7 - LAJE - EcivilUFES · Laje maciça com vigas . Laje nervurada com vigas. Laje maciça lisa ....

7 - LAJE

Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 63

7.1 - LAJE - DEFINIÇÕES


LAJE - SISTEMAS ESTRUTURAIS DE LAJES MACIÇAS E LAJES NERVURADAS

Lajes Maciças Lajes Nervuradas

Laje maciça com vigas Laje nervurada com vigas

Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje cogumelo nervurada

Laje maciça com capitel Laje cogumelo maciça

Laje nervurada com vigas integradas

[MUSSO]


7.2 - LAJE - ANÁLISE


LAJE - VÃO EFETIVO DE LAJES

[NBR 6118]


LAJE - CRITÉRIO SIMPLIFICADO DE ENGASTAMENTO DE LAJES CONTÍNUAS COM APOIOS LINEARES Esquema 1

Engastar L1 em L2 Engastar L2 em L1 se 0,8a2 < a1

Esquema 2

Engastar L1 em L2 Engastar L2 em L1 se 0,8a2 < a1 e x > 2y/3

Engastar L3 em L2 Exemplo [MUSSO]

L2L1

a1 <

4 m

L1 L3

5 m

5m

vazio

L4

1 m

laje

em

ba

lanç

o

7m

6 m

L2

a2 a2

L1

a1 < a2

L2

a2

x y

vazio

L3

a3

laje

em

ba

lanç

o



LAJE - ÁREAS PARA FORÇA CORTANTE EM LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES

[MUSSO]

a b

45o 45o

45o 45oa/

2 a/

2

[ab-

a2 /2]/2

a2/4

a2/4

[ab-

a2 /2]/2

a/2 a/2

a

b

30o 45o

30o 45o

[(3-

31/2 )a

b-(2

.31/

2 -3)a

2 ]/2

(31/

2 -1)a

/2

(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2

(31/2-1)a2/4

(31/

2 -1)a

/2

(31/2-1)a2/4 [(31/

2 -1)a

b-(2

-31/

2 )a2 ]/2

b/a > 31/2-1 4

a

b

30o 30o

30o 30o

[ab-

31/2 a2 /6

]/2

[ab-

31/2 a2 /6

]/2

31/2a2/12

31/2a2/12

31/2 a/

631/

2 a/6

a/2 a/2

b/a > 31/2/3 7

a

b

30o 45o

45o 60o

(3-3

1/2 )[

ab/2

-a2 /4

]

(3-3

1/2 )a

/2

(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2

(31/2-1)a2/4

(31/

2 -1)a

/2

(3-31/2)a2/4

(31/

2 -1)[

ab/2

-a2 /4

]

a

b

45o 60o

45o 60o

[(3-

31/2 )a

b-3(

2-3

1/2 )a

2 ]/2

(3-3

1/2 )a

/2

(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2

(3-31/2)a2/4

(3-3

1/2 )a

/2

(3-31/2)a2/4

[(31/

2 -1)a

b-(2

.31/

2 -3)a

2 ]/2

b/a > 1 b/a > 3-31/2 5 6a

b

a

45o 30o

45o 30o b/

2 b/

2

b2 /4

b/2

31/2 b2 /1

2

[ab-(31/2+3)b2/12]/2

31/2b/6

[ab-(31/2+3)b2/12]/2

b/a < 3-31/2 6b

a

b

30o 30o

45o

[ab-

(31/

2 +3)

a2 /12]

/2 31/2a2/12

31/2 a/

6a/

2[ab-

(31/

2 +3)

a2 /12]

/2

a2/4

45o

a/2 a/2

a

b

45o 45o

45o 45o

a/2

a/2

[ab-

a2 /2]/2

a2/4

a2/4

[ab-

a2 /2]/2

a/2 a/2

b/a > (31/2+3)/6 b/a > 1 8 9

b

a

30o 30o

30o 30ob/

2 b/

2

31/2 b2 /1

2

31/2b/6

31/2 b2 /1

2

[ab-31/2b2/6]/2

31/2b/6

[ab-31/2b2/6]/2

b/a > 31/2 b/a < 31/2 3a 3b a

b

60o 60o

60o 60o

31/2 a/

2

[ab-

31/2 a2 /2

]/2

31/2a2/4

31/2a2/4

31/2 a/

2

[ab-

31/2 a2 /2

]/2

a/2 a/2

a

b

45o 45o

60o60o

a/2

31/2 a/

2

[ab-

(31/

2 +1)

a2 /4]/2

a2/4

31/2a2/4

a/2 a/2

[ab-

(31/

2 +1)

a2 /4]/2

b

a

45o 45o

30o 30o

(31/

2 -1)b

/2

(3-3

1/2 )b

/2

(31/

2 -1)b

2 /4

(31/2-1)b/2

(31/

2 -1)b

2 /4

[(3-31/2)ab-(2.31/2-3)b2]/2

[(31/2-1)ab-(2-31/2)b2]/2

(31/2-1)b/2

b/a > 1 b/a > (31/2+1)/2 b/a < (31/2+1)/2 1 2a 2b


LAJE - FORÇA CORTANTE EM LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES ( = b/a)

[MUSSO]

a b

45o 45o

45o 45oa/

2 a/

2

pa[1

-1/(

2)]

/2

pa/4

pa/4

a/2 a/2

> 31/2-1 a

b

30o 45o

30o 45o

pa[(

3-31/

2 )-(2

.31/

2 -3)/]

/2

(31/

2 -1)a

/2

(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2

pa(31/2-1)/4

(31/

2 -1)a

/2

pa(31/2-1)/4

pa[(

31/2 -1

)-(2

-31/

2 )/]

/2

4

a

b

30o 30o

30o 30o

pa[1

-31/

2 /(6

)]/2

pa[1

-31/

2 /(6

)]/2

pa31/2/12

pa31/2/12

31/2 a/

631/

2 a/6

a/2 a/2

> 31/2/3 7

> 3-31/2 a

b

30o 45o

45o 60o

pa(3

-31/

2 )[1/

2-1/

(4

]

(3-3

1/2 )a

/2

(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2

pa(31/2-1)/4

(31/

2 -1)a

/2

pa(3-31/2)/4

pa(3

1/2 -1

)[1/

2-1/

(4

]

a

b

45o 60o

45o 60o

pa[(

3-31/

2 )-3(

2-31/

2 )/]

/2

(3-3

1/2 )a

/2

(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2

pa(3-31/2)/4

(3-3

1/2 )a

/2

pa(3-31/2)/4 pa[(

31/2 -1

)-(2

.31/

2 -3)/]

/2

> 1 5 6a

b

a

45o 30o

45o 30o b/

2 b/

2

pa/

4

b/2

pa31/

2 /1

2

pa[-(31/2+3)2/12]/2

31/2b/6

pa[-(31/2+3)2/12]/2

< 3-31/2 6b

a

b

30o 30o

45o

pa[1

-(31/

2 +3)

/(1

2)]

/2 pa31/2/12

31/2 a/

6a/

2

pa[1

-(31/

2 +3)

/(1

2)]

/2

pa/4 45o

a/2 a/2

a

b

45o 45o

45o 45o

a/2

a/2

pa[1

-1/(

2)]

/2

pa/4

pa/4

pa[1

-1/(

2)]

/2

a/2 a/2

> (31/2+3)/6 > 1 8 9

< 31/2 b

a

30o 30o

30o 30o b/

2 b/

2

pa31/

2 /1

2

31/2b/6

pa31/

2 /1

2

pa[-31/22/6]/2

31/2b/6

pa[-31/22/6]/2

> 31/2 3a 3b a

b

60o 60o

60o 60o

31/2 a/

2

pa[1

-31/

2 /(2

)]/2

pa31/2/4

pa31/2/4

31/2 a/

2

pa[1

-31/

2 /(2

)]/2

a/2 a/2

a

b

45o 45o

60o60o

a/2

31/2 a/

2

pa[1

-(31/

2 +1)

/(4

)]/2

pa/4

pa31/2/4

a/2 a/2

< (31/2+1)/2

b

a

45o 45o

30o 30o

(31/

2 -1)b

/2

(3-3

1/2 )b

/2

pa(3

1/2 -1

)/4

(31/2-1)b/2

pa(3

1/2 -1

)/4

pa[(3-31/2)-(2.31/2-3)2]/2

pa[(31/2-1)-(2-31/2)2]/2

(31/2-1)b/2

> 1 > (31/2+1)/2 1 2a 2b

pa[1

-1/(

2)]

/2

pa[1

-(31/

2 +1)

/(4

)]/2

LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES ( = 0,2) multiplicar

[MUSSO]


LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES ( = 0,2) dividir

[MUSSO]


LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES - ( = 0,0)

[CZERNY]


LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES - ( = 0,15)

[BARES]


LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON

[BARES]



[BARES]


LAJE - MOMENTOS E FLECHAS EM LAJE COM APOIOS INTERNOS PONTUAIS - PAINEL DE CANTO

[EISENBIEGLER]


7.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)


LAJE - DIMENSÕES LIMITES DE LAJES

[NBR 6118]


7.3.1 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M)


LAJE - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (ELU-M) As área da seção da armadura longitudinal fyk resistência característica de escoamento do aço tracionada h altura da seção transversal

sA área da seção da armadura longitudinal Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo comprimida Md,lim momento fletor de cálculo máximo com

As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal armadura simples tracionada MG momento fletor da ação permanente G

As,lim área da seção da armadura tracionada MQ momento fletor da ação variável Q correspondente a Md,lim T força de tração na armadura longitudinal b largura da seção transversal x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU) C força de compressão no concreto xlim profundidade máxima da linha neutra para d altura útil da seção transversal ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) distância do centróide da armadura tracionada à z braço de alavanca (braço do binário) borda comprimida da seção transversal c encurtamento da fibra extrema de concreto

d distância do centróide da armadura comprimida yd fyd/Es deformação de escoamento do aço à borda comprimida da seção transversal s alongamento da armadura tracionada

d h - d s encurtamento da armadura comprimida dlim altura útil mínima com armadura simples x/d profundidade da linha neutra adimensional Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço 0,8 coeficiente de redução da altura comprimida fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à da seção (diagrama retangular x parabólico) compressão 0,85 coeficiente de redução da resistência de

fck resistência característica do concreto à cálculo do concreto à compressão compressão aos 28 dias Md/(bd2fcd) momento fletor adimensional

fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento sd tensão de compressão na armadura longitudinal do aço

A – Momento fletor de cálculo máximo com armadura simples (dados b, d e fck, obter Md,lim)

Modelo resistente à momento fletor no estado limite último

fck < 35 MPa > 35 MPa Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) xlim 0,5d 0,4d A1

Md,lim cd2fbd272,0 cd

2fbd22848,0 A2

As,lim ydcd f/bdf34,0 ydcd f/bdf272,0 A3

B – Altura útil mínima da seção com armadura simples (dados Md e b, obter dlim)

fck < 35 MPa > 35 MPa

dlim cd

d

bf272,0

M

cd

d

bf22848,0

M B1

C - Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Md, b, d, fck e fyk, obter As e As’) Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim)

cd2

d

fbd425,0

M11d25,1x C1

ydcds f/bxf68,0A C2

bhf/f035,0%;15,0máximoA ydcdmín,s C3

fck MPa 20 25 30 35

(a) )2/xd(fxb)x(fCzM cdd

(b) ydcdscdyds f/fxbAoufxbCfAT

:fbd)a( cd2

d2

x1

d

x

fbd

M

cd2

d ou

cd2

dd

22

fbd

M211

d)M(fxou211)c(

0)(2/)(2/)()(2/1

As,mín/(bh) 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% Armadura dupla (seção com As e ; Md > Md,lim; x = xlim) sA

b

Armadura dupla (seção com As e ; Md > Md,lim; x = xlim) sA

)dd(f

MMAA

yd

lim,ddlim,ss

C4

)dd(

MMA

sd

lim,dds

C5

ydsydsd sef ; ydssssd seE C6


s )d/d5,0(007,0 )d/d4,0(00875,0 C7fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa yd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ C8

(d) lim,ddlim,dd MMMouMMM

(e) )]dd(/[MAou)dd(AM sdssds

(f) ydsdslim,sssdsydlim,syds f/AAAouAfAfA

[MUSSO]

x

Md

x

T = Asfyd

C = bxfcd

2/xdz

fcd

h d

As LN

fcd

d

xlim

Md

Asfyd

sdsA

=

sdsA

sdsA

M

d-d´

As,limfyd

Md,lim

xlim

+

fcd fcd

d

b

As

LN

d

sAc = 3,5‰

d

xlim

s

d s

d

lim

lim

s

x

‰5,3

dx


LAJE - PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR

[MUSSO]


LAJE - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR

[MUSSO]


LAJE - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR

[MUSSO]


LAJE - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T À MOMENTO FLETOR (ELU-M) (hf < xlim ; = 0,8 ; = 0,85) A - Momento fletor resistido pela mesa comprimida (MRf) B - Momento fletor máximo com armadura simples (Md,lim)

)2/hd(fhbCzM fcdffRf A1 )2/xd(fxb)2/hd(fh)bb(

zCzCMMM

limcdlimwfcdfwf

wwaalim,walim,d

B1

C - Profundidade limite da linha neutra (xlim) xlim = 0,5d se fck < 35 MPa xlim = 0,4d se fck > 35 MPa C1 D - CASO 1 – Seção T com Md < MRf (parte da mesa comprimida) G - Armadura mínima para seção T (As,mín)

armadura simples seção retangular com Md e b = bf A)f/f024,0%;15,0(máximoA ydcdmín,s G1

bf bf

fck MPa 20 25 30 35 As,mín/A 0,15% 0,15% 0,15% 0,15%

hbh)bb(A wfwf (área da seção T) G2

H - Tensão na armadura comprimida )( sd

)(f ydsydsd ; )(E ydssssd H1


s

d

d5,0007,0

d

d4,000875,0 H2

cd2

f

d

fdb425,0

M11d25,1x D1

fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa

sA

mín,sydcdfs Af/xfb68,0A D2 yd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ H3

E - CASO 2 - Seção T com MRf < Md < Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas) Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida)

abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) armadura simples )2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa E1 adw MMM E4

ff h25,1

hx

E2

cd2

w

w

fdb425,0

M11d25,1x E5

was AAA

ydcdwfa f/xf)bb(68,0A E3 ydcdww f/xfb68,0A E6

F - CASO 3 - Seção T com Md > Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas) Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida)

abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) armadura dupla

)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa F1 adw MMM F4

)2/xd(fxbM limcdlimwlim,w F5

ydcdlimwlim,w f/fxb68,0A F6 f

f h25,1h

x

F2

)dd(

MA

sds

; lim,ww MMM F7

was AAA

sA

ydcdwfa f/xf)bb(68,0A F3 ydsdslim,ww f/AAA F8

[MUSSO]

x

MRf

x = hf

T = Asfyd

C = bf hffcd

z = d - hf /2

fcd

h d

As

LN

bw

hf xlim

Md,lim

xlim

T = As,limfyd

Ca = (bf - bw)hffcd

za = d - hf /2

fcd

h d

As LN

bw

hfa w aCw = bwxlimfcd

zw = d - xlim /2

bf bf

h d

bf

As

bw

hf

Md Ma

bf - bw

Aa

hf

d

bw

Aw

x

Mw d

Ma

bf - bw

Aa

hf

d

h d

As

bw

hf

Md d

As

x

Md

bf bw

h d

As

bw

hf

Md d

sA

Aw

xlim

Mw

sA

d

d

sdsA

sdsA

M

d-d´+Aw,limfyd Mw,lim

bwxlimfcd

=


LAJE - LARGURA COLABORANTE DA MESA DE SEÇÃO T

[NBR 6118]


7.3.2 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V)


LAJE - VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE SEM ARMADURA TRANSVERSAL (ELU-V)

As área da seção da armadura longitudinal tracionada k1 1,6 – d > 1 d em m parâmetro k1

b largura da seção transversal 100 cm no caso de laje maciça 100bn/en no caso de laje nervurada

Vd 1,4(VG + VQ) força cortante solicitante de cálculo

bn largura da nervura, no caso de laje nervurada VRd1 força cortante resistente de cálculo por tração diagonal do concreto

d altura útil da seção transversal distância do centróide da armadura tracionada à borda comprimida da seção transversal

VRd2 força cortante resistente de cálculo máxima por compressão diagonal das bielas de concreto

en espaçamento entre nervuras, no caso de laje nervurada

VG força cortante da ação permanente G

fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão

VQ força cortante da ação variável Q

fck resistência característica do concreto à compressão aos 28 dias

0,6(1 – fck/250); fck em MPa coeficiente de redução da resistência do concreto fissurado por força cortante

fctd fctk/1,4 resistência de cálculo do concreto à tração

1 As/(bd) < 0,02 taxa geométrica de armadura longitudinal tracionada

fctk 0,7fctm resistência característica do concreto à tração

Rd 0,25fctd tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento

fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa)

resistência média do concreto à tração ângulo das bielas comprimidas de concreto

h altura da seção transversal A – Força cortante resistente de cálculo por tração do concreto (dados b e d, obter VRd1; Vd < VRd1) VRd1 bd)402,1(kV 11Rd1Rd A1

Rd 3/2

ckctd f0375,0f25,0 (fck em MPa) A2

k1 1d6,1 d em m A3

1 02,0bd

A s A4

fck MPa 20 25 30 35 40 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 3,509 fctk MPa 1,547 1,795 2,028 2,247 2,456 fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605 1,754 Rd MPa 0,2763 0,3206 0,3621 0,4012 0,4386 B – Força cortante resistente de cálculo por compressão do concreto (dados b e d, obter VRd2; Vd < VRd2)

cálculo simplificado (�= 45o)

refinado ( = 30o-45o)

VRd2 cdfbd45,0 2senfbd45,0 cd B1

fck MPa 20 25 30 35 40 0,552 0,540 0,528 0,516 0,504

bd

V 2Rd 45o 0,355 0,434 0,509 0,581 0,648

bd

V 2Rd 30o 0,307 0,376 0,441 0,503 0,561

obs.: VRd2/(bd) em kN/cm2

[MUSSO]


7.3.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO


LAJE - ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO (ELU-PUNÇÃO) O que é punção? Punção é a ruptura local por cisalhamento, resultante de uma força concentrada (carga ou reação) atuando em uma área relativamente pequena, chamada de “área carregada” Ruptura por punção de laje em concreto armado

Sistemas estruturais de lajes onde se deve verificar a resistência à punção

Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje maciça com capitel

Ensaio de resistência à punção

1908 2006

Modelo para verificação da resistência à punção

Corte Planta

Perímetros básicos u1 típicos em torno de áreas carregadas

O perímetro básico u1 geralmente é definido a uma distância 2d da área carregada e deve ser construído de modo a minimizar seu comprimento [MUSSO]


LAJE - ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO - COMPARAÇÂO ENTRE NORMAS

[MUSSO]


7.4 - LAJE - VERIFICAÇÃO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)


7.4.1 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF)


LAJE - VERIFICAÇÃO DE FLECHA EM LAJE DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-DEF) As área da seção da armadura longitudinal Lbal comprimento do balanço tracionada MG momento fletor da ação permanente G

sA área da seção da armadura longitudinal MQ momento fletor da ação variável Q comprimida MQP MG + 2MQ momento fletor da ação quase

b largura da seção transversal permanente pQP (momento positivo no vão; d altura útil da seção transversal momento no engaste, no caso de balanço) distância do centróide da armadura tracionada Mr Wcfctf momento fletor de fissuração à borda comprimida da seção transversal n Es/Ecs razão entre os módulos de elasticidade

d distância do centróide da armadura comprimida do aço e do concreto à borda comprimida da seção transversal pQP G + 2Q ação quase permanente

d h - d Q ação variável Ecs 4760fck

1/2 MPa módulo de elasticidade secante x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 do concreto xc profundidade da linha neutra da seção bruta

Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço distância do centróide da seção bruta à fibra fck resistência característica do concreto à extrema comprimida compressão aos 28 dias t tempo que se deseja calcular a flecha (meses)

fctf fctm resistência do concreto à tração na flexão to idade do concreto ao entrar em carga (meses) fctm 0,3fck

2/3 (fck em MPa) resistência média do yt h - xc distância do centróide da seção bruta à concreto à tração fibra extrema tracionada

fdiferida flecha do efeito da fluência do concreto Wc Ic/yt (bh2/6 para seção retangular) felástica flecha obtida com p = pQP, E = Ecs e I = Ic módulo resistente da seção bruta fimediata flecha da viga ao entrar em carga 1,0 (EC2); 1,5 seção retangular (NBR 6118) flimite flecha máxima para limitar efeito visual f coeficiente para levar em conta a fluência do

desagradável concreto no cálculo da flecha diferida ftot al fimediata + fdiferida flecha total 2 0,3 para edifícios residenciais G ação permanente 0,4 para edifícios comerciais, de escritórios, h altura da seção transversal estações e edifícios públicos I2 momento de inércia da seção no estádio 2 0,6 para bibliotecas, oficinas e garagens Ic bh3/12 para seção retangular fator de redução da ação variável para momento de inércia da seção bruta combinação de ação quase permanente

Ie momento de inércia efetivo da seção ’ As’/(bd) taxa geométrica de armadura L vão entre apoios longitudinal comprimida

A – Flecha elástica F - Parâmetros auxiliares

elásticaf fck MPa 20 25 30 35 (ver flechas em diversos sistemas)

A1 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210

B – Flecha imediata fctf,EC2 MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 Ecs MPa 21287 23800 26072 28161 n = Es/Ecs 9,865 8,824 8,055 7,457

e

celásticaimediata I

Iff B1

G – Seção equivalente (seção fissurada – estádio 2) seção fissurada (MQP > Mr)

2

3

QP

rc

3

QP

re I

M

M1I

M

MI

(BRANSON) B2

seção não fissurada (MQP < Mr)

ce II B3

C – Flecha diferida

imediatafdiferida ff C1

seção real seção equivalente de concreto

'501

)t()t( of

C2

b

)a2/(]aa4aa[x 1312

222 G1

)meses70t( 32,0t t)996,0(68,0 2/ba1 G2

)meses70t( 2 C3

ss2 A)1n(nAa G3

t meses 1 3 6 12 > 70 dA)1n(dnAa ss3 G4

(t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00 D – Flecha total

itelimdiferidaimediatatotal ffff D1

22s

22s

32

2 )dx(A)1n()xd(nA3

bxI G5

E – Flecha limite

250

Lf itelim (L = 2Lbal, no caso de balanço) E1

profundidade da l. neutra

iii AAxx

momento de inércia

)AI(I 2iii

[MUSSO]

d

As

LN

d b

sA x2

d

nAs

LN

d

x2(n-1) sA

d-x2


LAJE - SEÇÃO EQUIVALENTE DE CONCRETO (SEÇÃO HOMOGENEIZADA OU TRANSFORMADA)

No estado limite de serviço de deformações (ELS-DEF), tanto o concreto quanto o aço tem comportamento linear. Assim, a área [A+(n-1)As] é uma área fictícia só de concreto (seção equivalente), que quando submetida a tensão c resulta na mesma carga P que atua na seção real composta de concreto e aço

MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO BRUTA IC E MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO FISSURADA I2 Seção real Seção bruta de concreto Seção fissurada (estádio 2 puro)

Arm

adur

a S

impl

es

)a2/(]aa4aa[x 131

2222 (3)

2/ba1

s2 nAa

dnAa s3

22s

32

2 )xd(nA3

bxI (4)

Arm

adur

a D

upla

2

hxc (1)

12

bhI

3

c (2)

)a2/(]aa4aa[x 131

2222 (5)

2/ba1

ss2 A)1n(nAa

dA)1n(dnAa ss3

22s

22s

32

2 )dx(A)1n()xd(nA3

bxI

(6)

Arm

adur

a S

impl

es

f131

2222 h)a2/(]aa4aa[x (9)

2/ba w1

sfwf2 nAh)bb(a

dnA2/h)bb(a s2

fwf3

22s

2f

2fwf

3fwf

32w

2

)xd(nA2

hxh)bb(

12

h)bb(

3

xbI

(10)

Arm

adur

a D

upla

fwfw

2fwf

2w

c h)bb(hb

h)bb(hb

2

1x (7)

2f

cfwf

3fwf

2

cw

3w

c

2

hxh)bb(

12

h)bb(

x2

hhb

12

hbI

(8)

f131

2222 h)a2/(]aa4aa[x (11)

2/ba w1

ssfwf2 A)1n(nAh)bb(a

dA)1n(dnA2/h)bb(a ss2

fwf3

22s

2f

2fwf

3fwf

32w

2

)xd(nA2

hxh)bb(

12

h)bb(

3

xbI

22s )dx(A)1n(

(12)

Obs.: )AI(inérciademomentoI;A/Aixneutralinhadadeprofundidax 2iiiii

[MUSSO]

d h As

b

d h

As’

As

b

d´

bw

As

bf

hf d h

h

b

xc

LN

bw

bf

hf

h

xc

LN

bw

As

bf

hf d d´

h

As’

bw

nAs

bf hf

d d´

x2

(n-1)As’

LN

dnAs

b

x2

LN

bw

nAs

bf

hf d

x2

LN

d

(n-1)As’

nAs

b

d´x2

LN

cs

scc

cs

ss

cs

cc

s

ss E

Enonden

E

E

EE

]A)1n(A[)nAA(AnAAAP scsccscccsscc

nAs

P As

Ac A

(n-1)As

P Ac

s = c A

equivalente real s

Es 1

s aço

c

Ecs 1

c concreto


LAJE - TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T

[MUSSO]


LAJE - GRÁFICO DE PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2

[MUSSO]


LAJE - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2

[MUSSO]


LAJE - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA EFETIVO DE SEÇÃO RETANGULAR - BRANSON

[MUSSO]


7.4.2 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)


LAJE - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)

Momento de Fissuração Mr,w Momento Fletor de Cálculo MF É o valor do momento fletor que produz na seção bruta (secão de concreto desprezando armadura) uma tensão igual a fct,f na fibra extrema tracionada

MF = MGk + 1MQ1k + n2jMQjk (1)

(combinação freqüente) W,ctcW,r fWM (2)

MGk parcela permanente Wc módulo resistente da seção bruta em relação a 1MQ1k parcela variável principal fibra extrema tracionada (3) tc y/I

)gulartanreseção(f05,1 ctm

n2jMQjk demais parcelas variáveis Ic momento de inércia da seção bruta yt distância do centróide à fibra ext. tracionada

Tabela 1 – Coeficientes 1 e 2 fct,W resistência do concreto à tração na flexão Finalidade da Estrutura

Seção não Fissurada (Estádio 1) wk = 0

Módulo de Elasticidade do Aço Es e Módulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs

aço Es = 210.000 MPa (11) concreto MPa (12) 2/1ck

2/1ckcics f4760f)5600(85,0E85,0E

Verificação da Segurança ELS-W

wk < wlim (15)

[MUSSO]

1 2 (módulo de ruptura) (MPa) edifício residencial 0,4 0,3 (NBR 6118) (4a) edifício comercial 0,6 0,4 )Tseção(f84,0 ctm (NBR 6118) (4b) biblioteca; oficina; garagem 0,7 0,6

)2EC(fctm (4c)

MF < Mr,w ? Não Sim

Seção Fissurada (Estádio 2)

)6(454

E5,12w);5(

f

3

E5,12w

rs

s

12

ctm

s

s

s

11

)w;w(mínimow 21k

Área de Envolvimento Acr (7)

wk abertura de fissura característica diâmetro da barra da armadura longitudinal 1 coeficiente de conformação superficial da barra s tensão no aço tracionado no estádio 2 Es módulo de elasticidade do aço fctm resistência média do concreto à tração = 0,3fck

2/3 (MPa) (8) r taxa de armadura As na região de envolvimento Acr

= As/Acr (9) As área de aço da armadura longitudinal tracionada Acr área da região de envolvimento

Acr = mín[(y+7,5; h/2].b (10)

d h Acr

b

7,5

< h/2 y

Tabela 2 - Coeficiente de Conformação Superficial 1Tensão no Aço Tracionado na Tipo de Barra 1 Seção Fissurada s (Estádio 2 puro)

)xd(I

Mnn 2

2

Fcs lisa (CA-25) 1,00 (14)

n razão Es/Ecs (13) MF momento fletor para combinação frequente

entalhada (CA-60) 1,40

I2 momento de inércia da seção no estádio 2 alta aderência (CA-50) 2,25 d altura útil da seção x2 profundidade da linha neutra no estádio 2

x2; I2 (ver ELS-DEF)

Tabela 3 - Abertura de Fissura Limite wlim Classe de

wlim (mm) Agressividade Agressividade Tipo de Ambiente Ambiental

I fraca rural ou submerso 0,4 II moderada urbano

0,3 III forte marinho ou industrial IV muito forte indústrias químicas ou respingos de maré 0,2


7.5 - LAJE - EXEMPLOS


7.5.1 - LAJE MACIÇA - EXEMPLOS


LAJE MACIÇA QUADRADA COM APOIOS SIMPLES

[MUSSO]


LAJE MACIÇA QUADRADA COM DOIS APOIOS ADJACENTES ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES

[MUSSO]


LAJE MACIÇA QUADADA COM APOIOS ENGASTADOS

[MUSSO]


LAJE MACIÇA RETANGULAR COM APOIOS SIMPLES

[MUSSO]


LAJE MACIÇA RETANGULAR COM DOIS APOIOS ADJACENTES ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES

[MUSSO]


LAJE MACIÇA RETANGULAR COM APOIOS ENGASTADOS

[MUSSO]


7.5.2 - LAJE NERVURADA - EXEMPLOS


LAJE NERVURADA QUADRDA COM APOIOS SIMPLES

[MUSSO]


LAJE NERVURADA QUADRADA COM DOIS APOIOS ADJAC. ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES

[MUSSO]


LAJE NERVURADA QUADRADA COM APOIOS ENGASTADOS

[MUSSO]


LAJE NERVURADA RETANGULAR COM APOIOS SIMPLES

[MUSSO]


LAJE NERVURADA RETANGULAR COM DOIS APOIOS ADJAC. ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES

[MUSSO]


LAJE NERVURADA RETANGULAR COM APOIOS ENGASTADOS

[MUSSO]


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