Curso de Física Básica - H. Moysés NussenzveigResolução do Volume III

Capítulo 2 – A Lei de Coulomb

1 - Mostre que a razão da atração eletrostática para a atração gravitacional entre um elétron e umpróton é independente da distância entre eles e calcule essa razão.

2 - Em um litro de hidrogênio gasoso, nas condições NTP:a) Qual é a carga positiva total contida nas moléculas e neutralizada pelos elétrons? (Resp.: 8,6 x10³ C)b) Suponha que toda a carga positiva pudesse ser separada da negativa e mantida à distância de 1 mdela. Tratando as duas cargas como puntiformes, calcule a força de atração eletrostática entre elas,em kgf. (Resp.: 6,8 x 1016 kgf).c) Compare o resultado com uma estimativa da atração gravitacional da Terra sobre o Pão deAçúcar. (Resp.: A atração eletrostática é da ordem de 106 vezes maior).

3 - O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio pode ser comparado ao sistema Terra-Lua, emque o papel da Terra é desempenhado pelo próton e o da Lua pelo elétron, a atração gravitacionalsendo substituída pela eletrostática. A distância média entre o elétron e o próton no átomo é daordem de 0,5 ��.

a) Admitindo esse modelo, qual seria a freqüência de revolução do elétron em torno dopróton? Compare-a com a freqüência da luz visível. (Resp.: 7,2 x 1015 s-1, da ordem das freqüênciasda luz visível).

b) Qual seria a velocidade do elétron na sua órbita? É consistente usar a eletrostática nessecaso? É consistente usar a mecânica não-relativística? (Resp.: 2,3 x 10³ km/s, menos de 1% davelocidade da luz, podendo ainda ser tratada como não relativística. Não é consistente, na físicaclássica, usar a eletrostática neste modelo. Um estado estacionário só é obtido na física quântica).

4 - Uma carga negativa fica em equilíbrio quando colocada no ponto médio do segmento de retaque une duas cargas positivas idênticas. Mostre que essa posição de equilíbrio é estável parapequenos deslocamentos da carga negativa em direções perpendiculares ao segmento, mas que éinstável para pequenos deslocamentos ao longo dele.

5 - Duas esferinhas idênticas de massa m estão carregadas com carga q e suspensas por fiosisolantes de comprimento l. O ângulo de abertura resultante é 2θ (fig.).

b) Mostre que:q² cosθ = 16πε0 l² mgsen³θ

c) Se m = 1 g, l = 20 cm e θ = 30°, qual é o valor de q?

(Resposta: θπε=θ ³sen.mg².l.16cos.q 02 ) (Resp.: 1,6 x 10-6 C).

1

6 - Cargas q, 2q e 3q são colocadas nos vértices de um triânguloeqüilátero de lado a. Uma carga Q de mesmo sinal que as outras três écolocada no centro do triângulo. Obtenha a força resultante sobre Q

(em módulo, direção e sentido). (Resp.: ( )20a16Qq39 πε/.. .

7 - Uma carga Q é distribuída uniformemente sobre um fio semicircular de raio a. Calcule a força

com que atua sobre uma carga de sinal oposto - q colocada no centro. (Resposta: j ²a.²2

Q.qF

0επ=

r)

8 - Um fio retilíneo muito longo (trate-o como infinito) está eletrizado com uma densidade linear decarga λ. Calcule a força com que atua sobre uma carga puntiforme q colocada à distância ρ do fio.Sugestão: tome a origem em O e o fio como eixo z. Exprima a contribuição de um elemento dz dofio à distância z da origem em função do ângulo θ da figura. Use argumentos de simetria. (Resp.:qλ/(2.π2.ε0.ρ), radial para fora).

2

9 - Uma partícula de massa m e carga negativa - q está vinculada a mover-se sobre a mediatriz dosegmento que liga duas cargas positivas + Q, separadas por uma distância d. Inicialmente, apartícula y << d do centro desse segmento. Mostre que ela executa um movimento harmônicosimples em torno do centro, e calcule a freqüência angular ω de oscilação. (Resp.:

21

30md

Qq2

πε=ω ).

Resoluções

R-1)

2

2

0e d

e.

4

1Ficaeletrostát Força

πε=

2

peg d

m.m.GFnalgravitacio Força ==

Dividindo |Fe| / |Fg|, vemos que o termo d² desaparece.Logo a razão entre as duas interações nãodepende da distância entre o elétron e o próton.Para o cálculo da razão, utilize:

229

0

C/N.m 10 x 98755,84

1 =πε

me (massa do elétron) = 9,109 390 x 10-31 kgmp (massa do próton) = 1,672 623 x 10-27 kge (carga elementar) = 1,602 177 x 10-19 CG = 6,672 6 x 10-11 M.m²/kg²

R-2) a) 1 mol de gás perfeito ocupa 22,4 litros nas CNTP, logo 1 litro de hidrogenio tem 1/22,4

moles de hidrogênio. Multiplicado pelo numero de Avogrado tem-se 2,6884 x 1022 moléculas.Comocada molécula tem 2 átomos tem-se 5,3768 x 1022 átomos. Multiplicados pela carga do elétron em

3

coloumb tem-se 8,6 x10³ C. Observação: Cada átomo de Hidrogênio possui 1 elétron.O número de Avogrado é 6,0221.10^23. A carga do elétron é 1,6.10^-19 C. A carga global positiva é igual a carga global negativa.

b)

R-5)

Traçando dois eixos de coordenadas cartesianas sobre a figura, obtêm-se, para uma das cargas:

Em x (eixo na direção versor i, positivo para a direita).Pela condição de equilíbrio:T.senθ - F = 0 (I)

Em y (eixo na direção do versor j, positivo para cima).T.cosθ - m.g = 0 (m.g é o peso da carga q, em questão). (II)

De (I) e (II), obtêm-se:(F/senθ).cosθ - m.g = 0

Mas F é a força elétrica entre as cargas:

( )θ=θ

θπε= sen.g.mcos

sen.l.2

q.

4

1F

2

2

0

Resolvendo, chega-se a:θπε=θ ³sen.mg².l.16cos.q 0

2

R-7) Cada elemento de comprimento dl do fio, com carga dQ, contribui com uma força dF sobre acarga (-q). Sendo λ a densidade linear de carga no fio, temos;

Q = λ.(2πa)/2 = λ.π.a (I)ou

dQ = λ.dl = λ.a.dθ (II)

Em coordenadas polares, tem-se:

4

θ=θ=

sen.ay

cos.ax

( )j a.sen i cos.a.²a

dQ.q.

4

1Fd

0

θ+θπε

=r

= ( )

a

j sen i cos.a.d.

²a.4

a.q.

0

θ+θθπελ

θθ+θπελ= ∫

π

d.)j sen i (cos.a.4

q.F

00

r

j 2.a.4

q.F

0πελ=

r = j

a.

a..

a.2

q.

0 ππ

πελ

= j ²a.²2

a...q

0εππλ

= j ²a.²2

Q.q

0επ

R-8)

Vamos considerar, a princípio, o fio de comprimento L.

ˆˆr i zkρ= +r

Sendo dQ a carga de um elemento dz do fio:dQ = λ.dz (λ > 0 e eixo z com sentido positivo para cima)

20

1 .ˆ.

4

q dQdF r

rπε=

r

Por simetria, componentes dF na direção paralela ao fio cancelam-se (veja na figura que cada dF,em vermelho, cancela-se com a outra componente, em azul, na direção do eixo z). Logo, a forçaelétrica resultante sobre a carga q é:

cosxdF dF θ=r

perpendicular ao fio

onde ( )12 2 2

cosr z

ρ ρθρ

= =+

5

( )32 2 20

1 . ..

4x

q dzdF

z

λ ρπε ρ

=+

( ) ( )2

3 32 2 2 22 20 0 0

2

1 1. . . . . . . .2.

4 4

LL

xL

dz dzF q q

z zλ ρ λ ρ

πε περ ρ

+

−

=+ +

=∫ ∫

A integral anterior pode ser calculada por:

( )3 2 2 22 2 2 .

ds s

a a sa s=

++∫

Assim:

2 2 2 2 2 20 0 0

02

2 2 . 1 2 . 1. . . . . . . .

4 4 4.1

L

x

z q qF q

z L

L

λ λλ ρπε πε ρ πε ρρ ρ ρ ρ

= =

+ + +=

Quando L � ∞ (fio muito longo), a força torna-se:

0 0

2 . ..

4 2x

q qF

λ λπε ρ πε ρ

= = , direção radial, para fora.

R-9)

a) Condição de equilíbrio na horizontal (direção do versor i):F3(1) (-i) = F3(2) i

( ) ( )[ ] θ+−πε

=θ+πε

cos.yxd

qQ

4

1cos.

yx

qQ

4

122

022

0

x² + y² = d² - 2dx +x² +y² ⇒ d(d-2x) = 0Como d ≠ 0 ⇒ x = d/2

Condição de equilíbrio na vertical:

0

y4d

y2.F. 0sen.F.2

B

21

22

=

+

⇒=θ

43421

Como F ≠ 0 e B ≠ 0 então y = 0

b) F na direção y atuará como uma força restauradora, logo:

6

21

22

22

0y

y2d

y.

y2d

qQ.

4

1F

+

+

πε−=

⇒ 23

220

y

y2d

y.Q.q.

4

1F

+

πε

−=

Fazendo:

04

Q.qC

πε= e

2

dD =

( ) 23

22y

yD

y.CF

+−=

Em MHS, temos: 2

2

dt

yd.mF =

Comparando com a força eletrostática:

2

2

y dt

yd.mF = = ( ) 2

322 yD

y.C

+− ⇒

2

2

dt

yd = ( ) 2

322 yD

y.

m

C

+−

Para deslocamentos muito pequenos de y, y0 <<D, fazemos, por expansão de Taylor:f(y) = (D² + y²)f(y) = f(y0) + f'(y0).(y - y0) + (1/2!).f''(y0).(y - y0)²E obtemosf(y) = D²Substituindo na expressão acima:

2

2

dt

yd = 3D

y.

m

C−

Assim, a freqüência angular ω será:

21

30

21

30

21

3 md

Qqy2

2

d

y

m4

Qq

D

y

m

C

πε=

πε=

=ω ..

7