741 7 Paralelismos e Perpendicularidades

7/25/2019 741 7 Paralelismos e Perpendicularidades

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Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Paralelismos e perpendicularidades - 1

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PARALELISMOS E PERPENDICULARIDADES

Neste captulo estudam-se as rectas e os planos nas suas relaes de para-

lelismo e de perpendicularidade, nas diferentes possibilidades: rectas com

rectas, planos com planos e rectas com planos. Mostra-se tambm como se

confirmam e se determinam relaes de paralelismo e de perpendicularidade.

Sumrio:

2. Os paralelismos no espao

3. Paralelismos de resoluo directa entre rectas

4 e 5. Paralelismos entre rectas de perfil

6. Paralelismos de resoluo directa entre planos

7. Paralelismos entre planos de rampa

8 e 9. Plano paralelo a outro contendo um ponto dado

10. Paralelismos de resoluo directa entre rectas e planos

11. Paralelismos entre rectas e o plano oblquo

12. Paralelismos entre rectas e o plano de rampa

13 e 14. Paralelismos entre rectas e planos definidos por rectas15. Paralelismos entre planos definidos por traos e planos definidos

por rectas

16 e 17. Paralelismos entre planos definidos por rectas

18. As perpendicularidades no espao

19. Perpendicularidades de resoluo directa entre rectas e planos

20. Perpendicularidades entre o plano de rampa e a recta de perfil

21. Perpendicularidades de resoluo directa entre rectas

22. Perpendicularidades entre rectas oblquas

23. Perpendicularidades entre rectas de perfil

24. Perpendicularidades entre rectas oblquas e de perfil

25. Perpendicularidades de resoluo directa entre planos

26. Perpendicularidades entre planos de rampa

27. Perpendicularidades entre planos oblquos

28. Perpendicularidades entre planos oblquos e de rampa

29. Perpendicularidades entre rectas e planos definidos por rectas

30. Perpendicularidades entre planos definidos por traos e planos

definidos por rectas

31. Perpendicularidades entre planos definidos por rectas

32. Perpendicularidades entre uma recta e duas rectas

33, 34 e 35. Exerccios


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Os paralelismos no espao

Nesta primeira parte do captulo estudam-se paralelismos entre: duas rectas, dois planos, uma recta

e um plano. Nos traados que se apresentam nesta pgina fcil verificar e compreender essas

situaes; contudo, nas projeces nem sempre se apresentam bvias ou de resoluo imediata.

Paralelismo entre duas rectas

Duas rectas paralelas so rectas com a mesmadireco, pelo que so complanares.

Paralelismo entre dois planos

Dois planos que no se intersectam so sempre

paralelos.

Paralelismo entre uma recta e um planoUma recta que no cruza um plano paralela aesse plano.

a

b

p



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Paralelismos de resoluo directa entre rectas

Duas rectas paralelas tm sempre as suas projeces homnimas paralelas; eventualmente, poder

haver coincidncia numa das projeces. Obviamente, s rectas do mesmo tipo podem ser parale-

las entre si. No se apresentam aqui as rectas fronto-horizontal, de topo e vertical, j que duas rec-

tas de cada um desses tipos so sempre paralelas.

Paralelismo entre rectas horizontais e entre rectas frontais

Duas rectas horizontais ou frontais so paralelas quando as suas projeces homnimas tambm o so. Sehouver coincidncia numa das projeces (como se v no segundo exemplo de baixo) o paralelismo continua aser vlido.

n1

n2

f1

f1

n2

n1

f2

r1

s1

r2s2

x

f2

Paralelismo entre rectas oblquas

Duas rectas oblquas so paralelas quando as suas projeces homnimas so paralelas. Havendo coincidn-cia numa das projeces, o paralelismo continua vlido.

x


a2b2

a1

b1


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Paralelismos entre rectas de perfil

A regra que se aplica nas situaes da pgina anterior no se aplica recta de perfil. Pode-se repre-

sentar rectas de perfil paralelas entre si, ou confirmar se o so, recorrendo s suas projeces late-

rais. Aqui exemplifica-se com rectas definidas pelos seus traos mas, obviamente, este processo

tambm vlido para rectas definidas por outros pontos.

x

Paralelismo entre rectas de perfil com a mesma abcissa

No caso de as rectas de perfil possurem o mesmo valor de abcissa (ou seja, terem projeces coincidentes) asprojeces laterais permitem tambm confirmar se elas so paralelas ou no.

b1b2a1a2

F1H2 F1H2

F2

H1

H1

F2

Paralelismo entre rectas de perfil com diferentes abcissas

Duas rectas de perfil paralelas tm projeces laterais paralelas ou, eventualmente, coincidentes, caso asmedidas dos seus traos sejam iguais.

yz

b3

a3

F3

H3F3

H3

a3 // b3

x

p1p2q1q2

F1F2F1H2

H1

F2

p3

q3

F3

H3

F3

H3

p3 // q3

yz

F2

H1


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Nesta pgina confirma-se o paralelismo entre duas rectas de perfil recorrendo a traos de planos

auxiliares, assim como a rectas paralelas ou concorrentes.

Para tal, pode-se ainda fazer uso dos mtodos geomtricos auxiliares: rebatimentos, rotaes e

mudanas de planos.

x

Confirmao do paralelismo entre rectas de perfil recorrendo a rectas auxiliares

Quando duas rectas de perfil esto definidas por dois pontos que no os traos, pode-se utilizar um processosimples para confirmar se so paralelas entre si ou no. O processo consiste em passar duas rectas pelos pon-tos. Se essas rectas forem paralelas ou concorrentes (ou seja, complanares) isso significa que as rectas deperfil so paralelas, mas se forem enviesadas as rectas dadas tambm sero enviesadas.

p1p2

h

F2

f

p1p2

H1

F2

H1

F1H2 F1H2

b1b2 b1b2

F1H2 F1H2

F2

H1

H1

F2

h

f

Confirmao do paralelismo entre rectas de perfil recorrendo aos traos dos planos

Para que duas rectas sejam paralelas tm de ser complanares. Aqui, para provar que as rectas de perfil soparalelas, representam-se os traos do plano a que pertencem: esquerda, um plano de rampa; direita, umplano oblquo. No primeiro caso pode-se confirmar o paralelismo entra as rectas sem recorrer ao plano de ram-pa, caso se verifique que os traos da recta tm medidas iguais.

x

r1r2

A2s1s2

C1

g1g2j1j2

B2

A1

B1

C2

D1

D2

a2

b2

a1

b1

A2

C2

D2

B2

b2

a2

A1

B1

C1

D1

I2

I1

b1

a1


a // b


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Paralelismos de resoluo directa entre planos

Dois planos paralelos tm sempre os traos homnimos paralelos. Obviamente, s planos do mes-

mo tipo o podem ser. Dois planos horizontais, frontais ou de perfil so sempre paralelos entre si,

pelo que esses casos no se apresentam aqui.

x

Paralelismo entre planos de topo e entre planos verticais

Para que dois planos de topo sejam paralelos necessrio que os seus traos frontais sejam paralelos, j que

os horizontais o so sempre. Para que dois planos verticais sejam paralelos necessrio que os seus traoshorizontais sejam paralelos, j que os frontais o so sempre.

f

h

f

h h

h

f f

x

f

h

f

h

Paralelismo entre planos oblquos

Para que dois planos oblquos sejam paralelos necessrio que os seus traos homnimos sejam paralelos.

Isso observa-se aqui em duas situaes.


f

h

f

h


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Paralelismos entre planos de rampa

A especificidade dos planos de rampa faz com que a posio dos seus traos, sempre paralelos ao

eixo x, no seja suficiente para garantir o paralelismo entre dois planos. Aqui mostra-se como resol-

ver o problema recorrendo aos traos laterais.

Outros processos se podem utilizar para confirmar ou determinar o paralelismo entre planos de ram-

pa: rebatimentos, rotaes e mudanas de planos.

Paralelismos entre planos de rampa

Para que dois planos de rampa sejam paralelos necessrio que os seus traos laterais tambm o sejam.Na situao de baixo, um dos planos passante, definido pelo ponto P.

x

yz

h

f

l

f

l

l // l

h

xhf

yz

l

f

ll // l

h

P3P2

P1



8/35


Plano paralelo a outro contendo um ponto dado

Quando se pretende determinar um plano paralelo a outro, mas contendo um ponto dado, obvia-

mente j no se pode traar esse plano num stio qualquer.

x

Paralelismo entre planos de topo e entre planos verticais

Observam-se aqui duas situaes que envolvem planos projectantes. Para que um plano de topo contenha umponto e seja paralelo a outro plano, alm de ter os seus traos paralelos aos traos homnimos do outro, o seutrao frontal tem que conter a projeco frontal do ponto. O raciocnio idntico para o plano vertical, devendoo trao horizontal deste conter a projeco horizontal do ponto. No primeiro caso indiferente a medida do

afastamento do ponto, no segundo indiferente a da cota.

f

h

f

hh

h

f f

x

f

h

f

h

Paralelismo entre planos oblquos

No sendo este um plano projectante, para resolver estes problemas h que utilizar uma recta auxiliar, paralela

ao plano e contendo o ponto dado. Essa recta, que convm ser frontal ou horizontal, ficar contida no planopretendido. Ou seja, o ponto pertence ao plano porque pertence a uma recta que pertence ao plano.

P2

P1

R1

R2

S2

S1

H2

H1

f2

f1

A2

A1

F2

F1

n2

n1

f

h

f

h


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Para determinar um plano de rampa paralelo a outro, e contendo um ponto dado, utilizam-se aqui

dois processos.

Determinao do paralelismo entre planos de rampa recorrendo a rectas oblquas

A recta r uma recta oblqua qualquer que se traou no plano dado . Passando pelo ponto dado P a recta s,paralela outra, obtm-se um plano paralelo ao primeiro, bastando para tal que esse plano contenha estasegunda recta.

x

yz

h

f

l

f

l l // l

h

P2

P1

P3

Determinao do paralelismo entre planos de rampa recorrendo aos traos laterais

J vimos que dois planos de rampa so paralelos quando tm os traos laterais paralelos. Mas pretende-se

aqui encontrar um plano paralelo ao outro contendo um ponto dado. O plano contm esse ponto porque o seutrao lateral contm a projeco lateral do ponto.

x

h

f

f

s// r

h

P2

P1

F2

F2

F1

F1 H2

H2

H1

H1

r2s2

s1

r1


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Paralelismos de resoluo directa entre rectas e planos

O paralelismo entre rectas e planos d origem a situaes muito diversas, umas bvias, outras mais

complexas. Nesta pgina observam-se as situaes mais simples. Contudo, no se apresentam os

casos onde os paralelismos so automticos:

- Plano horizontal com rectas horizontal, fronto-horizontal e de topo

- Plano frontal com rectas frontal, fronto-horizontal e vertical

- Plano de perfil com rectas de perfil, de topo e vertical

- Plano de rampa com recta fronto-horizontal

- Plano de topo com recta de topo

- Plano vertical com recta vertical

x

Paralelismo entre rectas e os planos de topo e vertical

Qualquer recta cuja projeco frontal seja paralela ao trao frontal do plano de topo, ser paralela ao plano.Qualquer recta cuja projeco horizontal seja paralela ao trao horizontal do plano vertical, ser paralela aoplano. As posies das outras projeces no tm qualquer interferncia.

f

hh

f

f2

r2

f1

r1

n1

n2s2

s1

r2 // ff2// f

n1 // hs1// h

x

f

h

Paralelismo entre o plano oblquo

e as rectas horizontal e frontal

Exceptuando as situaes de pertena, umarecta frontal paralela a um plano oblquoquando a sua projeco frontal paralela aotrao homnimo do plano; do mesmo modo,uma recta horizontal paralela a um planooblquo quando a sua projeco horizontal paralela ao trao homnimo do plano.

f2

f1

n2

n1

f2 // f

n1 // h


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Paralelismos entre rectas e o plano oblquo

Observam-se nesta pgina paralelismos das rectas oblqua e de perfil com o plano oblquo. O para-

lelismo das rectas horizontal e frontal com este plano foi abordado na pgina anterior.

x

Recta oblqua paralela a plano oblquo

Pode-se traar rectas oblquas paralelas ao plano oblquo de duas maneiras. No primeiro caso traada umarecta que pertence ao plano; a recta r, sendo paralela a essa, ser tambm paralela ao plano. No segundo caso traado um plano paralelo ao plano dado; a recta s, situada nesse plano ser paralela ao outro.

f

h

a2

r// ar //

r2

a1 r1

f

h

// s //

f

h

s2

s1

F2

H2

F2

H2 F1F1

H1 H1

x

Recta de perfil paralela a plano oblquo

Com a recta de perfil pode-se proceder de modo idntico ao observado para as rectas oblquas: no primeirocaso, representando uma recta paralela a uma recta do plano; no segundo caso, representando a recta num

plano paralelo ao plano dado. As linhas paralelas ao eixo x, que passam pelos traos da recta de perfil na pri-meira situao, mostram que essas medidas so iguais.

f

h

a2a1

p// a

f

h//

f

h

F2

H2F1

F2

H2F1

H1 H1

p2p1

H1

F2

q2q1

H2F1



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Paralelismos entre rectas e o plano de rampa

Observam-se nesta pgina os paralelismos entre as rectas oblqua e de perfil e o plano de rampa. O

paralelismo entre a recta fronto-horizontal e o plano de rampa imediato e foi referido duas pginas

atrs.

x

Recta oblqua paralela a plano de rampa

Pode-se traar rectas oblquas paralelas ao plano de rampa de duas maneiras. No primeiro caso traada umarecta que pertence ao plano; a recta s, que contm P, sendo paralela a essa ser tambm paralela ao plano.No segundo caso verifica-se que a projeco lateral da recta paralela ao trao lateral do plano, o que garante

o paralelismo entre ambos.

f

h

a2

s// a

s2

a1s1

r3// l

F2

H2 F1

H1

Recta de perfil paralela a plano de rampa

Com a recta de perfil pode-se proceder de modo idntico ao observado para as rectas oblquas. No primeirocaso, representando uma recta paralela a uma recta do plano; no segundo caso, verifica-se que a projecolateral da recta paralela ao trao lateral. As linhas convergentes no eixo x, na primeira situao, garantem que

os traos da recta p se mantm proporcionais aos da recta a. Na segunda situao s dado o trao frontal doplano, partindo-se do princpio de que este paralelo recta.

f

yz

h

l

r2

r1

F2

H2

H1

F1

r3

F3

H3

x

f

h

a2a1

p// a b3// l

F2

H2F1

H1

f

yz

lF2

H1

H2F1

p2p1F2

H1

H2F1

b2b1

b3

F3

H3

P2

P1


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Paralelismos entre rectas e planos definidos por rectas

Aqui mostra-se como determinar rectas paralelas a planos definido por rectas. comum um enun-

ciado pedir que a recta passe por um ponto dado, pelo que se mostram aqui situaes equivalentes.

Recta oblqua qualquer paralelaa plano definido por duas rectas

Se no se pedir uma recta especfica,basta traar uma paralela a uma dasrectas desse plano. Neste caso apenasse pretende que a recta contenha oponto A, pelo que se traou a recta pparalela r.

x

s2

r1

I2

I1

s1

r2

x

c2

c1

d2

d1

p2

p1

Recta horizontal paralelaa plano definido por duas rectas

Como no caso anterior, tambm aquise pretende uma recta diferente dasrectas dadas, pelo que h que traaruma concorrente com essas, que tenhaas caractersticas pretendidas. Ao ladotraa-se uma paralela a essa. Nestecaso trata-se de uma recta horizontal,mas tratando-se de uma recta frontal oprocesso seria idntico.

C2 D2

D1C1

h2

h1

n2

n1

n // h

p // r

x

Recta oblqua especfica paralelaa plano definido por duas rectas

Caso se pretenda uma recta oblquacom caractersticas especficas, h quecruzar com as rectas dadas uma quetenha essas caractersticas. Nestecaso pretende-se uma recta cuja pro-jeco horizontal faa 40ad e que con-tenha o ponto P.

P2

P1

c2

c1

d2

d1

C2D2

D1

C1

A2

A1

r2

r1

s2

s1

r // s

S2

S1


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Mostram-se aqui duas situaes que envolvem a recta de perfil. Num dos casos o plano definido

pelas rectas oblquo, no outro de rampa passante.

Recta de perfil paralela a plano definido por rectas oblquas

Aqui procede-se de forma idntica do exerccio anterior, traando uma recta de perfil no plano. A recta deperfil pretendida tem as caractersticas dessa. As linhas paralelas ao eixo x garantem que os pontos de umaso idnticos aos da outra. A recta horizontal serve para confirmar que o plano no de rampa, pois se o fossea recta de perfil p no poderia ser determinada deste modo, uma vez que pertenceria tambm ao plano.Caso se pretenda que a recta de perfil contenha um ponto dado, ser necessrio, por exemplo, recorrer s pro-jeces laterais do ponto e da recta.

x

a2 I2

I1b1

b2

B2

A2

p // q

q2q1

a1

B1

A1

C2

D2

D1

C1

p2p1

Recta de perfil paralela a plano definido por rectas oblquas dum plano de rampa

Neste caso, as rectas que definem o plano so passantes, o que quer dizer que o plano de rampa que definem

tambm passante. Aps determinar as projeces laterais dessas rectas, que so coincidentes, traa-se umarecta de perfil cuja projeco lateral paralela s das rectas dadas (que so coincidentes). Aqui a recta estdefinida pelo ponto A e pelo seu trao horizontal.

n2B2

B1

n1

r2

r1

s2

s1

I2

I1

p2p1

r3s3

I3p3

H3

H1

H2

A3A2

A2

yz

x

S1S2 R1R2

p3// r3s3


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Paralelismos entre planos definidos por rectas

e planos definidos por traos

Aqui mostra-se como determinar o paralelismo entre um plano definido por traos com outro definido

por rectas.

Plano definido por rectas concorrentes paralelo a um plano de rampa

No plano de rampa definido pelos traos foram marcadas duas rectas oblquas, ao lado esto traadas duasrectas paralelas a essas. Deste modo, o plano definido pelas rectas paralelo ao plano definido pelos traos.Aqui parte-se do princpio de que se pretende determinar um plano paralelo a , contendo o ponto P.

x

f

h

F2

F1

H1

H2

b2

a1

I2

I1

F1

F2

b1

H2

H1

a2 s2

r1

P2

P1

s1

r2

r // as // b

Plano definido por rectas paralelas paralelo a um plano oblquo

Aqui procede-se como no caso anterior, marcando duas rectas no plano oblquo definido pelos traos; ao lado

foram traadas duas rectas paralelas a essas, passando uma delas pelo ponto A, que se pretendia contido nes-se plano. Tratando-se de rectas paralelas, devem manter-se iguais as distncias entre as suas projeces.

x

f

h

a2

a1

F2

F1

H2

H1

b2

F2

F1

H1

H2

b1

r2

r1

s2

s1

=

=

-

-

r // as // b

A2

A1


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Paralelismos entre planos definidos por rectas

Aqui mostram-se algumas situaes de paralelismos entre planos definidos por rectas.

Planos paralelos definidos por rectas concorrentes

As rectas r e s definem um plano; as rectas a e b definem outro. Sendo a recta a paralela recta r e a b parale-la s, os planos por elas definidos so paralelos entre si.Um exerccio em que se pedisse para determinar um plano paralelo ao plano definido pelas rectas r e s, conten-do o ponto P, seria assim resolvido, sem necessidade de mais traados.

x

I2

I1

s2r2

s1r1

P2

P1

b2

a2

b1a1

a // rb // s

Planos paralelos, sendo um definido por rectas oblquas paralelase outro definido por uma recta horizontal e outra frontal

As rectas c e d, oblquas e paralelas entre si, definem um plano. Traando as rectas f e n, tambm desse pla-

no, ficamos com a direco a dar s rectas f e n que definem um plano paralelo ao anterior, neste caso conten-do o ponto I.

f1

x

f2

n1

n2

c2

c1

d2

d1

C1

C2 D2

D1

D2

D1

I2

I1

f1

f2

n2

n1 n // nf // f


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Nesta pgina mostram-se mais exemplos de paralelismos entre planos definidos por rectas.

Plano definido por rectas oblquas paralelo a plano definido por rectas de perfil

Aqui pretende-se um plano definido por duas rectas de perfil que seja paralelo a outro definido por duas rectasoblquas. Traam-se duas rectas de perfil concorrentes com as oblquas e, ao lado, traam-se outras duas idn-ticas a essas. As l inhas paralelas ao eixo x provam que os pontos das rectas de perfil mantm a mesma propor-o e disposio. O valor de abcissa entre essas rectas tambm tem de ser mantido.

A recta horizontal n prova que o plano oblquo, sendo de rampa as rectas p e p estariam contidas nele.

x

I2

I1

s2r2

s1r1

q // pq // p

Plano definido por rectas oblquas paralelo a plano definido por rectas frontais

Para definir um plano por rectas frontais, sendo paralelo a outro definido por rectas oblquas, cruzam-se duas

rectas frontais com as oblquas e, ao lado, traam-se outras idnticas a essas. Para garantir o paralelismo entreos planos tem de se manter a distncia entre as projeces das rectas frontais. Aqui parte-se ainda do princpiode que se pretende um plano que contenha o ponto P.

f1

x

f2

f2

a2

a1

b2

A1

A2

B2

B1

B2

B1

R2

S2

R1

S1

R2

S2

R1

S1

A2

A1

B2

B1

A2

A1

B2

B1

q2q1 q2q1 p2p1 p2p1

=

=

A1

A2

b1

f1

r2

s2

r1

s1

=

=

=

=

n2

n1

N2

N1

P2

P1


18/35


As perpendicularidades no espao

Na segunda parte deste captulo estudam-se as perpendicularidades entre: uma recta e um plano,

dois planos, duas rectas. No espao fcil verificar e compreender essas situaes de perpendicu-

laridade; contudo, nas projeces nem sempre as situaes se apresentam to bvias nem de reso-

luo imediata.

Perpendicularidade

entre uma recta e um plano

Aqui mostra-se um plano horizontal e uma rectavertical. Obviamente, em qualquer posio queestejam, uma recta e um plano so perpendicula-

res sempre que fazem entre si um ngulo recto.

Perpendicularidade entre dois planos

Aqui mostra-se um plano numa posio horizontal,outro numa posio vertical. Contudo, quaisquer

planos so perpendiculares entre si sempre quefazem um ngulo recto.

Perpendicularidade entre duas rectasDuas rectas podem ser perpendiculares sendoconcorrentes ou enviesadas. Em qualquer doscasos fazem um ngulo recto entre si. Nalgunscasos (situao de baixo), prova-se que as rectasenviesadas so perpendiculares se cruzarmos poruma delas uma recta paralela outra, devendoestas ser perpendiculares entre si.

a

b

I

r

s

I

r

p

I


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Perpendicularidades de resoluo directa entre rectas e planos

A perpendicularidade entre rectas e planos origina situaes muito diversas, umas bvias e simples,

outras complexas. Nesta pgina observam-se as situaes mais simples. Em todos os casos as rec-

tas perpendiculares a planos tm as projeces perpendiculares aos traos homnimos dos planos.

No se apresentam traados dos casos em que a perpendicularidade entre rectas e planos ime-

diata: plano horizontal e recta vertical; plano frontal e recta de topo; plano de perfil e recta fronto-

horizontal.

x

Rectas perpendiculares aos planos de topo e vertical

Apenas as rectas frontais podem ser perpendiculares aos planos de topo, bastando para isso que a sua projec-o frontal seja perpendicular ao trao homnimo do plano. No caso do plano vertical, apenas as rectas hori-zontais lhe podem ser perpendiculares, bastando que a sua projeco horizontal seja perpendicular ao traohomnimo do plano.

f

hh

ff2

f1

n1

n2

x

f

h

Recta perpendicular ao plano oblquo

As rectas perpendiculares ao plano oblquo so rectas oblquas cujas projeces so perpendiculares aos tra-os homnimos do plano. Apresentam-se aqui duas situaes.

r1

r2 f

h

s2

s1


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Perpendicularidades entre o plano de rampa e a recta de perfil

Como se observou na pgina anterior, cada plano s pode ter um tipo de recta que lhe seja perpen-

dicular, e vice-versa. Tambm s rectas de perfil podem ser perpendiculares ao plano de rampa.

Nos casos anteriores pode-se sempre traar directamente uma recta perpendicular a um plano; con-

tudo, isso no possvel entre o plano de rampa e a recta de perfil. As projeces da recta so sem-

pre perpendiculares aos traos do plano, mas isso no garante a perpendicularidade entre eles.

Para confirmar ou determinar o paralelismo entre um plano de rampa e uma recta de perfil recorre-

se aqui ao plano lateral de projeco; contudo, podem tambm ser utilizados os mtodos geomtri-

cos auxiliares: rebatimentos, rotaes ou mudanas de planos.

Recta perpendicular ao plano de rampa

Para que a recta de perfil e o plano de rampa sejam perpendiculares entre si, a projeco lateral da recta temde ser perpendicular ao trao lateral do plano. O segundo exemplo mostra um plano passante.

x

f

yz

h

lF2

H1

H2F1

p2p1

p3

F3

H3

xhf

yz

lF2

H1

H2F1

p2p1

p3

F3

H3

A3A2

A1


21/35


Perpendicularidades de resoluo directa entre rectas

Nesta pgina exemplificam-se casos em que se podem traar directamente duas rectas perpendicu-

lares entre si, sem necessidade de utilizar qualquer processo auxiliar.

Determinados tipos de rectas so sempre perpendiculares, como tal, no se apresentam aqui traa-

dos relativos a essas situaes: recta fronto-horizontal com as rectas de perfil, de topo e vertical;

recta vertical com as rectas horizontal, de topo e fronto-horizontal; recta de topo com as rectas verti-

cal, frontal e fronto-horizontal; recta de perfil com a recta fronto-horizontal; recta frontal com a recta

de topo; recta horizontal com a recta vertical.

Perpendicularidades entre rectas horizontais e entre rectas frontais

Duas rectas horizontais so perpendiculares quando as suas projeces horizontais tambm o so. Duas rec-tas frontais so perpendiculares quando as suas projeces frontais o so. No primeiro caso temos rectasenviesadas, no segundo rectas concorrentes.

n1

n2

f1f1

n2

n1

f2

s1

x

f2

I2

I1

n1

n2

f1

r2

r1

f2

x

s2I2

I1

Recta oblqua perpendicular s rectas horizontal e frontal

Para que as rectas oblqua e horizontal sejam perpendiculares entre si basta que as suas projeces horizon-tais o sejam. No caso das rectas oblqua e frontal basta que sejam perpendiculares as suas projeces frontais.

A posio relativa entre as outras projeces indiferente. Tambm aqui se mostram rectas enviesadas noprimeiro caso e concorrentes no segundo.


22/35

Perpendicularidades entre rectas oblquas

Mostra-se aqui a perpendicularidade entre rectas oblquas. Duas rectas oblquas so perpendicula-

res quando uma delas perpendicular a um plano oblquo que contm a outra.

Perpendicularidade entre rectas oblquas enviesadas

A recta r perpendicular recta a porque perpendicular ao plano , que a contm. Pretende-se que essarecta contenha o ponto P.

x

h

f

F2

F1

H2

H1

a2

a1

r2

r1

Perpendicularidade entre rectas oblquas concorrentes

Esta situao apresenta-se idntica anterior. Simplesmente, a recta s, alm de ser perpendicular ao plano ,que contm a recta a, ainda concorrente com essa recta no ponto A da recta dada.

x

h

f

F2

F1

H2

H1

a2

a1

s2

s1

A2

A1


P2

P1


23/35


Perpendicularidades entre rectas de perfil

Pode-se representar rectas de perfil perpendiculares entre si, ou confirmar se o so, recorrendo s

suas projeces laterais. Tambm se podem utilizar os mtodos geomtricos auxiliares: rebatimen-

tos, rotaes e mudanas de plano. Aqui exemplifica-se com rectas definidas pelos seus traos mas,

obviamente, este processo tambm vlido para rectas definidas por outros pontos.

x

Perpendicularidade entre rectas de perfil concorrentes

O exemplo que aqui se mostra idntico ao anterior, com a diferena de as rectas de perfil terem a mesmaabcissa, ou seja, serem concorrentes.

b1b2

a1a2

F1H2 F1H2

F2

H1

H1

F2

Perpendicularidade entre rectas de perfil enviesadas

Duas rectas de perfil perpendiculares, enviesadas ou no, tm projeces laterais perpendiculares entre si.

yz

b3

a3F3

H3

F3

H3

x

p1p2q1q2

F1H2F1H2

H1

F2

yz

q3

p3F3

H3

F3

H3

F1

H1


24/35


Perpendicularidades entre rectas oblquas e de perfil

Uma recta oblqua perpendicular a uma de perfil quando uma delas perpendicular a um plano

oblquo que a contm.

Perpendicularidade entre as rectas oblqua e de perfil enviesadas

A recta de perfil da esquerda definida pelos seus traos. O plano oblquo contm essa recta, pelo que qual-quer recta que lhe seja perpendicular tambm perpendicular recta de perfil.A recta de perfil da direita definida pelos pontos A e B, pelo que se recorre s projeces laterais para deter-minar os seus traos. Da em diante procede-se da mesma forma.

x

f

hr1

r2

p1p2

F1H2

F2

H1

f

h

s1

r2

yz

q1q2

F2

H1

F1H2

F3

H3

A3A2

A1

x

f

h

a1

a2

yzq1q2

F2

H1

F1H2

F3

H3

I3I2

I1

B2

B1

B3

q3

Perpendicularidade entre as rectas

oblqua e de perfil concorrentes

Esta situao apresenta aspectos das duasanteriores. Sendo a recta de perfil definidapelos seus traos, o plano oblquo que a con-tm pode traar-se directamente. Contudo, necessrio recorrer projeco lateral da rectade perfil para se poder escolher o ponto I, deinterseco com a recta a.Se a recta de perfil fosse definida por dois pon-tos que no os traos, procedia-se como nosegundo caso de cima, cruzando-se a rectaoblqua com o ponto pretendido.


25/35


Perpendicularidades de resoluo directa entre planos

As perpendicularidades entre planos apresentam situaes muito diversas. Nesta pgina mostram-

se aquelas que se representam sem recurso a qualquer processo auxiliar.

H situaes em que a perpendicularidade entre planos imediata, pelo que no se mostram os

traados relativos a essas situaes: plano horizontal com os planos de perfil, vertical e frontal; pla-

no frontal com os planos de perfil, horizontal e de topo; plano de perfil com os planos horizontal,

frontal e de rampa; plano de rampa com plano de perfil; plano de topo com plano frontal; plano verti-

cal com plano horizontal.

x

Perpendicularidade entre planos de topo e entre planos verticais

Dois planos de topo so perpendiculares quando os seus traos frontais o so. No caso dos planos verticais,tem de existir perpendicularidade entre os traos horizontais.

f

h

f

h

h h

f f

f

h

f

h

x

Perpendicularidade entre o plano oblquo e os planos de topo e vertical

Um plano oblquo perpendicular a um plano de topo quando os seus traos frontais o so; perpendicular aum plano vertical quando os seus traos horizontais o so. O ngulo entre os outros traos indiferente.

f

h

f

h


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Perpendicularidades entre planos de rampa

Para obter dois planos de rampa perpendiculares recorre-se aqui ao plano lateral de projeco.

Podem tambm ser utilizados os mtodos geomtricos auxiliares: rebatimentos, rotaes ou mudan-

as de planos.

Dois planos de rampa perpendiculares

Para que dois planos de rampa sejam perpendiculares entre si necessrio que os seus traos laterais tam-

bm sejam perpendiculares.Na situao de baixo, um dos planos passante e contm o ponto R.

x

f

yz

h

l

h

f

l

xhf

yz

l

h

f

lR1

R2R3


27/35


Perpendicularidade entre planos oblquos

Para garantir que dois planos oblquos so perpendiculares entre si, necessrio que um deles con-

tenha uma recta perpendicular ao outro.

Dois planos oblquos perpendiculares

Podemos observar qualquer dos planos como sendo o dado ou o pedido. Se for o plano dado, traa-se umarecta r perpendicular a ele; o plano -lhe perpendicular por conter essa recta. Se for o plano dado traa-se arecta r que lhe pertence; o plano -lhe perpendicular por ser perpendicular a essa recta.Em ambos os casos possvel traar um nmero infinito de planos perpendicular ao outro, caso no se exijaqualquer condio ao plano pedido. Se se exigir que um plano contenha um ponto dado, por exemplo, o planoa traar j ter de ter esse factor em conta.Estas so duas abordagens a uma situao que, na prtica, pode ser utilizada consoante o modo como um

enunciado apresentado.

x

f

h

h

f

F2

F1H2

H1

r2

r1


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Perpendicularidades entre planos oblquos e de rampa

Na perpendicularidade entre um plano oblquo e um plano de rampa seguem-se dois caminhos dife-

rentes, consoante o plano dado seja o oblquo ou o de rampa.

Plano oblquo e de rampa perpendiculares, sendo dado o plano oblquo

Sendo dado o plano oblquo, o plano de rampa -lhe perpendicular porque contm a recta r que lhe perpendi-cular.

x

f

h

h

fF2

F1H2

H1

r2

r1

Plano oblquo e de rampa perpendiculares, sendo dado o plano de rampa

Um plano oblquo e um plano de rampa perpendiculares entre si tm os seus traos laterais perpendiculares.Tambm se pode utilizar uma recta de perfil perpendicular ao plano de rampa utilizando, por exemplo, um reba-timento, mas este processo permite simplificar o traado.

x

f

yz

h

lf l

h


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Perpendicularidades entre rectas e planos definidos por rectas

Aqui mostra-se como determinar rectas perpendiculares a planos definido por rectas, sem recorrer

aos traos desses planos.

Recta perpendicular a planodefinido por rectas oblquas

Num plano definido por rectas, parasaber a direco de uma recta perpendi-cular, determina-se uma recta horizontale outra frontal desse plano. Uma rectaperpendicular ao plano dever ter assuas projeces perpendiculares s pro-

jeces inclinadas dessas rectas.

x

a2

a1

b2

b1

Recta perpendicular a planodefinido por recta de maior declive

Como no caso anterior, traa-se uma rec-ta horizontal e outra frontal do plano defi-nido pela recta de maior declive. As pro-jeces da recta pretendida so perpendi-culares s projeces inclinadas dessasrectas.

A2B2

B1A1

n2

n1

r2

Recta perpendicular a planodefinido por rectas fronto-horizontais

Um plano definido por duas rectas fronto-horizontais de rampa; uma recta perpendi-cular a esse plano de perfil. Para a deter-minar utiliza-se aqui a recta de perfil q, doplano. A recta pretendida, p, ter que serperpendicular a essa, o que se confirma naprojeco lateral.

x

a2

b1p3

q2q1p2p1

a1

A2

f1

f2

A1

r1

x

n2

n1

f2

f1

d1

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D1

N2

N1

s1

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b2

yz

q3

A2

A1

B2

B1

A3

B3

R3

S3S2

S1

R2

R1


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Perpendicularidades entreplanos definidos pelos traos e planos definidos por rectas

As situaes de perpendicularidade entre um plano definido pelos traos e outro definido por duas

rectas so, de um modo geral, simples. Mostram-se aqui vrios exemplos.

x

(f)

v2

Situaes genricas de perpendicularidades entre rectas e planos definidos por rectas

Estas situaes mostram planos diferentes mas tm resolues idnticas, pois basta que uma das rectas sejaperpendicular ao plano definido pelos traos para que os planos sejam perpendiculares entre si. A recta r quesurge em todos os casos pode-se representar de forma aleatria.Nestes exemplos so rectas concorrentes que definem um plano, mas tambm se pode optar por paralelas.Caso se pretenda um plano em que um dos traos faa um ngulo preciso, acrescenta-se no plano definidopelas rectas uma outra que tenha uma projeco perpendicular do trao pretendido.

Situao especfica deperpendicularidade entre uma

recta e um plano definido por rectas

Com o plano de rampa necessrio confir-mar a sua perpendicularidade com umarecta de perfil do outro plano. Aqui faz-seisso recorrendo ao trao lateral do planode rampa. A recta r no interfere com oexerccio.

(v1)I1

I2r2

r1

r2

r1h1

h2I2

I1

fh

x

f

I2

r2

r1

r2

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I2

I1I1

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x

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f

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l

p3

p2p1

I3I2

I1

J3J2

J1

r2

r1

s1

s2

f

f


31/35

Perpendicularidades entre planos definidos por rectas

Mostra-se aqui como se representam planos perpendiculares entre si, ambos definidos por rectas.

Trata-se de situaes cujas resolues so idnticas s utilizadas em exerccios das pginas prece-

dentes, pelo que se aconselha comparar os traados desta com os dessas pginas.Se num enunciado um plano se apresenta definido por trs pontos, traam-se por eles duas rectas

concorrentes ou paralelas.

Situao genrica deperpendicularidade entre

planos definidos por rectas

Partindo do plano definido pelas rectasparalelas, determinou-se uma rectahorizontal e outra frontal, por terem adireco dos traos do plano a quepertencem. O outro plano basta teruma recta perpendicular a este. Aoutra recta, r neste caso, tem umaposio aleatria, podendo at serparalela recta s.

x

a2

a1

b2

b1

A2B2

B1A1

n2

n1

r2

Situao especfica de perpendicularidade entre planos definidos por rectas

Um plano definido por duas rectas fronto-horizontais um plano de rampa; uma recta perpendicular a esse

plano de perfil. Para a determinar utiliza-se aqui a recta de perfil q, do plano. A recta pretendida, p, ter queser perpendicular a essa, o que se confirma na projeco lateral. A recta r tem uma posio aleatria.

x

a2

b1 p3

q2q1p2p1

a1

A2

f1

f2

A1r1

b2

yz

q3

A2

A1

B2

B1

A3

B3

I3

J3J2

J1

I2

I1

s2

I1

s1

I2

r2

r1



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Perpendicularidades entre uma recta e duas rectas

Mostram-se aqui trs exemplos de uma recta perpendicular a duas. Em dois dos casos, a recta

tambm concorrente com as rectas dadas.

Recta perpendicular e concorrentecom duas rectas concorrentes

Este exerccio uma situao especfica deperpendicularidade entre uma recta e um plano

definido por duas rectas concorrentes, com aparticularidade de a recta pedida ter de cruzaras outras (o mesmo que dizer o plano definidopelas outras) no seu ponto de interseco.

Recta perpendicular e concorrentecom duas rectas paralelas

Aqui rebate-se o plano definido pelas duas rec-tas. No rebatimento traa-se a recta que lhes perpendicular. Optou-se por cruzar a recta pedi-da com a recta s no ponto P (com que se fez orebatimento) para poupar traado. Essa rectacruza r no ponto Q, que se contra-rebate comuma linha perpendicular charneira.

x

n2

n1

I2

A2 B2

I1

A1

B1

b2a2

b1

a1

f1

A1

A2

f2

p2

p1r2

s2

x

s1

r1

R2 S2

P2

P1PR

PR

rR sR

R1RR

S1SR

(f)n2

n2nR

=

=

QR

p2 Q2

Q1

p1

pR

Recta perpendiculara duas rectas enviesadas

Para traar uma recta perpendicular s rectas re s, passando pelo ponto P, procedeu-se doseguinte modo: cruzou-se por s a recta r para-lela a s; traaram-se as rectas frontal f e hori-zontal n do plano definido por s e r. Sendo arecta p perpendicular a esse plano, tambmperpendicular s rectas r e s.

x

n2

n1

I2

S2

I1

S1

s2

r2

s1

r1

f1P1

R2

p2

p1

r2

R2

f2

R1

R1

P2

r1r2// r2


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Paralelismos entre duas rectas

1. Representar a recta r que contm R(3;2;3), paralela ao 2/4, fazendo a sua projeco frontal60ad. Determinar a recta s, que contm P(-1;0;0) e paralela a r.

2. Representar a recta p, que contm os pontosA(2;-2;-2) e B(2;-5;3). Determinar a recta q, que temF(4;0;4) como trao frontal e paralela a p.

3. Representar a recta b, que paralela ao 1/3 econtm o ponto P(2;-3;-1), fazendo a sua projecofrontal 40ae. Determinar a recta g, que contm oponto T(2;1;3) e paralela a b.

Paralelismos entre dois planos

4. Representar o plano vertical ,que cruza o eixo xnum ponto com 3cm de abcissa e faz 50ad. Deter-minar o plano , que contm P(1;-2;3) e paralelo a.

5. Representar o plano , que cruza o eixo x numponto com 2cm de abcissa, fazendo os seus traosfrontal e horizontal 45ae e 65ad, respectivamente.Determinar o plano , que contm M(-2;3;2) e paralelo a .

6. Representar o plano , que cruza o eixo x no

ponto de abcissa nula, fazendo os seus traos fron-tal e horizontal 60ad e 45ad, respectivamente.Determinar o plano , que contm R(0;2;4) e paralelo a .

7. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar o plano , que contm K(4;2;-2) e paralelo a .

8. Representar o plano , perpendicular ao 1/3, quecruza o eixo x num ponto com -3cm de abcissa,fazendo o seu trao horizontal 40ae. Determinar oplano , que contm A(6;2;2) e paralelo a .

9.

Representar o plano do exerccio anterior.Determinar o plano , que contm B(2;-2;-2) e paralelo a .

10. Representar o plano , perpendicular ao 2/4,que cruza o eixo x num ponto com 1cm de abcissa,fazendo o seu trao frontal 40ae. Determinar oplano que contm R(1;-2;2) e paralelo a .

11. Representar o plano passante ,que contm T(4;-3;4). Determinar o plano que contm A(2;2;2) e paralelo a .

12. Representar o plano , perpendicular ao 2/4,tendo o seu trao frontal 2cm de cota. Determinar o

plano que contm S(3;3;-1) e paralelo a .

Paralelismos entre uma recta e um plano

13. Representar o plano de topo ,que faz 55ae,cruzando o eixo x num ponto com -2cm de abcissa.Determinar a recta r, que contm P(0;1;-3) e para-lela a e ao 2/4.

14. Representar o plano vertical ,que faz 60ad ecruza o eixo num ponto com 3cm de abcissa. Deter-minar a recta s, que contm A(-1;-1;3), passante eparalela a .

15. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar a recta horizontal n, que paralela a econtm N(3;-3;3).

16. Representar o plano , que cruza o eixo x noponto de abcissa nula, fazendo os seus traos fron-tal e horizontal 45ae e 55ae, respectivamente.Determinar a recta s, que contm S(-3;-1;3), para-lela a ,fazendo a sua projeco frontal 30ad.

17. Representar o plano e o ponto S do exerccioanterior. Determinar a recta r, que contm S e paralela s rectas de maior declive de .

18. Representar o plano , que cruza o eixo x numponto com 3cm de abcissa, fazendo os seus traosfrontal e horizontal 60ae e 30ad, respectivamente.Determinar a recta a, que contm o ponto A(0;3;3) e

paralela ao plano , fazendo a sua projecofrontal 45ad.

19. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar a recta de perfil p, paralela ao planodado e passante no ponto de abcissa 6.

20. Representar o plano , perpendicular ao 2/4,que cruza o eixo x num ponto com -2cm de abcissa,cujo trao frontal faz 60ad. Determinar a rectafrontal f, que contm B(2;-2;-3) e paralela a .

21. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar a recta u, que contm D(3;0;3) e paralela a e ao 2/4.

22. Representar o plano , cujos traos frontal ehorizontal tm, respectivamente, 2cm de cota e4cm de afastamento. Determinar a recta b,passante em P com 5cm de abcissa, paralela a ,fazendo a sua projeco horizontal 45ae.

23. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar a recta de perfil q, que contm Q(4;4;2)e paralela a .

24. Representar o plano , cujos traos frontal ehorizontal tm, respectivamente, -4cm de cota e2cm de afastamento. Determinar a recta g que

contm R(3;-2;2), paralela a , fazendo a suaprojeco frontal 50ad.

Paralelismos e perpendicularidades Exerccios



34/35

Perpendicularidades entre uma recta e umplano

36. Representar o plano de topo , que cruza o eixox num ponto com 2cm de abcissa, fazendo 35ad.Determinar a recta r, perpendicular a e contendoP(2;2;-4).

37. Representar o plano vertical , que cruza o eixox num ponto com -3cm de abcissa, fazendo 55ae.Determinar a recta s, perpendicular a e contendoA(1;-2;2).

38. Representar o plano , que cruza o eixo x numponto com -3cm de abcissa, fazendo os seus traosfrontal e horizontal 65ad e 40ae, respectivamente.Determinar a recta a, perpendicular a e contendoN(-1;1;-4).

39. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar a recta b, perpendicular a , passante

em R, com -3cm de abcissa.40. Representar o plano ,que cruza o eixo x numponto com -2cm de abcissa, fazendo os seus traosfrontal e horizontal 45ad e 30ad, respectivamente.Determinar a recta a, perpendicular a e passanteem P, com 3cm de abcissa.

41. Representar o plano , cujos traos trontal ehorizontal tm, -3cm de afastamento e 4cm de cota,respectivamente. Determinar a recta r, perpendicu-lar a e contendo R(4;3;3).

Perpendicularidades entre duas rectas

42. Representar a recta horizontal n, que contm oponto M(2;4;-1) fazendo 25ae. Determinar a rectaoblqua r, que contm M, perpendicular a n eparalela ao 1/3.

43. Representar a recta frontal f, que contm o pon-to T(2;3:-1), fazendo a sua projeco frontal 60ae.Determinar a recta oblqua s, que contm N(-3;-1;4), perpendicular a f e paralela ao 2/4.

44. Representar a recta r, que contm os pontosA(2;4;-1) e B(2;2;3). Determinar a recta p, perpendi-cular a r e passante em P, com 5cm de abcissa.

45. Representar a recta r do exerccio anterior.Determinar a recta s, passante num ponto com 3cmde abcissa, sendo perpendicular a r e fazendo a suaprojeco frontal 50ae.

46. Representar a recta b que contm S(0;2;3) eT(-2;4;5). Determinar a recta j, que contm T e perpendicular a b, fazendo a sua projeco frontal35ae.

47. Representar a recta c, que contm V(5;-1;4) eZ(1;5;2). Determinar a recta de perfil k, perpendicu-lar a c e passante em P, com 2,5cm de abcissa.

48. Representar a recta c do exerccio anterior.Determinar a recta d, perpendicular a c, contendoC(2;1;0) e fazendo a sua projeco frontal 25ae.


Paralelismos entre uma recta e um planodefinido por rectas ou pontos

25. Representar o plano definido pelas rectasfrontais a e b, paralelas entre si, contendo, respecti-vamente, os pontos A(0:5;2) e B(2;3;4), fazendo35ad. Determinar a recta r, que contm R(-4;-1;-1)

e paralela a , fazendo a sua projeco frontal25ae.

26. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar a recta horizontal n, paralela a , comtrao no ponto F(-1;0;-2).

27. Representar o plano do exerccio 25. Determi-nar a recta de perfil p, paralela a , com -3cm deabcissa.

28. Representar o plano , definido pelo pontoP(1;1;4) e pela recta r, que contm R(4;-1;5), fazen-do as suas projeces frontal e horizontal 40ad e

50ae, respectivamente. Determinar a recta a, para-lela a , contendo A(3;3;1) e fazendo a sua projec-o frontal 45ae.

29. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar a recta de perfil q, com 4cm de abcissae paralela a .

30. Representar o plano do exerccio 28. Determi-nar a recta de perfil p, com 4cm de abcissa, paralelaa , cujo trao horizontal H(6;4;0).

Paralelismos entre dois planos definidospor rectas ou pontos

31. Representar o plano , definido pelas rectas r es, concorrentes em I(3;3;4), sendo r paralela ao 2/4,fazendo a sua projeco horizontal 50ae, e sendo shorizontal fazendo 50ad. Determinar o plano ,paralelo a , definido pelas rectas a e b, concorren-tes em P(-4;4;2), sendo a frontal e b oblqua.

32. Representar o plano , definido pelas rectasfrontais a e b, paralelas entre si, contendo, respecti-vamente, os pontos A(0:5;2) e B(2;3;4), fazendo35ad. Determinar o plano , paralelo a , definidopelas rectas c e d, oblquas e concorrentes no pontoM(-5;3;4).

33. Representar o plano , definido pelos pontosA(0;0;3), B(-3;4;1) e C(-5;1;5). Determinar o plano, paralelo a , definido pelas rectas oblquas r e s,concorrentes em P(4;2;2).

34. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar o plano , paralelo a , definido pelasrectas f e n, frontal e horizontal, concorrentes em S(4;-3;-3).

35. Representar o plano do exerccio 33. Determi-nar o plano , paralelo a , definido pelas rectas deperfil p e q, respectivamente com 5cm e 3cm deabcissa.


35/35

Perpendicularidades entre planos definidospor traos e planos definidos por rectas oupontos

61. Representar o plano , perpendicular ao 1/3,que cruza o eixo x num ponto com 2cm de abcissa,

fazendo o seu trao horizontal 50ae. Determinar oplano , definido por duas rectas oblquas r e s, quecontm o ponto P(-1;4;3) e perpendicular a .

62. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar o plano , passante e perpendicular a ,definido por uma recta oblqua b e pelo eixo x.

63. Representar o plano , cujos traos frontal ehorizontal tm 3cm de cota e 5cm de afastamento,respectivamente. Determinar o plano , perpendicu-lar a , definido pela recta de perfil p e por umarecta oblqua r, concorrentes em A(4;5;3).

64. Representar o plano e o ponto A do exerccio

anterior. Determinar o plano , perpendicular a ,definido pelas rectas fronto-horizontais a, quecontm P, e b, que dista 2cm de a.

Perpendicularidades entre planos definidospor rectas ou pontos

65. Representar o plano , definido pelos pontosA(0;2;1), B(-3;2;4) e C(-5;5;2,5). Determinar o plano, perpendicular a , definido pelas rectas r, oblquaque contm P(4;-2;5), e s, paralela a r.

66. Representar o plano e o ponto P do exerccioanterior. Determinar o plano , perpendicular a ,

definido pelas rectas oblqua e de perfil, respectiva-mente r e p, concorrentes em P.

67. Representar o plano , definido pelas rectas a eb, paralelas ao 2/4, que contm, respectivamente,os pontos A(3;6;1) e B(1;3;2), fazendo as suas pro-jeces frontais 40ae. Determinar o plano , per-pendicular a , definido pelas rectas s, oblqua, e h,fronto-horizontal, concorrentes em C(-4;5;3).

Perpendicularidades entre uma recta eduas rectas

68. Representar o plano do exerccio anterior.

Determinar a recta p, perpendicular e concorrentecom as rectas dadas do plano, com a recta a no seuponto com 3cm de cota.

69. Representar o plano , definido pelas rectas k ej, concorrentes em A(3;4;6). As projeces frontal ehorizontal de k fazem 65ae e 30ae, as de j fazem35ae e 40ad, respectivamente. Determinar a rectar, perpendicular a , sendo concorrente com k e j.

70. Representar as rectas r e s. A primeira contm oponto R(-3;3;3), fazendo as suas projeces frontale horizontal 35ad e 45ae, respectivamente; asegunda contm o ponto S(5;4;5), fazendo as suas

projeces frontal e horizontal 60ae e 35ad, res-pectivamente. Determinar a recta m, que contm

Perpendicularidades entre planos

49. Representar o plano de topo , que cruza o eixox num ponto com -2cm de abcissa e faz 50ae.Determinar o plano de topo , que contm P(3;-3;1)e perpendicular a .

50. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar o plano oblquo , que contm R(5;2;1), perpendicular a e ao 1/3.

51. Representar o plano , que cruza o eixo x numponto com 3cm de abcissa, fazendo os seus traosfrontal e horizontal 65ae e 35ad, respectivamente.Determinar o plano , perpendicular a , quecontm S(2;2,5;2), fazendo o seu trao frontal40ae.

52. Representar o plano e o ponto S do exerccioanterior. Determinar o plano , que contm S, perpendicular a e ao 2/4.

53. Representar o plano , cujos traos frontal ehorizontal tm -3cm de cota e 2cm de afastamento,respectivamente. Determinar o plano oblquo , quecontm o ponto K(3;3;2), perpendicular a ,fazendo o seu trao horizontal 70ad.

54. Representar o plano do exerccio anterior.Determinar o plano passante , perpendicular a .

Perpendicularidades entre rectas e planosdefinidos por rectas ou pontos

55. Representar o plano , definido pelos pontos

A(0;2;1), B(-3;2;4) e C(-5;5;2,5). Determinar a rectar que contm P(4;-2;5) e perpendicular a .

56. Representar o plano , definido pelas rectas a eb, paralelas ao 2/4, que contm, respectivamente,os pontos A(3;6;1) e B(1;3;2), fazendo as suas pro-jeces frontais 40ae. Determinar a recta s, per-pendicular a e passante no ponto Q com -2cm deabcissa.

57. Representar o plano , definido pela recta d,que contm o ponto L(1;3;1), fazendo as suas pro-jeces frontal e horizontal 55ad e 45ae, respecti-vamente. Determinar a recta b, que contm L e perpendicular a .

58. Representar o plano de rampa , definido pelospontos R(6;5;-2) e S(2;2;3). Determinar a recta q,perpendicular a e passante em A, com 4cm deabcissa.

59. Representar o plano passante , definido pelarecta r, passante no ponto P com 6cm de abcissa,fazendo as suas projeces frontal e horizontal55ad e 40ad, respectivamente. Determinar a rectap, perpendicular a e contendo Z(6;-2;6).

60. Representar o plano passante , definido pelarecta de perfil b, que contm P(3;3;2). Determinar a

recta g, que perpendicular a e contm P.

741 7 Paralelismos e Perpendicularidades

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