7. RETIFICAÇÃO E NORMALIZAÇÃO

DE IMAGENS

7.1 CONCEITO INICIAL

Segundo (Andrade, 1998), retificar uma imagem consiste em

projetá-la, segundo seu próprio feixe perspectivo, para um plano

horizontal. Isso significa que, através da retificação, é possível modificar e

até mesmo eliminar completamente os ângulos de atitude da câmara em

relação a um dado referencial, bem como a distância focal da imagem

resultante. Tal fato pode ser evidenciado mais claramente na Figura 7.1.

Figura 7.1 – Imagem original, com suas devidas inclinações e imagem retificada de modo a não es-tar

rotacionada. Note-se que, no processo de retificação, a escala da imagem poderá ser alterada.

7.1

No caso da fotogrametria aérea/orbital, ou seja, a fotogrametria

com vistas ao mapeamento em larga escala, interessa transformar as

imagens em perfeitamente verticais, ou seja: eliminar os ângulos φ e ω,

gerando, então, imagens perfeitamente verticais. Vale lembrar que, para

imagens aéreas, φ e ω devem ser menores que 5o. Caso se queira, pode-

se alterar além dos ângulos já citados, o ângulo de deriva κ e a distância

focal da imagem, o que serve para uniformizar todas as imagens de um

mesmo vôo (ou mesmo de vôos diferentes).

O objetivo primordial da retificação para a fotogrametria

aérea/orbital é gerar uma nova imagem vertical sem as distorções

introduzidas pela atitude do sensor durante a tomada da imagem. A

imagem resultante poderá, inclusive, está isenta dos erros de

deslocamento devido ao relevo. Nessa hipótese, deve-se realizar o

processo da ortorretificação.

A retificação é orientada à imagem, sendo necessário o

conhecimento dos parâmetros de orientação interior e exterior da mesma.

A seguir serão apresentados alguns dos métodos matemáticos mais

utilizados para este fim.

7.2 MODELOS MATEMÁTICOS

Existem basicamente duas formas para a realização das operações

de retificação, a saber: transformações (afim, polinomial, projetiva, etc.) e

princípio da colinearidade.

7.2.1 TRANSFORMAÇÃO AFIM

A já conhecida transformação afim também pode ser utilizada para

a retificação aproximada de uma imagem. Consiste em, conhecendo-se

as coordenadas de, no mínimo três pontos não-colineares no sistema de

7.2

coordenadas da imagem inicial e no sistema de coordenadas da imagem

final, através de um ajustamento pelo método paramétrico, calcular os

coeficientes de transformação entre ambos os sistemas. Tais coeficientes

são a0, a1, a2 e b0, b1, b2. A formulação da transformação afim é a

seguinte:

x = a0 + a1 . x' + a2 . y' (7.1)

y = b0 + b1 . x' + b2 . y' (7.2)

(x, y) representa o sistema de coordenadas de imagem final,

enquanto (x', y') é o sistema de imagem inicial.

Neste caso, deseja-se corrigir as distorções causadas pela rotação

da câmara em relação a um referencial. Dispõe-se de uma imagem inicial,

em sistema de pixels (discreto) e quer-se chegar a outra imagem digital,

porém retificada. O sistema de coordenadas desta segunda imagem

também é discreto. Sem embargo, pode-se reescrever as equações (7.1)

e (7.2) como:

coluna = a0 + a1 . coluna' + a2 . linha' (7.3)

linha = b0 + b1 . coluna' + b2 . linha' (7.4)

Resta ainda uma condição para executar-se o ajustamento: alguns

pontos de controle (no mínimo três) são necessários. Para estes pontos,

deve-se conhecer suas coordenadas no sistema da imagem retificada.

Uma boa saída é escolher os cantos do objeto a ser retificado, se o

mesmo for retangular. Caso queira-se eliminar totalmente a distorção

causada pela rotação da câmara, esses cantos terão de ser

obrigatoriamente os cantos da imagem retificada, ou seja, as coordenadas

(0,0) ; (0,l); (c,l) e (c,0), onde c e l são valores arbitrados e que devem ser

obtidos aproximadamente caso se deseje manter a proporcionalidade.

Um exemplo que serve para clarificar este modelo de

transformação é o da figura 7.2. Nela, tem-se uma imagem da fachada de

um pequeno edifício, obviamente eivada das distorções convencionais.

Sua representação retificada pode ser vista ao lado. Como a fachada é

7.3

retangular, pode-se utilizar seus cantos como pontos de controle e dizer

automaticamente que estes serão os cantos da imagem final. Para dar

um valor aproximadamente igual à proporção base X altura da fachada à

imagem final, é possível, por exemplo, verificar quanto valem as alturas

(pela direita e pela esquerda) e as bases (embaixo e em cima) do prédio

na imagem distorcida e tirar uma média. Esta foi a estratégia adotada

neste caso, chegando-se ao resultado a seguir.

Figura 7.2 – Imagem original, com suas devidas distorções e imagem retificada de modo a

não estar rotacionada. Os pontos de controle estão marcados com cruzes vermelhas.

Tem-se em mãos, agora, valores de coordenadas de quatro pontos

no sistema da imagem original (obviamente, pois o usuário terá de

escolhê-las) e no sistema da imagem final (no caso da figura 7.2, porque

foram arbitrados os cantos da imagem). Arranjando-se os termos em

forma matricial, chega-se a:

¦coluna1linha1

coluna2linha2

coluna3linha3

coluna4linha4

§=¦1 coluna1' linha1' 0 0 00 0 0 1 coluna1' linha1'1 coluna2' linha2' 0 0 00 0 0 1 coluna2' linha2'1 coluna3' linha3' 0 0 00 0 0 1 coluna3' linha3'1 coluna4' linha4' 0 0 00 0 0 1 coluna4' linha4'

§E¦a0a1a2b0b1b2§ (7.5)

7.4

Um ajustamento pelo método paramétrico pode ser realizado,

tendo, como valores finais: a0, a1, a2 e b0, b1, b2 ajustados.

7.2.2 TRANSFORMAÇÃO PROJETIVA

A transformação projetiva é expressa da seguinte forma:

x =c11 x'Ac12 y'Ac13

c31 x'Ac32 y'A1 (7.6)

y =c21 x'Ac22 y'Ac23

c31 x'Ac32 y'A1 (7.7)

Esta transformação requer quatro pontos de controle no mínimo

para sua execução. Outro inconveniente da mesma é que ela mapeia

planos em planos, sendo desaconselhável para a retificação de

superfícies tridimensionais (um terreno, por exemplo). Para superfícies

planas, ou aproximadamente planas (uma fachada “bem-comportada”, por

exemplo), ela chega a apresentar melhores resultados finais que a

transformação afim.

7.2.3 OUTRAS TRANSFORMAÇÕES

Ao invés de se utilizar a transformação afim, pode-se escolher

modelos menos completos (isto é, que modelam menos parâmetros,

porém, que exigem menos pontos de controle), facilitando o esforço

computacional do ajustamento por mínimos quadrados. Como exemplos,

citam-se as transformações isogonal e ortogonal.

Polinômios de maior ordem também podem ser empregados,

porém, deve-se ter em mente que estes implicarão em maior volume de

cálculos, e também em não-linearidade do modelo a ser ajustado.

7.5

7.2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE AS TRANSFORMAÇÕES

MATEMÁTICAS APRESENTADAS

As transformações já citadas são de uso e implementação

relativamente simples. Porém, é claro que estas não modelam de forma o

mais eficaz possível o problema da retificação, uma vez que elas não têm

como variáveis ou injunções os valores dos ângulos de rotação aos quais

a câmara foi submetida.

Explica-se: no caso da retificação, é de interesse a eliminação (ou

modificação) das distorções causadas por tais ângulos. Entretanto,

nessas transformações, não se modelam tais ângulos. O que se faz é

uma correção aproximada dos mesmos. Assim, para uma retificação mais

acurada, faz-se necessária a entrada de tais valores no ajustamento.

7.2.5 EQUAÇÃO DA COLINEARIDADE

Neste caso, utiliza-se o princípio da colinearidade, já utilizado

anteriormente (Capítulo 5) para a orientação exterior e o ajustamento,

porém, com alguns coeficientes modificados, de modo a adequar-se ao

problema aqui proposto.

As equações são as seguintes:

xN=BfN

r11 xpAr12 ypBr13 fp

r31 xpAr32 ypBr33 fp

(7.8)

yN=BfN

r21 xpAr22 ypBr23 fp

r31 xpAr32 ypBr33 fp

(7.9)

Na figura 7.3, encontram-se identificadas graficamente as variáveis

envolvidas:

O sistema xp, yp e fp pertence à imagem não retificada, sendo fp a

7.6

distância focal com a qual ela foi obtida.

O sistema xN, yN e fN equivale à imagem retificada, sendo, em geral

utilizado fN igual a fp, porém não necessariamente há que se seguir tal

convenção.

Observa-se que a cada ponto da imagem original, corresponde um

outro na imagem retificada. Os valores da matriz de rotação modelam as

rotações entre os eixos. Em geral, se usa para estes valores os mesmos

ângulos de atitude da câmara, de modo a eliminá-los na imagem final.

Nada impede, entretanto, que sejam utilizados outros, de modo a se criar

uma imagem com inclinação específica.

Figura 7.3 – Princípio da colinearidade para a retificação de imagens

A partir daí, segue um ajustamento por mínimos quadrados,

7.7

utilizando-se o método paramétrico não-linear, tendo, como resultados, os

valores ajustados dos coeficientes de transformação entre os dois

sistemas. Um problema, porém, continua a existir: embora seja modelada

uma transformação onde x e y possam assumir valores reais, o espaço

representado deve ser discreto (pixels). Assim, de modo a exibir, na

imagem final, a distribuição radiométrica mais adequada possível, diversos

métodos de reamostragem dos níveis de cinza dos pixels são necessários.

A seguir, serão vistos alguns deles.

7.3 REAMOSTRAGEM

O grande problema da reamostragem encontra-se, como já dito, na

determinação exata do tom de cinza a ser destinado aos pixels da nova

imagem. Como exemplo, um determinado pixel, que encontra-se na

coluna 430 e linha 289 possui o nível de cinza igual a 17. De acordo com

a transformação utilizada para executar a retificação, a posição

equivalente deste ponto (430; 289) na nova imagem deve ser (427,35;

288,78). A figura 7.4 demonstra graficamente, a situação apresentada.

Como apresentado, a imagem original encontra-se com seu grid de

pixels em vermelho-escuro. Já a nova imagem encontra-se representada

através do quadriculado azul-marinho sobreposto. Essa representação

gráfica demonstra claramente o problema decorrente da transformação

utilizada para retificar uma imagem e os inconvenientes decorrentes da

dos eventuais resultados a serem obtidos. Neste caso, vê-se que o pixel

de nível de cinza 17 da imagem original deve influenciar

radiometricamente ao menos outros quatro da imagem retificada (colunas

427 e 428 e linhas 288 e 289). A reamostragem, neste caso, faz-se

necessária para que os novos pixels tenham a cor que deveriam ter por

estarem em tal posição. Vários métodos então, foram desenvolvidos para

realizar esta correspondência. Os mais utilizados são: vizinho mais

próximo, interpolação bilinear, splines bicúbicas e polinômios de Lagrange,

conforme citado em (Andrade, 1998).

7.8

Figura 7.4 – O problema da reamostragem: compatibilizar a radiometria da imagem original

para uma nova distribuição de pixels

7.3.1 REAMOSTRAGEM POR VIZINHO MAIS PRÓXIMO

Este método apenas atribui o valor do nível de cinza de

determinado pixel da imagem reamostrada ao pixel da imagem original

que estiver mais próximo. Trata-se então, apenas de um arredondamento.

Para o caso anteriormente citado, o pixel (427; 289) – que é o

arredondamento de (427,35; 288,78) – da imagem final receberá o nível

de cinza (tonalidade) igual a 17. Este método possui 0,5 pixel de erro, e

isso leva a descontinuidades na imagem reamostrada. Algumas de suas

vantagens, segundo (Novo, 1992) são seu rápido processamento e fácil

implementação. Além disso, esta reamostragem não altera os valores

radiométricos da imagem original.

(Andrade, 1998) apresenta tal método na forma de equações, de

7.9

modo a facilitar a pronta utilização em implementações computacionais.

As mesmas foram transcritas a seguir:

A'(k,l) = A(i,j) para dx P 0,5 e dy P 0,5 (7.10)

A'(k,l) = A(i+1,j) para dx U 0,5 e P 0,5 (7.11)

A'(k,l) = A(i,j+1) para dx P 0,5 e dy U 0,5 (7.12)

A'(k,l) = A(i+1,j+1) para dx U 0,5 e dy U 0,5 (7.13)

A notação empregada (e que será adotada também nas equações

para os outros métodos) é a seguinte:

“A'” é o valor reamostrado do pixel;

“A” é o valor do pixel na imagem original;

“dx” e “dy” são os valores calculados, em números reais, das coordenadas

definidoras da posição de um pixel (na imagem a ser reamostrada) e os

seus valores inteiros menores.

7.3.2 REAMOSTRAGEM POR INTERPOLAÇÃO BILINEAR

O valor do nível de cinza, neste método, será determinado a partir

dos quatro pixels da imagem inicial que a ele são vizinhos.

Com este método, segundo (Novo, 1992), haverá uma maior

precisão geométrica e o desaparecimento de descontinuidades.

Entretanto, há que se considerar o maior processamento de cálculos e a

alteração dos valores de níveis de cinza da imagem original.

Segue a fórmula contida em (Andrade, 1998).

A(k,l) = A(i,j) + dx [A(i+1,j) – A(i,j)] + dy [A(i,j+1) – A(i,j)] + (7.14)

+ dx dy [A(i,j) – A(i+1,j) – A(i,j+1) + A(i+1,j+1)]

7.10

7.3.3 REAMOSTRAGEM POR MÉTODOS DE VIZINHANÇA 4 X 4

PIXELS

Estes métodos apresentam um resultado de melhor visualização,

incorrendo em menos erros de interpolação. Entretanto, recaem em

cálculos muito mais complexos, uma vez que utilizam cálculos envolvendo

os tons dos 16 pixels vizinhos, além de terem, obviamente, a modificação

dos tons da imagem original.

(Andrade, 1998) apresenta as formulações para os métodos de

splines bicúbicas e polinômio de Lagrange. As mesmas são inteiramente

transcritas a seguir.

Para splines bicúbicas:

Primeiro, define-se uma função “df(x)”:

df(x) = |x|3 – 2 |x|2 +1, se |x| P 1

df(x) = –|x|3 + 5 |x|2 – 8 |x| + 4, se 1 T |x| P 2 (7.15)

df(x) = 0, se x U 2

E uma outra função “a(n)”:

a(n) = df(dx+1)*A(i–1,j+n–2) + A(i,j+n–2)*df(dx) + (7.16)

+ A(i+1,j+n-2)*df(dx–1) + A(i+2,j+n–2)*df(dx–2)

Por fim, “A'(k,l)” equivale a:

A'(k,l) = a(1) df(dy+1) + a(2) df(dy) + a(3) df(dy–1) +a(4) df(dy-2) (7.17)

Para polinômio de Lagrange:

7.11

a(n) = A(i–1,j+n–2)*(dx–1)*(dx–2)*dx/(–6) +

+ A(i,j+n–2)*(dx+1)*(dx–1)*(dx–2)/2 + (7.18)

+ A(i+1,j+n–2)*(dx+1)*(dx–2)*dx/(–2) +

+ A(i+2,j+n–2)*(dx+1)*(dx–1)*dx/6

A(k,l) = a(1)*(dy–1)*(dy–2)*dy/(-6) +

+ a(2)*(dy+1)*(dy–1)*(dy–2)/2 + (7.19)

+ a(3)*(dy+1)*(dy–2)*dy/(–2) +

+ a(4)*(dy+1)*(dy–1)*dy/6

(Stucki, 1979) apud (Andrade, 1998) apresenta um quadro

comparativo quanto aos erros e número de operações matemáticas

envolvidos nos quatro processos apresentados. Esta informação está

contida na tabela 7.1

Método Vizinhança Operações de

adição e

multiplicação

Erros de

interpolação

Vizinho mais

próximo1x1 1 15,70%

Interpolação

bilinear2x2 8 3,70%

Splines bicúbicas 4x4 110 0,30%

Polinômio de

Lagrange4x4 80 quase 0

Tabela 7.1 – Métodos de reamostragem (fonte: Stucki, 1979 apud Andrade, 1998)

7.4 NORMALIZAÇÃO DE IMAGENS

Outro processo extremamente útil é a normalização de imagens.

Diferentemente da retificação, que é feita imagem a imagem, a

normalização é “orientada” ao par estereoscópico, porém sem restringir-se

7.12

à área de superposição das imagens.

O objetivo principal da normalização é gerar um novo par de

imagens digitais que se adeqüe à assim chamada geometria epipolar.

Normalmente, um par estereoscópico não está adequado à

geometria epipolar. Cada imagem está eivada de ângulos de rotação

diferentes da outra, além de estarem deslocadas em Y e em Z. Como

visto na figura 7.5, embora as linhas que se originam dos centros

perspectivos, passando pelos pontos p e p' se encontrem no ponto P (no

terreno), não se pode dizer que C', C, p', p e P estejam em um mesmo

plano. Da mesma forma, observa-se que p e p' não se encontram na

mesma linha em cada uma das imagens. Isso dificultaria bastante caso

fosse realizado um processo de correlação automática, uma vez que a

janela de procura na segunda imagem deveria ser bastante grande,

ampliando o tempo de processamento. Some-se a isso o não paralelismo

entre a linha que une os dois centros de perspectiva e os sistemas de

coordenadas (x, y, z) de cada um dos centros de perspectiva.

A geometria epipolar é materializada pela presença de um plano

epipolar e de linhas epipolares. O plano epipolar é definido pelos dois

centros de perspectiva das imagens e por um ponto no espaço objeto (P).

Na figura 7.6, encontra-se representado em verde claro. As linhas

epipolares são as interseções do plano epipolar com os planos das

imagens normalizadas. Uma linha epipolar está representada em azul-

marinho na mesma figura.

Dessa forma, normalizar um estereopar é torná-lo compatível com a

geometria epipolar, seguindo, então, a configuração demonstrada na

figura 7.6. Pode-se ver que, para um par normalizado, C', C, p', p e P

estão em um mesmo plano, os pontos p e p' estão na mesma linha, tanto

na imagem direita quanto na esquerda. Ainda vê-se que as linhas

epipolares encontram-se paralelas aos sistemas de coordenadas

centrados nos centros de perspectiva. Uma situação ideal como essa

permite muito mais facilmente a execução de algoritmos de localização

automática de pontos homólogos, uma vez que ambos devem estar em

uma mesma linha, diminuindo a área de procura na segunda imagem.

Para adequar um par à geometria epipolar, se faz necessário

7.13

eliminar todos os ângulos de atitude da aeronave (convém lembrar que

para a retificação, apenas φ e ω obrigatoriamente deveriam ser zerados).

Além disso, os componentes de base BY e BZ do par também devem ser

eliminados, para que ambas as imagens estejam em uma mesma altura e

com seus pontos homólogos em uma mesma linha (linha epipolar). É

importante dizer que BX não é eliminado. Eliminar BX (base

fotogramétrica) seria equivalente ao ato de colocar uma imagem sobre a

outra, impossibilitando completamente a possibilidade de se tirar proveito

das condições geométricas advindas do princípio da colinearidade e da

geometria epipolar. Por isso, apenas a distância em X relativa entre uma

imagem e a outra deve ser mantida, qualquer outro tipo de movimento

não.

Figura 7.5 – Um par esteroscópico não-normalizado (note-se a não-coplanaridade de

C',C,p',p e P e a localização em linhas diferentes de p e p')

Caso ainda seja necessário, uma rotação adicional ainda pode ser

executada, a fim de otimizar a reamostragem para a geometria epipolar.

O produto final, embora dotado de uma rigidez geométrica muito boa,

7.14

ainda não elimina o deslocamento devido ao relevo (como já dito, apenas

a ortorretificação é capaz de realizar tal tarefa).

Figura 7.6 – Um par esteroscópico normalizado (note-se a coplanaridade de C',C,p',p e P e

a localização na mesma linha de p e p')

7.4.1 MODELO MATEMÁTICO

O processo da normalização envolve um modelo matemático que

pode ser melhor representado matricialmente.

A equação da normalização pode ser sucintamente representada

por:

RN = RB . RT (7.20)

Onde “RB” equivale a RΩ Rφ Rκ (não se deve confundir com “R”, que é a

matriz de rotação: R = Rφ Rω Rκ).

7.15

Na figura 7.7, ficam melhor evidenciadas as relações matemáticas

entre os componentes de base do par estereoscópico. Com elas, pode-se

calcular RΩ, até então desconhecido.

Figura 7.7 – Um par esteroscópico normalizado e seus correspondentes não-normalizados,

referenciados a um sistema cartesiano (livre adaptação de Digital Photogrammetry - An

Addendum to the Manual of Photogrammetry)

Note-se os triângulos retângulos em violeta. Seus lados são

paralelos aos eixos do sistema cartesiano, e representam os componentes

de base BX, BY e BZ (ou seja, a diferença entre X' e X, Y' e Y e Z' e Z).

Os ângulos relativos κ e ω também estão representados.

Por relações trigonométricas:

Ú=arctg¢BYBX£ (7.21)

Ú=Barctg¢ BZ

BX2ABY2£ (7.22)

7.16

Ω será igual à média aritmética entre ω1 e ω2:

Ð=è1Aè2

2 (7.23)

Um exemplo de algoritmo de reamostragem por geometria epipolar

foi desenvolvido na The Ohio State University. O algoritmo de Schenk-

Choo constitui-se em uma transformação do tipo:

T4 = T3(T2(T1(linhai, colunaj)[epipolar])) (7.24)

Figura 7.8 – Proposta de algoritmo de Shenck-Choo

(retirada de Choo, Schenk, Madani, 1992)

Cada um destas transformações tem seu significado próprio, a saber:

T1: Constitui-se na transformação entre imagem digital e analógica

7.17

correspondentes.

T2: Normalização da imagem analógica (ou seja, retificação aliada à

eliminação dos componentes de base.

T3: Definição do sistema de coordenadas para a imagem epipolar.

T4: Transformação entre a imagem epipolar vazia e a imagem digital

origial para a reamostragem dos níveis de cinza (o algoritmo parte de uma

imagem em branco e sobre ela executa a reamostragem). A figura 7.8

mostra graficamente tal conjunto de operações.

7.5 CONCLUSÃO

A retificação (eliminação das distorções causadas pelos ângulos de

atitude da câmara) e a normalização (eliminação dos ângulos e

componentes de base BX e BY) de imagens permitem a preparação das

imagens propriamente ditas para a execução de outras tarefas

fotogramétricas. Pode-se dizer, inclusive, que este capítulo marca o fim

das tarefas de preparação das imagens para extração de informações. A

partir dele, todas as tarefas seguintes gerarão produtos-fim da

fotogrametria, tais como: modelos digitais do terreno - MDT's, originais de

restituição fotogramétrica, fotocartas, ortoimagens e ortofotocartas.

Outro fato a ser ressaltado quanto à normalização de imagens é a

aplicação destinada primariamente à extração semi-automática de MDT's

(objeto de análise mais profunda no capítulo a seguir). Isso, no entanto,

não impossibilita a utilização de pares normalizados, por exemplo, em

outras aplicações. Os próprios MDT's também podem ser gerados de

forma manual, a partir de pares não-normalizados, e ainda o são com

freqüência. Assim, em caso de economia orçamentária ou de tempo, essa

etapa pode ser descartada sem maiores prejuízos à linha de produção

cartográfica.

A retificação (eliminação das distorções causadas pelos ângulos de

atitude da câmara) já possuiu maior relevância na época da fotogrametria

analógica e analítica, no entanto, hoje em dia, com a maior facilidade na

7.18

produção de ortoimagens e ortomosaicos, a retificação pura e simples não

tem sido mais tão empregada, podendo, inclusive, não ser efetuada caso

não haja necessidade de uso da mesma. Reserva-se a ela,

principalmente, a utilização em fotogrametria com fotos oblíquas, a curta

distância ou com câmaras não-métricas.

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7.19