EXERCÍCIOS DE CÍRCULO DE MOHR

EXEMPLO 01

No plano horizontal de um elemento de solo atuam uma tensão normal de 4kgf/cm2 e uma tensão de cisalhamento de 1 kgf/cm2 . No plano vertical a tensão normal é de 2 kgf/cm2 e de cisalhamento de -1kgf/cm2 . Determine :

a) O círculo de Mohr representativo do estado de tensõesb) O Póloc) O ângulo dos planos principais com a horizontald) As tensões num plano α = - 450 com a horizontal

EXEMPLO 02

Sendo 1,0 e 3,0 kgf/cm2 as tensões normais atuantes em um elemento de solo, determine :

a) As tensões que atuam num plano que forma um ângulo de -30o

com o plano principal maior .b) A inclinação do plano em que a tensão normal é de 1,5 kgf/cm2 e a

correspondente tensão de cisalhamento .c) Os planos em que ocorre a tensão de cisalhamento de 0,5 kgf/cm2

d) A máxima tensão de cisalhamento que atua neste elemento .

EXEMPLO 03

No elemento de solo esquematizado na figura atuam as tensões assinaladas :

Sabendo-se que a tensão normal no PPm é 1,5 kgf/cm2, pede-se :

a) Achar as coordenadas do PÓLOb) Qual a inclinação do PPM em relação à horizontal ?c) Qual o ângulo formado entre o PPm e o PCm ?d) Qual o valor da tensão de cisalhamento no plano que faz um ângulo

de 45o com o PPM ?

Plano Horizontal

5 kgf/cm2

5 kgf/cm2

3 kgf/cm2 3 kgf/cm2

EXEMPLO 04

No elemento de solo esquematizado na figura a seguir, atuam as tensões assinaladas . Pede-se determinar :

a) Pólob) Tensões : principal maior, principal menor , cisalhamento máximo e

cisalhamento mínimo .c) Ângulos formados com a horizontal pelos planos principal maior,

principal menor, cisalhamento máx. e cisalhamento mínimo .d) As tensões que atuam num plano que faz um ângulo de 20o com a

horizontal .

30o

4

4

2

2

2

2

1,5

1,5Unidades : kgf/cm2

P.H.

EXEMPLO 05

Em um ponto de um elemento de solo agem as seguintes tensões :

Ângulo do plano c/ a horizontal σ τ+ 45o 4 kgf/cm2 2 kgf/cm2

α 6 kgf/cm2 1 kgf/cm2

Pede-se :

a) Traçar o círculo de Mohr correspondenteb) Determinar o PÓLOc) Determinar gráficamente as tensões que agem em um plano que faz um

ângulo de -45o com a horizontald) Determinar o ângulo αe) Calcular analíticamente o valor das tensões que agem em um plano que faz

um ângulo de + 90o com a horizontal .

EXEMPLO 06

No elemento de solo esquematizado na figura, atuam as tensões assinaladas . Pede-se determinar :

45o

6

2

2

2

Plano Horizontal

Plano β

a) Pólob) Tensões normal e cisalhante

no plano βc) Ângulos formados com a

horizontal pelos planos principais

d) Tensões principais

EXEMPLO 07

Em um ponto de um elemento de solo agem as seguintes tensões :

ÂNGULO DO PLANO C/ PPM σ ( kgf/cm2 ) τ( kgf/cm2 )+ 50O 4,000 2,975

0o 7,500 0,000

Pede-se :

a) Traçar o círculo de Mohr correspondenteb) Determinar o Póloc) Determinar gráficamente as tensões que agem em um plano que faz +30o

com o PPMd) Determinar gráfica e analiticamente as tensões que agem nos planos de

cisalhamento máximo e mínimo

EXEMPLO 08

Dado o elemento de solo abaixo e sabendo-se que a tensão principal maior é igual a 7,50 kgf/cm2 , determinar :

a) O Pólob) As tensões atuantes no plano βc) O ângulo entre o plano α e o PPMd) O ângulo entre a horizontal e o PPm

DADOS : σα = 2,0 kgf/cm2

τα = 1,675 kgf/cm2

P.H.

σα

σα

τα

τα

σβ

σβ τ

β

τβ

Plano βPlano α

45o

EXEMPLO 09

Um elemento de solo de seção indicada na figura e comprimento infinito foi introduzido num material cujo peso específico é γ . Sendo conhecidas as tensões atuantes nas faces AB e DC , pede-se estimar as tensões nas outras faces, por meio de um círculo de Mohr, desprezando o peso próprio do elemento .

AB

C

D E

Z

FACE σ τ αHOR

AB 0,95. γ . Z 0,12. γ . Z 0BC 300

CD 0,59. γ . Z - 0,12. γ . Z 900

DE 0AE -450

EXEMPLO 10

Uma argila arenosa quando submetida a um ensaio de compressão triaxial, apresentou os resultados abaixo :

ENSAIO N0 TENSÃO CONFINANTE ( σ3 ) σ1 – σ3

01 100 kPa 400 kPa02 250 kPa 700 kPa

Pede-se :

a) Determinar o ângulo de atrito interno (φ)b) Determinar a coesão (c)c) Qual o ângulo do plano de ruptura com o plano horizontal ( ângulo α )d) Determinar as tensões normal e cisalhante que atuam em um plano β que

forma um ângulo de 37o com o PPM .

α

EXEMPLO 11

Para o elemento de solo ao lado, pede-se :

a) Traçar o círculo de Mohr de tensõesb) Determinar o Póloc) Determinar o valor do ângulo θd) Qual o valor do ângulo entre o PH

e o PPM .

PH

3

3

2

6θ

EXEMPLO 12

Para o elemento de solo indicado, pede-se :

a) Traçar o círculo de Mohr e achar o Pólob) Determinar o valor do ângulo αc) Determinar as tensões principaisd) Determinar o ângulo entre o PPM e o plano horizontal

α

3,45

2,00

4,68

1,18

EXEMPLO 13

No elemento de solo mostrado na figura atuam as tensões indicadas .Pede-se :

θ

6,5

0

0

1,5

θ = - 63,5o

Plano θ

Determine gráficamente as tensões σ e τ que atuam no plano θCalcule as tensões normal e cisalhante atuantes no plano β que forma um ângulo de + 18,5o com o PPM .Considerando que β seja o plano horizontal, qual o ângulo formado por ele com o PPm ?

GABARITO

Exemplo 01

c) 22,45o d) ( 4 , -1 )

Exemplo 03

a) (3,0 ; 2,27 )b) 33o

c) 45o

d) 2,5

Exemplo 04

Pólo (0,4 ; -0,07)σ1 = 5,10 kgf/cm2

σ3 = 0,4 kgf/cm2

τmáx = 2,35 kgf/cm2

τmin = - 2,35 kgf/cm2

σ20 = 4,6 kgf/cm2

τ20 = 1,45 kgf/cm2

Exemplo 05

α = 11o

Exemplo 08

a) ( 6,18 ; 2,5 )b) ( 7,0 ; 1,675 )c) 73o

d) 28o

Exemplo 09

σ τBC 0,775. γ .Z 0,21 . γ .ZDE Idem AB idem ABAE 0,89 . γ .Z -0,18 . γ .Z

Exemplo 10

a) 30o

b) 0,6 kgf/cm2

c) 60o

d) ( 7 ; 3,4 )

Exemplo 11

b) ( 3 ; -3 )c) 31o

d) 39o

Exemplo 12

b) 21o

c) σ3 = 0,75 kgf/cm2

σ1 = 5,0 kgf/cm2

d) 17o

Exemplo 13

a) ( 2,5 ; -2,0 )b) ( 6 ; 1,5 )c) 71,5o