1

3 - Blocos Casualizados, Quadrado Latino e Outros Delineamentos3 -1 Delineamento em blocos completos casualizados

Um fator de perturbação (nuisance factor) é um fator que provavelmente tem um efeito sobre a resposta, mas o pesquisador não está interessado neste efeito. Quando este efeito é conhecido e controlável, então pode-se usar a técnica de blocagem para eliminar esse efeito da comparação entre os tratamentos.

Blocos

2

Exemplo. Suponha que uma pesquisadora deseja verificar se a potência e o tempo de microondas produzem diferentes resultados para população de bactérias psicrotroficas (ufc/cm2), obtidas de amostras (50 cm2) de carcaça de frangos resfriados. Os tratamentos utilizados foram: 700 w e 2 minutos; 350 w e 1 minuto e o controle. A pesquisadora decidiu usar seis repetições por tratamento e fazer as medições ao longo de seis dias, desse modo, as repetições (blocos) são os dias. Como as unidades experimentais provavelmente comportam-se de modo diferente nestes dias (mais calor, menos calor, etc.), isto pode inflacionar o erro experimental. Assim, deseja-se remover a variabilidade entre unidades do erro experimental. Para este fim, vamos usar cada tratamento apenas uma vez em cada um dos 6 dias. Dentro do bloco (dias), a ordem de aplicação dos tratamentos deve ser realizada de forma aleatória (por sorteio).

Este delineamento é mostrado na tabela a seguir.

Caso típico: julgador=bloco. Entre os blocos deve haver diferenças marcantes; dentro do bloco deve haver homogeneidade. Geralmente, blocos é igual a repetições.

3

Delineamento em blocos completos casualizados para dados de populações debactérias psicrotroficas (log de ufc/cm2)

BlocosTratamentosI II III IV V VI

Total Média

700 w / 2 min 14,60 15,01 14,15 15,07 15,07 15,46 89,37 14,89350 w / 1 min 14,84 15,40 14,08 14,69 15,40 14,65 91,26 15,21

Controle 13,40 14,20 13,22 13,81 13,98 14,42 83,04 13,84Total 42,85 44,61 41,45 43,57 44,45 44,54 261,47 14,53

4

3-1.1 Análise estatística

y11

y21

.

.

.ya1

Bloco I

y12

y22

.

.

.ya2

Bloco II

. . .

y1b

y2b

.

.

.yab

Bloco b* a tratamentos;

* b blocos;

* uma observação por bloco por tratamento;

* é feita a casualização dentro de cada bloco.

Considerações sobre o gráfico:

Apresenta variações entre blocos

Em todos os blocos o controle foi o que apresentou a menor população de bactérias

Há indicativo de interação entre blocos e tratamentos

5

O modelo estatístico

ijjiij εβτμy para i=1,2,...,a tratamentos

j=1,2,...,b blocos

é a média geral

i é o efeito fixo do i-ésimo tratamento

j é o efeito fixo do j-ésimo bloco

ij é o erro aleatório. Assume-se que ij ~ NID(0,2)

Hipóteses: ji para μμ :H vsμ...μμ:H jiaa210

Partição da soma de quadrados total corrigida é dada por:

2b

1j

a

1i

b

1j...ji.ij

2

...j

a

1i

b

1j

a

1i

2

..i.

2

..ij yyyyyyayybyy

S.Q.Total (corrigida) = S.Q Tratamentos + S.Q Blocos + S.Q.Erro

6

Fórmulas operacionais:

sTratamentoBlocosTErro

a

1i

2

..2

i.sTratamento

b

1j

2

..2

.jBlocos

a

1i

b

1j

2

..2

ijT

SQSQSQSQN

yy

b

1SQ

N

yy

a

1SQ

N

yySQ

Graus de liberdade:SQT

SQBlocos

SQTratamentos

SQErro

N-1

b-1

a-1

ab-1-(a-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)

Quadrados médios:

1 aSQ

stratamentostratamentoQM

7

Esperanças dos quadrados médios:

2

Erro

b

1j

2

j2

Blocos

a

1i

2

i2

sTratamento

σ)E(QM1b

βaσ)E(QM

1a

τbσ)E(QM

Teste de igualdade de médias de tratamentos (Teste F)

Erro

sTratamento0 QM

QMF

Rejeita-se H0 se F0 > F,a-1,(a-1)(b-1)

Usar o valor p do teste (p-value).

8

Análise de variância para blocos completos casualizadosCausas devariação

Soma dequadrados

Graus deliberdade

Quadradomédio

F0

SQTratamentosTratamentos SQTratamentos a-1a-1

QMTratamentos / QMErro

SQBlocosBlocos SQBlocos b-1b-1

SQErroErro SQErro (a-1)(b-1)(a-1)(b-1)

Total SQT N-1

Exemplo 3-1. Dados de população de bactérias psicrotroficas (log).

Arquivo: psicrotroficasblocoscasualizados.sas

Obtenção das somas de quadrados:

7620,04,25112,60167,6147SQ

2,601618

(266,67)](44,54)...[(42,85)

3

1SQ

,2511418

(266,47)](83,04)(89,07)[(89,37)

6

1SQ

7,614718

(266,47))14,42...15,01(14,60SQ

Erro

222

Blocos

2222

sTratamento

2222

Total

9

Tabela da análise de variância

Causas de Variação

S.Q. G.L. Q.M. F0 Valor p

Tratamentos 4,2511 2 2,1256 27,90 0,0001 Blocos 2,6016 5 0,5203

Resíduo 0,7620 10 0,0762 Total 7,6147 17

Concluímos que devemos rejeitar a hipótese de igualdade entre as médias dos 3 tratamentos. O R2 = (SQModelo / SQT), para este modelo, vale 89,99%, isto indica que o modelo está muito bem ajustado aos dados. O valor do coeficiente de variação foi igual a 1,90%, indicando ótima precisão.

Resíduos:

...ji.ijij

...ji.ij

ijijij

yyyye

yyyy

yye

ˆ

ˆ Exemplo:

0,0414,5314,2814,8914,60e11

Comparações múltiplas: como o teste F da ANOVA foi significativo deve-se proceder as comparações múltiplas. Se o fator for quantitativo usar regressão.

Todos os procedimentos discutidos para o delineamento IC podem aqui ser utilizados. Nas fórmulas anteriores substitui-se o número de repetições, n, pelo número de blocos, b. Também deve-se usar os graus de liberdade do erro para o BCC, (a-1)(b-1), ao invés de [a(n-1)], do delineamento IC.

10

Teste de Tukey – a saída do statistica mostra os resultados.

Conclusão: a média do tratamento controle é diferente e menor do que as médias dos tratamentos 350 w +1 min e 700 w + 2 min, ao nível de significância de 5%. Não existe diferença significante entre os tratamentos 350 w +1 min e 700 w + 2 min, ao nível de significância de 5%, pelo teste de Tukey.

11

Diagnóstico do modelo: 1 - Normalidade.

2 - Heterogeneidade de variâncias (por tratamento e por bloco).

3 - Interação bloco e tratamento

4- Efeito do tempo

Gráfico normal de probabilidades (normal probability plot)

Não existe uma severa indicação de falta de normalidade.

Existe a indicação de um valor discrepantte.

d26=-0,51167/0,2760

d26=-1,85

Não é valor discrepante.

12

Teste de Levene:

Blocos F=0,2745 p=0,9184

Trat/os F=0,0145 p=0,9856

DFFitS(i) - mede a alteração provocada no valor ajustado pela retirada da observação i

13

Se o padrão é curvilíneo indica interação entre blocos e tratamentos, nesse caso, pode-se usar uma transformação (ln).

Teste de Tukey para verificar a presença de interação.

1 14.2800 0.59520

2 14.8700 0.37470

3 13.8167 0.26823

4 14.5233 0.41773

5 14.8167 0.55223

6 14.8433 0.29843

Blocos Médias Variâncias

14

Análise de covariância para o delineamento em blocos ao acaso.

ijijjiij εxxαβτμy

15

3-1.3 Outros aspectos do delineamento em Blocos Completos Casualizados

1) Aditividade do modelo

No delineamento em blocos casualizados parte-se do pressuposto de que não existe interação entre blocos e tratamento. Existe o Teste de Tukey para não-aditividade. Fazer o diagnóstico do modelo. Comentar sobre Julgadores (Blocos).

Quando o pesquisador tem interesse em estudar os fatores e a interação entre eles, deve usar os experimentos fatoriais.

2) Blocos aleatórios

Exemplos: seleção aleatória de escolas; ninhadas de ratos; julgadores; pacientes.

Interpretação: as comparações entre os tratamentos são válidas para toda a população de blocos da qual aqueles utilizados no experimento foram aleatoriamente selecionados.

Dois modelos podem ser utilizados:

16

Esperanças dos quadrados médios:

2

Erro

a

1ii

2

sTratamento

2

β

2

Blocos

σ)E(QM1a

τbσ)E(QM

aσσ)E(QM

Teste F para tratamentos: QMTratamentos/QMErro

1 - Modelo Aditivo

ijjiij εβτμy

17

Exemplo. Oito provadores avaliaram o quanto gostavam ou desgostavam de três marcas diferentes de salsichas usando a ficha 8 (estruturada mista – escala hedônica). Os resultados foram:

Provador Amostras

A B C

1 6 8 6

2 5 8 7

3 5 7 6

4 5 8 5

5 7 7 4

6 7 8 3

7 7 8 2

8 7 8 1

Total 49 62 34

Média 6,13 7,75 4,25

18

2 - Modelo com interação Blocos x Tratamentos

Nas situações onde o efeito de blocos é aleatória e a interação blocos x tratamento está presente, o teste para tratamentos não é afetado. A obtenção das somas de quadrados e os graus de liberdade são calculados da forma usual. A diferença ocorre nas esperanças dos quadrados médios.

Esperanças dos quadrados médios:

2

βτ

2

Bl.Tr

a

1i

2

i

2

βτ

2

sTratamento

2

β

2

Blocos

σσ)E(QM

τ1a

bσσ)E(QM

σaσ)E(QM

Teste F para tratamentos: QMTratamentos/QMBl.Tr

ijijjiij ετββτμy

19

3) Determinação do tamanho da amostra ou número de blocos

Utiliza-se as mesmas técnicas discutidas para o delineamento inteiramente casualizado.

Tratamentos de efeito fixo: as CCO podem ser usadas com,

2

22

2

a

1i

2

i2

2aσ

bDou

σa

τb

Com (a-1) graus de liberdade no numerador e (a-1)(b-1) gl no denominador.

Tratamentos de efeito aleatório: usamos as CCO com,

2

2

τ

σ

bσ1λ

Com (a-1) graus de liberdade no numerador e (a-1)(b-1) gl no denominador.

Exemplo: dados de população de bactérias psicrotroficas. Vamos considerar que a pesquisadora deseja detectar uma diferença de 1 (no log) entre as médias com uma alta probabilidade, por exemplo, 95%. De um experimento anterior sabe-se que a estimativa de 2 é igual a 0,10.

20

CCO para (a-1)=(3-1)=2 e (a-1)(b-1) g.l. e =0,05b 2 (a-1)(b-1) (1-)5 8,4 2,9 8 0,04 0,96

4 6,7 2,6 6 0,10 0,90

A pesquisadora deve usar b=5 blocos.

Método do intervalo de confiança

Exemplo: dados de pop. de psicrotroficas. A pesquisadora deseja construir intervalos de confiança para a diferença entre duas médias de populações de bactérias com precisão (metade do intervalo de confiança)de 0,5 (no log), com confiança de 95%. Tem-se uma estimativa de 2=0,10.

Para b=5, a precisão do intervalo é dada por: 4612,05

10,02306,2

Para b=4, a precisão do intervalo é dada por: 5471,04

10,02447,2

A pesquisadora deve usar b=5 blocos.

21

3-2 Delineamento Quadrado LatinoEste delineamento utiliza um duplo bloqueamento. Deseja-se controlar duas fontes de variabilidade, portanto vamos ter duas restrições na casualização.

COLUNAS

LINHAS

22

Delineamento em quadrado latino (4 x 4) para aparência (médias de triplicatas com aredondamento)

Ordem Julgador 1 2 3 4

1 D (7) A (6) C (5) B (7) 2 A (6) C (7) B (7) D (7) 3 C (7) B (7) D (6) A (7) 4 B (7) D (7) A (6) C (6)

Exemplo: um pesquisador está estudando o efeito de 4 tratamentos (A, B, C e D), sobre o aroma (escala hedônica de 7 pontos) de um legume. Foram utilizados 4 julgadores, provavelmente existe diferenças (exemplo: experiência, capacidade) entre os mesmos. Além disso, foram utilizadas 4 ordens de atribuição dos tratamentos aos julgadores geradas pela casualização do delineamento. Dois fatores de perturbação (nuisance): julgadores e ordens. Cada tratamento será testado uma única vez por cada julgador e para cada ordem. A tabela a seguir mostra o esquema geral deste delineamento.

23

Casualização de um quadrado latino:

Existem muitos quadrados latinos para um dado número de tratamentos ( a), veja tabela 4-12, página 140, Montgomery (2005). Vamos utilizar um quadrado latino padrão, os quais são quadrados latinos cujos elementos da primeira linha e primeira coluna são ordenados alfabeticamente.

Procedimento: 1 - Para a = 3 tratamentos fazer um sorteio aleatório das linhas e das colunas (independentemente).

2 – Para a = 4, fazer um sorteio aleatório de um dos 4 quadrados latinos padrões. Então fazer um sorteio aleatório das linhas e das colunas (independentemente).

3 – Para a = 5 ou mais, fazer um sorteio aleatório de todas as linhas, de todas as colunas e de todos os tratamentos de um quadrado latino padrão selecionado aleatoriamente.

4 – Faça um sorteio aleatório dos tratamentos às letras.Para a=3 tratamentos:

BAC

CBA

ACB

ACB

BAC

CBA

BAC

ACB

CBA

Quadrado latino padrão

Sorteio das linhas Sorteio das colunas

24

Modelo estatístico:

ijkkjiijk εβταμy

pk

pj

pi

,...,1

,...,1

,...,1

yijk é a observação na i-ésima linha e k-ésima coluna do j-ésimo tratamento;

é a média geral;

i é o efeito da i-ésima coluna;

j é o efeito do j-ésimo tratamento;

k é o efeito da k-ésima linha.

ijk é o erro aleatório e supõe-se que tenham distribuição normal, sejam independentemente distribuídos com média 0 (zero) e variância 2. Alternativamente, os testes de hipóteses e intervalos de confiança podem ser justificados aproximadamente pela teoria da aleatorização.

25

Análise de variância:

A partição da variabilidade total é dada por:

SQT = SQLinhas + SQColunas + SQTratamentos +SQE

Onde:

p

i

p

j

p

kijkT pN

N

yySQ

1 1

22

...

1

2

N

yy

pSQ

p

iiLinhas

2

...

1

2

..

1

N

yy

pSQ

p

kkColunas

2

...

1

2

..

1

N

yy

pSQ

p

jjsTratamento

2

...

1

2

..

1

diferençaporSQE

26

Tabela da análise de variância de um quadrado latinoCausas deVariação

Soma dequadrados

Graus deliberdade

QuadradosMédios

F0

Tratamentos SQTratamentos p-1 SQTratamentos/(p-1) QMTratamentos

QME

Linhas SQLinhas p-1 SQLinhas/(p-1)

Colunas SQColunas p-1 SQColunas/(p-1)

Erro Por diferença (p-2)(p-1) SQE/[(p-2)(p-1)]

Total SQTotal p2-1

O teste estatístico de igualdade entre as médias de tratamento é dado por:

E

sTratamento

QM

QMF 0

Rejeita-se a hipótese nula se F0>F;(p-1);(p-2)(p-1). (Usar o nível descritivo)

27

Exemplo 3-4. Dados de aroma. Os resultados da análise de variância foram obtidas através do software SAS (Statistical Analysis System) e estão representados na tabela a seguir.

Resultados da ANOVA para os dados de aroma

Causas de Variação

Soma de Quadrados

Graus de Liberdade

Quadrados médios

F0 Nível descritivo

Tratamentos 1,6875 3 0,5625 1,80 0,2473

Julgadores 1,6875 3 0,5625

Ordem 0,6875 3 0,2292

Erro 1,8750 6 0,3125

Total 5,9375 15

Interpretações: conclui-se que não há diferenças significativas entre os 4 tratamentos. Neste experimento não há forte evidência de diferenças entre julgadores e entre as ordens de realização dos tratamentos.

Repetições de quadrados latinos

A desvantagem de quadrados latinos pequenos é que eles fornecem poucos graus de liberdade para o resíduo, como, por exemplo, na análise acima em que tem-se apenas 6 gl para o resíduo. Nestes casos é desejável repetir o quadrado latino.

Análise de resíduos: ......... 2yyyyye kjiijkij

28

Maneiras de repetir um quadrado latino:

1 - Usar os mesmos julgadores e as mesmas ordens;

2 - Usar os mesmos julgadores mas diferentes ordens em cada repetição, ou, de forma equivalente, usar as mesmas ordens mas diferentes julgadores; Obs: Maneira mais adequada

3 - Usar diferentes ordens e diferentes julgadores.Vamos considerar o caso 2, onde outros 4 novos julgadores nas mesmas ordens serão utilizados numa nova repetição. Assim, temos 4 novas colunas dentro de cada repetição.O segundo quadrado latino é selecionado independentemente do primeiro. Neste exemplo o fator (ordem) é de classificação, ou seja não permite o sorteio.

Delineamento em quadrado latino (4 x 4) para aroma, segunda repetição.

Ordem Julgador 1 2 3 4

5 D (7) A (6) C (6) B (7) 6 A (6) C (7) B (6) D (7) 7 C (6) B (7) D (6) A (5) 8 B (5) D (7) A (6) C (5)

29

A análise estatística, considerando as duas réplicas, foi realizada no SAS, cujos resultados são apresentados a seguir.

Resultados da ANOVA para os dados de aroma, considerando duas repetições

Causas de Variação

Soma de Quadrados

Graus de Liberdade

Quadrados médios

F0 Nível descritivo

Tratamentos 3,25 3 1,08 3,25 0,046

Julgadores d. repetições

3,38 6 0,56

Ordens 1,75 3 0,58

Repetições 1,13 1 1,13

Erro 6,00 18 0,33

Total 15,50 31

Interpretações: Existe diferenças entre os tratamentos ao nível de significância de 0,046. Não existe indicativo nesse experimento de diferenças entre julgadores e ordens. Para Julgadores dentro de repetições temos 2(4-1)=6 graus de liberdade, ou seja n(p-1) gl.

Modelo matemático:

ijkllkljiijkly

30

Delineamento cross-over quadrado latino

Em algumas situações, períodos de tempo (sessões), são um fator de estudo. Neste delineamento os “subjects” (julgadores, animais, lojas, etc.) são aleatoriamente designados para as diferentes ordens. Assume-se que todos os efeitos são aditivos e fixos, com exceção do efeito de julgadores o qual é considerado aleatório. Cada julgador recebe todos os tratamentos durante o tempo do experimento, por isso o nome de cross-over.

Na tabela a seguir apresenta-se o esquema geral do delineamento cross-over. Foram utilizados 8 julgadores.

Delineamento cross-overOrdens Sessões (j)

(i) Julgadores 1 2 3 4m=1 D=7 A=7 C=7 B=71m=2 D=7 A=6 C=7 B=7m=1 A=6 C=6 B=7 D=72m=2 A=6 C=6 B=7 D=7m=1 C=6 B=6 D=7 A=53m=2 C=7 B=7 D=6 A=4m=1 B=7 D=7 A=7 C=74m=2 B=5 D=6 A=7 C=5

31

O modelo matemático:

ijkmimkjiijkmy

Esquema da ANOVA para o delineamento cross-over, onde n é o número de julgadores por ordem, e p = número de tratamentos = número de ordens = número de sessões.

Esquema da ANOVA para o delineamento cross-overVariações no modelo Graus de liberdade

Ordem p-1Sessão p-1

Tratamentos p-1Julgadores d. ordem p(n-1)

Erro (p-1)(np-2)Total np2-1

ordem sessão Tratamento Julgador dentro de

ordem

32

Esperanças dos quadrados médios:

2Erro

2S

2)ordemlg(Ju

p

1i

2i

2sTratamento

p

1i

2i

2Sessão

p

1i

2i

2S

2Ordem

)QM(E

p)QM(E

1pnp)QM(E

1pnp)QM(E

1pnpp)QM(E

33

Exemplo: dados de aroma (cross-over), os resultados da análise de variância foram obtidas com o uso do SAS.

Causas devariação

Soma dequadrados

Graus deliberdade

Quadradosmédios

F0 Níveldescritivo

Tratamentos 2,63 3 0,88 1,85 0,1738Ordem 3,13 3 1,04Sessão 2,38 3 0,79

Julga d. ordem 3,25 4 0,81Erro 8,50 18 0,47Total 19,88 31

Interpretação: concluímos que os 4 tratamentos são equivalentes quanto ao aroma. Os testes para os demais efeitos também não apresentaram significância estatística.

34

3-3 Quadrados de Youden e Graeco-Latino

Quadrado Graeco-Latino

É uma extensão de um quadrado latino p x p, e é obtido através da superposição de um segundo quadrado latino no qual os tratamentos são representados por letras gregas. Cada letra grega deve aparecer uma e somente uma vez com cada letra latina (quadrados latinos ortogonais). A tabela abaixo ilustra esse delineamento.

Ilustração do delineamento em Quadrado Graeco-LatinoBlocos nas colunasBlocos nas

linhas 1 2 3 41 :A :B :C :D2 :C :D :A :B3 :B :A :D :C4 :D :C :B :A

Permite o controle de três fatores de perturbação (nuisance), assim, pode-se usar 3 variáveis de bloqueamento. Pode-se estudar 4 fatores, cada um com p níveis, num total de p2 realizações. Obs: não existe QGL para p=6. A primeira classe de cada uma das 3 variáveis de bloqueamento recebe o tratamento A, e assim por diante. Um exemplo, pode ser: ordens, sessões e julgadores.

35

Quadrado de Youden

Quando não for possível utilizar um quadrado latino porque o número de níveis de colunas é menos do que o número de níveis de linhas, então pode-se fazer uso do Quadrado de Youden.

Exemplo: Têm-se 4 tratamentos; 4 julgadores; para cada julgador pode-se utilizar somente 3 tratamentos;

Esquema do delineamento Quadrado de YoudenOrdem dos tratamentos

Julgador 1 2 31 A B C2 D A B3 C D A4 B C D

Este delineamento torna-se um quadrado latino com a adição da coluna D, C, B, A.

Todo par de tratamentos aparece o mesmo número de vezes dentro de julgador.

Para análise consultar livro: Cochran, W.G., and G.M.Cox. Experimental Designs.

36

3-4 Blocos Incompletos Balanceados

Em certos experimentos não é possível utilizar todos os tratamentos em cada bloco. Por exemplo, num experimento para testar o efeito de 10 formulações de um produto, com relação ao sabor, aroma ou textura, devido a questões de sensibilidade, etc. , cada julgador pode testar apenas 5 formulações. Assim, cada julgador não pode testar todas as formulações. Nesses casos, pode-se usar o delineamento em blocos incompletos casualizados, onde, para cada julgador (bloco), é designado uma parte das formulações (tratamentos).

Blocos Incompletos Balanceados: qualquer dois tratamentos aparecem juntos (no mesmo bloco) o mesmo número de vezes ().

Exemplo: um pesquisador formula a hipótese que a aceitabilidade de um alimento depende da sua forma de preparo. Quatro formulações de um produto estão sendo pesquisadas. As amostras são preparadas e designadas aos julgadores, os quais irão atribuir notas, dentro de uma escala. Serão utilizados 4 julgadores. Como existem diferenças entre os julgadores, estes serão tomados como blocos. Entretanto, cada julgador pode testar apenas três formulações. Então, deve-se usar um delineamento em Blocos Incompletos Balanceados. Dentro de cada bloco deve-se fazer o sorteio dos tratamentos. O esquema desse delineamento é mostrado na tabela a seguir.

37

Blocos incompletos balanceados para o experimento deformulação de um produto

Tratamentos Julgadores(formulações) 1 2 3 4 yi.

1 7,3 7,4 - 7,1 21,82 - 7,5 6,7 7,2 21,43 7,3 7,5 6,8 - 21,64 7,5 - 7,2 7,5 22,2

y.j 22,1 22,4 20,7 21,8 87,0=y..

Este plano foi construído formando todas as possíveis combinações de a tratamentos em blocos de tamanho k.

Referência bibliográfica: Cochran, W.G. and Cox, G.M. Experimental Designs.

3-4.1 Análise estatística: vamos assumir:

a tratamentos

b blocos

k tratamentos por bloco

r repetições por tratamento

n=ar=bk observações

bblocos

4

3

4blocos b

k

a

b=ar/k blocos

38

Propriedade: o número de vezes que cada par de tratamento aparece junto no mesmo bloco é:

arbkna

)r(kλ

1

1

No exemplo, 214)13(3

Características dos BIB:

» Todos os blocos tem o mesmo tamanho

» Todos os tratamentos tem o mesmo número de repetições

» Todos os pares de tratamentos ocorrem o mesmo número de vezes ()

Se ocorrer esta igualdade é BIB:

)1()1( kra

Usar estes resultados

1

1

a

)r(kλ

39

O modelo estatístico

ijijijy

Onde yij é a observação do i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco; é a média geral; i é o efeito do i-ésimo tratamento; j é o efeito do j-ésimo bloco e ij é o erro aleatório, NID(0,2).

Somas de quadrados:

a

QkSQ

N

yy

kSQ

N

yySQ

a

ii

ajustadosTratamento

b

jjBlo

a

i

b

jijT

1

2

)(

1

2..2

.cos

1 1

2..2

1

40

Onde Qi é o total ajustado do i-ésimo tratamento e é calculado por:

aiynk

yQb

jjijii ,...,2,1

1

1..

Com nij = 1 se o tratamento i aparece no bloco j e nij = 0 se o tratamento i não aparece no bloco j.

A soma de quadrados do erro é calculada por diferença: SQE=SQT-SQTratamentos(ajustado)-SQBlocos

A tabela a seguir resume a análise de variância deste delineamento.

Análise de variância de um BIB Variações no modelo

Somas de quadrados

Graus de liberdade

Quadrados médios

F0

Blocos SQBlocos b-1 SQBlocos b-1

Tratamentos (ajustado)

SQTratamentos a-1 SQTratamentos a-1

QMTratamentos QMErro

Erro Por diferença N-a-b+1 SQErro N-a-b+1

Total SQT N-1

41

Teste de igualdade de médias de tratamentos:

E

)s(ajustadoTratamento0 QM

QMF

Exemplo 3-6: dados de aceitabilidade de um produto. É um BIB com a=4, b=4, k=3, r=3, =2, e N = (a x r) =(4 x 3)=12.

67,0)8,217,201,22(3

12,22

13,0)7,204,221,22(3

16,21

23,0)8,217,204,22(3

14,21

30.0)8,214,221,22(3

18,21

5500,012

)87()8,21(...)1,22(

3

1

8100,012

)87(56,631

4

3

2

1

222

cos

2

Q

Q

Q

Q

SQ

SQ

Blo

T

42

2275,0

)4)(2(

)67,0()13,0()23,0()30,0(3 2222

)(

ajustadosTratamentoSQ

0325,02275,05500,08100,0 ESQ

Análise de variância dos dados de aceitabilidade Causas de variação

Soma de quadrados

Graus de liberdade

Quadrados médios

F0 Valor p

Blocos 0,5500 3 0,1833 Tratamentos

(ajustado para blocos)

0,2275 3 0,0758 11,67 0,0107

Erro 0,0325 5 0,0065 Total 0,8100 11

Interpretação: como o nível descritivo é baixo (< 5%) concluímos que as formulações utilizadas tem efeito significativo na aceitabilidade do produto.

43

Contrastes ortogonais:

Os contrastes ortogonais devem ser calculados com relação aos totais de tratamentos ajustados (Qi). A soma dos quadrados do contraste é dado por:

a

ii

a

iii

c

ca

Qck

SQ

1

2

2

1

Onde ci são os coeficientes dos contrastes.

44

Comparações múltiplas dos efeitos dos tratamentos:

Um efeito de tratamento ajustado é dado por: )/(ˆ akQii

O erro padrão deste efeito é:a

QMkS E

)(

Exemplo 3-6

25,08/00,2)4)(2/()67,0)(3(ˆ

0500,08/40,0)4)(2/()13,0)(3(ˆ

0875,08/69,0)4)(2/()23,0)(3(ˆ

1125,08/90,0)4)(2/()30,0)(3(ˆ

4

3

2

1

04937,04.2

0065,0.3S Não bate com o Statistica e o SAS.

45

Teste de Tukey

2577,0)4(2

)0065,0(322,5),(),(

22,5)5,4(),( 05,0

a

kQMfaqSfaqDMS

qfaq

E

257700288089082

2577003380869083

257700625089083

2577030000840824

25770333808690824

25770362508908214

,,)/,( - /0,69- :1 vs

,,)/,( - /0,4- :2 vs

,,)/,( - /0,4- :1 vs

,,)/,( - / :3 vs

,,)/,( - / :2 vs

,,)/,( - / : vs

*

*

*

Conclusão: a formulação 4 difere significativamente das outras três, todos os outros pares de efeitos de tratamentos ajustados não diferem entre si. Os mesmos resultados são obtidos para as médias.

46

Médias de mínimos quadrados: são calculadas como,

5000,725,025,7

2000,705,025,7

1625,708625,025,7

1375,71125,025,7

ˆ

.4

.3

.2

.1

...

y

y

y

y

yy ii No SAS são obtidas

com o comando LSMEANS

Pode-se aplicar um teste de comparações múltiplas com estas médias ajustadas (dá o mesmo resultado do que nos efeitos dos tratamentos).

General Linear Models Procedure Least Squares Means

Adjustment for multiple comparisons: Tukey-Kramer

FORMULA ACEITABI Pr > |T| H0: LSMEAN(i)=LSMEAN(j) LSMEAN i/j 1 2 3 4

1 7.13750000 1 . 0.9825 0.8085 0.0130 2 7.16250000 2 0.9825 . 0.9462 0.0175 3 7.20000000 3 0.8085 0.9462 . 0.0281

4 7.50000000 4 0.0130 0.0175 0.0281 .

47

Blocos Incompletos BalanceadosBlocos Incompletos Balanceados (Teste Não Paramétrico) (Teste Não Paramétrico)

Durbin (1951) apresentou um teste de postos que pode ser usado para testar a hipótese nula de não haver diferenças entre os tratamentos num delineamento de blocos incompletos balanceados.

O teste de Durbin deve ser preferido aos testes paramétricos quando:

• as pressuposições de normalidade não são atendidas;

• deseja-se aplicar um método mais fácil;

• as observações correspondem meramente de postos

48

Exemplo (Instituto de Tecnologia de Alimentos - ITAL, 1982): Foi realizado um experimento sensorial de ordenação para se avaliar o efeito de cultivares de soja na sabor de “paçoca” de soja. Os tratamentos testados foram:

A = “paçoca” de soja cultivar Bragg;

B = “paçoca” de soja cultivar Bossie;

C = “paçoca” de soja cultivar Davis;

D = “paçoca” de soja cultivar Doko;

E = “paçoca” de soja cultivar IAC-2;

F = “paçoca” de soja cultivar Paraná;

G = “paçoca” de soja cultivar Santa Rosa;

H = “paçoca” de soja cultivar Tropical;

I = “paçoca” de soja cultivar UFV-1;

J = “paçoca” de soja cultivar União;

O experimento é um BIB com 30 provadores (blocos), cada um avaliando 3 tratamentos e ordenando em primeiro lugar a amostra de melhor sabor e em último a de pior sabor. Os resultados estão na próxima tabela.

49

Ordem de avaliaçãoProvadores1 2 3

1 A=3 B=2 D=12 H=2 A=1 J=33 B=2 C=3 F=14 C=3 D=2 H=15 F=2 H=3 I=16 J=3 F=1 G=27 I=3 E=1 B=28 E=3 G=1 A=29 G=2 J=1 C=310 D=3 I=2 E=111 C=3 D=1 G=212 H=1 B=3 J=213 J=3 E=1 F=214 G=3 A=1 I=215 B=2 H=1 E=316 F=2 I=3 D=117 D=3 F=2 A=118 E=1 G=2 H=319 A=2 C=3 B=120 I=2 J=1 C=321 J=2 D=3 B=122 I=1 C=2 H=323 B=2 G=3 I=124 C=3 E=2 F=125 G=3 H=2 D=126 D=2 J=1 E=327 H=2 F=3 A=128 E=3 A=1 C=229 F=1 B=3 G=230 A=2 I=1 J=3

50

Neste experimento temos:

a = 10 tratamentos

k = 3 unidades experimentais por bloco

b = 30 blocos

r = 9 repetições

= 2 blocos nos quais os tratamentos i e i’ aparecem juntos

51

Notação:

Xij os resultados do tratamento j no bloco i se o tratamento j aparece no bloco i

Ordene os Xij dentro de cada bloco assinalando o posto 1 à menor observação no bloco, posto 2 à segunda menor, e assim por diante, até o posto k, que é assinalado a maior de todas as observações no bloco i, já que existe apenas k observações dentro de cada bloco. Denota-se por R(Xij) o posto de Xij onde Xij existe.

Compute-se a soma dos postos assinalados aos r valores observados para o j-ésimo tratamento e chame esta soma de Rj.

Então, Rj pode ser escrito como:

O teste de Durbin

b

iijj )X(RR

1

Onde somente r valores de R(Xij) existem para cada tratamento j.

52

Observação:

1) Se as observações são não numéricas, por exemplo: ruim, médio, bom, muito bom, mas são passíveis de serem ordenadas dentro dos blocos de acordo com algum critério de interesse, o posto de cada observação é anotado e os valores de Rj são calculados como antes.

2) Se houver empates, recomenda-se assinalar o posto médio às observações empatadas.

Pressuposições do teste de Durbin

1. Os blocos são mutuamente independentes um do outro;

2. Dentro de cada bloco as observações podem ser ordenadas em ordem crescente, de acordo com algum critério de interesse.

Hipóteses:

H0: Os tratamentos tem efeitos idênticos;

H1: Pelo menos um tratamento tende a produzir valores maiores do que pelo menos um

dos outros tratamentos.

53

O teste estatístico de Durbin é definido como:

t

1j

2j 1k

)1k)(1a(r3R

)1k)(1k(ra

)1a(12T

Regra de decisão do teste:

0H a rejeitar

liberdade degraus 1-a com T

2050,Se

54

Exemplo:

a = 10 tratamentos

k = 3 unidades experimentais por bloco

b = 30 blocos

r = 9 repetições

= 2 blocos nos quais os tratamentos i e i’ aparecem juntos

RA=14 RB=16 RC=25 RD=17 RE=18 RF=15 RG=20 RH=18 RI=16 RJ=19

6,12T

00,48660,498T

00,486)00,3324(15,0T

13

)13)(110(9.3)19161820151817251614(

)13)(13(10.9

)110(12T 2222222222

55

Com a utilização de um programa estatístico, obtemos o valor de qui-quadrado (2), com 10-1=9 graus de liberdade e nível de significância de 5%, igual a 16,918978. Como a estatística de Durbin é menor do que o valor de qui-quadrado tabelado, devemos aceitar a hipótese nula e, assim, não foi observado diferenças significativas entre os tratamentos quanto ao sabor.

Comparações múltiplasComparações múltiplas

O método que se segue pode ser usado para comparar pares de tratamentos se e somente se a hipótese nula for rejeitada.

Considere dois tratamentos i e i’ diferentes se as suas somas de postos satisfazem a desigualdade:

))((

])()[)(()/('

116

11121

babka

aTabkkkrtRR ii

Onde t(1-/2) é o quantil da distribuição t de Student com bk-a-b+1 graus de liberdade. Chamamos o lado direito da desigualdade de Diferença Mínima Significativa.

P(2>12,6)=0,1816 (valor p)

56

Continuação do exemplo:

Neste exemplo, faremos os testes de comparação de pares de tratamentos, somente para fins didáticos, pois o teste de Durbin não foi significativo. Vamos, inicialmente, encontrar o valor da d.m.s.

48968

2754

4924800762

130103301106

612101103301313900762

116

111

5120501

21

,

,

).)((

],.)(.)[)((,

))((

])()[)((

'

'

'

'

);/,(

)/(

ii

ii

ii

ii

RR

RR

RR

t

babka

aTabkkkrtRR

2,007584

57

Temos 10(9)/2=45 pares de tratamentos. Vamos ver somente as seguintes diferenças.

81725RR

91625RR

101525RR

111425RR

DC

IC

FC

AC

O tratamento C apresenta diferenças significativas com relação aos tratamentos A, F e I, ao nível de significância de 5%. Ele não é diferente estatisticamente do tratamento D, ao nível de significância de 5%.