7-Leis de resistência e escoamento em pressão
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HIDRÁULICA I – 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA
SECÇÁO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS
HIDRÁULICA I
Resoluções dos problemas
HIDRÁULICA I – 2
7 – LEIS DE RESISTÊNCIA E ESCOAMENTO EM PRESSÃO
PROBLEMA 7.1
Pretende-se elevar o caudal de 14 ls− de um reservatório A para um reservatório B, por uma
conduta elevatória com 250 m de comprimento e 150 mm de diâmetro. O líquido a elevar é um
óleo com uma densidade relativa de 0,9 e com a viscosidade cinemática 4 2 13 10v m s− −= × . A
potência da bomba é de ,2 2 kW e o rendimento é de 0,70. O reservatório B, de grandes
dimensões, é fechado e contém ar sob pressão, situando-se a superfície do óleo à cota 8 m .
Calcular a pressão do ar no reservatório B.
RESOLUÇÃO
� A t BH H J H+ − =�
� , 3 10 004Q m s−=
( ),
Re ,,2 4
4 4 4 0 004113 2
0 15 3 10
U D Q D Q
DD−
× × ×= = = = =
ν Π νΠ × ×ν Π × × ×
Re ,113 2= ⇒ escoamento laminar
� ( ) ( )
,,
, , ,
4
2 2 2
3 10 4 0 00432 32 0 0098
9 8 0 15 0 15
UJ J m m
g D
−ν × ×= ⇒ = × × =
Π × ×
� ,30 9 9800 8820tQ H
P Nm−γ
= γ = × =η
,,
,
8820 0 0042200 43 65
0 7t
t
HH m
× ×= ⇒ =
HIDRÁULICA I – 3
� , , , ,0 0 43 65 0 0098 250 41 20BH m= + − × =
� 2
2B
B B
UpBH z
g= + + α
γ
( ), ,
2
0 41 20 8 33 202
BU pB pBm m
gα = ⇒ = − ⇒ =
γ γ
� 8820γ = ⇒ , 52 93 10Bp Pa= ×
PROBLEMA 7.2
Numa conduta circular com ,1 0 m de diâmetro e com a rugosidade absoluta ,0 5k mm= escoa-
se o caudal de 3 13 m s− . Sendo a viscosidade cinemática do líquido 5 2 110v m s− −= , determine a
perda de carga unitária.
RESOLUÇÃO
,
,?3 1
5 2 1
1 0
0 5
3
10
D m
k mmJ
Q m s
m s
−
− −
= =
==
ν =
,,
,
,
,
, ,Re ,
22
1
55
0 00050 0005
1 0
0 7854
3 82
3 82 1 03 82 10
10
k
D
DA m
QU ms
A
U D
−
−
= =
Π
= = = =
× = = = × ν
� Recorrendo à utilização do ábaco de Moody
,
Re ,5
0 0005
3 82 10
k
D
=
⇒= ×
Ábaco de Moody ⇒ ,0 018f �
� 2
2
12
2
J D Uf J f
g DU
g
= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ,0 0134J m m=
� Recorrendo à fórmula de Colebrook-White
HIDRÁULICA I – 4
,log
, Re
1 2 512
3 7k
Df f
= − +
,log
, Re
2
1 2 512
3 7k
f D f
= − +
,log
, Re
2
1
2 512
3 7
f
k
D f
= − +
( ),
log,
Re
2 2
2
1
2 512 23 7 2
J D
U
kg
DJ D U g
= − +
( ),
log,
Re
2
2
2
12
2 512
3 7 2
UJ
g D
k
DJ D U g
= − +
,
,log ,
26
4
10 7444
5 66968 102 1 35 10
J
J
−−
= ×− × +
,
,log ,
1 26
4
0 7444
5 66968 102 1 35 10
n
n
J
J
+−
−
= × − × +
(substituições sucessivas)
nJ 1nJ +
0,0010 0,0152
0,0152 0,0133
0,0133 0,0133
,0 0133J =
HIDRÁULICA I – 5
PROBLEMA 7.3
Numa conduta circular com a rugosidade absoluta ,1 5K mm= , escoa-se o caudal de 3 12 m s− .
Sendo a viscosidade cinemática do líquido 5 2 110v m s− −= e a perda de carga unitária ,0 008J = ,
determine o diâmetro da conduta.
RESOLUÇÃO
,
?
,
3 1
6 2 1
0 0015
2
10
0 008
k m
Q m sD
m s
J
−
− −
=
= =
ν = =
� resolução por tentativas recorrendo ao Ábaco de Moody
( )D m ( )U m s 2
2J D gf
U
×= Re
U D=
ν
k
D
f (ábaco)
0,90 3,144 0,0143 ,62 83 10× 0,00167 0,00220
1,00 2,546 0,0242 ,62 55 10× 0,00150 0,00218
0,98 2,651 ,0 0219 ,62 60 10× 0,00153 ,0 00219
,0 98D m�
� resolução recorrendo à fórmula de Colebrook-White
,log
,
2 25 5
12 512
3 7 22n
n n
Q kD
D g JDg J
−
+
ν = + Π
Quintela, p. 151
Neste caso
,,log
,, , , ,
22 55
1 6
2 514 0 00153 719 6 0 008 10 19 6 0 008
n
n n n
DD D D
−
+
= +
Π × ×
,,, log
25
64
13
6 339 104 054 101 5955n
nn
DD D
−−−
+
×× = +
HIDRÁULICA I – 6
nD 1nD +
0,9000 0,9850
0,9850 0,9804
0,9804 0,9806
0,9806 0,9806
,0 98D m�
PROBLEMA 7.4
Considere o escoamento bidimensional com superfície livre e leito móvel num canal largo com
fundo hidraulicamente rugoso com rugosidade absoluta ,6 5K mm= .
Obteve-se o perfil de velocidades longitudinais médias temporais, u , exibido na figura 1 e
resumido na tabela 1.
Tabela 1 ( )y m ( )/Ln y k u ( 1
ms− )
0,0076 0,156346 0,3619 0,0096 0,389961 0,3917 0,0126 0,661895 0,4120 0,0156 0,875469 0,4364 0,0236 1,289445 0,4805
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
u (m/s)
y (
m)
Figura 1 – Perfil da velocidade longitudinal média no tempo
HIDRÁULICA I – 7
a) Determine o valor da velocidade de atrito, * 0u = τ ρ , e do coeficiente B da expressão
do perfil de velocidades longitudinais médias válido para as regiões logarítmica e de
transição
*
( ) 1ln = + κ
u y yB
u k (1)
em que κ = 0,4 é a constante de Von Kármán.
b) Assumindo que a lei logarítmica (equação 1) é válida para a totalidade do escoamento e
sabendo que o factor de Darcy-Weisbach se define como
2*8
=
uf
U, determine a lei
de resistência válida para este escoamento. Note que ( )0
lim ln 0ε→
ε ε = .
c) Calcule a perda de carga unitária quando ,0 0745h m= , ,13 2l/sQ = e ,0 4B m= .
RESOLUÇÃO
Procura-se uma lei de resistência, ou uma relação entre o factor de Darcy-Weisbach, f , as
propriedades do fluido ( ρ e µ ) as características do escoamento ( h e U ) e as características
do leito (a rugosidade da fronteira sólida ( k ). A dimensional é
( , , , , )= ρ µf f h U k
Aplicando o teorema de Vaschy-Buckingham escolhendo como variáveis de base h , U e µ
obtém-se
, ρ
= µ
k Uhf f
h
Como se admite que a fronteira é hidraulicamente rugosa, a resistência ao escoamento não
depende do número de Reynolds ρ
µUh
. Assim, procurar-se-á uma expressão na forma
=
kf f
h
Sendo
2*8
=
uf
U
HIDRÁULICA I – 8
procurar-se-á integrar o perfil de velocidades para encontrar uma expressão para a velocidade
média do escoamento, U . Assim, tem-se
0 0*
( ) 1lim d lim ln 8,47 d
0,4ε→ ε→ε ε
= + ∫ ∫
h hu y y
y yu k
0*
1lim ln 8, 47 d
0, 4ε→ε
= + ∫
hUh y
yu k
( ) ( ){ }0*
lim 2,5ln 2,5ln 8,47 dε→
ε
= + +∫h
Uhy k y
u
( ) ( )( )( )0 0*
2,5 lim ln d lim 2,5ln 8,47ε→ ε→
ε
= + + − ε∫h
Uhy y k h
u
( )( ) ( )( )( )0 0*
lim 2,5 ln lim 2,5ln 8,47εε→ ε→
= − + + − εhUh
y y y k hu
( )( ) ( )( ) ( )( )( )0 0*
2,5 ln lim 2,5 ln lim 2,5ln 8,47Uh
h h h k hu ε→ ε→
= − − ε ε − ε + + − ε
( ) ( )*
2,5 ln 2,5 ln 8,47 2,5= + + −Uh
h h h k h hu
*
2,5ln 5,97 = +
U h
u k
82,5ln 5,97
= +
h
f k
A expressão acima responde ao enunciado.
(Os desenvolvimentos seguintes são opcionais e visam uma expressão de acordo com os
cânones da Mecânica dos Fluidos.)
Na Mecânica dos Fluidos clássica era usual exprimir os logaritmos em base 10. Assim, tem-se
( ) ( )5,97/2,5
*
2,5ln 2.5ln 2,5ln 2,5ln 10,89 = + = +
U h he
u k k
HIDRÁULICA I – 9
*
2,5ln 10,89 =
U h
u k
*
2,5ln10,89
= −
U k
u h
( )*
2,5log ln 1010,89
= −
U k
u h
*
5,76log10,89
= −
U k
u h
Usando a definição do diâmetro hidráulico
*
5,76log2,72
= −
h
U k
u D
1 5,76log
2,728
= −
h
k
f D
12log
2,72
≈ −
h
k
f D
d) Calcule a perda de carga unitária sabendo que, nas condições da figura 1, ,0 0745h m= ,
,13 2l/sQ = e ,0 4B m= .
RESPOSTA:
Sendo
2*8
=
uf
U
e, em escoamentos com superfície livre,
*4
= = hDu ghJ gJ ,
obtém-se
HIDRÁULICA I – 10
2
48=
hDgJ
fU
2 2= hJD
fU g
Como
12log
2,72
≈ −
h
k
f D
fica
2
2
1log
4 2,722
− =
h
h
JD k
DU g
22log
8 2,72h h
U kJ
gD D
− =
Sendo ,0 0745h m= , ,13 2l/sQ = , ,0 4B m= e ,0 0065k = , obtém-se
2
2
0,0132
0, 4 0,0745 0,0065log
8 9,8 4 0,0745 2,72 4 0,0745J
−
× = × × × × ×
0,0019=J
PROBLEMA 7.5
A lei de resistência ao escoamento de água sob pressão em regime turbulento, no interior de
uma tubagem circular, pode ser expressa pela fórmula de Manning:
/ /, 2 3 1 21 486U R J
n=
em que,
U – velocidade média do escoamento;
n – coeficiente que depende do material da tubagem;
R – raio hidráulico (quociente da secção líquida pelo perímetro molhado);
J – perda de carga unitária.
HIDRÁULICA I – 11
Os valores de n , dependentes da rugosidade da tubagem, encontram-se numa tabela, devendo,
para a sua aplicação, as grandezas da fórmula de Manning ser expressas em unidades inglesas.
Apresentar esta fórmula de forma a manter-se válida para um sistema genérico, em que as
unidades de comprimento e de tempo sejam respectivamente l e t , continuando a utilizar os
valores de n da tabela referida. Particularizar para o caso de aquelas unidades serem o metro e
o segundo.
RESOLUÇÃO
[ ] 1U L T
−=
[ ]2
A LR R L
P L= ⇒ = =
[ ] 0 0J L T=
•••• [ ] [ ], 2 2 113 3 32
1
1 486 1n R J n L n L T
U LT
−−
= ⇒ = ⇒ =
•••• em unidades inglesas tem-se
[ ] 13n ft s
−=
•••• num sistema genérico, continuando a utilizar a mesma tabela:
( ) ( )− −= �n ft n t1 13 3
1
1
ft x
seg y t
→
→
�
( ) ( ) ( )1 1 1 1 13 3 3 3 3n ft s n x yt x y n t
− − − − −= =� �
•••• equação de Manning num sistema genérico � , t
, 2 13 2
13
1 486U R J
x y n−
=
•••• sendo m=� ; t s= ⇒ ,1 0 3048
1 1
ft m
seg seg
=
=
,0 3048
1
x
y
=
=
( ), ,
,,
2 21 13 32 2
13
1 486 1 4861 4860 3048 1
U R J U R Jnn
−= ⇒ =
× ×
HIDRÁULICA I – 12
2 13 2
1U R J
n= ∴
2 13 2
1U R J
K=
1K
n=
n – coeficiente de Manning
K – coeficiente de Strickler
PROBLEMA 7.6
Dois reservatórios estão ligados por uma tubagem com os acidentes e a disposição indicados na
figura. Proceda ao traçado qualitativo das linhas de energia e piezométrica atendendo a todas as
irregularidades.
RESOLUÇÃO
HIDRÁULICA I – 13
•••• Trecho 1–2
− A perda de carga à entrada da conduta é 21
1 2
UH K
g∆ = , em que 1U é a velocidade na
conduta e ,0 5K = se a transição for em aresta viva. O termo cinético é 21
2
U
gα com
,1 1α = se o escoamento for turbulento.
•••• Trecho 2–3
− A perda de carga na curva é 21
2 2
UH K
g∆ = , em que K depende da geometria da
curva e do número de Reynolds do escoamento para números de Reynolds
pequenos.
− O declive da linha de energia é superior ao da do trecho 1–2 pelo facto de a conduta
ser inclinada.
•••• Trecho 3–4
− Devido ao alargamento brusco, ocorre na secção 3 uma perda de carga singular dada
por ( )2
1 2
2
U UH
g
−∆ = .
Consequentemente, a linha piezométrica sobe:
( )2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 22 2
22 2 2 2 2 2 2
U U U U U U U U U U U U
g g g g g g g
− − ++ = + = − +
Como 2
1 2 21 2
22
2 2
U U UU U
g g> ⇒ > ⇒
( )2 2 2 2 21 2 2 1 1 2 2 12
22 2 2 2 2 2
U U U U U U U U
g g g g g g
−⇒ + = − + <
HIDRÁULICA I – 14
Como ( )22 2
1 21 2
2 2 2
U UU U
g g g
−> + ⇒ a piezométrica sobe.
•••• Trecho 4–5
− A perda de carga no estreitamento é 21
2
UK
g com ,0 5K < .
O declive da linha de energia é igual ao do trecho 2–3.
•••• Trecho 5–6
− Em 5, a turbina aproveita uma queda uH . Entre 5 e 6, a perda de carga unitária e o
termo cinético decrescem gradualmente para jusante. Como a área da secção vai
aumentando, a velocidade vai diminuindo, ( )U U x= , e J é sucessivamente menor.
Em 6, ocorre uma perda de carga dada por:
( )2 26 res. 6
2 2
U U UH
g g
−∆ = = com res. 0U �
porque a tubagem termina em aresta viva.
PROBLEMA 7.7
Numa conduta de fibrocimento com o diâmetro de ,0 45 m escoa-se água, em regime uniforme,
com a perda de carga unitária de 0,003. Calcular o caudal transportado, supondo a conduta nova
e utilizando a fórmula de Chézy (com C calculado pela fórmula de Bazin) e o ábaco de Scimemi.
RESOLUÇÃO
•••• Dados: – tubagem de fibrocimento
,0 45D m=
,0 003J m m=
Calcular Q
•••• A fórmula de Chézy é a seguinte: Q C A R J= em que 87 R
CR
=γ +
– fórmula de Bazin
•••• Como se trata de fibrocimento, o valor de γ da fórmula de Bazin varia entre ,120 00 m e
,120 06 m . Adopta-se o valor intermédio ,
120 03 mγ =
HIDRÁULICA I – 15
•••• , ,,
,
, ,
1 1243 5 0 4587 43 5
79 804 1 10 03 0 45
2 2
R DDR C m sR D
−= ⇒ = = = =γ + γ + +
•••• ( ),
, , ,
20 451
79 86 0 45 0 0032 8
Q C A R J C A D JΠ ×
= = = × × =
, 3 10 233 m s−= 233Q l s=
PROBLEMA 7.8
Dois reservatórios A e C com as respectivas superfícies livres apresentando uma diferença de
cotas de 20 m estão ligados ente si por uma tubagem de fibrocimento constituída por dois
trechos: trecho AB, com um comprimento 1 1000l m= e diâmetro 1D , e trecho BC, com um
comprimento 2 1000l m= e diâmetro 2D tal que ,2 11 1D D= .
Determinar os diâmetros 1D e 2D de modo que o caudal escoado seja −ls 1200 . Usar a fórmula
de Manning-Strickler ( 1 3 195K m s−= ).
RESOLUÇÃO
a)
•••• Resolução pela fórmula de Manning-Strickler
2 13 2Q K A R J=
•••• Desprezando perdas de carga em singularidades vem:
( ) ,1 1 2 2 1 2 1 220 0 02H J J J J m J J m m∆ = + = + = ⇒ + =� � �
•••• ( )
( )
, ,
,,,
222
2 2 16422 43 332 3
0 2 0 041
2304 095 0 15750 6169
4 4
Q QJ
K A R DD DD DK
= = = = × × Π
HIDRÁULICA I – 16
( )
,1 16
31
0 04
2304J
D
= ( )
,
,2 16
31
0 04
2304 1 1J
D
=
( ) ( )
,,
,1 2 16 16
3 31 1
0 04 1 10 02
2304 1 1J J
D D
+ = + =
( )
( ) ( )
, , ,
,, ,
163
16 163 3
1 1
1 1 1 0 02 2304 2 66251152
0 041 1 1 1D D
+ ×= ⇒ =
( ) , ,16
31 10 0014 0 291D D m= ⇒ =
•••• 1 291D mm= e ,2 11 1 320D D mm= =
b)
•••• Resolução pelo ábaco de Scimemi
( )1D mm ( )2D mm 1J 2J 1 2J J+
350 385 0,0085 0,0050 0,0135
325 358 0,0120 0,0075 0,0195 ≅ 0,020
PROBLEMA 7.9
Dois reservatórios, A e C, estão ligados por uma tubagem de ferro fundido ABCD que apresenta
um ponto alto B cuja cota é 105 m .
Em D está instalada uma turbina que absorve o caudal de , 3 10 1m s− (rendimento, ,0 85η = ).
HIDRÁULICA I – 17
Determine o diâmetro mínimo da conduta para a altura piezométrica não ser, em B, inferior a
1m . Qual é a potência da turbina.
RESOLUÇÃO
a) Determinação do diâmetro mínimo da conduta
•••• desprezando perdas de carga em singularidades
110A AH z m= =
2
105 12B
UH
g= + + α =
,
,
2
22
0 1106
19 64
BH
D
+ = Π
×
( )1α =
1000A BH J H− =
•••• tubagem em ferro fundido ⇒ , ,2 625 0 53535Q D J=
(QUINTELA 1981, p. 154)
,
,
10 535
2 62535
QJ
D
=
••••
,
,
,
,
10 535 2
2 625 22
0 1110 1000 106
3519 6
4
Q
D D
− = +
Π×
,
, ,4 907 4
0 01757 0 000827110 106
D D− = +
,
, ,4 907 4
0 01757 0 0008274
D D= − ⇒
,
,
,
14 907
1
4
0 01757
0 0008274
n
n
D
D
+
=
−
nD 1nD +
0,5 0,331
0,331 0,332
0,332 0,332 ⇒ min ,0 332D m=
HIDRÁULICA I – 18
b) Potência da turbina
( )A AB BD DC u CH J L L L H H− + + − =
3200u A CH H H J= − − 100 3200uH J= −
( )
,
,
,,
,
10 535
32 625
0 13 93 10
35 0 332J m m−
= = ×
, ,3100 3200 3 93 10 87 42uH m−= − × × =
, , , ,9800 0 1 87 42 0 85 72826 7uP Q H W= γ η = × × × =
,72 8P kW=
PROBLEMA 7.10
Uma bomba B eleva água do reservatório A para um sistema com os reservatórios D e E. Ao
reservatório D chega um caudal de 1250 ls− . Sabendo que as cotas dos reservatórios e as
dimensões das condutas são as indicadas no esquema junto, que o rendimento da bomba é
,0 75η = e que as condutas são em ferro fundido, calcule o caudal elevado e a potência da
bomba.
HIDRÁULICA I – 19
RESOLUÇÃO
Desprezando perdas de carga em singularidades, CH é dada por:
C D CD CDH H J= + �
A perda de carga unitária no trecho CD pode ser calculada pela fórmula de Scimemi para ferro
fundido:
( ) ,, , ,, ,
2 6252 65 0 535 0 53535 0 25 35 0 5 CDQ D J J= ⇒ = ⇒
,0 00292CDJ m m⇒ =
pelo que a carga hidráulica no nó C vem:
, ,30 2000 0 00292 35 84CH m= + × =
Para calcular o caudal que se escoa no trecho EC , de C para E , é necessário calcular
( ),,
35 84 350 00056
1500CEJ m m−
= =
O caudal CEQ é então:
( ) ( ), ,, , ,
2 625 0 535 3 135 0 6 0 00056 0 167CEQ m s−= =
O caudal que sai do reservatório A e se escoa até ao nó C é
, , , 3 10 250 0 167 0 417AC CD CEQ Q Q m s−= + = + = . O caudal elevado é
, 3 10 417ACQ m s−=
HIDRÁULICA I – 20
A potência da bomba é dada por uQ HP
γ=
η, em que uH satisfaz a equação
A u AC AC CH H J H+ − =� . Importa, por isso, calcular ACJ . Sabe-se que
( ) ( ) ,,, ,
0 5352 6250 417 35 0 6 CDJ= × , ou seja, ,0 0031CDJ m m= . Então,
, ,10 0 0031 1800 35 84uH+ − × = , isto é, ,31 43uH m= . A potência da bomba vem
( ), ,
,,
9800 0 417 31 43171269 171 3
0 75
xP W kW
×= = ≅
bomba ,171 3P kW=
PROBLEMA 7.11
Os reservatórios A e B estão ligados à conduta CD, a qual tem um orifício em contacto com a
atmosfera na extremidade D. A secção 0S em D tem o valor de , 20 02 m .
Determine o caudal proveniente dos reservatórios A e B, considerando que o material das
condutas é fibrocimento e desprezando as perdas de carga em singularidades e a contracção no
orifício de saída
RESOLUÇÃO
•••• Sistema de equações
,
,
2
0 0215
19 6
CD
D
Q
H
= +
D A AC AC CD CDH H J J= − −� �
D B BC BC CD CDH H J J= − −� �
CD AC BCQ Q Q= +
HIDRÁULICA I – 21
Fibrocimento ⇒ ,
,,
10 56
2 6848 3
QJ
D
=
, ,
, ,
,
, , , , ,
2
1 10 56 0 56
2 68 2 68
0 0215 40 800 1250
19 6 48 3 0 35 48 3 0 40
CD
AC CD
Q
Q Q
+ = − × − × × ×
(1)
, ,
, ,
,
, , , , ,
2
1 10 56 0 56
2 68 2 68
0 0215 50 900 1250
19 6 48 3 0 40 48 3 0 40
CD
CD AC CD
Q
Q Q Q
− + = − × − × × ×
(2)
•••• Resolução por tentativas
1) arbitra-se CDQ
2) calcula-se ACQ pela equação (1)
3) substitui-se ACQ na equação (2) e calcula-se 'CDQ
4) se 'CD CDQ Q≅ a solução foi encontrada e pode calcular-se BCQ ; se '
CD CDQ Q≠
CDQ ACQ 'CDQ
0,300 0,102 0,472
0,320 − 0,067 0,248
0,3142 − 0,016 0,3155
Solução ⇒ ,0 332BCQ =
HIDRÁULICA I – 22
•••• Procedimento alternativo
PROBLEMA 7.12
Uma conduta eleva água de um reservatório A para um reservatório B, através de uma conduta
de betão liso e novo, com 1000 m de comprimento e com ,0 60 m de diâmetro.
A relação entre a altura de elevação ( )tH e o caudal ( )Q da bomba, acoplada a um motor de
velocidade de rotação constante (relação denominada curva característica da bomba), exprime-
se por:
228 20tH Q= −
HIDRÁULICA I – 23
com tH expresso em m e Q em 3 1m s− . Desprezando as perdas de carga localizadas,
determinar o caudal na conduta e a potência da bomba (rendimento ,0 70η = ):
a) nas condições indicadas;
b) quando uma bomba igual é instalada em paralelo com a primeira;
c) quando uma bomba igual é instalada em série com a primeira.
RESOLUÇÃO
a) Caudal e potência da bomba nas condições indicadas
Sistema de equações
15 35tH J+ − =� ∴ 20tH J= + � − curva característica da instalação
228 20tH Q= − − curva característica
•••• ,
,, ,
10 53
22 67
28 20 20 100038 77 0 6
− = + × ×
betão liso
•••• ,,
11 20 53
18 13 196
20n
n
QQ +
− =
HIDRÁULICA I – 24
nQ 1nQ +
0,1 0,6256
. .
. .
. .
0,4828 0,4827
, 3 10 483Q m s−≅
•••• Potência da bomba:
,228 20 23 33tH Q m= − =
, ,,
,
9800 0 483 23 33157786 157 8
0 7t
b
Q HP W kW
γ × ×= = = =
η
b) potência de cada bomba quando há duas bombas instaladas em paralelo
•••• Neste caso, cada bomba leva metade do caudal
2228 20 28 5
2t
QH Q
= − = −
Q – caudal total
,
,, ,
10 53
22 67
28 5 20 100038 77 0 6
x
− = + × ⇒
, 3 10 652Q m s−≅
•••• Potência da bomba:
( ), ,2228 5 28 5 0 652 25 87tH Q m= − = − × =
, ,
,2bombas
9800 0 652 25 87236182
0 7tQ H
P Wγ × ×
= = =η
,1bombas 118 1P kW=
c) Quando há duas bombas instaladas em série
•••• Neste caso, a altura de elevação total é dupla
( )2 22 28 20 56 40tH Q Q= × − = −
,,1
2 0 5356 40 20 13 196Q Q− = + ⇒ , 3 10 820Q m s−=
HIDRÁULICA I – 25
( ), ,2 bombas
256 40 0 820 29 1tH m= − × =
, ,,
,1bomba 1bomba9800 0 32 14 55
14 55 1670 7tH m P kW
× ×= ⇒ = =
1bomba 167P kW=
PROBLEMA 7.13
A um reservatório A, de grandes dimensões, está ligada uma conduta ABC com um ponto B
onde se colocou um tubo piezométrico.
A conduta, de aço soldado, tem o diâmetro de ,0 50 m e a sua extremidade C está equipa da
com um órgão obturador cujo eixo está à cota 20 m . Supondo nulas a contracção no obturador e
as perdas de carga em singularidades.
a) Determine o caudal escoado quando a abertura do obturador for de , 20 01m .
b) O caudal crescerá com a abertura do obturador até um certo limite desta. Qual é a
abertura e o caudal escoado nestas condições, desprezando a altura cinética no interior
das condutas?
c) Represente as linhas de energia e piezométrica nos dois casos de funcionamento
indicados.
RESOLUÇÃO
O sistema de equações resolventes é o seguinte
C AH H J= − �
( );
,
22
220 1 0
2 2 0 01C
p Q pUH z m
g g= + + α = + α = =
γ γ
com2 11 13 32 85Q K A R J K m s−= =
HIDRÁULICA I – 26
a) A determinação do caudal escoado nas condições da alínea a) implica a resolução do
sistema de equações anterior. Tendo presente que ( ), ,
223 1
20 5 0 5
854 4
Q J Π = × ⋅
,
vem ,
2
4 172Q
J
=
ou seja ,
2
60 20004 172C
QH
= − ×
( ), ,
2
220
19 6 0 01C
QH = +
×
Donde
( ), , ,
2 2
260 2000 20
4 172 19 6 0 01
Q Q − × = +
, , , ,2 2 2 3 160 114 88 20 510 2 0 40 625 08 0 253Q Q Q Q m s−− − − = ⇒ = ⇒ =
•••• Se a cota piezométrica em B for superior a 55 m , o caudal escoado será
, 3 10 253Q m s−= . Importa verificar se assim é. Então
,,
2
60 1000 56 324 172B
QH m
= − × =
como ( )
,2
256 32
2B
p QH p z m
g A= + + =
γ e
( ) ( )( )
, ,, , , ,
, ,
2 22
2
0 5 0 2530 196 56 32 56 23 55 0
4 19 6 0 196B
pA m z m m
Π × = = ⇒ + = − = > γ ×
A hipótese está verificada e , 3 10 253Q m s−=
b) Desprezando a altura cinética nas condutas, o caudal máximo que se pode escoar
implica que, em B , se tenha uma carga igual a 55 m . Para menores valores de H em
B , o escoamento seria interrompido pela entrada de ar pelo piezómetro. Assim,
( ),
60 550 005
1000ABJ m m−
= = e
( )( )max
, ,, ,
223 1 3 12
0 5 0 585 0 005 0 295
4 4Q Q m s
−Π × = = × × × =
.
HIDRÁULICA I – 27
Por outro lado ,60 2000 0 005 50CH m= − × = e
( )( )
( )( )
( ), ,,
,,
2 222 2
2 2
0 295 0 29520 20 50 0 012
19 6 302 19 6C C C
C C
QH A A m
g A A= + + = ⇒ = ⇒ =
××
•••• Nas condições da alínea b) tem-se , 3 10 295Q m s−= e , 20 012A m= .
PROBLEMA 7.14
O reservatório A alimenta os reservatórios B e C através do sistema de tubagens em aço
soldado representado na figura; a água é bombada pela bomba D e os comprimentos e
diâmetros das tubagens são os indicados.
a) Supondo a tubagem CE obturada, determine o caudal fornecido ao reservatório B tendo a
bomba a potência de 1700 kW e o rendimento de 0,70.
b) Determine a cota X para que o caudal admitido no reservatório C seja nulo, sendo o
caudal admitido em B igual a , 3 12 0 m s− . Calcule também a potência da bomba admitindo
que tem o rendimento de 0,70.
c) Para 100X m= e funcionando a bomba com a potência de 5000 kW e o rendimento de
0,70, determine os caudais admitidos nos reservatórios B e C.
d) Trace qualitativa, mas cuidadosamente, as linhas de energia e piezométricas
correspondentes às alíneas b) e c).
NOTAS: As alíneas a), b) e c), em relação às quais se podem desprezar as perdas de carga em
singularidades, são independentes.
Na alínea d), considere as transições dos reservatórios em aresta viva.
HIDRÁULICA I – 28
RESOLUÇÃO
a) Supondo a tubagem EC obturada, qual é o caudal que se escoa de A para B
•••• Sistema de equações para o cálculo do caudal:
A t DE DE EB EB BH H J J H+ − − =� � 20AH m=
( )2 1
3 2DEQ K A R J J f Q= ⇒ = 80BH m=
( )'EBJ f Q=
tt
Q H PP H
Q
γ η= ⇒ =
η γ (com as unidades adequadas)
•••• determinação de DEJ e EBJ (com 1 1385K m s−= )
( )( ) ( ),
,
2 22 13 2
185 0 25
4 701 89DE DE
QQ J J
Π ×= × × ⇒ =
( )( ) ( )
,,
,
2 22 13 2
0 885 0 20
4 213 51EB EB
QQ J J
Π ×= × × ⇒ =
•••• determinação de tH :
, ,1700000 0 70 121 42869800tH
Q Q
×= =
×
•••• cálculo do caudal:
,
, ,
2 2121 428620 1500 1400 80
701 89 213 51Q Q
Q+ − × − × =
,,
2 121 42868 6942 60 0Q
Q− + =
A equação anterior pode ser escrita na forma
, ,+ − =Q Q38 6942 60 121 4286 0
Este polinómio pode ser resolvido pelo método de iteração de Newton:
( )( )'
1i
i i
i
p xx x
p x+ = − em que
( ) 11 0
n ni n np x a x a x a−
−= + + e
HIDRÁULICA I – 29
( )( )
'i
i
dp xp x
dx=
No caso em análise:
, ,
,
3
1 2
8 6942 60 121 4286
26 0826 60i i
i i
i
Q QQ Q
Q+
+ −= −
+
iQ 1iQ +
1,0000 1,6126
1,6126 1,5204
1,5204 1,5175
1,5175 1,5175 , 3 11 52Q m s−≅
•••• , 3 11 52ABQ m s−≅
b) Nas condições da alínea b) tem-se
80 1400E EBH J= + ×
,, ,
2 40 0187
213 51 213 51EB
QJ m m= = =
, ,80 1400 0 0187 106 23EH m= + × =
•••• para que não haja escoamento de E para C é necessário que EH x= pelo que a
resposta é
,106 23x m=
•••• Por outro lado, ,,
40 0057
701 89DEJ m m= =
•••• Como , , ,106 23 106 23 20 0 0057 1500E A t DE DE tH H H J H= + − ⇒ = = + − ×�
,94 78tH m⇒ =
•••• A potência da bomba será
,,
,
9800 2 94 782653 8
0 70P W kW
× ×= ≅
HIDRÁULICA I – 30
c) 100x m= 5000bP kW= ,0 70η =
Sistema de equações:
E A t AE AEH H H J= + − � ①
E B BE BEH H J= + � ②
E C CE CEH H J= + � ③
, ,35000 10 0 7 357 1439800t
AE AE
HQ Q
× ×= =
× ④
AE BE CEQ Q Q= + ⑤
,
2
26 493AE
AE
QJ
=
⑥
,,
21214 612
14 612BE
BE EB BE
QJ Q J
= ⇒ =
⑦
,,
2126 785
6 785CE
CE EC EC
QJ Q J
= ⇒ =
⑧
Esquema resolvente
•••• Resolução (por tentativas)
AEQ (arbitrado)
AEJ
⑥
tH
④
EH
①
EBJ
②
ECJ
③
EBQ
⑦
ECQ
⑧
AEQ
⑤ (calc.)
3,0 0,0128 119,05 119,85 0,0285 0,0199 2,465 0,956 3,421
3,1 0,0137 115,21 114,66 0,0248 0,0147 2,299 0,821 3,121
d) Resolve-se na aula.
HIDRÁULICA I – 31
PROBLEMA 7.15
Um reservatório abastece uma conduta de 2000 m de comprimento e ,0 20 m de diâmetro, de
fibrocimento, a qual, tendo exclusivamente serviço uniforme de percurso, consome o caudal de
38640 m por dia. A conduta é horizontal e o respectivo eixo está localizado a uma cota inferior
em 30 m ao nível da água no reservatório.
Numa dada altura, e no intuito de melhorar as condições de pressão, fez-se funcionar, na
extremidade B da conduta uma bomba com 30 kW de potência e o rendimento de 0,75. A
bomba absorve água do reservatório C, em que o nível se apresenta 30 m abaixo do de A.
Supondo invariável o consumo, calcule a distância, ao reservatório A, do ponto em que se
regista a cota piezométrica mínima.
NOTAS: – Estabeleça primeiro o sistema resolvente;
– Despreze as perdas de carga em singularidades e a altura cinética.
RESOLUÇÃO
•••• Procede-se, em primeiro lugar, à análise da situação inicial.
Nesse caso: dia3 18640Q m −=
só consumo de percurso
sem bomba
•••• dia ,3 1 3 18640 0 1Q m m s− −= =
•••• O caudal de percurso é 0 1P Q Q= − . Como 1 0Q = , então 0P Q= , caudal na secção de
entrada. O consumo uniforme de percurso é, por sua vez,
HIDRÁULICA I – 32
, 5 3 1 10 15 10
2000P
p m s mL
− − −= = = × .
•••• A perda de carga contínua é ( )( )
( )2
23
x
Q xJ x Q
K A R
= = β
.
Como a tubagem é de fibrocimento, 1 1390K m s−= e
( )( )
,,
,
2
2
2 23 2
3
1 16 7908
0 290 0 05
4K A R
β = = = Π × × ×
•••• O caudal equivalente é , , 3 10 55 0 055eQ P m s−= = e a perda de carga unitária é
( ) ,2 22 054 10e eJ Q m m
−= β = × .
•••• A perda de carga total, nestas circunstâncias, seria
, ,22000 2 054 10 41 08eH J m−∆ = = × × =� podendo concluir-se que esta solução é
fisicamente impossível.
•••• De facto, ter-se-ia, na extremidade de jusante, uma pressão dada por
( ) atm, ,30 41 08 11 08p
m− = − < −γ
o que não pode acontecer.
•••• Esquematicamente ter-se-ia:
•••• Tendo a bomba instalada, a situação passa a ser a seguinte:
HIDRÁULICA I – 33
As equações para o trecho ① da conduta são as seguintes:
, . 1 10 0 t eX H J= + �
21 1e eJ Q= β
,1 10 55eQ P=
1
1
t t bb t
Q H P H PP H
P
γ γ × η= = ⇒ =
η η γ
51 1 15 10P p −= = ×� �
Por substituição obtém-se (com 30 000bP W= e ,0 75η = ):
( ) ( ),, , ,
251 15
1
30 000 0 750 0 6 7908 0 55 5 10
9800 5 10X
−
−
×= + − × × ×
× ×� �
�
,,
9 31
1
45918 375 1355 10X
−= − × ��
①
As equações para o trecho ② da conduta são:
2 230 eX J= − �
( ), , ,
225 5
2 2 20 55 5 10 6 7908 0 55 5 10
e
e
Q
J− −
= β × × = × × ×
� ��������������
HIDRÁULICA I – 34
2 12000= −� �
•••• Substituindo vem:
, 9 3230 5 1355 10X −= − × =� ( ),
39130 5 1355 10 2000 X
−− × − =� ②
•••• 1� deve ser tal que X seja igual pelas duas equações obtidas e pode calcular-se, por
exemplo, por tentativas
1�
( )m
X
①
X
②
1000 40,78 24,86
1200 29,31 27,37
1300 24,04 28,24
1250 26,70 27,83
1240 27,24 27,75
1230 27,78 27,66
1231 27,72 27,66
1232 27,67 27,67
Pretende-se a melhoria da pressão no ponto de cota mínima (relativamente à situação
inicial). Como 5 3 1 15 10p m s m− − −= × , no trecho ②, situação inicial, o valor de 0Q e
, 3 10 0 1Q m s−= e o de ,5 3 1 3 1
1 1232 5 10 0 0616Q m s m s− − −= × × = . Consequentemente, o
caudal equivalente é , , , , ,5
3 1 3 11
768 5 10
0 55 0 0616 0 55 0 0384 0 08272eQ Q P m s m s−
− −
× ×
= + = + × =
������
•••• A perda de carga unitária equivalente é
( ), , ,22 26 7908 0 08272 4 6467 10e eJ Q m m
−= β = × = × e a perda de carga total é
,2 35 69eH J m∆ = =� .
•••• Na situação inicial, a energia (ou a cota piezométrica) disponível na secção em análise é
inicial , ,30 35 69 5 69X m= − = − .