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PR-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMTICA

Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br

2006-2009 IESDE Brasil S.A. proibida a reproduo, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorizao por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

Produo Projeto e Desenvolvimento Pedaggico

Disciplinas Autores

Lngua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Mrcio F. Santiago Calixto Rita de Ftima BezerraLiteratura Fbio Dvila Danton Pedro dos SantosMatemtica Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFsica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQumica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hlio Apostolo Rogrio FernandesHistria Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogrio de Sousa Gonalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pr-vestibular / IESDE Brasil S.A. Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pr-vestibular. 2. Educao. 3. Estudo e Ensino. I. Ttulo.

CDD 370.71


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Polinmios e Equaes Algbricas

Em Alexandria, na segunda metade do sc. III d.C., Diofanto produziu o primeiro tratado de lge-bra conhecido, denominado Aritmtica, resultado de uma evoluo gradual de trabalhos como os de Euclides e Heron. Foi um dos primeiros a adotar o chamado mtodo sincopado que mesclava palavras abreviadas e variveis.

Os matemticos hindus, destacando-se Brah-magupta e Bhaskara, se aproximaram mais de uma notao abreviada, inclusive com a introduo do conceito de nmero negativo.

Os rabes tambm alcanaram grandes avan-os, com destaque para os Rubaiyat de Omar Khayyam e a lgebra de Al-Khowarizmi (de onde provm o vocbulo algarismo) e que usou pela pri-meira vez o termo lgebra que significa trocar de termo (um termo de uma equao).

No Renascimento (sc. XVI) diversos matem-ticos desenvolveram a lgebra e particularmente os polinmios, notadamente a escola italiana com Girolano Cardano (1501-1576), Niccolo Tartaglia (1500-1557) e Ludovico Ferrari (1522-1565).

Um importante marco foi a demonstrao, em 1798, pelo matemtico alemo Carl Friedrich Gauss (1777-1855) do Teorema Fundamental da lgebra.

Atualmente, diversos matemticos desenvol-vem trabalhos avanados sobre polinmios tanto em Matemtica pura como aplicada.

PolinmioChama-se polinmio inteiro em x a funo P:

C C dada por:P(x) = anx

n + an1 xn 1 +an 2xn 2 + ... + a1x + a0 = 0

onde an, an 1, ..., a1, a0 so chamados coeficientes e podem ser nmeros reais ou complexos.

Monmio: o polinmio que possui um nico termo. Ex.: p(x) = 3 x 3.

Polinmio completo: aquele que no possui coeficientes nulos. Um polinmio completo de grau n possui n+1 termos.

Valor numricoO valor numrico de p(x) em b (b C) a ima-

gem de b pela funo p, ou seja, P(x) = aobn + a1b

n1 + a2b

n2 + ... + an1b + anExemplos: `P(x) = 2x4 5x3 + 2x2 x +1 P(2) = 2 . 24 5 . 23 + 2 . 22 2 + 1 = 1

P(x) = x3 2ix2 x + (3i 2) P(i) = i3 4i.i2 i + (3i 2) = 5i 2

P(x) = x3 + 3x2 + 2x P(1) = (1)3 + 3.(1)2 + 2.(1) = 0

P(1) = ao + a1 +a2 + ... + an1 + an a soma dos coeficientes.

P(0) = ao o termo independente.


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RazesChamam-se razes do polinmio P(x) os valores

de x C tais que P(x) = 0.Um polinmio de grau n possui exatamente n

razes reais ou complexas. Dessa forma, a quantidade de razes reais no mximo n.

Exemplo: `O polinmio P(x) = x3 + 2x2 x 2 um polinmio com-pleto de grau 3 e possui trs razes reais: 1 , 1 e 2.

GrauDado um polinmio P(x) com pelo menos um

termo de coeficiente no-nulo, o grau de P, indicado por gr(P) o maior dos expoentes da varivel x nos termos com coeficientes no-nulos.

Se P tem todos os coeficientes nulos, no se define o grau de P.

Exemplos: `P(x) = 2x3 x + 1 gr(P) = 3

P(x) = 1 + 2x x4 gr(P) = 4

P(x) = 3 gr(P) = 0

P(x) = 0 no se define gr(P)

Operaes com polinmios

Adio e subtrao de polinmios

A adio e a subtrao de polinmios so feitas somando-se ou subtraindo-se os coeficientes dos termos de mesmo grau em todas as variveis.

Exemplos: `(4x1) 2 3x) (x2 4x 3) = 3x2 + x + 3

(x2) 3 1) + (x4 x3 +1) = x4

Frequentemente na subtrao de polinmios preciso eliminar parnteses. Deve-se atentar para

o fato do sinal menos incidir sobre todos os termos entre parnteses de acordo com a propriedade distributiva da multiplicao.

Exemplo: `x2 3x + 1 (x2 5x + 1) =

x2 3x + 1 x2 + 5x 1 = 2x

Multiplicao de polinmiosPara multiplicar polinmios basta aplicar a dis-

tributividade da multiplicao.

Exemplo: `(x3 +2x 1)(x2 + x + 2) = x5 + x4 + 2x3 + 2x3 + 2x2 + 4x x2 x 2 = x5 + x4 + 4x3 + x2 + 3x 2

Note que se o produto de dois polinmios nulo, pelo menos um dos polinmios deve ser nulo.

p q = 0 p = 0 ou q = 0

O grau do produto a soma dos graus dos fatores.

gr(p q) = gr(p) +gr(q)No exemplo acima, o produto de fatores de

graus 3 e 2 teve graus 2 + 3 = 5.

Diviso de polinmiosDados dois polinmios P(x) e D(x), de graus p e

q, respectivamente, dividir P(x) por D(x) encontrar dois polinmios Q(x) e R(x), denominados quociente e resto, respectivamente, que satisfazem

P(x) = D(x) Q(x) + R(x)onde o grau de R(x) deve ser menor que o grau de D(x) ou R(x) = 0.

Se gr(P) < gr(D), ento Q(x) = 0 e R(x) = P(x).

Se gr(P) gr(D), a diviso pode ser efetuada pelo seguinte algoritmo denominado Mtodo da Chave.

Ordenam-se P(x) e D(x) segundo as potncias I. decrescentes de x, inclusive com os termos do dividendo que possuem coeficiente 0.


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Divide-se o primeiro termo de P(x) pelo pri-II. meiro termo de D(x), obtendo-se o primeiro termo do quociente.

Multiplica-se D(x) pelo primeiro termo do III. quociente e subtrai-se o resultado de P(x), obtendo-se o primeiro resto parcial.

Com o primeiro resto parcial e o divisor IV. D(x) repetem-se as operaes, obtendo-se o segundo termo do quociente e assim su-cessivamente at se encontrar um resto de grau menor que o divisor.

Exemplo: `Calcular (x3 + 2x 1) : (x2 + x + 2)

x3 + 0x2 + 2x 1 x2 + x + 2x3 x2 2x x 1 x2 + 0x 1x2 + x + 2

x + 1

Q(x) = x 1 e R(x) = x + 1

O grau do quociente a diferena dos graus do dividendo e do divisor.

gr(Q) = gr(P) gr(D)No exemplo acima, o quociente tem grau

1 = 3 2.

Identidade de polinmiosDois polinmios so ditos idnticos quando tm

sempre o mesmo valor, qualquer que seja o valor atribudo varivel.

Dois polinmios idnticos so sempre de mes-

mo grau e tm todos os coeficientes iguais.

Exemplos: `Calcular a, b e c de modo que se tenha, 1) x R, ax4 +(b +1)x2 + (2c 1) = x2 +1.

A igualdade se verifica x R se os polinmios forem idnticos, assim:

ax4 +(b + 1)x2 + (2c 1) = x2 +1 a = 0b + 1 = 1 b = 02c 1 = 1 c = 2

Obtenha A e B de forma que2)

1x(x +1)

= Ax +

Bx + 1 para todo x 0 e x 1.

1x(x +1)

= Ax +

Bx + 1 1 = A(x + 1) + Bx

1 = (A + B)x + A

Igualando os coeficientes temos:

A = 1

A + B = 1 + B = 0 B = 1

A diviso de polinmios tambm pode ser efetuada pelo mtodo de Descartes ou mtodo dos coeficientes a determinar, que uma aplicao da identidade de polinmios. Nesse mtodo, parte-se da expresso P(x) = D(x) Q(x) + R(x), onde gr(Q) = gr(P) gr(D) e gr(R)MAX = gr(D) 1. O quociente e o resto so obtidos ento igualando-se os coeficientes dos dois lados.

Exemplos: `Dividir P(x) = x1) 4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 e D(x) =x3 + 1.

Supondo Q(x) = ax + b e R(x) = cx2 + dx + e, temos:

P = QD + R

x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 = (ax + b)(x3 + 1) + (cx2 + dx + e)

x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 = ax4 + bx3 + cx2 + (a + d)x + (b + e)


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a = 1b = 2c = 3a + d = 4 d = 3b + e = 5 e = 3

Q(x) = x + 2 e R(x) = 3x2 + 3x + 3

Determine p e q de modo que x2) 3 6x2 + px 1 seja divisvel por x2 + 3x q.

Devemos fazer o resto R(x) = 0 e adotar um quo-ciente Q(x) = ax + b do primeiro grau. Assim,

x3 6x2 + px 1 = (x2 + 3x q) (ax + b) x3 6x2 + px 1 = ax3 + (b + 3a)x2 + (3b aq)x bq

Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos:

a = 1

b + 3a = b + 3 1 = 6 b = 9

3b aq = 3(9) 1 q = p p + q = 27

bq = 1 (9)q = 1 q = 1/9

p = 27 (1/9) = 242/9

Polinmio identicamente nulo: aquele que nulo para qualquer valor da varivel. Um polinmio identicamente nulo tem todos os seus coeficientes iguais a zero.

Se um polinmio de grau n possuir mais de n razes, ento ele identicamente nulo.

Teorema de DAlembert

O resto da diviso de um polinmio P(x) por ax +b, com a 0, igual a P(b/a).

Demonstrao: na diviso de P(x) por ax +b o resto deve ter grau zero. Assim, podemos dizer que a diviso ter um quociente Q(x) e resto R(x) = R = constante. Logo,

P(x) = (ax + b)Q(x) + R(x) P(x) = (ax + b)Q(x) +RFazendo x = b/a, teremos

P(a) = [a(b/a) +b]Q(b/a) + R R = P(b/a)

Exemplo: `Calcule o resto de P(x) = x3 + x2 + x + 1 por x + 1.

O resto ser P(1) = (1)3 + (1)2 + (1) + 1 = 0. Logo, 1 raiz de P(x).

O polinmio P(x) divisvel por ax +b, com a 0 se, e somente se, P(b/a) = 0.

Exemplo: `Determine m para que o polinmio P(x) = x3 +2x2 +mx 10 seja divisvel por x 2.

P(2) = 23 + 2 22 + m2 10 = 0 m = 3

Regra de Ruffini-HornerNuma diviso de um polinmio P(x) por x a:

dispomos a e os coeficientes de P(x), inclu-1.) sive os nulos;

o coeficiente do primeiro termo do quociente 2.) igual ao coeficiente do primeiro termo do dividendo;

o coeficiente do segundo termo do quociente 3.) igual ao coeficiente do segundo termo do dividendo mais o produto do coeficiente do primeiro termo do quociente pelo segundo ter-mo do binmio tomado com o sinal trocado;

em geral, o coeficiente do termo de ordem p 4.) do quociente igual ao coeficiente do termo da mesma ordem do dividendo, mais o pro-duto do coeficiente do termo antecedente do quociente pelo segundo termo do binmio tomado com o sinal trocado;

finalmente, obtm-se o resto da diviso 5.) multiplicando o coeficiente do termo cons-tante do quociente pelo segundo termo do binmio tomado com o sinal trocado e adicionando a esse produto o coeficiente do termo constante do dividendo.

Exemplo: `Dividir 2x1) 3 5x2 + 3x 4 por x 2

Inicialmente alocar no dispositivo os coeficientes do dividendo e o segundo termo do binmio com o sinal trocado e ento proceder como acima:


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2 5 3 4

2 2 1 1 2

2.2+(5) 2.(1)+3 2.1+(4)

Q(x) = 2x2 x + 1 e R = 2

Determinar a e b para que o polinmio 2) x3 ax2 + bx 10 seja divisvel por (x + 2)(x 1).

1 a b 102 1 2a 4 + a + b 18 2a 2b = 01 1 1a 3 + b=0

2a + 2b = 18 e b + 3 = 0 b = 3 e a = 6

Ao longo da histria, muitos matemticos dedicaram-se ao estudo da resoluo das equaes polinomiais, tendo sido um dos grandes desafios da lgebra Clssica.

As primeiras contribuies vieram com o mate-mtico rabe AL-Khowarizmi no sculo IX e Bhaskara no sculo XII, com importantes concluses sobre a resoluo de equaes de 1.o e 2.o graus.

Porm, s no sculo XVI, no Renascimento, que os matemticos italianos Cardano, Tartaglia e Ferrari comearam a propor frmulas para resolver equaes de 3.o e 4.o graus.

Em 1798, Gauss demonstrou que toda equa-o de grau n (n N*) admite pelo menos uma raiz complexa, o que ficou conhecido como o Teorema Fundamental da lgebra. Em 1824, o matemtico noruegus Abel demonstrou que uma equao do 5.o grau no poderia ser resolvida atravs de frmulas envolvendo radicais, resultado demonstrado em 1829 por Galois e estendido a todas as equaes polino-miais de grau maior que o 4.o.

As descobertas de Abel e Galois no significam, no entanto, que nunca poderemos conhecer as razes de uma equao de grau maior que 4. Existem teore-mas gerais que, associados a condies particulares, permitem que descubramos solues de equaes deste tipo.

Equao polinomial ou algbrica

Denominamos equao polinomial ou equao algbrica de grau n a toda equao da forma:

p(x) = anxn + an-1 x

n-1 +an2

xn2 + ... + a1x + a0 = 0

onde ao, a1, ..., an so chamados coeficientes e podem ser nmeros reais ou complexos, e an 0 chamado coeficiente dominante.

O conjunto soluo ou conjunto verdade de uma equao algbrica, no conjunto universo U, o sub-conjunto de U que contm as razes da equao.

Duas equaes so ditas equivalentes em U, quando apresentam o mesmo conjunto soluo nesse domnio.

Quantidade de razes

Teorema Fundamental da lgebra: todo polinmio de grau n 1 admite ao menos uma raiz complexa.

Corolrio 1: Toda equao polinomial de grau n admite exatamente n razes complexas.

Corolrio 2: Todo polinmio


n-1 +an2

xn2 + ... + a1x + a0 = 0

de grau n pode ser colocado na forma fatorada:

P(x) = an (x r1)(x r2)...(x rn)

onde r1, r2, ..., rn so as razes de P(x).

Corolrio 3: Se um polinmio de grau n possuir mais de n razes, ento ele identicamente nulo.

Exemplo: `

Verificar que uma raiz da equao x3 3x2 + 4x 2 = 0 o nmero 1, obter as outras razes e obter a forma fatorada de P(x).

Podemos aplicar diretamente o algoritmo de Ruffini:

1 3 4 21 1 2 2 0

Como o resto da diviso por x 1 0, ento 1 raiz de P(x).

O quociente q(x) = x2 2x + 2, cujas razes so 1 i.

Razes: 1, 1+ i e 1 i. P(x) = (x 1)(x 1 i)(x 1 + i)

MultiplicidadeDizemos que r raiz de multiplicidade m (m

1) da equao P(x) = 0 se, e somente se,


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P(x) = (x r)mQ(x) e Q(r) 0

ou seja, r raiz de multiplicidade m de P(x) = 0 quando o polinmio P divisvel por (xr)m e no divisvel por (xr)m+1.

Quando m =1 dizemos que r uma raiz simples; quando m = 2, dupla; tripla quando m = 3 etc.

Exemplos: `Verificar qual a multiplicidade da raiz 1) 3 na equa-o x4 +6x3 +11x2 +12x +18 = 0.

1 6 11 12 183 1 3 2 6 03 1 0 2 03 1 3 11

P(x) = (x + 3)2 (x2 + 2) 3 tem multiplicidade 2

Exemplo: `Qual o grau de uma equao polinomial P(x) = 0 2) cujas razes so 3, 2, 1 com multiplicidades 7, 6 e 10, respectivamente?

P(x) = k(x 3)7(x 2)6(x + 1)10, com k * gr(P) = 23

Pesquisa de razes

Razes racionais de equaes com coeficientes inteiros

Se r = pq

, p e q inteiros primos entre si, uma

raiz racional da equao de coeficientes inteiros


n1 +an2

xn2 + ... + a1x + a0 = 0

ento p divisor de a0 e q divisor de an.

Exemplo: `Verificar se a equao 2x3 + x2 + x 1 = 0 admite razes racionais.

pqx= p {1, 1} e q {1, 1, 2, 2}pqx= {1, 1,

12 ,

12 }

p(x) = 2x3 + x2 + x 1

p(1) = 3 p(1) = 3 P(1/2) = 0 p(1/2) = 3/2

Logo, a nica raiz racional da equao 1/2.

Razes complexas de equaes com coeficientes reais

Se um complexo z = a + bi, a R e b R, raiz de uma equao algbrica de coeficientes re-ais, ento o conjugado z= a bi tambm raiz da equao.

Corolrios:

Toda equao algbrica de coeficientes reais 1) e grau mpar admite pelo menos uma raiz real.

Se o complexo z raiz de multiplicidade m 2) de uma equao algbrica de coeficientes reais, ento o conjugado z tambm raiz de multiplicidade m da equao.

Exemplo: `Resolver a equao x4 + 4x3 17x2 + 26x 14 = 0 sabendo que 1 i uma de suas razes.

Como trata-se de uma equao de coeficientes reais, se 1 i raiz , ento 1 + i tambm raiz.

Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini:

1 4 17 26 141 i 1 5 i 13 6i 7 + 7i 01 + i 1 6 7 0

x2 + 6x 7 = 0 razes: x = 1 ou x = 7

S = {1, 7, 1+i, 1i}

Vale notar que esse exerccio pode ser mais fa-cilmente resolvido aplicando-se as relaes de Girard do prximo tpico.

Relaes de GirardSeja o polinmio P(x) = anx

n + an1

xn1 +an2

xn2 + ... + a1x + a0 e Sk a soma dos produtos das razes tomadas em grupos de k, temos:

Sk = (1)k ankan

Exemplo: `Sendo o polinmio P(x) = x1) 3 + 6x2 + 11x + 6 cujas razes so 1, 2 e 3.

S1 = 1 + ( 2) + ( 3) = (1)1 61 = 6

S2 = ( 1)( 2) + ( 1)( 3) + ( 2)( 3) = ( 1)2

111

= 1

S3 = ( 1)( 2)( 3) = ( 1)3 6

1 = 6


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Se a, b, c e d so as razes da equao x2) 4 2x3 + 3x2 5x + 7 = 0, calcule o valor da expresso

E = 1a

+ 1b

+ 1c

+ 1d

.

bcd + acd + abd + abcabcd

=

(5)171

= 57

Se a1) n = 1, o simtrico do coeficiente do 2. termo a soma das razes.

Se a2) n = 1, o termo independente multiplicado por (1)n o produto das razes.

Qualquer raiz inteira no-nula de uma equa-3) o de coeficientes inteiros um divisor do termo independente.

Se as razes da equao so todas positivas, 4) os seus coeficientes so alternadamente positivos e negativos.

Uma equao de coeficientes positivos tem 5) todas as razes reais negativas.

Teorema de Bolzano Se um polinmio P(x) apresenta valores P(a) e

P(b) tais que P(a).P(b)< 0, ento a equao admite um nmero mpar (pelo menos uma) de razes reais entre a e b.

Exemplo: `P(x) = x3 3x2 x + 3

P(0) = 3 e P(2) = 23 322 2 + 3 = 3

Pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz entre 0 e 2.

Na verdade, 1 raiz de P(x).

MMC e MDC de polinmiosO mximo divisor comum (MDC) entre polin-

mios o polinmio unitrio (coeficiente dominante 1) formado pelos fatores comuns aos polinmios eleva-dos aos seus menores expoentes, de forma que ele o polinmio de maior grau que divide todos aqueles.

As razes comuns aos polinmios so tambm razes de seu MDC, com a menor multiplicidade.

Se o MDC de dois polinmios 1, diz-se que eles so primos entre si.

Quando os polinmios no esto na forma fato-rada, o seu MDC pode ser obtido pelo mtodo das divises sucessivas.

Exemplo: `

Obtenha o MDC dos polinmios p(x) = x4 3x3 + 3x2 3x + 2 e q(x) = x2 4x + 3.

x2 + x + 4110

x 310 quocientes

x4 3x3 + 3x2 3x + 2 x2 4x + 3 10x 1010x 10 0 restos

MDC(p, q) = 110

(10x 10) = x 1


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vale notar que a diviso por 10 se faz necessria para que o MDC seja um polinmio unitrio.

O mnimo mltiplo comum (MMC) entre poli-nmios o polinmio unitrio formado por todos os fatores que aparecem nos polinmios, comuns ou no, elevados ao seu maior expoente, de forma que ele o polinmio de menor grau que mltiplo de todos aqueles.

Todas as razes dos polinmios so razes do seu MMC.

Exemplo: `P(x) = x(x 1)2(x 2)3 e Q (x) = x3(x 1)(x 3)2.

MDC (P, Q) = x(x 1)

MMC (P, Q) = x3(x 1)2(x 2)3(x 3)2

TransformaesTransformao de uma equao algbrica P1(x)

= 0 toda operao com a qual se obtm uma nova equao P2(y) = 0 cujas razes estejam relacionadas com as razes da equao inicial atravs de uma relao conhecida y = f(x).

P1(x) = 0 equao primitivaP2(y) = 0 equao transformaday = f(x) relao de transformao

Transformao multiplicativa a transformao em que y = kx (k 0). Para

obter a equao transformada basta substituir na equao primitiva x = y/k

y = k.x x = yk

Exemplo: `Obter a equao cujas razes so o dobro das razes da equao x3 + 5x2 7x + 11 = 0.

y = 2x x = y2

y2

3

+ 5 y2

7 y2

2 + 11 = 0

18

y3 + 54

y2 72

y + 11 = 0

y3 +10y2 28y + 88 = 0

Transformao aditiva a transformao em que y = x +a (a C).

Para obter a equao transformada basta substituir na equao primitiva x = y a.

y = x + a x = y a

Exemplo: `

Obter a equao cujas razes so 2 unidades menores que as razes de 2x3 5x 2 = 0.

y = x 2 x = y + 22(y + 2)3 5(y + 2) 2 = 0 2y3 + 12y2 + 19y

+ 4 = 0

Transformada aditiva e diviso de polinmios

Dada a equao primitiva P1(x) = anxn + an-1

xn1 +an2

xn2 + ... + a1x + a0 = 0 a sua transformada aditiva

P2(x +a) = Rn(x +a)n +Rn1(x +a)n1+ ... +R1(x +a) +Ro = 0

onde Ro, R1, ... , Rn so os restos das divises sucessi-vas de P1 por x +a, que podem ser facilmente obtidos com o auxlio do algoritmo de Briot-Ruffini.

Exemplo: `Dada a equao x3 2x2 + x + 1 = 0, obter sua trans-formada pela relao y = x + 2.

1 2 1 1 2 1 4 9 17 R0 2 1 6 21 R1 2 1 8 R2 2 1 R3

(x + 2)3 8(x + 2)2 + 21(x + 2) 17 = 0

y3 8y2 + 21y 17 = 0

Transformao recproca

a transformao em que y = 1x

, x 0. Para

obter a equao transformada basta substituir na equao primitiva x = 1

y.

y = 1x

x = 1y


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Exemplo: `Obter a equao cujas razes so os inversos das razes da equao 5x3 + x2 x + 1 = 0.

5 1y

3+ 1

y

2 1

y + 1 = 0 y3 y2 + y + 5 = 0

Equaes recprocasUma equao polinomial P(x) = 0 chamada

recproca se, e somente se, equivalente sua trans-

formada recproca P 1x

= 0.

Dada a equao recproca P(x) = 0, se r uma raiz de multiplicidade m, ento 1

r tambm raiz com

a mesma multiplicidade.

Uma equao polinomial P(x) = 0 recproca se, e somente se, os coeficientes equidistantes dos extremos so iguais 2 a 2 ou opostos 2 a 2.

ClassificaoEquaes recprocas de 1. espcie: so aquelas em que os coeficientes equidistantes dos extremos so iguais.

Equaes recprocas de 2. espcie: aquelas em que os coeficientes equidistantes dos extremos so simtricos.

Forma normal: diz-se que uma equao re-cproca est na forma normal se ela de 1. espcie e grau par.

Se uma equao recproca de 2. espcie e grau par, ento ela no possui termo central.

PropriedadesToda equao recproca de 2. espcie e grau I. mpar P(x) = 0 admite raiz 1. A diviso de P(x) por x 1 conduz a uma equao recproca de 1. espcie e grau par.

Toda equao recproca de 2. espcie e grau I.

par P(x) = 0 admite razes 1 e 1. A diviso de P(x) por x 1 e x +1 conduz a uma equao recproca de 1. espcie e grau par.

Toda equao P(x) = 0, recproca de 1. esp-I. cie e grau mpar, admite a raiz 1. A diviso de P(x) por x +1 conduz a uma equao rec-proca de 1. espcie e grau par.

Resoluo da equao recproca normal

Sendo a equao recproca normal

P(x) = A0x2k + A1x

2k1 +...+ A1x + A0 = 0

Dividindo a equao por xk, tem-se

A0 xk + 1

xk+A1 x

k1 + 1xk1

+...+Ak1 x+1x

+Ak=0

Fazendo y = x + 1x

e usando a identidade

xp+1+ 1xp+1

=y. xp + 1xp

xp1 + 1

xp1, onde p =

1, 2, 3,...

x0 + 1x0

= 2

x1 + 1x1

= y

x2 + 1x2

= y2 2

x3 + 1x3

= y3 3y ...

Substituindo as expresses obtidas, obtm-se uma equao em y de grau k. Resolvendo a equao em y, pode-se obter os valores de x.

Exemplo: `Resolva a equao x4 4x3 + 5x2 4x + 1 = 0.

Observando os coeficientes verificamos que trata-se de uma equao recproca de 1. espcie e grau par, ou seja, na forma normal. Dividindo a equao por x2:

x2 4x + 5 4x

+ 1x 2

= 0

x2 + 1x2

4 x + 1x

+ 5 = 0

Fazendo y = x + 1x

x2 + 1x 2

= y2 2

(y2 2) 4y + 5 = 0 y2 4y +3 = 0

y = 1 ou y = 3

i) x + 1x

= 1 x2 x +1 = 0 x = 1 32


10 EM

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ii) x + 1x

= 3 x2 3x +1 = 0 x = 3 52

(UFF) Considere o polinmio p(x) = 1. x4 + x2 + 1

x2 1, x 1

e x 1. Determine o polinmio q(x) e as constantes A,

B e C tais que p(x) = q(x) + Ax2 1

e Ax2 1

= Bx 1

+

Cx + 1

, x 1 e x 1.

Soluo: ` A = 3, B = 3/2 e C = 3/2

x4 +0x3 +x2+ 0x +1

x2 1

x4 +x2 x2 +2 2x2 +0x +1

2x2 +2 3

p(x) = x4 + x 2 + 1

x 2 1 = x2 + 2 + 3

x2 1

q(x) = x2 +2 e A = 3

3x2 1

= Bx 1

+ Cx + 1

3 = B(x +1) + C(x 1) 3 =

(B + C)x + (B C) B + C = 0B C = 3

B = 3/2 e C = 3/2

(FGV) O polinmio P(x) = x2. 2 + x + a divisvel por x + b e por x + c, em que a, b e c so nmeros reais, distintos e no-nulos. Ento b + c igual a:

1a)

2b)

2c)

0d)

1e)

Soluo: ` EP(b) = b2 b + a = 0

P(c) = c2 c + a = 0

b2 c2 (b c) = 0 (b c)(b + c 1) = 0

Como b c, ento b + c 1 = 0 e b + c = 1

Outra forma de resolver essa questo observar que, se P(x) divisvel por x + b e x + c, ento b e c so razes de P(x), logo a sua soma (b) + (c) = 1/1 = 1 e b +c = 1.

(PUC-Rio) Considere o polinmio p(x) = x3. 3 + 2x2 1

Calcule o valor p(x) para x = 0, a) 1, 2.

Ache as trs solues da equao xb) 3 + 2x2 = 1

Soluo: `p(0) = 1a)

p(1) = 1 + 2 1 = 2,

p( 1) = 1 + 2 1 = 0,

p(2) = 8 + 8 1 = 15 e

p( 2) = 8 + 8 1 = 1

xb) 3 + 2x2 = 1 p(x) = x3 + 2x2 1 = 0

Como p( 1) = 0, ento podemos aplicar o algoritmo de Ruffini:

1 2 0 11 1 1 1 0

q(x) = x2 +x 1 = 0 que tem razes 1 52

.

S = {1, 1 52

}

p(0) = a) 1, p(1) = 2, p(1) = 0, p(2) = 15 e p(2) = 1

S = {b) 1, 1 52

}

(UERJ) Numa autoestrada verificou-se que a veloci-4. dade mdia do trfego V, entre meio-dia e seis horas da tarde, pode ser expressa pela seguinte funo:

V(t) = at3 + bt2 + ct + 40

Nesta funo, V medida em quilmetros por hora, t o nmero de horas transcorridas aps o meio-dia e a, b e c so constantes a serem determinadas. Verificou-se, ainda, que 1hora, s 5horas e s 6horas da tarde, as velocidades mdias eram, respectivamente, 81km/h, 65km/h e 76km/h. O nmero de vezes, em um determinado dia, em que a velocidade mdia do trfego atinge 92km/h, entre meio-dia e seis horas da tarde, exatamente igual a:

1a)

2b)

3c)

4d)


11EM

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(UERJ) As equaes x5. 3 + x + 10 = 0 e x3 19x 30 = 0, em que x , tm uma raiz comum. Determine todas as razes no-comuns.

Soluo: `Sendo p(x) = x3 + x + 10 e q(x) = x3 19x 30 e r a raiz comum, ento p(r) = 0 e q(r) = 0, donde r raiz de p(x) = q(x).

x3 + x + 10 = x3 19x 30 x = 2 r = 2

Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini:

p(x) = x3 + x + 10

1 0 1 102 1 2 5 0

x2 2x + 5 = 0 x = 1 2i

q(x) = x3 19x 30

1 0 19 302 1 2 15 0

x2 2x 15 = 0 x = 5 ou x = 3

As razes da 1. eq. so 1 2i e da 2. so 5 e 3.

(Fatec) Foi apresentado a um exmio calculista, co-6. nhecido como o homem que calculava, o sistema de equaes

x1 + x2 + x3 = 3730

x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = 12

x1 x2 x3 = 115

e ele rapidamente respondeu: Uma soluo do sistema x1 =

13

, x2 = 12

e x3 = 25

. Em seguida

perguntaram-lhe: qual a soma dos quadrados das razes da equao 30x3 37x2 + 15x 2 = 0?De pronto ele respondeu corretamente. A sua resposta foi:

7300

a)

47450

b)

101600

c)

437750

d)

469900

e)

Soluo: ` EA equao proposta a equao de razes x1, x2 e x3, ento a soma dos quadrados das razes da equao

13

2

+ 12

2

+ 25

2

= 19

+ 14

+ 425

= 100+225+4.36900

= 469900

Soluo: `V(1) = 81 a + b + c + 40 = 81 a +b +c = 41

V(5) = 65 125a + 25b + 5c + 40 = 65 25a + 5b + c = 5

V(6) = 76 216a + 36b + 6c + 40 = 76 36a + 6b + c = 6

a + b + c = 4125a + 5b + c = 536a + 6b + c + 6

6a + b = 911a + b = 1

5a = 10

a = 2b = 21c = 60

V(t) = 2t3 21t2 + 60t + 40

V(t) = 2t3 21t2 + 60t + 40 = 92

2t3 21t2 + 60t 52 = 0

Para t = 2 16 84 + 120 52 = 0

Aplicando o algoritmo de Ruffini:

2 21 60 52

2 2 17 26 0

q(x) = 2t2 17t + 26 onde = 289 208 = 81 e t = 17 9

4, ento t = 6,5 ou t = 2.

Logo, a equao apresenta raiz 2 (dupla) e raiz 6,5 que no pertence ao domnio estabelecido. Portanto, a velocidade em questo s atingida uma vez, como pode ser visto no grfico abaixo.

80

60

40

20

0 1 2 3 4 5 x

v = 92

v = 2t3 21t2 + 60t + 40


12 EM

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(FGV) Podemos afirmar que a equao 7.

x6 5x5 + 10x3 3x2 5x + 2 = 0 admite:

duas razes duplas e duas razes simples.a)

duas razes duplas e uma raiz tripla.b)

uma raiz simples, uma raiz dupla e uma raiz tripla.c)

uma raiz tripla e trs razes simples.d)

duas razes triplas.e)

Soluo: ` AAs possveis razes racionais so 1 e 2. Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini:

1 5 0 10 3 5 21 1 4 4 6 3 2 01 1 3 7 1 2 0

1 1 4 3 2 0 1 1 5 2 0

x2 5x + 2 = 0 5 172

Logo, a equao possui duas razes duplas e duas razes simples.

Sabendo-se que a, b e c so as razes da equao 9. x3 x2 1 = 0, formar uma nova equao, cujas razes sejam os nmeros b + c, c + a e a + b.

Soluo: `a + b + c = ( 1)/1 = 1

b + c = 1 a; c + a = 1 b; a + b = 1 c

y = 1 x x = 1 y

(1 y)3 (1 y)2 1 = 0 y3 2y2 + y + 1 = 0

y3 2y2 + y + 1 = 0

(ITA) Determine a e b para que a equao 10. 6x4 ax3 + 62x2 35x + b a = 0 seja recproca de primeira classe e resolva-a.

Soluo: `

Recproca de 1. classe b a = 6 a = 35

a = 35

b = 41

6x4 35x3 + 62 x2 35x + 6 = 0 ( x2)

6x2 35x + 62 35x

+ 6x2

= 0

6 x2 + 1x2

35 x2 + 1x

+ 62 = 0

Fazendo y = x + 1x

x2 + 1x2

= y2 2

6(y2 2) 35y + 62 = 0 6y2 35y + 50 = 0

y = 10/3 ou y = 5/2

x + 1x

= 52

2x2 5x + 2 = 0 x = 2 ou x = 1/2

x + 1x

= 103

3x2 10x + 3 = 0 x = 3 ou x = 1/3

S = {1/3, 1/2, 2, 3}

a = 35, b = 41 e S = {1/3, 1/2, 2, 3}

(UFF) Resolva a equao 11. 2x6 5x5 + 2x4 2x2 + 5x 2 = 0.

(UERJ) Um ciclista e um corredor comeam, juntos, 8. uma competio. A curva abaixo, cuja equao e = t3 + at2 + bt + c, representa a posio e, em me-tros, do ciclista, em funo do tempo t, em segundos, em que a, b, e c so nmeros reais fixos.

No instante em que o ciclista parte da posio zero, o corredor inicia um movimento, descrito pela equao e = 4t, na mesma pista e no mesmo sentido.

Determine a posio mais afastada da origem na qual o ciclista e o corredor voltam a se encontrar.

Soluo: `Por meio da anlise do grfico e da equao, verifi-

camos que existem trs razes reais: 0 raiz simples e 3 raiz dupla.

Ento e = t (t 3)2 e = t3 6t2 + 9t

Para determinar os instantes dos encontros:

t3 6t2 + 9t = 4t t3 6t2 + 5t = 0 t (t2 6t + 5) = 0

t = 0s; t = 1s e t = 5s

posio dos encontros: 0m; 4m e 20m

Posio mais afastada = 20m


13EM

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Soluo: `2x6 5x5 + 2x4 2x2 + 5x 2 = 0

Temos uma equao recproca de 2. espcie e grau par, ento:

2 5 2 0 2 5 21 2 3 1 1 3 2 0 1 2 5 4 5 2 0

Dividindo por (x 1) e (x +1), obtivemos um equao recproca normal:

2x4 5x3 + 4x2 5x + 2 = 0 ( x2)

2x2 5x + 4 5x

+ 2x2

= 0

2 x2 + 1x2

5 x + 1x

+ 4 = 0

Fazendo y1 = x + 1x

x2 + 1x2

= y2 2

2(y2 2) 5y + 4 = 0 2y2 5y = 0 y = 0 ou y = 5/2

x + 1x

= 0 x2 + 1 = 0 x = i

x + 1x

= 52

2x2 5x + 2 = 0 x = 2 ou x = 1/2

S = { i, 2, 1/2}

(Fatec) O polinmio f(x) dividido por ax + b, com a 1. 0, tem quociente q(x) e resto r

O resto da diviso de xf(x) por x + ba

:

ra) 2

ab

b) r

ba

c) r

d) ba

r

e) ab

r

(FGV) O polinmio P(x) = ax2. 3 + bx2 + cx + 2 satisfaz as

seguintes condies: P

P x P x x

( )

( ) ( )

= =

1 03, qualquer que

seja x real. Ento:

P(1) = a) 1

P(1) = 0b)

P(2) = 0c)

P(2) = d) 8

P(2) = 12e)

(UFRJ) O polinmio P(x) = x3. 3 2x2 5x + d, dR, divisvel por (x 2).

Determine d.a)

Calcule as razes da equao P(x) = 0.b)

(UFF) Um aluno dividiu o polinmio p(x) = ax4. 2+ bx+c, sucessivamente, por (x 1), (x 2) e (x 3) e en-controu, respectivamente, restos 0, 0 e 1. Determine o polinmio p(x).

Dois carros participam de um rally de regularidade. A 12. funo s1 = t

3 6t2 +16t 6, representa a posio, em quilmetros, do 1. carro, em funo do tempo t, em horas. A posio do 2. carro representada pela funo s2 = 5t. Sabendo que eles se encontram 3 vezes durante o percurso, obtenha a equao que deve respeitar o movimento do 1. carro para que, sem modificar a equao do movimento do 2. carro, os encontros ocorram todos 1 hora mais tarde.

Soluo: `Encontro:

s1 = s2 t3 6t2 + 16t 6 = 5t

t3 6t2 + 11t 6 = 0

Para os encontros ocorrerem 1 hora mais tarde, devemos formar uma nova equao de razes y = t +1, ento

(y 1)3 6(y 1)2 + 11(y 1) 6 = 0

y3 9y2 + 26y 24 = 0

Como a equao do 2. carro no muda, devemos ter:

y3 9y2 + 31y 24 = 5y s1= t3 9t2 + 31t 24

O grfico abaixo mostra as duas situaes.

10

y = 5 x y = x3 9x2

0,5 1 1,5 2,5 3,5 4,52 3 4

s1= t3 9t2 + 31t 24


14 EM

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(UFF) Considere o polinmio de coeficiente reais 5. p(x) = x2 + ax + b. Determine os valores dos nmeros reais a e b para os quais sejam satisfeitas, simultanea-mente, as seguintes condies:

p(x) seja divisvel por x I. 1;

o resto da diviso de p(x) por x II. 2 seja igual ao resto da diviso de p(x) por x 3.

(UFF) O resto da diviso de p(x)= x6. 3 + 2x2 + a por q(x)= x2 + 1 um polinmio cujo termo independente 8. Determine o valor do nmero real a.

(PUC-Rio) Se o polinmio p(x) = x7. 5 + 2ax4 + 2b divi-svel por (x + 1)2, ento a soma a + b vale:

1a)

1b)

2c)

d) 1/2

1/2e)

(PUC-Rio) Dado que as razes do pol inmio 8. p(x) = x3 + ax2 + bx + c so 0, 1 e 1, calcule p(2).

(UFF) Determine as constantes reais r, s e t de modo que 9. o polinmio p(x) = rx2 + sx + t satisfaa s seguintes condies:

p (0) = 1; eI.

a diviso de p(x) por xII. 2 + 1 tem como resto o poli-nmio 3x + 5.

(UFF) O resto da diviso do polinmio p(x) por (x 10. 1)3 o polinmio r(x). Sabendo que o resto da diviso de r(x) por x 1 igual a 5, encontre o valor de p(1).

(UFSC) Um polinmio P(x) dividido por (x + 1) d resto 3 e 11. por (x 2) d resto 6. O resto da diviso de P(x) pelo produto (x + 1) . (x 2) da forma ax + b, com a, b R. O valor numrico da expresso a + b :

(UFF) Considere os polinmios p(x) = 2x12. 3 + 2x2 + 7x 1 e q(x) = 2x2 x 1. Calcule:

os valores do nmero complexo z tais que p (z) = a) q (z);

o nmero real k e o polinmio do primeiro grau r(x) b) tais que p(x) = (x k) q(x) + r(x).

(UENF) O grfico abaixo a representao cartesiana 13. do polinmio y = x3 3x2 x + 3.

Determine o valor de B.a)

Resolva a inequao xb) 3 3x2 x +3 > 0.

(UERJ) Os zeros do polinmio p(x) = x14. 3 12x2 +44x 48 formam uma PA. O conjunto soluo da equao p(x) = 0 pode ser descrito por:

{0, 4, 8}a)

{2, 4, 6}b)

{1, 4, 9}c)

{2, 4, 6}d)

(Fatec) Sabe-se que 15. 1 raiz dupla do polinmio

P(x) = 2x4 + x3 3x2 x + 1. As outras razes so nmeros:

imaginrios puros.a)

reais negativos.b)

irracionais.c)

racionais.d)

pares.e)

(FGV) Um polinmio P, de coeficientes reais, apresenta 16. 2 + 3i e 2 3i como suas razes (i a unidade imagi-nria). Qual o menor grau possvel de P? Justifique.

(FGV) Resolva a equao x17. 5 + x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 3 = 0 no conjunto dos nmeros complexos.

(FGV) Dado o polinmio P(x) = x18. 4 + x3 6x2 4x + k:

Resolva a equao P(x) = 0, para k = 8.a)

Determine o valor de k de modo que as razes este-b) jam em progresso aritmtica de razo igual a 3.

(FGV) 19.

Sejam a, b e c as razes da equao a) x3 4x2 + 6x 1 = 0.

Calcule o valor da expresso: 1 1 1ab ac bc

+ + .

Resolva a equao xb) 3 2x2 5x + 6 = 0, sabendo que a soma de duas razes vale 4.


15EM

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(FGV) 20.

Um polinmio P do 3. grau com coeficientes reais a) tal que P(2) = 0 e P(2 + i) = 0, onde i a unidade imaginria. Obtenha P sabendo-se que P(1) = 4.

A equao polinomial xb) 3 + x2 + x + k = 0 tem uma raiz igual a 1. Obtenha o valor de k e as outras razes.

(Fuvest) O produto de duas das razes do polinmio 21. p(x) = 2x3 mx2 + 4x + 3 igual a 1. Determinar:

o valor de m.a)

as razes de p.b)

(UFRJ) Encontre as razes de x22. 3 + 15x2 + 66x + 80 = 0, sabendo que so reais e esto em progresso aritm-tica.

(UFF) A funo f: 23. definida por f(x) = mx3 + nx2 + px + q, m 0, sempre crescente e possui razes distintas. Sabendo-se que uma raiz real, pode-se afirmar que as outras

so complexas.a)

tm sinais contrrios.b)

so nulas.c)

so positivas.d)

tm mdulo unitrio.e)

(UFF) Trs razes de um polinmio p(x) do 4.24. o grau esto escritas sob a forma i576, i42 e i297. O polinmio p(x) pode ser representado por:

xa) 4 + 1

xb) 4 1

xc) 4 + x2 + 1

xd) 4 x2 + 1

xe) 4 x2 1

(UFMG) Seja p(x) = x25. 3 + ax2 + bx + 2 um polinmio em que a e b so nmeros inteiros. Sabe-se que 1 2+ uma raiz de p(x). Considerando essas informaes.

Determine os coeficientes a e b.a)

Determine todas as razes de p(x).b)

(UFC) O polinmio P(x) = 2x26. 3 x2 + ax + b, em que a e b so nmeros reais, possui o nmero complexo i como uma de suas razes. Ento o produto ab igual a:

a) 2

b) 1

0c)

1d)

2e)

(Unicamp) Sabendo que a equao x27. 3 2x2 + 7x 4 = 0 tem razes a, b e c, escreva, com seus coeficientes numricos, uma equao cbica que tem como razes a + 1, b + 1 e c + 1.

(Unicamp) Ache todas as razes inclusive complexas da 28. equao x5 x4 + x3 x2 + x 1 = 0.

(Unicamp) Considere a equao:29.

21

71

4 02 2x xx

x+

+ +

+ = .

Mostre que x = i raiz dessa equao.a)

Encontre as outras razes da mesma equao.b)

(Unicamp) Para resolver equaes do tipo x30. 4 + ax3 + bx2 + ax +1 = 0, podemos proceder do seguinte modo: como x = 0 no raiz, divide-se a equao por x2 e,

aps fazer a mudana de variveis u xx

= + 1 , resolve-se

a equao obtida (na varivel u). Observe que se x R e x > 0, ento u 2.

Ache as 4 razes da equao xa) 4 3x3 + 4x2 3x + 1 = 0.

Encontre os valores de b b) R para os quais a equa-o x4 3x3 + bx2 3x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz positiva.

Transformar a equao x31. 3 3x2 x + 5 = 0 em outra desprovida do termo do 2. grau.

Dada a equao 32. x x x3 252

34

2 0 + = . Reduzi-la forma inteira, conservando porm o coeficiente do seu primeiro termo igual unidade.

(UERJ) A figura abaixo representa o polinmio P definido 33. por P(x) = x3 4x.

Determine as razes desse polinmio.a)

Substituindo-se, em P(x), x por x b) 3, obtm-se um novo polinmio definido por y = P(x 3). Determi-ne as razes desse novo polinmio.


16 EM

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AT

_017

(IME) Forme a equao recproca de segunda classe e 34. do 4. grau que admite 2 como raiz.

(ITA) Para que 2x35. 4 + bx3 bx 2 = 0 tenha quatro solues reais distintas, devemos ter:

b um nmero real qualquer.a)

b = 0.b)

b > 0.c)

b < d) 1.

b > 4.e)

(ITA) Multiplicando por 2 as razes da equao x36. 3 2x2 + 2x 1 = 0 vamos obter razes da seguinte equao:

2ya) 3 6y2 + 6y 4 = 0

yb) 3 4y2 + 8y 8 = 0

8yc) 3 8y2 + 4y 1 = 0

yd) 3 8y2 + 8y + 8 = 0

4ye) 3 4y2 4y 8 = 0

(ITA) Considere as afirmaes:37.

A equao 3xI. 4 10x3 + 10x 3 = 0 s admite razes reais.

Toda equao recproca admite um nmero par de II. razes.

As razes da equao xIII. 3 + 4x2 4x 16 = 0 so exa-tamente o dobro das razes de x3 + 2x2 x 2 = 0.

Ento:

Apenas (I) verdadeira.a)

Apenas (II) falsa.b)

Apenas (III) verdadeira.c)

Todas so verdadeiras.d)

n.d.a.e)

(UFF) O polinmio p(x) = x1. 4 2x3 + 5x2 8x + 4 tambm pode ser escrito sob a forma: p (x) = (x 1)n (x2 + s), n N e s R.

O valor de n + s :

1a)

4b)

0c)

6d)

2e)

(UFF) Os grficos da funo polinomial p e da reta r 2. esto representados na figura abaixo.

Calcule o resto da diviso de p(x) por x a) 3.

Escreva a equao de r.b)

Determine a expresso que define p, sabendo que c) as trs nicas razes de p so reais.

(UFF) A equao x3. 4 + 11x3 38x2 + 52x 24 = 0 tem duas razes iguais a 2. Dadas as funes reais f e g de-finidas, respectivamente, por f(x) = x4 + 11x3 38x2 + 52x 24 e g(x) = log(f(x)), determine o domnio de g.

(UFF) Uma parte do esboo do grfico de uma funo 4. polinomial f dada na figura:

Sabe-se que a funo f possui somente trs razes: a raiz x = 2 e outras duas que so reais e simtricas. Determine:

a expresso polinomial que define f.a)

o(s) intervalo(s) em que f positiva.b)

(UFJF) Sabendo que os polinmios q5. 1(x) = x2 9 e

q2(x) = x2 5x + 6 dividem o polinmio

p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, onde a, b, c e d so reais, incorreto afirmar que:

o polinmio qa) 1(x) q2(x) divide p(x).

2, 3 e b) 3 so razes de p(x).


17EM

_V_M

AT

_017

o polinmio p(x) no possui razes complexas.c)

se d = 36, ento a = 0.d)

se d irracional, ento p(x) possui uma raiz irra-e) cional.

(UFJF) A figura abaixo representa, no plano cartesiano, 6. parte do grfico do polinmio com coeficientes reais p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, intersectando o eixo x nos pontos de abscissas x1, 0 e x2.

Com base no grfico correto afirmar que:d a) 0.

p(x) tem raiz complexa.b)

(x c) ) divide p(x)

o resto da diviso de p(x) por (x d) ) igual a M.

existe x e) [, ] tal que p(x) < m.

(UFMG) Seja o polinmio 7.

P(x) =

( ) ( ) ( )n j x nx n x n x x xj n nj

n

+ = + + + + +=

1 1 2 22 3 11

K

em que o resto da diviso de P(x) por x 1 55. Determine n.

(Unicamp) Considere o polinmio p(x) = x8. 3 2x2 + 5x + 26.

Verifique se o nmero complexo 2 + 3i raiz desse a) polinmio.

Prove que p(x) > 0 para todo nmero real x > - 2 .b)

(UFC) Seja P(x) um polinmio de grau n 9. 1, com co-eficientes reais. Sabendo que P(3 + i) = 2 4i, onde i2 = 1, calcule P(3 i).

(IME) Prove que o polinmio 11.

x x x x x9999 8888 7777 2222 1111 1+ + + + + +K

divisvel por x x x x x9 8 7 2 1+ + + + + +K ..(UERJ) Para fazer uma caixa sem tampa com um nico 12. pedao de papelo, utilizou-se um retngulo de 16cm de largura por 30cm de comprimento. De cada um dos quatro cantos desse retngulo foram retirados quadra-dos de rea idntica e, depois, foram dobradas para cima as abas resultantes. Determine a medida do lado do maior quadrado a ser cortado do pedao de papelo, para que a caixa formada tenha:

rea lateral de 204cma) 2;

volume de 600cmb) 3.

(FGV) 13.

A equao 2xa) 3 8x2 + mx + 16 = 0, sendo m um nmero real, tem razes a, b e c, tais que: a = b +c. Determine o valor de S, tal que S = 1

ab + 1

bc + 1

ac .

O polinmio P(x) = 3xb) 4 22x3 + 64x2 58x +13

(UnB) Uma viga metlica de seo transversal vari-10. vel est presa nas suas extremidades, A e B, e sofre uma deflexo (medida em metros) na vertical, em relao ao segmento horizontal AB, dada por

y xx x x

( ).

= +3 226 160

3 600

em um ponto de AB que dista x metros de A, conforme ilustra a figura abaixo.

Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes.

(1) A distncia entre os pontos A e B igual a 10m.

(2) No ponto C do segmento AB, distante 4m de B, a deflexo da viga menor que 10cm.

(3) Sabendo-se que a maior deflexo da viga

igual a 225

m e que uma das razes do polinmio

x x x3 226 1603 600

+.

= 225

igual a 18, conclui-se

que a maior deflexo ocorre em um ponto D

que dista mais de 5m do ponto A.

(4) O peso da viga e a sua dilatao devido ao aumento da temperatura ambiente so fatores que contribuem para a referida deflexo.


18 EM

_V_M

AT

_017

divisvel por x

13

. Encontre as razes da equa-

o P(x) = 0 no conjunto dos nmeros complexos.

(UFPR) Sabendo-se que i, 3 e 14. 12

32

14

+

i so razes de

p(x) = x6 6x5 + 7x4 x3 + 18x2 + ax + 12, onde i a uni-

dade imaginria e a nmero real, correto afirmar:

1 tambm raiz de p(x). )(

4 tambm raiz de p(x). )(

O produto das razes de p(x) 14. )(

p(x) divisvel por x )( 2 + x + 1.

(UFSC) Marque a(s) proposio(es) 15. correta(s).

(01) O nmero real 1 (um) uma das razes do polinmio p(x) = 2x4 5x3 + 5x2 5x 3.

(02) Se o polinmio x3 + ax2 + bx + 3 admite trs razes reais distintas, ento uma das possibilidades que elas sejam 1, 1 e 3.

(04) O polinmio x3 + 3x 2 possui (pelo menos) uma raiz real.

(08) O polinmio f(x) = x3 + mx 5 divisvel por x 3 quando m igual a 4.

Soma ( )

(Unesp) Considere a funo polinomial de 3. grau 16. p(x) = x3 3x +1.

Calcule p(a) 2), p(0), p(1) e p(2) e esboce o grfico.

Com base no item (a), responda, justificando, quan-b) tas razes reais e quantas razes complexas (no re-ais) tem p(x).

(UERJ) As dimenses de um paraleleppedo retngulo 17. so dadas pelas razes do polinmio 3x3 13x2 +7x 1. Em relao a esse paraleleppedo, determine:

a razo entre a sua rea total e o seu volume;a)

suas dimenses.b)

(Unesp) Considere a matriz 18. A

x x

xx

x

=

1

0 12

2 0

. O determi-

nante de A um polinmio p(x).

Verifique se 2 uma raiz de p(x).a)

Determine todas as razes de p(x).b)

(Fuvest) Considere dois nmeros reais 19. e tais que 1, 1 e 0.

Determine uma relao entre a) e , para que as equaes polinomiais x3 x2 x ( + 1) = 0 e

x2 x ( + 1) = 0 possuam uma raiz comum.

Nesse caso, determine a raiz comum.b)

(Unicamp) 20.

Resolva a equao: xa) 4 5x 6 = 0.

Mostre que, se a e b so nmeros reais e se no b) so ambos nulos, ento as razes da equao x4 + ax + b = 0 no podem ser todas reais.

(Unicamp) Seja a um nmero real e seja 21.

p x

x

a x

x

( ) det=

3 1 2

0 1

0 4 1

Para a = 1, encontre todas as razes da equao a) p(x) = 0.

Encontre os valores de a para os quais a equao b) p(x) = 0 tem uma nica raiz real.

(Unicamp) Dada a equao polinomial com coeficientes 22. reais x3 5x2 +9x a = 0.

Encontre o valor numrico de a de modo que o nme-a) ro complexo 2 + i seja uma das razes da equao.

Para o valor de a encontrado no item anterior, de-b) termine as outras duas razes da mesma equao.

(UFF) Uma fbrica utiliza dois tanques para armaze-23. nar combustvel. Os nveis de combustvel, H1 e H2, em cada tanque, so dados pelas expresses: H1(t) = 150 t3 190 t + 30 e H2(t) = 50 t3 + 35 t + 30, sendo t o tempo em hora.

O nvel de combustvel de um tanque igual ao do outro no instante inicial (t = 0) e, tambm, no instante:

t = 0,5ha)

t = 1,0hb)

t = 1,5hc)

t = 2,0h d)

t = 2,5he)

(IME) Considere a, b e c nmeros reais que a < b < c. 24. Prove que a equao abaixo possui exatamente duas razes, x1 e x2, que satisfazem a condio: a < x1 < b < x2 < c.


19EM

_V_M

AT

_017

1x - a

1x - b

1x - c

+ + = 0

(ITA) A equao polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais 25. e grau 6 recproca de 2. espcie e admite i como raiz.

Se p(2) = 1058

e p(2) = 2558

, ento a soma de todas

as razes de p(x) igual a:

10a)

8b)

6c)

2d)

1e)

(Fuvest) Dado o polinmio p(x) = x26. 2 (x 1) (x2 4), o grfico da funo y = p(x 2) melhor representado por:

(IME) Seja a equao x27. 3 + px2 + qx + r = 0 cujas razes so: a, b, c. Determine s, t, u em funo de p, q, r, para que a equao x3 + sx2 + tx + u = 0 tenha razes bc, ca e ab.

Dada a equao x28. 3 + px + q = 0 obter a transformada dos quadrados das diferenas das razes.

(UFJF) Sendo a, b e c as razes de x29. 3 + x2 + 3x + 1 = 0, forme a equao cujas razes so a2, b2 e c2.

(ITA) Sabendo-se que a equao ax30. 4 + bx3 + 5x + 3 = 0 recproca e tem 1 como raiz, o produto das razes reais desta equao :

2a)

b) 1

1c)

3d)

4e)

(ITA) Sejam a e b constantes reais. Sobre a equao 31. x4 (a + b)x3 + (ab + 2)x2 (a + b)x + 1 = 0 podemos afirmar que:

no possui raiz real se a < b < a) 3.

no possui raiz real se a > b > 3.b)

todas as razes so reais e c) a 2 e b 2.

possui pelo menos uma raiz real se d) 1 < a b < 1.

n.d.a.e)

(ITA) Sejam P(x) = x32. 4 + a0x3 + a1x

2 + a2x + a3 e

Q(x) = a3x4 + a2x

3 + a1x2 + a0x 1 dois polinmios,

sabendo-se que P(x) > 0 para todo x real, temos:

Q(aa) 3) > 2

Q(ab) 3) < 3

c) 2 < Q(a3) < 1

Q(ad) 3) > 3

Nda.e)

(ITA) Sabendo-se que a equao, de coeficientes reais, 33. x6 (a + b + c)x5 + 6x4 + (a 2b)x3 3cx2 + 6x 1 = 0 uma equao recproca de segunda classe, ento o nmero de razes reais desta equao :

0a)

2b)

3c)

4d)

6e)

(ITA) Seja S o conjunto de todas as razes da equao 34. 2x6 4x5 + 4x 2 = 0. Sobre os elementos de S pode-mos afirmar que:

todos so nmeros reais.a)

4 so nmeros reais positivos.b)

4 no so nmeros reais.c)


20 EM

_V_M

AT

_017

3 so nmeros reais positivos e 2 no so reais.d)

3 so nmeros reais negativos.e)

(ITA) Seja a um nmero real tal que o polinmio 35. p(x) = x6 + 2x5 + ax4 ax2 2x 1 admite apenas razes reais. Ento:

a a) [2 , [

a b) [-1 , 1]

a c) ]- , 7]

a d) [-2 , 1[

a e) ]1 , 2[

A velocidade de um carro expressa por V(t) = 36. 6t4 35t3 + 62t2 35t + 86, onde V(t) medida em quilmetros por hora e t o nmero de horas de viagem. Esse veculo possui um sistema que toca um alarme quando o carro atinge a velocidade de 80km/h. O nmero de vezes que o alarme toca aps a primeira hora de viagem :

1a)

2b)

3c)

4d)

(IME) 37.

Mostre que se p(x) = aa) 0 + a1x + a2x2 + a1x

3 + a0x4,

ento existe polinmio g(x) do 2. grau, tal que p(x) = x2 g(x +x1).

Determine todas as razes do polinmio b) p(x) = 1 + 4x + 5x2 + 4x3 + x4.


21EM

_V_M

AT

_017

D1.

C 2.

P(1) = a + b c + 2 = 0P(x) P( x) = x3 = 2ax3 + 2cx

a b= = =12

32

0; ; c

3.

d = 10a)

S = {2, b) 5 , 5 }

p(x) = 4. x2

2 3

2x + 1

a = 5. 5 e b = 4

a = 106.

E7.

68.

r = 9. 4, s = 3 e t = 1

510.

511.

12.

z = 0 ou z = 2i ou z = 2ia)

k r xx= =3

219

212

e +( )b)

13.

B = a) 3

S = ]b) 1, 1[ ]3, + [

B14.

D15.

416.

S = {17. 1, i, i, i 3 , i 3 }

18.

S = {1, a) 2, 2}

k = 11305/256 b)

19.

4a)

S = {b) 2, 1, 3}


22 EM

_V_M

AT

_017

20.

P(x) = a) 2x3 +12x2 26x +20

k = 1 e S = {b) 1, i}

21.

m = 7a)

32

1 2;

b)

S = {22. 8, 5, 2}

A23.

B24.

25.

a = a) 4 e b = 3

S = {2,b) 1 2 }

A26.

y27. 3 5y2 + 14y 14 = 0

1, 28. 1 i 3

2, 1 i 3

229.

Resposta pessoal.a)

S i= +

, ,7 33

47 33

4b)

30.

1 (dupla) e a) 1 i 3

2b b) 4

y31. 3 4y + 2 = 0

y32. 3 5y2 + 3y 16 = 0

33.

{ a) 2, 0, 2}

S = {1, 3, 5}b)

2x34. 4 + 5x3 5x 2 = 0

E35.

B36.

B37.

D 1.

2.

4a)

y = b) 2

3x + 2

p(x) = c) 1

3 (x 1)(x + 3)(x 4)

Dom(g) = ]1, 6[ 3. {2}

4.

f(x) = 0,25 a) (x 2) (x 3) (x + 3)

]b) 3, 2[ ]3, +[

A5.

D6.

107.

8.

a) Sima)

O trinmio y = xb) 2 4x + 13 possui = 36 < 0, logo positivo.

x R. p(x) = (x2 4x + 13) (x + 2) > 0 x + 2 > 0 x > 2

2 + 4i9.

C, C, E, C10.

B x x x x xxx

B

= + + + + + + =

=9999 8888 7777 2222 11111111 10

11111

11

...( )

== + + + +( ) ( ) ...x x x1111 9 1111 8 1111 111.

Logo, B divisvel por A.

12.

3cma)

5cmb)

13.

S = a) 1/2

V = {1/3, 1, 3 +2i, 3 b) 2i}

F, V, F, V14.

(02 + 04) = 0615.

16.

p(a) 2) = 1, p(0) = 1, p(1) = 1, p(2) = 3

3 razes reais e nenhuma no-real.b)


23EM

_V_M

AT

_017

17.

14a)

1/3, 2 + b) 3 , 2 3

p(x) = det(A) = x18. 3 + 1 x

2 . 2 2x2

x3 + 1 1 x

2 . 2 2x2

p(x) = x3 2x2 x + 219.

a) = 2

b) 1

20.

211i1a) , 1, 2

Resposta pessoal.b)

21.

S = {3, 1 + 2i, 1 a) 2i}

]b) 3, 5]

22.

a = 5a)

S = {2 + i, 2 b) i, 1}

C23.

Resposta pessoal.24.

C25.

A26.

s = 27. q, t = pr e u = r2

y28. 3 + 6py2 + 9p2y + 4p3 + 27q2 = 0

x29. 3 + 5x2 + 7y 1 = 0

B30.

C31.

A32.

D33.

D34.

C35.

B36.

37.

g(x) = aa) 0x2 + a1x + (a2 2a0)

S = b) 1 i 3

2, 3 i 5

2


24 EM

_V_M

AT

_017


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