6.Valor Esperado

8/17/2019 6.Valor Esperado

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1

6. Média, Variância, Momentos e Função Característica

A função densidade de probabilidade de uma v.a X,representa uma informação complete a respeito da v.a. X ee de todo subconjunto B mapeado sobre o eixo- x

Se é desejado representar-se alguma informação maisdetalhada ou caracterizar, por exemplo, o comportamentomédio de uma v.a. X , então é necessário introduzir nestecontexto dois importante parâmetros que são: média evariância, que são usados para caracterizar todas as propriedades de uma v.a. X e de sua função densidade de probabilidade,

( ) !

=" B

X dx x f B X P .)()(#

(6-1)

).( x f X

).( x f X


2/21

2

A Média ou Valor Esperado de uma v.a. X é definidocomo:

Se X é uma v.a. do tipo discreta, então

Portanto, a média representa o valor de uma v.a. mais provável de ocorrer, quando um número muito grande de

um dado experimento é repetido. Por exemplo, se X é umav.a. uniformemente distribuída no intervalo (a,b), o valormédio é dado por:

! "+

"#===

.)()( dx x f x X E X X X $

.)(

)()()(

1

!!

! " " !

===

#=#===

iii

iii

iiii

iii X

x X P x p x

dx x x p xdx x x p x X E X ! ! "! ! #$

$ $ %

!

+=

"

"=

"=

"=

b

a

b

a

ba

ab

ab x

abdx

ab

x X E

2)(22

1)(

222


3/21

3

Por outro lado, se X é exponencial com parâmetro , então

Se X é v.a. de Poisson com parâmetro , então

Para uma v.a. X com f.d.p. binomial:

! ! " ##"

===

0

/

0,)( $ $

$

$ dy yedxe x

X E y x

!

.!)!1(

!!)()(

01

100

! ! !

! !

! !

! ! ! !

! !

===

"=

====

"#

=

"#

=

"

#

=

"#

=

"#

=

$$

$$$

eei

ek

e

k k e

k kek X kP X E

i

i

k

k

k

k

k

k

k

!

.)(!)!1(

)!1()!1()!(

!

!)!(!

)()(

111

01

100

npq pnpq piin

nnpq p

k k nn

q pk k n

nk q p

k

nk k X kP X E

ninin

i

k nk n

k

k nk n

k

k nk n

k

n

k

=+=

!!!

=

!!=

!=""#

$%%&

'===

!!!!

=

!

=

!

=

!

==

((

(((


4/21

4

Quando X é uma v.a. gaussiana,

.2

1

2

1

)(2

1

2

1)(

1

2/

2

0

2/

2

2/

2

2/)(

2

2222

2222

µ !"

µ !"

µ !" !"

" "

" " µ

=#+=

+==

$ $

$ $ %+

%&

&%+

%&

&

%+

%&

&%+

%&

&&

! ! ! "! ! ! #$! ! "! ! #$

dyedy ye

dye ydx xe X E

y y

y x

Se representa uma nova v.a. com f.d.p. então o valor médio de y é dado por:

)( X g Y = ).( y f Y

! "+

"#==

.)()( dy y f yY E Y Y µ

Mas, para calcular é necessário determinarRelembrando que, para qualquer y,

onde xi representa as múltiplas soluções de

),(Y E ).( y f Y

( ) ( ),! "+#


5/21

5

Pode -se escrever queonde são intervalos que não se sobrepõe, então

Então fazendo tem-se:

Para o caso discreto a expressão reduz-se a:

Exemplo: Se X é uma v.a. de Poisson, determine o valormédio de

( )iii x x x !+ ,

,)()()()( ii

i X iii

i X Y x x f x g x x f y y y f y !=!=! ""

( ) ! ! "+

"#

"+

"#===

.)()()()()( dx x f x g dy y f y X g E Y E X Y

).()()( ii

i x X P x g Y E == !

.2 X Y =

,0!" y

,)()( ii

i X Y x x f y y f !=! "

)())(()( 2 X E X g E Y E ==


6/21

6

( )

( ) . !)!1(

!!!

!)1()!1(

!!)(

2

0

1

1

10 0

0

1

1

1

2

0

2

0

22

! ! ! !

! ! ! !

! !

! ! !

! !

! !

! ! !

! ! ! !

! ! !

! !

! !

+=+=

""#$%%&

' +=""#$%%&

' +(

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""#

$%%&

'+=""#

$%%&

'+=

+=(=

====

(

)

=

+

()

=

(

)

=

()

=

)

=

(

)

=

+

()

=

(

)

=

()

=

()

=

**

** ***

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eee

em

eei

e

ei

ieii

ie

iiek k e

k k e

k ek k X P k X E

m

m

i

i

i

i

i i

ii

i

i

k

k

k

k

k

k

k

Em geral, é conhecido como ok-ésimo momento dav.a. X .

é o segundo momento da v.a. de Poisson.

k X E

! ! += 22 )( X E


7/21

7

A média sozinha não caracteriza totalmente a f.d.p. de umv.a.. Para ilustrar este fato, considere duas variáveisaleatórias gaussianas, ~ e ~ isto é,ambas tem média no entanto suas f.d.p.’s sãodiferentes, como pode ser visto na figura abaixo. Uma émais concentrada torno da média, enquanto a outra é maidispersa. Claramente, há necessidade de um outro parâmetro para caracterizar as f.d.p.’s das variávelaleatórias X 1 e X 2 . O parâmetro que caracteriza essadispersão em torno da média chama-se variância.

(0,1) 1 N X (0,10), 2 N X

,0=µ

)(11

x f X

1 x

12

=! (a)

)( 22 x f X

2 x

102 =! (b)


8/21

8

Para uma v.a. X com média representa odesvio da v.a. em relação à média. Uma vez que esse desv pode ser positivo ou negativo, considera-se entãocujo valor esperado representa o valor médioquadrático dos desvios em torno da média. Definindo

e considerando que tem-se:

é conhecido como a variância da v.a. X , e a sua raizquadrada é conhecido como desvio padrãde v.a. X . Assim o desvio padrão está relacionado com araiz quadrada do espalhamento de uma v.a. em torno damédia .

µ µ ! X ,

( ) ,2µ ! X ( ) ][ 2µ ! X E

( ) .0][ 22 >!= µ " X E X

2)()( µ != X X g

.0)()( 22

>!= " #+

#!dx x f x X X µ $

2

X ! 2)( µ ! "= X E X

.µ

!


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9

Expandindo a equação e usando a propriedade dalinearidade tem-se:

Que pode ser usado como outra alternativa para calcular

Assim, por exemplo, retornando à v.a. de Poisson, pode-scalcular a variância da v.a. X .

Assim, para a v.a. de Poisson, a média e a variância são

ambas iguais ao parâmetro

( )

( ) ( ) [ ] .)(

)(2)(

)(2)(

22 ___

2222

2

2

222

X X X E X E X E

dx x f xdx x f x

dx x f x x X Var

X X

X X

!=!=!=

+!=

+

!==

" " " #+

#!

#+

#!

#+

#!

µ

µ µ

µ µ $

.2 X

!

( ) .22 ___

22 2 ! ! ! ! " =#+=#= X X X

.!


10/21

10

Determinação da variância de uma variável aleatória comdistribuição normal

Para simplificar, pode-se usar a identidade

Então,

Diferenciando ambos os lados da equação a tem-se:

ou

( ) .2

1])[()(

2/)(

2

22 22

!

"+

"#

###=#= dxe x X E X Var x $ µ %$

µ µ

),,( 2! µ N

! ! "+

"#

##"+

"#==

2/)(

2

1

2

1)(

22

dxedx x f x X $ µ

%$

! "+

"#

##=

2/)( .222

$ % $ µ dxe x

! "+

"### =#

2/)(3

2

2)(22

$ %

µ % µ dxe x

x

( ) ,2

1 2

2/)(

2

2 22!

"! µ

! µ =# $

%+

%#

## dxe x x

,!

2)( ! = X Var Portanto:


11/21

11

Momentos: o momento de uma v.a. X é definido como:

e é conhecido como momento central dv.a. X (momento em relação a média). Assim e

Relação entre e

Em geral a quantidade é conhecida comomomento generalizado de X em relação a a eé conhecida como momento absoluto de X.

1m=µ .2

2µ ! =

nmnµ

( ) .)( )(

)(])[(

00

0

k n

k

n

k

k nk n

k

k nk

n

k

nn

mk

n X E

k

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X k

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!

=

!

=

!

=

!""$

%%'

=!""$

%%'

=

""#$%%&

' !""#$%%&

'=!=

((

(

µ µ

µ µ µ

])[( na X E !

]|[| n X E

1 ),( ___

!== n X E X m nnn

])[( nn X E µ µ !=


12/21

12

Caso particular: Variável aleatória gaussiana!

Função Característica A função característica de uma v.a. X é definida como:

Assim para todo

Para variáveis aleatórias discretas a função característica v.a. X é dada por:

!"#

$%=

par. ,)1(31

ímpar, ,0)(

nn

n X E

n

n

& !

!"

!#$

+=

%&=

+ ímpar. ),12(,/2!2

par, ,)1(31)|(| 12 nk nk

nn X E

k k

nn

' (

( !

),,0( 2! N X

( ) !

+ "

"#

==$ .)()( dx x f ee E X jx jX

X % %

%

,1)0( =! X 1)( !" # X .!

! ==

"k

jk X k X P e ).()(

#

#


13/21

13

Função característica: Exemplos

Variável aleatória discreta com distribuição de Poisson.

.!

)(!

)( )1(0 0

!!"

=

"

=

!!====# $ $

% % & & &

%

& & % & & % j j ee

k k

k jk jk

X eeek ee

k ee

.)()()(00

n jn

k

k nk jn

k

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nq pk ne +=!!"

#$$%&=!!"

#$$%&=' ((

=

)

=

) * * * *

Variável aleatória discreta com distribuição binomial

Variável aleatória uniforme X~U(a, b).

)-()(11

)a jb jb

a

x j X eeab jdxabe(

!" ! ! !

! "=

"=

# Se X é uniformemente distribuído no intervalo(-a, a).

!

!

!

! ! !

a

aee

a j

a ja j X

)sen()(

2

1)( ="=# "


14/21

14

.2

1 )(

2

1

) que tal (fazendo

2

1

2

1

)(fazendo 2

1)(

)2/(

2/

2

2/

2/))((

2

22

)2(2/

2

2/

2

2/)(

2

222222

222

2222

22

! " µ ! " ! " µ !

" ! " ! " µ !

! " " µ ! " ! µ !

" µ !

#"

!

#"

! " ! "

#" #"

µ #"

!

$%+

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$+$

%+

%$

$$%+

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$

%+

%$

$$

==&

=

+==$

==

=$=&

' '

' '

'

ju j X

ju ju j

j y y j y y j j

x x j X

edueee

duee

ju yu j y

dyeedyeee

y xdxee

Se X é uma variável aleatória Gaussiana com média zerovariância a função característica é dada por:

,2

1)(

22 2/

2

!

"!

x X e x f

#=.)( 2/

22! "

! #

=$ e X

Função característica de uma v.a. gaussiana ~ ),,( 2! µ N X

,!

2


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15

A função característica de uma variável aleatória é tambémchamada de função geradora de momentos. Para ilustrar e propriedade, considere a representação em série de .

Tomando-se a primeira derivada com relação a! , no ponto

Similarmente, para a segunda derivada

( )

.!

)(

!2

)(

)(1

!)(

!)(

)(

22

2

00

!! +++++=

=!"

#$%

&==' ((

)

=

)

=

k k

k

k

k k

k

k

k jX

X

k

X E

j

X E

j X jE

k X E

jk X j

E e E

* * *

* *

* *

.)(1

)(or)()(

00 == !

"!==

!

"!

# # #

#

#

# X X

j X E X jE

,)(1

)(0

2

2

2

2

=!

"!=

# #

# X

j X E

)( !" X

0=!


16/21

16

Repetindo este procedimentok vezes obtém-se ok-ésimo momento de X, ou seja:

Cálculo da média e da variância de uma v.a. X comdistribuição de Poisson. !

.1 ,)(1

)(0

!

"

#"=

=

k j

X E k X

k

k k

$ $

$

,)( ! " " " !

! ! je X jeee

j#=

$%$

).( ! P X )1()( !="# $ #

je X e

! "

"

"

=

#

$#=

= 0)(1)( X

j X E

( ),)()( 2222

! " ! " " " " !

! ! ! je je X e je jeee j j

+=#

$# %

! ! ! ! "

"

"

+=+=

#

$#=

=

22222

02

2

22 )(

1)(1)( j j

j j X E X

! ! ! ! E(X) ) E(X " =!+=!= 22222Mas,


17/21

17

Variável aleatória com distribuição binomial

Função característica:

1)()( !+="

#" n j j X q pe jnpe $ $ $

$

n j X q pe )()( +=!

" "

np j

X E X =!

"!=

= 0

)(1)(#

#

#

( )221222

)()1()()( !!

+!++=

"

#" n j jn j j X q pe penq peenp j $ $ $ $

$

$

( ) .)1(1)(1)( 220

2

2

22 npq pn pnnp

j X E X +=!+=

"

#"=

=$ $

$

.)()( 2222222

npq pnnpq pn X E X E X =!+=!="


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18

Em alguns casos, a média e a variância pode não existir. Pexemplo, considere uma v.a. de Cauchy: ,)/()( 22 x x f X += !

" !

! ! "+

"#

"+

"# "=

$$%

&

''(

)+#

=

+

=

22

2

22

22 ,1)( dx

xdx

x

x X E

*

*

+

*

* +

*

.)(

22 ! "+

"# += dx

x

x X E

$ %

$

Avaliando o lado direito da integra

.

0 22 ! "+

+

dx x

x

# ! " tan= xfazendo

,2

coslogcoslogcos

)(cos

cossin

secsectan

2/

0

2/

0

2/

0

2

0

2/

0 2222

!"=!=!=!=

==

+

#

# # # "+

$ %

%

%

% %

% % % &

% &

% &

&

$ $

$ $

d

d d dx x

x

Como as integrais não convergem a média e a variância sãindefinidas.Será visto em seguida um limitante que estima a dispersãov.a. centrado em torno da média.


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19

Desigualdade de Chebychev

Considere um intervalo de largura 2" simetricamentecentrado em torno da médiaµ com mostrado na figura.Qual é a probabilidade de X ser encontrado fora desteintervalo?

Ou seja

Tomando-se a definição de variância

( ) ? || ! µ "# X P µ

! 2

! µ " ! µ + X

X

[ ]( ).||)()(

)()()()()(

2

||

2

||

2

||

2

222

! µ ! ! !

µ µ µ "

! µ ! µ

! µ

#$###

$#$=$=

% %

% %

#$#$

#$

&+

&$

X P dx x f dx x f

dx x f xdx x f x X E

x X x X

x X X

Portanto: (desigualdade de Chebychev ( ) ,|| 22

!

" ! µ #$% X P


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20

Observe que, para calcular a probabilidade,não há necessidade de se conhecer f X (x). É necessárioconhecer somente a variância da v.a. X. Em particular,se então:

( ) ,|| 22

!

" ! µ #$% X P

,2!

( ) .1|| 2k k X P !"# $ µ

,k ! " =

Se k=3, a probabilidade da v.a. X ser encontrada fora dointervalo 3" em torno de sua média é de 0,111 paraqualquer v.a. Obviamente que este limite não deve serrigoroso quando se inclui todas as v.a.’s . Por exemplo pa

uma v.a. gaussiana com tem-se:

Que é muito mais estreito do que o limitante dado pela

desigualdade de Chebychev.

)1,0( == ! µ

( ) .0027.03|| =! " X P


21/21

21

Assim comk = 3, estima-se que a probabilidade de X seencontrar for a do intervalo de 3" em torno de sua média éigual é 0.111 para uma dada v.a. Obviamente que isto não pode ser que inclui todas as v.a’s. por exemplo, no caso duma v.a. Gaussiana, tem-se (Table 4.1)

Que é mais do que aquele dado em (6-56). A desigualdadde Chebychev sempre subestima a probabilidade.

( ) .0027.03|| =! " X P (6-57))1,0( == ! µ

6.Valor Esperado

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