐶 = 𝐿𝑉

𝑔𝐻𝑡

(9)

Observa-se que as equações de Johnson e Allievi são matematicamente equivalentes.

25

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Hoje em dia, tendo em vista que a maior disponibilidade de energia conduz a uma

rápida industrialização e a um intenso desenvolvimento urbano, o transiente hidráulico

é um item crítico de projeto para a maioria dos sistemas de condução de fluidos

(CARVALHO, 2011).

Devido a isto, existe uma diversidade muito grande de estudos sobre o transiente

hidráulico. Desde as bases da fundamentação teórica do fenômeno, até os mais

recentes estudos de caso, onde são aplicados métodos computacionais para a

resolução do problema.

De acordo com Camargo (1991) o Método das Características é considerado o mais

eficiente na resolução de problemas envolvendo golpe de aríete. Porém ele não é o

único existente, nem no âmbito computacional e nem no algébrico. As expressões

clássicas obtidas por Michaud, Joukowsky, entre outros ainda tem sua valia. Desta

forma, vem sendo muito estudado a aplicação desses métodos afim de se avaliar sua

eficácia, precisão, facilidade e trabalhabilidade.

Deckert e Menezes (2013) estuda o fenômeno transiente em tubulações de Pequenas

Centrais Hidrelétricas. Para isto, foi desenvolvido pelos próprios autores um software

em Visual Basic, que permite calcular os valores de sobrepressão atingidos nas

tubulações através de quatro expressões clássicas, sendo estas as expressões de

Michaud, Johnson, da Sparre e Thomann.

A figura 3 apresenta os valores obtidos por cada um dos métodos de cálculo anteriores

em tubulações de algumas das Pequenas Centrais Hidrelétricas analisadas. Os valores

referentes ao “comissionamento” são aqueles medidos pelas próprias PCHs e cedidos

aos autores. Deckert e Menezes (2013) também se refere a estes valores como “

valores medidos na prática”.

Uma vez que os valores obtidos de todas as expressões foram comparados

individualmente com aqueles obtidos pelas PCHs, chega-se à conclusão de que o

26

método de Michaud é o mais confiável, pois apresenta o menor desvio-padrão e

valores acima dos encontrados no comissionamento. O método de Johnson, por sua

vez, se mostrou o menos confiável. Além de apresentar valores muito inferiores, ainda

obteve o maior desvio-padrão.

Os métodos de Thomann e Sparre se mostraram próximos em relação aos valores

calculados, ambos se situam abaixo do medido na prática. Estes métodos podem ser

utilizados seguindo as recomendações de utilização de fatores de segurança

(DECKERT e MENEZES, 2013).

Figura 3: Valores de sobrepressão atingidos nas tubulações de diferentes PCHs. Fonte: Deckert e Menezes (2013).

27

Nascimento (2015) analisa os métodos de cálculo do golpe de aríete em três casos

distintos. Sendo eles uma tubulação simples, composta por uma válvula e um

reservatório ligados por um único tubo; tubulações complexas, compostas por tubos em

série ou paralelo; e uma tubulação onde há uma bomba e uma válvula de retenção.

Para cada uma dessas situações, em um primeiro momento, é calculado o valor da

sobrepressão através das expressões de Joukowsky, Johnson, Michaud e Allievi. Em

seguida, o mesmo se repete, porém agora utilizando o Método das Características.

Para isto, foi desenvolvido um software em linguagem Delphi.

Nascimento (2015) chega a conclusão que apesar das discrepâncias nos resultados

das sobrepressões, calculadas pelos diferentes métodos, as equações podem ser

utilizadas como ferramentas de auxílio quando se tratam de tubulações simples. O

mesmo não ocorre no caso de tubulações complexas. O Método das Características

mostrou-se eficiente em todos os casos, atingindo resultados de maneira rápida e

objetiva. A sua principal vantagem é a possibilidade de se ter resultados mais

detalhados com informações ao longo de toda a tubulação.

Boulos et al (2005) traz uma outra visão. Ao invés de comparar resultados obtidos

computacionalmente com os obtidos através das diferentes expressões analíticas, o

autor compara duas abordagens computacionais distintas: a Euleriana e a

Lagrangiana.

Na abordagem Euleriana, o consagrado Método das Características, são medidos os

valores de pressão em pontos fixos ao longo da tubulação, à medida que o tempo

passa e em incrementos uniformes. Já a abordagem Lagrangiana, o Método da Onda

Característica, mede os valores de pressão em intervalos de tempo fixos ou variáveis,

quando uma mudança ocorre. Ou seja, mede o valor da pressão ao longo da onda,

quando ela se propaga. À medida que a onda avança, as condições mudam, portanto,

o referencial acompanha a onda.

Por fim, comprova-se que ambas as abordagens irão oferecer os mesmos resultados,

partindo dos mesmos dados iniciais e com a mesma precisão. Porém, a Lagrangiana

exige menos cálculo e é computacionalmente mais eficiente. A figura 4 expõe

28

graficamente os valores de sobrepressão obtidos pelas duas abordagens comentadas,

em uma mesma tubulação, com as mesmas condições de contorno.

Assim como Boulos et al (2005); Ferreira, Barbosa e Castro (2015) também aborda

uma comparação entre métodos computacionais para a resolução de problemas

envolvendo transientes. Neste caso, os modelos propostos por Brunone e Vardy são

comparados ao Método das Características.

Este método parte do pressuposto da teoria da coluna elástica, onde o escoamento é

considerado como unidimensional, o conduto e o fluido possuem comportamento

elástico linear e as perdas por atrito são descritas através de um modelo quase

permanente (FERREIRA, BARBOSA e CASTRO, 2015).

Figura 4: Resultados obtidos pelas abordagens Euleriana e Lagrangiana na mesma tubulação. Fonte: Boulos et al (2005).

29

O primeiro modelo a ser comparado é o de Brunone, o qual considera que uma parcela

do atrito é variável, ou seja o termo do atrito é expresso como uma soma entre a

composição do regime permanente e a do transiente.

O segundo é o modelo de Vardy. De acordo com este modelo, a perda de carga para o

regime transitório turbulento depende da velocidade média e funções peso calculadas

iterativamente, conforme a mudança de velocidade nos tempos anteriores. O termo de

atrito transiente é adicionado ao termo de atrito permanente (FERREIRA, BARBOSA e

CASTRO, 2015).

Foi observado que o método proposto por Vardy não apresentou significativas

diferenças em relação ao Método das Características. Sendo ainda, mais dispendioso

em termos computacionais.

O modelo proposto por Brunone produziu os resultados com maior precisão, em

relação aos outros modelos. Portanto, é considerado o mais eficiente para os casos de

estudo analisados.

Até então só foram comentados métodos de resolução de problemas de golpe de aríete

em apenas uma dimensão. Wu et al (2015) traz uma abordagem em três dimensões.

Além da onda de pressão ao longo da tubulação, são medidos também os valores de

sobrepressão em componentes pontuais do sistema. São exemplos destes

componentes: bombas, válvulas de retenção, etc. Para isto, é necessário construir uma

modelagem desses componentes em um método tridimensional. Porém, a modelagem

tridimensional de todo o sistema seria algo muito custoso e que exigiria uma grande

quantidade de tempo e trabalho investidos. Sendo assim, Wu et al (2015) estuda uma

abordagem bifásica. A combinação de um modelo unidimensional de cálculo para as

tubulações e um modelo tridimensional para os outros componentes do sistema.

Wu et al (2015) faz a comparação entre a análise do transiente hidráulico utilizando

somente o MOC (Method of Characteristics – Método das Características) e utilizando

MOC e CFD (Computational Fluid Dynamics – Fluidodinâmica Computacional) juntos.

Primeiramente são descritos os métodos e quais suas vantagens.

30

De acordo com Wu et al (2015) , o MOC apresenta melhor precisão e maior velocidade

computacional. Já o CFD vem sendo bastante utilizado para capturar características

tridimensionalmente de componentes locais dentro do sistema. Sendo uma modelagem

puramente tridimensional não economicamente viável, é mais vantajoso modelar certos

componentes separadamente. O CFD unidimensional pode fazer uma análise do

sistema como um todo, mas quando se trata de itens específicos não é preciso. Então

foi estudada uma junção do Método das Características em uma dimensão e a

Fluidodinâmica Computacional em três dimensões. O sistema acoplado se mostrou

eficiente e apresentou resultados com precisão satisfatória.

A figura 5 ilustra os valores de pressão obtidos utilizando em um primeiro momento

somente o Método das Características e posteriormente, o método acoplado. Pode-se

notar uma relativa discrepância entre as curvas. Isto indica que a junção dos dois

métodos realmente se configurou como mais precisa e mais eficiente em casos onde é

necessário obter valores de componentes hidráulicos.

Figura 5: Resultados obtidos através das abordagens MOC e MOC-CFD. Fonte: Wu et al (2015).

31

Apesar da variedade de casos em que podem ser encontrados transientes hidráulicos e

da maneira como se vai abordar o problema, o Método das Características se mostrou

eficiente na resolução dos mesmos. Este apresenta resultados de maneira rápida e

precisa, não exigindo grande utilização de recursos computacionais e tempo. Somente

em casos mais específicos, é necessário utilizar abordagens mais complexas, como o

CFD, por exemplo.

32

METODOLOGIA

A metodologia do presente trabalho consiste em analisar o fenômeno do golpe de

aríete em um sistema hidráulico simples; formado por um reservatório à montante, uma

válvula e um outro reservatório à jusante e uma tubulação retilínea conectando um ao

outro.

Esta análise ocorrerá em duas etapas. A primeira delas será a construção da

modelagem computacional e a obtenção dos valores de pressão ao longo do tempo.

Na segunda etapa, o cálculo da sobrepressão gerada pelo fenômeno através das

expressões já citadas (seção 2.4). Em seguida, estes valores são comparados aos

valores obtidos através do Método das Características, com o auxílio de um programa

de computador chamado KYPipe. O KYPipe utiliza o Método da Onda Característica

para realizar análises envolvendo transiente hidráulico. Este método é semelhante ao

Método das Características, a diferença entre os dois já foi comentada no capítulo 3.

Um estudo realizado por Boulos et al (2005) conclui que ambos os métodos oferecerão

os mesmos resultados, a partir da mesma modelagem. O Método das Características

será descrito a seguir.

Os fenômenos transitórios que ocorrem em sistemas de tubulações podem ser

modelados com precisão aceitável em projetos de engenharia, através das equações

da quantidade de movimento e da conservação da massa unidimensionais, na forma

diferencial (TSUTIYA, 2006 p.321). Estas equações são apresentadas,

respectivamente, a seguir:

𝑔𝜕𝐻

𝜕𝑥+

𝑄

𝐴 𝜕𝑄

𝜕𝑥+

1

𝐴

𝜕𝑄

𝜕𝑡+

𝑓𝑄|𝑄|

2𝑔𝐷𝐴= 0

(10)

33

𝜕𝐻

𝜕𝑡+

𝑄

𝐴

𝜕𝑄

𝜕𝑥+

𝑎

𝑔𝐴

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 0

(11)

Onde: H: carga piezométrica no trecho infinitesimal; Q: vazão no trecho infinitesimal; x:

coordenada que representa a distância; A: área da seção transversal do tubo do trecho

em questão; g: aceleração da gravidade e a: celeridade.

As equações acima (10) e (11), combinadas, resultam na equação:

𝜕 𝐻

𝜕𝑡− 𝑎

𝜕𝑉

𝜕𝑥= 0

(12)

A equação (12) é conhecida como a equação das ondas. Sua solução foi encontrada

por D’Alambert:

𝐻(𝑥, 𝑡) = 𝐻 + 𝐹 𝑡 − 𝑥

𝑎+ 𝑓 𝑡 +

𝑥

𝑎 (13)

𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑉 − 𝑔

𝑎𝐹 𝑡 −

𝑥

𝑎− 𝑓 𝑡 +

𝑥

𝑎 (14)

Considerando novamente o caso mais simples onde há uma tubulação que liga uma

válvula à jusante a um reservatório à montante, e adotando o sentido positivo da

coordenada “x” da válvula para o reservatório; temos o seguinte:

34

a) Uma onda que parte da válvula para o reservatório sendo sua velocidade

“+a”, percorre uma distância “Δx” em um tempo “Δt”, onde “Δx = aΔt”:

𝐹 𝑡 + ∆𝑡 −𝑥 + 𝑎∆𝑡

𝑎= 𝐹 𝑡 + ∆𝑡 −

𝑥

𝑎− ∆𝑡 = 𝐹 𝑡 −

𝑥

𝑎

(15)

b) Uma onda que parte do reservatório para a válvula sendo sua velocidade “-

a”, percorre uma distância “Δx” em um tempo “Δt”, onde “Δx = -aΔt”:

𝑓 𝑡 + ∆𝑡 + 𝑥 − 𝑎∆𝑡

𝑎= 𝑓 𝑡 + ∆𝑡 +

𝑥

𝑎− ∆𝑡 = 𝑓 𝑡 +

𝑥

𝑎

(16)

A partir das equações (15) e (16) pode-se concluir que as funções “F” e “f”

permanecem constantes mesmo quando “x” varia. Ou seja, estas funções representam

as ondas de pressão, com amplitude constante, que caminham ao longo da tubulação

durante o escoamento transitório.

O método das características consiste em combinar linearmente as equações da

quantidade de movimento e da continuidade através de um multiplicador “λ”, para

transformá-las num sistema de equações diferenciais ordinárias (TSUTIYA, 2006

p,323).

Reescrevendo as equações (10) e (11) e desprezando os termos convectivos:

35

𝑔𝜕𝐻

𝜕𝑥 +

1

𝐴

𝜕𝑄

𝜕𝑡+

𝑓𝑄|𝑄|

2𝑔𝐷𝐴+ 𝜆

𝜕𝐻

𝜕𝑡+

𝑎

𝑔𝐴

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 0

(17)

𝜆𝜕𝐻

𝜕𝑡+ 𝑔

𝜕𝐻

𝜕𝑥+

1

𝐴

𝜕𝑄

𝜕𝑡+

𝜆𝑎

𝑔

𝜕𝑄

𝜕𝑥+

𝑓𝑄|𝑄|

2𝑔𝐷𝐴= 0

(18)

As parcelas I e II se transformam em equações diferenciais totais de “H” e “Q”,

respectivamente:

𝐼 = 𝜕𝐻

𝜕𝑡+

𝜕𝐻

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑠𝑒

𝑔

𝜆=

𝑑𝑥

𝑑𝑡

(19)

𝐼𝐼 = 𝜕𝑄

𝜕𝑡+

𝜕𝑄

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑠𝑒

𝜆𝑎

𝑔=

𝑑𝑥

𝑑𝑡

(20)

Resolvendo as equações (19) e (20), chega-se ao seguinte resultado:

𝜆 = ±𝑔

𝑎 (21)

Enfim, quando a equação (21) é substituída na equação (17), resulta-se dois pares de

equações diferenciais ordinárias. Tais equações são o objetivo final deste método. Elas

são denominadas características positivas e negativas.

36

a) Características positivas (C+):

𝑔

𝑎

𝑑𝐻

𝑑𝑡+

1

𝐴

𝑑𝑄

𝑑𝑡+

𝑓𝑄|𝑄|

2𝐷𝐴= 0

(22)

𝑑𝑥

𝑑𝑡= +𝑎

(23)

b) Características negativas (C-):

− 𝑔

𝑎

𝑑𝐻

𝑑𝑡+

1

𝐴

𝑑𝑄

𝑑𝑡+

𝑓𝑄|𝑄|

2𝐷𝐴= 0

(24)

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝑎

(25)

As equações (23) e (25) impõem as condições para que as equações (22) e (24) sejam

válidas. A figura 6 esquematiza o método das características, na qual a resolução das

equações diferenciais (22) a (25) são válidas somente sobre as linhas “AP” e “BP”.

Devido ao fato de a celeridade das ondas de pressão não serem constantes, estas

linhas se caracterizam como curvas.

37

Figura 6: Representação esquemática do Método das Características. Fonte: Tsutyia (2006, p.323).

.

38

SIMULAÇÃO DO FENÔMENO

Com o objetivo de analisar os efeitos do Golpe de Aríete em tubulações de conduto

forçado, foi desenvolvido um sistema hidráulico fictício, modelado com a ajuda do

programa de computador KYPipe.

Este sistema consiste em uma tubo de PVC (Policloreto de Vinila) retilíneo, que liga um

reservatório de água à montante a uma válvula e um outro reservatório que se

encontram à jusante. Todos os dados referentes à este sistema estão dispostos na

tabela 3. Assim como a figura 6 contém uma representação esquemática da tubulação

em questão.

Tabela 3: Características da tubulação em estudo e seus respectivos valores.

A primeira análise efetuada sobre esse sistema foi à referente ao regime permanente

de escoamento. Com a ajuda do KYPipe foi possível obter valores de pressão nos nós

do sistema, assim como a vazão na tubulação. Para isso, foram modelados três nós. O

primeiro deles, à esquerda, representa o reservatório à montante (J-1). O segundo

representa a válvula (AV-1), e entre eles está o tubo de PVC com 1300m de

comprimento. O terceiro nó foi colocado logo após o segundo, havendo apenas 10m de

tubo entre os dois. Este comprimento é insignificante em relação ao comprimento

anterior. Este nó representa o reservatório à jusante (R-1). Estas informações se

Características Valores

Comprimento da tubulação 1300 metros

Cota da lâmina d’água no reservatório à montante 140 metros

Cota da lâmina d’água no reservatório à jusante 105 metros

Material PVC

Diâmetro do tubo 100 milímetros

39

encontram na figura 7.

Figura 7: Representação esquemática do sistema hidráulico estudado no programa KyPipe.

A tabela 4 contém os dados coletados através da análise do regime permanente, que

servirão de base para a análise do transiente hidráulico. Esta análise foi feita em duas

etapas: fechamento rápido e fechamento lento. Para cada uma das situações foram

gerados gráficos de pressão x tempo, mostrando o comportamento da onda de pressão

na seção exatamente à montante da válvula AV-1(inlet). O software também

disponibiliza no gráfico os valores pressão na seção à jusante da válvula (outlet). Mas

estes valores foram desconsiderados pois não fazem parte desta análise. Além disso,

o valor da sobrepressão obtido no gráfico foi comparado com os valores obtidos

através das expressões de Michaud, Joukowsky, Da Sparre, Johnson e Allievi, com a

ajuda de uma planilha em Excel.

40

Tabela 4: Dados necessários para a análise do transiente hidráulico

5.1 Fechamento rápido

Conforme calculado anteriormente, o valor do período da tubulação (T) foi de

aproximadamente 3,1 segundos. Para a simulação com o tempo de fechamento rápido

foram adotados tempos de fechamento (t) iguais a 1, 2 e 3 segundos. Uma vez que

para o fenômeno poder ser considerado rápido, o tempo da manobra necessita ser

inferior ao período da tubulação. A tabela 5 apresenta os valores de sobrepressão

atingidos.

INPUT

Dados Primários

Comprimento L (m) 1300 Velocidade do escoamento V (m/s) 1.643312 Gravidade g (m/s²) 9.8

Sobrepressão inicial H (m) 105.4082 Variação da velocidade do escoamento ΔV (m/s) 1.643312 Celeridade a (m/s) 841.8294 Período da tubulação T (s) 3.088512 Constante de Alievi C

Dados Secundários

Diâmetro da tubulação D (m) 0.1 Espessura da tubulação e (m) 0.02 Coeficiente k k 18 Vazão Q (m³/s) 0.0129 Área da seção A (m²) 0.00785

41

Tabela 5: Valores de sobrepressão para fechamento rápido.

Expressões Sobrepressão (m.c.a)

1 segundo 2 segundos 3 segundos

Michaud 435.98 217.99 145.33

Joukowsky 141.16 141.16 141.16

De Sparre -6405.85 225.67 110.88

Johnson 538.46 178.94 101.86

Allievi 538.46 178.94 101.86

KYPipe 136.63 137.12 137.03

A figura 8 expõe o gráfico Pressão x Tempo na seção à montante da válvula AV-1,

quando o tempo de fechamento é igual a 1 segundo. As figuras 9 e 10 expõem o

mesmo gráfico da figura 8, porém para o caso de tempos de fechamento iguais a 2 e 3

segundos, respectivamente.

Figura 8: Gráfico Pressão (kPa) x Tempo (s) para fechamento rápido, na válvula AV-1, para tempo de fechamento igual a 1 segundo.

42

Figura 9: Gráfico Pressão (kPa) x Tempo (s) para fechamento rápido, na válvula AV-1, para tempo de fechamento igual a 2 segundos.


43

5.2 Fechamento lento

Para realizar a análise do transiente hidráulico quando o fechamento é lento, foram

escolhidos tempos de fechamento iguais a 5, 10, 20, 60, 120 e 180 segundos. Valores

superiores ao período da tubulação. A tabela 6 contém os valores de sobrepressão

obtidos através das expressões e o valor obtido pela modelagem computacional.

Tabela 6: Valores de sobrepressão para fechamento lento.

As figuras 11 até 16 mostram o gráfico Pressão x Tempo para a seção à montante da

válvula AV-1, nos tempos de fechamento iguais a 5, 10, 20, 60, 120 e 180 segundos,

respectivamente.

Expressões Sobrepressão (m.c.a)

5 segundos 10 segundos 20 segundos 60 segundos 120 segundos 180 segundos

Michaud 87.20 43.60 21.80 7.27 3.63 2.42

Joukowsky 141.16 141.16 141.16 141.16 141.16 141.16

Da Sparre 54.97 24.31 11.49 3.70 1.83 1.22

Johnson 53.52 24.17 11.48 3.70 1.83 1.22

Allievi 53.52 24.17 11.48 3.70 1.83 1.22

KYPipe 133.62 116.00 101.88 34.41 9.90 5.10

44



45



46



47

CONCLUSÃO

O Método da Onda Características resulta em valores de sobrepressão mais confiáveis

que aqueles obtidos através das expressões analíticas. Essas expressões exigem que

sejam feitas simplificações e aproximações no sistema, afim de que se torne viável sua

resolução de maneira analítica. Tais aproximações podem ser muito grosseiras em

certos casos, gerando valores finais muito distantes da realidade. Por esse motivo, este

método é considerado mais preciso, e servirá de base para a comparação dos valores

obtidos pelas equações de Michaud, Joukowsky, Da Sparre, Johnson e Allievi.

Os resultados obtidos na modelagem feita utilizando o KyPipe foram consistentes.

Conforme esperado, os valores de sobrepressão atingidos após o fechamento da

válvula são de fato bem maiores que a pressão no regime permanente. Isso fica ainda

mais evidente quando o fechamento é rápido. Além disso, foi possível observar a

propagação da onda de pressão ao longo do tubo, e como o escoamento se comporta

à medida que esta onda se propaga. Tudo ocorreu como esperado e o mecanismo do

fenômeno está de acordo com Azevedo Netto (1998).

No caso de fechamento rápido, a equação de Joukowsky foi a que gerou um valor de

sobrepressão mais próximo ao máximo atingido na modelagem computacional. Em

contrapartida, quando o fechamento é lento, a equação de Michaud apresentou valores

bem próximos ao máximo obtido pelo software. Porém, observa-se que isto só ocorre a

partir de um tempo de fechamento aproximadamente igual a 40 vezes o período da

tubulação.

As outras três equações no geral apresentaram valores próximos. As equações de

Johnson e Allievi apresentaram valores idênticos em todas as situações. Isto também

já esperado, pois como já se havia concluído, elas são matematicamente equivalentes.

Os valores obtidos por essas três equações, apesar de semelhantes, dispersam

bastante dos valores encontrados pelo KYPipe. Isto só não ocorre quando o tempo de

fechamento é quase ao período da tubulação (3 segundos).

48

Tendo em vista as observações acima, as equações de Michaud e Joukowsky podem

ser ditas confiáveis (para os casos de fechamento lento e rápido, respectivamente) e

servir como cálculo de estimativa mais preciso, uma vez que se recomenda uma

análise do golpe de aríete feita computacionalmente, em projetos hidráulicos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

49

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Bucher Ltda., 1998.

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FERREIRA, F.; BARBOSA, J. M.; CASTRO, M. A. Avaliação de Modelos de Atrito

Variável em Transientes Hidraúlicos. Recursos Hídricos, v. 36, n. 1996, p. 10, 2015.

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Tubulações. [s.l.] Universidade Estadual Paulista, 2015.

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50

Engenharia Hidráulica e Sanitária da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo,

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